Dans cet article, nous allons explorer nombres opposés... Ici, nous répondrons à la question de savoir quels nombres sont appelés opposés, montrerons comment le nombre opposé est noté et donnerons des exemples. Nous allons également lister les principaux résultats typiques pour les nombres opposés.

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Détermination des nombres opposés

Se faire une idée des nombres opposés nous aidera.

Marquons sur la ligne de coordonnées un point M différent de l'origine. On peut arriver au point M en reportant séquentiellement un segment unitaire de l'origine en direction du point M, ainsi que son dixième, centième, etc. Si nous reportons le même nombre de segments unitaires et ses parts dans la direction opposée, alors nous arriverons à un autre point, notons-le par la lettre N. Donnons un exemple pour illustrer nos actions (voir la figure ci-dessous). Pour arriver au point M sur la ligne de coordonnées, nous retirons dans le sens négatif deux segments unitaires et 4 segments qui constituent un dixième d'unité. Nous allons maintenant reporter deux segments unitaires et 4 segments qui constituent un dixième d'unité, dans le sens positif. Cela nous donnera le point N.

Nous sommes presque prêts à percevoir la définition des nombres opposés, il ne reste plus qu'à discuter de quelques nuances.

Nous savons qu'un seul nombre réel correspond à chaque point de la ligne de coordonnées, par conséquent, certains nombres réels correspondent au point M et au point N. Ainsi les nombres correspondant aux points M et N sont appelés opposés.

Séparément, il faut dire à propos du point O - l'origine. Le point O correspond au nombre 0. Le nombre zéro est considéré comme l'opposé de lui-même.

Maintenant, nous pouvons exprimer définir des nombres opposés.

Définition.

Deux nombres sont dits opposés si l'on parvient aux points de la ligne de coordonnées correspondant à ces nombres en écartant de l'origine dans des sens opposés le même nombre de segments unitaires, ainsi que des fractions d'un segment unitaire, le nombre 0 est opposé à lui-même.

Chiffres opposés et exemples

Il est temps de présenter nombres opposés.

Pour désigner un nombre opposé à un nombre donné, utilisez le signe moins, qui est écrit devant le nombre donné. C'est-à-dire que le nombre opposé de a s'écrit -a. Par exemple, 0,24 est opposé à -0,24 et -25 est opposé à - (-25).

Donnons exemples de nombres opposés... La paire de nombres 17 et -17 (ou -17 et 17) est un exemple d'entiers opposés. Les nombres et sont des nombres rationnels opposés. D'autres exemples de nombres rationnels opposés sont les paires de nombres 5.126 et -5.126. ainsi que 0, (1201) et -0, (1201). Il reste à donner quelques exemples de contraire

Thème

Type de cours

• étude et assimilation primaire de nouveau matériel

Objectifs de la leçon

Familiarisez-vous avec les définitions des nombres opposés positifs et négatifs

Trouver des nombres opposés lors de la résolution d'exercices, lors de la résolution d'équations

Développement - pour développer l'attention des élèves, la persévérance, la persévérance, la pensée logique, le discours mathématique.

Éducatif - à travers la leçon pour élever une attitude attentive les uns envers les autres, inculquer la capacité d'écouter les camarades, l'entraide, l'indépendance.

Objectifs de la leçon

Découvrez quels sont les nombres opposés

Apprenez à utiliser ce concept lors de la résolution de problèmes

Testez la capacité des élèves à résoudre des problèmes.

Plan de cours

1. Introduction.

2. Partie théorique

3. La partie pratique.

4. Devoirs.

5. Faits intéressants

introduction

Regardez les images et décrivez en un mot quelle est la différence entre elles.

Les images montrent les contraires.

Est-ce que deux nombres sont égaux dans valeur absolue mais ayant différents signes par exemple. 5 et -5.

Partie théorique

Tout d'abord, rappelons-nous ce que c'est nombres négatifs... Voir vidéo:

Les points de coordonnées 5 et -5 sont à égale distance du point O et sont situés sur des côtés opposés de celui-ci. Pour aller du point O à ces points, vous devez parcourir la même distance, mais dans des directions opposées. Les nombres 5 et -5 s'appellent nombres opposés: 5 est opposé à -5, et -5 est opposé à 5.

Deux nombres qui ne diffèrent l'un de l'autre que par des signes sont appelés nombres opposés.

Par exemple, les nombres opposés seront 35 et -35, puisque le nombre 35 = +35, ce qui signifie que les nombres 35 et -35 ne diffèrent que par des signes. Les nombres opposés seront également 0,8 et -0,8, et -¾.

Propriétés des nombres opposés

1). Pour chaque nombre, il n'y a qu'un seul nombre opposé.

2). Le nombre 0 est l'opposé de lui-même.

3). Le nombre opposé à a est -a. Si a = -7,8, alors -a = 7,8 ; si a = 8,3, alors -a = -8,3 ; si a = 0, alors -a = 0.

4). La notation "- (- 15)" signifie l'opposé de -15. Puisque le nombre opposé de -15 est 15, alors - (- 15) = 15. Généralement - (- a) = a.

Les nombres naturels, leurs nombres opposés et zéro sont appelés nombres entiers.

Nombre opposé n "par rapport au nombre n est un nombre qui, ajouté à n, donne zéro.

n + n "= 0

Cette égalité peut être réécrite comme suit :

n + n "- n = 0 - n ou n "= - n

Ainsi, nombres opposés ont les mêmes modules, mais des signes opposés.

En conséquence, le nombre opposé à n est noté - n. Lorsqu'un nombre est positif, le nombre opposé sera négatif et vice versa.

1. Donnez des exemples de nombres opposés.

2. Dessinez-les sur une ligne de coordonnées.

3. Quel est le nombre opposé -3,6 ; 7; 0 ; 8/9 ; -1/2

Partie pratique

Exemple

1) Marquez sur la ligne de coordonnées les points A (2), B (-2), C (+4), D (-3), E (-5.2), F (5.2), G (-6) , H ( 7). 2) Parmi ces points, trouvez et indiquez ceux symétriques par rapport au point O (0). Que peut-on dire des coordonnées points symétriques?

Points symétriques par rapport au point O (0) : A (2) et B (-2), E (- 5.2) et F (5.2)

Coordonnées des points symétriques Sont des nombres qui ne diffèrent que par le signe. De tels nombres sont appelés contraire.

Marquez sur la ligne de coordonnées les points A (-3), B (+6), C (+4.2), D (+3), E (-4.2), F (-6) Que peut-on dire de ces nombres ?

Des nombres 15; 2,5 ; - 2,5 ; - dix-huit; 0 ; 45 ; - Sélectionnez 45 : a) nombres naturels ; b) nombres entiers ; c) nombres négatifs ; d) nombres positifs ; e) nombres opposés.

1) Écrivez le nombre ci-contre a.

2) Précisez le nombre opposé a, si :

a = 5, a = -3, a = 0, a = -2 / 5 ;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Rappelez-vous ce que signifie l'entrée : - (- a).

2) Mettez un tel nombre à la place de * pour obtenir l'égalité correcte : a) - (- 5) = *; b) 3 = - *.

Devoirs

1). Remplis le tableau:

2). Trouvez : a) -m,

si m = -8,

si m = -16

si -k = 27

si -k = -35

si c = 41

si c = -3,6

3). Combien de paires de nombres opposés se trouvent entre les nombres -7,2 et 3,6. Marquez sur la ligne de coordonnées.

4). Découvrez le nom de l'éminent scientifique français :

Savez-vous où dans Vie courante sommes-nous confrontés à des nombres positifs et négatifs ?

Liste des sources utilisées

1. Encyclopédie mathématique (en 5 volumes). - M. : Encyclopédie soviétique, 2002.-- T. 1.
2. "Le dernier livre de référence des écoliers" "MAISON XXIème siècle" 2008
3. Résumé de la leçon sur le sujet " Chiffres opposés"Auteur: Petrova V.P., professeur de mathématiques (5-9 ans), Kiev
4. N. Ya. Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Mathématiques pour la 6e année, Manuel pour le lycée

§ 1 La notion de nombre positif

Dans cette leçon, vous apprendrez quels nombres sont appelés opposés, comment trouver le nombre opposé, et aussi ce que sont les nombres entiers et les nombres rationnels.

Commençons avec Travaux pratiques... Sur la ligne de coordonnées, marquez les points A (2) et B (-2). Ils sont symétriques et le centre de symétrie de ces points est l'origine des coordonnées О (0), puisque la distance ОА = ОВ.

On voit que les coordonnées des points symétriques par rapport à l'origine sont des nombres qui ne diffèrent que par le signe. De tels nombres sont appelés opposés.

Il existe une autre définition des nombres opposés. Quelles sont les valeurs absolues des nombres 2 et -2 ? Égal à 2. Par conséquent, les nombres opposés sont des nombres qui ont le même module, mais dont le signe diffère.

Pour désigner un nombre opposé à un nombre donné, utilisez le signe moins, qui est écrit devant le nombre donné. C'est-à-dire que le nombre opposé de a s'écrit -a. Par exemple, le nombre 0,24 est opposé au nombre -0,24, le nombre -25 est opposé au nombre - (- 25), mais le nombre -25 sur la ligne de coordonnées est opposé à 25, ce qui signifie - (- 25) = 25. Il en résulte que - ( -a) = a et a = - (- a).

§ 2 Propriétés des nombres opposés

Soulignons quelques propriétés des nombres opposés.

L'opposé d'un nombre positif est négatif et l'opposé d'un nombre négatif est positif. Cela est compréhensible, car les points de la ligne de coordonnées correspondant aux nombres opposés se trouvent de part et d'autre de l'origine.

Si le nombre a est opposé au nombre b, alors b est opposé à a - cela résulte de la propriété de symétrie des points sur la ligne de coordonnées.

Passons à la ligne de coordonnées. Combien de points peuvent être marqués sur une ligne de coordonnées, symétrique d'un point donné par rapport à l'origine ? Seulement un. Ainsi, pour chaque nombre, il n'y a qu'un seul nombre opposé.

Un seul nombre est opposé à lui-même - c'est le nombre 0, puisque 0 = -0 (il n'est donc pas accepté d'écrire -0).

Nombres avec caractéristique commune forment un ensemble (ou groupe), chaque ensemble a son propre nom.

Rappelons que les nombres que nous utilisons pour compter sont appelés nombres naturels, ils forment un ensemble de nombres naturels.

Pour chaque nombre naturel, vous pouvez trouver le nombre opposé. Les nombres naturels, les nombres opposés et le nombre 0 sont appelés nombres entiers.

Positif ou négatif peut être nombres fractionnaires... Tous les entiers et toutes les fractions sont appelés nombres rationnels. Ils disent aussi que tous ensemble ils forment l'ensemble des nombres rationnels.

Sélectionnons deux autres groupes de nombres. Prenons une ligne de coordonnées. Si on enlève la partie de la droite sur laquelle se trouvent les nombres négatifs, il reste un rayon avec des nombres positifs et l'origine du nombre 0. Les nombres restants sont dits non négatifs, c'est-à-dire des nombres supérieurs ou égaux à 0. Par conséquent, les nombres non positifs sont tous des nombres négatifs et le nombre 0, c'est-à-dire des nombres inférieurs ou égaux à 0.

Aujourd'hui, nous avons appris ce que sont les nombres opposés, entiers, rationnels, non négatifs, non positifs, nous avons appris à trouver le nombre opposé à celui donné.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mathématiques 6e année: plans de cours pour le manuel par I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // compilé par L.A. Topiline. Mnémosyne 2009
2. Mathématiques. 6e année : manuel pour les élèves les établissements d'enseignement... I.I. Zubareva, A.G. Mordkovitch. - M. : Mnemosina, 2013.
3. Mathématiques. 6e année : un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement. / N. Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. - M. : Mnémosina, 2013
4. Référence mathématique - http://lyudmilanik.com.ua
5. Manuel pour les lycéens http://shkolo.ru

Définition des nombres opposés

Définition des nombres opposés :

Deux nombres sont dits opposés s'ils ne diffèrent que par des signes.

Exemples de nombres opposés

Exemples de nombres opposés.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Cela montre clairement comment trouver le nombre opposé à celui donné : il suffit de changer le signe du nombre.

Le nombre opposé à 3 est moins trois.

Exemple. Les nombres sont opposés aux données.

Donné : nombres 1 ; 5 ; huit; neuf.

Trouvez les nombres opposés.

Pour résoudre cette tâche, nous changeons simplement les signes des nombres donnés :

Faisons un tableau de nombres opposés :

Nombre opposé à zéro

Le nombre opposé à zéro est le nombre zéro lui-même.

Ainsi, le nombre opposé au nombre 0 est 0.

Entiers opposés

Les nombres entiers opposés ne diffèrent que par les signes.

Exemples d'entiers opposés.

10 -10
20 -20
125 -125

Une paire de nombres opposés

Lorsqu'on parle de nombres opposés, ils désignent toujours une paire de nombres opposés.

Un nombre est l'opposé d'un autre nombre. Et chaque nombre n'a qu'un seul nombre opposé.

Nombres naturels opposés

Les nombres opposés aux nombres naturels sont des entiers négatifs.

Faisons un tableau des nombres opposés pour les cinq premiers nombres naturels :

Somme des nombres opposés

La somme des nombres opposés est nulle. Après tout, les nombres opposés ne diffèrent que par le signe.

Dans le cadre de cet article, nous allons essayer de comprendre quels sont les nombres opposés. Nous expliquerons ce qu'ils sont en général, montrerons quel genre de désignations sont utilisées pour eux, et analyserons quelques exemples. Dans la dernière partie du matériel, nous énumérerons les principales propriétés des nombres opposés.

Pour expliquer le concept même d'opposition, nous devons d'abord représenter une ligne de coordonnées. Prenez un point M dessus (mais pas au tout début du compte à rebours). Sa distance à zéro sera égale à un certain nombre de segments unitaires, qui peuvent, à leur tour, être divisés en dixièmes et centièmes. Si nous mesurons la même distance de l'origine dans la direction opposée à celle où se trouve M, alors nous pouvons arriver à un autre point similaire. Appelons-le N. Par exemple, de M à zéro est une distance de 2, 4 segments unitaires, et de N à zéro également. Jetez un oeil à l'image:

Rappelons qu'un seul nombre réel peut être associé à chaque point sur la ligne de coordonnées. Dans ce cas, nos points M et N correspondent à certains nombres, qui sont dits opposés. Chaque nombre a le nombre opposé sauf zéro. Puisqu'il s'agit du point de départ, il est considéré comme l'opposé de lui-même.

Écrivons la définition de ce que sont les nombres opposés :

Définition 1

Contraire sont les nombres auxquels correspondent de tels points sur la ligne de coordonnées auxquels nous obtiendrons si nous marquons la même distance de l'origine dans différentes directions (positive et négative). Zéro est à l'origine et est opposé à lui-même.

Comment sont indiqués les nombres opposés

Dans cette sous-section, nous introduisons la notation de base pour de tels nombres. Si nous avons un certain nombre et que nous devons écrire le contraire, nous utilisons pour cela le moins.

Exemple 1

Supposons que notre nombre soit égal à a, donc son opposé est a (moins a). Exactement de la même manière pour 0,26 l'inverse est 0,26, et pour 145 ce sera 145. Si le nombre d'origine lui-même est négatif, par exemple - 9, alors nous écrivons le contraire comme - (- 9).

Quels autres exemples de nombres opposés pouvez-vous donner ? Prenons des nombres entiers : 12 et - 12. Les nombres rationnels opposés sont 3 2 11 et - 3 2 11, ainsi que 8, 128 et - 8, 128, 0, (18901) et - 0, (18901), etc. Les nombres irrationnels peuvent également être opposés, par exemple, valeurs expressions numériques 2 + 1 et - 2 + 1.

Les nombres irrationnels opposés seront également e et - e.

Propriétés de base des nombres opposés

Certaines propriétés sont inhérentes à de tels nombres. Ci-dessous, nous en donnerons une liste avec des explications.

Définition 2

1. Si le nombre d'origine est positif, alors son contraire sera négatif.

Cette affirmation est évidente et découle du graphique ci-dessus : ces nombres sont situés sur les côtés opposés de la référence sur la ligne de coordonnées. Si vous avez oublié le concept de nombres positifs et négatifs, consultez le matériel que nous avons publié plus tôt.

Une autre déclaration très importante peut être déduite de cette règle. V forme littérale sa notation est la suivante : pour tout a positif ce sera vrai - (- a) = a. Montrons avec un exemple pourquoi cela est important.

Prenons le chiffre 5. À l'aide de la ligne de coordonnées, vous pouvez voir que le contraire est le nombre - 5, et vice versa. En utilisant la notation que nous avons indiquée ci-dessus, nous écrirons le nombre ci-contre - 5 comme - (- 5). Il s'avère que - (- 5) = 5. D'où la conclusion : les nombres opposés ne diffèrent les uns des autres que par la présence d'un signe moins.

2. La propriété suivante est généralement appelée propriété de symétrie. Elle peut aussi être dérivée de la définition même des nombres opposés. Cela ressemble à ceci :

Définition 3

Si un nombre a est opposé au nombre b, alors b est opposé au nombre a.

Évidemment, cette affirmation n'a pas besoin de preuves supplémentaires.

3. La troisième propriété des nombres opposés est :

Définition 4

Chaque nombre réel n'a qu'un seul nombre opposé.

Cette affirmation découle du fait que de nombreux nombres ne peuvent pas correspondre aux points de la ligne de coordonnées à la fois.

Définition 5

4. Les modules de nombres opposés sont égaux.

Cela découle de la définition d'un module. Il est logique que les points d'une droite correspondant à des nombres opposés soient à la même distance du point de référence.

Définition 6

5. Si on additionne les nombres opposés, on obtient 0.

Sous sa forme littérale, cette déclaration ressemble à a + (- a) = 0.

Exemple 2

Voici quelques exemples de tels calculs :

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Comme vous pouvez le voir, cette règle fonctionne pour tous les nombres - entiers, rationnels, irrationnels, etc.

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