L'axe est une direction. Ainsi, la projection sur l'axe ou le direct dirigé est considérée comme la même. La saillie est algébrique et géométrique. Dans la géométrique, comprenez la projection du vecteur sur l'axe comme vecteur et algébrique - le nombre. C'est-à-dire que les concepts de la projection de vecteur sur l'axe et la conception numérique du vecteur sur l'axe sont appliqués.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Si nous avons un axe l et le vecteur non nul A B →, nous pouvons construire le vecteur A 1 B 1 ⇀, indiquant les projections de ses points A 1 et B 1.

A 1 B → 1 sera la projection du vecteur A B → sur L.

Définition 1.

Projection de vecteur sur l'axe Ils appellent le vecteur, le début et la fin sont les projections du début et la fin du vecteur spécifié. N p l a b → → Il est de coutume de désigner la projection A B → sur L. Pour la construction de la saillie sur l, perpendiculairement à L est abaissée.

Exemple 1.

Exemple de projection de vecteur sur l'axe.

Sur le avion coordonné Le X Y est défini point m 1 (x 1, y 1). Il est nécessaire de construire des projections sur OH et O pour l'image du rayon-vectoriel point m 1. Nous obtenons les coordonnées des vecteurs (x 1, 0) et (0, y 1).

Si un c'est discours Sur la projection A → ON NONZERO B → ou projections A → Sur la direction B →, il s'agit de la projection A → sur l'axe avec lequel la direction de B →. Projection A → Le Direct, défini B →, a la désignation N p B → A → →. On sait que lorsque l'angle entre A → et B → peut être considéré comme n p b → a → → et b → co-contrôlé. Dans le cas où l'angle est stupide, n p b → a → → et b → inadmissiblement dirigé. Dans une situation de perpendicularité d'un → et de B →, avec → zéro, projection a → dans la direction B → est un vecteur zéro.

Caractéristiques numériques de la projection de vecteur sur l'axe - la projection numérique du vecteur sur l'axe spécifié.

Définition 2.

Projection de vecteur numérique sur l'axe Ils appellent le nombre égal au produit de la longueur de ce vecteur sur le cosinus de l'angle entre le vecteur donné et le vecteur, qui détermine la direction de l'axe.

La saillie numérique A B → ON L a la désignation N p L a B → et a → sur B → n p b → a →.

Basé sur la formule, nous obtenons NPB → A → \u003d A → · COS A →, B → ^, à partir de l'endroit où A → est la longueur du vecteur A →, A ⇀, B → ^ - L'angle entre les vecteurs d'un → et b →.

Nous obtenons la formule de calcul de la saillie numérique: N p b → a → \u003d a → · cos a →, b → ^. Il est applicable aux longueurs bien connues A → et B → et le coin entre eux. La formule est applicable avec les coordonnées connues d'A → et B →, mais il existe une vue simplifiée.

Exemple 2.

Découvrez une saillie numérique A → directement dans la direction B → à une longueur A → égale à 8 et un angle entre eux dans 60 degrés. Par état, nous avons un ⇀ \u003d 8, A ⇀, B → ^ \u003d 60 °. Donc, nous substituons valeurs numériques Dans la formule N p ⇀ A → \u003d A → · COS A →, B → ^ \u003d 8 · COS 60 ° \u003d 8 · 1 2 \u003d 4.

Répondre: 4.

Avec le COS connu (A →, B → ^) \u003d A ⇀, B → A → → B →, nous avons un →, B → comme produit scalaire A → et B →. Suivant de la formule n p B → A → \u003d A → · COS A ⇀, B → ^, nous pouvons trouver une saillie numérique A → visée par le vecteur B → et nous obtenons NPB → a → \u003d a →, b → b →. La formule équivaut à la définition spécifiée au début du paragraphe.

Définition 3

La projection numérique du vecteur A → sur l'axe coïncidant dans la direction de B →, est appelée le rapport du produit scalaire des vecteurs A → et B → à la longueur B →. Formule n p B → A → \u003d A →, B → B → Applicez pour trouver une projection numérique A → à une ligne droite, qui coïncide dans la direction avec B →, avec des coordonnées connues → et b →.

Exemple 3.

Ensemble B → \u003d (- 3, 4). Trouver une saillie numérique A → \u003d (1, 7) sur l.

Décision

Sur le plan de coordonnées NPB → A → \u003d A →, B → B → a le formulaire NPB → A → \u003d A →, B → B → \u003d AX · BX + AY · BYBX 2 + par 2, avec A → \u003d (AXE , Ay) et b → \u003d bx, par. Pour trouver une projection numérique du vecteur A → sur l'axe L, vous avez besoin: NP LA → \u003d NPB → A → A → \u003d \u003d A →, B → B → BX + AY · BYBX 2 + par 2 \u003d 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 \u003d 5.

Répondre:5.

Exemple 4.

Trouvez une projection A → sur L co-implémentant avec la direction B →, où il y a un → \u003d - 2, 3, 1 et b → \u003d (3, 2, 6). Un espace tridimensionnel est spécifié.

Décision

Selon A → \u003d AX, AY, A → \u003d AX, AY, AZ et B → \u003d BX, par, BZ, nous calculons le produit scalaire: A ⇀, B → \u003d AX · BX + AY · BY + AZ · B z. Final B → Trouver la formule B → \u003d B x 2 + B y 2 + b z 2. Il s'ensuit que la formule de détermination de la projection numérique A → sera: n p b → a ⇀ \u003d A →, B → B → \u003d A x · B x + A Y · B y + A Z · B x 2 + B y 2 + b z 2.

Nous remplacons les valeurs numériques: np l a → \u003d NPB → A → \u003d (- 2) · 3 + 3 · (- 2) + 1 · 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 \u003d - 6 49 \u003d - 6 7 .

Réponse: - 6 7.

Nous examinerons la relation entre une → sur L et la durée de la projection A → sur L. Tenez l'axe L en ajoutant A → et B → du point à L, après quoi nous effectuons une perpendiculaire directement à partir de la fin a → sur L et effectuerons la projection sur L. Il y a 5 variations d'image:

D'abordcas à A → \u003d NPB → A → → → \u003d A → \u003d NPB → A → →, D'où la NPB → A → \u003d A → · COS (A, → B → ^) \u003d A → · COS 0 ° \u003d A → \u003d NPB → A → →.

Deuxièmele boîtier implique l'utilisation de n p b → a → ⇀ \u003d ⇀ \u003d → COS A →, B →, cela signifie n p b → a → \u003d a → · cos (A →, B →) ^ \u003d n p b → a → → →.

Le troisièmele boîtier explique qu'avec NPB → A → → \u003d 0 → Nous obtenons NPB ⇀ A ⇀ A → \u003d A → → COS (A →, B → ^) \u003d A → COS 90 ° \u003d 0, puis NPB → A → 0 et NPB → A → \u003d 0 \u003d NPB → A → →.

Quatrièmele boîtier montre NPB → A → → \u003d A → · COS (180 ° - A →, B → → → ^) \u003d - A → → COS (A → → · ^), suit NPB → A → \u003d A → COS ( A →, B → ^) \u003d - NPB → A → →.

Cinquièmele boîtier montre A → \u003d NPB → A → →, ce qui signifie A → NPB → A → →, à partir d'ici, nous avons NPB → A → \u003d A → · COS A →, B → ^ \u003d A → · COS 180 ° \u003d - A → \u003d - NPB → A →.

Définition 4.

La projection numérique du vecteur A → sur l'axe L, qui est dirigée comme b →, matière:

• la longueur de la projection du vecteur A → sur L, à condition que l'angle entre A → et b → est inférieur à 90 degrés ou égale à 0: N p B → a → \u003d npb → a → → avec la condition 0 ≤ (A →, b →) ^< 90 ° ;
• zéro, sous réserve de perpendicularité des → et b →: n p b → a → \u003d 0, quand (A →, B → ^) \u003d 90 °;
• longueurs de projection A → ON L multiplié par -1, lorsqu'il y a un angle de vecteurs stupide ou détaillé A → et b →: n p b → a → \u003d - n p b → a → → avec condition de 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Exemple 5.

Dana est la longueur de la projection A → sur L, égale à 2. Trouver une saillie numérique A → à condition que l'angle soit de 5 π 6 radians.

Décision

De la condition, il est clair que cet angle est émoussé: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Réponse: - 2.

Exemple 6.

Le plan de x y z est donné avec un vecteur de vecteur A → égal à 6 3, B → (- 2, 1, 2) avec un angle de 30 degrés. Trouvez les coordonnées de la projection A → sur l'axe L.

Décision

Pour commencer, nous calculons la projection numérique du vecteur A →: NPLA → \u003d NPB → A → \u003d A → · COS (A →, B →) ^ \u003d 6 3 · COS 30 ° \u003d 6 3 · 3 2 \u003d 9 .

Par état, l'angle est aigu, puis la projection numérique de A → \u003d la longueur de la projection du vecteur A →: n p l a → \u003d n p l a → → \u003d 9. Ce cas Affiche que les vecteurs n p l a → → → et b → sont co-dirigés, il existe un nombre T, à laquelle l'égalité est vraie: n p l a → → \u003d t · b →. De là, nous voyons que npla → → \u003d t · B →, nous pouvons trouver la valeur du paramètre T: T \u003d NPLA → → B → \u003d 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 \u003d 9 9 \u003d 3 .

Puis np la → → \u003d 3 · B → avec les coordonnées de la projection du vecteur A → sur l'axe L sont égales à b → \u003d (- 2, 1, 2), où il est nécessaire de multiplier les valeurs à 3. avoir np la → → \u003d (- 6, 3, 6). Réponse: (- 6, 3, 6).

Il est nécessaire de répéter les informations précédemment étudiées sur l'état de la colinéarité des vecteurs.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, sélectionnez-la et appuyez sur Ctrl + Entrée.

Supposons que dans l'espace il y a deux vecteurs et. Reporter d'un point arbitraire O. Vecteurs et. Angle Entre les vecteurs et s'appelle le plus petit coin. Dénote .

Considérer l'axe l. Et je vais poster sur un seul vecteur (c'est-à-dire que le vecteur est égal à un).

Sous un angle entre le vecteur et l'axe l. Comprendre l'angle entre les vecteurs et.

Alors laisse l. - Quelques axes et - Vecteur.

Dénoter A 1. et B 1. Projections sur l'axe l.en conséquence, les points UNE. et B.. Prétendons que A 1. a coordonné x 1, mais B 1. - Coordonner x 2 sur l'axe l..

Puis projection Vecteur sur l'axe l. La différence est appelée x 1 – x 2 entre les coordonnées des projections finales et le début du vecteur sur cet axe.

Projection de vecteur sur l'axe l. Nous allons désigner.

Il est clair que si l'angle entre le vecteur et l'axe l. aigue, T. x 2> x 1et projection x 2 – x 1\u003e 0; Si cet angle est stupide, alors x 2< x 1 et projection x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l.T. x 2= x 1 et x 2– x 1=0.

Ainsi, la projection du vecteur sur l'axe l. - C'est la longueur du segment A 1 b 1pris avec un signe défini. Par conséquent, la projection du vecteur sur l'axe est le nombre ou le scalaire.

De même, la projection du même vecteur à un autre est déterminée. Dans ce cas, il existe des processus des extrémités du vecteur donné à ce sujet directement sur lequel le 2e vecteur est.

Considérons une partie du secteur propriétés des projections.

Systèmes de vecteurs linéairement dépendants et linéaires

Considérez plusieurs vecteurs.

Combinaison linéaire Ces vecteurs sont appelés une vue de vecteur, où sont quelques chiffres. Les chiffres sont appelés coefficients combinés linéaires. On dit également que dans ce cas, il est linéairement exprimé par ces vecteurs, c'est-à-dire Il s'échappe d'eux avec des actions linéaires.

Par exemple, si trois vecteurs sont donnés, les vecteurs peuvent être considérés comme une combinaison linéaire:

Si le vecteur est présenté comme une combinaison linéaire de certains vecteurs, ils disent qu'il décomposé Selon ces vecteurs.

Les vecteurs sont appelés linéairement dépendantS'il y a de tels nombres, pas tous égaux zéro que . Il est clair que les vecteurs spécifiés dépendent linéairement si l'un de ces vecteurs est exprimé linéairement dans le reste.

Sinon, c'est-à-dire Quand le ratio Il est effectué uniquement par Ces vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Théorème 1. Tous deux vecteurs dépendent linéairement alors et seulement s'ils sont colinéaires.

Preuve:

De même, vous pouvez prouver le théorème suivant.

Théorème 2. Trois vecteurs dépendent linéairement si et seulement s'ils sont compartiments.

Preuve.

BASE

Base L'ensemble de différents vecteurs autres que les zéros est appelé. Les éléments de base seront notés.

Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que deux vecteur nonolllyline sur l'avion sont linéairement indépendants. Par conséquent, selon le théorème 1, du paragraphe précédent, la base sur l'avion est un vecteur de deux nonolllyline de cet avion.

De même, dans l'espace indépendant de manière linéaire de trois vecteurs non transcompensaires. Par conséquent, la base dans l'espace appellera trois vecteurs non transcompensaires.

Juste la déclaration suivante.

Théorème. Supposons dans l'espace spécifié la base. Ensuite, tout vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire. où x., y., z. - Quelques chiffres. Une telle décomposition est unique.

Preuve.

Ainsi, la base permet de comparer sans ambiguïté les trois nombres à chaque vecteur - les coefficients de décomposition de ce vecteur en fonction du vecteur de base :. Vrai et inverse, chaque triple numéros x, y, z Utilisation de la base, vous pouvez correspondre au vecteur si vous faites une combinaison linéaire .

Si la base I. Les nombres x, y, z appelé coordonnées Vecteur dans cette base. Les coordonnées de vecteur indiquent.

Système de coordonnées Décartova

Laissez le point placé dans l'espace O. Et trois vecteurs non compensants.

Système de coordonnées cartésome Dans l'espace (dans l'avion), il y a un ensemble de points et de base, c'est-à-dire La totalité du point et de trois vecteurs non compensants (2 vecteurs non rigoureux) provenant de ce point.

Point O. appelé le début des coordonnées; Direct, passant par l'origine dans la direction des vecteurs de base, sont appelés axes de coordonnées - l'axe de l'abscisse, de l'ordonnée et de l'applicat. Les avions traversant les axes des coordonnées sont appelés plans de coordonnées.

Considérer dans le système de coordonnées sélectionné point arbitraire M.. Nous introduisons le concept de coordonnée des points M.. Vector Connecter l'origine de la coordonnée avec un point M.. appelé vecteur de rayon Points M..

Le vecteur de la base sélectionnée peut comparer les trois chiffres - ses coordonnées: .

Coordonnées de rayon-vector M.. appelé coordonnées du point M.. Dans le système de coordonnées à l'étude. M (x, y, z). La première coordonnée s'appelle l'abscissue, la deuxième ordonnée, la troisième - Applikate.

Les coordonnées cartésiennes dans l'avion sont définies de la même manière. Ici, le point n'a que deux coordonnées - abscisse et ordonnée.

Il est facile de voir qu'avec un système de coordonnées donné, chaque point a certaines coordonnées. D'autre part, pour chaque chiffre, il existe un point unique ayant ces nombres comme coordonnées.

Si les vecteurs prises comme base dans le système de coordonnées sélectionné ont une seule longueur et sont perpendiculaires, alors le système de coordonnées est appelé. cartésome rectangulaire.

Il est facile de montrer que.

Les guides cosinus du vecteur déterminent pleinement sa direction, mais rien ne parle de sa longueur.

et sur l'axe ou sur tout autre vecteur, il existe les concepts de sa projection géométrique et de sa projection numérique (ou algébrique). Le résultat d'une projection géométrique sera un vecteur, et le résultat d'un nombre valide algébrique - non négatif. Mais avant de procéder à ces concepts, rappelez-vous les informations nécessaires.

Information préliminaire

Le concept principal est le concept du vecteur. Afin d'introduire la définition du vecteur géométrique rappelant quel segment est. Nous introduisons la définition suivante.

Définition 1.

Appelons une partie de la ligne droite, qui a deux frontières sous forme de points.

Couper peut avoir 2 directions. Pour désigner la direction, nous appellerons l'une des limites du segment de celui-ci et l'autre frontière est sa fin. La direction est indiquée de son début à la fin du segment.

Définition 2.

Un segment vectoriel ou dirigé sera appelé un tel segment pour lequel on sait que les limites du segment sont considérées comme le début et qui finissent.

Désignation: Deux lettres: $ \\ Overline (AB) $ - (où $ A $ est son début et $ B $ est sa fin).

Une petite lettre: $ \\ Overline (a) $ (Fig. 1).

Nous introduisons plus de concepts associés au concept de vecteur.

Définition 3

Deux vecteurs non nuls seront appelés collinear s'ils se trouvent sur le même direct ou direct, parallèlement l'un à l'autre (Fig. 2).

Définition 4.

Deux vecteurs non nulle seront appelés les coinulations s'ils satisfont à deux conditions:

1. Ces vecteurs colinéaires.
2. S'ils sont dirigés dans une direction (Fig. 3).

Désignation: $ \\ Overline (a) \\ Overline (B) $

Définition 5

Deux vecteurs non nuls seront appelés de manière opposée inadaptée si elles satisfont deux conditions:

1. Ces vecteurs colinéaires.
2. S'ils sont dirigés dans des directions différentes (Fig. 4).

Désignation: $ \\ Overline (a) ↓ \\ Overline (D) $

Définition 6.

Le vecteur du vecteur $ \\ Overline (a) $ sera appelé la longueur du segment de $ A $.

Désignation: $ | \\ Overline (a) | $

Passons à la définition de l'égalité de deux vecteurs

Définition 7.

Deux vecteurs seront appelés égaux, s'ils satisfont à deux conditions:

1. Ils sont revêtus;
2. Leurs longueurs sont égales (Fig. 5).

Projection géométrique

Comme nous l'avons déjà dit plus tôt, le résultat d'une projection géométrique sera vectoriel.

Définition 8

La projection géométrique du vecteur $ \\ Overline (AB) $ sur l'axe sera appelée un tel vecteur obtenu comme suit: Le point de départ du vecteur $ A $ est projeté sur cet axe. Nous obtenons un point $ A "$ - le début du vecteur souhaité. Le point final du vecteur $ B $ est projeté sur cet axe. Nous obtenons un point $ B" $ - la fin du vecteur souhaité. Le vecteur $ \\ Overline (A "B") $ et sera le vecteur souhaité.

Considérez la tâche:

Exemple 1.

Construisez une projection géométrique de $ \\ Overline (AB) $ à l'axe $ L $ représentée à la figure 6.

Nous effectuons à partir de la $ A $ Perpendiculaire à l'axe $ L $, nous obtenons un point de $ un point sur lequel il "$ point $ B "$ (Fig. 7).

La conception de différentes lignes et surfaces sur le plan vous permet de construire une image visuelle d'objets sous forme de dessin. Nous allons considérer la conception rectangulaire dans laquelle les rayons de conception sont perpendiculaires au plan de projection. Projection de vecteur dans l'avion Vector \u003d (Fig. 3.22), enfermé entre perpendiculaires, omis de son début et de son extrémité.

Figure. 3.23. Projection de vecteur de vecteur sur l'axe.

Dans l'algèbre vectorielle, il est souvent nécessaire de concevoir un vecteur sur l'axe, c'est-à-dire une orientation directe d'une certaine orientation. Un tel design est effectué facilement si le vecteur et l'axe L se trouvent dans le même plan (Fig. 3.23). Cependant, la tâche est compliquée lorsque cette condition n'est pas remplie. Nous construisons la projection de vecteur sur l'axe lorsque le vecteur et l'axe ne sont pas couchés dans le même plan (Fig. 3.24).

Figure. 3.24. Conception de vecteur sur l'axe
en général.

À travers les extrémités du vecteur, nous effectuons un plan perpendiculaire à la ligne droite L. Dans l'intersection avec ce plan direct, le plan est déterminé par deux points A1 et B1 - Vector, qui s'appellera la projection vectorielle de ce vecteur. La tâche de trouver une projection de vecteur peut être résolue plus facilement si le vecteur est donné dans un plan avec l'axe, qui est possible d'être effectué, car les vecteurs libres sont considérés dans l'algèbre de vecteur.

Avec la projection de vecteur, il existe une projection scalaire, ce qui est égal au module de projection de vecteur si la projection vectorielle coïncide avec l'orientation de l'axe L et est égale à son opposé si la projection vectorielle et l'axe de l'axe du vecteur. orientation. La projection scalaire sera notée:

Les projections de vecteur et scalaire ne sont pas toujours divisées de manière terminée dans la pratique. Utilisez généralement le terme "projection du vecteur", impliquant sous cette projection scalaire du vecteur. Lors de la résolution, il est clairement nécessaire de distinguer ces concepts. Suite à la tradition établie, nous utiliserons le terme "projection du vecteur", impliquant une projection scalaire et la "projection de vecteur" - conformément au sens établi.

Nous prouvons le théorème qui vous permet de calculer la projection scalaire du vecteur spécifié.

Théorème 5. La projection du vecteur sur l'axe L est égale au produit de son module sur le cosinus de l'angle entre le vecteur et l'axe, c'est-à-dire

(3.5)

Figure. 3.25. Trouver des vecteurs et scalaires
Projections de vecteur sur l'axe L
(et l'axe L est orienté de manière égale).

PREUVE. Nous effectuerons la pré-construction qui vous permettra de trouver de l'angle G.Entre le vecteur et l'axe de L. Pour ce faire, nous construisons un mn droit, un axe parallèle l et passons à travers le point du vecteur (Fig. 3.25). Coin et sera un angle souhaité. Nous effectuons à travers des points A et environ deux avions, axe perpendiculaire L. Nous obtenons:

Depuis l'axe L et droit mn parallèle.

Nous soulignons deux cas d'interconnexion du vecteur et de l'axe L.

1. Laissez la projection de vecteur et l'axe L sont orientés équivalents (Fig. 3.25). Puis la projection scalaire correspondante .

2. Soit l être orienté dans différentes directions (Fig. 3.26).

Figure. 3.26. Trouver les conceptions de vecteur et scalaire du vecteur sur l'axe L (et l'axe L sont orientés de côtés opposés).

Ainsi, dans les deux cas, l'approbation du théorème est juste.

Théorème 6. Si le début du vecteur est donné à un point de l'axe L, et cet axe est situé dans le plan S, le vecteur se forme avec une projection de vecteur sur le plan S un angle et une projection vectorielle sur le Axe L - Un angle, en outre, le vecteur de la projection est formé entre eux T.