Le premier point est, comme d'habitude, arcsin(-a)=-arcsina. Pour arriver au deuxième point, on suit la voie supérieure, c'est-à-dire dans le sens de l'augmentation de l'angle.

Cette fois, nous allons au-delà du n. Combien de temps allons-nous? Sur arcsin x. Cela signifie que le deuxième point est n+arcsin x. Pourquoi n'y a-t-il pas de moins ? Parce que le moins dans la notation -arcsin a signifie un mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre, mais nous sommes allés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Et enfin, ajoutez 2pn à chaque extrémité de l'intervalle.

5) sinx>a, si a>1.

Le cercle unité se situe entièrement sous la droite y=a. Il n’y a pas un seul point au-dessus de la ligne droite. Il n'y a donc pas de solutions.

6) sinx>-a, où a>1.

Dans ce cas, le cercle unité entier se situe entièrement au-dessus de la droite y=a. Par conséquent, tout point satisfait à la condition sinx>a. Cela signifie que x est n'importe quel nombre.

Et ici x est n'importe quel nombre, puisque les points -n/2+2nn sont inclus dans la solution, contrairement à l'inégalité stricte sinx>-1. Il n’est pas nécessaire d’exclure quoi que ce soit.

Le seul point du cercle qui satisfait à cette condition est n/2. Compte tenu de la période du sinus, la solution de cette inégalité est l'ensemble des points x=n/2+2n.

Par exemple, résolvez l'inégalité sinx>-1/2 :

Les inégalités sont des relations de la forme a › b, où a et b sont des expressions contenant au moins une variable. Les inégalités peuvent être strictes - ‹, › et non strictes - ≥, ≤.

Les inégalités trigonométriques sont des expressions de la forme : F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, dans laquelle F(x) est représenté par une ou plusieurs fonctions trigonométriques .

Un exemple de l'inégalité trigonométrique la plus simple est : sin x ‹ 1/2. Il est d'usage de résoudre ces problèmes graphiquement ; deux méthodes ont été développées à cet effet.

Méthode 1 - Résoudre les inégalités en traçant graphiquement une fonction

Pour trouver un intervalle qui satisfait aux conditions d'inégalité sin x ‹ 1/2, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1. Sur axe de coordonnées construire une sinusoïde y = sin x.
2. Sur le même axe, tracez un graphique de l'argument numérique de l'inégalité, c'est-à-dire une droite passant par le point ½ de l'ordonnée OY.
3. Marquez les points d'intersection des deux graphiques.
4. Ombrez le segment qui est la solution de l’exemple.

Lorsque des signes stricts sont présents dans une expression, les points d’intersection ne sont pas des solutions. Puisque la plus petite période positive d’une sinusoïde est 2π, nous écrivons la réponse comme suit :

Si les signes de l'expression ne sont pas stricts, alors l'intervalle de solution doit être mis entre crochets - . La réponse au problème peut également s’écrire sous la forme de l’inégalité suivante :

Méthode 2 - Résolution d'inégalités trigonométriques à l'aide du cercle unité

Des problèmes similaires peuvent être facilement résolus à l’aide d’un cercle trigonométrique. L'algorithme pour trouver des réponses est très simple :

1. Vous devez d’abord dessiner un cercle unité.
2. Ensuite, vous devez noter la valeur de la fonction arc de l'argument du côté droit de l'inégalité sur l'arc de cercle.
3. Il faut tracer une droite passant par la valeur de la fonction arc parallèle à l'axe des abscisses (OX).
4. Après cela, il ne reste plus qu'à sélectionner l'arc de cercle, qui est l'ensemble des solutions de l'inégalité trigonométrique.
5. Notez la réponse dans le formulaire requis.

Analysons les étapes de la solution en utilisant l'exemple de l'inégalité sin x › 1/2. Les points α et β sont marqués sur le cercle - valeurs

Les points de l'arc situés au-dessus de α et β sont l'intervalle permettant de résoudre l'inégalité donnée.

Si vous devez résoudre un exemple pour cos, alors l'arc de réponse sera situé symétriquement par rapport à l'axe OX, et non OY. Vous pouvez considérer la différence entre les intervalles de solution pour sin et cos dans les diagrammes ci-dessous dans le texte.

Les solutions graphiques pour les inégalités tangentes et cotangentes différeront à la fois du sinus et du cosinus. Cela est dû aux propriétés des fonctions.

L'arctangente et l'arccotangente sont tangentes à un cercle trigonométrique et la période positive minimale pour les deux fonctions est π. Pour utiliser rapidement et correctement la deuxième méthode, vous devez vous rappeler sur quel axe sont tracées les valeurs de sin, cos, tg et ctg.

La tangente est parallèle à l'axe OY. Si nous traçons la valeur de arctan a sur le cercle unité, alors le deuxième point requis sera situé dans le quart diagonal. Angles

Ce sont des points d'arrêt pour la fonction, puisque le graphique tend vers eux, mais ne les atteint jamais.

Dans le cas d'une cotangente, la tangente est parallèle à l'axe OX et la fonction est interrompue aux points π et 2π.

Inégalités trigonométriques complexes

Si l'argument de la fonction d'inégalité est représenté non seulement par une variable, mais par une expression entière contenant une inconnue, alors nous parlons d'une inégalité complexe. Le processus et la procédure pour le résoudre sont quelque peu différents des méthodes décrites ci-dessus. Supposons que nous devions trouver une solution à l’inégalité suivante :

La solution graphique consiste à construire une sinusoïde ordinaire y = sin x en utilisant des valeurs de x arbitrairement sélectionnées. Calculons un tableau avec les coordonnées des points de contrôle du graphique :

Le résultat devrait être une belle courbe.

Pour faciliter la recherche d'une solution, remplaçons l'argument de la fonction complexe

La plupart des étudiants n'aiment pas les inégalités trigonométriques. Mais en vain. Comme le disait un personnage :

« Vous ne savez tout simplement pas comment les cuisiner »

Alors, comment « cuisiner » et avec quoi soumettre l'inégalité avec le sinus, nous le découvrirons dans cet article. Nous allons décider d'une manière simple– en utilisant un cercle unité.

Donc, tout d’abord, nous avons besoin de l’algorithme suivant.

Algorithme de résolution des inégalités avec sinus :

1. sur l'axe des sinus, nous traçons le nombre $a$ et traçons une ligne droite parallèle à l'axe du cosinus jusqu'à ce qu'elle coupe le cercle ;
2. les points d'intersection de cette droite avec le cercle seront ombrés si l'inégalité n'est pas stricte, et non ombrés si l'inégalité est stricte ;
3. l'aire de solution de l'inégalité sera située au dessus de la droite et jusqu'au cercle si l'inégalité contient le signe « $>$ », et en dessous de la droite et jusqu'au cercle si l'inégalité contient le signe « $<$”;
4. pour trouver les points d'intersection, on résout l'équation trigonométrique $\sin(x)=a$, on obtient $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$ ;
5. en mettant $n=0$, on trouve le premier point d'intersection (il est situé soit au premier soit au quatrième quartier) ;
6. pour trouver le deuxième point, on regarde dans quelle direction on traverse la zone jusqu'au deuxième point d'intersection : si dans un sens positif, alors il faut prendre $n=1$, et si dans un sens négatif, alors $n=- 1$;
7. en réponse, l'intervalle est écrit du plus petit point d'intersection $+ 2\pi n$ au plus grand $+ 2\pi n$.

Limitation de l'algorithme

Important : d algorithme donné ne marche pas pour les inégalités de la forme $\sin(x) > 1 ; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Cas particuliers de résolution d'inéquations avec sinus

Il est également important de noter les cas suivants, qui sont beaucoup plus pratiques à résoudre logiquement sans utiliser l'algorithme ci-dessus.

Cas particulier 1. Résoudre les inégalités :

$\sin(x)\leq 1.$

Du fait que la plage de valeurs fonction trigonométrique$y=\sin(x)$ n'est pas supérieur à modulo $1$, alors côté gauche inégalités à n'importe$x$ du domaine de définition (et le domaine de définition du sinus est constitué de tous les nombres réels) n'est pas supérieur à 1$. Et donc, dans la réponse, nous écrivons : $x \in R$.

Conséquence:

$\sin(x)\geq -1.$

Cas particulier 2. Résoudre les inégalités :

$\sin(x)< 1.$

En appliquant des arguments similaires au cas particulier 1, nous constatons que le côté gauche de l'inégalité est inférieur à $1$ pour tous $x \in R$, à l'exception des points qui sont des solutions de l'équation $\sin(x) = 1$. En résolvant cette équation, nous aurons :

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Et, par conséquent, dans la réponse, nous écrivons : $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Conséquence: l'inégalité est résolue de la même manière

$\sin(x) > -1.$

Exemples de résolution d'inégalités à l'aide d'un algorithme.

Exemple 1: Résoudre les inégalités :

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Marquons la coordonnée $\frac(1)(2)$ sur l'axe sinusoïdal.
2. Traçons une droite parallèle à l'axe du cosinus et passant par ce point.
3. Marquons les points d'intersection. Ils seront ombrés car l’inégalité n’est pas stricte.
4. Le signe d'inégalité est $\geq$, ce qui signifie que nous peignons la zone au-dessus de la ligne, c'est-à-dire demi-cercle plus petit.
5. Nous trouvons le premier point d'intersection. Pour ce faire, nous transformons l'inégalité en égalité et la résolvons : $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Nous définissons en outre $n=0$ et trouvons le premier point d'intersection : $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Nous trouvons le deuxième point. Notre aire va dans le sens positif à partir du premier point, ce qui signifie que nous fixons $n$ égal à $1$ : $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Ainsi, la solution prendra la forme :

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Exemple 2 : Résoudre les inégalités :

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Marquons la coordonnée $-\frac(1)(2)$ sur l'axe sinus et traçons une ligne droite parallèle à l'axe cosinus et passant par ce point. Marquons les points d'intersection. Ils ne seront pas ombrés puisque l’inégalité est stricte. Le signe d'inégalité $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

En supposant en outre $n=0$, nous trouvons le premier point d'intersection : $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Notre aire va dans le sens négatif à partir du premier point, ce qui signifie que nous fixons $n$ égal à $-1$ : $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Ainsi, la solution de cette inégalité sera l'intervalle :

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Exemple 3 : Résoudre les inégalités :

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Cet exemple ne peut pas être résolu immédiatement à l’aide d’un algorithme. Vous devez d’abord le transformer. On fait exactement ce qu’on ferait avec une équation, mais sans oublier le signe. Diviser ou multiplier par un nombre négatif l’inverse !

Alors, déplaçons tout ce qui ne contient pas de fonction trigonométrique vers la droite. On a:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Divisons les côtés gauche et droit par $-2$ (n'oubliez pas le signe !). Aura:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Encore une fois, nous avons une inégalité que nous ne pouvons pas résoudre à l’aide d’un algorithme. Mais ici il suffit de changer la variable :

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

On obtient une inégalité trigonométrique qui peut être résolue à l'aide de l'algorithme :

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Cette inégalité a été résolue dans l'exemple 1, empruntons donc la réponse à partir de là :

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Cependant, la décision n’est pas encore prise. Nous devons revenir à la variable d'origine.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Imaginons l'intervalle comme un système :

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$

Sur le côté gauche du système se trouve une expression ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), qui appartient à l'intervalle. La limite gauche de l’intervalle est responsable de la première inégalité et la limite droite est responsable de la seconde. De plus, les parenthèses jouent un rôle important : si la parenthèse est carrée, alors l'inégalité sera relâchée, et si elle est ronde, alors elle sera stricte. notre tâche est d'obtenir $x$ sur la gauche dans les deux inégalités.

Déplaçons $\frac(\pi)(6)$ du côté gauche vers le côté droit, nous obtenons :

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.

En simplifiant, nous avons :

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(tableau) \right.$

En multipliant les côtés gauche et droit par 4$, on obtient :

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

En assemblant le système dans l'intervalle, nous obtenons la réponse :

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

1. Si l’argument est complexe (différent de X), puis remplacez-le par t.

2. Nous construisons dans un seul plan de coordonnées jouet graphiques de fonctions y=coût Et y=a.

3. Nous trouvons tel deux points adjacents d'intersection de graphiques, entre lequel se trouve au-dessus de la droite y=a. On retrouve les abscisses de ces points.

4. Écrivez une double inégalité pour l'argument t, en tenant compte de la période cosinus ( t sera entre les abscisses trouvées).

5. Effectuez une substitution inverse (retour à l'argument d'origine) et exprimez la valeur Xà partir de la double inégalité, on écrit la réponse sous la forme d'un intervalle numérique.

Exemple 1.

Ensuite, selon l'algorithme, nous déterminons les valeurs de l'argument t, où se trouve la sinusoïde plus haut droit. Écrivons ces valeurs comme une double inégalité, en tenant compte de la périodicité de la fonction cosinus, puis revenons à l'argument d'origine X.

Exemple 2.

Sélection d'une plage de valeurs t, dans lequel la sinusoïde est au-dessus de la ligne droite.

On écrit les valeurs sous forme de double inégalité t, satisfaisant la condition. N'oubliez pas que la plus petite période de la fonction y=coûtéquivaut à 2π. Revenir à la variable X, simplifiant progressivement toutes les parties de la double inégalité.

Nous écrivons la réponse sous la forme d’un intervalle numérique fermé, puisque l’inégalité n’est pas stricte.

Exemple 3.

Nous nous intéresserons à la plage de valeurs t, auquel les points de la sinusoïde se situeront au-dessus de la ligne droite.

Valeurs técrivez-le sous la forme d'une double inégalité, réécrivez les mêmes valeurs pour 2x et exprimer X. Écrivons la réponse sous la forme d'un intervalle numérique.

Et encore formule coût>a.

Si coût>un, (-1≤UN≤1), alors - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Appliquez des formules pour résoudre les inégalités trigonométriques et vous gagnerez du temps sur les tests d'examen.

Et maintenant formule , que vous devez utiliser lors de l'UNT ou de l'examen d'État unifié lors de la résolution d'une inégalité trigonométrique de la forme coût

Si coût , (-1≤UN≤1), alors arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Appliquez cette formule pour résoudre les inégalités évoquées dans cet article, et vous obtiendrez la réponse beaucoup plus rapidement et sans aucun graphique !

Compte tenu de la périodicité de la fonction sinus, on écrit une double inégalité pour les valeurs de l'argument t, satisfaisant la dernière inégalité. Revenons à la variable d'origine. Transformons la double inégalité résultante et exprimons la variable X.Écrivons la réponse sous la forme d'un intervalle.

Résolvons la deuxième inégalité :

Lors de la résolution de la deuxième inégalité, nous avons dû transformer le côté gauche de cette inégalité en utilisant la formule sinusoïdale à double argument pour obtenir une inégalité de la forme : sint≥a. Ensuite, nous avons suivi l'algorithme.

On résout la troisième inégalité :

Chers diplômés et candidats ! Gardez à l'esprit que les méthodes de résolution des inégalités trigonométriques, telles que la méthode graphique donnée ci-dessus et, que vous connaissez probablement, la méthode de résolution à l'aide d'un cercle trigonométrique unitaire (cercle trigonométrique), ne sont applicables que dans les premières étapes de l'étude de la section de trigonométrie. «Résoudre des équations trigonométriques et des inégalités.» Je pense que vous vous souviendrez que vous avez d'abord résolu les équations trigonométriques les plus simples à l'aide de graphiques ou d'un cercle. Cependant, vous ne penseriez plus à résoudre des équations trigonométriques de cette façon. Comment les résoudre ? C'est vrai, selon les formules. Les inégalités trigonométriques doivent donc être résolues à l'aide de formules, en particulier lors des tests, lorsque chaque minute est précieuse. Alors, résolvez les trois inégalités de cette leçon en utilisant la formule appropriée.

Si sint>a, où -1≤ un≤1, alors arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Apprenez les formules !

Et enfin : saviez-vous que les mathématiques, ce sont des définitions, des règles et des FORMULES ?!

Bien sûr, vous le faites! Et les plus curieux, après avoir étudié cet article et regardé la vidéo, se sont exclamés : « Comme c'est long et difficile ! Existe-t-il une formule qui vous permet de résoudre de telles inégalités sans graphiques ni cercles ? » Oui, bien sûr !

POUR RÉSOUDRE LES INÉGALITÉS DE LA FORME : péché (-1≤UN≤1) la formule est valable :

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Appliquez-le aux exemples discutés et vous obtiendrez la réponse beaucoup plus rapidement !

Conclusion: APPRENEZ LES FORMULES, LES AMIS !

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Au cours de la leçon pratique, nous répéterons les principaux types de tâches du thème « Trigonométrie », analyserons en outre des problèmes de complexité accrue et considérerons des exemples de résolution de diverses inégalités trigonométriques et de leurs systèmes.

Cette leçon vous aidera à vous préparer à l'un des types de tâches B5, B7, C1 et C3.

Commençons par passer en revue les principaux types de tâches que nous avons abordées dans le sujet « Trigonométrie » et résolvons plusieurs problèmes non standard.

Tâche n°1. Convertir les angles en radians et degrés : a) ; b) .

a) Utilisons la formule pour convertir les degrés en radians

Remplaçons-y la valeur spécifiée.

b) Appliquer la formule de conversion des radians en degrés

Effectuons la substitution .

Répondre. UN) ; b) .

Tâche n°2. Calculer : a) ; b) .

a) Puisque l'angle dépasse largement le tableau, nous allons le réduire en soustrayant la période sinusoïdale. Parce que L'angle est indiqué en radians, on considérera alors la période comme .

b) Dans ce cas, la situation est similaire. Puisque l’angle est indiqué en degrés, nous considérerons la période de la tangente comme .

L'angle résultant, bien que plus petit que la période, est plus grand, ce qui signifie qu'il ne se réfère plus à la partie principale, mais à la partie étendue du tableau. Afin de ne pas entraîner une nouvelle fois votre mémoire en mémorisant le tableau étendu des valeurs trigofonctionnelles, soustrayons à nouveau la période tangente :

Nous avons profité de la bizarrerie de la fonction tangente.

Répondre. une) 1 ; b) .

Tâche n°3. Calculer , Si .

Réduisons l'expression entière aux tangentes en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction par . En même temps, nous ne pouvons pas avoir peur, car dans ce cas, la valeur tangente n’existerait pas.

Tâche n°4. Simplifiez l'expression.

Les expressions spécifiées sont converties à l'aide de formules de réduction. Ils sont tout simplement inhabituellement écrits en utilisant des diplômes. La première expression représente généralement un nombre. Simplifions toutes les trigofonctions une à une :

Parce que , alors la fonction se transforme en cofonction, c'est-à-dire à la cotangente, et l'angle tombe dans le deuxième quart, dans lequel la tangente d'origine a un signe négatif.

Pour les mêmes raisons que dans l’expression précédente, la fonction se transforme en cofonction, c’est-à-dire à la cotangente, et l'angle tombe dans le premier quart, dans lequel la tangente d'origine a un signe positif.

Remplaçons le tout par une expression simplifiée :

Problème n°5. Simplifiez l'expression.

Écrivons la tangente du double angle en utilisant la formule appropriée et simplifions l'expression :

La dernière identité est l'une des formules universelles de remplacement du cosinus.

Problème n°6. Calculer.

L'essentiel est de ne pas commettre l'erreur standard et de ne pas donner la réponse selon laquelle l'expression est égale à . Vous ne pouvez pas utiliser la propriété de base de l’arctangente tant qu’il y a un facteur sous la forme de deux à côté d’elle. Pour s'en débarrasser, nous écrirons l'expression selon la formule de la tangente d'un angle double, en traitant , comme un argument ordinaire.

Nous pouvons maintenant appliquer la propriété de base de l’arctangente ; rappelez-vous qu’il n’y a aucune restriction sur son résultat numérique.

Problème n°7. Résous l'équation.

Lors de la résolution d'une équation fractionnaire égale à zéro, il est toujours indiqué que le numérateur est égal à zéro, mais pas le dénominateur, car Vous ne pouvez pas diviser par zéro.

La première équation est un cas particulier de l’équation la plus simple pouvant être résolue à l’aide d’un cercle trigonométrique. Rappelez-vous vous-même cette solution. La deuxième inégalité est résolue comme l'équation la plus simple en utilisant la formule générale des racines de la tangente, mais uniquement avec le signe différent.

Comme nous le voyons, une famille de racines exclut une autre famille exactement du même type de racines qui ne satisfait pas à l’équation. Ceux. pas de racines.

Répondre. Il n'y a pas de racines.

Problème n°8. Résous l'équation.

Notons tout de suite qu'on peut retirer le facteur commun et faisons-le :

L'équation a été réduite à l'une des formes standard, où le produit de plusieurs facteurs est égal à zéro. On sait déjà que dans ce cas, soit l'un d'eux est égal à zéro, soit l'autre, soit le troisième. Écrivons cela sous la forme d'un ensemble d'équations :

Les deux premières équations sont des cas particuliers des plus simples ; nous avons déjà rencontré plusieurs fois des équations similaires, nous indiquerons donc immédiatement leurs solutions. Nous réduisons la troisième équation à une fonction en utilisant la formule du sinus à double angle.

Résolvons la dernière équation séparément :

Cette équation n'a pas de racines, car la valeur sinusoïdale ne peut pas dépasser .

Ainsi, la solution n'est que les deux premières familles de racines ; elles peuvent être combinées en une seule, ce qui est facile à montrer sur le cercle trigonométrique :

Il s'agit d'une famille composée de toutes les moitiés, c'est-à-dire

Passons à la résolution des inégalités trigonométriques. Tout d'abord, nous analyserons l'approche pour résoudre l'exemple sans utiliser de formules de solutions générales, mais en utilisant le cercle trigonométrique.

Problème n°9. Résoudre les inégalités.

Traçons une ligne auxiliaire sur le cercle trigonométrique correspondant à une valeur sinusoïdale égale à , et montrons la plage d'angles qui satisfont l'inégalité.

Il est très important de comprendre exactement comment indiquer l'intervalle d'angles résultant, c'est-à-dire quel est son début et quelle est sa fin. Le début de l'intervalle sera l'angle correspondant au point que l'on entrera au tout début de l'intervalle si l'on se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dans notre cas, c'est le point qui se trouve à gauche, car en nous déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et en passant par le bon point, nous quittons au contraire la plage d'angles requise. Le bon point correspondra donc à la fin de l’écart.

Nous devons maintenant comprendre les angles du début et de la fin de notre intervalle de solutions à l’inégalité. Une erreur typique est d'indiquer immédiatement que le point droit correspond à l'angle, celui de gauche et de donner la réponse. Ce n'est pas vrai! Attention, nous venons d'indiquer l'intervalle correspondant à la partie supérieure du cercle, même si c'est la partie inférieure qui nous intéresse, autrement dit, nous avons confondu le début et la fin de l'intervalle de solution dont nous avons besoin.

Pour que l'intervalle commence au coin du point droit et se termine au coin du point gauche, il faut que le premier angle spécifié soit inférieur au second. Pour ce faire, nous devrons mesurer l'angle du point droit dans la direction de référence négative, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre et ce sera égal à . Ensuite, en commençant à nous déplacer dans le sens positif des aiguilles d'une montre, nous arriverons au point droit après le point gauche et obtiendrons la valeur de l'angle correspondant. Or le début de l'intervalle des angles est inférieur à la fin, et on peut écrire l'intervalle des solutions sans tenir compte de la période :

Considérant que de tels intervalles seront répétés un nombre infini de fois après tout nombre entier de rotations, on obtient une solution générale prenant en compte la période sinusoïdale :

On met des parenthèses car l'inégalité est stricte, et on repère les points du cercle qui correspondent aux extrémités de l'intervalle.

Comparez la réponse que vous recevez avec la formule de la solution générale que nous avons donnée dans le cours.

Répondre. .

Cette méthode est utile pour comprendre d'où viennent les formules de solutions générales des inégalités trigones les plus simples. De plus, il est utile pour ceux qui sont trop paresseux d’apprendre toutes ces formules encombrantes. Cependant, la méthode elle-même n'est pas non plus facile ; choisissez l'approche de solution qui vous convient le mieux.

Pour résoudre les inégalités trigonométriques, vous pouvez également utiliser des graphiques de fonctions sur lesquels une ligne auxiliaire est construite, similaire à la méthode illustrée à l'aide d'un cercle unité. Si vous êtes intéressé, essayez de trouver vous-même cette approche de la solution. Dans ce qui suit, nous utiliserons des formules générales pour résoudre des inégalités trigonométriques simples.

Problème n°10. Résoudre les inégalités.

Utilisons la formule de la solution générale, en tenant compte du fait que l'inégalité n'est pas stricte :

Dans notre cas nous obtenons :

Répondre.

Problème n°11. Résoudre les inégalités.

Utilisons la formule générale de solution pour l'inégalité strictement correspondante :

Répondre. .

Problème n°12. Résoudre les inégalités : a) ; b) .

Dans ces inégalités, il n'est pas nécessaire de se précipiter pour utiliser des formules de solutions générales ou le cercle trigonométrique ; il suffit de mémoriser simplement la plage de valeurs du sinus et du cosinus.

a) Depuis , alors l’inégalité n’a pas de sens. Il n’y a donc pas de solutions.

b) Parce que de même, le sinus de tout argument satisfait toujours à l'inégalité spécifiée dans la condition. Par conséquent, toutes les valeurs réelles de l'argument satisfont à l'inégalité.

Répondre. a) il n'y a pas de solutions ; b) .

Problème 13. Résoudre les inégalités .