Le premier point est comme d'habitude, Arcsin (-a) \u003d - Arcsina. Pour entrer dans le deuxième point, nous allons à la hauteur supérieure, c'est-à-dire dans la direction d'augmenter l'angle.

Cette fois, nous procédons. Comment y vas-tu? Sur arcsin x. Donc, le deuxième point est P + Arcsin X. Pourquoi pas moins? Parce que moins dans les disques - 7arcsin A dénote le mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre et nous avons marché contre. Et en conclusion, à chaque extrémité de l'intervalle, ajoutez 2pn.

5) sinx\u003e a, si A\u003e 1.

Un seul cercle se trouve entièrement sous la droite y \u003d a. Il n'y a pas de point au-dessus droit. Donc, il n'y a pas de solution.

6) sinx\u003e -a, où a\u003e 1.

Dans ce cas, tout le cercle de l'unité se situe sur une ligne droite y \u003d a. Par conséquent, tout point satisfait à la condition sinx\u003e a. Donc x est un nombre quelconque.

Et ici X - Tout nombre, puisque les points -P / 2 + 2pn sont inclus dans la solution, contrairement à la stricte inégalité sinx\u003e -1. Rien à exclure n'est pas nécessaire.

Le seul point sur le cercle satisfaisant cette condition est p / 2. Compte tenu de la période des sinus, la solution de cette inégalité est l'ensemble des points X \u003d p / 2 + 2pn.

Par exemple, résoudre l'inégalité sinx\u003e -1/2:

Les inégalités sont le rapport de la forme A\u003e B, où a et b sont des expressions contenant au moins une variable. Les inégalités peuvent être strictes - \u003c,\u003e et incroyable - ≥, ≤.

Les inégalités trigonométriques sont une expression de la forme: F (x)\u003e a, f (x) \u003ca, f (x) ≤ a, f (x) ≥ a, dans laquelle f (x) est représenté par un ou plusieurs trigonométriques les fonctions.

Un exemple de l'inégalité trigonométrique la plus simple est: Sin X \u003c1/2. Il est décidé de résoudre graphiquement de telles tâches, deux manières ont été développées pour cela.

Méthode 1 - Solution d'inégalités en construisant un calendrier de fonction

Pour trouver un écart qui satisfait les conditions inégalités sin X \u003c1/2, vous devez effectuer les étapes suivantes:

1. Sur le coordonner l'axe Construire sinusoïde y \u003d péché x.
2. Sur le même axe, dessinez un graphique de l'argument numérique de l'inégalité, c'est-à-dire directement, passant à travers le ½ état d'OY.
3. Marquez les points d'intersection de deux graphiques.
4. Sharp Le segment étant, la solution de l'exemple.

Lorsqu'il y a des signes stricts dans l'expression, les points d'intersection ne sont pas des solutions. Depuis la plus petite période positive des sinusoïdes est de 2π, nous écrirons la réponse comme suit:

Si les signes d'expressions sont incroyables, l'intervalle de solutions doit être enfermé entre crochets. La réponse de la tâche peut également être écrite comme une autre inégalité:

Méthode 2 - Résoudre les inégalités trigonométriques à l'aide d'un cercle unique

Ces tâches sont facilement résolues et à l'aide d'un cercle trigonométrique. L'algorithme de recherche de réponse est très simple:

1. Tout d'abord, cela vaut la peine de dessiner un seul cercle.
2. Il est ensuite nécessaire de noter la valeur de l'arcfonction de l'argument du côté droit de l'inégalité sur le cercle Arc.
3. Il est nécessaire de procéder à une passe droite traversant la valeur de l'arcfunction parallèle à l'axe Abscisse (OH).
4. Après qu'il ne reste plus que pour souligner l'arc de circonférence, qui est une variété de solutions d'inégalité trigonométrique.
5. Enregistrez la réponse dans le formulaire requis.

Nous analyserons les étapes de la solution sur l'exemple de l'inégalité SIN X\u003e 1/2. Il y a des points α et β sur le cercle - valeurs

Les points d'arc situés au-dessus de α et β sont l'intervalle de résolution de l'inégalité spécifiée.

Si vous devez résoudre un exemple pour COS, l'arc des réponses sera localisé du bœuf à l'axe symétrique et non de OY. Considérez la différence entre les intervalles de solutions SIN et COS sur les régimes ci-dessous.

Des solutions graphiques pour les inégalités de tangents et kotangent seront différentes de sinus et de cosinus. Ceci est dû aux propriétés des fonctions.

Les arctanèges et les arcotangènes sont tangents au cercle trigonométrique et la période positive minimale pour les deux fonctions est égale à π. Pour utiliser rapidement et correctement la deuxième façon, vous devez vous rappeler lequel de l'axe les valeurs de SIN, COS, TG et CTG sont reportées.

Tanner Tangent passe parallèlement à l'axe de l'OY. Si vous postez la valeur d'ARCTG A sur un seul cercle, le deuxième point requis sera situé dans un quartier diagonal. Coins

Il y a des points d'écart pour une fonction, comme l'horaire les cherche, mais ne atteint jamais.

Dans le cas de cotangents, la tangencence passe parallèlement à l'axe de bœuf et la fonction est interrompue aux points π et 2π.

Inégalités trigonométriques complexes

Si l'argument de la fonction d'inégalité est présenté non seulement une variable, mais une expression entière contenant un inconnu, alors le discours est déjà sur l'inégalité complexe. Le cours et l'ordre de sa solution sont quelque peu différents des méthodes décrites ci-dessus. Supposons qu'il soit nécessaire de trouver une solution à l'inégalité suivante:

La solution graphique implique la construction de sinusoïdes conventionnels y \u003d péché x selon des valeurs choisies arbitrairement x. Calculer la table avec des coordonnées pour les points de référence des graphiques:

En conséquence, il devrait y avoir une belle courbe.

Pour la simplicité de trouver une solution à la fonction Remplacer l'argument complexe

La plupart des étudiants des inégalités trigonométriques sont désignés. Et en vain. Comment un personnage a-t-il utilisé pour dire

"Vous ne savez tout simplement pas comment les cuisiner"

Donc, comment "cuisiner" et avec quoi déposer des inégalités avec Sine, nous le découvrirons dans cet article. Nous déciderons le plus façon simple - Utiliser un cercle unique.

Donc, la première fois, nous aurons besoin de l'algorithme suivant.

Algorithme pour les solutions d'inégalité des sinus:

1. sur l'axe sine, nous reportons le nombre $ A $ et passons directement parallèlement à l'axe du cosinus à l'intersection avec le cercle;
2. les points d'intersection de cette ligne droite avec le cercle seront peints, si l'inégalité est incroyable et non peinte, si l'inégalité est stricte;
3. la zone de la solution d'inégalité sera au-dessus de la circonférence et de la circonférence, si l'inégalité contient un signe "$\u003e $", et ci-dessous directement et au cercle, si l'inégalité contient un signe "$<$”;
4. pour trouver les points d'intersection, nous résolvons l'équation trigonométrique $ \\ sin (x) \u003d un $, nous obtenons $ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (a) + \\ pi n $;
5. croyant $ n \u003d 0 $, nous trouvons le premier point d'intersection (c'est soit dans la première, soit au quatrième trimestre);
6. pour trouver le deuxième point, nous examinons quelle direction nous allons sur la région jusqu'au deuxième point d'intersection: si dans la direction positive, la norme $ n \u003d 1 $ doit être prise et, si, en négatif, alors $ n \u003d n \u003d -1 $;
7. en réponse, l'écart d'un point d'intersection inférieur de + 2 \\ pi N $ est jusqu'à une plus grande $ + 2 \\ pi N $.

Restriction d'algorithme

Important: D.algorithme ne marche pas Pour les inégalités de la forme $ \\ sin (x)\u003e 1; \\ \\ sin (x) \\ geq 1, \\ \\ sin (x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Cas privés dans la résolution des inégalités avec sinus

Il est également important de noter les cas suivants qui sont beaucoup plus pratiques à résoudre logiquement sans utiliser l'algorithme ci-dessus.

Affaire privée 1. Résoudre les inégalités:

$ \\ sin (x) \\ Leq 1. $

En raison du fait que la région est fonction trigonométrique $ y \u003d \\ sin (x) $ pas plus module $ 1 $, puis partie gauche inégalités avec tout$ x $ à partir de la zone de définition (et la zone de définition de sinus est tous des nombres valides) pas plus de 1 $ $. Et cela signifie, en réponse, nous écrivons: $ x \\ en r $.

Conséquence:

$ \\ sin (x) \\ geq -1. $

Cas privé 2. Résoudre les inégalités:

$ \\ sin (x)< 1.$

Appliquer un raisonnement similaire cas similaire, nous obtenons que la partie gauche de l'inégalité est inférieure à 1 $ pour tous $ x \\ en r $, sauf pour les points de la solution de l'équation $ \\ sin (x) \u003d 1 $ . Résoudre cette équation, nous aurons:

$ x \u003d (-1) ^ (n) \\ arcsin (1) + \\ pi n \u003d (-1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n. $

Et, cela signifie, en réponse, nous écrivons: $ x \\ in r \\ backslash \\ gauches \\ (((((n) \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n \\ droite \\) $.

Conséquence: De même, l'inégalité est résolue

$ \\ sin (x)\u003e -1 $

Exemples de solutions d'inégalité utilisant un algorithme.

Exemple 1:Résoudre les inégalités:

$ \\ sin (x) \\ geq \\ frac (1) (2). $

1. Nous notons sur les axes de sinus de la coordonnée de $ \\ frac (1) (2) $.
2. Passons directement parallèlement à l'axe de cosinus et passons à travers ce point.
3. Notez les points d'intersection. Ils seront peints, car l'inégalité est incroyable.
4. Le signe de l'inégalité de $ \\ geq $, ce qui signifie qu'ils peignent la zone ci-dessus droit, c'est-à-dire Petit demi-cercle.
5. Nous trouvons le premier point d'intersection. Pour cela, l'inégalité est la conversion en égalité et la résolvez-la: $ \\ sin (x) \u003d \\ frac (1) (2) \\ \\ rightarrow \\ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (\\ frac (1) (2)) + \\ pi n \u003d (- 1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi n $. Nous supposons davantage $ n \u003d 0 $ et nous trouvons le premier point d'intersection: $ x_ (1) \u003d \\ frac (\\ pi) (6) $.
6. Trouvez un deuxième point. Notre région est dans la direction positive du premier point, ce qui signifie $ N $ Nous supposons 1 $: $ x_ (2) \u003d (- 1) ^ (1) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi \\ CDOT 1 \u003d \\ PI - \\ frac (\\ pi) (6) \u003d \\ frac (5 \\ pi) (6) $.

Ainsi, la solution prendra la forme:

$ x \\ in \\ Gauche [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ Frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ droite], \\ n \\ in z. $

Exemple 2:Résoudre les inégalités:

$ \\ sin (x)< -\frac{1}{2}$

Nous notons sur l'axe des sinus coordonnées $ - \\ frc (1) (2) $ et nous passerons directement parallèlement à l'axe du cosinus et passant à travers ce point. Notez les points d'intersection. Ils ne seront pas peints, car l'inégalité est stricte. Signe d'inégalité $ $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$ \\ sin (x) \u003d - \\ frac (1) (2) $

$ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (\\ gauche (- \\ frac (1) (2) \\ droite)) + \\ pi n \u003d (- 1) ^ (n + 1) \\ frac (\\ pi ) (6) + \\ pi n $.

Croire en outre $ n \u003d 0 $, nous trouvons le premier point d'intersection: $ x_ (1) \u003d - \\ frac (\\ pi) (6) $. Notre région passe dans une direction négative du premier point, ce qui signifie $ n $ nous supposons égal à $ -1 $: $ x_ (2) \u003d (- 1) ^ (- 1 + 1) \\ frac (\\ pi) (\\ pi) ( 6) + \\ pi \\ CDOT (-1) \u003d - \\ PI + \\ frac (\\ pi) (6) \u003d - \\ frac (5 \\ pi) (6) $.

Donc, la solution de cette inégalité sera l'écart:

$ x \\ in \\ Gauche (- \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi; - \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ droite), \\ n \\ in z. $

Exemple 3:Résoudre les inégalités:

1 $ - 2 \\ \\ SIN (\\ Gauche (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ droite)) \\ Leq 0. $

Cet exemple doit être résolu immédiatement à l'aide de l'algorithme. Pour commencer, il doit être converti. Nous faisons exactement comment ils se feraient avec l'équation, mais n'oublions pas le signe. La division ou la multiplication sur un numéro négatif change à l'inverse!

Nous déplaçons donc tout ce qui ne contient pas de fonction trigonométrique dans le côté droit. On a:

$ - 2 \\ \\ sin (\\ gauche (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ droite)) \\ Leq -1. $

Nous divisons la gauche et la main droite sur $ -2 $ (n'oubliez pas le signe!). Aura:

$ \\ sin (\\ gauche (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ droite)) \\ geq \\ frac (1) (2). $

Encore une fois, il a révélé l'inégalité que nous ne pouvons pas résoudre avec l'aide de l'algorithme. Mais il suffit déjà de remplacer la variable:

$ T \u003d \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6). $

Nous obtenons des inégalités trigonométriques, qui peuvent être résolues à l'aide d'un algorithme:

$ \\ sin (t) \\ geq \\ frac (1) (2). $

Cette inégalité a été résolue dans l'exemple 1, il y a donc des réponses de là:

$ t \\ in \\ Gauche [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ Frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ droite]. $

Cependant, la décision n'a pas encore fini. Nous devons revenir à la variable source.

$ (\\ Frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6)) \\ in \\ gauche [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ Frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ droite]. $

Imaginez l'écart sous la forme du système:

$ \\ gaucher \\ (\\ begin (tableau) (c) \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ geq \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n, \\\\ \\ Frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ Leq \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n. \\ fin (tableau) \\ droite. $

Dans les parties gauche du système, il existe une expression ($ \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) $), qui appartient à l'écart. Pour la première inégalité, la bordure gauche de l'écart est responsable et pour la seconde est la droite. Et les crochets jouent un rôle important: si le support est carré, l'inégalité sera incroyable et si le tour, alors strict. Notre tâche de rester à gauche x $ dans les deux inégalités.

Nous souffrons $ \\ frac (\\ pi) (6) $ du côté gauche à droite, nous obtenons:

$ \\ gaucher \\ (\\ begin (tableau) (c) \\ frac (x) (4) \\ geq \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n - \\ frac (\\ pi) (6), \\\\ \\ Frac (x) (4) \\ Leq \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n - \\ frac (\\ pi) (6). \\ Fin (matrice) \\ droite. $

Simplifier, nous aurons:

$ \\ Gauche \\ (\\ commencements (tableau) (c) \\ frac (x) (4) \\ geq 2 \\ pi n, \\\\ \\ frac (x) (4) \\ Leq \\ frac (2 \\ pi) (3) + 2 \\ pi n. \\ fin (tableau) \\ droite. $

Multiplier les parties gauche et droite de 4 $ $, nous obtenons:

$ \\ Gauche \\ (\\ begin (tableau) (c) x \\ geq 8 \\ pi n, \\\\ x \\ leq \\ frac (8 \\ pi) (3) + 8 \\ pi n. \\ extrémité (tableau) \\ droite. $

Collecte du système dans l'intervalle, nous obtiendrons la réponse:

$ x \\ in \\ Gauche [8 \\ pi n; \\ Frac (8 \\ pi) (3) + 8 \\ pi n \\ droite], \\ n \\ in z. $

1. Si l'argument est complexe (différent de h.), Je le remplace t..

2. Construire dans le même plan de coordonnées jouet Fonctions graphiques y \u003d coût. et y \u003d A..

3. Nous trouvons de tels deux points voisins d'intersection des graphiquesentre lequel est situé au-dessus droit y \u003d a. Nous trouvons les abscissions de ces points.

4. Enregistrez une double inégalité pour l'argument t., étant donné la période de Kosinus ( t. sera entre les abscissions trouvées).

5. Nous effectuons un remplaçant (retour à l'argument initial) et expriment une importance h. De la double inégalité, écrivez une réponse sous la forme d'un écart numérique.

Exemple 1.

Ensuite, selon l'algorithme, déterminez les valeurs de l'argument t.dans lequel la sinusoïde est située dessus droit. Nous repoussons ces valeurs sous la forme d'une double inégalité, compte tenu de la fréquence de la fonction de cosinus, puis de revenir à l'argument initial h..

Exemple 2.

Sélectionnez l'espace des valeurs t., dans lequel la sinusoïde est au-dessus droit.

Écrire sous la forme d'une double inégalité t, condition satisfaisante. N'oubliez pas que la plus petite période de fonction y \u003d coût. corbeau 2π.. Retour à la variable h., simplifiant progressivement toutes les parties de la double inégalité.

La réponse est enregistrée sous la forme d'un écart numérique fermé, car l'inégalité était incroyable.

Exemple 3.

Nous serons intéressés par l'écart des valeurs t.Dans lequel les points des sinusoïdes se situeront au-dessus droit.

Valeurs t. Nous écrivons sous la forme d'une double inégalité, redémarrons les mêmes valeurs pour 2x et exprimer h.. La réponse écrira sous la forme d'un écart numérique.

Et encore formule Coût\u003e a.

Si un coût\u003e A., (-1≤mais≤1) alors - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Appliquez des formules pour résoudre les inégalités trigonométriques et vous gagnerez du temps sur les tests d'examen.

Et maintenant formule Vous devez tirer parti de l'examen ET ou par exemple lors de la résolution de l'inégalité trigonométrique du type Coût.

Si un coût. , (-1≤mais≤1) alors Arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Appliquez cette formule pour résoudre les inégalités discutées dans cet article, et vous recevrez une réponse beaucoup plus rapide et sans aucun graphique!

Considérant la fréquence de la fonction du sinus, nous écrivons une double inégalité pour les valeurs de l'argument t.satisfaire la dernière inégalité. Revenons à la variable initiale. Nous transformons la double inégalité obtenue et exprime la variable x.Répondre écrivez sous la forme d'un écart.

Nous résolvons la deuxième inégalité:

En résolvant la deuxième inégalité, nous devions transformer la partie gauche de cette inégalité par la formule sinusoïdale à double argument pour obtenir l'inégalité de la forme: sint≥a. Ensuite, nous avons suivi l'algorithme.

Nous résolvons la troisième inégalité:

Chers diplômés et candidats! Gardez à l'esprit que de telles façons de résoudre les inégalités trigonométriques, comme la méthode graphique ci-dessus et, à coup sûr, vous savez que la solution d'un cercle trigonométrique unique (cercle trigonométrique) n'est applicable que lors des premières étapes d'étude de la trigonométrie des équations trigonométriques des équations trigonométriques et des inégalités. " Je pense que vous vous souvenez que les équations trigonométriques les plus simples que vous avez résolues avec des graphiques ou des cercles. Cependant, maintenant, vous n'aimerez pas résoudre des équations trigonométriques de telle manière. Et comment décidez-vous? C'est vrai, selon les formules. Ici et les inégalités trigonométriques doivent être résolues par des formules, en particulier sur les tests lorsque la route est chaque minute. Donc, décidez les trois inégalités de cette leçon dans la formule appropriée.

Si un sint\u003e A.où -1≤. uNE.≤1, T. Arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, Nєz.

Enseigner la formule!

Et, enfin, savez-vous que les mathématiques sont les définitions, règles et formules ?!

Bien sûr que vous savez! Et la plus curieuse, ayant étudié cet article et examiner la vidéo, s'est exclamée: «Combien de temps et difficile! Existe-t-il une formule qui vous permet de résoudre ces inégalités sans aucun graphique et de cercles? " Oui, bien sûr, il y a!

Pour résoudre les inégalités de la forme: sint. (-1≤mais≤1) La formule est vraie:

- π - arcsin A + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Appliquez-le aux exemples considérés et vous recevrez la réponse beaucoup plus rapidement!

Production: Apprendre la formule, les amis!

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Dans une leçon pratique, nous répétons les types de base des tâches du sujet "Trigonométry", qui analysera également les tâches d'une complexité accrue et envisageront des exemples de résolution de diverses inégalités trigonométriques et de leurs systèmes.

Cette leçon vous aide à préparer l'un des types de tâches Q5, B7, C1 et C3.

Commençons par la répétition des principaux types de tâches que nous avons examinée dans le sujet «Trigonométry» et résolvez plusieurs tâches non standard.

Numéro de tâche 1.. Effectuer la traduction des angles dans les radians et les degrés: a); b).

a) Nous utilisons la formule de traduction pour degrés vers les radians

Nous substituons la valeur spécifiée.

b) Appliquer la formule de traduction de radian à degrés

Substitution d'adaptation .

Répondre. mais) ; b).

Numéro de tâche 2.. Calculer: a); b).

a) Étant donné que l'angle dépasse le cadre de la table, en le réduisant en soustrayant la période des sinus. Parce que L'angle est indiqué dans les radians, puis nous examinerons la période comme.

b) Dans ce cas, la situation est similaire. Étant donné que l'angle est spécifié en degrés, la période de tangentes sera considérée comme.

L'angle résultant, bien que moins que la période, mais plus, et cela signifie qu'il n'est pas le principal, mais à la partie étendue de la table. Pour ne pas former à nouveau votre mémoire avec la mémorisation d'une table étendue des valeurs de trigaofunèse, soustrayez la période de tangente à nouveau:

Nous avons utilisé l'étrangeté de la fonction tangente.

Répondre. a) 1; b).

Tâche numéro 3.. Calculer , si un .

Nous donnons toute l'expression aux tangentes, divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction. Dans le même temps, nous ne pouvons pas avoir peur que, parce que Dans ce cas, les valeurs de tangente n'existeraient pas.

Tâche numéro 4.. Simplifier l'expression.

Ces expressions sont converties par les formules. Ils sont tout simplement inhabituellement écrits à l'aide de degrés. La première expression est généralement un nombre. Nous simplifions tous les trigufunfonctions à son tour:

Parce que , la fonction change de cofonction, c'est-à-dire Sur la kotnence, et l'angle tombe dans le deuxième trimestre, dans lequel la tangente initiale est un signe négatif.

Pour les mêmes raisons que l'expression précédente, la fonction change de cofonction, c'est-à-dire Sur Kothannz, et l'angle tombe dans le premier trimestre, dans lequel la tangente initiale a un signe positif.

Nous substituons tout dans une expression simplifiée:

Tâche numéro 5.. Simplifier l'expression.

Coupez la tangente du double angle en fonction de la formule correspondante et simplifie l'expression:

La dernière identité est l'une des formules du remplacement universel de la cosinine.

Numéro de tâche 6.. Calculer.

La principale chose n'est pas de faire une erreur standard et de ne pas répondre à ce que l'expression est égale. Il est impossible d'utiliser la propriété principale d'Arctgennce jusqu'à ce qu'il y ait un multiplicateur sous la forme d'un TWO. Afin de se débarrasser de l'expression sur la formule tangente du double angle, en relatif à, comme argument ordinaire.

Maintenant, vous pouvez déjà appliquer la propriété principale d'Arctangent, rappelez-vous qu'il n'y a pas de restrictions à son résultat numérique.

Numéro de tâche 7.. Résoudre l'équation.

Lors de la résolution d'une équation fractionnaire, ce qui est égal à zéro, il indique toujours que le numérateur est égal à zéro et il n'y a pas de dénominateur, car Il est impossible de partager zéro.

La première équation est un cas particulier de l'équation la plus simple, qui est résolue à l'aide d'un cercle trigonométrique. N'oubliez pas de cette méthode de solutions. La deuxième inégalité est résolue comme une équation la plus simple sur la formule générale des racines de la tangente, mais uniquement avec le signe du signe inégal.

Comme vous pouvez le constater, une famille de racines exclut l'autre exactement le même type de famille d'une équation de racines non satisfaisante. Ceux. Pas de racines.

Répondre. Pas de racines.

Numéro de tâche 8.. Résoudre l'équation.

Notez immédiatement que vous pouvez faire un facteur commun et le faire:

L'équation a commencé à l'une des formes standard lorsque le produit de plusieurs facteurs est nul. Nous savons déjà que dans ce cas ou l'un d'entre eux est zéro ou un autre, ou le troisième. Nous l'écrivons sous la forme d'un ensemble d'équations:

Les deux premières équations sont des cas spéciaux de la plus simple, avec de telles équations que nous avons déjà rencontrées à plusieurs reprises. Vous devez donc préciser immédiatement leurs solutions. La troisième équation donne une fonction à l'aide d'une formule de sinus à double angle.

Récemment, la dernière équation:

Cette équation n'a pas de racines, car La valeur des sinus ne peut pas aller au-delà .

Ainsi, la décision n'est que la première première famille de racines, elles peuvent être combinées dans une seule chose, qui est facilement affichée sur le cercle trigonométrique:

C'est une famille de la moitié de la moitié, c'est-à-dire

Passons à la solution des inégalités trigonométriques. Premièrement, nous analyserons l'approche de résolution d'un exemple sans utiliser de formules pour des solutions générales et avec l'aide d'un cercle trigonométrique.

Numéro de tâche 9.. Résoudre les inégalités.

Je serai affiché sur la ligne auxiliaire du cercle trigonométrique correspondant à la valeur de sinus égale et montrez l'intervalle d'angle satisfaisant des inégalités.

Il est très important de comprendre exactement comment spécifier l'écart résultant des coins, c'est-à-dire Quel est son début et quelle est la fin. Le début de l'écart sera l'angle correspondant au point dans lequel nous entrerons au tout début de l'écart si nous nous déplaçons dans le sens antihoraire. Dans notre cas, c'est le point situé à gauche, car Se déplacer dans le sens antihoraire et passer le bon point, nous partons au contraire de l'intervalle requis des coins. Le bon point correspondra donc à la fin de l'écart.

Maintenant, il est nécessaire de comprendre les valeurs des angles du début et de la fin de notre intervalle de solutions d'inégalité. Une erreur typique consiste à spécifier que le point de droite correspond à l'angle, laissé et donnez une réponse. Ce n'est pas vrai! Veuillez noter que nous venons de souligner l'écart correspondant à la partie supérieure du cercle, bien que nous soyons intéressés par le bas, autrement dit, nous avons confondu le début et la fin de l'intervalle de solution dont vous avez besoin.

Pour que l'intervalle commence par l'angle du point droit et s'est terminé par l'angle du point de gauche, il est nécessaire que le premier angle spécifié soit inférieur au second. Pour ce faire, l'angle du point de droite devra être mesuré dans une direction de référence négative, c'est-à-dire Dans le sens des aiguilles d'une montre et il sera égal. Ensuite, en commençant le mouvement de celui-ci dans un sens positif dans le sens des aiguilles d'une montre, nous tomberons sur le point droit après le point de gauche et obtenez une valeur d'angle pour cela. Maintenant, le début de l'écart des angles est inférieur à la fin et nous pouvons graver l'écart des solutions sans prendre en compte la période:

Étant donné que de tels intervalles vont répéter le nombre infini de fois après tout Nombre total de virages, nous obtenons une solution générale en ce qui concerne la période des sinus:

Les crochets ronds sont dus au fait que l'inégalité est stricte et pointe sur le cercle, qui correspond aux extrémités de l'écart, nous pompons.

Comparez la réponse reçue à la formule de décision générale que nous avons conférée.

Répondre. .

Cette méthode est bonne pour comprendre où les solutions générales des trigrés les plus simples sont extraites de la formule. De plus, il est utile pour ceux qui sont trop paresseux pour enseigner toutes ces formules volumineuses. Cependant, par lui-même, la méthode est également difficile, choisissez quelle approche pour vous résoudre est la plus pratique.

Pour résoudre les inégalités trigonométriques, il est également possible d'utiliser des graphiques de fonctions sur lesquelles une ligne auxiliaire est construite de la même manière dans la méthode utilisant un cercle unique. Si vous êtes intéressé, essayez de traiter cette approche vous-même. À l'avenir, nous utiliserons des formules générales pour résoudre les inégalités trigonométriques les plus simples.

Numéro de tâche 10.. Résoudre les inégalités.

Nous utilisons la formule de décision générale en tenant compte du fait que l'inégalité du non-ARC:

Nous entrons dans notre cas:

Répondre.

Numéro de tâche 11.. Résoudre les inégalités.

Nous utilisons la formule de décision générale pour l'inégalité stricte pertinente:

Répondre. .

Numéro de tâche 12.. Résoudre les inégalités: a); b).

Dans ces inégalités, il n'est pas nécessaire de se dépêcher d'utiliser des formules de solutions générales ou de cercle trigonométrique, il suffit de se souvenir de la région des valeurs de sinus et de cosinus.

a) depuis L'inégalité n'a pas de sens. Par conséquent, il n'y a pas de solution.

b) parce que De même, le sinus de tout argument satisfait toujours à l'inégalité spécifiée dans la condition. Par conséquent, l'inégalité est satisfaite de toutes les valeurs valides de l'argument.

Répondre. a) pas de solutions; b).

Tâche 13.. Résoudre les inégalités .