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Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui sont "très égaux...")
Types d'équations quadratiques
Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? À quoi cela ressemble-t-il? En terme équation quadratique le mot clé est "carré". Cela signifie que dans l'équation nécessairement il doit y avoir un x au carré. En plus de lui, l'équation peut (ou peut ne pas être !) juste x (à la première puissance) et juste un nombre (Membre gratuit). Et il ne devrait pas y avoir de x à un degré supérieur à deux.
Mathématiquement parlant, une équation quadratique est une équation de la forme :
Ici a, b et c- quelques chiffres. b et c- absolument aucun, mais une- autre chose que zéro. Par exemple:
Ici une =1; b = 3; c = -4
Ici une =2; b = -0,5; c = 2,2
Ici une =-3; b = 6; c = -18
Eh bien, vous voyez l'idée...
Dans ces équations quadratiques à gauche, il y a ensemble complet membres. X au carré avec coefficient une, x à la première puissance avec un coefficient b et terme libre avec.
De telles équations quadratiques sont appelées complet.
Et qu'est-ce qui se passerait si b= 0, qu'obtenons-nous ? Nous avons X disparaîtra au premier degré. Cela se produit à partir de la multiplication par zéro.) Il s'avère, par exemple :
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x = 0,
-x 2 + 4x = 0
Etc. Et si les deux coefficients, b et c sont égaux à zéro, alors tout est encore plus simple :
2x 2 = 0,
-0,3x 2 = 0
De telles équations, où quelque chose manque, sont appelées équations quadratiques incomplètes. Ce qui est assez logique.) Veuillez noter que le x au carré est présent dans toutes les équations.
Au fait, pourquoi une ne peut pas être zéro ? Et tu remplaces une zéro.) Le X dans le carré disparaîtra de nous ! L'équation devient linéaire. Et cela se décide d'une toute autre manière...
Ce sont tous les principaux types d'équations quadratiques. Complet et incomplet.
Résolution d'équations quadratiques.
Résolution d'équations quadratiques complètes.
Les équations quadratiques sont faciles à résoudre. Selon des formules et des règles claires et simples. À la première étape, il est nécessaire de mettre l'équation donnée sous une forme standard, c'est-à-dire regarder:
Si l'équation vous est déjà donnée sous cette forme, vous n'avez pas besoin de faire la première étape.) L'essentiel est de déterminer correctement tous les coefficients, une, b et c. La formule pour trouver les racines d'une équation quadratique ressemble à ceci :
Une expression sous le signe racine s'appelle discriminant... Mais à propos de lui - ci-dessous. Comme vous pouvez le voir, pour trouver x, nous utilisons seulement a, b et c.
Celles. coefficients de l'équation quadratique. Remplacez simplement soigneusement les valeurs a, b et c dans cette formule et compter. Remplacer avec vos signes !
Par exemple, dans l'équation :
une =1; b = 3; c= -4. On écrit donc :
L'exemple est pratiquement résolu :
C'est la réponse.
Tout est très simple. Et que pensez-vous qu'il est impossible de se tromper ? Eh bien, oui, comment...
Les erreurs les plus courantes sont la confusion avec les signes de signification. a, b et c... Plutôt, pas avec leurs signes (où se confondre ?), mais avec la substitution de valeurs négatives dans la formule de calcul des racines. Ici, une notation détaillée de la formule avec des nombres spécifiques enregistre. S'il y a des problèmes de calcul, le faire!
Supposons que vous deviez résoudre cet exemple :
Ici une = -6;
b = -5;
c = -1
Disons que vous savez que vous obtenez rarement des réponses la première fois.
Eh bien, ne soyez pas paresseux. Il faudra 30 secondes pour écrire une ligne supplémentaire. Et le nombre d'erreurs va fortement diminuer... Nous écrivons donc en détail, avec toutes les parenthèses et tous les signes :
Il semble incroyablement difficile de peindre si soigneusement. Mais il semble seulement être. Essayez-le. Eh bien, ou choisissez. Qu'est-ce qui est mieux, rapide ou correct ? En plus, je vais te faire plaisir. Après un certain temps, il ne sera plus nécessaire de tout peindre avec autant de soin. Cela fonctionnera tout seul. Surtout si vous utilisez technique pratique, qui sont décrits ci-dessous. Cet exemple diabolique avec un tas d'inconvénients peut être résolu facilement et sans erreurs !
Mais, souvent, les équations quadratiques semblent légèrement différentes. Par exemple, comme ceci :
L'avez-vous découvert ?) Oui ! ce équations quadratiques incomplètes.
Résolution d'équations quadratiques incomplètes.
Ils peuvent également être résolus à l'aide d'une formule générale. Vous avez juste besoin de comprendre correctement à quoi ils sont égaux a, b et c.
L'as-tu compris? Dans le premier exemple a = 1 ; b = -4 ; une c? Il n'est pas du tout là ! Eh bien, oui, c'est vrai. En mathématiques, cela signifie que c = 0
! C'est tout. Remplacer zéro dans la formule au lieu de c, et nous réussirons. Il en est de même pour le deuxième exemple. Seulement zéro nous avons ici pas avec, une b !
Mais les équations quadratiques incomplètes peuvent être résolues beaucoup plus facilement. Sans aucune formule. Considérons la première équation incomplète. Que pouvez-vous faire là-bas sur le côté gauche? Vous pouvez mettre le x hors des parenthèses ! Sortons-le.
Et qu'en est-il ? Et le fait que le produit soit égal à zéro si et seulement si l'un des facteurs est égal à zéro ! Ne me croyez pas ? Eh bien, alors pensez à deux nombres non nuls qui, une fois multipliés, donneront zéro !
Ne marche pas? C'est ça ...
Par conséquent, nous pouvons écrire en toute confiance : x 1 = 0, x 2 = 4.
Tout. Ce seront les racines de notre équation. Les deux conviennent. En remplaçant l'un d'entre eux dans l'équation d'origine, nous obtenons l'identité correcte 0 = 0. Comme vous pouvez le voir, la solution est beaucoup plus facile que d'utiliser la formule générale. À propos, je noterai quel X sera le premier et lequel sera le deuxième - c'est absolument indifférent. Il est commode d'écrire dans l'ordre, x 1- ce qui est moins, et x 2- de plus.
La deuxième équation peut également être résolue simplement. Déplacez 9 vers la droite. On a:
Il reste à extraire la racine de 9, et c'est tout. Il s'avérera :
Aussi deux racines .
x 1 = -3, x 2 = 3.
C'est ainsi que toutes les équations quadratiques incomplètes sont résolues. Soit en mettant le x entre crochets, soit transfert simple nombres à droite, suivis de l'extraction de la racine.
Il est extrêmement difficile de confondre ces techniques. Tout simplement parce que dans le premier cas il faudra extraire la racine du x, ce qui est quelque peu incompréhensible, et dans le second cas il n'y a rien à mettre entre parenthèses...
Discriminant. Formule discriminante.
mot magique discriminant
! Un rare lycéen n'a pas entendu ce mot ! L'expression « décider par le discriminant » est rassurante et rassurante. Parce qu'il n'y a pas besoin d'attendre les sales coups du discriminant ! C'est simple et sans problème à utiliser.) Je rappelle la formule la plus générale pour résoudre toutéquations du second degré:
L'expression sous le signe racine est appelée le discriminant. Habituellement, le discriminant est désigné par la lettre ré... Formule discriminante :
D = b 2 - 4ac
Et qu'y a-t-il de si remarquable dans cette expression ? Pourquoi méritait-il un nom spécial ? Quoi le sens du discriminant ? Après tout -b, ou 2a dans cette formule ils ne nomment pas spécifiquement... Des lettres et des lettres.
Voici la chose. Lors de la résolution d'une équation quadratique à l'aide de cette formule, il est possible seulement trois cas.
1. Le discriminant est positif. Cela signifie que vous pouvez en extraire la racine. La bonne racine est extraite, ou la mauvaise - une autre question. Il est important ce qui est extrait en principe. Alors votre équation quadratique a deux racines. Deux solutions différentes.
2. Le discriminant est zéro. Ensuite, vous avez une solution. Puisque l'addition-soustraction de zéro au numérateur ne change rien. À proprement parler, ce n'est pas une racine, mais deux identiques... Mais, dans une version simplifiée, il est d'usage de parler de une solution.
3. Le discriminant est négatif. De nombre négatif la racine carrée n'est pas extraite. Bien, OK. Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.
Honnêtement, avec solution simpleéquations quadratiques, la notion de discriminant n'est pas particulièrement requise. Nous substituons les valeurs des coefficients dans la formule, mais nous comptons. Tout se passe tout seul, et il y a deux racines, et une, et pas une. Cependant, lors de la résolution de tâches plus complexes, sans connaissance sens et formules discriminantes pas assez. Surtout - dans les équations avec paramètres. De telles équations sont la voltige à l'examen d'État et à l'examen d'État unifié !)
Donc, comment résoudre des équations quadratiquesà travers le discriminant dont vous vous souvenez. Ou avoir appris, ce qui est bien aussi.) Vous savez identifier correctement a, b et c... Tu sais comment attentivement les remplacer dans la formule racine et attentivement lire le résultat. Vous avez l'idée que le mot clé ici est attentivement ?
Pour l'instant, prenez note des meilleures pratiques qui réduiront considérablement les erreurs. Ceux-là mêmes qui sont dus à l'inattention. ... Pour qui alors ça fait mal et insulte ...
Première réception
... Ne soyez pas paresseux pour l'amener à la forme standard avant de résoudre l'équation quadratique. Qu'est-ce que ça veut dire?
Disons qu'après quelques transformations, vous obtenez l'équation suivante :
Ne vous précipitez pas pour écrire la formule racine ! Vous allez presque certainement mélanger les chances. a, b et c. Construisez l'exemple correctement. Tout d'abord, le X est au carré, puis sans le carré, puis le terme libre. Comme ça:
Et encore, ne vous précipitez pas ! Le moins devant le x dans le carré peut vous rendre vraiment triste. C'est facile de l'oublier... Débarrassez-vous du moins. Comment? Oui, comme enseigné dans le sujet précédent ! Vous devez multiplier toute l'équation par -1. On a:
Mais maintenant, vous pouvez écrire en toute sécurité la formule des racines, calculer le discriminant et compléter l'exemple. Fais le toi-même. Vous devriez avoir les racines 2 et -1.
Réception en second.
Vérifiez les racines! Par le théorème de Vieta. Ne vous inquiétez pas, je vais tout vous expliquer ! Vérification dernière chose l'équation. Celles. celui par lequel nous avons écrit la formule pour les racines. Si (comme dans cet exemple) le coefficient a = 1, vérifier les racines est facile. Il suffit de les multiplier. Vous devriez obtenir un membre gratuit, c'est-à-dire dans notre cas, -2. Attention, pas 2, mais -2 ! Membre gratuit avec mon signe
... Si cela n'a pas fonctionné, c'est que c'est déjà foutu quelque part. Recherchez l'erreur.
Si cela fonctionne, vous devez plier les racines. Le dernier et dernier contrôle. Vous devriez obtenir un coefficient b avec contraire
familier. Dans notre cas, -1 + 2 = +1. Et le coefficient b qui est avant le x est -1. Alors, tout est correct !
C'est dommage que ce ne soit si simple que pour les exemples où le x au carré est pur, avec un coefficient a = 1. Mais au moins dans de telles équations, vérifiez ! Tout moins d'erreurs volonté.
Troisième réception
... Si vous avez des coefficients fractionnaires dans votre équation, débarrassez-vous des fractions ! Multipliez l'équation par dénominateur commun comme décrit dans la leçon « Comment résoudre des équations ? Transformations identiques ». Lorsque vous travaillez avec des fractions, pour une raison quelconque, des erreurs ont tendance à apparaître ...
Au fait, j'ai promis de simplifier le mauvais exemple avec un tas d'inconvénients. S'il te plaît! C'est ici.
Afin de ne pas se tromper dans les moins, nous multiplions l'équation par -1. On a:
C'est tout! C'est un plaisir de décider!
Donc, pour résumer le sujet.
Conseils pratiques:
1. Avant de résoudre, nous apportons l'équation quadratique à la forme standard, construisons-la droit.
2. S'il y a un coefficient négatif devant le x dans le carré, nous l'éliminons en multipliant l'équation entière par -1.
3. Si les coefficients sont fractionnaires, nous éliminons les fractions en multipliant l'équation entière par le facteur approprié.
4. Si x au carré est pur, son coefficient est égal à un, la solution peut être facilement vérifiée par le théorème de Vieta. Fais-le!
Maintenant, vous pouvez décider.)
Résoudre des équations :
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)
Réponses (dans le désarroi) :
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - n'importe quel nombre
x 1 = -3
x 2 = 3
pas de solution
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Est-ce que tout s'emboîte ? Amende! Les équations quadratiques ne sont pas votre casse-tête. Les trois premiers ont fonctionné, mais pas les autres ? Alors le problème n'est pas avec les équations quadratiques. Le problème réside dans les transformations identiques des équations. Faites un tour sur le lien, c'est utile.
Vous ne vous entraînez pas tout à fait ? Ou ça ne marche pas du tout ? Ensuite, la section 555 vous aidera. Là, tous ces exemples sont triés en morceaux. Montré le principal erreurs dans la solution. Bien sûr, il parle également de l'utilisation de transformations identiques dans la solution de diverses équations. Aide beaucoup !
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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et connaître votre niveau. Tests de validation instantanés. Apprendre - avec intérêt !)
vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
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5x (x - 4) = 0
5 x = 0 ou x - 4 = 0
x = ± 25/4
Ayant appris à résoudre des équations du premier degré, bien sûr, je veux travailler avec d'autres, en particulier, avec des équations du second degré, qu'on appelle d'une autre manière quadratiques.
Les équations quadratiques sont des équations du type ax ² + bx + c = 0, où la variable est x, les nombres seront - a, b, c, où a n'est pas égal à zéro.
Si dans une équation quadratique l'un ou l'autre coefficient (c ou b) est égal à zéro, alors cette équation fera référence à une équation quadratique incomplète.
Comment pouvez-vous résoudre une équation quadratique incomplète si les élèves n'ont pu jusqu'à présent résoudre que des équations du premier degré ? Considérez des équations quadratiques incomplètes différents types et des moyens simples de les résoudre.
a) Si le coefficient c est égal à 0 et que le coefficient b n'est pas égal à zéro, alors ax ² + bx + 0 = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² + bx = 0.
Pour résoudre une telle équation, vous devez connaître la formule de résolution d'une équation quadratique incomplète, c'est-à-dire que côté gauche factoriser et utiliser plus tard la condition d'égalité du produit à zéro.
Par exemple, 5x ² - 20x = 0. Factorisez le côté gauche de l'équation, tout en procédant comme d'habitude opération mathématique: en supprimant le facteur commun en dehors des parenthèses
5x (x - 4) = 0
Nous utilisons la condition que les produits soient égaux à zéro.
5 x = 0 ou x - 4 = 0
La réponse sera : la première racine est 0 ; la deuxième racine est 4.
b) Si b = 0, et que le terme libre n'est pas égal à zéro, alors l'équation ax ² + 0x + c = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² + c = 0. Les équations se résolvent de deux manières : a) en développant le polynôme de l'équation de gauche en facteurs ; b) en utilisant les propriétés de l'arithmétique racine carrée... Une telle équation est résolue par l'une des méthodes, par exemple :
x = ± 25/4
x = ± 5/2. La réponse est : la première racine est 5/2 ; la seconde racine est - 5/2.
c) Si b est égal à 0 et c est égal à 0, alors ax ² + 0 + 0 = 0 est réduit à une équation de la forme ax ² = 0. Dans une telle équation, x sera égal à 0.
Comme vous pouvez le voir, les équations quadratiques incomplètes ne peuvent pas avoir plus de deux racines.
Les équations quadratiques apparaissent souvent lors de la résolution de divers problèmes de physique et de mathématiques. Dans cet article, nous allons voir comment résoudre ces égalités de manière universelle « par le discriminant ». Des exemples d'utilisation des connaissances acquises sont également donnés dans l'article.
De quelles équations parle-t-on ?
La figure ci-dessous montre une formule dans laquelle x est une variable inconnue et les symboles latins a, b, c représentent des nombres connus.
Chacun de ces symboles est appelé un coefficient. Comme vous pouvez le voir, le nombre "a" est devant la variable carrée x. C'est la puissance maximale de l'expression présentée, c'est pourquoi on l'appelle une équation quadratique. Son autre nom est souvent utilisé : équation du second ordre. La valeur a elle-même est le coefficient carré (pour la variable au carré), b est le coefficient linéaire (il est à côté de la variable élevée à la première puissance), et enfin, le nombre c est le terme libre.
Notez que la forme de l'équation montrée dans la figure ci-dessus est une expression carrée classique commune. En plus de cela, il existe d'autres équations du second ordre dans lesquelles les coefficients b, c peuvent être nuls.
Lorsque le problème est posé pour résoudre l'égalité considérée, cela signifie qu'il faut trouver de telles valeurs de la variable x qui la satisferaient. Ici, la première chose à retenir est la chose suivante : le degré maximum de x étant 2, ce type d'expression ne peut pas avoir plus de 2 solutions. Cela signifie que si, lors de la résolution de l'équation, 2 valeurs de x étaient trouvées qui la satisfaisaient, alors vous pouvez être sûr qu'il n'y a pas de troisième nombre, remplaçant lequel au lieu de x, l'égalité serait également vraie. Les solutions à une équation en mathématiques sont appelées racines.
Méthodes de résolution des équations du second ordre
La résolution d'équations de ce type nécessite la connaissance d'une certaine théorie à leur sujet. Le cours d'algèbre scolaire examine 4 différentes méthodes solutions. Listons-les :
- en utilisant la factorisation ;
- en utilisant la formule d'un carré plein ;
- en appliquant le graphe de la fonction quadratique correspondante ;
- en utilisant l'équation discriminante.
L'avantage de la première méthode réside dans sa simplicité, cependant, elle ne peut pas être appliquée à toutes les équations. La deuxième méthode est universelle, mais quelque peu lourde. La troisième méthode se distingue par sa clarté, mais elle n'est pas toujours pratique et applicable. Et, enfin, l'utilisation de l'équation discriminante est un moyen universel et assez simple de trouver les racines d'absolument n'importe quelle équation du second ordre. Par conséquent, dans l'article, nous ne le considérerons que.
Formule pour obtenir les racines de l'équation
Tournons-nous vers vue généraleéquation quadratique. Écrivons-le : a * x² + b * x + c = 0. Avant d'utiliser la méthode de résolution « par le discriminant », l'égalité doit toujours être réduite à la forme écrite. C'est-à-dire qu'il doit être composé de trois termes (ou moins si b ou c est égal à 0).
Par exemple, s'il existe une expression : x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², alors vous devez d'abord déplacer tous ses termes d'un côté de l'égalité et ajouter les termes contenant la variable x dans le mêmes pouvoirs.
Dans ce cas, cette opération conduira à l'expression suivante : -6 * x²-4 * x + 8 = 0, ce qui équivaut à l'équation 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (ici on a multiplié la gauche et côtés droits de l'égalité par -1) ...
Dans l'exemple ci-dessus, a = 6, b = 4, c = -8. Notez que tous les termes de l'égalité considérée sont toujours sommés entre eux, donc si le signe "-" apparaît, cela signifie que le coefficient correspondant est négatif, comme le nombre c dans ce cas.
Après avoir examiné ce point, passons maintenant à la formule elle-même, qui permet d'obtenir les racines d'une équation quadratique. Il a la forme montrée sur la photo ci-dessous.
Comme vous pouvez le voir sur cette expression, cela vous permet d'obtenir deux racines (vous devez faire attention au signe "±"). Pour ce faire, il suffit d'y substituer les coefficients b, c et a.
Notion discriminante
Dans le paragraphe précédent, une formule a été donnée qui vous permet de résoudre rapidement n'importe quelle équation du second ordre. Dans celui-ci, l'expression radicale est appelée le discriminant, c'est-à-dire D = b²-4 * a * c.
Pourquoi cette partie de la formule est-elle isolée, et elle a même propre nom? Le fait est que le discriminant relie les trois coefficients de l'équation en une seule expression. Ce dernier fait signifie qu'il porte pleinement des informations sur les racines, qui peuvent être exprimées par la liste suivante :
- D> 0 : l'égalité a 2 solutions différentes, qui sont toutes deux des nombres réels.
- D = 0 : L'équation n'a qu'une racine et est un nombre réel.
La tâche de déterminer le discriminant
Donnons un exemple simple de la façon de trouver le discriminant. Soit l'égalité suivante : 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
On le ramène à la forme standard, on obtient : (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, d'où l'on vient au égalité : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Ici a = -2, b = 2, c = -11.
Vous pouvez maintenant utiliser la formule nommée pour le discriminant : D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Le nombre résultant est la réponse à la tâche. Puisque dans l'exemple le discriminant moins que zéro, alors on peut dire que cette équation quadratique n'a pas de racines réelles. Seuls les nombres complexes seront sa solution.
Un exemple d'inégalité par le discriminant
Résolvons des problèmes d'un type légèrement différent : étant donné l'égalité -3 * x²-6 * x + c = 0. Il faut trouver de telles valeurs de c pour lesquelles D> 0.
Dans ce cas, seuls 2 coefficients sur 3 sont connus, il ne sera donc pas possible de calculer la valeur exacte du discriminant, mais on sait qu'il est positif. On utilise le dernier fait pour dresser l'inégalité : D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. La solution de l'inégalité obtenue conduit au résultat : c> -3.
Vérifions le numéro reçu. Pour cela, calculez D pour 2 cas : c = -2 et c = -4. Le nombre -2 satisfait le résultat obtenu (-2> -3), le discriminant correspondant aura la valeur : D = 12> 0. À son tour, le nombre -4 ne satisfait pas l'inégalité (-4 Ainsi, tout nombre c supérieur à -3 satisfera à la condition.
Exemple de résolution d'une équation
Présentons un problème qui consiste non seulement à trouver le discriminant, mais aussi à résoudre l'équation. Vous devez trouver les racines de l'égalité -2 * x² + 7-9 * x = 0.
Dans cet exemple, le discriminant est valeur suivante: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Alors les racines de l'équation sont définies comme suit : x = (9 ± √137) / (- 4). Ce sont les valeurs exactes des racines, si vous calculez la racine approximative, alors vous obtenez les nombres : x = -5,176 et x = 0,676.
Problème géométrique
Résolvons un problème qui nécessitera non seulement la capacité de calculer le discriminant, mais également l'utilisation de compétences de pensée abstraite et la connaissance de la façon de faire des équations quadratiques.
Bob avait une couette de 5 x 4 mètres. Le garçon voulait coudre une bande continue de beau tissu... Quelle sera l'épaisseur de cette bande si Bob est connu pour avoir 10 m² de tissu.
Laissez la bande avoir une épaisseur de x m, puis la zone du tissu le long long côté les couvertures seront (5 + 2 * x) * x, et comme il y a 2 côtés longs, nous avons : 2 * x * (5 + 2 * x). Du côté court, la surface du tissu cousu sera de 4*x, puisqu'il y a 2 de ces côtés, on obtient la valeur 8*x. Notez que 2 * x a été ajouté au côté long car la longueur de la couverture a augmenté de ce nombre. La surface totale du tissu cousu à la couverture est de 10 m². On obtient donc l'égalité : 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
Pour cet exemple, le discriminant est : D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Sa racine est 22. En utilisant la formule, on trouve les racines recherchées : x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5 ; 0,5). De toute évidence, des deux racines, seul le nombre 0,5 convient à l'énoncé du problème.
Ainsi, la bande de tissu que Bob va coudre à sa couverture fera 50 cm de large.
Une équation quadratique incomplète diffère des équations classiques (complètes) en ce que ses facteurs ou son intersection sont égaux à zéro. Le graphique de telles fonctions sont des paraboles. Selon leur aspect général, ils sont répartis en 3 groupes. Les principes de résolution pour tous les types d'équations sont les mêmes.
Il n'y a rien de difficile à déterminer le type d'un polynôme incomplet. Il est préférable de considérer les principales différences avec des exemples illustratifs :
- Si b = 0, alors l'équation est ax 2 + c = 0.
- Si c = 0, alors l'expression ax 2 + bx = 0 doit être résolue.
- Si b = 0 et c = 0, alors le polynôme devient une égalité du type ax 2 = 0.
Ce dernier cas est plus une possibilité théorique et ne se produit jamais dans les tâches de test de connaissances, puisque la seule valeur valide de la variable x dans l'expression est zéro. À l'avenir, des méthodes et des exemples de résolution d'équations quadratiques incomplètes de types 1) et 2) seront considérés.
Algorithme général pour trouver des variables et des exemples avec une solution
Quel que soit le type d'équation, l'algorithme de résolution se résume aux étapes suivantes :
- Apportez l'expression sous une forme pratique pour trouver des racines.
- Effectuer des calculs.
- Enregistrez votre réponse.
La façon la plus simple de résoudre des équations incomplètes est de factoriser le côté gauche et de laisser zéro à droite. Ainsi, la formule d'une équation quadratique incomplète pour trouver les racines est réduite au calcul de la valeur de x pour chacun des facteurs.
Vous ne pouvez apprendre à le résoudre que dans la pratique, alors considérez exemple précis trouver les racines d'une équation incomplète :
Comme vous pouvez le voir, dans ce cas b = 0. Factorisez le côté gauche et obtenez l'expression :
4 (x - 0,5) (x + 0,5) = 0.
Évidemment, le produit est nul lorsqu'au moins un des facteurs est nul. Les valeurs de la variable x1 = 0,5 et (ou) x2 = -0,5 répondent à ces exigences.
Afin de faire face facilement et rapidement à la tâche de décomposition trinôme carré par facteurs, vous devez vous souvenir de la formule suivante :
S'il n'y a pas de terme libre dans l'expression, la tâche est grandement simplifiée. Il suffira de trouver et d'éliminer le dénominateur commun. Pour plus de clarté, considérons un exemple de résolution d'équations quadratiques incomplètes de la forme ax2 + bx = 0.
Sortons la variable x des parenthèses et obtenons l'expression suivante :
x ⋅ (x + 3) = 0.
Guidés par la logique, nous arrivons à la conclusion que x1 = 0 et x2 = -3.
Solution traditionnelle et équations quadratiques incomplètes
Que se passera-t-il si vous appliquez la formule discriminante et essayez de trouver les racines du polynôme, avec des coefficients égaux à zéro ? Prenons un exemple parmi une collection de tâches typiques pour l'examen de mathématiques en 2017, résolvez-le à l'aide de formules standard et de la méthode de factorisation.
7x 2 - 3x = 0.
Calculons la valeur du discriminant : D = (-3) 2 - 4 (-7) ⋅ 0 = 9. Il s'avère que le polynôme a deux racines :
Maintenant, résolvons l'équation en factorisant et comparons les résultats.
X (7x + 3) = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.
Comme vous pouvez le voir, les deux méthodes donnent le même résultat, mais la résolution de l'équation par la deuxième méthode s'est avérée beaucoup plus facile et rapide.
Le théorème de Vieta
Mais que faire du théorème de Vieta bien-aimé ? Cette méthode peut-elle être appliquée avec un trinôme incomplet ? Essayons de comprendre les aspects du casting non équations complètesÀ look classique ax2 + bx + c = 0.
En fait, il est possible d'appliquer le théorème de Vieta dans ce cas. Il suffit de ramener l'expression à une forme générale, en remplaçant les membres manquants par zéro.
Par exemple, avec b = 0 et a = 1, afin d'éliminer le risque de confusion, la tâche doit être écrite sous la forme : ax2 + 0 + c = 0. Alors le rapport de la somme et du produit des racines et Les facteurs du polynôme peuvent être exprimés comme suit :
Les calculs théoriques aident à se familiariser avec l'essence du problème et nécessitent toujours de pratiquer une compétence lors de la résolution tâches spécifiques... Revenons au livre de référence des tâches typiques de l'examen et trouvons un exemple approprié :
Écrivons l'expression sous une forme commode pour l'application du théorème de Vieta :
x 2 + 0 - 16 = 0.
L'étape suivante consiste à créer un système de conditions :
Évidemment, les racines d'un polynôme carré seront x 1 = 4 et x 2 = -4.
Maintenant, entraînons-nous à mettre l'équation sous une forme générale. Prenons l'exemple suivant : 1/4 × x 2 - 1 = 0
Pour appliquer le théorème de Vieta à une expression, il est nécessaire de se débarrasser de la fraction. Multipliez les côtés gauche et droit par 4 et regardez le résultat : x2– 4 = 0. L'égalité résultante est prête à être résolue par le théorème de Vieta, mais il est beaucoup plus facile et plus rapide d'obtenir la réponse simplement en transférant c = 4 à droite de l'équation : x2 = 4.
En résumé, il faut dire que la meilleure voie solutions équations incomplètes est la factorisation, est la plus simple et méthode rapide... Si vous avez des difficultés à trouver des racines, vous pouvez vous référer à méthode traditionnelle trouver les racines à travers le discriminant.
Formules pour les racines d'une équation quadratique. Les cas de racines réelles, multiples et complexes sont considérés. Factorisation d'un trinôme carré. Interprétation géométrique. Exemples de détermination des racines et de la factorisation.
Formules de base
Considérons une équation quadratique :
(1)
.
Racines quadratiques(1) sont déterminés par les formules :
;
.
Ces formules peuvent être combinées comme ceci :
.
Lorsque les racines de l'équation quadratique sont connues, le polynôme du second degré peut être représenté comme un produit de facteurs (factorisé) :
.
De plus, nous supposons que ce sont des nombres réels.
Envisager discriminant quadratique:
.
Si le discriminant est positif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles différentes :
;
.
Alors la factorisation du trinôme carré est :
.
Si le discriminant est nul, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles multiples (égales) :
.
Factorisation :
.
Si le discriminant est négatif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines conjuguées complexes :
;
.
Voici une unité imaginaire ;
et - parties réelles et imaginaires des racines :
;
.
Puis
.
Interprétation graphique
Si vous construisez graphique de fonction
,
qui est une parabole, alors les points d'intersection du graphique avec l'axe seront les racines de l'équation
.
Quand, le graphique croise l'axe des abscisses (axe) en deux points.
Quand, le graphique touche l'axe des abscisses en un point.
Quand, le graphique ne croise pas l'axe des abscisses.
Vous trouverez ci-dessous des exemples de tels graphiques.
Équations quadratiques utiles
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Dérivation d'une formule pour les racines d'une équation quadratique
Nous effectuons des transformations et appliquons les formules (f.1) et (f.3) :
,
où
;
.
Donc, nous avons une formule pour un polynôme du second degré sous la forme :
.
On voit donc que l'équation
effectué à
et .
Autrement dit, ce sont les racines de l'équation quadratique
.
Exemples de détermination des racines d'une équation quadratique
Exemple 1
(1.1)
.
Solution
.
En comparant avec notre équation (1.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est positif, l'équation a deux racines réelles :
;
;
.
De là on obtient la factorisation du trinôme carré :
.
Fonction graphique y = 2 x 2 + 7 x + 3 croise l'axe des abscisses en deux points.
Traçons la fonction
.
Le graphe de cette fonction est une parabole. Il croise l'axe des abscisses (axe) en deux points :
et .
Ces points sont les racines de l'équation originale (1.1).
Réponse
;
;
.
Exemple 2
Trouver les racines d'une équation quadratique :
(2.1)
.
Solution
Écrivons l'équation quadratique sous sa forme générale :
.
En comparant avec l'équation originale (2.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Puisque le discriminant est nul, l'équation a deux racines multiples (égales) :
;
.
Alors la factorisation du trinôme est :
.
Graphique de fonction y = x 2 - 4 x + 4 touche l'axe des abscisses en un point.
Traçons la fonction
.
Le graphe de cette fonction est une parabole. Il touche l'axe des abscisses (axe) en un point :
.
Ce point est la racine de l'équation originale (2.1). Puisque cette racine entre deux fois dans la factorisation :
,
alors une telle racine est généralement appelée multiple. C'est-à-dire qu'ils croient qu'il y a deux racines égales :
.
Réponse
;
.
Exemple 3
Trouver les racines d'une équation quadratique :
(3.1)
.
Solution
Écrivons l'équation quadratique sous sa forme générale :
(1)
.
Réécrivons l'équation originale (3.1) :
.
En comparant avec (1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
On trouve le discriminant :
.
Le discriminant est négatif,. Par conséquent, il n'y a pas de racines valides.
Les racines complexes peuvent être trouvées :
;
;
.
Puis
.
Le graphe de la fonction ne croise pas l'axe des abscisses. Il n'y a pas de racines valides.
Traçons la fonction
.
Le graphe de cette fonction est une parabole. Il ne traverse pas l'abscisse (axe). Par conséquent, il n'y a pas de racines valides.
Réponse
Il n'y a pas de racines valides. Racines complexes :
;
;
.
