Comment insérer des formules mathématiques dans un site Web ?

Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est celui décrit dans l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées dans le site sous la forme d'images que Wolfram Alpha génère automatiquement. En plus de la simplicité, cette méthode polyvalente contribuera à améliorer la visibilité de votre site dans les moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et, je pense, cela fonctionnera pour toujours), mais c'est moralement dépassé.

Si vous utilisez régulièrement des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax, une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche la notation mathématique dans les navigateurs Web à l'aide du balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) à l'aide d'un simple code, vous pouvez rapidement connecter un script MathJax à votre site, qui sera automatiquement chargé depuis un serveur distant au bon moment (liste de serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax d'un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode, qui est plus compliquée et plus longue, accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur parent MathJax pour une raison quelconque devient temporairement indisponible, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j'ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.

Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux versions du code extraites du site principal de MathJax ou de la page de documentation :

Une de ces variantes de code doit être copiée et collée dans le code de votre page web, de préférence entre les balises et ou juste après la balise ... Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option suit et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.

Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le tableau de bord de votre site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez la première ou la deuxième version du code de chargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près de le début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire car le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est tout. Maintenant, apprenez la syntaxe de balisage MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à intégrer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site Web.

Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée de manière cohérente un nombre illimité de fois. Chacun de ces temps est appelé une itération.

L'algorithme itératif pour construire l'éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 petits cubes restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble, déjà composé de 400 petits cubes. En continuant ce processus indéfiniment, nous obtenons une éponge Menger.

Définition 1. La fonction est appelée même (impair ), si avec chaque valeur de la variable
sens - N.-É. appartient aussi à
et l'égalité

Ainsi, une fonction ne peut être paire ou impaire que si son domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine sur la droite numérique (nombres N.-É. et - N.-É. appartenir à la fois
). Par exemple, la fonction
n'est ni pair ni impair, puisque son domaine de définition
pas symétrique par rapport à l'origine.

Fonction
même depuis
symétrique par rapport à l'origine et.

Fonction
bizarre depuis
et
.

Fonction
n'est ni pair ni impair, car bien que
et est symétrique par rapport à l'origine, les égalités (11.1) ne sont pas satisfaites. Par exemple,.

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe OU puisque si point

appartient aussi au graphisme. Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine, puisque si
appartient au graphe, alors le point
appartient aussi au graphisme.

Pour prouver qu'une fonction est paire ou impaire, les instructions suivantes sont utiles.

Théorème 1. a) La somme de deux fonctions paires (impaires) est une fonction paire (impaire).

b) Le produit de deux fonctions paires (impaires) est une fonction paire.

c) Le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire est une fonction impaire.

d) Si F- une fonction uniforme sur le plateau N.-É. et la fonction g défini sur le plateau
, alors la fonction
- même.

e) Si F Est une fonction étrange sur l'ensemble N.-É. et la fonction g défini sur le plateau
et pair (impair), alors la fonction
- même bizarre).

Preuve... Démontrons, par exemple, b) et d).

b) Soit
et
- même les fonctions. Alors, donc. Le cas des fonctions impaires est considéré de la même manière
et
.

d) Soit F Est une fonction paire. Puis.

Le reste du théorème se démontre de la même manière. Le théorème est démontré.

Théorème 2. N'importe quelle fonction
défini sur le plateau N.-É., symétrique par rapport à l'origine, peut être représenté comme une somme de fonctions paires et impaires.

Preuve... Fonction
peut être écrit comme

.

Fonction
- même depuis
et la fonction
- bizarre parce que. Ainsi,
, où
- même, et
Est une fonction étrange. Le théorème est prouvé.

Définition 2. Fonction
appelé périodique s'il y a un nombre
, de telle sorte que pour tout
les nombres
et
appartient aussi au domaine
et les égalités tiennent

Un tel nombre T appelé période les fonctions
.

La définition 1 implique que si T- période de fonction
, puis le nombre - T trop est la période de la fonction
(depuis lors du remplacement T au - T l'égalité est préservée). En utilisant la méthode d'induction mathématique, on peut montrer que si T- période de fonction F, alors
, est aussi un point. Il s'ensuit que si une fonction a une période, alors elle a une infinité de périodes.

Définition 3. La plus petite des périodes positives d'une fonction s'appelle son le principal période.

Théorème 3. Si T- la période principale de la fonction F, alors les périodes restantes sont des multiples de celui-ci.

Preuve... Supposons le contraire, c'est-à-dire qu'il existe une période les fonctions F (> 0), pas un multiple T... Ensuite, en divisant au T avec le reste, on obtient
, où
... C'est pourquoi

C'est - période de fonction F, et
, et cela contredit le fait que T- la période principale de la fonction F... La contradiction qui en résulte implique l'affirmation du théorème. Le théorème est démontré.

Il est bien connu que les fonctions trigonométriques sont périodiques. Période principale
et
est égal à
,
et
... Trouver la période de la fonction
... Laisser être
- la durée de cette fonction. Puis

(car
.

ouou ou
.

Sens T déterminée à partir de la première égalité ne peut pas être une période, puisqu'elle dépend de N.-É., c'est à dire. est fonction de N.-É. plutôt qu'un nombre constant. La période est déterminée à partir de la deuxième égalité :
... Il y a une infinité de périodes, car
la plus petite période positive est obtenue lorsque
:
... C'est la période principale de la fonction
.

Un exemple d'une fonction périodique plus complexe est la fonction de Dirichlet

Notez que si T est un nombre rationnel, alors
et
sont des nombres rationnels pour rationnel N.-É. et irrationnel avec irrationnel N.-É.... C'est pourquoi

pour tout nombre rationnel T... Par conséquent, tout nombre rationnel T est la période de la fonction de Dirichlet. Il est clair que cette fonction n'a pas de période principale, puisqu'il y a des nombres rationnels, arbitrairement proche de zéro (par exemple, un nombre rationnel peut être fait en choisissant m arbitrairement proche de zéro).

Théorème 4. Si la fonction F donné sur le plateau N.-É. et a une période T et la fonction g donné sur le plateau
, alors la fonction complexe
a aussi une période T.

Preuve... Nous avons donc

c'est-à-dire que l'énoncé du théorème est prouvé.

Par exemple, depuis car X a une période
, alors les fonctions
avoir une période
.

Définition 4. Les fonctions qui ne sont pas périodiques sont appelées non périodique .

même si pour tout \ (x \) de son domaine de définition c'est vrai : \ (f (-x) = f (x) \).

Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe \ (y \) :

Exemple : la fonction \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) est paire, car \ (f (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) La fonction \ (f (x) \) est appelée impair si pour tout \ (x \) de son domaine c'est vrai : \ (f (-x) = - f (x) \).

Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine :

Exemple : la fonction \ (f (x) = x ^ 3 + x \) est impaire car \ (f (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Les fonctions qui ne sont ni paires ni impaires sont appelées fonctions vue générale... Une telle fonction peut toujours être représentée de manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Par exemple, la fonction \ (f (x) = x ^ 2-x \) est la somme d'une fonction paire \ (f_1 = x ^ 2 \) et d'une \ impaire (f_2 = -x \).

\ (\ blacktriangleright \) Quelques propriétés :

1) Le produit et le quotient de deux fonctions de même parité est une fonction paire.

2) Le produit et le quotient de deux fonctions de parité différente - fonction impaire.

3) La somme et la différence des fonctions paires est une fonction paire.

4) La somme et la différence des fonctions impaires est une fonction impaire.

5) Si \ (f (x) \) est une fonction paire, alors l'équation \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) a une racine unique si et seulement si, quand \ (x = 0 \).

6) Si \ (f (x) \) est une fonction paire ou impaire, et que l'équation \ (f (x) = 0 \) a une racine \ (x = b \), alors cette équation aura nécessairement une seconde racine \ (x = -b \).

\ (\ blacktriangleright \) Une fonction \ (f (x) \) est dite périodique sur \ (X \) si \ (f (x) = f (x + T) \), où \ (x, x + T \ dans X \). Le plus petit \ (T \) pour lequel cette égalité est vérifiée est appelé la période principale (principale) de la fonction.

Une fonction périodique a un nombre quelconque de la forme \ (nT \), où \ (n \ in \ mathbb (Z) \) sera également un point.

Exemple : tout fonction trigonométrique est périodique ;
pour les fonctions \ (f (x) = \ sin x \) et \ (f (x) = \ cos x \), la période principale est \ (2 \ pi \), pour les fonctions \ (f (x) = \ mathrm ( tg) \, x \) et \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) la période principale est \ (\ pi \).

Afin de tracer un graphique d'une fonction périodique, vous pouvez tracer son graphique sur n'importe quel segment de longueur \ (T \) (période principale); puis le graphe de la fonction entière est complété en décalant la partie construite d'un nombre entier de périodes vers la droite et la gauche :

\ (\ blacktriangleright \) Le domaine \ (D (f) \) d'une fonction \ (f (x) \) est un ensemble constitué de toutes les valeurs de l'argument \ (x \) pour lesquelles la fonction a un sens (défini).

Exemple : la fonction \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) a la portée : \ (x \ in

Tâche 1 # 6364

Niveau de tâche : Égal à l'examen

Pour quelles valeurs du paramètre \(a\) l'équation

Il a seule décision?

Notez que puisque \ (x ^ 2 \) et \ (\ cos x \) sont des fonctions paires, alors si l'équation a une racine \ (x_0 \), elle aura aussi une racine \ (- x_0 \).
En effet, soit \ (x_0 \) une racine, c'est-à-dire l'égalité \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \) droit. Remplacez \ (- x_0 \) : \ (2 (-x_0) ^ 2 + un \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + un ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + un \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + un ^ 2 = 0 \).

Ainsi, si \ (x_0 \ ne 0 \), alors l'équation aura déjà au moins deux racines. Par conséquent, \ (x_0 = 0 \). Puis:

Nous avons obtenu deux valeurs pour le paramètre \ (a \). Notez que nous avons utilisé le fait que \ (x = 0 \) est exactement la racine de l'équation d'origine. Mais nous n'avons jamais utilisé le fait qu'il est le seul. Par conséquent, il est nécessaire de substituer les valeurs résultantes du paramètre \ (a \) dans l'équation d'origine et de vérifier pour laquelle \ (a \) la racine \ (x = 0 \) sera vraiment unique.

1) Si \ (a = 0 \), alors l'équation prend la forme \ (2x ^ 2 = 0 \). Évidemment, cette équation n'a qu'une seule racine \ (x = 0 \). Par conséquent, la valeur \ (a = 0 \) nous convient.

2) Si \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), alors l'équation prend la forme \ On réécrit l'équation sous la forme \ Parce que \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), alors \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \)... Par conséquent, les valeurs du membre de droite de l'équation (*) appartiennent au segment \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).

Depuis \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), alors côté gauche l'équation (*) est supérieure ou égale à \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).

Ainsi, l'égalité (*) ne peut être vérifiée que lorsque les deux membres de l'équation sont \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). Cela signifie que \ [\ begin (cases) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (cases) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad x = 0 \] Par conséquent, la valeur \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) nous convient.

Réponse:

\ (a \ dans \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)

Quête 2 # 3923

Niveau de tâche : Égal à l'examen

Trouver toutes les valeurs du paramètre \ (a \), pour chacune desquelles le graphique de la fonction \

symétrique par rapport à l'origine.

Si le graphe d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine, alors une telle fonction est impaire, c'est-à-dire que \ (f (-x) = - f (x) \) est valable pour tout \ (x \) du domaine du fonction. Ainsi, il est nécessaire de trouver les valeurs du paramètre pour lesquelles \ (f (-x) = - f (x). \)

\ [\ begin (aligned) & 3 \ mathrm (tg) \, \ left (- \ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a - 3x) ​​4 = 0\quad\Rightarrow\quad2\sin\dfrac12\left (\dfrac (8\pi a + 3x) 4+\dfrac (8\pi a-3x) 4\right)\cdot\ cos\dfrac12\gauche (\dfrac (8\pi a + 3x) 4-\dfrac (8\pi a-3x)4\right) = 0\quad\Rightarrow\quad\sin (2\pi a)\cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ end (aligné) \]

La dernière équation doit être satisfaite pour tout \ (x \) du domaine \ (f (x) \), donc, \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ Rightarrow a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).

Réponse:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Quête 3 # 3069

Niveau de tâche : Égal à l'examen

Trouver toutes les valeurs du paramètre \ (a \), pour chacune desquelles l'équation \ a 4 solutions, où \ (f \) est une fonction périodique paire de période \ (T = \ dfrac (16) 3 \) défini sur toute la droite numérique , et \ (f (x) = ax ^ 2 \) pour \ (0\leqslant x \leqslant\dfrac83.\)

(Défi des abonnés)

Puisque \ (f (x) \) est une fonction paire, son graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc, pour \ (-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\ (f (x) = hache ^ 2 \). Ainsi, pour \ (-\dfrac83\leqslant x\leqslant\dfrac83\), et c'est un segment de longueur \ (\ dfrac (16) 3 \), fonction \ (f (x) = ax ^ 2 \).

1) Soit \ (a> 0 \). Alors le graphe de la fonction \ (f (x) \) ressemblera à ceci :


Ensuite, pour que l'équation ait 4 solutions, il faut que le graphe \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) passe par le point \ (A \) :


D'où, \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (rassemblé) \ begin (aligned) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ fin (aligné) \ fin (rassemblé) \ droite. \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (rassemblé) \ begin (aligned) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (aligned) \ fin (rassemblé) \ droite. \] Puisque \ (a> 0 \), alors \ (a = \ dfrac (18) (23) \) convient.

2) Soit \ (un<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Il faut que le graphe \(g(x)\) passe par le point \(B\) : \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt (-8) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (regroupé) \ begin (aligned) & a = \ dfrac (18) ( 23 ) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ fin (aligné) \ fin (rassemblé) \ droite.\] Depuis un<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Le cas où \ (a = 0 \) ne rentre pas, car alors \ (f (x) = 0 \) pour tout \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) et le l'équation n'aura qu'une racine.

Réponse:

\(a\in\gauche\(-\dfrac (18) (41);\dfrac (18) (23)\droite\)\)

Quête 4 # 3072

Niveau de tâche : Égal à l'examen

Trouver toutes les valeurs \ (a \), pour chacune desquelles l'équation \

a au moins une racine.

(Défi des abonnés)

On réécrit l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) et \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
La fonction \ (g (x) \) est paire, a un point minimum \ (x = 0 \) (de plus, \ (g (0) = 49 \)).
La fonction \ (f (x) \) pour \ (x> 0 \) est décroissante, et pour \ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
En effet, pour \ (x> 0 \) le deuxième module se développe positivement (\ (| x | = x \)), donc, quelle que soit la façon dont le premier module se développe, \ (f (x) \) sera égal à \ ( kx + A \), où \ (A \) est une expression de \ (a \), et \ (k \) est soit \ (- 9 \) soit \ (- 3 \). Pour \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Trouver la valeur \ (f \) au point maximum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, les graphiques des fonctions \ (f \) et \ (g \) doivent avoir au moins un point d'intersection. Par conséquent, vous avez besoin de : \ \\]

Réponse:

\ (a \ dans \ (- 7 \) \ tasse \)

Tâche 5 # 3912

Niveau de tâche : Égal à l'examen

Trouver toutes les valeurs du paramètre \ (a \), pour chacune desquelles l'équation \

a six solutions différentes.

Faisons le remplacement \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). L'équation prend alors la forme \ Nous écrirons progressivement les conditions dans lesquelles l'équation originale aura six solutions.
Notez que l'équation quadratique \ ((*) \) peut avoir au plus deux solutions. Toute équation cubique \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) peut avoir au plus trois solutions. Par conséquent, si l'équation \ ((*) \) a deux solutions différentes (positive !, puisque \ (t \) doit être supérieur à zéro) \ (t_1 \) et \ (t_2 \), alors, ayant fait l'inverse changer, on obtient : \ [\ gauche [\ begin (rassemblé) \ begin (aligned) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ fin (aligné) \ fin (rassemblé) \ droite. \]Étant donné que tout nombre positif peut être représenté par \ (\ sqrt2 \) dans une certaine mesure, par exemple, \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), alors la première équation de l'ensemble sera réécrite sous la forme \ Comme nous l'avons déjà dit, toute équation cubique a au plus trois solutions, par conséquent, chaque équation de l'ensemble aura au plus trois solutions. Cela signifie que l'ensemble complet n'aura pas plus de six solutions.
Cela signifie que pour que l'équation d'origine ait six solutions, l'équation quadratique \ ((*) \) doit avoir deux solutions différentes, et chaque équation cubique obtenue (de l'ensemble) doit avoir trois solutions différentes (de plus, aucune solution d'une l'équation doit coïncider avec laquelle - ou par la décision de la seconde !)
Évidemment, si l'équation quadratique \ ((*) \) a une solution, alors nous n'obtiendrons pas six solutions de l'équation originale.

Ainsi, le plan de solution devient clair. Notons les conditions qui doivent être remplies, point par point.

1) Pour que l'équation \ ((*) \) ait deux solutions différentes, son discriminant doit être positif : \

2) Vous avez également besoin que les deux racines soient positives (puisque \ (t> 0 \)). Si le produit de deux racines est positif et que leur somme est positive, alors les racines elles-mêmes seront positives. Par conséquent, vous avez besoin de : \ [\ begin (cases) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ end (cases) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]

Ainsi, nous nous sommes déjà dotés de deux racines positives différentes \(t_1\) et \(t_2\).

3) Jetons un coup d'oeil à une telle équation \ Pour quel \ (t \) aura-t-il trois solutions différentes ?
Considérons la fonction \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Peut être factorisé : \ Par conséquent, ses zéros sont \ (x = -1; 2 \).
Si nous trouvons la dérivée \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \), alors nous obtenons deux points extremum \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Par conséquent, le graphique ressemble à ceci :


On voit que toute ligne horizontale \ (y = k \), où \ (0 \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t \) avait trois solutions différentes, il faut que \ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Ainsi, il vous faut : \ [\ début (cas) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Remarquons aussi tout de suite que si les nombres \ (t_1 \) et \ (t_2 \) sont différents, alors les nombres \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) et \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) sera différent, par conséquent, les équations \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \) et \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \) aura des racines dépareillées.
Le système \ ((**) \) peut être réécrit comme suit : \ [\ début (cas) 1

Ainsi, nous avons déterminé que les deux racines de l'équation \ ((*) \) doivent se trouver dans l'intervalle \ ((1; 4) \). Comment écrivez-vous cette condition ?
Nous n'écrirons pas les racines explicitement.
Considérons la fonction \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Son graphe est une parabole à branches ascendantes, qui a deux points d'intersection avec l'axe des abscisses (nous avons écrit cette condition au point 1)). A quoi doit ressembler son graphe pour que les points d'intersection avec l'axe des abscisses soient dans l'intervalle \ ((1; 4) \) ? Donc:


Premièrement, les valeurs \ (g (1) \) et \ (g (4) \) de la fonction aux points \ (1 \) et \ (4 \) doivent être positives, et deuxièmement, le sommet de la parabole \ (t_0 \ ) doit également être dans l'intervalle \ ((1; 4) \). On peut donc écrire le système : \ [\ begin (cas) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\ (a \) a toujours au moins une racine \ (x = 0 \). Par conséquent, pour remplir la condition du problème, il est nécessaire que l'équation \

avait quatre racines différentes non nulles représentant, avec \ (x = 0 \), une progression arithmétique.

Notez que la fonction \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) est paire, donc si \ (x_0 \) est la racine de l'équation \ ((* ) \ ), alors \ (- x_0 \) sera également sa racine. Alors il faut que les racines de cette équation soient des nombres ordonnés par ordre croissant : \ (- 2d, -d, d, 2d \) (alors \ (d> 0 \)). C'est alors que ces cinq nombres formeront une progression arithmétique (avec la différence \(d\)).

Pour que ces racines soient les nombres \ (- 2d, -d, d, 2d \), il faut que les nombres \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) soient les racines de l'équation \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \). Puis par le théorème de Vieta :

On réécrit l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) et \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) ...
La fonction \ (g (x) \) a un point maximum \ (x = 0 \) (de plus, \ (g _ (\ texte (vert)) = g (0) = - a ^ 2 + 20a-4 \)):
\ (g "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \)... Dérivée zéro : \ (x = 0 \). Pour \ (x<0\) имеем: \(g">0 \), pour \ (x> 0 \) : \ (g "<0\) .
La fonction \ (f (x) \) pour \ (x> 0 \) est croissante, et pour \ (x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
En effet, pour \ (x> 0 \) le premier module s'ouvrira positivement (\ (| x | = x \)), donc, peu importe comment le deuxième module s'ouvrira, \ (f (x) \) sera égal à \ ( kx + A \), où \ (A \) est une expression de \ (a \), et \ (k \) est égal à \ (13-10 = 3 \) ou \ (13 + 10 = 23 \). Pour \ (x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Trouver la valeur \ (f \) au point minimum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, les graphiques des fonctions \ (f \) et \ (g \) doivent avoir au moins un point d'intersection. Par conséquent, vous avez besoin de : \ En résolvant cet ensemble de systèmes, nous obtenons la réponse : \\]

Réponse:

\ (a \ dans \ (- 2 \) \ tasse \)

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Attention! Les aperçus des diapositives sont à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les options de présentation. Si vous êtes intéressé par ce travail, veuillez télécharger la version complète.

Buts:

• former le concept d'uniformité et d'impair d'une fonction, enseigner la capacité de définir et d'utiliser ces propriétés dans l'étude des fonctions, en construisant des graphes ;
• développer l'activité créative des étudiants, la pensée logique, la capacité de comparer, de généraliser;
• pour éduquer le travail acharné, la culture mathématique; développer des compétences en communication .

Équipement: installation multimédia, tableau blanc interactif, polycopiés.

Formes de travail : frontal et de groupe avec des éléments d'activités de recherche et de recherche.

Sources d'informations:

1.Algebra9class A.G. Mordkovich. Cahier de texte.
2.Algèbre grade 9 A.G. Mordkovich. Livre de problèmes.
3.Algèbre niveau 9. Des devoirs pour l'apprentissage et le développement des élèves. Belenkova E. Yu. Lebedintseva E.A.

PENDANT LES COURS

1. Moment d'organisation

Fixer les buts et objectifs de la leçon.

2. Contrôle des devoirs

N° 10.17 (Livre de problèmes 9kl. A. G. Mordkovich).

une) à = F(N.-É.), F(N.-É.) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D ( F) = [– 2; + ∞)
2. E ( F) = [– 3; + ∞)
3. F(N.-É.) = 0 pour N.-É. ~ 0,4
4. F(N.-É.)> 0 pour N.-É. > 0,4 ; F(N.-É.) < 0 при – 2 < N.-É. < 0,4.
5. La fonction augmente avec N.-É. € [– 2; + ∞)
6. La fonction est limitée par le bas.
7. à naim = - 3, à naib n'existe pas
8. La fonction est continue.

(Avez-vous utilisé l'algorithme de recherche de fonction ?) Faire glisser.

2. Vérifions le tableau qui vous a été demandé sur la diapositive.

Remplir le tableau
	Domaine	Zéros de fonction	Intervalles de constance		Coordonnées des points d'intersection du graphe avec Oy
		x = –5, x = 2	х € (–5 ; 3) U U (2; ∞)	€ (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x –5, x 2		х € (–5 ; 3) U U (2; ∞)	€ (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x –5, x 2		€ (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5 ; 2)

3. Mise à jour des connaissances

- Fonctions données.
- Précisez la portée de chaque fonction.
- Comparez la valeur de chaque fonction pour chaque paire de valeurs d'argument : 1 et - 1 ; 2 et - 2.
- Pour laquelle de ces fonctions dans le domaine de définition les égalités sont remplies F(– N.-É.) = F(N.-É.), F(– N.-É.) = – F(N.-É.)? (saisir les données obtenues dans le tableau) Faire glisser

4. Nouveau matériel

- En effectuant ce travail, les gars, nous avons identifié une autre propriété d'une fonction qui ne vous est pas familière, mais non moins importante que les autres - c'est la fonction paire et impaire. Écrivez le sujet de la leçon: "Fonctions paires et impaires", notre tâche consiste à apprendre à déterminer la régularité et l'impairance d'une fonction, à découvrir la signification de cette propriété dans l'étude des fonctions et du tracé.
Alors, trouvons les définitions dans le manuel et lisons (p. 110) ... Faire glisser

Déf. 1 Fonction à = F (N.-É.) donné sur l'ensemble X est appelé même si pour une valeur N.-É. X est exécuté égalité f (–x) = f (x). Donne des exemples.

Déf. 2 Fonction y = f (x) donné sur l'ensemble X est appelé impair si pour une valeur N.-É. X l'égalité f (–x) = –f (x) est vérifiée. Donne des exemples.

Où avons-nous rencontré les termes « pair » et « impair » ?
Selon vous, laquelle de ces fonctions sera paire ? Pourquoi? Qu'est-ce qui est étrange ? Pourquoi?
Pour toute fonction de la forme à= xn, où m- un entier on peut argumenter que la fonction est impaire pour m- impair et la fonction est paire pour m- même.
- Voir les fonctions à= et à = 2N.-É.- 3 ne sont ni pairs ni impairs, puisque les égalités ne sont pas satisfaites F(– N.-É.) = – F(N.-É.), F(– N.-É.) = F(N.-É.)

L'étude de la question de savoir si une fonction est paire ou impaire s'appelle l'étude d'une fonction pour la parité. Faire glisser

Les définitions 1 et 2 traitaient des valeurs de la fonction pour x et - x, on suppose donc que la fonction est également définie pour la valeur N.-É., et à - N.-É..

Déf 3. Si un ensemble numérique, avec chacun de ses éléments x, contient également l'élément opposé -x, alors l'ensemble N.-É. appelé ensemble symétrique.

Exemples:

(–2 ; 2), [–5 ; 5] ; (∞; ∞) sont des ensembles symétriques et [–5; 4] sont asymétriques.

- Le domaine de définition des fonctions paires est-il un ensemble symétrique ? Les étranges ?
- Si D ( F) C'est un ensemble asymétrique, alors quelle fonction ?
- Ainsi, si la fonction à = F(N.-É.) Est pair ou impair, alors son domaine de définition est D ( F) Est un ensemble symétrique. L'inverse est-il vrai, si le domaine d'une fonction est un ensemble symétrique, alors il est pair ou impair ?
- Ainsi la présence d'un ensemble symétrique de domaines de définition est une condition nécessaire, mais pas suffisante.
- Alors, comment étudiez-vous une fonction pour la parité ? Essayons de composer un algorithme.

Faire glisser

Algorithme d'analyse d'une fonction pour la parité

1. Déterminez si le domaine fonctionnel est symétrique. Sinon, la fonction n'est ni paire ni impaire. Si oui, passez à l'étape 2 de l'algorithme.

2. Écrivez une expression pour F(–N.-É.).

3. Comparez F(–N.-É.).et F(N.-É.):

• si F(–N.-É.).= F(N.-É.), alors la fonction est paire ;
• si F(–N.-É.).= – F(N.-É.), alors la fonction est impaire ;
• si F(–N.-É.) ≠ F(N.-É.) et F(–N.-É.) ≠ –F(N.-É.), alors la fonction n'est ni paire ni impaire.

Exemples:

Étudier la fonction pour la parité a) à= x 5 + ; b) à=; v) à= .

Solution.

a) h (x) = x 5 +,

1) D (h) = (–∞; 0) U (0; + ∞), ensemble symétrique.

2) h (- x) = (–x) 5 + - x5 - = - (x 5 +),

3) h (- x) = - h (x) => fonction h (x)= x 5 + impair.

b) y =,

à = F(N.-É.), D (f) = (–∞; –9) ? (–9 ; + ∞), un ensemble asymétrique, donc la fonction n'est ni paire ni impaire.

v) F(N.-É.) =, y = f (x),

1) D ( F) = (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Option 2

1. L'ensemble donné est-il symétrique : a) [-2 ; 2] ; b) (∞ ; 0], (0 ; 7) ?

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =