5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ou x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Après avoir appris à résoudre des équations du premier degré, bien sûr, vous souhaitez travailler avec d'autres, en particulier avec des équations du deuxième degré, autrement appelées quadratiques.

Les équations quadratiques sont des équations comme ax² + bx + c = 0, où la variable est x, les nombres sont a, b, c, où a n'est pas égal à zéro.

Si dans une équation quadratique l'un ou l'autre coefficient (c ou b) est égal à zéro, alors cette équation sera classée comme équation quadratique incomplète.

Comment résoudre une équation quadratique incomplète si les élèves n’ont jusqu’à présent pu résoudre que des équations du premier degré ? Considérez des équations quadratiques incomplètes différents types et des moyens simples de les résoudre.

a) Si le coefficient c est égal à 0 et que le coefficient b n'est pas égal à zéro, alors ax ² + bx + 0 = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² + bx = 0.

Pour résoudre une telle équation, vous devez connaître la formule de résolution d'une équation quadratique incomplète, qui est : côté gauche factorisez-le et utilisez plus tard la condition selon laquelle le produit est égal à zéro.

Par exemple, 5x² - 20x = 0. Nous factorisons le côté gauche de l'équation, tout en faisant la procédure habituelle opération mathématique: déplacer le facteur total hors des parenthèses

5x (x - 4) = 0

Nous utilisons la condition selon laquelle les produits sont égaux à zéro.

5 x = 0 ou x - 4 = 0

La réponse sera : la première racine est 0 ; la deuxième racine est 4.

b) Si b = 0, et que le terme libre n'est pas égal à zéro, alors l'équation ax ² + 0x + c = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² + c = 0. Les équations sont résolues de deux manières : a) en factorisant le polynôme de l'équation du côté gauche ; b) utiliser les propriétés de l'arithmétique racine carrée. Une telle équation peut être résolue en utilisant l'une des méthodes, par exemple :

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. La réponse sera : la première racine est 5/2 ; la deuxième racine est égale à - 5/2.

c) Si b est égal à 0 et c est égal à 0, alors ax ² + 0 + 0 = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² = 0. Dans une telle équation x sera égal à 0.

Comme vous pouvez le constater, les équations quadratiques incomplètes ne peuvent avoir plus de deux racines.

Les équations quadratiques apparaissent souvent lors de la résolution de divers problèmes de physique et de mathématiques. Dans cet article nous verrons comment résoudre ces égalités de manière universelle « par un discriminant ». Des exemples d'utilisation des connaissances acquises sont également donnés dans l'article.

De quelles équations parlerons-nous ?

La figure ci-dessous montre une formule dans laquelle x est une variable inconnue et les symboles latins a, b, c représentent des nombres connus.

Chacun de ces symboles est appelé coefficient. Comme vous pouvez le voir, le nombre « a » apparaît devant la variable x au carré. Il s’agit de la puissance maximale de l’expression représentée, c’est pourquoi on l’appelle une équation quadratique. Son autre nom est souvent utilisé : équation du second ordre. La valeur a elle-même est un coefficient carré (avec la variable au carré), b est un coefficient linéaire (il est à côté de la variable élevée à la première puissance), et enfin, le nombre c est le terme libre.

Notez que le type d’équation présenté dans la figure ci-dessus est une expression quadratique classique générale. En plus de cela, il existe d'autres équations du second ordre dans lesquelles les coefficients b et c peuvent être nuls.

Lorsque la tâche est définie pour résoudre l'égalité en question, cela signifie qu'il faut trouver de telles valeurs de la variable x qui la satisferaient. Ici, la première chose à retenir est la suivante : puisque le degré maximum de X est 2, alors ce type d’expression ne peut pas avoir plus de 2 solutions. Cela signifie que si, lors de la résolution d'une équation, on trouvait 2 valeurs de x qui la satisfont, alors vous pouvez être sûr qu'il n'y a pas de 3ème nombre, en le substituant à x, l'égalité serait également vraie. Les solutions d’une équation mathématique s’appellent ses racines.

Méthodes de résolution d'équations du second ordre

La résolution d’équations de ce type nécessite la connaissance d’une certaine théorie à leur sujet. DANS cours scolaire les algèbres considèrent 4 diverses méthodes solutions. Listons-les :

• utiliser la factorisation ;
• en utilisant la formule d'un carré parfait ;
• en appliquant le graphique de la fonction quadratique correspondante ;
• en utilisant l'équation discriminante.

L’avantage de la première méthode est sa simplicité mais elle ne peut pas être utilisée pour toutes les équations ; La deuxième méthode est universelle, mais quelque peu lourde. La troisième méthode se distingue par sa clarté, mais elle n'est pas toujours pratique et applicable. Et enfin, l'utilisation de l'équation discriminante est un moyen universel et assez simple de trouver les racines d'absolument n'importe quelle équation du second ordre. Par conséquent, dans cet article, nous ne le considérerons que.

Formule pour obtenir les racines de l'équation

Tournons-nous vers aspect généraléquation quadratique. Écrivons-le : a*x²+ b*x + c =0. Avant d'utiliser la méthode de résolution « par un discriminant », vous devez toujours mettre l'égalité sous forme écrite. Autrement dit, il doit être composé de trois termes (ou moins si b ou c vaut 0).

Par exemple, s'il existe une expression : x²-9*x+8 = -5*x+7*x², alors vous devez d'abord déplacer tous ses termes d'un côté de l'égalité et ajouter les termes contenant la variable x dans le mêmes pouvoirs.

DANS dans ce cas cette opération conduira à l'expression suivante : -6*x²-4*x+8=0, qui équivaut à l'équation 6*x²+4*x-8=0 (ici nous avons multiplié les côtés gauche et droit du égalité par -1).

Dans l'exemple ci-dessus, a = 6, b=4, c=-8. A noter que tous les termes de l'égalité considérée sont toujours additionnés, donc si le signe « - » apparaît, cela signifie que le coefficient correspondant est négatif, comme le nombre c dans ce cas.

Après avoir examiné ce point, passons maintenant à la formule elle-même, qui permet d'obtenir les racines d'une équation quadratique. Cela ressemble à celui montré sur la photo ci-dessous.

Comme le montre cette expression, elle permet d'obtenir deux racines (faites attention au signe « ± »). Pour ce faire, il suffit d'y substituer les coefficients b, c et a.

La notion de discriminant

Dans le paragraphe précédent, une formule a été donnée qui vous permet de résoudre rapidement n'importe quelle équation du second ordre. Dans ce document, l'expression radicale est appelée discriminant, c'est-à-dire D = b²-4*a*c.

Pourquoi cette partie de la formule est-elle mise en évidence, et elle a même nom propre? Le fait est que le discriminant relie les trois coefficients de l'équation en une seule expression. Ce dernier fait signifie qu'il contient entièrement des informations sur les racines, qui peuvent être exprimées dans la liste suivante :

1. D>0 : L’égalité a 2 solutions différentes, qui sont toutes deux des nombres réels.
2. D=0 : L'équation n'a qu'une seule racine, et c'est un nombre réel.

Tâche de détermination discriminante

Donnons un exemple simple de la façon de trouver un discriminant. Soit l'égalité suivante : 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Ramenons-le sous forme standard, on obtient : (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, d'où on arrive à l'égalité : -2*x² +2*x-11 = 0. Ici a=-2, b=2, c=-11.

Vous pouvez maintenant utiliser la formule ci-dessus pour le discriminant : D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Le nombre obtenu est la réponse à la tâche. Puisque dans l'exemple le discriminant inférieur à zéro, alors on peut dire que cette équation quadratique n’a pas de vraies racines. Sa solution ne sera que des nombres de type complexe.

Un exemple d’inégalité à travers un discriminant

Résolvons des problèmes d'un type légèrement différent : étant donné l'égalité -3*x²-6*x+c = 0. Il faut trouver des valeurs de c pour lesquelles D>0.

Dans ce cas, seuls 2 coefficients sur 3 sont connus, il n'est donc pas possible de calculer la valeur exacte du discriminant, mais on sait qu'elle est positive. Nous utilisons le dernier fait pour composer l'inégalité : D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. La résolution de l’inégalité résultante conduit au résultat : c>-3.

Vérifions le nombre résultant. Pour ce faire, on calcule D pour 2 cas : c=-2 et c=-4. Le nombre -2 satisfait le résultat obtenu (-2>-3), le discriminant correspondant aura la valeur : D = 12>0. À son tour, le nombre -4 ne satisfait pas à l’inégalité (-4. Ainsi, tout nombre c supérieur à -3 satisfera à la condition.

Un exemple de résolution d'une équation

Présentons un problème qui implique non seulement de trouver le discriminant, mais aussi de résoudre l'équation. Il faut trouver les racines de l'égalité -2*x²+7-9*x = 0.

Dans cet exemple, le discriminant est valeur suivante: D = 81-4*(-2)*7= 137. Alors les racines de l'équation seront déterminées comme suit : x = (9±√137)/(-4). Ce sont les valeurs exactes des racines ; si vous calculez la racine approximativement, alors vous obtenez les nombres : x = -5,176 et x = 0,676.

Problème géométrique

Résolvons un problème qui nécessitera non seulement la capacité de calculer le discriminant, mais également l'utilisation de capacités de pensée abstraite et la connaissance de la façon d'écrire des équations quadratiques.

Bob avait une couette de 5 x 4 mètres. Le garçon voulait coudre une bande continue de beau tissu. Quelle sera l'épaisseur de cette bande si l'on sait que Bob a 10 m² de tissu.

Laissez la bande avoir une épaisseur de x m, alors la surface du tissu est côté long la couverture sera (5+2*x)*x, et comme il y a 2 côtés longs, nous avons : 2*x*(5+2*x). Sur le côté court, la surface du tissu cousu sera de 4*x, puisqu'il y a 2 de ces côtés, on obtient la valeur 8*x. Notez que 2*x a été ajouté au côté long car la longueur de la couverture a augmenté de ce nombre. La superficie totale du tissu cousu à la couverture est de 10 m². On obtient donc l’égalité : 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Pour cet exemple, le discriminant est égal à : D = 18²-4*4*(-10) = 484. Sa racine est 22. A l'aide de la formule, on trouve les racines recherchées : x = (-18±22)/( 2*4) = (-5 ; 0,5). Évidemment, des deux racines, seul le nombre 0,5 convient selon les conditions du problème.

Ainsi, la bande de tissu que Bob coud à sa couverture fera 50 cm de large.

Une équation quadratique incomplète diffère des équations classiques (complètes) en ce que ses facteurs ou terme libre sont égaux à zéro. Les graphiques de ces fonctions sont des paraboles. Selon leur aspect général, ils sont répartis en 3 groupes. Les principes de solution pour tous les types d’équations sont les mêmes.

Il n'y a rien de difficile à déterminer le type d'un polynôme incomplet. Il est préférable de considérer les principales différences à l'aide d'exemples visuels :

1. Si b = 0, alors l'équation est ax 2 + c = 0.
2. Si c = 0, alors l'expression ax 2 + bx = 0 doit être résolue.
3. Si b = 0 et c = 0, alors le polynôme se transforme en une égalité comme ax 2 = 0.

Ce dernier cas est plutôt une possibilité théorique et ne se produit jamais dans les tâches de test de connaissances, puisque la seule valeur correcte de la variable x dans l'expression est zéro. À l'avenir, des méthodes et des exemples de résolution d'équations quadratiques incomplètes des types 1) et 2) seront pris en compte.

Algorithme général de recherche de variables et exemples de solutions

Quel que soit le type d'équation, l'algorithme de résolution se réduit aux étapes suivantes :

1. Réduisez l’expression à une forme pratique pour trouver des racines.
2. Effectuer des calculs.
3. Écrivez la réponse.

Le moyen le plus simple de résoudre des équations incomplètes est de factoriser le côté gauche et de laisser un zéro à droite. Ainsi, la formule d'une équation quadratique incomplète pour trouver des racines se réduit au calcul de la valeur de x pour chacun des facteurs.

Vous ne pouvez apprendre à le résoudre que dans la pratique, alors réfléchissons exemple concret trouver les racines d'une équation incomplète :

Comme vous pouvez le voir, dans ce cas b = 0. Factorisons le côté gauche et obtenons l'expression :

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Évidemment, le produit est égal à zéro lorsqu’au moins un des facteurs est égal à zéro. Les valeurs de la variable x1 = 0,5 et (ou) x2 = -0,5 répondent à des exigences similaires.

Afin de faire face facilement et rapidement à la tâche de décomposition trinôme quadratique en facteurs, rappelez-vous la formule suivante :

S'il n'y a pas de terme libre dans l'expression, le problème est grandement simplifié. Il suffira simplement de trouver et de mettre entre parenthèses le dénominateur commun. Pour plus de clarté, considérons un exemple de la façon de résoudre des équations quadratiques incomplètes de la forme ax2 + bx = 0.

Sortons la variable x des parenthèses et obtenons l'expression suivante :

x ⋅ (x + 3) = 0.

Guidés par la logique, nous arrivons à la conclusion que x1 = 0 et x2 = -3.

Méthode de résolution traditionnelle et équations quadratiques incomplètes

Que se passe-t-il si vous appliquez la formule discriminante et essayez de trouver les racines d'un polynôme avec des coefficients égaux à zéro ? Prenons un exemple de la collection tâches typiques pour l'examen d'État unifié de mathématiques 2017, nous le résoudrons à l'aide de formules standard et de la méthode de factorisation.

7x2 – 3x = 0.

Calculons la valeur discriminante : D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Il s'avère que le polynôme a deux racines :

Maintenant, résolvons l'équation en factorisant et comparons les résultats.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Comme vous pouvez le constater, les deux méthodes donnent le même résultat, mais la résolution de l'équation en utilisant la deuxième méthode s'est avérée beaucoup plus simple et plus rapide.

Théorème de Vieta

Mais que faire du théorème préféré de Vieta ? Cette méthode peut-elle être utilisée lorsque le trinôme est incomplet ? Essayons de comprendre les aspects du casting équations complètesÀ look classique ax2 + bx + c = 0.

En fait, il est possible d'appliquer le théorème de Vieta dans ce cas. Il suffit de ramener l'expression à sa forme générale, en remplaçant les termes manquants par zéro.

Par exemple, avec b = 0 et a = 1, afin d'éliminer tout risque de confusion, la tâche doit s'écrire sous la forme : ax2 + 0 + c = 0. Alors le rapport de la somme et du produit des racines et les facteurs du polynôme peuvent être exprimés comme suit :

Les calculs théoriques aident à se familiariser avec l'essence du problème et nécessitent toujours des compétences pratiques lors de la résolution. tâches spécifiques. Revenons à l'ouvrage de référence des tâches standards pour l'examen d'État unifié et trouvons un exemple approprié :

Écrivons l’expression sous une forme pratique pour appliquer le théorème de Vieta :

x2 + 0 – 16 = 0.

L'étape suivante consiste à créer un système de conditions :

Évidemment, les racines du polynôme quadratique seront x 1 = 4 et x 2 = -4.

Maintenant, entraînons-nous à ramener l'équation à sa forme générale. Prenons l'exemple suivant : 1/4× x 2 – 1 = 0

Pour appliquer le théorème de Vieta à une expression, il faut se débarrasser de la fraction. Multiplions les côtés gauche et droit par 4 et regardons le résultat : x2– 4 = 0. L'égalité résultante est prête à être résolue par le théorème de Vieta, mais il est beaucoup plus facile et plus rapide d'obtenir la réponse en déplaçant simplement c = 4 à droite de l’équation : x2 = 4.

Pour résumer, il faut dire que la meilleure façon solutions équations incomplètes est une factorisation, est la plus simple et méthode rapide. Si des difficultés surviennent lors du processus de recherche de racines, vous pouvez contacter méthode traditionnelle trouver des racines à travers un discriminant.

Formules pour les racines d'une équation quadratique. Les cas de racines réelles, multiples et complexes sont considérés. Factoriser un trinôme quadratique. Interprétation géométrique. Exemples de détermination des racines et de factorisation.

Formules de base

Considérons l'équation quadratique :
(1) .
Racines d'une équation quadratique(1) sont déterminés par les formules :
; .
Ces formules peuvent être combinées comme ceci :
.
Lorsque les racines d'une équation quadratique sont connues, alors un polynôme du deuxième degré peut être représenté comme un produit de facteurs (factorisé) :
.

Ensuite, nous supposons qu'il s'agit de nombres réels.
Considérons discriminant d'une équation quadratique:
.
Si le discriminant est positif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles différentes :
; .
Alors la factorisation du trinôme quadratique a la forme :
.
Si le discriminant est égal à zéro, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles multiples (égales) :
.
Factorisation :
.
Si le discriminant est négatif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines conjuguées complexes :
;
.
Voici l'unité imaginaire, ;
et sont les parties réelles et imaginaires des racines :
; .
Alors

.

Interprétation graphique

Si vous construisez graphique d'une fonction
,
qui est une parabole, alors les points d'intersection du graphique avec l'axe seront les racines de l'équation
.
En , le graphique coupe l'axe des x (axe) en deux points.
Lorsque , le graphique touche l’axe des x en un point.
Lorsque , le graphique ne traverse pas l’axe des x.

Vous trouverez ci-dessous des exemples de tels graphiques.

Formules utiles liées à l'équation quadratique

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous effectuons des transformations et appliquons les formules (f.1) et (f.3) :




,
Où
; .

Ainsi, nous avons obtenu la formule d'un polynôme du deuxième degré sous la forme :
.
Cela montre que l'équation

effectué à
Et .
Autrement dit, et sont les racines de l'équation quadratique
.

Exemples de détermination des racines d'une équation quadratique

Exemple 1

(1.1) .

Solution

.
En comparant avec notre équation (1.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est positif, l’équation a deux racines réelles :
;
;
.

De là on obtient la factorisation du trinôme quadratique :

.

Graphique de la fonction y = 2 x 2 + 7 x + 3 coupe l'axe des x en deux points.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il croise l'axe des abscisses (axis) en deux points :
Et .
Ces points sont les racines de l'équation originale (1.1).

Répondre

;
;
.

Exemple 2

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(2.1) .

Solution

Écrivons l'équation quadratique sous forme générale :
.
En comparant avec l'équation originale (2.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est nul, l'équation a deux racines multiples (égales) :
;
.

Alors la factorisation du trinôme a la forme :
.

Graphique de la fonction y = x 2 - 4 x + 4 touche l’axe des x à un moment donné.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il touche l'axe des x (axe) en un point :
.
Ce point est la racine de l’équation originale (2.1). Puisque cette racine est factorisée deux fois :
,
alors une telle racine est généralement appelée un multiple. Autrement dit, ils croient qu'il existe deux racines égales :
.

Répondre

;
.

Exemple 3

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(3.1) .

Solution

Écrivons l'équation quadratique sous forme générale :
(1) .
Réécrivons l'équation originale (3.1) :
.
En comparant avec (1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Le discriminant est négatif, .

Il n’y a donc pas de véritables racines.
;
;
.

Vous pouvez trouver des racines complexes :


.

Alors

Traçons la fonction
.
Le graphique de la fonction ne traverse pas l'axe des x. Il n’y a pas de véritables racines.

Répondre

Le graphique de cette fonction est une parabole. Il ne coupe pas l'axe des x (axe). Il n’y a donc pas de véritables racines.
;
;
.