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Le choix des éditeurs:

Dans cet article, je vais vous montrer algorithmes pour résoudre sept types d'équations rationnelles, qui sont réduits au carré au moyen d'un changement de variables. Dans la plupart des cas, les transformations qui conduisent au remplacement sont très peu triviales et il est assez difficile de les deviner par vous-même.

Pour chaque type d'équation, j'expliquerai comment y modifier une variable, puis je montrerai une solution détaillée dans le didacticiel vidéo correspondant.

Vous avez la possibilité de continuer à résoudre les équations vous-même, puis de comparer votre solution au didacticiel vidéo.

Alors, commençons.

1 ... (x-1) (x-7) (x-4) (x + 2) = 40

Notez qu'il y a un produit de quatre parenthèses sur le côté gauche de l'équation, et un nombre sur la droite.

1. Regroupons les parenthèses par deux pour que la somme des termes libres soit la même.

2. Multiplions-les.

3. On introduit un changement de variable.

Dans notre équation, nous regroupons la première parenthèse avec la troisième, et la deuxième avec la quatrième, puisque (-1) + (- 4) = (- 7) +2 :

À ce stade, le remplacement de la variable devient évident :

On obtient l'équation

Réponse:

2 .

Une équation de ce type est similaire à la précédente à une différence près : à droite de l'équation se trouve le produit d'un nombre par. Et cela se résout d'une manière complètement différente :

1. On regroupe les parenthèses par deux pour que le produit des termes libres soit le même.

2. Multipliez chaque paire de parenthèses.

3. De chaque facteur, nous retirons x de la parenthèse.

4. Divisez les deux côtés de l'équation par.

5. Introduire le remplacement variable.

Dans cette équation, on regroupe la première tranche avec la quatrième, et la seconde avec la troisième, puisque :

Notez que dans chaque parenthèse le coefficient à et le terme libre sont les mêmes. Retirez un facteur de chaque parenthèse :

Puisque x = 0 n'est pas une racine de l'équation d'origine, nous divisons les deux côtés de l'équation par. On a:

On obtient l'équation :

Réponse:

3 .

Notez que les dénominateurs des deux fractions contiennent trinômes carrés, dans laquelle le coefficient dominant et le terme libre sont les mêmes. Retirons, comme dans l'équation du second type, x hors de la parenthèse. On a:

Divisez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par x :

Nous pouvons maintenant introduire le remplacement de variable :

On obtient l'équation de la variable t :

4 .

Notez que les coefficients de l'équation sont symétriques par rapport à celui central. Une telle équation s'appelle consigné .

Pour le résoudre

1. Divisez les deux membres de l'équation par (Nous pouvons le faire, puisque x = 0 n'est pas la racine de l'équation.) Nous obtenons :

2. Regroupons les termes ainsi :

3. Dans chaque groupe, on retire le facteur commun :

4. Introduisons un remplacement :

5. Exprimons par t l'expression :

D'ici

On obtient l'équation pour t :

Réponse:

5. Équations homogènes.

Des équations qui ont une structure homogène peuvent être rencontrées lors de la résolution d'équations exponentielles, logarithmiques et équations trigonométriques il faut donc pouvoir le reconnaître.

Les équations homogènes ont la structure suivante :

Dans cette égalité, A, B et C sont des nombres, et les mêmes expressions sont désignées par un carré et un cercle. C'est-à-dire que du côté gauche de l'équation homogène se trouve la somme des monômes de même degré (en dans ce cas le degré des monômes est 2), et il n'y a pas de terme libre.

Pour résoudre l'équation homogène, on divise les deux membres par

Attention! En divisant les côtés droit et gauche de l'équation par une expression contenant l'inconnue, vous pouvez perdre des racines. Par conséquent, il est nécessaire de vérifier si les racines de l'expression par laquelle nous divisons les deux côtés de l'équation ne sont pas les racines de l'équation d'origine.

Allons par le premier. On obtient l'équation :

Maintenant, nous introduisons le remplacement de variable :

Simplifions l'expression et obtenons bi équation quadratique par rapport à t :

Réponse: ou

7 .

Cette équation a la structure suivante :

Pour le résoudre, vous devez sélectionner un carré complet sur le côté gauche de l'équation.

Pour sélectionner un carré complet, vous devez ajouter ou soustraire un travail satisfaisant. On obtient alors le carré de la somme ou de la différence. Ceci est crucial pour un remplacement de variable réussi.

Commençons par trouver le produit doublé. Ce sera la clé pour remplacer la variable. Dans notre équation, deux fois le produit est

Estimons maintenant ce qu'il est plus pratique pour nous d'avoir - le carré de la somme ou de la différence. Considérons d'abord la somme des expressions :

Amende! cette expression est exactement égale à deux fois le produit. Ensuite, pour obtenir le carré de la somme entre parenthèses, vous devez ajouter et soustraire le produit doublé :

En termes simples, ce sont des équations dans lesquelles il y en a au moins une avec une variable au dénominateur.

Par exemple:

\ (\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \) \ (= 0 \)
\ (\ frac (1) (2x) + \ frac (x) (x + 1) = \ frac (1) (2) \)
\ (\ frac (6) (x + 1) = \ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \)

Exemple ne paséquations rationnelles fractionnaires :

\ (\ frac (9x ^ 2-1) (3) \) \ (= 0 \)
\ (\ frac (x) (2) \) \ (+ 8x ^ 2 = 6 \)

Comment les équations rationnelles fractionnaires sont-elles résolues ?

La principale chose à retenir à propos des équations rationnelles fractionnaires est d'y écrire. Et après avoir trouvé les racines, assurez-vous de vérifier leur admissibilité. Sinon, des racines étrangères peuvent apparaître et toute la décision sera considérée comme incorrecte.

Algorithme pour résoudre une équation fractionnaire-rationnelle :

Écrivez et « résolvez » le DHS.

Multipliez chaque terme de l'équation par dénominateur commun et réduire les fractions résultantes. Dans ce cas, les dénominateurs disparaîtront.

Notez l'équation sans ouvrir les parenthèses.

Résoudre l'équation résultante.

Vérifiez les racines trouvées avec ODZ.

Notez en réponse les racines qui ont réussi le contrôle à l'étape 7.

Ne mémorisez pas l'algorithme, 3 à 5 équations résolues - et il se souviendra de lui-même.

Exemple ... Résoudre l'équation rationnelle fractionnaire \ (\ frac (x) (x-2) - \ frac (7) (x + 2) = \ frac (8) (x ^ 2-4) \)

Solution:

Réponse: \(3\).

Exemple ... Trouver les racines de l'équation rationnelle fractionnaire \ (= 0 \)

Solution:

\ (\ frac (x) (x + 2) + \ frac (x + 1) (x + 5) - \ frac (7-x) (x ^ 2 + 7x + 10) \)\(=0\) ODZ : \ (x + 2 0⇔x ≠ -2 \) \ (x + 5 0 ⇔x ≠ -5 \) \ (x ^ 2 + 7x + 10 0 \) \ (D = 49-4 \ cdot 10 = 9 \) \ (x_1 \ frac (-7 + 3) (2) = - 2 \) \ (x_2 \ frac (-7-3) (2) = - 5 \)		Nous écrivons et « résolvons » l'ODZ. Développez \ (x ^ 2 + 7x + 10 \) par la formule : \ (ax ^ 2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2) \). Heureusement, nous avons déjà trouvé \ (x_1 \) et \ (x_2 \).
\ (\ frac (x) (x + 2) + \ frac (x + 1) (x + 5) - \ frac (7-x) ((x + 2) (x + 5)) \)\(=0\)		Évidemment, le dénominateur commun des fractions est \ ((x + 2) (x + 5) \). Nous multiplions l'équation entière par elle.
\ (\ frac (x (x + 2) (x + 5)) (x + 2) + \ frac ((x + 1) (x + 2) (x + 5)) (x + 5) - \) \ (- \ frac ((7-x) (x + 2) (x + 5)) ((x + 2) (x + 5)) \)\(=0\)		Réduire les fractions
\ (x (x + 5) + (x + 1) (x + 2) -7 + x = 0 \)		Élargir les parenthèses
\ (x ^ 2 + 5x + x ^ 2 + 3x + 2-7 + x = 0 \)		Nous donnons termes similaires
\ (2x ^ 2 + 9x-5 = 0 \)		Trouver les racines de l'équation
\ (x_1 = -5; \) \ (x_2 = \ frac (1) (2). \)		L'une des racines ne correspond pas à l'ODZ, nous n'écrivons donc que la deuxième racine en réponse.

Réponse: \ (\ frac (1) (2) \).

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires;
envisager diverses façons de résoudre des équations rationnelles fractionnaires ;
envisager un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, y compris la condition d'égalité de la fraction à zéro ;
enseigner la solution d'équations rationnelles fractionnaires par l'algorithme ;
vérifier le niveau de maîtrise du sujet en effectuant des travaux de test.

Développement:

développement de la capacité à fonctionner correctement avec les connaissances acquises, à penser logiquement;
développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation;
développement de l'initiative, capacité à prendre des décisions, ne vous arrêtez pas là;
développement de la pensée critique;
développement des compétences de recherche.

Éducatif:

éducation d'intérêt cognitif dans le sujet;
favoriser l'indépendance dans la résolution Objectifs d'apprentissage;
favoriser la volonté et la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de cours: leçon - explication du nouveau matériel.

Pendant les cours

1. Moment d'organisation.

Bonjour gars! Les équations sont écrites au tableau, regardez-les attentivement. Pouvez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons apprendre en leçon aujourd'hui? Formulez le sujet de la leçon. Alors, nous ouvrons des cahiers et écrivons le sujet de la leçon "Résoudre des équations rationnelles fractionnaires".

2. Actualisation des connaissances. Sondage frontal, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique dont nous avons besoin pour étudier un nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:

Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec Variable ou Variables.)
Quel est le nom de l'équation n°1 ? ( Linéaire.) Solution équations linéaires. (Déplacez tout avec l'inconnu pour côté gaucheéquations, tous les nombres à droite. Donnez des termes similaires. Trouver un facteur inconnu).
Quel est le nom de l'équation n°3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Allocation d'un carré complet, par des formules, en utilisant le théorème de Vieta et ses conséquences.)
Qu'est-ce que la proportion ? ( Égalité de deux relations.) La propriété principale de la proportion. ( Si la proportion est correcte, alors le produit de ses termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.)
Quelles propriétés sont utilisées pour résoudre des équations ? ( 1. Si dans l'équation pour transférer le terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, alors vous obtenez une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux membres de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre différent de zéro, alors une équation est obtenue qui est équivalente à la donnée.)
Quand est la fraction zéro ? ( La fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et que le dénominateur n'est pas nul.)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l'équation numéro 2 dans des cahiers et au tableau.

Réponse: 10.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en utilisant la propriété principale de la proportion ? (N ° 5).

(x-2) (x-4) = (x + 2) (x + 3)

x 2 -4x-2x + 8 = x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Résolvez l'équation numéro 4 dans des cahiers et au tableau.

Réponse: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en multipliant les deux membres de l'équation par le dénominateur ? (Numéro 6).

x 2 -7x + 12 = 0

D = 1 ›0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Réponse: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l'équation n° 7 de l'une des manières suivantes.


(x 2 -2x-5) x (x-5) = x (x-5) (x + 5)
(x 2 -2x-5) x (x-5) -x (x-5) (x + 5) = 0			x 2 -2x-5 = x + 5
x (x-5) (x 2 -2x-5- (x + 5)) = 0			x 2 -2x-5-x-5 = 0
x (x-5) (x 2 -3x-10) = 0
x = 0 x-5 = 0 x 2 -3x-10 = 0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Réponse: 0;5;-2.			Réponse: 5;-2.

Expliquez pourquoi cela s'est produit? Pourquoi dans un cas il y a trois racines, dans l'autre deux ? Quels nombres sont les racines de cette équation fractionnaire-rationnelle ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré le concept de racine étrangère, il leur est vraiment très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, alors l'enseignant pose des questions suggestives.

En quoi les équations 2 et 4 diffèrent-elles des équations 5, 6, 7 ? ( Dans les équations n ° 2 et 4 au dénominateur du nombre, n ° 5-7 - expressions avec une variable.)
Quelle est la racine d'une équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient une véritable égalité.)
Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors de l'exécution du test, certains élèves remarquent qu'ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui éliminerait cette erreur ? Oui, cette méthode est basée sur la condition que la fraction soit égale à zéro.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Si x = 5, alors x (x-5) = 0, alors 5 est une racine étrangère.

Si x = -2, alors x (x-5) 0.

Réponse: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants formulent eux-mêmes l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

Déplacez tout vers la gauche.
Amener les fractions à un dénominateur commun.
Faites un système : la fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et le dénominateur n'est pas nul.
Résous l'équation.
Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines étrangères.
Enregistrez votre réponse.

Discussion : comment formaliser la solution si l'on utilise la propriété principale de proportion et la multiplication des deux membres de l'équation par un dénominateur commun. (Complétez la solution : excluez de ses racines celles qui font le dénominateur commun nul).

4. Compréhension primaire du nouveau matériel.

Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent comment résoudre l'équation indépendamment, selon le type d'équation. Tâches du manuel "Algèbre 8", Yu.N. Makarychev, 2007 : n° 600 (b, c, i) ; N° 601 (a, e, g). L'enseignant contrôle la mise en œuvre du devoir, répond aux questions qui se posent et apporte son aide aux élèves les moins performants. Auto-test : les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 - racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 - racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12,5.

g) Réponse : 1 ; 1.5.

5. Énoncé des devoirs.

Lisez le paragraphe 25 du manuel, analysez les exemples 1-3.
Apprenez un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires.
Résoudre dans les cahiers n° 600 (a, d, e) ; N° 601 (g, h).
Essayez de résoudre # 696 (a) (facultatif).

6. Accomplissement d'une tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail se fait sur des bouts de papier.

Exemple de poste :

A) Lesquelles des équations sont rationnelles fractionnaires ?

B) La fraction est zéro lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est _________________________.

Q) Est-ce que -3 est la racine de l'équation # 6 ?

D) Résoudre l'équation n° 7.

Critères d'évaluation de la mission :

« 5 » est mis si l'élève a terminé correctement plus de 90 % de la tâche.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
« 2 » est attribué à un étudiant qui a terminé moins de 50 % du travail.
Un score de 2 n'est pas inscrit dans le journal, 3 est facultatif.

7. Réflexion.

Sur les morceaux de papier avec l'auto-apprentissage, mettez:

1 - si dans la leçon c'était intéressant et compréhensible pour vous ;
2 - intéressant, mais pas clair ;
3 - pas intéressant, mais compréhensible;
4 - pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Ainsi, aujourd'hui, dans la leçon, nous avons rencontré des équations rationnelles fractionnaires, appris à résoudre ces équations différentes façons, ont testé leurs connaissances à l'aide de la formation travail indépendant... Vous apprendrez les résultats du travail indépendant dans la prochaine leçon, à la maison, vous aurez l'occasion de consolider les connaissances acquises.

Quelle méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, à votre avis, est plus facile, accessible, rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que faut-il garder à l'esprit ? Qu'est-ce que le « caractère insidieux » des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, la leçon est terminée.

"Résoudre des équations rationnelles fractionnaires"

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires; envisager diverses façons de résoudre des équations rationnelles fractionnaires ; envisager un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, y compris la condition d'égalité de la fraction à zéro ; enseigner la solution d'équations rationnelles fractionnaires par l'algorithme ; vérifier le niveau de maîtrise du sujet en effectuant des travaux de test.

Développement:

développement de la capacité à fonctionner correctement avec les connaissances acquises, à penser logiquement; développement des compétences intellectuelles et des opérations mentales - analyse, synthèse, comparaison et généralisation; développement de l'initiative, capacité à prendre des décisions, ne vous arrêtez pas là; développement de la pensée critique; développement des compétences de recherche.

Éducatif:

éducation d'intérêt cognitif dans le sujet; favoriser l'indépendance dans la résolution de problèmes éducatifs; favoriser la volonté et la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de cours: leçon - explication du nouveau matériel.

Pendant les cours

1. Moment d'organisation.

Bonjour gars! Les équations sont écrites au tableau, regardez-les attentivement. Pouvez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

2. Actualisation des connaissances. Sondage frontal, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique dont nous avons besoin pour étudier un nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:

1. Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec Variable ou Variables.)

2. Quel est le nom de l'équation #1 ? ( Linéaire.) Une méthode pour résoudre des équations linéaires. ( Déplacez tout avec l'inconnu à gauche de l'équation, tous les nombres à droite. Donnez des termes similaires. Trouver un facteur inconnu).

3. Quel est le nom de l'équation n° 3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Allocation d'un carré complet, par des formules, en utilisant le théorème de Vieta et ses conséquences.)

4. Qu'est-ce que la proportion ? ( Égalité de deux relations.) La propriété principale de la proportion. ( Si la proportion est correcte, alors le produit de ses termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.)

5. Quelles propriétés sont utilisées pour résoudre des équations ? ( 1. Si dans l'équation pour transférer le terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, alors vous obtenez une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux membres de l'équation sont multipliés ou divisés par le même nombre différent de zéro, alors une équation est obtenue qui est équivalente à la donnée.)

6. Quand est la fraction zéro ? ( La fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et que le dénominateur n'est pas nul.)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l'équation numéro 2 dans des cahiers et au tableau.

Réponse: 10.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en utilisant la propriété principale de la proportion ? (N ° 5).

(x-2) (x-4) = (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 = x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Résolvez l'équation numéro 4 dans des cahiers et au tableau.

Réponse: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire peux-tu essayer de résoudre en multipliant les deux membres de l'équation par le dénominateur ? (Numéro 6).

D = 1 ›0, x1 = 3, x2 = 4.

Réponse: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l'équation n° 7 de l'une des manières suivantes.


(x2-2x-5) x (x-5) = x (x-5) (x + 5)
(x2-2x-5) x (x-5) -x (x-5) (x + 5) = 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) = 0			x2-2x-5-x-5 = 0
x (x-5) (x2-3x-10) = 0
x = 0 x-5 = 0 x2-3x-10 = 0
x1 = 0 x2 = 5 D = 49

Réponse: 0;5;-2.			Réponse: 5;-2.

Expliquez pourquoi cela s'est produit? Pourquoi dans un cas il y a trois racines, dans l'autre deux ? Quels nombres sont les racines de cette équation fractionnaire-rationnelle ?

Dans les équations n ° 2 et 4 au dénominateur du nombre, n ° 5-7 - expressions avec une variable

La valeur de la variable à laquelle l'équation devient une véritable égalité

Faire un chèque

x2-3x-10 = 0, D = 49, x1 = 5, x2 = -2.

Si x = 5, alors x (x-5) = 0, alors 5 est une racine étrangère.

Si x = -2, alors x (x-5) 0.

Réponse: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants formulent eux-mêmes l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

1. Déplacez tout vers la gauche.

2. Amener les fractions à un dénominateur commun.

3. Composez le système : la fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et que le dénominateur n'est pas nul.

4. Résolvez l'équation.

5. Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines étrangères.

6. Écrivez votre réponse.

4. Compréhension primaire du nouveau matériel.

Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent comment résoudre l'équation indépendamment, selon le type d'équation. Tâches du manuel "Algèbre 8", 2007: № 000 (b, c, i); N° 000 (a, e, g). L'enseignant contrôle la mise en œuvre du devoir, répond aux questions qui se posent et apporte son aide aux élèves les moins performants. Auto-test : les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 - racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 - racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12,5.

g) Réponse : 1 ; 1.5.

5. Énoncé des devoirs.

2. Apprenez l'algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires.

3. Résoudre dans les cahiers n° 000 (a, d, e) ; N° 000 (g, h).

4. Essayez de résoudre le n° 000 (a) (facultatif).

6. Accomplissement d'une tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail se fait sur des bouts de papier.

Exemple de poste :

A) Lesquelles des équations sont rationnelles fractionnaires ?

B) La fraction est zéro lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est _________________________.

Q) Est-ce que -3 est la racine de l'équation # 6 ?

D) Résoudre l'équation n° 7.

Critères d'évaluation de la mission :

« 5 » est mis si l'élève a terminé correctement plus de 90 % de la tâche. « 4 » - 75 % - 89 % « 3 » - 50 % - 74 % « 2 » est attribué à un étudiant qui a terminé moins de 50 % de la tâche. Un score de 2 n'est pas inscrit dans le journal, 3 est facultatif.

7. Réflexion.

Sur les morceaux de papier avec l'auto-apprentissage, mettez:

1 - si dans la leçon c'était intéressant et compréhensible pour vous ; 2 - intéressant, mais pas clair ; 3 - pas intéressant, mais compréhensible; 4 - pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Ainsi, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations de différentes manières, avons testé nos connaissances à l'aide d'un travail éducatif indépendant. Vous apprendrez les résultats du travail indépendant dans la prochaine leçon, à la maison, vous aurez l'occasion de consolider les connaissances acquises.

Merci à tous, la leçon est terminée.

T. Kosyakova,
école n°80, Krasnodar

Résolution d'équations rationnelles quadratiques et fractionnaires contenant des paramètres

Leçon 4

Sujet de la leçon :

Le but de la leçon : pour former la capacité de résoudre des équations fractionnaires-rationnelles contenant des paramètres.

Type de cours : introduction de nouveau matériel.

1. (Verbalement) Résolvez les équations :

Exemple 1... Résous l'équation

Solution.

Trouver des valeurs invalides une:

Réponse. Si si une = – 19 , alors il n'y a pas de racines.

Exemple 2... Résous l'équation

Solution.

Trouver des valeurs de paramètre invalides une :

10 – une = 5, une = 5;

10 – une = une, une = 5.

Réponse. Si une = 5 une № 5 , alors x = 10– une .

Exemple 3... A quelles valeurs du paramètre b l'équation Il a:

a) deux racines ; b) une seule racine ?

Solution.

1) Trouver des valeurs de paramètres invalides b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ou b = 2;
x = 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ou b = – 2.

2) Résoudre l'équation x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x + b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

une)

Exclure les valeurs de paramètre invalides b , on obtient que l'équation a deux racines si b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, mais c'est une valeur de paramètre invalide b ; si b 2 –1=0 , c'est à dire. b=1 ou.

Réponse : a) si b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , puis deux racines ; b) si b=1 ou b = –1 , alors la seule racine.

Travail indépendant

Option 1

Résoudre les équations :

Option 2

Résoudre les équations :

Réponses

EN 1... Et qu'est-ce qui se passerait si une=3 , alors il n'y a pas de racines ; si b) si si une № 2 , alors il n'y a pas de racines.

EN 2. Si une=2 , alors il n'y a pas de racines ; si une=0 , alors il n'y a pas de racines ; si
b) si une=– 1 , alors l'équation perd son sens ; s'il n'y a pas de racines ;
si

Mission à domicile.

Résoudre les équations :

Réponses : a) Si une № –2 , alors x = une ; si une=–2 , alors il n'y a pas de solutions ; b) si une № –2 , alors x = 2; si une=–2 , alors il n'y a pas de solutions ; c) si une=–2 , alors X- n'importe quel nombre sauf 3 ; si une № –2 , alors x = 2; d) si une=–8 , alors il n'y a pas de racines ; si une=2 , alors il n'y a pas de racines ; si

Leçon 5

Sujet de la leçon :"Solution d'équations rationnelles fractionnaires contenant des paramètres."

Objectifs de la leçon:

formation à la résolution d'équations avec une condition non standard;
assimilation consciente par les étudiants des concepts algébriques et des liens entre eux.

Type de cours : systématisation et généralisation.

Contrôle des devoirs.

Exemple 1... Résous l'équation

a) par rapport à x ; b) par rapport à y.

Solution.

a) Trouver des valeurs invalides oui: y = 0, x = y, y 2 = y 2 –2y,

y = 0- valeur de paramètre invalide oui.

Si oui№ 0 , alors x = y – 2; si y = 0, alors l'équation n'a plus de sens.

b) Trouver des valeurs de paramètres invalides X: y = x, 2x – x 2 + x 2 = 0, x = 0- valeur de paramètre invalide X; y (2 + x – y) = 0, y = 0 ou y = 2 + x ;

y = 0 ne satisfait pas à la condition y (y – x)№ 0 .

Réponse : a) si y = 0, alors l'équation perd son sens ; si oui№ 0 , alors x = y – 2; b) si x = 0 X№ 0 , alors y = 2 + x .

Exemple 2... Pour quelles valeurs entières du paramètre a sont les racines de l'équation appartiennent à l'écart

D = (3 une + 2) 2 – 4une(une+ 1) 2 = 9 une 2 + 12une + 4 – 8une 2 – 8une,

D = ( une + 2) 2 .

Si une № 0 ou une № – 1 , alors

Réponse: 5 .

Exemple 3... Trouver relativement X solutions entières d'une équation

Réponse. Si y = 0 alors l'équation n'a pas de sens ; si y = –1, alors X- tout entier différent de zéro ; si y№ 0, y№ - 1, alors il n'y a pas de solutions.

Exemple 4. Résous l'équation avec des paramètres une et b .

Si une№ -b , alors

Réponse. Si un = 0 ou b = 0 , alors l'équation perd son sens ; si une№ 0, b№ 0, a = –b , alors X- tout nombre autre que zéro ; si une№ 0, b№ 0, un№ -B, alors x = –a, x = –b .

Exemple 5... Montrer que pour toute valeur non nulle du paramètre n, l'équation a une seule racine égale à - m .

Solution.

c'est à dire. x = –n, comme requis pour prouver.

Mission à domicile.

1. Trouver des solutions entières de l'équation

2. A quelles valeurs du paramètre c l'équation Il a:
a) deux racines ; b) une seule racine ?

3. Trouvez toutes les racines entières de l'équation si uneô N .

4. Résoudre l'équation 3xy - 5x + 5y = 7 : a) concernant oui; b) relativement X .

1. L'équation est satisfaite par tout entier égal aux valeurs de x et y, autres que zéro.
2.a) Pour
b) avec ou
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Si alors il n'y a pas de racines ; si
b) si alors il n'y a pas de racines ; si

Test

Option 1

1. Déterminer le type d'équation 7c (c + 3) x 2 + (c – 2) x – 8 = 0 à) c = –3; b) c = 2 ; v) c = 4 .

2. Résous les équations : a) x 2 –bx = 0 ; b) cx 2 –6x + 1 = 0; v)

3. Résoudre l'équation 3x – xy – 2y = 1 :

a) concernant X ;
b) relativement oui .

nx 2 - 26x + n = 0, sachant que le paramètre n ne prend que des valeurs entières.

5. Pour quelles valeurs de b fait l'équation Il a:

a) deux racines ;
b) une seule racine ?

Option 2

1. Déterminer le type d'équation 5c (c + 4) x 2 + (c – 7) x + 7 = 0à) c = –4 ; b) c = 7 ; v) c = 1 .

2. Résous les équations : a) y 2 + cy = 0 ; b) ny 2 –8y + 2 = 0 ; v)

3. Résoudre l'équation 6x – xy + 2y = 5 :

a) concernant X ;
b) relativement oui .

4. Trouvez les racines entières de l'équation nx 2 –22x + 2n = 0, sachant que le paramètre n ne prend que des valeurs entières.

5. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation Il a:

a) deux racines ;
b) une seule racine ?

Réponses

EN 1. 1. a) Équation linéaire ;
b) équation quadratique incomplète ; c) équation quadratique.
2.a) Si b = 0, alors x = 0; si b # 0, alors x = 0, x = b;
b) si cО (9; + ), alors il n'y a pas de racines ;
c) si une=–4 , alors l'équation perd son sens ; si une№ –4 , alors x = - une .
3.a) Si y = 3, alors il n'y a pas de racines ; si);
b) une=–3, une=1.

Des tâches supplémentaires

Résoudre les équations :

Littérature

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. À propos des paramètres depuis le tout début. - Tuteur, n° 2/1991, p. 3-13.
2. Gronshtein P.I., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Les conditions nécessaires dans les problèmes avec les paramètres. - Kvant, n° 11/1991, p. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Résoudre les problèmes contenant des paramètres. Partie 2. - M., Perspective, 1990, p. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Cinq cent quatorze tâches avec paramètres. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetskiy G.A. Tâches avec paramètres. - M., Éducation, 1986.

Lire:

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