Dans la poursuite du sujet "Décision des équations", le matériel de cet article vous présentera des équations carrées.

Considérons tout en détail: l'essence et l'enregistrement de l'équation carrée, définissent les termes concomitants, nous analyserons le schéma de la décision incomplète et équations complètesNous vous familiariserons avec les racines de formule et discriminants, établirons des liens entre les racines et les coefficients, et bien sûr, nous donnons une solution visuelle d'exemples pratiques.

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Équation carrée, ses types

Équation quadratique - c'est l'équation enregistrée comme a · x 2 + b · x + c \u003d 0où X. - variable, a, b et C. - Quelques chiffres, tandis que uNE.pas de zéro.

Souvent équations du second degré Le nom des équations du deuxième degré est également appelé, car l'équation carrée est l'équation algébrique du deuxième degré.

Voyons un exemple définition spécifiée: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0, etc. - Ce sont des équations carrées.

Définition 2.

Chiffres A, B et C. - ce sont les coefficients de l'équation carrée a · x 2 + b · x + c \u003d 0, avec le coefficient UNE. Il s'appelle le premier, ou plus ancien ou le coefficient de X 2, B - le deuxième coefficient, ou le coefficient lorsque X., mais C. Appelez un membre libre.

Par exemple, dans une équation carrée 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Le coefficient de senior est 6, le deuxième coefficient est − 2 et un membre libre est égal − 11 . Faites attention au fait que lorsque les coefficients B.et / ou c sont négatifs, une brève forme d'enregistrement de vue est utilisée. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, mais non 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Nous clarifions également cet aspect: si les coefficients UNE. et / ou B. égal 1 ou alors − 1 , puis une participation explicite à l'enregistrement de l'équation carrée, ils peuvent ne pas être pris, ce qui s'explique par les caractéristiques du compte rendu de ces coefficients numériques. Par exemple, dans une équation carrée Y 2 - Y + 7 \u003d 0 Le coefficient de senior est 1 et le deuxième coefficient est − 1 .

Équations carrées spécifiées et non mariées

Par la valeur du premier coefficient, les équations carrées sont divisées en ci-dessus et non rémunérées.

Définition 3

L'équation carrée réduite - Il s'agit d'une équation carrée où le coefficient plus âgé est égal à 1. Pour d'autres valeurs du coefficient plus ancien, l'équation carrée n'est pas non valide.

Nous donnons des exemples: équations carrées x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 sont présentées dans chacune desquelles le coefficient plus âgé est 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - une équation carrée intégrale, où le premier coefficient est différent de 1 .

Toute équation carrée non passée est possible de convertir en une équation donnée si elle est divisée des deux parties au premier coefficient (transformation équivalente). L'équation transformée aura les mêmes racines que l'équation intelligente spécifiée ou ne pas avoir de racines du tout.

L'examen d'un exemple spécifique nous permettra de démontrer clairement la transition d'une équation intégrale carrée à la personne donnée.

Exemple 1.

L'équation est réglée 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Il est nécessaire de convertir l'équation initiale de la forme ci-dessus.

Décision

Le schéma spécifié ci-dessus est séparé par les deux parties de l'équation initiale sur le coefficient principal 6. Ensuite, nous obtenons: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3Et c'est la même chose que: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 Et plus loin: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. D'ici: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. Ainsi, une équation est considérée comme spécifiée.

Répondre: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

Équations carrées complètes et incomplètes

Se tourner vers la définition de l'équation carrée. Nous avons clarifié que A ≠ 0. Une telle condition est nécessaire à l'équation a · x 2 + b · x + c \u003d 0 C'était exactement carré parce que a \u003d 0 Il est essentiellement converti en Équation linéaire B · x + c \u003d 0.

Dans le cas où les coefficients B. et C.égal à zéro (ce qui est possible, à la fois individuellement et ensemble), l'équation carrée est appelée incomplète.

Définition 4.

Équation carrée incomplète - une telle équation carrée a · x 2 + b · x + c \u003d 0,où au moins un des coefficients B.et C.(ou les deux) est zéro.

Équation complète carrée - une équation carrée dans laquelle tous les coefficients numériques ne sont pas nuls.

Nous nous livrons à la raison pour laquelle les types d'équations carrées sont donnés exactement les noms.

Pour b \u003d 0 équation carrée prend le formulaire A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0que la même chose est que A · x 2 + c \u003d 0. Pour C \u003d 0. L'équation carrée est enregistrée comme A · x 2 + b · x + 0 \u003d 0C'est équivalent a · x 2 + b · x \u003d 0. Pour B \u003d 0. et C \u003d 0. L'équation prendra la vue a · x 2 \u003d 0. Les équations que nous avons reçues sont différentes de l'équation complète carrée en ce que leurs parties gauche ne sont pas contenues ni un composant de la variable X ou d'un membre libre ou à la fois à la fois. En fait, ce fait a été demandé au nom d'un tel type d'équations - incomplète.

Par exemple, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 et - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 sont des équations carrées complètes; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - équations carrées incomplètes.

Décision d'équations carrées incomplètes

La définition ci-dessus permet de distinguer les types suivants d'équations carrées incomplètes:

• a · x 2 \u003d 0, cette équation correspond aux coefficients B \u003d 0. et c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 pour b \u003d 0;
• a · x 2 + b · x \u003d 0 à c \u003d 0.

Considérez la décision de chaque type d'équation carrée incomplète.

Solution de l'équation A · x 2 \u003d 0

Comme mentionné ci-dessus, l'équation correspond aux coefficients B. et C.égal à zéro. L'équation a · x 2 \u003d 0 Il est possible de convertir l'équation à l'équivalent à celui-ci x 2 \u003d 0que nous obtenons, partageant les deux parties de l'équation source du nombre UNE.pas égal à zéro. Fait évident que la racine de l'équation x 2 \u003d 0 Ceci est zéro parce que 0 2 = 0 . Autres racines, cette équation n'a pas, ce qui est expliqué par les propriétés du degré: pour tout nombre p,pas égal à zéro, inégalité fidèle P 2\u003e 0ce qui suit que quand quand P ≠ 0 égalité P 2 \u003d 0ne sera jamais atteint.

Définition 5

Ainsi, pour une équation carrée incomplète A · x 2 \u003d 0 il y a la seule racine x \u003d 0..

Exemple 2.

Par exemple, nous résolvons une équation carrée incomplète - 3 · x 2 \u003d 0. C'est équivalent à l'équation x 2 \u003d 0, sa seule root est x \u003d 0., Alors l'équation initiale a la seule racine - zéro.

En bref, la décision est composée de:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solution de l'équation A · x 2 + c \u003d 0

Sur la file d'attente - la solution d'équations carrées incomplètes, où B \u003d 0, C ≠ 0, c'est-à-dire les équations de la forme A · x 2 + c \u003d 0. Nous transformons cette équation effectuée par une partie de l'équation à une autre, en modifiant le signe à l'opposé et divisant les deux parties de l'équation au nombre, pas égale à zéro:

• transfert C. dans la bonne partie, qui donne l'équation A · x 2 \u003d - C;
• nous divisons les deux parties de l'équation sur UNE., Je reçois à la fin x \u003d - c a.

Nos transformations sont équivalentes, respectivement, l'équation résultante est également équivalente à la source, et ce fait permet de conclure les racines de l'équation. De quoi sert les significations UNE. et C.la valeur de l'expression dépend - C A: il peut avoir un signe moins (disons si A \u003d 1. et C \u003d 2., alors - C A \u003d - 2 1 \u003d - 2) ou un signe plus (par exemple, si A \u003d - 2 et C \u003d 6., alors - C A \u003d - 6 - 2 \u003d 3); ce n'est pas zéro parce que C ≠ 0. Laissez-nous habiter plus en détail dans des situations quand - C A< 0 и - c a > 0 .

Dans le cas où - C a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. L'égalité P 2 \u003d - C A ne peut pas être vraie.

Tout autrement, lorsque - C A\u003e 0: Rappelez la racine carrée, et il sera évident que l'équation X 2 \u003d - C A sera le nombre - C A, depuis - C A 2 \u003d - C A. Il n'est pas difficile de comprendre que le nombre est - c A est également la racine de l'équation x 2 \u003d - C a: en effet, - - C A 2 \u003d - C a.

Autre équation des racines n'aura pas. Nous pouvons le démontrer à l'aide de la méthode Nasty. Pour commencer, définissez les désignations trouvées au-dessus des racines comme x 1 et - x 1.. Je vais suggérer que l'équation x 2 \u003d - c a est aussi racine x 2qui diffère des racines x 1 et - x 1.. Nous savons que, substituant à l'équation à la place X. Ses racines, nous transformons l'équation en une égalité numérique juste.

Pour x 1 et - x 1. Nous écrivons: x 1 2 \u003d - C A, et pour x 2 - x 2 2 \u003d - C a. S'appuyant sur les propriétés des égalités numériques, remplissez une égalité droite d'une autre, ce qui nous donnera: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Utilisez les propriétés des actions avec des chiffres pour réécrire la dernière égalité comme (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. On sait que le travail de deux nombres est zéro puis et seulement si au moins un des chiffres est égal à zéro. De dit qu'il suit que x 1 - x 2 \u003d 0 et / ou x 1 + x 2 \u003d 0que la même chose x 2 \u003d x 1 et / ou x 2 \u003d - x 1. Il y avait une contradiction évidente, car au début, il a été convenu que la racine de l'équation x 2 diffère de x 1 et - x 1.. Ainsi, nous avons prouvé que l'équation n'a pas d'autres racines, à l'exception de X \u003d - C A et X \u003d - - C a.

Nous résumons tout le raisonnement ci-dessus.

Définition 6.

Équation carrée incomplète A · x 2 + c \u003d 0 équivalent à l'équation x 2 \u003d - C A, qui:

• n'aura pas de racines quand - C A< 0 ;
• il y aura deux racines X \u003d - C A et X \u003d - - - C A A avec - C a\u003e 0.

Nous donnons des exemples d'équations de résolution A · x 2 + c \u003d 0.

Exemple 3.

L'équation carrée est spécifiée 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Il est nécessaire de trouver sa décision.

Décision

Nous transférons un membre libre de la partie droite de l'équation, puis l'équation prendra le formulaire 9 · x 2 \u003d - 7.
Nous divisons les deux parties de l'équation obtenue sur 9 , viens à x 2 \u003d - 7 9. Dans la partie droite, nous voyons un numéro avec un signe moins, ce qui signifie: l'équation spécifiée n'a pas de racines. Puis l'équation carrée incomplète d'origine 9 · x 2 + 7 \u003d 0 N'aura pas de racines.

Répondre: l'équation 9 · x 2 + 7 \u003d 0il n'a pas de racines.

Exemple 4.

Il est nécessaire de résoudre l'équation - x 2 + 36 \u003d 0.

Décision

Nous déplacons 36 vers le côté droit: - x 2 \u003d - 36.
Nous avons divisé les deux parties sur − 1 , obtenir x 2 \u003d 36. Dans la partie droite - positifD'ici, nous pouvons conclure que x \u003d 36 ou X \u003d - 36.
Retirez la racine et écrivez le résultat final: une équation carrée incomplète - x 2 + 36 \u003d 0 Il a deux racines x \u003d 6. ou alors x \u003d - 6.

Répondre: x \u003d 6. ou alors x \u003d - 6.

Solution de l'équation A · x 2 + B · x \u003d 0

Nous examinerons le troisième type d'équations carrées incomplètes lorsque C \u003d 0.. Trouver une décision d'une équation carrée incomplète a · x 2 + b · x \u003d 0, Nous utilisons la méthode de décomposition sur les multiplicateurs. Étaler sur des multiplicateurs du polynôme, qui se trouve dans la partie gauche de l'équation, en faisant un multiplicateur général pour les crochets X.. Cette étape permettra de convertir l'équation carrée incomplète d'origine à l'équivalent x · (A · x + b) \u003d 0. Et cette équation, à son tour, équivaut à la totalité des équations x \u003d 0. et A · x + b \u003d 0. L'équation A · x + b \u003d 0 Linéaire et sa racine: x \u003d - B a.

Définition 7.

Ainsi, une équation carrée incomplète a · x 2 + b · x \u003d 0 aura deux racines x \u003d 0. et x \u003d - B a.

Attachez le matériau par un exemple.

Exemple 5.

Il est nécessaire de trouver la solution de l'équation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Décision

Dirigeons X. Pour les supports et obtenir l'équation x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Cette équation est équivalente aux équations x \u003d 0. et 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Maintenant, il est nécessaire de résoudre l'équation linéaire résultante: 2 3 · x \u003d 2 2 7, X \u003d 2 2 7 2 3.

Résoudre brièvement l'équation à écrire de cette façon:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ou 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ou x \u003d 3 3 7

Répondre: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Discriminant, la formule racines de l'équation carrée

Pour trouver une solution d'équations carrées, il existe une formule pour les racines:

Définition 8

x \u003d - b ± d 2 · A Où D \u003d B 2 - 4 · A · C - le soi-disant discriminant d'une équation carrée.

Enregistrement X \u003d - B ± D 2 · A Essentiellement signifie que x 1 \u003d - B + D 2 · A, X 2 \u003d - B - D 2 · A.

Il sera utile de comprendre comment la formule spécifiée a été dérivée et comment l'appliquer.

La sortie des racines de l'équation carrée

Soyons mis au défi de résoudre l'équation carrée a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Effectuer un certain nombre de transformations équivalentes:

• nous avons divisé les deux parties de l'équation pour le nombre uNE.autre que zéro, nous obtenons l'équation carrée réduite: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• nous soulignons la place complète du côté gauche de l'équation reçue:
  x 2 + BA · x + ca \u003d x 2 + 2 · B 2 · A · x + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + ca \u003d x + b 2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA 2 + .
  Après cela, l'équation prendra la forme: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C A \u003d 0;
• maintenant, il est possible de faire le transfert des deux derniers termes au côté droit, en modifiant le signe à l'opposé, après quoi nous obtenons: X + B 2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
• enfin, nous transformons l'expression enregistrée sur le côté droit de la dernière égalité:
  B 2 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Ainsi, nous sommes venus à l'équation X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, équivalente équivalente équivalente a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Nous avons compris la solution de telles équations dans les paragraphes précédents (décision d'équations carrées incomplètes). L'expérience acquise permet de conclure en ce qui concerne les racines de l'équation X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:

• à B 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pour B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0, l'équation a la forme x + B 2 · A 2 \u003d 0, puis x + b 2 · A \u003d 0.

D'où la seule racine X \u003d - B 2 · A est évidente;

• pour B 2 - 4 · A · C 4 · A 2\u003e 0, il sera correct: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 ou X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, identique à X + - B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 ou X \u003d - B 2 · A - B 2 - 4 · · · · · A · C 4 · A 2, I.e. L'équation a deux racines.

Il est possible de conclure que la présence ou l'absence des racines de l'équation X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 (et donc l'équation initiale) dépend du signe de l'expression b 2 - 4 · A · C 4 · A 2, enregistré sur le côté droit. Et le signe de cette expression est défini par le numéro du numérateur (dénominateur 4 · A 2 sera toujours positif), c'est-à-dire un signe d'expression B 2 - 4 · A · C. Cette expression B 2 - 4 · A · C Le nom est le discriminant d'une évacuation carrée et est défini comme sa désignation de la lettre D. Ici, vous pouvez enregistrer l'essence de la valeur discriminante - par sa valeur et que le signe est conclu si l'équation carrée aura des racines valides et, si elle est, quel est le nombre de racines - une ou deux.

Retour à l'équation X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2. Je le réécris à l'aide de la désignation discriminante: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Nous formulerons à nouveau des conclusions:

Définition 9.

• pour RÉ.< 0 L'équation n'a pas de racines valides;
• pour D \u003d 0. L'équation a la seule racine X \u003d - B 2 · A;
• pour D\u003e 0 L'équation a deux racines: X \u003d - B 2 · A + D 4 · A 2 ou X \u003d - B 2 · A-D 4 · A 2. Ces racines basées sur les propriétés des radicaux peuvent être écrites sous la forme: x \u003d - B 2 · A + D 2 · A ou - B 2 · A-D 2 · A. Et lorsque nous révélons les modules et donnons les fractions au dénominateur commun, nous obtenons: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A.

Ainsi, le résultat de notre raisonnement était l'élimination de la formule des racines de l'équation carrée:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, discriminant RÉ. Calculé par formule D \u003d B 2 - 4 · A · C.

Ces formules permettent de discrimination ultérieure pour déterminer les deux racines valides. Lorsque le discriminant est nul, l'utilisation des deux formules donnera la même racine que seule décision équation carrée. Dans le cas où le discriminant est négatif, essayant d'utiliser la formule racine de l'équation carrée, nous ferons face à la nécessité de supprimer racine carrée de nombre négatifCe qui nous conduira au-delà des chiffres réels. Avec un discriminant négatif, l'équation carrée ne sera pas des racines valides, mais une paire de racines de conjugué de manière complète, déterminée par les mêmes formules racines obtenues par nous sont possibles.

Algorithme de résolution d'équations carrées sur des formules racines

Il est possible de résoudre l'équation carrée, en cycliste immédiatement la formule des racines, mais essentiellement, elles le font, si nécessaire, trouvent des racines complexes.

Dans la masse principale des cas, il est généralement impliqué pour la recherche de racines non complexes, mais valides de l'équation carrée. Ensuite, de manière optimale avant d'utiliser les formules des racines de l'équation carrée, déterminez d'abord le discriminant et assurez-vous qu'il n'est pas négatif (sinon, nous concluons que l'équation n'a aucune racine valide), puis procédez à calculer la valeur des racines.

Les arguments ci-dessus offrent la possibilité de formuler un algorithme de résolution d'une équation carrée.

Définition 10.

Résoudre une équation carrée a · x 2 + b · x + c \u003d 0, il est nécessaire:

• selon la formule D \u003d B 2 - 4 · A · C trouver la valeur du discriminant;
• avec D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• à d \u003d 0 trouver la seule racine de l'équation selon la formule X \u003d - B 2 · A;
• pour D\u003e 0, déterminez les deux racines valides de l'équation carrée en fonction de la formule X \u003d - B ± D 2 · A.

Notez que lorsque le discriminant est égal à zéro, vous pouvez utiliser la formule X \u003d - B ± D 2 · A, elle donnera le même résultat que la formule X \u003d - B 2 · A.

Considérer des exemples.

Exemples de solutions d'équations carrées

Nous donnons la solution d'exemples lorsque valeurs différentes discriminant.

Exemple 6.

Il est nécessaire de trouver les racines de l'équation x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Décision

Nous écrivons les coefficients numériques de l'équation carrée: A \u003d 1, B \u003d 2 et C \u003d - 6. Ensuite, nous agissons sur l'algorithme, c'est-à-dire Nous allons procéder à calculer le discriminant, pour lequel nous substituerons les coefficients A, B et C. Dans la formule du discriminant: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Nous avons donc obtenu d\u003e 0, et cela signifie que l'équation initiale aura deux racines valides.
Pour les trouver, nous utilisons la formule racine X \u003d - B ± D 2 · A et, substituant les valeurs correspondantes, nous obtenons: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Nous simplifions l'expression résultante, faisons un multiplicateur pour le panneau racine, suivi de la coupe de la fraction:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 ou X \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 ou x \u003d - 1 - 7

Répondre: X \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Exemple 7.

Il est nécessaire de résoudre l'équation carrée - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Décision

Déterminer le discriminant: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Avec cette valeur discriminante, l'équation initiale n'aura qu'une seule racine définie par la formule X \u003d - B 2 · A.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Répondre: x \u003d 3, 5.

Exemple 8.

Il est nécessaire de résoudre l'équation 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0

Décision

Les coefficients numériques de cette équation seront les suivants: A \u003d 5, B \u003d 6 et C \u003d 2. Nous utilisons ces valeurs pour trouver un discriminant: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Le discriminant calculé est négatif, donc l'équation carrée initiale n'a pas de racines valides.

Dans le cas où la tâche consiste à spécifier des racines complexes, appliquez la formule racine, effectuant des actions avec des nombres complexes:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 ou X \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i ou x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Répondre: Il n'y a pas de racines valides; Les racines complexes sont les suivantes: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

DANS programme scolaire Nombre normalement de rechercher des racines complexes, donc si lors de la solution, le discriminant est défini comme négatif, la réponse est immédiatement enregistrée qu'il n'y a pas de racines valides.

Racines de formule pour un second second coefficients

La formule des racines X \u003d - B ± D 2 · A (D \u003d B 2 - 4 · A · C) permet d'obtenir une autre formule, plus compacte, permettant de trouver des solutions d'équations carrées avec un coefficient égal à x (ou avec un coefficient de type 2 · N, par exemple, 2 · 3 ou 14 · LN 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Nous montrons comment cette formule est affichée.

Soyons la tâche de trouver la solution de l'équation carrée A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Nous agissons sur l'algorithme: déterminer le discriminant D \u003d (2 · N) 2 - 4 · A · C \u003d 4 · N 2 - 4 · A · C \u003d 4 · (N 2 - A · C), puis utiliser la Formule racine:

x \u003d - 2 · n ± d 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 4 · N 2 - A · C 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 2 N 2 - A · C 2 · A, X \u003d - N ± N 2 - A · ca.

Laissez l'expression n 2 - A · C être indiquée comme D 1 (parfois d "). Puis la formule des racines de l'équation carrée à l'étude avec le second coefficient 2 · N prendra la forme:

x \u003d - n ± d 1 a, où d 1 \u003d n 2 - a · c.

Il est facile de voir que d \u003d 4 · d 1, ou d 1 \u003d d 4. En d'autres termes, D 1 est un quart du discriminant. Il est évident que le signe d 1 est identique au signe d, ce qui signifie que le signe D 1 peut également servir d'indicateur de la présence ou de l'absence des racines de l'équation carrée.

Définition 11.

Ainsi, pour trouver la solution de l'équation carrée avec le deuxième coefficient 2 · N, il est nécessaire:

• trouver D 1 \u003d N 2 - A · C;
• avec d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pour D 1 \u003d 0, déterminez la seule racine de l'équation en fonction de la formule X \u003d N A;
• pour D 1\u003e 0, déterminez les deux racines valides selon la formule X \u003d N ± D 1 A.

Exemple 9.

Il est nécessaire de résoudre l'équation carrée 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Décision

Le deuxième coefficient de l'équation spécifiée peut être représenté comme 2 · (- 3). Ensuite, réécrivez l'équation carrée spécifiée comme 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, où A \u003d 5, N \u003d - 3 et C \u003d - 32.

Nous calculons la quatrième partie de la discriminante: D 1 \u003d N 2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. La valeur obtenue positivement, cela signifie que l'équation comporte deux racines valides. Nous les définissons en fonction de la formule racine correspondante:

x \u003d - n ± d 1 a, x \u003d - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 ou x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 ou x \u003d - 2

Il serait possible de faire des calculs et de la formule habituelle des racines de l'équation carrée, mais dans ce cas, la solution serait plus encombrante.

Répondre: x \u003d 3 1 5 ou x \u003d - 2.

Simplification de l'espèce d'équations carrées

Parfois, il est possible d'optimiser le type d'équation source, ce qui simplifiera le processus de calcul des racines.

Par exemple, une équation carrée 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 est clairement plus pratique pour la résolution de 1200 · x 2 à 400 · x - 700 \u003d 0.

Plus souvent, la simplification de l'espèce de l'équation carrée est effectuée par la multiplication ou la division de ses deux parties dans une sorte de nombre. Par exemple, nous avons montré un enregistrement simplifié de l'équation 1200 · x 2 à 400 · x-700 \u003d 0, obtenue en divisant les deux parties de 100.

Une telle conversion est possible lorsque les coefficients de l'équation carrée ne sont pas mutuels nombres simples. Puis divisant généralement les deux parties de l'équation au plus grand diviseur général valeurs absolues ses coefficients.

Par exemple, utilisez une équation carrée 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Nous définissons le noeud de valeurs absolues de ses coefficients: nœuds (12, 42, 48) \u003d nœud (noeud (12, 42), 48) \u003d nœud (6, 48) \u003d 6. Nous diviserons les deux parties de l'équation carrée d'origine à 6 et nous obtenons l'équation équivalente équation 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

La multiplication des deux parties de l'équation carrée se débarrasse généralement des coefficients fractionnaires. Dans le même temps, multiplié par le plus petit dénominateur général général de ses coefficients. Par exemple, si chaque partie de l'équation carrée 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 se multiplie de la CNO (6, 3, 1) \u003d 6, il sera ensuite enregistré dans plus de vue simple x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Enfin, nous notons que nous remarquons presque toujours les minus au premier coefficient de l'équation carrée, modifiant les signes de chaque membre de l'équation, qui est obtenu en multipliant (ou divisions) des deux parties de 1. Par exemple, d'une équation carrée - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, vous pouvez accéder à sa version simplifiée 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Communication entre les racines et les coefficients

La formule des racines des équations carrées x \u003d - B ± D 2 · A déjà connu de nous exprime les racines de l'équation à travers ses coefficients numériques. S'appuyant sur cette formule, nous avons la possibilité de définir d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les formules du théorème de Vieta sont les plus célèbres et applicables:

x 1 + x 2 \u003d - B a et x 2 \u003d c a.

En particulier, pour l'équation carrée réduite, la quantité des racines est le deuxième coefficient avec en face familieret le produit des racines est égal à un membre libre. Par exemple, selon l'espèce de l'équation carrée 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, il est possible de déterminer immédiatement que la somme de ses racines est de 7 3, et le produit des racines est 22 3.

Vous pouvez également trouver un certain nombre d'autres liens entre les racines et les coefficients de l'équation carrée. Par exemple, la somme des carrés des racines de l'équation carrée peut être exprimée à travers les coefficients:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - BA 2 - 2 · CA \u003d B 2 A 2 - 2 · CA \u003d B 2 - 2 · A · CA 2.

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Une équation carrée incomplète diffère des équations classiques (complètes) par le fait que ses multiplicateurs ou ses membres libres sont nuls. Le graphique de ces fonctions est parabole. Selon la forme générale, ils sont divisés en 3 groupes. Les principes des solutions pour tous les types d'équations sont les mêmes.

Il n'y a rien de difficile dans la détermination du type de polynôme incomplète. Considérez les principales différences de mieux sur les exemples visuels:

1. Si b \u003d 0, l'équation a une forme AX 2 + C \u003d 0.
2. Si c \u003d 0, l'expression AX 2 + BX \u003d 0 suit.
3. Si b \u003d 0 et c \u003d 0, le polynôme se transforme en égalité de type AX 2 \u003d 0.

Ce dernier cas est plutôt une possibilité théorique et ne se produit jamais dans les tâches de vérifier la connaissance, car la seule valeur correcte de la variable X dans l'expression est nulle. À l'avenir, les méthodes et les exemples de résolution des équations carrées incomplètes 1) et 2) d'espèces seront considérées.

Algorithme de recherche de variable générale et exemples avec solutions

Ne dépendez pas de la variété de l'équation, l'algorithme de solution est réduite aux étapes suivantes:

1. Créez une expression à un poste de recherche de Royaume.
2. Calculer.
3. Enregistrer la réponse.

Les équations incomplètes décidées sont le moyen le plus simple de se décomposer sur des multiplicateurs partie gauche Et laissant zéro dans la droite. Ainsi, la formule d'une équation carrée incomplète pour la recherche racine est réduite au calcul de la valeur X pour chacun des multiplicateurs.

Vous pouvez apprendre à résoudre des méthodes uniquement dans la pratique, alors considérez-vous exemple spécifique Trouver les racines d'une équation incomplète:

Comme on peut le voir, dans ce cas, b \u003d 0. Nous décomposerons la partie gauche des facteurs et nous obtenons l'expression:

4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

De toute évidence, le travail est zéro lorsque au moins un des multiplicateurs est égal à zéro. Ces exigences correspondent à la valeur de la variable x1 \u003d 0,5 et (ou) x2 \u003d -0.5.

Afin de faire face facilement et rapidement avec la tâche de décomposition carré trois-chaussures Pour les multiplicateurs, vous devriez vous rappeler la formule suivante:

S'il n'y a pas de membre libre d'expression, la tâche est simplifiée à plusieurs reprises. Il suffira que de trouver et de faire ressortir des accolades dénominateur commun. Pour plus de clarté, envisagez un exemple de savoir comment résoudre des équations carrées incomplètes du formulaire AX2 + BX \u003d 0.

Prenons une variable X pour les crochets et obtenez l'expression suivante:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Guidé par la logique, nous concluons que x1 \u003d 0, et x2 \u003d -3.

Solution traditionnelle et équations carrées incomplètes

Que se passera-t-il si appliquer la formule du discriminant et essayez de trouver les racines du polynôme, avec les coefficients d'égale zéro? Prenons l'exemple d'une collection de tâches typiques pour l'examen en mathématiques 2017, en résolvant l'utilisation des formules standard et la méthode de décomposition sur les multiplicateurs.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Calculez la valeur de discriminant: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Il s'avère que le polynôme a deux racines:

Maintenant, résolvant l'équation par décomposition sur des multiplicateurs et comparer les résultats.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Comme on peut le voir, les deux méthodes donnent le même résultat, mais pour résoudre l'équation, la deuxième méthode est beaucoup plus simple et plus rapide.

Théorème de Vieta

Et que faire avec l'aimé Vieta? Est-il possible d'utiliser cette méthode avec trois-mélan incomplets? Essayons de comprendre les aspects d'amener des équations incomplètes à genre classique AX2 + BX + C \u003d 0.

En fait, appliquer le théorème de la Vieta dans ce cas est possible. Il est seulement nécessaire d'apporter l'expression à l'esprit général, remplaçant les membres manquants avec zéro.

Par exemple, lorsque B \u003d 0 et A \u003d 1, afin d'exclure la probabilité de confusion, vous devez enregistrer la tâche sous la forme suivante: AX2 + 0 + C \u003d 0. Puis le rapport de la quantité et du produit des racines et du produit des racines et Les multiplicateurs du polynôme peuvent être exprimés comme suit:

Les calculs théoriques aident à vous familiariser avec l'essence de la question et nécessitent toujours une compétence pour résoudre tâches spécifiques. Reportez-vous au livre de référence des tâches typiques de l'utilisation et de trouver l'exemple approprié:

Nous écrivons l'expression en pratique pour l'utilisation du formulaire de théorème Vieta:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

La prochaine étape sera un système de conditions:

Évidemment, les racines du polynôme carré seront x 1 \u003d 4 et x 2 \u003d -4.

Maintenant, il pratique de donner l'équation à l'esprit général. Prenez l'exemple suivant: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Afin de postuler à l'expression du théorème de la Vieta, il est nécessaire de se débarrasser de la fraction. Déplacez les parties gauche et droite de 4 et regardez le résultat: X2- 4 \u003d 0. L'égalité obtenue est prête à résoudre le théorème Vieta, mais il est beaucoup plus facile et plus rapide d'obtenir la réponse simplement avec \u003d 4 dans la droite -Partie de l'équation: x2 \u003d 4.

Résumant, il faut dire que meilleur moyen Les décisions d'équations incomplètes sont l'expansion des multiplicateurs, est la plus facile et méthode rapide. Si vous rencontrez des difficultés à trouver les racines, vous pouvez contacter méthode traditionnelle Trouver des racines par discriminant.

Nous travaillerons par S. équations carrées. Ce sont des équations très populaires! Très général L'équation carrée ressemble à ceci:

Par example:

Ici mais =1; b. = 3; c. = -4

Ici mais =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Ici mais =-3; b. = 6; c. = -18

Eh bien, vous avez compris ...

Comment résoudre des équations carrées? Si vous avez une équation carrée sous une telle forme, tout est simple. Rappelles toi mot magique discriminant . Un étudiant lycée rare n'a pas entendu le mot! La phrase «décidera par le discriminant» inculquera la confiance et encourage la confiance. Parce qu'il n'est pas nécessaire d'attendre les astuces du discriminant! C'est simple et sans problème en circulation. Donc, la formule pour trouver les racines de l'équation carrée ressemble à ceci:

Expression sous le signe de la racine - et il y a le même discriminant. Comme vous pouvez le constater, trouver l'ICA, nous utilisons seulement un, b et avec. Ceux. Les coefficients de l'équation carrée. Substituer parfaitement les valeurs a, b et avec Dans cette formule et que nous considérons. Remplacer avec vos signes! Par exemple, pour la première équation mais =1; b. = 3; c. \u003d -4. Ici et écrit:

Un exemple est pratiquement résolu:

C'est tout.

Quels cas sont possibles lorsque vous utilisez cette formule? Total trois cas.

1. Discriminant positif. Cela signifie qu'il est possible d'extraire la racine. Une bonne racine est extraite ou mauvaise - la question est différente. Il est important qu'il soit extrait de principe. Ensuite, votre équation carrée a deux racines. Deux solutions différentes.

2. Le discriminant est zéro. Ensuite, vous avez une solution. Strictement parler, ce n'est pas une racine, mais deux identiques. Mais il joue un rôle dans les inégalités, nous sommes plus détaillés pour étudier la question.

3. Le discriminant est négatif. Du nombre négatif, la racine carrée n'est pas retirée. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solution.

Tout est très simple. Et que pensez-vous qu'il est impossible de faire une erreur? Eh bien, oui, comment ...
Les erreurs les plus courantes - confusion avec des signes de valeurs a, b et avec. Plutôt, pas avec leurs signes (où y est-il confus?), Et avec la substitution de valeurs négatives dans la formule pour calculer les racines. Voici une entrée détaillée de la formule avec des nombres spécifiques. S'il y a des problèmes de calcul, faire!

Supposons que vous ayez besoin de résoudre celui-ci:

Ici a \u003d -6; b \u003d -5; C \u003d -1.

Supposons que vous sachiez que vous avez rarement des réponses dès la première fois.

Eh bien, ne soyez pas paresseux. Écrire une ligne excédentaire prend des secondes 30. et le nombre d'erreurs fortement coupé. Ici, nous écrivons en détail avec tous les crochets et signes:

Il semble incroyablement difficile, de peindre si soigneusement. Mais cela ne semble que. Essayer. Bien, ou choisissez. Qu'est-ce qui est meilleur, rapide ou non? En outre, je vais vous donner un coup de pied. Après un certain temps, il va disparaître si soigneusement pour peindre tout. Elle-même aura raison. Surtout si vous appliquez techniques pratiquesCe qui est décrit juste ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas de minuss sera résolu facilement et sans erreurs!

Donc, comment résoudre des équations carrées À travers le discriminant que nous nous sommes souvenus. Ou appris que c'est aussi bon. Savoir comment définir correctement a, b et avec. Connaissances soigneusement les substituer dans la formule racine et soigneusement compter le résultat. Vous avez compris que le mot clé est ici - soigneusement?

Cependant, les équations carrées ont l'air légèrement différente. Par exemple, comme ceci:

il Équations carrées incomplètes . Ils peuvent également être résolus à travers le discriminant. Il est seulement nécessaire d'imaginer correctement ce qui est égal à a, b et avec.

Corrigée? Dans le premier exemple a \u003d 1; b \u003d 4; mais c.? Il n'y a personne du tout! Eh bien, oui, à droite. En mathématiques, cela signifie que c \u003d 0. ! C'est tout. Nous substituons la formule zéro à la place c, Et tout va arriver. De même, avec le deuxième exemple. Seulement zéro ici ne de, mais b. !

Mais les équations carrées incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus facilement. Sans discriminant. Considérer d'abord équation incomplète. Qu'est-ce qui peut être fait dans le côté gauche? Vous pouvez faire le cas pour les crochets! Sortons.

Et à quoi de là? Et le fait que le travail soit zéro puis, et seulement lorsque certains des multiplicateurs sont égaux à zéro! Ne crois pas? Eh bien, proposez deux nombres non nuls, qui donneront zéro avec multiplier!
Ne marche pas? C'est quelque chose ...
Par conséquent, vous pouvez écrire avec confiance: x \u003d 0., ou alors x \u003d 4.

Tout. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En substituant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons une identité fidèle 0 \u003d 0. Comme vous pouvez le constater, la solution est beaucoup plus simple que la discriminante.

La deuxième équation peut également être résolue simplement. Nous portons 9 à droite. On a:

Il reste la racine à extraire de 9, et c'est tout. Il s'avère:

Aussi deux racines . x \u003d +3 et x \u003d -3.

Donc, toutes les équations carrées incomplètes sont résolues. Soit en faisant l'IKSA pour les supports ou déclencheur simple Les chiffres ont raison avec l'extraction ultérieure de la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas, vous devrez extraire la racine de XCA, ce qui est en quelque sorte ce n'est pas clair et dans le second cas, ce n'est rien pour les crochets ...

Et maintenant, prenez note des techniques pratiques qui réduisent considérablement le nombre d'erreurs. Le plus qu'en raison de l'inattention. ... pour lequel il se passe alors blessé et blessé ...

Réception d'abord. Ne soyez pas paresseux avant de résoudre l'équation carrée pour l'amener à la forme standard. Qu'est-ce que ça veut dire?
Supposons que, après toutes les transformations, vous avez reçu une telle équation:

Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine! Presque probablement, vous confondez les coefficients A, B et S. Construire un exemple correctement. Premièrement, X est sur la place, puis sans carré, puis une bite libre. Comme ça:

Et ne vous précipitez pas! Le moins devant l'IX de la place peut être en bonne santé pour vous contrarier. Oubliez-le facile ... éloignez-vous d'un moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent! Il est nécessaire de multiplier l'équation entière sur -1. On a:

Mais maintenant, vous pouvez enregistrer en toute sécurité la formule pour les racines, considérer le discriminant et l'exemple. Dore toi-même. Vous devez avoir des racines 2 et -1.

Réception deux. Vérifiez les racines! Sur le théorème de Vieta. Ne faites pas peur, je vais tout expliquer! Vérifier dernière chose l'équation. Ceux. Que nous avons enregistré la formule racines. Si (comme dans cet exemple) coefficient a \u003d 1., Vérifiez facilement les racines. Assez pour les multiplier. Il devrait y avoir un membre libre, c'est-à-dire Dans notre cas -2. Note, pas 2, A -2! Dick gratuit avec votre signe . Si cela n'a pas fonctionné, cela signifie quelque part qu'ils ont accumulé. Recherchez une erreur. Si c'est arrivé - il est nécessaire de plier les racines. Dernier et dernier chèque. Doit arriver le coefficient b. de opposé signe. Dans notre cas -1 + 2 \u003d +1. Et coefficient b.qui est devant l'IX, égale à -1. Donc, tout va bien!
Il est dommage qu'il soit si simple d'exemples, où X est propre, avec un coefficient a \u003d 1. Mais au moins vérifier dans de telles équations! Tout moins d'erreurs sera.

Prendre troisième. S'il y a des coefficients fractionnaires dans votre équation, - éloignez-vous des fractions! Multipliez l'équation sur le dénominateur général comme décrit dans la section précédente. Lorsque vous travaillez avec des fractions de l'erreur, pour une raison quelconque et une montée ...

Au fait, j'ai promis un mauvais exemple avec un tas de minus à simplifier. Je vous en prie! C'est ici.

Afin de ne pas être confondu dans les minus, l'équation de -1 est dominante. On a:

C'est tout! Décider - un plaisir!

Donc, résumez le sujet.

Conseil pratique:

1. Avant de résoudre, nous donnons une équation carrée sur la forme standard, la construisant droite.

2. Si un coefficient négatif mérite un coefficient négatif avant X, éliminez sa multiplication de l'équation entière sur -1.

3. Si les coefficients fractionnaires éliminent la fraction en multipliant l'ensemble de l'équation au multiplicateur correspondant.

4. Si X est sur le carré - propre, le coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par le théorème Vieta. Fais-le!

Équations fractionnaires. Impair

Nous continuons à explorer les équations. Nous sommes déjà conscients de la manière de travailler avec des équations linéaires et des carrés. Dernier point de vue est resté - équations fractionnaires. Ou ils sont également appelés beaucoup plus solides - fractionnaire Équations rationnelles . C'est la même chose.

Équations fractionnaires.

Comme clairement du nom, les fractions sont nécessairement présentes dans ces équations. Mais pas seulement une fraction et la Fraraty qui ont inconnu dans le dénominateur. Au moins en un. Par example:

Laissez-moi vous rappeler si dans les dénominateurs seulement nombresCe sont des équations linéaires.

Comment décider équations fractionnaires? Tout d'abord - éloignez-vous des fractions! Après cela, l'équation se transforme la plus souvent en linéaire ou en carré. Et puis nous savons quoi faire ... Dans certains cas, il peut se transformer en identité, tapez 5 \u003d 5 ou une expression incorrecte, tapez 7 \u003d 2. Mais cela arrive rarement. Ci-dessous je parle de ça.

Mais comment se débarrasser des fractions !? Très simple. Appliquer toutes les mêmes conversions d'identité.

Nous devons multiplier toute l'équation de la même expression. Pour que tous les dénominateurs soient calmes! Tout sera plus facile immédiatement. J'explique sur l'exemple. Devons-nous résoudre l'équation:

Comment enseigner B. classe? Nous portons tout dans une direction, conduisons à un dénominateur commun, etc. Oubliez comment un rêve terrible! Donc, vous devez faire lorsque vous pliez ou déduisez des expressions fractionnaires. Ou travailler avec des inégalités. Et dans les équations, nous multiplions immédiatement les deux parties de l'expression qui nous donneront la possibilité de réduire tous les dénominateurs (c'est-à-dire essentiellement sur le dénominateur général). Et quelle est cette expression?

Dans la partie gauche pour réduire le dénominateur, la multiplication est nécessaire pour x + 2. . Et dans la bonne multiplication requise par 2. Ainsi, l'équation doit être multipliée par 2 (x + 2). Multiplier:

C'est la multiplication habituelle des fractions, mais je vais écrire en détail:

Note, je ne révèle toujours pas le support (x + 2)! Donc, je vais écrire entièrement:

Dans le côté gauche est entièrement réduit (x + 2)et à droite 2. Que devait être nécessaire! Après avoir coupé, nous obtenons linéaire l'équation:

Et cette équation décidera déjà quiconque! x \u003d 2..

Je décide un autre exemple, un peu plus compliqué:

Si vous vous en souvenez 3 \u003d 3/1, et 2x \u003d 2x /1, vous pouvez écrire:

Et encore une fois, nous nous débarrassons de ce que nous n'aimons pas vraiment - des fractions.

Nous voyons que pour réduire le dénominateur avec le XA, vous devez multiplier la fraction sur (x - 2). Et des unités que nous n'interfèverons pas. Bien, multipliez. Tout Partie gauche I. tout Partie droite:

Sur les crochets (x - 2) Je ne révèle pas. Je travaille avec un support dans son ensemble, comme si c'était un numéro! Donc, vous devriez toujours faire, sinon rien ne sera réduit.

Avec un sens de la profonde satisfaction réduisant (x - 2) Et nous obtenons l'équation sans fractions, dans Lineshek!

Mais maintenant nous révélons déjà les supports:

Nous donnons ces choses, nous transférons tout à gauche et nous obtenons:

Équation carrée classique. Mais moins en avant n'est pas bon. Vous pouvez toujours vous en débarrasser, multiplier ou diviser sur -1. Mais si vous regardez l'exemple, vous pouvez voir qu'il est préférable de diviser cette équation à -2! Un frottis et moins disparaîtront, et les coefficients plus jolis deviendront! Delim sur -2. Dans le côté gauche - sol, et à droite - juste zéro division on -2, zéro et obtenir:

Nous décidons de la discriminante et de la vérification du théorème de Vieta. Recevoir x \u003d 1 et x \u003d 3. Deux racines.

Comme nous le voyons, dans le premier cas, l'équation après la transformation est devenue linéaire et ici est carré. Il arrive qu'après avoir débarrassé des fractions, tous les Xers sont réduits. Quelque chose reste, tel que 5 \u003d 5. Cela signifie que x peut être n'importe quel. Quoi qu'il en soit, il sera toujours réduit. Et il s'avère la vérité pure, 5 \u003d 5. Mais, après avoir débarrassé des fractions, il peut s'avérer complètement faux, tapez 2 \u003d 7. Et cela signifie que aucune solution! Avec n'importe quel IQA, il se révèle pas vrai.

Réalisé le moyen principal de résoudre équations fractionnaires ? C'est simple et logique. Nous changeons l'expression originale pour que tout ce que nous n'aimons pas soit disparu. Ou interfère. Dans ce cas, c'est une fraction. De même, nous allons venir avec toutes sortes d'exemples complexes avec des logarithmes, des sinus et d'autres horreurs. nous toujours Nous allons nous débarrasser de tout cela.

Cependant, pour changer l'expression originale dans la direction dont vous avez besoin selon les règlesOui ... Le développement est la préparation de l'examen en mathématiques. Donc nous maîtrisons.

Maintenant nous allons apprendre à contourner l'un des principal ambigu à l'examen! Mais pour un début, voyons-vous, y arriver, ou pas?

Nous analyserons un exemple simple:

L'affaire est déjà familière, nous multiplions les deux parties sur (x - 2)On a:

Je vous rappelle des crochets (x - 2) Nous travaillons comme avec une seule expression solide!

Ici, je n'ai plus écrit d'un dans les dénominateurs, pas d'effondrement ... et les crochets ne dessinaient pas dans les dénominateurs, sauf x - 2. Non, vous ne pouvez pas dessiner. Poisson rouge:

Nous révélons des crochets, tout transférer à gauche, donnons ces choses:

Nous décidons si nous vérifions, nous obtenons deux racines. x \u003d 2. et x \u003d 3.. Excellent.

Supposons que la tâche dit d'écrire la racine, ou de sa somme, si les racines sont plus d'une. Que allons-nous écrire?

Si vous décidez que la réponse est 5, vous frapper l'embuscade. Et la tâche n'est pas comptée. En vain a travaillé ... La bonne réponse est 3.

Quel est le problème?! Et vous essayez de vérifier. Substituer les valeurs de l'inconnu dans la source Exemple. Et si pour x \u003d 3. Nous grandissons tous merveilleusement ensemble, nous obtenons 9 \u003d 9, puis quand x \u003d 2. Il sera divisé en zéro! Ce qui ne peut pas être fait catégoriquement. Donc x \u003d 2. La décision n'est pas et, en réponse, n'est pas prise en compte. C'est le soi-disant étranger ou excès de racine. Nous venons de le jeter. La racine finale est une. x \u003d 3..

Comment?! - J'entends des exclamations indignes. On nous a appris que l'équation pourrait être multipliée par l'expression! Ceci est une conversion identique!

Oui, identique. Avec une petite condition - une expression sur laquelle nous multiplions (diviser) - plein de zéro. MAIS x - 2. pour x \u003d 2. Également zéro! Donc, tout est honnête.

Et maintenant ce que je peux faire ?! Ne pas multiplier une expression? Chaque fois que vous vérifiez à faire? Encore une fois, ce n'est pas clair!

Calme! Sans panique!

Dans cette situation difficile, nous économiserons trois lettres magiques. Je sais ce que tu pensais. Droite! il Impair . Zone de valeurs admissibles.

J'espère que l'étude de cet article, vous apprendrez à trouver les racines d'une équation carrée complète.

Avec l'aide de discriminant, seules les équations carrées complètes sont résolues, pour résoudre des équations carrées, d'autres méthodes que vous trouvez dans l'article "La décision d'équations carrées incomplètes" sont utilisées.

Quelles équations carrées sont appelées plein? il Équations de la forme ah 2 + b x + c \u003d 0où les coefficients a, b et ne sont pas égaux à zéro. Donc, pour résoudre une équation complète carrée, il est nécessaire de calculer la discriminante D.

D \u003d B 2 - 4As.

Selon le type d'importance discriminant, nous écrirons la réponse.

Si discriminant est un nombre négatif (D< 0),то корней нет.

Si le discriminant est zéro, x \u003d (-b) / 2a. Lorsque le discriminant est un nombre positif (D\u003e 0),

puis x 1 \u003d (-b - √d) / 2a, et x 2 \u003d (-b + √d) / 2a.

Par example. Résoudre l'équation x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Réponse: 2

Résolvez l'équation 2. x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Réponse: pas de racines.

Résolvez l'équation 2. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Réponse: - 3.5; une.

Imaginons donc la solution d'équations carrées complètes par le schéma de la Figure1.

Selon ces formules, vous pouvez résoudre n'importe quelle équation carrée complète. Vous avez seulement besoin de surveiller attentivement l'équation a été enregistrée par un polynôme d'un type standard.

mais x 2 + Bx + c, Sinon, vous pouvez faire une erreur. Par exemple, dans l'enregistrement de l'équation x + 3 + 2x 2 \u003d 0, il est résolu à tort que

a \u003d 1, b \u003d 3 et c \u003d 2. Alors

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1, puis l'équation a deux racines. Et c'est incorrect. (Voir la solution de l'exemple 2 ci-dessus).

Par conséquent, si l'équation n'est pas écrite à ne pas être écrite à un polynôme d'une espèce standard, une équation carrée complète doit être enregistrée par un polynôme d'une espèce standard (en premier lieu doit être mal-àchée avec le plus grand indicateur, c'est-à-dire mais x 2 Puis avec plus petit – bx.et alors Dick libre de.

Lors de la résolution d'une équation carrée donnée et d'une équation carrée avec un coefficient même, avec le second terme, d'autres formules peuvent être utilisées. Faisons connaissance avec ces formules. Si dans une équation complète carrée au second terme, le coefficient sera même (B \u003d 2K), puis l'équation selon les formules de la figure 2 peut être résolue.

L'équation complète est appelée ce qui précède, si le coefficient est x 2 égal à un et l'équation prendra la forme x 2 + px + q \u003d 0. Une telle équation peut être donnée à résoudre ou est obtenue en divisant tous les coefficients à l'équation de coefficient. maisdebout pour x 2 .

La figure 3 montre le schéma de résolution de la case ci-dessus
équations. Considérez sur l'exemple de l'application des formules considérées dans cet article.

Exemple. Résoudre l'équation

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Diminons cette équation à l'aide des formules présentées dans le schéma de la figure 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Réponse: -1 - √3; -1 + √3

On peut voir que le coefficient de X dans cette équation est un nombre paire, c'est-à-dire B \u003d 6 ou B \u003d 2K, d'où K \u003d 3. Ensuite, nous essayons de résoudre l'équation selon les formules présentées dans le diagramme D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (--1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (--1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Réponse: -1 - √3; -1 + √3. Remarqué que tous les coefficients de cette équation carrée sont divisés en 3 et en effectuant une division, nous obtenons l'équation carrée réduite x 2 + 2x - 2 \u003d 0 en résolvant cette équation à l'aide de formules pour le carré spécifié
Équations Figure 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Réponse: -1 - √3; -1 + √3.

Comme nous le voyons, lors de la résolution de cette équation sur diverses formules, nous avons reçu la même réponse. Par conséquent, il est bien conscient des formules présentées dans le schéma de la figure 1, vous pouvez toujours résoudre toute équation carrée complète.

blog.set, avec une copie totale ou partielle de la référence matérielle à la source d'origine est requise.

Équation carrée - il est simplement résolu! * Suivant dans le texte "ku".Amis apparemment, cela pourrait être plus facile dans les mathématiques qu'une solution à une telle équation. Mais quelque chose m'a suggéré que beaucoup ont des problèmes avec lui. J'ai décidé de voir combien d'impressions sur demande par mois donne Yandex. C'est ce qui s'est passé, voir:

Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie qu'environ 70 000 personnes par mois recherchent cette information, qu'est-ce que cet été, et que fera partie de année scolaire - Les demandes seront deux fois plus. Ce n'est pas surprenant, car ces gars et les filles qui ont de longue date d'école et se préparent à l'examen, ils recherchent ces informations et les écoliers cherchent à l'actualiser en mémoire.

Malgré le fait qu'il y ait beaucoup de sites où il est décrit comment résoudre cette équation, j'ai décidé de faire ma contribution et de publier le matériel. Premièrement, je veux venir sur mon site pour cette demande et les visiteurs sont venus sur mon site; Deuxièmement, dans d'autres articles, lorsque le discours de "Ku" donnera une référence à cet article; Troisièmement, je vais vous parler de sa décision légèrement plus que d'autres sites. Baister!Le contenu de l'article:

L'équation carrée est l'équation de la forme:

où les coefficients ab. et S. nombres arbitrairesQuand un ≠ 0.

Dans le cours de l'école, le matériau est donné sous la forme suivante - la séparation des équations par trois classes est conditionnelle:

1. Avoir deux racines.

2. * Il n'y a qu'une seule racine.

3. Ne pas avoir de racines. Il vaut la peine de noter ici qu'ils n'ont pas de racines valides

Comment les racines sont-elles calculées? Simplement!

Calculer le discriminant. Sous ce "terrible" mot réside une formule assez simple:

Les formules racines ont la forme suivante:

* Ces formules doivent savoir par cœur.

Vous pouvez écrire immédiatement et décider:

Exemple:

1. Si D\u003e 0, l'équation a deux racines.

2. Si D \u003d 0, l'équation a une racine.

3. Si D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Regardons l'équation:

A cette occasion, lorsque le discriminant est égal à zéro, dans le cours de l'école, on dit qu'une seule racine s'avère, ici, il est égal à neuf. C'est vrai et il y a, mais ...

Cette vue est un peu incorrecte. En fait, deux racines sont obtenues. Oui, ne soyez pas surpris, deux racines égales sont obtenues et si vous êtes mathématiquement précis, deux racines doivent être enregistrées dans la réponse:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Mais c'est tellement une légère retraite. À l'école peut écrire et dire que la racine est une.

Maintenant, l'exemple suivant est:

Comme nous le savons - la racine du nombre négatif n'est pas supprimée, il n'y a donc pas de solution dans ce cas.

C'est tout le processus de solution.

Fonction quadratique.

Ici, il est montré comment la solution a l'air géométriquement. Il est extrêmement important de comprendre (à l'avenir, dans l'un des articles, nous désassemblerons la solution d'inégalité carrée en détail).

Ceci est la fonction du formulaire:

où x et y sont des variables

a, B, C-SET nombre, avec quel

L'horaire est Parabola:

C'est-à-dire qu'il s'avère que décider de l'équation carrée à "Y" égale à zéro, nous trouvons le point d'intersection de la parabole avec l'axe Oh. Ces points peuvent être deux (discriminant positif), un (discriminant est égal à zéro) et non un seul (discriminant négatif). Détail O. fonction quadratique vous pouvez voir Inna Feldman article.

Considérons des exemples:

Exemple 1: Résoudre 2x 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Réponse: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Il était possible de partir immédiatement la gauche et la droite de l'équation de diviser 2, c'est-à-dire pour le simplifier. Les calculs seront plus faciles.

Exemple 2: Décider x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d B 2 -4AC \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Obtenu que x 1 \u003d 11 et x 2 \u003d 11

En réponse, il est permis d'écrire x \u003d 11.

Réponse: x \u003d 11

Exemple 3: Décider x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d B 2 -4AC \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Le discriminant est négatif, il n'y a pas de solution en nombre valide.

Réponse: pas de solutions

Le discriminant est négatif. La solution est!

Ici, il sera discuté de la résolution de l'équation dans le cas où une discriminante négative est obtenue. Savez-vous quelque chose sur les nombres intégrés? Je ne parlerai pas en détail de la raison pour laquelle et où ils se sont présents et quel est leur rôle spécifique et la nécessité de mathématiques est le sujet pour un vaste article distinct.

Le concept d'un nombre complexe.

Un peu de théorie.

Numéro complexe Z appelé le nombre d'espèces

z \u003d a + bi

où A et B sont des nombres valides, je - l'unité dite imaginaire.

a + BI - Ceci est un numéro unique, pas d'addition.

L'unité imaginaire est égale à la racine des unités moins:

Maintenant, considérons l'équation:

Reçu deux racines conjuguées.

Une équation carrée incomplète.

Considérons des cas privés, c'est lorsque le coefficient "B" ou "C" est nul (ou les deux sont nul). Ils sont résolus facilement sans aucun discriminant.

Cas 1. Le coefficient B \u003d 0.

L'équation acquiert le formulaire:

Nous transformons:

Exemple:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Cas 2. C \u003d 0 coefficient.

L'équation acquiert le formulaire:

Nous transformons, porta nous sur des multiplicateurs:

* Le travail est zéro lorsque au moins un des multiplicateurs est égal à zéro.

Exemple:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 ou x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Cas 3. Les coefficients B \u003d 0 et C \u003d 0.

Il est clair ici que la solution de l'équation sera toujours x \u003d 0.

Propriétés et modèles utiles de coefficients.

Il existe des propriétés qui permettent de résoudre des équations avec de grands coefficients.

maisx. 2 + bx.+ c.=0 L'égalité est effectuée

uNE. + b. + C \u003d 0,cette

- Si pour les coefficients de l'équation maisx. 2 + bx.+ c.=0 L'égalité est effectuée

uNE. + C \u003d.b., cette

Ces propriétés aident à résoudre vue définie équations.

Exemple 1: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

La somme des coefficients est de 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, cela signifie

Exemple 2: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

L'égalité est effectuée uNE. + C \u003d.b., Donc

Lois de coefficients.

1. Si dans la hache 2 + bx + C \u003d 0 équation, le coefficient "B" est égal à (A 2 +1) et le coefficient "C" est numériquement égal au coefficient "A", ses racines sont égales.

aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exemple. Considérons l'équation 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Si dans l'axe 2 - BX + C \u003d 0 équation, le coefficient "B" est égal à (et 2 +1) et le coefficient "C" est numériquement égal au coefficient "A", ses racines sont égales.

aX 2 - (A 2 +1) ∙ x + A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d 1 / a.

Exemple. Considérons l'équation 15x 2 -226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Si dans l'équationaX 2 + BX - C \u003d 0 Le coefficient "B" égal (un 2 - 1), et le coefficient "c" numériquement égal au coefficient "A", puis ses racines sont égales

aX 2 + (A 2 -1) ∙ x - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - A x 2 \u003d 1 / a.

Exemple. Considérons l'équation 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Si dans la hache 2 - BX - C \u003d 0 équation, le coefficient "B" est égal à (un 2 - 1) et le coefficient est calculé numériquement au coefficient de "A", ses racines sont égales.

aX 2 - (A 2 -1) ∙ x - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d - 1 / a.

Exemple. Envisager l'équation 10x 2 - 99x -10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Théorème Vieta.

Le théorème de Vieta est appelé par le nom des célèbres mathématiques françaises François Vieta. En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez exprimer le montant et le produit des racines de l'ARBITRAGRY KU à travers ses coefficients.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

En résumé, le numéro 14 n'est donné que 5 et 9. Ce sont des racines. Avec une certaine habileté, en utilisant le théorème représenté par de nombreuses équations carrées, vous pouvez décider de venir oralement.

Théorème Vieta, en plus. Il est pratique car après avoir résolu l'équation carrée de la manière habituelle (par discriminant), les racines obtenues peuvent être vérifiées. Je recommande de le faire toujours.

Méthode de passage

Dans cette méthode, le coefficient "A" est multiplié par un membre libre, comme si "se déplace" à lui, il est donc appelé la méthode de "transit".Cette méthode est utilisée lorsque vous pouvez facilement trouver les racines de l'équation à l'aide du théorème Vieta et, surtout, lorsque le discriminant est un carré précis.

Si un mais± b + C.≠ 0, alors la réception est utilisée, par exemple:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Par le théorème Vieta dans l'équation (2), il est facile de déterminer que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Les racines obtenues de l'équation doivent être divisées en 2 (comme deux fois de x 2 "ont été déplacées), nous obtenons

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Quelle est la justification? Regardez ce qui se passe.

Les équations discriminants (1) et (2) sont égales:

Si vous regardez les racines des équations, seuls différents dénominateurs sont obtenus et le résultat dépend du coefficient de X 2:

Les deuxièmes racines (modifiées) sont obtenues 2 fois plus.

Par conséquent, le résultat et la division par 2.

* Si nous jetons un voyage, le résultat est séparé par 3, etc.

Réponse: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

Sq. Ur-ye et ege.

Je dirai de son importance. De nombreuses tâches incluses dans les tâches de l'utilisation sont réduites à la résolution d'une équation carrée (géométrique, y compris).

Que faire célébrer!

1. La forme d'équation d'enregistrement peut être "implicite". Par exemple, cette entrée est possible:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 ou 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 ou 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Vous devez l'apporter à la forme standard (afin de ne pas être confondu lors de la résolution).

2. N'oubliez pas que X est une valeur inconnue et peut être indiquée par toute autre lettre - T, Q, P, H et autres.