Le module est l'une de ces choses que tout le monde semblait entendre parler, mais dans la réalité, personne ne comprend normalement. Par conséquent, aujourd'hui, il y aura une grosse leçon dédiée à la solution d'équations avec des modules.

Je vais dire tout de suite: la leçon sera simple. Et en général, les modules sont généralement relativement simples. "Oui, bien sûr, simple! J'ai un cerveau d'elle! " - De nombreux étudiants diront, mais toutes ces pauses cérébrales se produisent en raison du fait que la plupart des gens n'ont aucune connaissance dans la tête, mais une sorte de merde. Et le but de cette leçon est de transformer la merde en connaissance. :)

Un peu de théorie

Alors allons-y. Commençons par la chose la plus importante: quel est le module? Permettez-moi de vous rappeler que le module du nombre n'est que le même numéro, mais pris sans un signe "moins". Ceux-ci., Par exemple, $ \\ Gauche | -5 \\ droite | \u003d 5 $. Ou $ \\ GAUCHE | -129.5 \\ Droite | \u003d 129,5 $.

Alors tout est simple? Oui, juste. Et puis, le module d'un nombre positif est égal? Il est encore plus facile: le module d'un nombre positif est égal à ce nombre: $ \\ gauche | 5 \\ droite | \u003d 5 $; $ \\ gauche | 129.5 \\ Droite | \u003d 129,5 $, etc.

Il s'avère une chose curieuse: différents nombres Peut avoir un même module. Par exemple: $ \\ gauche | -5 \\ droite | \u003d \\ Gauche | 5 \\ droite | \u003d 5 $; $ \\ gauche | -129.5 \\ droite | \u003d \\ Gauche | 129.5 \\ Droite | \u003d 129,5 $. Il est facile de voir ce qu'il est pour les chiffres qui ont les mêmes modules: ces chiffres sont opposés. Ainsi, nous notons pour vous-même que les modules des nombres opposés sont égaux:

\\ [\\ gauche | -A \\ droite | \u003d \\ Gauche | A \\ Droite | \\]

Une autre effet important: le module n'est jamais négatif. Quel que soit le nombre que nous prenons - au moins un module positif, même négatif - son module s'avère toujours positif (ou dans le cas extrême zéro). C'est pourquoi le module est souvent appelé la valeur absolue du nombre.

De plus, si vous combinez la définition du module pour positif et nombre négatifJe vais obtenir la définition globale du module pour tous les chiffres. À savoir: le module du nombre est égal à ce nombre lui-même, si le nombre est positif (ou zéro), ou est égal au nombre opposé, si le nombre est négatif. Vous pouvez l'écrire sous forme de formule:

Il y a aussi un module zéro, mais c'est toujours zéro. De plus, zéro est le seul chiffre qui n'a pas d'inverse.

Ainsi, si nous considérons la fonction $ y \u003d \\ gauche | X \\ droite | $ et essayez de dessiner son horaire, alors ce sera un tel "Dank":

Calendrier du module et un exemple de résolution de l'équation

De cette image, il est immédiatement vu que $ \\ gauche | -M \\ droite | \u003d \\ Gauche | M \\ droite | $ et le programme du module ne tombe jamais sous l'axe Abscissa. Mais ce n'est pas tout: la ligne rouge est marquée par $ y $ Y $ \u003d A $, qui, avec un $ positif A $, nous donne deux racines à la fois: $ (x) _ (1) _ ((x ) _ (2)) $, mais nous en parlerons plus tard. :)

En plus de la définition purement algébrique, il existe une géométrique. Supposons qu'il y ait deux points sur un direct numérique: $ ((x) _ (1) _ (1)) $ et $ ((x) _ (2)) $. Dans ce cas, l'expression $ \\ gauche | ((x) _ (1)) - (x) _ (2)) \\ droite | $ est juste une distance entre les points spécifiés. Ou, si vous voulez, la longueur du segment reliant ces points:

Cette définition s'ensuit également que le module est toujours non négatif. Mais suffisamment de définitions et de théorie - nous allons passer aux équations actuelles. :)

Formule de base

Eh bien, bien, avec la définition figurait. Mais cela ne l'a pas fait plus facile. Comment résoudre des équations contenant ce module même?

Calme, seulement calme. Commençons par les choses les plus simples. Considérez quelque chose comme ça:

\\ [\\ gauche | X \\ droite | \u003d 3 \\]

Donc, le module $ x $ est 3. Qu'est-ce qui peut être $ x $? Eh bien, en juger par la définition, nous organisons entièrement $ x \u003d 3 $. Vraiment:

\\ [\\ gauche | 3 \\ droite | \u003d 3 \\]

Y a-t-il d'autres chiffres? Cap semble indiquer que c'est. Par exemple, $ x \u003d -3 $ - pour lui trop $ \\ Gauche | -3 \\ droite | \u003d 3 $, c'est-à-dire L'égalité requise est effectuée.

Alors peut-être que si vous recherchez, pensez-vous, nous trouverons plus de numéros? Mais gribouille: plus de numéros. $ \\ Équation de gauche | X \\ droite | \u003d 3 $ n'a que deux racines: $ x \u003d 3 $ et $ x \u003d -3 $.

Maintenant, un peu compliquer la tâche. Laissez le $ f \\ gauche (x \\ droite) $ f \\ gauche (x \\ droite) $ être équipé du signe du module arbitraire $ A $. Nous obtenons l'équation:

\\ [\\ gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d a \\]

Eh bien, comment résoudre ceci? Laissez-moi vous rappeler: $ F \\ gauche (x \\ droite) $ est une fonction arbitraire, $ A $ - n'importe quel nombre. Ceux. En général, n'importe qui! Par example:

\\ [\\ gauche | 2x + 1 \\ droite | \u003d 5 \\]

\\ [\\ gauche | 10x-5 \\ droite | \u003d -65 \\]

Faites attention à la deuxième équation. Vous pouvez immédiatement dire de lui: il n'a pas les racines. Pourquoi? C'est vrai: car cela nécessite que le module soit égal à un nombre négatif, ce qui n'arrive jamais, car nous savons déjà que le module est toujours positif ou extrêmement nul.

Mais avec la première équation, tout est plus amusant. Il y a deux options: soit sous le signe du module, il y a une expression positive, puis $ \\ gauche | 2x + 1 \\ droite | \u003d 2x + 1 $ 1 ou cette expression est néanmoins négative, puis $ \\ gauche | 2x + 1 \\ droite | \u003d - \\ Gauche (2x + 1 \\ à droite) \u003d - 2x-1 $. Dans le premier cas, notre équation réécrirea:

\\ [\\ gauche | 2x + 1 \\ droite | \u003d 5 \\ RightArroro 2x + 1 \u003d 5 \\]

Et tout à coup, il s'avère que l'expression sous-éolique $ 2 fois + 1 $ est vraiment positive - elle est égale au nombre 5. Ceux-ci. Nous pouvons résoudre calmement cette équation - la racine résultante sera un élément de réponse:

Nombre particulièrement d'incrédule peut essayer de substituer la racine trouvée dans l'équation d'origine et assurez-vous qu'un nombre positif est vraiment sous le module.

Maintenant, nous analyserons le cas d'une sous-dumire négative:

\\ [\\ Gauche \\ (\\ Begnt (Aligner (Aligner) \\ \\ \\ \\ \\ Gauche | 2x + 1 \\ droite | \u003d 5 \\\\ & 2x + 1 \\ lt 0 \\\\\\ fin (alignement) \\ droite. \\ RightArror -2x -2x-1 \u003d 5 \\ RightARrow 2x + 1 \u003d -5 \\]

Too! Encore une fois, tout est clair: nous avons suggéré que 2x + 1 \\ lt 0 $ et, par conséquent, nous avons obtenu ce $ 2 fois + 1 \u003d -5 $ - en effet, cette expression moins zéro. Nous résolvons l'équation obtenue, tout en sachant déjà que la racine nous a trouvé satisfaire:

Total, nous avons de nouveau deux réponses: $ x \u003d 2 $ et $ x \u003d 3 $. Oui, le volume des calculs s'est avéré être un peu plus que dans une équation très simple $ \\ Gauche | X \\ droite | \u003d 3 $, mais cela n'a pas changé fondamentalement. Alors peut-être qu'il y a une sorte algorithme universel?

Oui, un tel algorithme existe. Et maintenant nous allons le discerner.

Soulagement du signe du module

Donnons une équation $ \\ Gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d A $, et $ A \\ ge $ 0 (sinon, comme nous le savons déjà, il n'y a pas de racines). Ensuite, vous pouvez vous débarrasser du signe du module selon la règle suivante:

\\ [\\ gauche | f \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d A \\ RightArrore f \\ restante (x \\ droite) \u003d \\ pm a \\]

Ainsi, notre équation avec un module décrit deux, mais déjà sans module. C'est toute la technologie! Essayons de résoudre quelques équations. Commençons par telle

\\ [\\ gauche | 5x + 4 \\ droite | \u003d 10 \\ RightARrow 5x + 4 \u003d \\ pm 10 \\]

Séparément, nous considérons quand une douzaine est placée à droite et séparément - quand avec un moins. On a:

\\ [\\ begin (Align) & 5x + 4 \u003d 10 \\ RightARrow 5x \u003d 6 \\ Right Dight X \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1.2; \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ RightARrow 5x \u003d -14 \\ RightArWe X \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2.8. \\\\\\ fin (aligner) \\]

C'est tout! A reçu deux racines: $ x \u003d 1,2 $ et $ x \u003d -2,8 $. Toute la décision était littéralement deux lignes.

Ok, pas une question, regardons quelque chose de sérieux plus sérieux:

\\ [\\ gauche | 7-5x \\ Droite | \u003d 13 \\]

Révéler à nouveau le module avec un plus et moins:

\\ [\\ begin (alignement (alignement) & 7-5x \u003d 13 \\ RightARrow -5x \u003d 6 \\ RightArrore x \u003d - \\ frag (6) (5) \u003d - 1.2; \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ RightARrow -5x \u003d -20 \\ RightArrorrow x \u003d 4. \\\\\\ fin (aligner) \\]

Encore une fois quelques lignes - et la réponse est prête! Comme je l'ai dit, il n'y a rien de compliqué dans les modules. Vous devez seulement vous rappeler plusieurs règles. Par conséquent, nous allons plus loin et procédons à des tâches vraiment plus complexes.

Cas variable à droite

Envisagez maintenant une telle équation:

\\ [\\ gauche | 3x-2 \\ droite | \u003d 2x \\]

Cette équation est fondamentalement différente de toutes les précédentes. Que? Et le fait que l'expression de 2 fois de $ vaut le droit d'égalité - et nous ne pouvons pas savoir à l'avance, positif, c'est ou négatif.

Comment être dans ce cas? Premièrement, il est nécessaire de comprendre une fois et pour tout ça si la partie droite de l'équation est négative, l'équation n'aura pas de racines - Nous savons déjà que le module ne peut pas être égal à un nombre négatif.

Et deuxièmement, si le droit de la pièce est toujours positif (ou égal à zéro), vous pouvez agir de la même manière qu'avant: simplement révéler le module séparément avec le signe "plus" et séparément - avec le signe "moins" .

Ainsi, nous formulons une règle pour des fonctions arbitraires $ F \\ gauche (x \\ droite) $ et $ g \\ restantes (x \\ droite) $:

\\ [\\ gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d g \\ gauche (x \\ droite) \\ Right \\ Gauche \\ (\\ commencez (aligner (Aligner) & f \\ gauche (x \\ droite) \u003d \\ pm g \\ restante (x \\ droite ), \\\\ & g \\ gauche (x \\ droite) \\ ge 0. \\\\\\ fin (alignement) \\ droite. \\]

En référence à notre équation, nous obtenons:

\\ [\\ gauche | 3x-2 \\ droite | \u003d 2x \\ RightArrore \\ Gauche \\ (\\ Begin (Aligner) & 3x-2 \u003d \\ pm 2x, \\\\ & 2x \\ ge 0. \\\\ fin (alignement) \\ droite. \\ "

Eh bien, exigeant 2x \\ ge 0 $ nous le gérerons en quelque sorte. En fin de compte, vous pouvez substituer stupidement les racines que nous recevons de la première équation et vérifiez: l'inégalité est effectuée ou non.

Par conséquent, l'équation elle-même résout:

\\ [\\ begnt (Align) & 3x-2 \u003d 2 \\ RightArror 3x \u003d 4 \\ Right Dight X \u003d \\ frac (4) (3); \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ rightarrow 3x \u003d 0 \\ RightARrow x \u003d 0. \\\\\\ fin (aligner) \\]

Eh bien, quel type de ces deux racines satisfait l'exigence de 2x \\ ge 0 $? Oui, les deux! Par conséquent, deux chiffres iront en réponse: $ x \u003d (4) / (3) \\; $ et $ x \u003d 0 $. C'est toute la solution. :)

Je soupçonne que quelqu'un des disciples a déjà commencé à manquer? Eh bien, considérons une équation encore plus complexe:

\\ [\\ gauche | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ droite | \u003d x - (x) ^ (3)) \\]

Bien que cela semble victiculeusement, il s'agit en fait, tout cela est la même équation du type "module est égal à":

\\ [\\ gauche | f \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d g \\ gauche (x \\ droite) \\]

Et il est résolu de la même manière:

\\ [\\ gauche | (x) ^ (3)) - 3 (((x) ^ (2)) + x \\ droite | \u003d x - (x) ^ (3)) \\ Rightarrow \\ GAUCHE \\ (Aligner) & (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ gauche (x - ((x) ^ (3)) \\ / x - (( x) ^ (3)) \\ ge 0. \\\\ fin (alignement) \\ droite. \\]

Avec inégalité, nous allons alors comprendre - c'est une sorte de trop diabolique (en fait, simple, mais nous ne le déciderons pas). Bien qu'il vaut mieux gérer les équations obtenues. Considérez le premier cas - c'est lorsque le module est révélé avec un signe plus:

\\ [((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Eh bien, ici, il n'est pas clair que tout le monde a besoin de collectionner à gauche, d'apporter des semblables et de voir ce qui se passe. Et il s'avère que:

\\ [\\ début (alignement (alignement) & (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)); \\\\ & 2 ((x) ^ (3)) - 3 (x) ^ (2)) \u003d 0; \\\\\\ fin (aligner) \\]

Nous supporde le multiplicateur total $ ((x) ^ (2)) $ par support et obtenez une équation très simple:

\\ [(((x) ^ (2)) \\ Gauche (2x-3 \\ droite) \u003d 0 \\ RightArrore \\ Gauche [\\ Begn (Aligner) & (x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ & 2x-3 \u003d 0 \\\\\\ fin (aligner) \\ droite. \\]

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1,5. \\]

Ici, nous avons profité de la propriété importante du travail, pour laquelle nous avons défini le polynôme d'origine aux multiplicateurs: le travail est égal à zéro, lorsque au moins l'un des facteurs est égal à zéro.

Maintenant, nous comprenons la même chose avec la deuxième équation, qui est obtenue lorsque le module est décrit avec le signe "moins":

\\ [\\ commencez (aligner (aligner) ε ((x) ^ (3)) - 3 (((x) ^ (2)) + x \u003d - \\ gauche (x - ((x) ^ (3)) \\ droite) ; \\\\ & (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)); \\\\ & -3 (x) ^ (2)) + 2x \u003d 0; \\\\ & X \\ Gauche (-3x + 2 \\ droite) \u003d 0. \\\\\\ fin (aligner) \\]

Encore la même chose: le travail est égal à zéro, lorsqu'il est égal à zéro au moins un des multiplicateurs. On a:

\\ [\\ Gauche [\\ Begn (Aligner) & x \u003d 0 \\\\ & -3x + 2 \u003d 0 \\\\\\ fin (aligner) \\ droite. \\]

Eh bien, nous avons eu trois racines: $ x \u003d 0 $, $ x \u003d 1,5 $ et $ x \u003d (2) / (3) \\; $. Alors, qu'est-ce qui ira de cet ensemble dans la réponse finale? Pour ce faire, rappelez-vous que nous avons une restriction supplémentaire sous forme d'inégalité:

Comment prendre en compte cette exigence? Oui, nous substituons simplement les racines trouvées et vérifions: l'inégalité est effectuée à ces $ x $ ou non. On a:

\\ [\\ commencez (aligner (aligner) & x \u003d 0 \\ RightArror x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ ge 0; \\\\ & x \u003d 1.5 \\ Right Dight X - ((x) ^ (3)) \u003d 1,5 - ((((1,5) ^ (3)) \\ lt 0; \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ Rightarrow x - (x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ ge 0; \\\\\\ fin (aligner) \\]

Ainsi, la racine de $ x \u003d 1,5 $ n'est pas satisfaite de nous. Et en réponse, seules deux racines iront:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

Comme vous pouvez le constater, même dans ce cas, rien de compliqué - les équations avec des modules sont toujours résolues selon l'algorithme. Il est seulement nécessaire de bien gérer les polynômes et les inégalités. Par conséquent, nous nous tournons vers des tâches plus complexes - il n'y aura personne, mais deux modules.

Équations avec deux modules

Jusqu'à présent, nous avons étudié le plus Équations simples - Il y avait un module et autre chose. C'est "autre chose" que nous avons été envoyés à une autre partie de l'inégalité, loin du module, de sorte que, à la fin, tout a été fait à l'équation du type $ \\ gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d g \\ gauche (x \\ droite) $ ou même plus simple $ \\ gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d A $.

Mais jardin d'enfants Il s'est terminé - il est temps de considérer quelque chose de plus grave. Commençons par les équations de ce type:

\\ [\\ gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d \\ Gauche | G \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \\]

Cette équation du type "module est égale au module". Principe un point important est l'absence d'autres termes et multiplicateurs: un seul module à gauche, un autre module à droite - et rien de plus.

Quelqu'un va maintenant penser que de telles équations sont plus compliquées que ce que nous avons étudié jusqu'à présent. Mais non: ces équations sont résolues encore plus facilement. Voici la formule:

\\ [\\ gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d \\ Gauche | G \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \\ RightArrow f \\ Gauche (x \\ droite) \u003d \\ pm g \\ gauche (x \\ droite) \\]

Tout! Nous assimilons simplement les expressions de sous-soblouli, mettons un signe plus moins avant l'un d'entre eux. Puis résoudre les deux équations obtenues - et les racines sont prêtes! Pas de restrictions supplémentaires, pas d'inégalités, etc. Tout est très simple.

Essayons de décider de cette tâche:

\\ [\\ gauche | 2x + 3 \\ droite | \u003d \\ Gauche | 2x-7 \\ droite | \\]

Élémentaire Watson! Révéler les modules:

\\ [\\ gauche | 2x + 3 \\ droite | \u003d \\ Gauche | 2x-7 \\ droite | \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d \\ PM \\ Gauche (2x-7 \\ Droite) \\]

Pensez séparément chaque cas:

\\ [\\ commencez (Aligner (Aligner) & 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ RightArrorrow 3 \u003d -7 \\ RightArrorrow \\ Ektyset; \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ Gauche (2x-7 \\ droite) \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d -2x + 7. \\\\\\ fin (aligner) \\]

Il n'y a pas de racine dans la première équation. Parce que quand est-ce qu'il est $ \u003d -7 $? À quelles valeurs de $ x $? "Que d'autre NAFIG $ x $ $? Avez-vous fumé? Il n'y a pas de $ x $ là-bas nulle part. "Vous allez dire. Et vous aurez raison. Nous avons obtenu l'égalité qui ne dépend pas de la variable $ x $, et en même temps, l'égalité elle-même est incorrecte. Donc il n'y a pas de racines. :)

Avec la deuxième équation, tout est un peu plus intéressant, mais aussi très simple:

Comme on peut le voir, tout a décidé littéralement dans quelques lignes - nous ne nous attendions pas à d'autres de l'équation linéaire. :)

En conséquence, la réponse finale est la suivante: $ x \u003d 1 $.

Comment? Compliqué? Bien sûr que non. Essayons autre chose:

\\ [\\ gauche | X-1 \\ droite | \u003d \\ Gauche | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ droite | \\]

Encore une fois, nous avons une équation de type $ \\ gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d \\ Gauche | G \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | $. Par conséquent, réécrivez-le immédiatement, ouvrant le signe du module:

\\ [((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ pm \\ gauche (x-1 \\ droite) \\]

Peut-être que quelqu'un demandera: "Hey, qu'est-ce qui vous convient? Pourquoi "plus-minus" se tient à la bonne expression et non de gauche? " Calmement, maintenant je vais tout expliquer. En effet, en bon état, nous avons dû réécrire notre équation comme suit:

Ensuite, vous devez révéler des supports, transférer tous les composants dans une seule direction du signe de l'égalité (car l'équation est évidemment dans les deux cas, elle sera carrée), bien, pour trouver les racines. Mais d'accord: lorsque "Plus-Minus" se tient devant trois termes (surtout lorsque l'un de ces termes est une expression carrée), il est d'une manière ou d'une autre semble plus difficile, plutôt que la situation lorsque "plus-minus" ne supporte que les deux termes.

Mais rien ne nous empêche de réécrire l'équation d'origine comme suit:

\\ [\\ gauche | X-1 \\ droite | \u003d \\ Gauche | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ droite | \\ RightARrow \\ GAUCHE | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ droite | \u003d \\ gauche | X-1 \\ droite | \\]

Que s'est-il passé? Oui, rien de spécial: il suffit de changer la gauche et la droite. Une bagatelle, qui éventuellement simplifie la vie un peu. :)

En général, nous résolvons cette équation, compte tenu des options avec un plus et avec un moins:

\\ [\\ commencez (Aligner (Aligner) & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ RightArrore ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0; \\\\ & (x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ gauche (x - 1 \\ droite) \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\\\ fin (aligner) \\]

La première équation a une racine $ x \u003d 3 $ et x x \u003d 1 $. La seconde est généralement une place exacte:

\\ [((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d (((gauche (x-1 \\ droite)) ^ (2)) \\]

Par conséquent, il a la seule racine: $ x \u003d 1 $. Mais cette racine que nous avons déjà reçue plus tôt. Ainsi, seuls deux chiffres iront à la réponse finale:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 3; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d 1. \\]

Mission accomplie! Vous pouvez prendre des étagères et gémir le pate. Il y a 2, votre moyenne. :)

Note importante. La présence des mêmes racines à différentes versions L'ouverture du module signifie que les polynômes initiaux sont refusés à des multiplicateurs, et parmi ces facteurs auront nécessairement une opération commune. Vraiment:

\\ [\\ Begin (Aligner) & \\ Gauche | X-1 \\ droite | \u003d \\ Gauche | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ droite |; \\\\ & \\ gauche | X-1 \\ droite | \u003d \\ Gauche | \\ Gauche (x-1 \\ droite) \\ gauche (x-2 \\ droite) \\ droite |. \\\\\\ fin (aligner) \\]

Une des propriétés du module: $ \\ gauche | A \\ CDOT B \\ droite | \u003d \\ GAUCHE | A \\ droite | \\ CDOT \\ GAUCHE | B \\ droite | $ (c'est-à-dire que le module du travail est égal au produit des modules), de sorte que l'équation initiale peut être réécrite comme suit:

\\ [\\ gauche | X-1 \\ droite | \u003d \\ Gauche | X-1 \\ droite | \\ CDOT \\ GAUCHE | X-2 \\ droite | \\]

Comme vous pouvez le constater, nous avons vraiment eu un facteur commun. Maintenant, si vous collectez tous les modules d'une part, vous pouvez faire ce multiplicateur pour le support:

\\ [\\ Begin (Aligner) & \\ Gauche | X-1 \\ droite | \u003d \\ Gauche | X-1 \\ droite | \\ CDOT \\ GAUCHE | X-2 \\ droite |; \\\\ & \\ gauche | X-1 \\ droite | - \\ Gauche | X-1 \\ droite | \\ CDOT \\ GAUCHE | x-2 \\ droite | \u003d 0; \\\\ & \\ gauche | X - 1 \\ droite | \\ CDOT \\ Gauche (1- \\ Gauche | X-2 \\ Droite | \\ Right) \u003d 0. \\\\\\ fin (aligner) \\]

Eh bien, maintenant, je me souviens que le travail est nul, quand au moins un des multiplicateurs est zéro:

\\ [\\ Gauche [\\ Begin (Aligner) & \\ Gauche | x-1 \\ droite | \u003d 0, \\\\ & \\ gauche | X-2 \\ droite | \u003d 1. \\\\\\ fin (aligner) \\ droite. \\]

Ainsi, l'équation initiale avec deux modules a été réduite à deux équations les plus simples que nous avons parlé au tout début de la leçon. De telles équations sont résolues littéralement dans quelques lignes. :)

Cette remarque peut sembler inutilement complexe et inapplicable dans la pratique. Cependant, en réalité, vous pouvez rencontrer beaucoup plus tâches complexesque ceux que nous allons désassembler aujourd'hui. En eux, des modules peuvent être combinés avec des polynômes, des racines arithmétiques, des logarithmes, etc. Et dans de telles situations, la capacité de réduire le degré général d'équation en faisant de quelque chose derrière le support peut être très et très, au fait. :)

Maintenant, je voudrais désassembler une autre équation, qui peut sembler amenée à première vue. Il "sort" de nombreux étudiants - même ceux qui croient qu'ils ont bien compris dans des modules.

Néanmoins, cette équation est encore plus facile que ce que nous avons considéré plus tôt. Et si vous comprenez pourquoi, alors obtenez une autre réception pour résoudre rapidement des équations avec des modules.

Donc, l'équation:

\\ [\\ gauche | x - ((x) ^ (3)) \\ Droite | + \\ Gauche | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ droite | \u003d 0 \\]

Non, ce n'est pas une faute de frappe: entre les modules, c'est plus. Et nous devons trouver à laquelle x $ x $ somme de deux modules est zéro. :)

Quel est le problème? Et le problème est que chaque module est un nombre positif ou dans des cas extrêmes zéro. Et que se passera-t-il si vous pliera deux nombres positifs? Évidemment, un nombre positif à nouveau:

\\ [\\ début (alignement) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0; \\\\ & 0.004 + 0,0001 \u003d 0.0041 \\ GT 0; \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ gt 0. \\\\\\ fin (align) \\]

La dernière ligne peut pousser l'idée: le seul cas lorsque la somme des modules est zéro - ceci est si chaque module est zéro:

\\ [\\ gauche | x - ((x) ^ (3)) \\ Droite | + \\ Gauche | (x) ^ (2)) + x-2 \\ droite | \u003d 0 \\ rightarrow \\ gauche \\ (\\ commencez (alloir (Aligner) \\ gauche | x - (x) ^ (3)) \\ Droite | \u003d 0, \\ \\ \\ gauche | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ droite | \u003d 0. \\\\\\ fin (aligner) \\ droite. \\]

Et quand le module est égal à zéro? Seulement dans un cas - lorsque l'expression de sous-module est nulle:

\\ [((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ rightarrow \\ gauche (x + 2 \\ droite) \\ gauche (x-1 \\ droite) \u003d 0 \\ rightarrow \\ gauche [\\ begin (Aligner) & X \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\\\ fin (alignement) \\ droite. \\]

Ainsi, nous avons trois points dans lesquels le premier module est réinitialisé: 0, 1 et -1; Ainsi que deux points dans lesquels le deuxième module est réinitialisé: -2 et 1. Cependant, nous avons besoin que les deux modules soient réinitialisés en même temps, parmi les chiffres trouvés, vous devez choisir ceux qui sont inclus dans les deux ensembles . Évidemment, un tel nombre n'est qu'une chose: $ x \u003d 1 $ est la réponse finale.

La méthode de fractionnement

Eh bien, nous avons déjà considéré comme un tas de tâches et avons étudié de nombreuses techniques. Pensez-vous que c'est tout? Et voici pas! Maintenant, nous examinerons la réception finale - et en même temps le plus important. Il s'agira de diviser les équations avec un module. De quoi parlerons-nous? Renvoyons un peu de retour et considérons une équation simple. Par exemple, c'est:

\\ [\\ gauche | 3x-5 \\ droite | \u003d 5-3x \\]

En principe, nous savons déjà comment résoudre une telle équation car c'est la conception standard du type $ \\ gauche | F \\ gauche (x \\ droite) \\ droite | \u003d g \\ gauche (x \\ droite) $. Mais essayons de regarder cette équation un peu sous un angle différent. Plus précisément, considérez l'expression sous le signe du module. Permettez-moi de vous rappeler que le module de n'importe quel nombre peut être égal au nombre, et peut-être le contraire de ce numéro:

\\ [\\ gauche | A \\ Droite | \u003d \\ Gauche \\ (\\ Begin (Aligner (Aligner) & A, \\ Quad a \\ ge 0, \\\\ \\ a, \\ quad a \\ lt 0. \\\\ fin (alignement) \\ droite. \\]

En fait, dans cette ambiguïté, tout le problème est: puisque le nombre sous le module change (cela dépend de la variable), nous sommes peu clairs - il est positif ou négatif.

Mais si vous avez initialement besoin que ce nombre soit positif? Par exemple, nous aurons besoin de 3x-5 \\ gt 0 $ - dans ce cas, nous sommes garantis pour obtenir un nombre positif sous le signe du module et vous pouvez vous débarrasser complètement de ce module:

Ainsi, notre équation se transformera en linéaire, qui est facilement résolue:

True, toutes ces réflexions ne sont logiques que sous l'état de 3x-5 \\ GT 0 $ - nous avons introduit cette exigence afin de révéler de manière unique le module. Par conséquent, remplaçons ensuite $ x \u003d \\ frac (5) (3) $ dans cette condition et vérifiez:

Il s'avère que la valeur indiquée de $ x $ notre exigence n'est pas effectuée, car L'expression s'est avérée zéro et nous en avons besoin pour être strictement plus zéro. Tristesse. :(

Mais rien de terrible! Après tout, il y a une autre autre $ 3 fois-5 \\ lt 0 $. De plus: Il y a aussi un cas de 3 fois-5 $ \u003d 0 $ - il doit également être envisagé, sinon la décision sera incomplète. Alors considérons le cas de 3x-5 \\ lt 0 $:

De toute évidence, le module révélera avec le signe moins. Mais ensuite une situation étrange se pose: à gauche, et la même expression sera tracée à droite dans l'équation initiale:

Intéressant, à quel tel $ x $ expression $ 5-3 fois $ sera égal à expression 5-3 fois $? De telles équations, même la preuve du capitaine serait supprimée par la salive, mais nous savons: cette équation est une identité, c'est-à-dire Il est vrai pour toutes les valeurs de la variable!

Et cela signifie que nous organiserons n'importe quel $ x $. Cependant, nous avons une limite:

En d'autres termes, la réponse ne sera pas un nombre distinct, mais un intervalle entier:

Enfin, il reste à considérer un autre cas: 3x-5 $ \u003d 0 $. Tout est simple: il sera zéro sous le module et le module zéro est également zéro (il devrait être directement à partir de la définition):

Mais alors l'équation initiale $ \\ gauche | 3x-5 \\ droite | \u003d 5-3x $ sera réécrit comme suit:

Nous avons déjà reçu cette racine plus élevée lorsque nous considérons le cas de 3x-5 \\ gt 0 $. De plus, cette racine est une solution d'équation $ 3 fois-5 \u003d 0 $ est la restriction que nous nous-mêmes et sommes entrées pour réinitialiser le module. :)

Ainsi, en plus de l'intervalle, nous nous convenir également et le nombre situé à la fin de cet intervalle:

Réponse finale totale: $ x \\ \\ in \\ Gauche (- \\ \\ frac (5) (3) \\ droite] $. Pas très familier de voir une telle merde en réponse à une équation assez simple (en fait - linéaire) par une équation de module Est-ce vrai? Eh bien, habituez-vous à: dans la complexité du module que les réponses dans de telles équations peuvent être complètement imprévisibles.

Beaucoup plus important que d'autres: nous venons de démonter l'algorithme universel résolvant une équation avec un module! Et cet algorithme comprend les étapes suivantes:

1. Assimiler chaque module existant dans l'équation à zéro. Nous obtenons plusieurs équations;
2. Résolvez toutes ces équations et marquez les racines sur une ligne numérique. En conséquence, la ligne droite se brisera à plusieurs intervalles, sur chacune d'entreque tous les modules révélés sans ambiguïté;
3. Résolvez l'équation initiale pour chaque intervalle et combinez les réponses reçues.

C'est tout! Il n'y a qu'une seule question: où donner les racines elles-mêmes, obtenues à la 1ère étape? Supposons que nous ayons deux racines: $ x \u003d 1 $ et $ x \u003d 5 $. Ils vont casser une ligne numérique pour 3 pièces:

Eh bien, quels sont les intervalles? Il est clair que leurs trois:

1. Les plus à gauche: x \\ lt 1 $ - l'unité elle-même dans l'intervalle n'est pas incluse;
2. CENTRALE: 1 $ \\ LE X \\ LT 5 $ - Voici l'unité à l'intervalle, mais n'inclut pas cinq;
3. Le plus à droite: x \\ ge $ 5 - FIFICHY n'entre qu'ici!

Je pense que vous avez déjà compris le motif. Chaque intervalle comprend l'extrémité gauche et n'inclut pas le droit.

À première vue, un tel record peut sembler mal à l'aise, illogique et généralement une sorte de fou. Mais croyez-moi: après une petite séance d'entraînement, vous constaterez que cette approche est la plus fiable et n'interfère pas avec une divulgation sans ambession de modules. Il est préférable d'utiliser un tel schéma que de penser à chaque fois: donner la fin gauche / droite à l'intervalle actuel ou «traversez» le suivant.

Dans cet article, nous analyserons en détail la valeur absolue d'un nombre. Nous dadim différentes définitions Le module du nombre, nous introduisons la notation et donnons des illustrations graphiques. Considérer divers exemples Favification du module du nombre par définition. Après cela, nous allons énumérer et justifier les propriétés de base du module. À la fin de l'article, parlons de la manière dont le module de numéro intégré est déterminé.

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Numéro de module - Définition, désignation et exemples

Premier introduire désignation du module de numéro. Le module du numéro A sera enregistré comme étant, à gauche et à droite du numéro, nous mettrons des tirets verticaux qui forment le signe du module. Nous donnons quelques exemples. Par exemple, un module -7 peut être écrit comme; Le module 4 125 est écrit comme et le module a une vue de la vue.

La définition suivante du module fait référence à et, par conséquent, et à l'ensemble, ainsi que des nombres rationnels et irrationnels, comme composant des nombreux nombres valides. Nous allons parler du module de numéro intégré.

Définition.

Numéro de module A. - Ceci est soit le numéro A lui-même, si A est un nombre positif ou un nombre -a, le nombre opposé A, si A est un nombre négatif, ou 0, si A \u003d 0.

La définition exprimée du module du numéro est souvent écrite sous la forme suivante , cet enregistrement signifie que si un\u003e 0, si A \u003d 0, et si un<0 .

L'enregistrement peut être soumis sous une forme plus compacte. . Cet enregistrement signifie que si (A est supérieur ou égal à 0), et si un<0 .

A aussi un enregistrement . Ici, il devrait être expliqué séparément lorsque A \u003d 0. Dans ce cas, nous avons, mais -0 \u003d 0, puisque zéro est considéré comme le nombre en face de lui-même.

Ici exemples de recherche du module du nombre Avec l'aide de la définition exprimée. Par exemple, nous trouverons les modules de nombres 15 et. Commençons par la recherche. Comme le numéro 15 est positif, son module est égal au nombre même, c'est-à-dire. Et quel est le module du nombre? Depuis le numéro négatif, son module est égal au nombre opposé au nombre, c'est-à-dire le nombre . De cette façon, .

En conclusion de ce paragraphe, nous présentons une conclusion qui est très pratique à appliquer dans la pratique lorsque le module est trouvé. De la définition du numéro de module, il suit que le module numérique est égal au numéro sous le signe du module excluant son signeEt des exemples discutés ci-dessus, cela est très clairement visible. La déclaration exprimée explique pourquoi le module du numéro est encore appelé nombre absolu de nombres. Donc, le module du nombre et la valeur absolue du nombre sont les mêmes.

Numéro de module en tant que distance

Les numéros de module géométrique peuvent être interprétés comme distance. Ici définition du module du nombre à travers la distance.

Définition.

Numéro de module A. - Ceci est la distance entre le début de la référence sur la coordonnée directe au point correspondant au numéro A.

Cette définition est cohérente avec la définition du module du numéro indiqué dans le premier paragraphe. Expliquons ce moment. La distance entre le début de la référence au point qui correspond à un nombre positif égal à ce nombre. Zéro correspond au début de la référence, de sorte que la distance du début de la référence au point avec la coordonnée 0 est zéro (il n'est pas nécessaire de reporter un seul segment d'unité et un seul segment constituant une sorte de segment d'unité pour obtenir au point avec la coordonnée 0). La distance entre le début de la référence en un point avec une coordonnée négative est égale à la coordonnée opposée exacte de ce point, car elle est égale à la distance de l'origine jusqu'au point au point dont la coordonnée est le nombre inverse.

Par exemple, le module numéro 9 est 9, car la distance entre le début de la référence au point avec la coordonnée 9 est égale à neuf. Donnons un exemple. Le point avec la coordonnée -3.25 est du point O à une distance de 3,25, donc .

La définition exprimée du module du nombre est un cas particulier de déterminer le module de différence à deux numérotation.

Définition.

Module de la différence de deux nombres A et B sont égaux entre les points de la coordonnée directe avec les coordonnées A et B.

C'est-à-dire que s'il y a des points sur la coordonnée direct A (A) et B (B), la distance entre le point A au point B est égale à la différence de la différence A et B. Si comme point de prendre un point O (début de référence), nous obtenons la définition du module du numéro indiqué au début de cet article.

Définition du module du nombre à travers une racine carrée arithmétique

Parfois rencontrer définition du module à travers une racine carrée arithmétique.

Par exemple, calculez les numéros -30 modules et sur la base de cette définition. On a. De même, calculez le module des deux tiers: .

La détermination du module du nombre à travers une racine carrée arithmétique est également compatible avec la définition donnée dans le premier paragraphe de cet article. Montre le. Soit A un nombre positif, avec le nombre - négatif. Puis et Si A \u003d 0 alors .

Propriétés du module

Le module est inhérent à un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés du module. Nous allons maintenant donner les principaux et les plus fréquemment utilisés. Lorsque vous justifiez ces propriétés, nous vous fierrons sur la définition du module du nombre à travers la distance.

Commençons par les propriétés les plus évidentes du module - le module de numéro ne peut pas être un nombre négatif.. Dans une forme alphabante, cette propriété présente une vue sur une espèce pour tout nombre a. Cette propriété est très facile à étabérer: le module du nombre est la distance et la distance ne peut pas être exprimée par un nombre négatif.

Allez à la propriété suivante du module. Le module du nombre est zéro si et seulement si ce nombre est zéro. Le module zéro est zéro par définition. Zéro correspond au début de la référence, aucun autre point sur la coordonnée directe zéro ne correspond pas, car chaque nombre réel est mis en conformité avec le point unique sur la coordination directe. Pour la même raison, tout nombre autre que zéro correspond à un point autre que le début de la référence. Et la distance entre le début de la référence à tout point autre que le point O n'est pas nulle, car la distance entre deux points est nulle si et uniquement si ces points coïncident. Les arguments ci-dessus prouvent que seul le module zéro est zéro.

Vas-y. Les nombres opposés ont des modules égaux, c'est-à-dire pour tout nombre a. En effet, deux points sur les coordonnées directes de coordonnées sont des nombres opposés, sont à la même distance entre le début de la référence, puis les modules des nombres opposés sont égaux.

La propriété suivante du module est: le module du travail de deux nombres est égal au produit des modules de ces nombres, c'est à dire, . Par définition, le module du produit des nombres A et B est un a · B, si ou - (A. B), si. Parmi les règles de la multiplication des nombres réels, il s'ensuit que le produit des modules des nombres A et B est égal à A · B, soit - (A. B), si cela prouve la propriété considérée.

Le module partiel de la division A ON B est égal au privé de la division du module A au module du numéro B, c'est à dire, . Justifier cette propriété du module. Puisque le privé est égal au travail, alors. En vertu de la propriété précédente, nous avons . Il reste seulement de tirer parti de l'égalité qui est valide pour la définition du module du nombre.

La propriété suivante du module est écrite sous forme d'inégalité: , a, b et c - chiffres valides arbitraires. L'inégalité enregistrée n'est rien de plus que l'inégalité du triangle. Donc, il devient clair, prenez des points A (A), B (B), C (C) sur la coordonnée directe et considérez le triangle dégénéré ABC, qui ont des sommets situés sur une ligne droite. Par définition du module de différence est égal à la longueur du segment de l'AB, la longueur du segment de l'UA et la longueur du segment de la ST. Comme la longueur de tout côté du triangle ne dépasse pas la somme de la longueur des deux autres côtés, c'est une inégalité juste Par conséquent, l'inégalité est vraie.

Juste des inégalités prouvées est beaucoup plus fréquente dans la forme . Les inégalités enregistrées sont généralement considérées comme une propriété distincte d'un module avec le libellé: " La quantité de deux chiffres ne dépasse pas la somme des modules de ces chiffres." Mais l'inégalité devrait suivre directement des inégalités, le cas échéant, au lieu de mettre -b et de prendre c \u003d 0.

Un module de numéro complexe

Dadim définition du module de numéro intégré. Donnons-nous nombre complexe, enregistré sous une forme algébrique, où X et Y sont des nombres valides, qui sont respectivement les parties réelles et imaginaires de ce nombre complexe Z, et - l'unité imaginaire.

L'un des sujets les plus difficiles pour les étudiants est la solution d'équations contenant une variable sous le signe du module. Trouvez-le pour un début avec ce qui est connecté? Pourquoi, par exemple, les équations carrées la plupart des enfants cliquent comme des noix, et avec du concept aussi complexe que le module a tant de problèmes?

À mon avis, toutes ces difficultés sont associées à l'absence de règles clairement formulées pour résoudre des équations avec un module. Donc, résolution équation quadratique, l'étudiant sait exactement ce qu'il avait besoin d'utiliser la formule de la discriminante, puis de la formule des racines de l'équation carrée. Et que si le module se réunit dans l'équation? Nous allons essayer de décrire clairement le plan d'action nécessaire au cas où l'équation contient un inconnu sous le signe du module. À chaque cas, nous donnons quelques exemples.

Mais je me souviens d'abord définition du module. Donc, le numéro du module uNE. appelé lui-même ce numéro si uNE. NonNegative I. -une.Si le numéro uNE. Moins zéro. Vous pouvez l'écrire comme ceci:

| A | \u003d a si A ≥ 0 et | a | \u003d -a si un< 0

Parlant du sens géométrique du module, il convient de rappeler que chaque numéro réel correspond à un certain point de l'axe numérique - il peuple. Donc, le module ou la valeur absolue du nombre est la distance entre ce point avant le début du compte à rebours de l'axe numérique. La distance est toujours donnée par un nombre positif. Ainsi, le module de tout nombre négatif est le nombre positif. Au fait, même à ce stade, de nombreux étudiants commencent à être confus. Le module peut être un numéro incomplet, mais le résultat de l'application du module est toujours un nombre positif.

Nous passons maintenant directement à la résolution d'équations.

1. Envisager l'équation de type | x | \u003d C, où c est un nombre valide. Cette équation peut être résolue en définissant le module.

Tous les nombres réels se briseront en trois groupes: ceux qui sont plus zéro, ceux qui sont inférieurs à zéro, et le troisième groupe est le nombre 0. Nous écrivons une solution sous la forme d'un schéma:

(± c, si avec\u003e 0

Si | x | \u003d C, x \u003d (0, si c \u003d 0

(pas de racines, si avec< 0

1) | x | \u003d 5, parce que 5\u003e 0, puis x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, parce que -cinq< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, puis x \u003d 0.

2. Afficher l'équation | F (x) | \u003d B, où b\u003e 0. Pour résoudre cette équation, il est nécessaire de se débarrasser du module. Nous faisons ceci: f (x) \u003d b ou f (x) \u003d -b. Il est maintenant nécessaire de résoudre chacune des équations obtenues. Si dans l'équation initiale B< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, parce que 4\u003e 0, alors

x + 2 \u003d 4 ou x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, parce que 11\u003e 0, puis

x 2 - 5 \u003d 11 ou x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 pas de racines

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, parce que -huit< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Afficher l'équation | F (x) | \u003d G (x). Dans le sens du module, une telle équation aura des solutions si son côté droit est supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire G (x) ≥ 0. Ensuite, nous aurons:

f (x) \u003d g (x)ou alors f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Cette équation aura une racine, si 5x est de 10 ≥ 0. C'est à partir de cela que de telles équations demandaient.

1. OD 5x - 10 ≥ 0

2. Solution:

2x - 1 \u003d 5x - 10 ou 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. Combinez OD. Et la décision, nous obtenons:

La racine x \u003d 11/7 ne convient pas à OD, il est inférieur à 2, et x \u003d 3 satisfait cette condition.

Réponse: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. OD 1 - x 2 ≥ 0. Cette inégalité est résolue par la méthode d'intervalle:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Solution:

x - 1 \u003d 1 - x 2 ou x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 ou x \u003d 1 x \u003d 0 ou x \u003d 1

3. Nous combinons la décision et l'OD:

Seules les racines x \u003d 1 et x \u003d 0 conviennent.

Réponse: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Afficher l'équation | F (x) | \u003d | G (x) |. Une telle équation équivaut aux deux équations suivantes f (x) \u003d g (x) ou f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Cette équation est équivalente aux deux suivantes:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 ou x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 ou x \u003d 4 x \u003d 2 ou x \u003d 1

Réponse: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Equations résolues par substitution (remplacement variable). Cette solution est le moyen le plus simple d'expliquer sur exemple spécifique. Donc, laissez l'équation carrée avec le module:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. par les propriétés du module x 2 \u003d | x | 2, donc l'équation peut être réécrite afin:

| X | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Nous allons remplacer | x | \u003d T ≥ 0, alors nous aurons:

t 2 - 6T + 5 \u003d 0. Résolution de cette équation, nous obtenons que T \u003d 1 ou T \u003d 5. Revenons au remplaçant:

| X | \u003d 1 ou | x | \u003d 5.

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Réponse: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Considérez un autre exemple:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. par les propriétés du module x 2 \u003d | x | 2, donc.

| X | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Nous remplacerons | x | \u003d T ≥ 0, puis:

t 2 + T - 2 \u003d 0. Résolution de cette équation, nous obtenons, t \u003d -2 ou t \u003d 1. Revenons au remplaçant:

| X | \u003d -2 ou | x | \u003d 1.

Pas de racines x \u003d ± 1

Réponse: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. Un autre type d'équations - équations avec un module "complexe". Ces équations comprennent des équations dans lesquelles il existe des "modules dans le module". Les équations de cette espèce peuvent être résolues en appliquant les propriétés du module.

1) | 3 - | x || \u003d 4. Nous agirons aussi bien que dans les équations de deuxième type. Parce que 4\u003e 0, alors nous obtenons deux équations:

3 - | x | \u003d 4 ou 3 - | x | \u003d -4.

Maintenant express dans chaque module d'équation x, puis | x | \u003d -1 ou | x | \u003d 7.

Nous résolvons chacune des équations obtenues. Dans la première équation, il n'y a pas de racines, car -une< 0, а во втором x = ±7.

La réponse est x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Nous résolvons cette équation de la même manière:

3 + | x + 1 | \u003d 5 ou 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8.

x + 1 \u003d 2 ou x + 1 \u003d -2. Pas de racines.

Réponse: x \u003d -3, x \u003d 1.

Il existe également une solution universelle pour résoudre des équations avec un module. C'est la méthode d'intervalle. Mais nous le considérerons à l'avenir.

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La valeur absolue d'un nombre uNE. - C'est la distance entre le début des coordonnées au point MAIS(uNE.).

Pour comprendre cette définition, nous nous substituons au lieu d'une variable uNE. N'importe quel nombre, par exemple 3 et essayer de le lire à nouveau:

La valeur absolue d'un nombre 3 - C'est la distance entre le début des coordonnées au point MAIS(3 ).

Il devient clair que le module n'est rien de plus que la distance habituelle. Essayons de voir la distance entre le début des coordonnées au point A ( 3 )

Distance du début des coordonnées au point A ( 3 ) Également 3 (trois unités ou trois étapes).

Le module du nombre indique deux lignes verticales, par exemple:

Le module numéro 3 est indiqué comme suit: | 3 |

Le module du numéro 4 est indiqué comme suit: | 4 |

Le module numéro 5 est le suivant: | 5 |

Nous recherchions un module numéro 3 et découvrions qu'il est égal à 3. et écrivez-le:

Lit comme: "Le module trois fois est trois"

Essayons maintenant de trouver le module numéro -3. Encore une fois, nous retournons à la définition et remplacons le nombre -3. Seulement au lieu d'un point UNE. Nous utilisons un nouveau point B.. Point UNE. Nous avons déjà utilisé dans le premier exemple.

Numéro de module - 3 Appelez la distance entre le début des coordonnées au point B.(—3 ).

La distance d'un point à l'autre ne peut pas être négative. Par conséquent, le module de tout nombre négatif, étant la distance soit ne sera pas négative. Le module Nombre -3 sera numéro 3. La distance de l'origine du point B (-3) est également de trois unités:

Lit comme: "Le module du nombre de moins trois est trois"

Le module du numéro 0 est 0, celui que le point avec la coordonnée 0 coïncide avec le début des coordonnées, c'est-à-dire Distance du début des coordonnées au point O (0) Également zéro:

"Le module zéro est nul"

Nous tirons des conclusions:

• Le module de numéro ne peut pas être négatif;
• Pour un nombre positif et zéro, le module est égal au nombre et pour le négatif - le nombre opposé;
• Les nombres opposés ont des modules égaux.

Nombres opposés

Nombres différent uniquement par des signes appelés opposé. Par exemple, les numéros -2 et 2 sont opposés. Ils ne diffèrent que sur les signes. Dans le nombre de -2 un signe de moins, et 2 est un signe plus, mais nous ne le voyons pas, car plus, comme nous l'avons dit plus tôt, n'écrivez pas selon la tradition.

Plus d'exemples de nombres opposés:

Les nombres opposés ont des modules égaux. Par exemple, trouvez des modules pour -2 et 2

La figure montre que la distance entre le début des coordonnées aux points A (-2) et B (2) Également égal à deux étapes.

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Et est calculé conformément à ces règles:

Pour bref enregistrement s'appliquer | a |. Donc, | 10 | \u003d 10; - 1/3 \u003d | 1/3 |; | -100 | \u003d 100, etc.

Toute magnitude h. Correspond à une valeur assez précise | h.|. Et signification identité w.= |h.| Fixe w. comme certains fonction d'argumentation h..

Horairecette les fonctions Présenté ci-dessous.

Pour x. > 0 |x.| = x., et pour x.< 0 |x.|= -x.; À cet égard, la ligne Y \u003d | x.| pour x.\u003e 0 combiné avec droit y \u003d x.(bissecteur du premier angle de coordonnées), et quand h.< 0 - с прямой y \u003d -kh.(bissecteur du deuxième angle de coordonnées).

Individuel équations inclure des inconnues sous le signe module.

Exemples arbitraires de telles équations - | h.— 1| = 2, |6 — 2h.| =3h.+ 1, etc.

Résoudre les équationscontenant inconnu sous le signe du module en fonction du fait que si la valeur absolue d'un nombre inconnu X est égale nombre positif A, alors ce nombre de x est égal ou a, ou -a.

par example: si | h.| \u003d 10, puis ou h.\u003d 10, ou h. = -10.

Considérer solution d'équations individuelles.

Analyser la solution de l'équation | h.- 1| = 2.

Nous allons ouvrir le module Alors la différence h.- 1 peut être égal à ou + 2, ou - 2. si x - 1 \u003d 2, puis h. \u003d 3; si h. - 1 \u003d - 2, puis h. \u003d - 1. Nous faisons une sous-station et nous obtenons que ces deux valeurs satisfont à l'équation.

Répondre.L'équation spécifiée a deux racines: x. 1 = 3, x. 2 = - 1.

Analyser Équation | 6 — 2h.| = 3h.+ 1.

Après informations sur le modulenous obtenons: ou 6 - 2 h.= 3h.+ 1, ou 6 - 2 h.= - (3h.+ 1).

Dans le premier cas h. \u003d 1, et dans la seconde h.= - 7.

Vérifier. Pour h.= 1 |6 — 2h.| = |4| = 4, 3x. + 1 \u003d 4; De la Cour suit h. = 1 - koren Bcette équations.

Pour x. = - 7 |6 — 2x.| = |20| = 20, 3x.+ 1 \u003d - 20; Depuis 20 ≠ -20, alors h. \u003d - 7 n'est pas la racine de cette équation.

Répondre. W.les équations sont la seule racine: h. = 1.

Équations de ce type peut résoudre et graphique.

Alors décider par exemple, équation graphique | x- 1| = 2.

Exécuter initialement la construction fonction graphique w. = |x.- 1 |. Premier dessiner une fonction de planification w.=x- 1:

Cette partie de cette graphiquequi est situé au-dessus de l'axe h. Nous ne changerons pas. Pour elle h. - 1\u003e 0 et donc | h.-1|=h.-1.

Une partie du graphique situé sous l'axe h.décrivant symétrique Concernant cet axe. Depuis pour cette partie h. - 1 < 0 и соответственно |x - 1|= - (x - une). Formé à la suite ligne (ligne solide) et sera graphique graphique y \u003d | h.—1|.

Cette ligne coupe avec droit w. \u003d 2 en deux points: M 1 avec abscisse -1 et m 2 avec abscisse 3. et, en conséquence, équation | h.- 1 | \u003d 2 sera deux racines: h. 1 = - 1, h. 2 = 3.