Une fonction - C'est l'un des concepts mathématiques les plus importants. Fonction - Dépendance variable w. de la variable x.Si chaque valeur h. correspond à la seule valeur w.. Variable h. Appelé variable ou argument indépendant. Variable w. Appelé la variable dépendante. Toutes les valeurs d'une variable indépendante (variable x.) Forme la fonction de déterminer la fonction. Toutes les valeurs qui ont adopté la variable dépendante (variable y.) Forme la zone des valeurs de fonction.

Graphique graphique Appelez l'ensemble de tous les points avion coordonnéLes abscissions dont sont égales aux valeurs de l'argument et les ordonnées sont les valeurs correspondantes de la fonction, même les valeurs de la variable sont reportées le long de l'axe Abscisse x.et les valeurs de la variable sont reportées le long de l'axe d'ordonnée y.. Pour créer une fonction graphique, vous devez connaître les propriétés de la fonction. Les principales propriétés de la fonction seront discutées ci-dessous!

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Les principales propriétés des fonctions.

1) Zone de définition de fonction et valeurs de fonction.

La fonction de détermination de la fonction est l'ensemble de toutes les valeurs valides valables de l'argument. x. (variable x.), dans lequel la fonction y \u003d f (x) Défini.
La gamme de valeurs de fonction est un ensemble de toutes les valeurs valides. y.cela prend la fonction.

DANS mathématiques élémentaires Les fonctions sont étudiées uniquement sur une variété de nombres valides.

2) fonction Zeros.

Valeurs h.Pour qui y \u003d 0, appelé fonction de zéros. Ce sont les abscissions du point d'intersection de la fonction graphique avec l'axe OH.

3) Intervalles de la fonction Symbole.

Les intervalles des fonctions de la fonction - ces intervalles de valeurs x.sur lequel les valeurs de la fonction y. soit seulement positif ou seulement négatif sont appelés intervalles des fonctions de la fonction.

4) monotonie.

Fonction croissante (dans un intervalle) - une fonction qui plus grande valeur L'argument de cet écart correspond à la plus grande valeur de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un intervalle) est une fonction qui a une plus grande valeur de l'argument de cet écart correspond à une valeur inférieure de la fonction.

5) Fonctions de parité (bizarrerie).

Une fonction même est une fonction que la zone de détermination est symétrique par rapport au début des coordonnées et pour tout h. f (-x) \u003d f (x). Le graphique d'une fonction pair est symétrique sur l'axe de l'ordonnée.

Une fonction étrange est une fonction qui a un champ de détermination symétrique par rapport au début des coordonnées et de tout h. L'égalité est juste de la zone de définition f (-x) \u003d - f (x). Le calendrier d'une fonction étrange est symétrique au début des coordonnées.

Même fonctionner
1) la zone de définition est symétrique par rapport au point (0; 0), c'est-à-dire si le point uNE. appartient à la zone de définition, alors le point -une. appartient également au domaine de la définition.
2) pour toute valeur x. f (-x) \u003d f (x)
3) Un graphique même fonction est symétrique par rapport à l'axe ou à l'axe.

Autre fonction Possède les propriétés suivantes:
1) La zone de définition est symétrique par rapport au point 0; 0).
2) pour toute valeur x.appartenant à la zone de définition est effectué l'égalité f (-x) \u003d - f (x)
3) Un graphique d'une fonction étrange est symétrique par rapport au début des coordonnées (0; 0).

Pas une fonction n'est pair ou impair. Les fonctions vue générale ne sont ni même ni impair.

6) Fonctions limitées et illimitées.

La fonction s'appelle limitée s'il y a tellement positif M, que | f (x) | ≤ m pour toutes les valeurs x. S'il n'y a pas de tel numéro, la fonction est illimitée.

7) fonction périodique.

La fonction F (x) est périodique s'il existe un tel nombre si différent de celui de tout X à partir de la fonction de détermination de la fonction a lieu: F (x + t) \u003d f (x). Cette le plus petit nombre appelé une fonction de la fonction. Tout fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

Une fonction f. appelé périodique s'il y a un tel nombre que dans tout x. L'égalité est effectuée à partir de la zone de définition f (x) \u003d f (x - t) \u003d f (x + t). T. - Ceci est une période de fonction.

Toute fonction périodique a un ensemble infini de périodes. En pratique, la plus petite période positive est généralement considérée.

Les valeurs de la fonction périodique à travers l'intervalle égal à la période sont répétées. Ceci est utilisé lors de la construction de graphiques.

Pour ce faire, utilisez un millimètre ou une calculatrice graphique. Choisissez quelques valeurs numériques d'une variable indépendante. X (\\ displaystyle x) et les substituer à fonctionner pour calculer les valeurs de la variable dépendante Y (\\ displaystyle y). Les coordonnées trouvées des points s'appliquent au plan de coordonnées, puis connectez ces points pour créer un graphique de fonction.

• Fonction positive valeurs numériques X (\\ displaystyle x) et les valeurs numériques négatives correspondantes. Par exemple, une fonction est donnée. Substituer à elle les valeurs suivantes X (\\ displaystyle x):
  • F (1) \u003d 2 (1) 2 + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3 (\\ displaystyle f (1) \u003d 2 (1) ^ (2) + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3) (1, 3) (\\ displaystyle (1,3)).
  • F (2) \u003d 2 (2) 2 + 1 \u003d 2 (4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9 (\\ displaystyle F (2) \u003d 2 (2) ^ (2) + 1 \u003d 2 (4) +1 \u003d 8 + 1 \u003d 9). Reçu un point avec des coordonnées (2, 9) (\\ displaystyle (2,9)).
  • F (- 1) \u003d 2 (- 1) 2 + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3 (\\ displaystyle f (-1) \u003d 2 (-1) ^ (2) + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3). Reçu un point avec des coordonnées (- 1, 3) (\\ displaystyle (-1.3)).
  • F (- 2) \u003d 2 (- 2) 2 + 1 \u003d 2 (4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9 (\\ displaystyle f (-2) \u003d 2 (-2) ^ (2) + 1 \u003d 2 ( 4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9). Reçu un point avec des coordonnées (- 2, 9) (\\ DisplayStyle (-2.9)).

La dépendance de la variable Y de la variable X, à laquelle chaque valeur x correspond à la seule valeur de y s'appelle la fonction. Pour la désignation, utilisez l'entrée Y \u003d F (x). Chaque fonction présente un certain nombre de propriétés de base, telles que la monotonie, la parité, la fréquence et d'autres.

Considérer une préparation de la parité.

La fonction Y \u003d F (x) est appelée même si elle répond aux deux conditions suivantes:

2. La valeur de la fonction au point X, qui appartient à la zone de définition de la fonction doit être égale à la valeur de fonction au point. C'est-à-dire que pour tout point x, l'égalité suivante F (x) \u003d F (-x) doit être effectuée à partir de la fonction de détermination de la fonction.

Calendrier même fonction

Si vous construisez un graphe de fonction uniforme, il sera symétrique par rapport à l'axe ou à l'axe.

Par exemple, la fonction y \u003d x ^ 2 est même. Vérifie ça. La zone de définition de l'axe total de numéro, ce qui signifie qu'il est symétrique sur le point O.

Prenez un x arbitraire \u003d 3. f (x) \u003d 3 ^ 2 \u003d 9.

f (-X) \u003d (- 3) ^ 2 \u003d 9. Par conséquent, f (x) \u003d f (-x). Ainsi, nous avons les deux conditions, cela signifie que la fonction est même. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y \u003d x ^ 2.

La figure montre que l'horaire est symétrique par rapport à l'axe ou à l'axe.

Tableau de la fonction impair

La fonction y \u003d f (x) est appelée impair si elle répond aux deux conditions suivantes:

1. Le champ de définition de cette fonction doit être symétrique par rapport au point de O., si un point A appartient à la fonction de détermination de la fonction, le point correspondant doit également appartenir à la zone de définition de la fonction spécifiée.

2. Pour tout point x, l'égalité suivante F (x) \u003d -f (x) doit être effectuée à partir de la zone de définition de la fonction.

Le calendrier d'une fonction étrange est symétrique sur le point du début des coordonnées. Par exemple, la fonction y \u003d x ^ 3 est impair. Vérifie ça. La zone de définition de l'axe total de numéro, ce qui signifie qu'il est symétrique sur le point O.

Prendre arbitraire x \u003d 2. f (x) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.

f (-X) \u003d (- 2) ^ 3 \u003d -8. Par conséquent, f (x) \u003d -f (x). Ainsi, nous avons les deux conditions, cela signifie que les fonctions sont étranges. Ci-dessous est un graphique de la fonction y \u003d x ^ 3.

La figure montre clairement que la fonction étrange Y \u003d x ^ 3 est symétrique par rapport au début des coordonnées.

La parité et la bizarrerie de la fonction sont l'une de ses propriétés principales et la parité occupe une partie impressionnante. cours d'école. mathématiques. Il détermine la nature du comportement de la fonction et facilite grandement la construction d'un calendrier approprié.

Déterminer la parité de la fonction. De manière générale, la fonction à l'étude est considérée comme si elle est considérée comme pour des valeurs opposées d'une variable indépendante (X), qui figure dans sa zone de définition, les valeurs correspondantes de y (fonctions) seront égales.

Nous donnerons une définition plus stricte. Considérons une fonction F (x), qui est définie dans la région D. Ce sera même si pour tout point X dans le domaine de la définition:

• -x (point opposé) réside également dans cette zone de définition,

• f (-x) \u003d f (x).

À partir de la définition donnée, la condition nécessaire à la détermination d'une telle fonction est suivie, à savoir une symétrie par rapport au point de l'apparition des coordonnées, car si un point B est contenu dans le domaine de la détermination de la fonction pair, le point correspondant est également réside dans cette zone. À partir de ce qui précède, la conclusion implique donc: la fonction même est symétrique à l'axe d'ordonnée (OY).

Comment pratiquer la parité de la fonction?

Soit en utilisant la formule H (x) \u003d 11 ^ x + 11 ^ (- x). Suite à l'algorithme qui se pose directement de la définition, nous examinons principalement sa zone de définition. De toute évidence, il est défini pour toutes les valeurs de l'argument, c'est-à-dire que la première condition est remplie.

L'étape suivante consiste à remplacer au lieu de l'argument (x) sa valeur opposée (-X).
On a:
h (-x) \u003d 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Étant donné que l'ajout répond à la loi commutative (transition), alors évidemment H (-X) \u003d H (x) et la dépendance fonctionnelle spécifiée est même.

Vérifiez la parité de la fonction H (x) \u003d 11 ^ x-11 ^ (- x). Après le même algorithme, nous obtenons que h (-x) \u003d 11 ^ (- x) -11 ^ x. Je ferai moins, par conséquent, nous avons
h (-x) \u003d - (11 ^ x-11 ^ (- x)) \u003d - h (x). Par conséquent, h (x) est étrange.

À propos, vous devez vous rappeler qu'il existe des fonctions qui ne peuvent pas être classées selon ces caractéristiques, elles sont appelées ni même ni impairs.

Même les fonctions ont un certain nombre de propriétés intéressantes:

• À la suite de l'ajout de telles fonctions, il est également obtenu;
• en conséquence, la soustraction de telles fonctions reçoive même;
• Même, même même;
• en conséquence de la multiplication de deux fonctions de ce type, il est également obtenu;
• À la suite de la multiplication des fonctions impairs et paires, l'impair est obtenu;
• À la suite de la division des fonctions impaires et paires, ils reçoivent impair;
• la dérivée d'une telle fonction est impair;
• si nous construisons une fonction étrange dans une place, nous obtenons même.

La disponibilité de la fonction peut être utilisée dans la résolution d'équations.

Pour résoudre le type d'équation g (x) \u003d 0, où partie gauche Les équations sont une fonction pair, il sera assez difficile de trouver ses solutions pour des valeurs non négatives de la variable. Les racines obtenues de l'équation doivent être combinées avec des nombres opposés. L'un d'entre eux est soumis à la vérification.

Ceci est utilisé avec succès pour résoudre des tâches non standard avec un paramètre.

Par exemple, existe-t-il une valeur du paramètre A, dans lequel l'équation 2x ^ 6-x ^ 4-hache ^ 2 \u003d 1 aura trois racines?

Si nous considérons que la variable entre dans l'équation de même degrés, il est clair que le remplacement de la x de l'équation spécifiée ne changera pas. Il s'ensuit que si un numéro est sa racine, alors c'est aussi nombre opposé. La conclusion est évidente: les racines de l'équation autre que zéro sont incluses dans le nombre de ses solutions "couples".

Il est clair que le nombre 0 lui-même n'est pas, c'est-à-dire que le nombre de racines d'une équation similaire ne peut être même même que même et, naturellement, aucune de la valeur de paramètre qu'il ne peut avoir trois racines.

Mais le nombre de racines de l'équation 2 ^ x + 2 ^ (- x) \u003d hache ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 peut être impair et pour toute valeur du paramètre. En effet, il est facile de vérifier que l'ensemble des racines de cette équation contient des solutions aux "couples". Vérifiez si 0 est la racine. Lors de la substitution dans l'équation, nous obtenons 2 \u003d 2. Ainsi, en plus du "couplé" 0, c'est aussi la racine, ce qui prouve leur quantité impaire.

Convertir des graphiques.

Une description verbale de la fonction.

Méthode graphique.

La méthode graphique de réglage de la fonction est la plus visuelle et est souvent utilisée dans la technique. En analyse mathématique, la méthode graphique des fonctions de réglage est utilisée comme illustration.

Graphique graphique F s'appelle l'ensemble de tous les points (x; y) du plan de coordonnées, où y \u003d f (x) et x "s'écoule" tout le champ de détermination de cette fonction.

Le sous-ensemble du plan de coordonnées est un graphique de n'importe quelle fonction, s'il n'a pas plus d'un point commun avec tout axe parallèle direct ou.

Exemple. Les graphiques des fonctions de la figure ci-dessous sont-elles ci-dessous?

Avantage tâche graphique est sa visibilité. On peut immédiatement voir comment la fonction se comporte, où elle augmente, où diminue. À l'horaire, vous pouvez en savoir plus caractéristiques importantes Les fonctions.

En général, les méthodes analytiques et graphiques de définition de la fonction vont de pair à la main. Travailler avec la formule aide à construire un graphique. Et l'horaire indique souvent aux solutions que dans la formule ne remarquera pas.

Presque tous les étudiants connaissent trois façons de tâche de la fonction que nous venons de prendre en compte.

Nous allons essayer de répondre à la question: "Les autres moyens de définir la fonction existent-ils?"

Cette méthode est.

La fonction peut être assez sans ambiguïté pour demander des mots.

Par exemple, la fonction Y \u003d 2x peut être posée la description verbale suivante: à chacun valeur valide L'argument X est mis en conformité avec sa double valeur. La règle est définie, la fonction est spécifiée.

De plus, il est verbalement spécifier la fonction que la formule est extrêmement difficile à spécifier et il est impossible.

Par exemple: chaque valeur de l'argument naturel X est mise en conformité avec la quantité de nombres à partir de laquelle la valeur de x est. Par exemple, si x \u003d 3, alors y \u003d 3. Si x \u003d 257, alors y \u003d 2 + 5 + 7 \u003d 14. Etc. La formule est problématique. Mais la plaque est facile à maquillage.

La méthode de description verbale est une méthode assez rarement utilisée. Mais parfois on le trouve.

S'il y a une loi de conformité sans ambiguïté entre X et Y, cela signifie qu'il existe une fonction. Quelle loi, sur quelle forme il est exprimée - une formule, un signe, un calendrier, des mots - l'essence ne change pas.

Considérez les fonctions dont les zones de définition sont symétriques par rapport au début des coordonnées, c'est-à-dire pour tout le monde h. à partir du numéro de zone de définition (- h.) Appartient également au domaine de la définition. Parmi ces fonctions allouez pair et impair.

Définition.La fonction f est appelée mêmeSi pour tout h. de sa définition de champ

Exemple. Considérer une fonction

C'est même. Vérifie ça.

Pour tout le monde h. L'égalité est effectuée

Ainsi, nous avons les deux conditions, cela signifie que la fonction est même. Vous trouverez ci-dessous un graphique de cette fonction.

Définition.La fonction f est appelée impairSi pour tout h. de sa définition de champ

Exemple. Considérer une fonction

C'est étrange. Vérifie ça.

La zone de définition de l'axe de numéro total, ce qui signifie qu'il est symétrique par rapport au point (0; 0).

Pour tout le monde h. L'égalité est effectuée

Ainsi, nous avons les deux conditions, cela signifie que les fonctions sont étranges. Vous trouverez ci-dessous un graphique de cette fonction.

Les graphiques représentés sur les premier et troisième dessins sont symétriques par rapport à l'axe de l'ordonnée et les graphiques représentés dans les deuxième et quatrième dessins sont symétriques par rapport au début des coordonnées.

Laquelle des fonctions dont les graphiques sont représentés dans des dessins sont même et que sont étranges?