Une équation différentielle ordinaire Il est appelé une équation qui connecte une variable indépendante, une fonction inconnue de cette variable et de ses dérivés (ou des différentiels) de différentes commandes.

Ordre de l'équation différentielle L'ordre de l'ancienne dérivée contenue est appelée.

En plus des équations ordinaires et différentielles avec des dérivés privés sont également étudiées. Ce sont des équations reliant des variables indépendantes, une fonction inconnue de ces variables et ses dérivés privés en fonction de la même variable. Mais nous ne considérerons que Équations différentielles ordinaires Et sera donc pour la brièveté de réduire le mot "ordinaire".

Exemples d'équations différentielles:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Équation (1) - quatrième ordre, équation (2) - troisième ordre, équation (3) et (4) - deuxième ordre, équation (5) - premier ordre.

Équation différentielle n.-O commande n'a pas nécessairement une fonction clairement, tous ses dérivés du premier à n.-O commande et variable indépendante. Il peut ne pas contenir explicitement des dérivés de certaines commandes, une fonction, une variable indépendante.

Par exemple, dans l'équation (1), il n'existe clairement pas de dérivés de troisième et de second ordre, ainsi que de fonctions; dans l'équation (2) - le deuxième dérivé de commande et de fonction; dans l'équation (4) - une variable indépendante; Dans l'équation (5) - fonctions. Seules l'équation (3) contiennent clairement tous les dérivés, une fonction et une variable indépendante.

En résolvant l'équation différentielle appelé n'importe quelle fonction y \u003d f (x)En substituant qu'il répond à l'identité dans l'équation.

Le processus de recherche d'une solution de l'équation différentielle est appelé l'intégration.

Exemple 1. Trouvez la solution de l'équation différentielle.

Décision. Nous écrivons cette équation sous la forme. La solution consiste à trouver une fonction par sa dérivée. La fonction initiale est connue du calcul intégral, il existe une primitive pour, c'est-à-dire.

C'est ce que c'est solution de cette équation différentielle . En changeant C.Nous recevrons diverses solutions. Nous avons découvert qu'il existe un ensemble infini de solutions de l'équation différentielle du premier ordre.

La solution générale de l'équation différentielle n.-O commande est appelée sa solution, exprimée explicitement relative à une fonction inconnue et contenant n. constante arbitraire indépendante, c'est-à-dire

La solution de l'équation différentielle dans l'exemple 1 est courante.

Solution spéciale de l'équation différentielle Cette solution est appelée, dans laquelle des valeurs numériques spécifiques sont attachées à une constante arbitraire.

Exemple 2. Trouver une solution générale d'une équation différentielle et une solution particulière pour .

Décision. Nous intégrons les deux parties de l'équation de ce type de fois égal à l'ordre de l'équation différentielle.

,

.

En conséquence, nous avons eu une solution générale -

cette équation différentielle du troisième ordre.

Maintenant, trouvez une solution privée dans les conditions spécifiées. Pour ce faire, nous nous substituerons au lieu de coefficients arbitraires de leur valeur et d'obtenir

.

Si, en plus de l'équation différentielle, la condition initiale sous la forme est spécifiée, une telle tâche est appelée. tâche de Cauchy . En général, la solution de l'équation substitue les valeurs et et trouve la valeur d'une constante arbitraire C.puis la solution particulière de l'équation avec la valeur trouvée C.. C'est la solution du problème de Cauchy.

Exemple 3. Résolvez le problème de la Cauchy pour une équation différentielle de l'exemple 1 sous la condition.

Décision. Substituer une solution à la valeur de la condition initiale y. = 3, x. \u003d 1. Recevoir

Nous écrivons la solution du problème de Cauchy pour cette équation différentielle de premier ordre:

Lors de la résolution d'équations différentielles, même les compétences et produits d'intégration les plus simples et les dérivées sont nécessaires, y compris des fonctions complexes. Cela peut être vu dans l'exemple suivant.

Exemple 4. Trouvez une solution générale de l'équation différentielle.

Décision. L'équation est enregistrée sous une telle forme que vous pouvez immédiatement intégrer les deux parties.

.

Appliquez la méthode d'intégration d'un remplacement variable (substitution). Laisser alors.

Obligé de prendre dx. Et maintenant - attention - nous le faisons selon les règles de différenciation d'une fonction complexe, car x. Et il existe une fonction complexe ("Apple" - extraction d'une racine carrée ou, de même que la construction de "une seconde", et le "haché" est la plus expression sous la racine):

Trouvez une intégrale:

Retour à la variable x.On a:

.

C'est la solution globale de cette équation différentielle du premier degré.

Non seulement les compétences des sections précédentes des mathématiques les plus élevées seront nécessaires pour résoudre des équations différentielles, mais également les compétences du primaire, c'est-à-dire des mathématiques scolaires. Comme mentionné, dans l'équation différentielle de toute commande peut ne pas être une variable indépendante, c'est-à-dire variable x.. Ils aideront à résoudre ce problème ne sont pas oubliés (cependant, quiconque comme) avec une connaissance du banc d'école de proportion. C'est l'exemple suivant.

Équations différentielles (du). Ces deux mots mènent généralement à l'horreur de l'homme moyen moyen. Les équations différentielles semblent quelque chose d'exemplaire et difficile à maîtriser et de nombreux étudiants. Uuuuuu ... équations différentielles, comment vais-je passer à travers tout cela ?!

Une telle opinion et une telle humeur est incorrecte, car en fait Les équations différentielles sont simples et même excitantes. Qu'est-ce que vous devez savoir et être capable d'apprendre à résoudre des équations différentielles? Pour étudier avec succès les diffus, vous devez être capable d'intégrer bien et différencier. Mieux les sujets étudiés Fonction dérivée d'une variable et Intéressant incertainLa façon dont il sera plus facile de comprendre les équations différentielles. Je dirai plus si vous avez des compétences d'intégration plus ou moins décentes, le sujet est presque maîtrisé! Plus vous pouvez décider des intégrales de différents types, mieux c'est. Pourquoi? Parce que vous devez intégrer beaucoup. Et différencier. Également recommande fortement apprendre à trouver dérivé de la fonction spécifiée implicitement.

Dans 95% des cas, 3 types d'équations différentielles de premier ordre sont trouvés: des équations avec des variables de séparation que nous considérons dans cette leçon; Équations uniformes et Équations inhomogènes linéaires. Commencer à apprendre les diffus, je vous conseille de vous familiariser avec les leçons dans cet ordre. Il y a encore plus de rares types d'équations différentielles: Équations dans des différences complètes, equations Bernoulli et d'autres. Les deux dernières espèces sont les équations dans des différences complètes, car en plus de ce Du, je considère la nouvelle intégration privée.

D'abord rappeler les équations habituelles. Ils contiennent des variables et des chiffres. L'exemple le plus simple :. Qu'est-ce que cela signifie de résoudre l'équation habituelle? Cela signifie trouver beaucoup de chiffresqui répondent à cette équation. Il est facile de voir que l'équation des enfants a la seule racine :. Pour une touche, faites un chèque, nous substituons la racine trouvée dans notre équation:

- La bonne égalité est obtenue, cela signifie que la solution est trouvée correctement.

Diffres sont arrangés à peu près de la même manière!

Équation différentielle premier ordre, contenir:
1) variable indépendante;
2) la variable dépendante (fonction);
3) la première fonction dérivée :.

Dans certains cas, le "IX" ou (et) "igrek" peut manquer dans l'équation de premier ordre important faire en du a été premier dérivé, et n'a pas eu Dérivés des ordres supérieurs -, etc.

Quels moyens?Résoudre l'équation différentielle - cela signifie trouver beaucoup de fonctions qui répondent à cette équation. De telles fonctions sont appelées la solution générale de l'équation différentielle.

Exemple 1.

Résoudre l'équation différentielle

Munitions complètes. Pourquoi commencer à résoudre toute équation différentielle de premier ordre?

Tout d'abord, vous devez réécrire un dérivé différent sous une autre forme. Nous nous souvenons de la dérivée de désignation encombrante :. Une telle désignation d'un dérivé de beaucoup d'entre vous semblait probablement ridicule et inutile, mais cela conduirait exactement dans les diffuses!

Donc, à la première étape, réécrivez le dérivé sous la forme dont nous avons besoin:

Dans la deuxième étape toujours Nous regardons si c'est impossible variables divisées? Qu'est-ce que cela signifie de diviser des variables? Grosso modo, dans le côté gauche Nous devons partir seulement "igrek", mais dans la bonne partie organiser seulement "ikers". La séparation des variables est effectuée à l'aide de manipulations "école": soumission des supports, transfert des composants de la pièce à la pièce avec le changement du panneau, le transfert de multiplicateurs de la pièce à la pièce en fonction de la pièce selon la règle de règle, etc.

Les différentiels et sont des facteurs déterminants et des participants actifs dans les hostilités. Dans l'exemple de l'exemple, les variables sont facilement divisées par le fraisage de multiplicateurs par règle de proportion:

Les variables sont séparées. Dans le côté gauche - seule "ignorance", dans la partie droite - seulement "Xers".

Étape suivante - intégration de l'équation différentielle. Tout est simple, inspiré des intégrales sur les deux parties:

Bien sûr, les intégrales doivent être prises. Dans ce cas, ils sont tabulaires:

Comme nous nous souvenons, une constante est attribuée à toute primitive. Voici deux intégrales, mais la constante suffit à écrire une fois. Presque toujours, il est attribué à la partie droite.

Strictement parlant, après l'entrée des intégrales, l'équation différentielle est considérée comme résolue. La seule chose, nous "Igrek" ne sont pas exprimées par "X", c'est-à-dire que la décision est présentée implicite forme. La solution de l'équation différentielle dans une forme implicite est appelée intégration commune de l'équation différentielle. C'est-à-dire que c'est une intégrale commune.

Maintenant, vous devez essayer de trouver une solution générale, c'est-à-dire essayer de présenter une fonction explicitement.

S'il vous plaît rappelez-vous la première technique technique, il est très courant et est souvent utilisé dans des tâches pratiques. Lorsque le logarithme apparaît sur le côté droit après l'intégration, la constante est presque toujours souhaitable d'enregistrer trop dans le logarithme.

C'est à dire, plutôtles enregistrements écrivent habituellement .

Voici la même constante à part entière que. Pourquoi en avez-vous besoin? Et afin de faciliter l'expression de "igarek". Nous utilisons la propriété de l'école des logarithmes: . Dans ce cas:

Maintenant, les logarithmes et les modules peuvent être supprimés avec une conscience propre des deux parties:

La fonction est indiquée explicitement. Ceci est une solution générale.

Beaucoup de fonctions C'est une solution générale d'une équation différentielle.

Donner les différentes valeurs de différentes valeurs, vous pouvez être infiniment beaucoup solutions privées Équation différentielle. Aucune des fonctions ,,, etc. satisfera l'équation différentielle.

Parfois, une décision générale est appelée famille de fonctions. Dans cet exemple, la solution générale - Il s'agit d'une famille de fonctions linéaires, ou plutôt d'une famille de proportionnelles directes.

De nombreuses équations différentielles sont assez faciles à vérifier. Cela se fait très simplement, prenez la solution trouvée et trouvez une dérivée:

Nous substituons notre solution et la dérivée trouvée trouvée dans l'équation d'origine:

- La bonne égalité est obtenue, cela signifie que la solution est trouvée correctement. En d'autres termes, la solution générale satisfait à l'équation.

Après une mastication détaillée du premier exemple, il convient de répondre à plusieurs questions naïves sur les équations différentielles.

1) Dans cet exemple, nous avons réussi à diviser les variables :. Est-il toujours possible de faire cela? Non pas toujours. Et encore plus souvent, les variables ne peuvent pas être divisées. Par exemple, dans équations de premier ordre homogène, vous devez d'abord remplacer. Dans d'autres types d'équations, par exemple, dans l'équation du premier ordre inhomogène linéaireVous devez utiliser diverses techniques et méthodes pour trouver une solution générale. Équations avec des variables de séparation, que nous considérons dans la première leçon - le type le plus simple d'équations différentielles.

2) Est-il toujours possible d'intégrer l'équation différentielle? Non pas toujours. Il est très facile de proposer une équation "coupée" qui ne peut pas être intégrée, en outre, il y a des intégrales inflexibles. Mais une telle DU peut être résolue approximativement à l'aide de méthodes spéciales. Garantie Daember et Cauchi. ... Ugh, Lurkmore.ru Davecha a lu.

3) Dans cet exemple, nous avons eu une solution sous la forme d'une intégrale commune . Est-il toujours possible de l'intégration générale de trouver une solution générale, c'est-à-dire d'exprimer explicitement «igarek»? Non pas toujours. Par example: . Eh bien, comment exprimer "igrek" ?! Dans de tels cas, la réponse doit être écrite comme une intégrale commune. En outre, vous pouvez parfois trouver une décision générale, mais elle est écrite si encombrante et maladroite, ce qui vaut mieux laisser la réponse sous la forme d'une intégrale commune

Nous ne nous dépêcherons pas. Une autre décision simple du DU et une autre décision d'échantillon.

Exemple 2.

Trouvez une solution privée d'une équation différentielle qui satisfait à la condition initiale

Sous la condition que vous devez trouver solution privée Ne pas satisfaire la condition initiale. Cette question est également appelée tâche de Cauchy.

Nous trouvons d'abord une solution générale. Il n'y a pas de variable «X» dans l'équation, mais elle ne doit pas être gênée, la principale chose est la première dérivée de celui-ci.

Rembobiner le dérivé sous la forme droite:

De toute évidence, les variables peuvent être divisées, garçons - gauche, filles - droite:

Nous intégrons l'équation:

L'intégrale commune est obtenue. Ici, j'ai peint une constante avec un astérisque soudain, le fait est que cela se transformera très bientôt en une autre constante.

Maintenant, essayez l'intégration globale de convertir en solution générale (express "igrek" explicitement). Nous nous souvenons de l'ancien, gentil, école: . Dans ce cas:

La constante dans l'indicateur semble notable, elle est donc généralement descendue du ciel à la terre. Si en détail, cela se produit. En utilisant la propriété de degrés, réécrivez la fonction comme suit:

Si c'est une constante, alors - aussi une constante, qui est notée à travers la lettre:

N'oubliez pas la démolition de la constante, c'est la deuxième technique technique, souvent utilisée au cours de la résolution d'équations différentielles.

Donc, la solution générale :. Telle est une jolie famille de fonctions exponentielles.

À la dernière étape, vous devez trouver une solution privée qui répond à la condition initiale spécifiée. C'est aussi simple.

Quelle est la tâche? Besoin de ramasser cette Valeur constante à la condition initiale spécifiée.

Vous pouvez organiser différemment, mais ce sera probablement, peut-être, sera donc tellement. En général, la solution au lieu de "Iksa" nous substituons zéro et au lieu des "Jeux" deux:



C'est à dire,

Version standard de la conception:

En règle générale, nous substituons la valeur trouvée constante:
- C'est la décision spéciale dont vous avez besoin.

Effectuer un chèque. Vérification d'une solution privée comprend deux étapes.

Vous devez d'abord vérifier, et si la solution particulièrement trouvée fondamentalement satisfait à la condition initiale? Au lieu de "Iksa", nous remplacons zéro et voyons ce qui se passe:
- Oui, une destruction est vraiment obtenue, ce qui signifie que la condition initiale est effectuée.

La deuxième étape est déjà familière. Nous prenons la solution privée reçue et trouvons une dérivée:

Nous nous substituons dans l'équation d'origine:

- une égalité fiable est obtenue.

Conclusion: Solution privée trouvée à droite.

Aller à des exemples plus significatifs.

Exemple 3.

Résoudre l'équation différentielle

Décision: Réécrivez la dérivée dans la forme dont nous avons besoin:

Nous estimons s'il est possible de diviser les variables? Pouvez. Nous portons le deuxième terme au côté droit avec le changement de signe:

Et lancer des multiplicateurs par règle de proportion:

Les variables sont séparées, intégrant les deux parties:

Doit avertir, le jour approche. Si vous avez mal appris intégrales incertainesIl y a peu d'exemples, ils n'ont nulle part où aller - vous devrez les maîtriser maintenant.

L'intégrale du côté gauche est facile à trouver, avec l'intégrale de Kothangane, nous sommes traités avec la technique standard que nous avons considérée dans la leçon. Intégrer les fonctions trigonométriques L'année dernière:

Dans la partie droite, nous avons avéré le logarithme, selon ma première recommandation technique, dans ce cas, la constante devrait également être enregistrée dans le logarithme.

Maintenant, nous essayons de simplifier l'intégration globale. Comme nous avons des logarithmes, il est tout à fait possible (et nécessaire) de s'en débarrasser. Logarithmes maximum "Pack". L'emballage est effectué avec l'aide de trois propriétés:

Veuillez réécrire ces trois formules à vous-même dans le classeur, lors de la résolution des diffuses, elles sont utilisées très souvent.

Solution malade dans très détaillée:

Emballage terminé, Supprimer les logarithmes:

Est-il possible d'exprimer "igrek"? Pouvez. Nous devons construire les deux parties dans la place. Mais il n'est pas nécessaire de le faire.

Troisième conseil technique: Si pour obtenir une solution générale, vous devez soulever ou extraire des racines, puis dans la plupart des cas Vous devez vous abstenir de ces actions et laisser une réponse sous la forme d'une intégrale commune. Le fait est que la décision générale sera jolie et terrible - avec de grandes racines, des signes.

Par conséquent, la réponse écrira sous la forme d'une intégrale commune. Une bonne tonalité est considérée comme soumise à une intégrale commune sous la forme, c'est-à-dire du côté droit, si possible, ne laissez qu'une constante. Il n'est pas nécessaire de le faire, mais toujours bénéfique pour plaire aux professeurs ;-)

Répondre: Général Integral:

Noter: L'intégration globale de toute équation peut être écrite à la seule façon. Ainsi, si vous n'avez pas coïncidé avec le résultat avec une réponse pré-connue, cela ne signifie pas que vous avez mal résolu l'équation.

L'intégrale générale est également vérifiée assez facilement, l'essentiel est de pouvoir trouver dérivés de la fonction spécifiée implicitement. Différencier la réponse:

Nous multiplions les deux termes sur:

Et diviser sur:

L'équation différentielle initiale est obtenue exactement, cela signifie que l'intégration commune se trouve correctement.

Exemple 4.

Trouvez une solution privée d'une équation différentielle qui satisfait à la condition initiale. Effectuer le chèque.

Ceci est un exemple pour une solution indépendante. Je vous rappelle que la tâche de Cauchy est composée de deux étapes:
1) Trouver une solution générale.
2) Trouver une solution privée.

Le chèque est également effectué en deux étapes (voir également l'exemple de l'exemple 2), vous avez besoin:
1) Assurez-vous que la solution privée trouvée satisfait vraiment à la condition initiale.
2) Vérifiez que la solution privée est du tout satisfaire à l'équation différentielle.

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Exemple 5.

Trouver une solution privée de l'équation différentielle satisfaisant la condition initiale. Effectuer le chèque.

Décision:Nous trouverons d'abord une solution générale. L'équation contient déjà des différenciations prêtes et, ce qui signifie que la solution est simplifiée. Nous partageons des variables:

Nous intégrons l'équation:

Gauche intégral - tabulaire, droit intégré - prise en résumant une fonction sous le signe de différentiel:

General Integral a reçu s'il est impossible d'exprimer une solution générale? Pouvez. Logarithmes de test:

(J'espère que tout le monde comprend la transformation, de telles choses devraient savoir)

Donc, la solution générale:

Nous trouverons une solution privée qui répond à la condition initiale spécifiée. En général, la solution au lieu de "Iksa" nous substituons zéro et au lieu du logarithme "Jeux" de deux:

Conception plus familière:

Nous substituons la valeur trouvée de la constante dans la solution générale.

Répondre: Solution privée:

Vérifiez d'abord: Vérifiez si la condition initiale est faite:
- Tout est bon.

Maintenant, vérifiez et si la solution particulière est satisfaisante en général l'équation différentielle. Trouver une dérivée:

Nous examinons l'équation initiale: - Il est représenté dans les différentiels. Il y a deux façons de vérifier. Vous pouvez exprimer la différence de la dérivée trouvée:

Nous substituons la solution privée trouvée et le différentiel obtenu dans l'équation d'origine :

Nous utilisons la principale identité logarithmique:

La bonne égalité est obtenue, cela signifie que la solution privée se trouve correctement.

La deuxième façon de vérifier les miroirs et est plus habitué: de l'équation Exprimez la dérivée, car nous divisons toutes choses sur:

Et dans la convertie DU remplacez la solution privée reçue et la dérivée trouvée. À la suite de simplifications, il devrait également s'agir d'une véritable égalité.

Exemple 6.

Résoudre l'équation différentielle. Représentation sous la forme d'une intégrale commune.

Ceci est un exemple pour une solution indépendante, une solution complète et une réponse à la fin de la leçon.

Quelles difficultés mentent tout en résolvant des équations différentielles avec des variables de séparation?

1) Pas toujours évident (surtout, la théière) que les variables peuvent être divisées. Considérons un exemple conditionnel :. Ici, vous devez faire des multiplicateurs pour les crochets: et séparer les racines :. Comment agir davantage - compréhensible.

2) Difficultés dans l'intégration elle-même. Les intégrales ne se présentent souvent pas le plus simple et s'il y a des défauts dans les compétences de la recherche intéressant incertain, avec de nombreux diffuseurs devront être serrés. De plus, les compilations de collections et de méthodes sont populaires auprès de la "Une fois qu'une équation différentielle est simple, laissez les intégrales plus compliquées".

3) Conversion avec constante. Comme tout le monde l'ait noté, avec une constante dans des équations différentielles, vous pouvez faire presque tout. Et pas toujours, de telles transformations sont claires un nouveau venu. Considérez un autre exemple conditionnel: . Il est conseillé de multiplier tous les termes 2: . La constante résultante est également une constante qui peut être notée par: . Oui, et puisque le logarithme est juste bientôt, il est conseillé de réécrire la constante sous la forme d'une autre constante: .

Le malheur est qu'il n'est souvent pas ennuyé d'index et utilise la même lettre. Et en conséquence, l'enregistrement de la décision prend la forme suivante:

Quel genre d'ordures? Des erreurs immédiatement. Formellement oui. Et de manière informelle - aucune erreur, il est entendu que lors de la conversion d'une constante, il s'avère toujours une autre constante.

Ou un tel exemple, supposons que lors de la solution de l'équation, une intégrale commune a été obtenue. Une telle réponse a l'air moche, il est donc conseillé de modifier les signes de tous les multiplicateurs: . Formellement, sur le disque ici à nouveau, une erreur doit être enregistrée. Mais il est implicite de manière informelle que - c'est toujours une autre constante (il est plus nécessaire de prendre tout sens), de sorte que le changement du signe du signe ne donne aucun sens et une seule lettre peut être utilisé.

Je vais essayer d'éviter une approche négligente et de mettre encore des indices différents des constantes lors de la conversion.

Exemple 7.

Résoudre l'équation différentielle. Effectuer le chèque.

Décision: Cette équation permet la séparation des variables. Nous partageons des variables:

Nous intégrons:

La constante n'est pas nécessaire pour déterminer sous le logarithme, car rien n'est possible de cela ne fonctionnera pas.

Répondre: Général Integral:

Vérification: différenciant la réponse (fonction implicite):

Nous nous débarrassons des fractions, pour cela, nous multiplions les deux termes sur:

L'équation différentielle initiale a été obtenue, ce qui signifie que l'intégration générale est trouvée correctement.

Exemple 8.

Trouver une décision privée du DU.
,

Ceci est un exemple pour une solution indépendante. Le seul commentaire ici est une intégrale commune et, plus correctement, vous devez avoir à trouver une décision spéciale, mais intégral privé. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Comme indiqué, dans des diffuseurs avec des variables de séparation, les intégrales non simples sont souvent identifiées. Et maintenant quelques exemples de tels exemples pour une solution indépendante. Je le recommande à tout le monde.

Exemple 9.

Résoudre l'équation différentielle

Exemple 10.

Résoudre l'équation différentielle

N'oubliez pas que l'intégration commune ne peut pas être écrite dans la seule voie et l'apparition de vos réponses peut différer de l'apparence de mes réponses. Un bref cours de solutions et de réponses à la fin de la leçon.

Promotion réussie!

Exemple 4:Décision: Trouver une solution générale. Nous partageons des variables:


Nous intégrons:



L'intégrale commune est obtenue, essayant de le simplifier. Nous emballons des logarithmes et nous débarrassons d'eux:

I. Equations différentielles ordinaires

1.1. Concepts de base et définitions

L'équation différentielle s'appelle une équation reliant une variable indépendante x., fonction souhaitée y. et ses dérivés ou des différentiels.

L'équation symboliquement différentielle est écrite comme suit:

F (x, y, y ") \u003d 0, f (x, y, y") \u003d 0, f (x, y, y, y, y, y, .., y (n)) \u003d 0

L'équation différentielle est appelée ordinaire si la fonction souhaitée dépend d'une variable indépendante.

En résolvant l'équation différentielle Cette fonctionnalité est appelée qui attire cette équation à l'identité.

Ordre de l'équation différentielle appelé l'ordre du dérivé plus ancien entrant dans cette équation

Exemples.

1. Considérez l'équation différentielle de premier ordre

Par la solution de cette équation, la fonction y \u003d 5 ln x. Vraiment, substituant y " Dans l'équation, nous obtenons - identité.

Et cela signifie que la fonction y \u003d 5 ln x est la solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y "- 5Y" + 6Y \u003d 0. La fonction est la solution de cette équation.

En effet.

En substituant ces expressions à l'équation, nous obtenons: - - identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégrer les équations différentielles Le processus de recherche de solutions d'équations différentielles est appelé.

La solution générale de l'équation différentielle appelé le type de type Ce qui inclut tant de constantes arbitraires indépendantes, quelle est l'ordre de l'équation.

Solution spéciale de l'équation différentielle La solution obtenue à partir de la solution globale est appelée avec diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs des constantes arbitraires sont sous certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le tableau d'une solution privée de l'équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1.Iti Solution privée de l'équation différentielle de première commande

xdx + mady \u003d 0, si un y.\u003d 4 x. = 3.

Décision. Intégrer les deux parties de l'équation, nous obtenons

Commenter. Une constante arbitraire avec l'intégration résultante peut être représentée sous n'importe quelle forme commode pour de nouvelles transformations. Dans ce cas, en tenant compte de l'équation du cercle canonique une constante arbitraire avec commodément présente sous la forme.

- Solution générale de l'équation différentielle.

Équation de solution privée satisfaisant les conditions initiales y. \u003d 4 x. \u003d 3 provient de la substitution totale des conditions initiales dans la solution générale: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; C \u003d 5.

Substituer c \u003d 5 dans la solution générale, nous obtenons x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière à une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales spécifiées.

2. Trouver une solution générale de l'équation différentielle

Par la solution de cette équation est une fonction de l'espèce où c est une constante arbitraire. En effet, substituer dans les équations, nous obtenons: ,.

Par conséquent, cette équation différentielle a un ensemble infini de solutions, car à différentes valeurs de constante avec égalité détermine diverses solutions de l'équation.

Par exemple, vous pouvez vous assurer que les fonctions peuvent être vérifiées. sont des solutions de l'équation.

La tâche dans laquelle il est nécessaire de trouver une solution particulière de l'équation y "\u003d f (x, y) Condition primaire satisfaisante y (x 0) \u003d y 0, appelé la tâche de Cauchy.

Équation y "\u003d f (x, y)Satisfaire la condition initiale y (x 0) \u003d y 0s'appelle la solution du problème de la Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, résoudre la tâche de Cauchy y "\u003d f (x, y) étant donné que y (x 0) \u003d y 0signifie trouver une courbe d'équation intégrale y "\u003d f (x, y) qui passe à travers le point spécifié M 0 (x 0,y 0).

II. Équations différentielles de premier ordre

2.1. Concepts de base

L'équation différentielle du premier ordre s'appelle l'équation des espèces F (x, y, y ") \u003d 0.

L'équation différentielle de premier ordre comprend le premier dérivé et n'inclut pas les dérivés d'ordre supérieur.

L'équation y "\u003d f (x, y) Il s'appelle l'équation de premier ordre, autorisée par rapport à la dérivée.

La solution générale de l'équation différentielle de la première commande est appelée fonction de la forme contenant une constante arbitraire.

Exemple.Considérons l'équation différentielle du premier ordre.

En résolvant cette équation est une fonction.

En effet, remplacer dans cette équation, sa signification, nous obtenons

c'est à dire 3x \u003d 3x.

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l'équation de toute constante C.

Trouvez une solution privée de cette équation qui satisfait à la condition initiale y (1) \u003d 1 Substituer les conditions initiales x \u003d 1, y \u003d 1 En règle générale de l'équation, nous obtenons d'où C \u003d 0..

Ainsi, une solution particulière à obtenir de la substitution générale à cette équation obtenue C \u003d 0. - Solution privée.

2.2. Équations différentielles avec variables de séparation

L'équation différentielle avec des variables de séparation s'appelle l'équation de la forme: y "\u003d f (x) g (y) ou à travers des différentiels où f (x) et g (y)- fonctions spécifiées.

Pour ceux y.pour lequel l'équation y "\u003d f (x) g (y) équivalent à l'équation dans lequel la variable y. Il n'est présent que dans le côté gauche et la variable x n'est que dans la partie droite. Ils disent "dans l'équation y "\u003d f (x) g (y Nous avons divisé les variables. "

Afficher l'équation appelé équation avec des variables séparées.

Intégrer les deux parties de l'équation par x., obtenir G (y) \u003d f (x) + c- Solution générale de l'équation où G (y) et F (x) - certaines fonctions primitives et f (x), C. constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle de premier ordre avec des variables de séparation

Exemple 1.

Résoudre l'équation y "\u003d xy

Décision. Fonction dérivée y " Remplacer sur

nous avons divisé les variables

nous intégrons les deux parties de l'égalité:

Exemple 2.

2YY "\u003d 1- 3x 2, si un y 0 \u003d 3 pour x 0 \u003d 1

Cette équation avec des variables séparées. Imaginez-le dans des différentiels. Pour ce faire, réécrivez cette équation sous la forme D'ici

Intégrer les deux parties de la dernière égalité, nous trouverons

Substituer les valeurs initiales x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3trouve DE 9=1-1+C.. C \u003d 9.

Par conséquent, l'intégrale privé souhaité sera ou alors

Exemple 3.

Rendre l'équation de la courbe passant à travers le point M (2; -3) et avoir une tangente avec un coefficient angulaire

Décision. Selon la condition

Ceci est une équation avec des variables de séparation. Partage de variables, obtenez:

Intégrer les deux parties de l'équation, nous obtenons:

En utilisant les conditions initiales x \u003d 2. et y \u003d - 3 Trouve C.:

Par conséquent, l'équation souhaitée est

2.3. Équations différentielles linéaires de premier ordre

L'équation différentielle linéaire du premier ordre s'appelle l'équation de la vue y "\u003d f (x) y + g (x)

où f (x) et g (x) - certaines fonctions spécifiées.

Si un g (x) \u003d 0l'équation différentielle linéaire est appelée homogène et a la forme: y "\u003d f (x) y

Si l'équation est y "\u003d f (x) y + g (x) appelé inomogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y "\u003d f (x) y défini par la formule: où DE - constante arbitraire.

En particulier, si C \u003d 0,alors la solution est y \u003d 0. Si l'équation linéaire homogène a la forme y "\u003d ky Où k. - une certaine constante, sa solution générale a la forme :.

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y "\u003d f (x) y + g (x) formule définie ,

ceux. De même, la somme de la solution globale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation de vue inhomogène linéaire y "\u003d kx + b,

où k. et b.- Certains chiffres et solution privée seront une fonction constante. Par conséquent, la solution générale a la forme.

Exemple. Résoudre l'équation y "+ 2Y +3 \u003d 0

Décision. Imaginez une équation sous la forme y "\u003d -2y - 3 Où k \u003d -2, b \u003d -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, lorsque c est une constante arbitraire.

2.4. La solution d'équations différentielles linéaires du premier ordre de Bernoulli

Trouver une solution générale d'une équation différentielle linéaire de premier ordre y "\u003d f (x) y + g (x) Il s'agit de résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y \u003d uv.où u. et v. - fonctions inconnues de x.. Cette méthode de solution s'appelle la méthode Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire de premier ordre

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Entrez la substitution y \u003d uv..

2. Différencier cette égalité y "\u003d u" v + uv "

3. Substituer y. et y " Dans cette équation: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)ou alors u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4. grouper les membres de l'équation pour que u. Sortez pour les accolades:

5. Depuis le support, l'assimilant à zéro, trouvez une fonctionnalité

C'est l'équation avec des variables de séparation:

Nous divisons les variables et obtenez-en:

De . .

6. Substituer la valeur v.dans l'équation (à partir de la revendication 4):

et trouver une fonction de l'équation variable de séparation:

7. Enregistrez une solution générale sous la forme: . .

Exemple 1.

Trouver une solution privée de l'équation y "\u003d -2y +3 \u003d 0 si un y \u003d 1. pour x \u003d 0.

Décision. Je le résolve par substitution y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Substitution y.et y " Dans cette équation, nous obtenons

Grognant les deuxième et troisième trimestres de la partie gauche de l'équation, je résumerai l'usine u. pour les accolades

L'expression entre parenthèses équivaut à zéro et, après avoir résolu l'équation obtenue, nous trouvons une fonction v \u003d v (x)

Équation reçue avec des variables séparées. Nous intégrons les deux parties de cette équation: trouver une fonction v.:

Nous substituons la valeur v. Nous aurons l'équation:

Ceci est une équation avec des variables séparées. Nous intégrons les deux parties de l'équation: Trouver une fonctionnalité u \u003d u (x, c) Trouver une solution générale: Trouvez une solution privée qui satisfait aux conditions initiales y \u003d 1. pour x \u003d 0.:

III. Équations différentielles des ordres supérieurs

3.1. Concepts de base et définitions

L'équation différentielle du second ordre est appelée une équation contenant des dérivés non plus élevée que le second ordre. Dans le cas général, l'équation différentielle de second ordre est écrite sous la forme: F (x, y, y ", y") \u003d 0

La solution générale de l'équation différentielle de second ordre s'appelle la fonction de la forme dans laquelle deux constantes arbitraires C 1 et C 2..

Une solution particulière à l'équation différentielle du second ordre s'appelle une solution obtenue du général avec certaines valeurs de constante arbitraire C 1 et C 2..

3.2. Équations différentielles linéaires homogènes de second ordre avec coefficients permanents.

Équation différentielle de second ordre linéaire homogène avec coefficients constants Appelé l'équation de la vue y "+ py" + qy \u003d 0où p.et q.- Valeurs permanentes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles de second ordre homogènes avec des coefficients constants

1. Enregistrez l'équation différentielle sous la forme: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Créez son équation caractéristique, indiquant y " à travers r 2., y " à travers r, y.en 1: r 2 + pr + q \u003d 0

Le contenu de l'article

Équations différentielles.De nombreuses lois physiques soumises à certains phénomènes sont comptabilisées sous la forme d'une équation mathématique exprimant une certaine dépendance entre une sorte de valeurs. Nous parlons souvent du rapport entre les valeurs variant au fil du temps, par exemple, l'efficacité du moteur, mesurée par la distance, que la voiture peut conduire sur une portée de carburant dépend de la vitesse du véhicule. L'équation correspondante contient une ou plusieurs fonctions et leurs dérivés et s'appelle une équation différentielle. (Le taux de changement de distance dans le temps est déterminé par la vitesse; par conséquent, la vitesse est dérivée de la distance; de \u200b\u200bmême, l'accélération est dérivée de la vitesse, puisque l'accélération définit la vitesse de changement de vitesse au fil du temps.) qui ont des équations différentielles pour les mathématiques et en particulier pour ses applications. S'agit expliqué par le fait que la solution de telles équations est réduite à une étude de nombreuses tâches physiques et techniques. Les équations différentielles jouent un rôle important dans d'autres sciences, telles que la biologie, l'économie et l'ingénierie électrique; En fait, ils se produisent partout où il y a un besoin de description quantitative (numérique) des phénomènes (puisque le monde environnant change au fil du temps et les conditions changent d'un endroit à l'autre).

Exemples.

Les exemples suivants permettent de mieux comprendre comment différentes tâches sont formulées dans la langue des équations différentielles.

1) La loi de décomposition de certaines substances radioactives est que le taux de décroissance est proportionnel au montant en espèces de cette substance. Si un x. - la quantité de substance à un moment donné dans le temps t.Cette loi peut être enregistrée comme ceci:

où dx./dt. - le taux de décroissance, et k. - une certaine constante positive caractérisant cette substance. (Moins la signature dans la partie droite indique que x. diminue avec le temps; Signe plus, implicite toujours quand un signe n'est clairement pas spécifié, signifierait que x. augmente avec le temps.)

2) La capacité contient initialement 10 kg de sels dissous dans 100 m 3 d'eau. Si une eau propre est versée dans une capacité de 1 m 3 par minute et est uniformément mélangée à une solution, et la solution résultante découle du conteneur à la même vitesse, alors combien de sels seront dans le conteneur à tout moment ultérieur point dans le temps? Si un x. - la quantité de sel (en kg) dans le réservoir à l'heure du temps t.Puis à tout moment t. Dans une solution de 1 m 3 dans le conteneur contient x./ 100 kg de sels; Par conséquent, la quantité de sel diminue à des vitesses x./ 100 kg / min, ou

3) laisser la masse m., suspendu à la fin du printemps, la force de retour agit proportionnelle aux ressorts qui s'étendent. Laisser être x. - la magnitude de la déviation corporelle de la position d'équilibre. Ensuite, selon la deuxième loi de Newton, qui prétend que l'accélération (la deuxième dérivée de x. dans le temps, noté rÉ. 2 x./dt. 2) force proportionnelle:

Le côté droit est avec un signe moins parce que la force de retour réduit les ressorts qui s'étendent.

4) La loi des organes de refroidissement affirme que la quantité de chaleur dans le corps diminue proportionnellement à la différence de température corporelle et de l'environnement. Si une tasse de café préchauffée à une température de 90 ° С est à l'intérieur, la température dans laquelle est égale à 20 ° C, puis

où T. - Température du café au moment t..

5) Le ministre des Affaires étrangères de l'État Bir Fouffus stipule que le programme d'armes adopté par Lilliputia oblige son pays à accroître les dépenses militaires autant que possible. Le ministre des Affaires étrangères de Lilliputia est également facilité avec des déclarations similaires. La situation résultant du résultat (dans l'interprétation la plus simple) peut être décrite avec précision par deux équations différentielles. Laisser être x. et y. - Dépenses d'armement de Lilliputia et BLEROFUS. En supposant que la lillipathie augmente ses coûts d'armes à des vitesses, proportionnelle à la vitesse d'augmentation du coût d'armée avec Bla Fupus, et au contraire, nous obtenons:

où les membres sont hACHE. et - par Décrivez les dépenses militaires de chaque pays k. et l. - constantes positives. (Cette tâche pour la première fois ait ainsi été formulée en 1939 L. Ryrhardson.)

Une fois la tâche enregistrée dans la langue des équations différentielles, vous devriez essayer de les résoudre, c'est-à-dire. Trouvez des quantités dont les vitessités sont incluses dans l'équation. Parfois, des solutions se présentent sous la forme de formules explicites, mais elles peuvent être soumises plus souvent uniquement sous une forme approximative ou pour obtenir des informations de qualité à leur sujet. Il est souvent difficile d'établir s'il existe une décision du tout, sans oublier de le trouver. Une partie importante de la théorie des équations différentielles est la "théorème existante", dans laquelle la présence d'une solution dans l'un ou l'autre type d'équations différentielles est prouvée.

La formulation mathématique initiale du problème physique contient généralement des hypothèses de simplification; Le critère de leur intelligence peut servir de mesure de cohérence d'une solution mathématique avec les observations existantes.

Solutions d'équations différentielles.

Équation différentielle, par exemple dY./dx. = x./y.Il satisfait pas au nombre, mais une fonction, dans ce cas particulier de sorte que son calendrier à tout point, par exemple, à un point de coordonnées (2,3), a une tangente avec un coefficient angulaire égal au rapport des coordonnées ( dans notre exemple 2/3). Il est facile de vous assurer que si vous construisez un grand nombre de points et de reporter une coupe courte avec une pente appropriée. La solution sera une fonction, dont le graphique concerne chacun de son point du segment correspondant. Si des points et des segments sont beaucoup beaucoup, nous pouvons également décrire la progression des solutions (trois courbes de ce type sont illustrées à la Fig. 1). Il y a exactement une décision de courbe qui passe à travers chaque point avec y. № 0. Chaque solution séparée est appelée solution privée de l'équation différentielle; S'il est possible de trouver une formule contenant toutes les solutions privées (sauf peut-être plusieurs spéciales), alors ils disent qu'une solution générale est obtenue. Une solution privée est une fonction, tandis que le total est toute la famille. Résolvez l'équation différentielle - cela signifie trouver sa solution privée ou générale. Dans notre exemple, la solution générale a une forme y. 2 – x. 2 = c.où c. - n'importe quel chiffre; Solution privée passant à travers le point (1.1), a la forme y. = x. Et il s'avère c. \u003d 0; La solution privée passant à travers le point (2.1) a la forme y. 2 – x. 2 \u003d 3. La condition nécessite que la solution de pleurer a lieu, par exemple, à travers un point (2.1), est appelée condition initiale (car elle spécifie le point de départ de la décision de la courbe).

Il peut être montré que dans l'exemple (1) la solution générale a une vue x. = cE –kt. où c. - constante, qui peut être déterminée, par exemple, indiquant la quantité de substance à t. \u003d 0. L'équation de l'exemple (2) est un cas particulier d'une équation par exemple (1), appropriée k. \u003d 1/100. État principal x. \u003d 10 o t. \u003d 0 donne une solution privée x. = 10e. –t./ 100. L'équation de l'exemple (4) a une solution générale. T. = 70 + cE –kt. et décision privée 70 + 130 - kt. ; Pour déterminer la valeur k., Des données supplémentaires sont nécessaires.

Équation différentielle dY./dx. = x./y. Il s'appelle l'équation de première commande, car elle contient le premier dérivé (la procédure d'équation différentielle est considérée comme considérée comme envisagée de l'ordre du dérivé plus ancien du dérivé plus ancien. La plupart (bien que pas tous) dans la pratique du premier type d'équations différentielles du premier type à travers chaque point ne transmet qu'une seule perception de courbe.

Il existe plusieurs types importants d'équations différentielles de premier ordre permettant des solutions dans les formules contenant uniquement des fonctions élémentaires - degrés, exposants, logarithmes, sines et cosinules, etc. Les équations suivantes sont les suivantes.

Équations avec variables de séparation.

Afficher les équations dY./dx. = f.(x.)/g.(y.) peut être résolu en l'écrivant dans des différentiels g.(y.)dY. = f.(x.)dx. Et injecter les deux parties. Dans le pire des cas, la décision est présentée sous forme d'intégral des fonctions connues. Par exemple, dans le cas de l'équation dY./dx. = x./y. avoir f.(x.) = x., g.(y.) = y.. L'écrire sous la forme ydy. = xdx et injecter, nous obtenons y. 2 = x. 2 + c.. Les équations avec des variables de séparation comprennent des équations provenant d'exemples (1), (2), (4) (ils peuvent être résolus par la méthode décrite ci-dessus).

Équations dans des différences complètes.

Si l'équation différentielle a la forme dY./dx. = M.(x.,y.)/N.(x.,y.), où M. et N. - deux fonctions spécifiées, il peut être représenté comme M.(x.,y.)dx. – N.(x.,y.)dY. \u003d 0. Si le côté gauche est un différentiel de certaines fonctions F.(x.,y.), alors l'équation différentielle peut être écrite comme df.(x.,y.) \u003d 0, ce qui équivaut à l'équation F.(x.,y.) \u003d const. Ainsi, les solutions de courbes de l'équation sont les "lignées de niveaux permanents" de la fonction ou des points géométriques de points satisfaisant les équations F.(x.,y.) = c.. L'équation ydy. = xdx (Fig. 1) - avec des variables de séparation, et il est dans des différences complètes: pour vous assurer dans le dernier, écrivez-le comme ydy. – xdx \u003d 0, c'est-à-dire rÉ.(y. 2 – x. 2) \u003d 0. fonction F.(x.,y.) Dans ce cas, égal à (1/2) ( y. 2 – x. 2); Certaines de ses lignes de niveau constant sont présentées à la Fig. une.

Équations linéaires.

Les équations linéaires sont les équations «premier degré» - une fonction inconnue et ses dérivés ne sont inclus dans ces équations que dans le premier degré. Ainsi, l'équation différentielle linéaire de la première commande a la forme dY./dx. + p.(x.) = q.(x.), où p.(x.) JE. q.(x.) - fonctionne seulement de x.. Sa solution peut toujours être écrite en utilisant des intégrales de fonctions connues. De nombreux autres types d'équations différentielles de premier ordre sont résolus à l'aide de techniques spéciales.

Équations de commandes anciennes.

De nombreuses équations différentielles confrontées par la physique sont les équations du second ordre (c'est-à-dire des équations contenant les secondes dérivés), par exemple, l'équation d'un simple mouvement harmonique de l'exemple (3), mARYLAND. 2 x./dt. 2 = –kX.. De manière générale, on peut s'attendre à ce que l'équation du deuxième ordre ait des solutions privées qui satisfont deux conditions; Par exemple, vous pouvez exiger que la décision de la courbe ait lieu à travers ce point dans cette direction. Dans les cas où l'équation différentielle contient un certain paramètre (nombre, dont la valeur dépend des circonstances), la résolution du type requis n'existe que sur certaines valeurs de ce paramètre. Par exemple, considérons l'équation mARYLAND. 2 x./dt. 2 = –kX. Et nous aurons besoin que y.(0) = y.(1) \u003d 0. fonction y. є 0 est évidemment une solution, mais s'il y a un nombre multiple p.. k. = m. 2 n. 2 p.2, où n. - un entier et en réalité que dans ce cas, il existe d'autres solutions, à savoir: y. Péché npx. Les valeurs de paramètre dans lesquelles l'équation comporte des solutions spéciales sont appelées caractéristiques ou vales-valises; Ils jouent un rôle important dans de nombreuses tâches.

L'équation d'un simple mouvement harmonique sert d'exemple d'une catégorie d'équations importante, à savoir: des équations différentielles linéaires avec des coefficients constants. Un exemple plus général (également du deuxième ordre) - équation

où uNE. et b. - défini permanent, f.(x.) - fonction spécifiée. De telles équations peuvent être résolues de différentes manières, par exemple, en utilisant la transformation intégrale de la laplace. On peut en dire autant d'équations linéaires d'ordres supérieurs avec des coefficients constants. Les équations linéaires avec des coefficients variables sont également jouées et non un petit rôle.

Équations différentielles non linéaires.

Les équations contenant des fonctions inconnues et leurs dérivés au degré supérieur à la première ou plus complexe sont appelées non linéaires. Ces dernières années, ils attirent de plus en plus d'attention. Le fait est que les équations physiques ne sont généralement linéaires que dans la première approximation; Une étude plus précise et plus précise, en règle générale, nécessite l'utilisation d'équations non linéaires. De plus, de nombreuses tâches ne sont pas linéaires. Étant donné que des solutions d'équations non linéaires sont souvent très complexes et il est difficile de présenter des formules simples, une partie importante de la théorie moderne est consacrée à l'analyse qualitative de leur comportement, c'est-à-dire Développement de méthodes qui permettent, sans résoudre les équations, de dire quelque chose de significatif sur la nature des décisions dans son ensemble: par exemple, que tous sont limités, ou ont un caractère périodique, ou en dépendent définitivement des coefficients.

Des solutions approximatives d'équations différentielles peuvent être trouvées numériquement, mais cela prend beaucoup de temps. Avec l'avènement des ordinateurs à grande vitesse, cette fois-ci a largement diminué, ce qui a ouvert de nouvelles possibilités d'une solution numérique de nombreuses tâches, de nombreuses tâches.

Théorèmes d'existence.

L'existence du théorème s'appelle le théorème qui approuve que dans certaines conditions, cette équation différentielle a une solution. Il existe des équations différentielles qui n'ont pas de solutions ni de les avoir plus que prévu. La nomination du théorème de l'existence est de nous convaincre que cette équation a réellement une solution et le plus souvent assuré qu'il dispose d'une solution exacte du type requis. Par exemple, l'équation s'est déjà produite dY./dx. = –2y. Il a exactement une solution traversant chaque point de l'avion ( x.,y.), Et depuis une telle décision que nous avons déjà constatée, a complètement résolu cette équation. D'autre part, l'équation ( dY./dx.) 2 = 1 – y. 2 a beaucoup de solutions. Parmi eux sont directs y. = 1, y. \u003d -1 et courbes y. \u003d péché ( x. + c.). La solution peut consister en plusieurs segments de ces courbes directs et courbes, se transfrontales aux points tactiles (Fig. 2).

Équations différentielles dans les dérivés privés.

Une équation différentielle ordinaire est une déclaration sur la fonction dérivée inconnue d'une variable. L'équation différentielle dans les dérivés privés contient une fonction de deux variables ou plus de variables de cette fonction au moins deux variables différentes.

En physique, des exemples de telles équations sont l'équation de laplace

X y.) à l'intérieur du cercle si des valeurs u. Ils sont spécifiés à chaque point du cercle de limitation. Étant donné que des problèmes avec plus d'une variable en physique sont plutôt une règle que l'exception, il est facile d'imaginer comment le sujet de la théorie des équations différentielles dans des dérivés privés est facilement.

Cette calculatrice en ligne vous permet de résoudre des équations différentielles en ligne. Assez dans le champ correspondant, entrez votre équation, désignant via l'Apostrophe "dérivé de la fonction et cliquez sur le bouton" Solver Equation ". Et le système mis en œuvre sur la base du célèbre site wolframalpha donnera un détail décision de l'équation différentielle complétement gratuit. Vous pouvez également définir la tâche de Cauchy pour choisir l'ensemble des solutions possibles pour choisir des conditions initiales appropriées privées. La tâche Cauchy est entrée dans un champ séparé.

Équation différentielle

Par défaut, l'équation de fonctionnalité y. est une fonction de variable x.. Cependant, vous pouvez définir votre propre désignation de la variable si vous écrivez, par exemple, y (T) dans l'équation, puis la calculatrice reconnaît automatiquement que y. Il y a une fonction de variable t.. Avec l'aide d'une calculatrice, vous pouvez Équations différentielles Toute complexité et espèces: homogène et homogène, linéaire ou non linéaire, premier ordre ou deuxième ordres, d'équations avec des variables séparatrices ou non liées, etc. Disj. Les équations sont données sous forme analytique, a une description détaillée. Les équations différentielles sont très souvent trouvées en physique et en mathématiques. Sans leur calcul, il est impossible de résoudre de nombreuses tâches (en particulier en physique mathématique).

L'une des étapes de la résolution d'équations différentielles est l'intégration des fonctions. Il existe des méthodes standard pour résoudre des équations différentielles. Il est nécessaire d'apporter les équations sur la forme avec des variables de séparation Y et X et d'intégrer séparément les fonctions séparées. Pour ce faire, il faut parfois être fait pour remplacer.