Prenons un exemple. Il est nécessaire de calculer systématiquement :.

Vous pouvez réorganiser les nombres que vous souhaitez ajouter, puis soustraire les autres :.

Mais ce n'est pas toujours pratique. Par exemple, nous pouvons calculer le reste des choses dans un entrepôt et nous devons connaître le résultat intermédiaire.

Vous pouvez effectuer des actions d'affilée :.

Nous savons donc ce que le résultat sera une soustraction d'un nombre. Cela signifie que vous devez soustraire, mais pas encore de quoi que ce soit. Quand il y a quelque chose à soustraire, soustrayez :

Mais on peut « tricher » et désigner. Ainsi, nous allons introduire un nouvel objet - nombres négatifs.

Nous avons déjà effectué une telle opération - dans la nature, par exemple, le nombre "" n'existait pas non plus, mais nous avons introduit un tel objet pour faciliter l'enregistrement des actions.

Imaginez que nous ayons été chargés dans un entrepôt de sport de distribuer et de recevoir des balles. Nous devons tenir des registres. Vous pouvez écrire avec des mots :

Émis, Accepté, Émis, Accepté, ... (Voir Fig. 1.)

Riz. 1. Comptabilité

D'accord, si vous devez émettre et recevoir plusieurs fois par jour, l'enregistrement n'est pas très pratique.

Vous pouvez diviser la feuille en deux colonnes, l'une est acceptée, l'autre est émise. (Voir Figure 2.)

Riz. 2. Notation simplifiée

L'enregistrement est devenu plus court. Mais voici le problème : comment comprendre combien de balles ont été prises (ou données) à un moment donné ?

Nous pouvons utiliser la considération suivante pour l'écriture : lorsque nous distribuons des balles de l'entrepôt, leur quantité dans l'entrepôt diminue, et lorsque nous les acceptons, elle augmente.

Mais comment écrivez-vous « botté dans le ballon » ? Vous pouvez saisir un objet comme celui-ci :.

Cet objet nous permet de faire un enregistrement mathématique du mouvement des balles dans l'ordre où il s'est produit :

Prenons un autre exemple.

Sur le compte de vos roubles téléphoniques. Vous êtes allé en ligne et cela a coûté des roubles. Il s'est avéré que c'était une dette de roubles. L'opérateur pourrait écrire comme ceci: "le client doit des roubles". Vous mettez des roubles. L'exploitant a déduit la dette. Il s'est avéré sur le compte de roubles.

Mais il est pratique d'enregistrer à la fois les opérations et l'argent sur le compte en utilisant les signes "" et "". (Voir la figure 3.)

Riz. 3. Enregistrement pratique

Nous entrons un nombre négatif pour écrire le résultat de la soustraction d'un plus petit nombre d'un plus grand :.

Ajouter un nombre négatif revient à soustraire :.

Pour distinguer les nombres négatifs des nombres positifs dont nous avons traité précédemment, il a été convenu de mettre un signe moins devant :.

Pourriez-vous vous en passer ? Oui, vous pouvez. Dans chaque situation particulière nous utiliserions les mots « retour », « emprunté » et ainsi de suite. Mais eux, ces mots, seraient différents.

Et nous avons donc un outil pratique universel. Un pour tous ces cas.

On peut faire une analogie avec une voiture. Il se compose d'un grand nombre de pièces, dont beaucoup ne sont pas nécessaires individuellement, mais toutes ensemble vous permettent de rouler. De même, les nombres négatifs sont un outil qui, avec d'autres outils mathématiques, facilite le calcul et la simplification de la solution et de l'écriture de nombreux problèmes.

Nous avons donc introduit un nouvel objet - les nombres négatifs. A quoi servent-ils dans la vie ?

Rappelons d'abord le rôle des nombres positifs :

Quantité : par exemple bois, litre de lait. (Voir Figure 4.)

Riz. 4. Quantité

Ordre : par exemple, les maisons sont numérotées nombres positifs... (Voir Figure 5.)

Riz. 5. Commande

Nom : par exemple, le numéro du joueur. (Voir Figure 6.)

Riz. 6. Numéro comme nom

Voyons maintenant les fonctions nombres négatifs:

Désignation de quantité manquante. La quantité n'est jamais négative. Mais un nombre négatif est utilisé pour indiquer que le montant est soustrait. Par exemple, nous pouvons verser d'une bouteille et l'écrire comme. (Voir Figure 7.)

Riz. 7. Désignation de la quantité manquante

Commande. Parfois, lors de la numérotation, zéro est sélectionné et vous devez numéroter les objets dans les deux sens à partir de zéro. Par exemple, les étages sous le th, au sous-sol. (Voir Fig. 8.) Ou une température inférieure au zéro sélectionné. (Voir Figure 9.)

Riz. 8. Étage situé en dessous, au sous-sol

Riz. 9. Chiffres négatifs sur l'échelle du thermomètre

Pourtant, le but principal des nombres négatifs est un outil pour simplifier les calculs mathématiques.

Mais pour que les nombres négatifs deviennent comme ça outil pratique, nécessaire:

Une température négative est une température inférieure à zéro, inférieure à zéro. Mais qu'est-ce que la température zéro ? Pour mesurer, enregistrer la température, vous devez sélectionner une unité de mesure et un point de référence. Les deux sont des accords. Nous utilisons l'échelle Celsius pour le nom du scientifique qui l'a proposé. (Voir la figure 10.)

Riz. 10. Anders Celsius

Le point de congélation de l'eau est sélectionné ici comme point de référence. Tout ce qui se trouve en dessous est indiqué par une valeur négative. (Voir Figure 11.)

Riz. Onze.

Mais il est clair que si vous prenez un autre point de référence, un autre zéro, alors la température négative en Celsius peut être positive dans cette autre échelle. Et c'est ainsi qu'il arrive. L'échelle Kelvin est largement utilisée en physique. Elle est similaire à l'échelle Celsius, seule la valeur de la température la plus basse possible est sélectionnée comme zéro (elle ne peut pas être inférieure). Cette valeur est appelée "zéro absolu". Celsius est à peu près. (Voir Figure 12.)

Riz. 12. Deux échelles

C'est-à-dire qu'il n'y a aucune valeur négative dans l'échelle Kelvin.

Alors, notre été .

Et glacial .

C'est-à-dire qu'une température négative est une convention, un accord de personnes pour l'appeler ainsi.

Commençons à zéro. Le zéro a une position particulière parmi les nombres.

Comme nous l'avons déjà discuté, pour notre commodité, nous pouvons désigner la soustraction de sept comme un nombre négatif. Puisqu'il signifie soustraction, nous laissons le signe "" comme signe. Appelons le nouveau numéro.

Autrement dit, "" est un nombre qui ajoute zéro à zéro :. Et dans n'importe quel ordre. C'est la définition d'un nombre négatif (ou opposé).

Pour chaque nombre que nous avons étudié précédemment, nous introduisons un nouveau nombre, négatif, dont le signe est un signe moins devant lui. C'est-à-dire que pour chaque nombre précédent, son jumeau négatif est apparu. De tels jumeaux seront appelés nombres opposés. (Voir Figure 13.)

Riz. 13. Chiffres opposés

Ainsi, la définition : les nombres opposés sont deux nombres dont la somme est nulle.

Extérieurement, ils ne diffèrent que par le signe "".

Si une variable est précédée d'un "", par exemple, qu'est-ce que cela signifie ? Cela ne signifie pas que cette valeur est négative. Le signe moins signifie que cette valeur est l'opposé du nombre :. Lequel de ces nombres est positif, lequel est négatif, nous ne le savons pas.

Si donc.

Si (nombre négatif), alors (nombre positif).

Quel est le contraire de zéro ? Nous le savons déjà.

Si zéro est ajouté à n'importe quel nombre, y compris zéro, le nombre d'origine ne changera pas. C'est-à-dire que la somme de deux zéros est zéro :. Mais les nombres qui totalisent zéro sont opposés. Ainsi, zéro est l'opposé de lui-même.

Donc, nous avons donné une définition des nombres négatifs, nous avons compris pourquoi ils sont nécessaires.

Consacrons maintenant un peu de temps à la technique. Pour l'instant, nous devons apprendre à trouver son contraire pour n'importe quel nombre :

Dans la dernière partie de la leçon, nous parlerons des nouveaux noms et désignations d'ensembles qui apparaissent après l'introduction des nombres négatifs.

Prenons un exemple. Il est nécessaire de calculer systématiquement :.

Vous pouvez réorganiser les nombres que vous souhaitez ajouter, puis soustraire les autres :.

Mais ce n'est pas toujours pratique. Par exemple, nous pouvons calculer le reste des choses dans un entrepôt et nous devons connaître le résultat intermédiaire.

Vous pouvez effectuer des actions d'affilée :.

Nous savons donc ce que le résultat sera une soustraction d'un nombre. Cela signifie que vous devez soustraire, mais pas encore de quoi que ce soit. Quand il y a quelque chose à soustraire, soustrayez :

Mais on peut « tricher » et désigner. Ainsi, nous allons introduire un nouvel objet - nombres négatifs.

Nous avons déjà effectué une telle opération - dans la nature, par exemple, le nombre "" n'existait pas non plus, mais nous avons introduit un tel objet pour faciliter l'enregistrement des actions.

Imaginez que nous ayons été chargés dans un entrepôt de sport de distribuer et de recevoir des balles. Nous devons tenir des registres. Vous pouvez écrire avec des mots :

Émis, Accepté, Émis, Accepté, ... (Voir Fig. 1.)

Riz. 1. Comptabilité

D'accord, si vous devez émettre et recevoir plusieurs fois par jour, l'enregistrement n'est pas très pratique.

Vous pouvez diviser la feuille en deux colonnes, l'une est acceptée, l'autre est émise. (Voir Figure 2.)

Riz. 2. Notation simplifiée

L'enregistrement est devenu plus court. Mais voici le problème : comment comprendre combien de balles ont été prises (ou données) à un moment donné ?

Nous pouvons utiliser la considération suivante pour l'écriture : lorsque nous distribuons des balles de l'entrepôt, leur quantité dans l'entrepôt diminue, et lorsque nous les acceptons, elle augmente.

Mais comment écrivez-vous « botté dans le ballon » ? Vous pouvez saisir un objet comme celui-ci :.

Cet objet nous permet de faire un enregistrement mathématique du mouvement des balles dans l'ordre où il s'est produit :

Prenons un autre exemple.

Sur le compte de vos roubles téléphoniques. Vous êtes allé en ligne et cela a coûté des roubles. Il s'est avéré que c'était une dette de roubles. L'opérateur pourrait écrire comme ceci: "le client doit des roubles". Vous mettez des roubles. L'exploitant a déduit la dette. Il s'est avéré sur le compte de roubles.

Mais il est pratique d'enregistrer à la fois les opérations et l'argent sur le compte en utilisant les signes "" et "". (Voir la figure 3.)

Riz. 3. Enregistrement pratique

Nous entrons un nombre négatif pour écrire le résultat de la soustraction d'un plus petit nombre d'un plus grand :.

Ajouter un nombre négatif revient à soustraire :.

Pour distinguer les nombres négatifs des nombres positifs dont nous avons traité précédemment, il a été convenu de mettre un signe moins devant :.

Pourriez-vous vous en passer ? Oui, vous pouvez. Dans chaque situation spécifique, nous utiliserions les mots « retour », « en prêt » et ainsi de suite. Mais eux, ces mots, seraient différents.

Et nous avons donc un outil pratique universel. Un pour tous ces cas.

On peut faire une analogie avec une voiture. Il se compose d'un grand nombre de pièces, dont beaucoup ne sont pas nécessaires individuellement, mais toutes ensemble vous permettent de rouler. De même, les nombres négatifs sont un outil qui, avec d'autres outils mathématiques, facilite le calcul et la simplification de la solution et de l'écriture de nombreux problèmes.

Nous avons donc introduit un nouvel objet - les nombres négatifs. A quoi servent-ils dans la vie ?

Rappelons d'abord le rôle des nombres positifs :

Quantité : par exemple bois, litre de lait. (Voir Figure 4.)

Riz. 4. Quantité

Ordre : Par exemple, les maisons sont numérotées avec des nombres positifs. (Voir la figure 5.)

Riz. 5. Commande

Nom : par exemple, le numéro du joueur. (Voir Figure 6.)

Riz. 6. Numéro comme nom

Voyons maintenant les fonctions des nombres négatifs :

Désignation de quantité manquante. La quantité n'est jamais négative. Mais un nombre négatif est utilisé pour indiquer que le montant est soustrait. Par exemple, nous pouvons verser d'une bouteille et l'écrire comme. (Voir Figure 7.)

Riz. 7. Désignation de la quantité manquante

Commande. Parfois, lors de la numérotation, zéro est sélectionné et vous devez numéroter les objets dans les deux sens à partir de zéro. Par exemple, les étages sous le th, au sous-sol. (Voir Fig. 8.) Ou une température inférieure au zéro sélectionné. (Voir Figure 9.)

Riz. 8. Étage situé en dessous, au sous-sol

Riz. 9. Chiffres négatifs sur l'échelle du thermomètre

Pourtant, le but principal des nombres négatifs est un outil pour simplifier les calculs mathématiques.

Mais pour que les nombres négatifs deviennent un outil aussi pratique, vous devez :

Une température négative est une température inférieure à zéro, inférieure à zéro. Mais qu'est-ce que la température zéro ? Pour mesurer, enregistrer la température, vous devez sélectionner une unité de mesure et un point de référence. Les deux sont des accords. Nous utilisons l'échelle Celsius pour le nom du scientifique qui l'a proposé. (Voir la figure 10.)

Riz. 10. Anders Celsius

Le point de congélation de l'eau est sélectionné ici comme point de référence. Tout ce qui se trouve en dessous est indiqué par une valeur négative. (Voir Figure 11.)

Riz. Onze.

Mais il est clair que si vous prenez un autre point de référence, un autre zéro, alors la température négative en Celsius peut être positive dans cette autre échelle. Et c'est ainsi qu'il arrive. L'échelle Kelvin est largement utilisée en physique. Elle est similaire à l'échelle Celsius, seule la valeur de la température la plus basse possible est sélectionnée comme zéro (elle ne peut pas être inférieure). Cette valeur est appelée "zéro absolu". Celsius est à peu près. (Voir Figure 12.)

Riz. 12. Deux échelles

C'est-à-dire qu'il n'y a aucune valeur négative dans l'échelle Kelvin.

Alors, notre été .

Et glacial .

C'est-à-dire qu'une température négative est une convention, un accord de personnes pour l'appeler ainsi.

Commençons à zéro. Le zéro a une position particulière parmi les nombres.

Comme nous l'avons déjà discuté, pour notre commodité, nous pouvons désigner la soustraction de sept comme un nombre négatif. Puisqu'il signifie soustraction, nous laissons le signe "" comme signe. Appelons le nouveau numéro.

Autrement dit, "" est un nombre qui ajoute zéro à zéro :. Et dans n'importe quel ordre. C'est la définition d'un nombre négatif (ou opposé).

Pour chaque nombre que nous avons étudié précédemment, nous introduisons un nouveau nombre, négatif, dont le signe est un signe moins devant lui. C'est-à-dire que pour chaque nombre précédent, son jumeau négatif est apparu. De tels jumeaux seront appelés nombres opposés. (Voir Figure 13.)

Riz. 13. Chiffres opposés

Ainsi, la définition : les nombres opposés sont deux nombres dont la somme est nulle.

Extérieurement, ils ne diffèrent que par le signe "".

Si une variable est précédée d'un "", par exemple, qu'est-ce que cela signifie ? Cela ne signifie pas que cette valeur est négative. Le signe moins signifie que cette valeur est l'opposé du nombre :. Lequel de ces nombres est positif, lequel est négatif, nous ne le savons pas.

Si donc.

Si (nombre négatif), alors (nombre positif).

Quel est le contraire de zéro ? Nous le savons déjà.

Si zéro est ajouté à n'importe quel nombre, y compris zéro, le nombre d'origine ne changera pas. C'est-à-dire que la somme de deux zéros est zéro :. Mais les nombres qui totalisent zéro sont opposés. Ainsi, zéro est l'opposé de lui-même.

Donc, nous avons donné une définition des nombres négatifs, nous avons compris pourquoi ils sont nécessaires.

Consacrons maintenant un peu de temps à la technique. Pour l'instant, nous devons apprendre à trouver son contraire pour n'importe quel nombre :

Dans la dernière partie de la leçon, nous parlerons des nouveaux noms et désignations d'ensembles qui apparaissent après l'introduction des nombres négatifs.

En face de vous-même.

Le contraire du réel

De la définition nombre opposé devrait

$n\; "=\; -n$

Ainsi, les nombres opposés ont le même module, mais des signes opposés. En conséquence, le contraire du nombre $m$ dénoter $-n$.

Opposé à l'unité imaginaire

$\backslash \; frac\; (1)\; (i)\; =\; \backslash \; frac\; (1\; \backslash \; cdot\; i)\; (i\; \backslash \; cdot\; i)\; =\; \backslash \; frac\; (i)\; (i\; ^\; 2)\; =\; \backslash \; frac\; (i)\; (-\; 1)\; =\; -\; i$

Ainsi, on obtient

$-i\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (i)$ __ ou__ $-i\; =\; je\; ^\; (-\; 1)$

De même pour $-je$: __ $i\; =\; -\; \backslash \; frac\; (1)\; (i)$ __ ou __ $je\; =\; -i\; ^\; (-\; 1)$

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Remarques (modifier)

voir également

Extrait du numéro ci-contre

Le lendemain, tôt le matin, le décrépit Kutuzov se leva, pria Dieu, s'habilla, et avec la désagréable conscience qu'il devait mener une bataille, qu'il n'approuvait pas, monta dans une voiture et sortit de Letashevka, cinq milles derrière Tarutin, jusqu'à cet endroit où devaient se rassembler les colonnes qui s'avançaient. Kutuzov a roulé, s'est endormi et s'est réveillé et a écouté pour voir s'il y avait des coups de feu sur la droite, est-ce que l'affaire a commencé? Mais c'était toujours calme. L'aube d'une journée d'automne humide et nuageuse ne faisait que commencer. En s'approchant de Tarutin, Kutuzov remarqua les cavaliers conduisant les chevaux au point d'eau de l'autre côté de la route sur laquelle circulait la voiture. Kutuzov les a regardés de près, a arrêté la voiture et a demandé quel régiment? Les cavaliers étaient de la colonne qui aurait dû être déjà loin en avant dans l'embuscade. « Une erreur, peut-être », pensa le vieux commandant en chef. Mais, ayant conduit encore plus loin, Kutuzov a vu des régiments d'infanterie, des fusils dans la boîte, des soldats avec de la bouillie et du bois de chauffage, en caleçon. Un officier a été appelé. L'officier a signalé qu'il n'y avait pas d'ordre de marcher.
- Comment ne pas ... - a commencé Kutuzov, mais s'est immédiatement tu et a ordonné d'appeler l'officier supérieur. Sortant de la voiture, tête baissée et respirant lourdement, attendant silencieusement, il marchait de long en large. Lorsque l'agent requis s'est présenté état-major Eichen, Kutuzov est devenu violet non pas parce que cet officier était la faute d'une erreur, mais parce qu'il était un sujet digne d'exprimer sa colère. Et, tremblant, haletant, le vieillard, étant arrivé à cet état de fureur, dans lequel il a pu entrer quand il était allongé sur le sol de colère, il se jeta sur Eichen, menaçant de ses mains, criant et jurant de mots carrés. Un autre qui s'est présenté, le capitaine Brozin, qui n'était coupable de rien, a subi le même sort.
- Quel genre de canal est-ce ? Tirez sur les scélérats ! Il cria d'une voix rauque, agitant les bras et chancelant. Il était en détresse physique. Lui, le commandant en chef, le plus lumineux, dont tout le monde assure que personne n'a jamais eu un tel pouvoir en Russie que lui, il est mis dans cette position - s'est moqué de toute l'armée. « En vain me suis-je tant donné la peine de prier sur le présent, en vain je n'ai pas dormi la nuit et j'ai pensé à tout ! - il a pensé à lui-même. "Quand j'étais petit officier, personne n'aurait osé se moquer de moi alors... Mais maintenant !" Il éprouve des souffrances physiques, comme des châtiments corporels, et ne peut s'empêcher de les exprimer par des cris de colère et de souffrance ; mais bientôt ses forces s'affaiblirent, et lui, regardant autour de lui, sentant qu'il avait dit beaucoup de mauvaises choses, monta dans la voiture et repartit silencieusement.

Définition des nombres opposés

Définition des nombres opposés :

Deux nombres sont dits opposés s'ils ne diffèrent que par des signes.

Exemples de nombres opposés

Exemples de nombres opposés.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

À partir de là, il est clair comment trouver le nombre opposé à celui donné : il suffit de changer le signe du nombre.

Le nombre opposé à 3 est moins trois.

Exemple. Les nombres sont opposés aux données.

Donné : nombres 1 ; 5 ; huit; neuf.

Trouvez les nombres opposés.

Pour résoudre cette tâche, nous changeons simplement les signes des nombres donnés :

Faisons un tableau de nombres opposés :

Nombre opposé à zéro

Le nombre opposé à zéro est le nombre zéro lui-même.

Ainsi, le nombre opposé au nombre 0 est 0.

Entiers opposés

Les entiers opposés ne diffèrent que par les signes.

Exemples d'entiers opposés.

10 -10
20 -20
125 -125

Une paire de nombres opposés

Quand on parle de nombres opposés, ils signifient toujours une paire de nombres opposés.

Un nombre est l'opposé d'un autre nombre. Et chaque nombre n'a qu'un seul nombre opposé.

Nombres naturels opposés

Les nombres opposés aux nombres naturels sont des entiers négatifs.

Faisons un tableau des nombres opposés pour les cinq premiers nombres naturels :

Somme des nombres opposés

La somme des nombres opposés est nulle. Après tout, les nombres opposés ne diffèrent que par le signe.