8 exemples de la décomposition des polynômes sur les multiplicateurs sont donnés. Ils comprennent des exemples avec des équations carrées et obligatoires de résolution, des exemples avec des polynômes de retour et des exemples avec les racines entières des polynômes des troisième et quatrième degré.

1. Exemples avec une solution d'équation carrée

Exemple 1.1.

x. 4 + x 3 - 6 x 2.

Décision

Nous endurons X. 2 Pour les crochets:
.
2 + x - 6 \u003d 0:
.
Equations racines:
, .

.

Répondre

Exemple 1.2.

Défayez les multiplicateurs des nombreux tiers:
x. 3 + 6 x 2 + 9 x.

Décision

Nous effectuons X pour supports:
.
Décider équation quadratique X. 2 + 6 x + 9 \u003d 0:
Son discriminant:
Comme le discriminant est égal à zéro, les racines de l'équation sont multiples :;
.

De là, nous obtenons une décomposition d'un polynôme à des multiplicateurs:
.

Répondre

Exemple 1.3.

Éliminer les polynômes multi-degrés:
x. 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Décision

Nous endurons X. 3 Pour les crochets:
.
Nous résolvons l'équation carrée x 2 - 2 x + 10 \u003d 0.
Son discriminant:
Depuis discriminant moins zéroLes racines de l'équation sont intégrées:;
, .

La décomposition du polynôme en multiplicateurs a la forme:
.

Si nous sommes intéressés par la décomposition sur les multiplicateurs avec des coefficients valides, alors:
.

Répondre

Exemples de décomposition de polynômes aux multiplicateurs à l'aide de formules

Exemples avec des polynômes biquématiques

Exemple 2.1

Dispêchez un polynôme de bisette aux multiplicateurs:
x. 4 + x 2 - 20.

Décision

Appliquer des formules:
uNE. 2 + 2 AB + B 2 \u003d (A + B) 2;
uNE. 2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B).

;
.

Répondre

Exemple 2.2.

Éliminer un polynôme, qui est conduit à une biquette:
x. 8 + x 4 + 1.

Décision

Appliquer des formules:
uNE. 2 + 2 AB + B 2 \u003d (A + B) 2;
uNE. 2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B):

;

;
.

Répondre

Exemple 2.3 avec un polynôme de retour

Envoi d'un polynôme récurrent:
.

Décision

Le polynomial de retour de retour a un degré étrange. Par conséquent, il a une racine x \u003d - 1 . Nous divisons le polynôme en x - (-1) \u003d x + 1. En conséquence, nous obtenons:
.
Faire une substitution:
, ;
;


;
.

Répondre

Exemples de décomposition de polynômes pour les multiplicateurs avec des racines entières

Exemple 3.1.

Distribuez des polynômes aux multiplicateurs:
.

Décision

Supposons que l'équation

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 · (-6) 2 + 11 · (-6) - 6 \u003d -504;
(-3) 3 - 6 · (-3) 2 + 11 · (-3) - 6 \u003d -120;
(-2) 3 - 6 · (-2) 2 + 11 · (-2) - 6 \u003d -60;
(-1) 3 - 6 · (-1) 2 + 11 · (-1) - 6 \u003d -24;
1 3 - 6 · 1 2 + 11 · 1 - 6 \u003d 0;
2 3 - 6 · 2 2 + 11 · 2 - 6 \u003d 0;
3 3 - 6 · 3 2 + 11 · 3 - 6 \u003d 0;
6 3 - 6 · 6 2 + 11 · 6 - 6 \u003d 60.

Donc, nous avons trouvé trois racines:
x. 1 = 1 , X. 2 = 2 , X. 3 = 3 .
Étant donné que le polynôme initial est le troisième degré, il n'a pas plus de trois racines. Depuis que nous avons trouvé trois racines, elles sont simples. Puis
.

Répondre

Exemple 3.2.

Distribuez des polynômes aux multiplicateurs:
.

Décision

Supposons que l'équation

Il y a au moins une racine entière. Puis il est un diviseur du nombre 2 (Membre sans x). C'est-à-dire que toute la racine peut être l'un des chiffres:
-2, -1, 1, 2 .
Nous substituons ces valeurs alternativement:
(-2) 4 + 2 · (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4 · (-2) + 2 \u003d 6 ;
(-1) 4 + 2 · (-1) 3 + 3 · (-1) 3 + 4 · (-1) + 2 \u003d 0 ;
1 4 + 2 · 1 3 + 3 · 1 3 + 4 · 1 + 2 \u003d 12;
2 4 + 2 · 2 3 + 3 · 2 3 + 4 · 2 + 2 \u003d 54 .
Si nous supposons que cette équation a une racine entière, il s'agit d'un diviseur du nombre. 2 (Membre sans x). C'est-à-dire que toute la racine peut être l'un des chiffres:
1, 2, -1, -2 .
Substitut x \u003d -1 :
.

Donc, nous avons trouvé une autre racine x 2 = -1 . Comme dans le cas précédent, il serait possible de diviser le polynôme pour, mais nous avons regroupé des membres:
.

Depuis l'équation X. 2 + 2 = 0 Il n'a pas de racines valides, la décomposition du polynôme aux multiplicateurs a la forme.

Nous trouverons la quantité et le produit des racines de l'équation carrée. En utilisant des formules (59,8) pour les racines de l'équation donnée, nous obtenons

(La première égalité est évidente, la seconde est obtenue après un simple calcul que le lecteur conduira indépendamment; il est pratique d'utiliser la formule pour la quantité de deux nombres sur leur différence).

Prouvé comme suit

Théorème Vieta. La somme des racines de l'équation carrée actuelle est égale au second coefficient avec en face familierEt leur travail est égal à un membre libre.

Dans le cas d'une équation carrée intégrale, elle suit les formules (60.1) pour substituer les expressions de formule (60.1) prendra une vue.

Exemple 1. Créez une équation carrée pour ses racines:

Solution, a) trouver l'équation a la forme

Exemple 2. Trouver la somme des carrés des racines de l'équation ne résout pas l'équation elle-même.

Décision. La quantité et le produit des racines sont connus. Imaginez la somme des carrés des racines sous la forme

et obtenir

De la formule de Vieta, il est facile d'obtenir une formule

la règle de décomposition expresse de la place est de trois décisions sur les multiplicateurs.

En fait, nous écrirons des formules (60.2) comme

Maintenant

ce qui était nécessaire pour obtenir.

La conclusion susmentionnée de la formule for Vieta est familière pour le lecteur du cours de l'algèbre du secondaire. Vous pouvez donner une autre conclusion à l'aide du théorème de la boue et de la décomposition du polynôme aux multiplicateurs (p. 51, 52).

Laisser les racines de l'équation alors règle générale (52.2) Trois de la partie gauche de l'équation se décomposent sur des multiplicateurs:

Des crochets de révélation sur le côté droit de cette égalité identique, nous obtenons

et la comparaison de coefficients avec les mêmes degrés nous donnera la formule de Vieta (60.1).

L'avantage de cette sortie est qu'il peut être appliqué aux équations degrés supérieurs Afin d'obtenir des expressions des coefficients de l'équation à travers ses racines (ne pas trouver les racines elles-mêmes!). Par exemple, si les racines de l'équation cubique

l'essence de l'égalité (52.2) que nous trouvons

(Dans notre cas, l'ouverture du support dans la partie droite de l'égalité et la collecte des coefficients à différents degrés que nous obtenons

Le monde est immergé dans un grand nombre de chiffres. Tout calcul se produit avec leur aide.

Les gens enseignent les chiffres à ne pas rencontrer une déception. Il est nécessaire de payer une énorme quantité de temps pour être éduquée et calculer votre propre budget.

Les mathématiques sont une science précise qui joue un rôle important dans la vie. À l'école, les enfants étudient des numéros et après, des actions sur eux.

Les actions sur les chiffres sont complètement différentes: multiplication, décomposition, addition et autres. En plus des formules simples, des actions plus complexes sont utilisées dans l'étude des mathématiques. Il existe une énorme quantité de formules pour lesquelles toutes les valeurs reconnaîtront.

À l'école, dès qu'une algèbre apparaît, des formules de simplification sont ajoutées à la vie de l'étudiant. Il y a des équations lorsque les nombres inconnus deux, mais trouvent façon simple ne fonctionnera pas. Trois niveaux - Connexion de trois homoracs, utilisant une méthode simple de déchirure et d'addition. Le thème est résolu avec le théorème Vieta et discriminant.

Décomposition de formule de trottelers carrés pour les multiplicateurs

Il y a deux droit et solutions simples Exemple:

• discriminant;
• théorème Vieta.

La carré Truder a un carré inconnu, ainsi qu'un chiffre sans carré. La première option pour résoudre le problème utilise la formule VIETA. Ceci est une formule simpleSi les chiffres qui se tiennent inconnus seront valeur minimale.

Pour d'autres équations où le nombre est devant un inconnu, l'équation doit être résolue à travers le discriminant. C'est une décision plus difficile, mais utilisez le discriminant beaucoup plus souvent que le théorème Vieta.

Initialement, pour trouver tout le monde Équation de variables Il est nécessaire de prendre un exemple pour 0. La solution de l'exemple sera possible de vérifier et de connaître correctement les nombres correctement.

Discriminant

1. Il est nécessaire d'assimiler l'équation à 0.

2. Chaque numéro devant X sera appelé numéros A, B, c. Depuis avant le premier carré X, il n'y a pas de numéro, il est égal à 1.

3. La solution de l'équation commence à travers le discriminant:

4. Maintenant, ils ont trouvé discriminant et trouvent deux x. La différence réside dans le fait que, dans un cas avant B, de rester plus, et dans l'autre moins:

5. Par décision, deux chiffres sont venus -2 et -1. Substitut à l'équation initiale:

6. Dans cet exemple, deux options correctes. Si les deux solutions conviennent, chacune d'entre elles est vraie.

À travers la discriminante résolvant une équation plus complexe. Mais si la valeur de la discriminante elle-même est inférieure à 0, l'exemple est incorrect. Le discriminant est toujours sous la racine et la valeur négative ne peut pas être trouvée dans la racine.

Théorème de Vieta

Il est utilisé pour résoudre des tâches lumineuses, où avant le premier X n'est pas un nombre, c'est-à-dire A \u003d 1. Si l'option coïncide, le calcul est effectué par le théorème de la Vieta.

Résoudre n'importe quel triple Il est nécessaire de construire l'équation à 0. Les premières étapes du discriminant et du théorème Vieta ne diffèrent pas.

2. Maintenant, il y a des différences entre deux manières. Le théorème Vieta utilise non seulement le calcul "sec", mais aussi la logique et l'intuition. Chaque numéro a sa propre lettre A, B, C. Le théorème utilise le montant et le travail de deux nombres.

Rappelles toi! Le nombre B est toujours lorsque l'ajoutez-le avec le signe opposé et le numéro avec reste inchangé!

Substituer les données de données dans l'exemple , on a:

3. La méthode logique nous substitut aux nombres les plus appropriés. Considérons toutes les solutions:

1. Figures 1 et 2. Lors de l'ajout 3, nous obtenons 3, mais si vous me multipliez, cela ne fonctionnera pas 4. ne convient pas.
2. Signification 2 et -2. Lors du multiplication, il sera de -4, mais lorsque l'ajout de celui-ci est 0. ne convient pas.
3. Figures 4 et -1. Comme il existe une valeur négative en multiplication, cela signifie que l'un des chiffres sera avec un moins. Lors de l'ajout et de la multiplication appropriée. Option correcte.

4. Il reste seulement de vérifier, de mettre en place les chiffres et de voir l'exactitude de l'option sélectionnée.

5. Grâce à l'inspection en ligne, nous avons appris que -1 ne convient pas à la condition de l'exemple, ce qui signifie qu'il s'agit d'une décision incorrecte.

Lors de l'ajout d'une valeur négative dans l'exemple, vous devez entrer le numéro entre parenthèses.

En mathématiques sera toujours tâches simples et complexe. La science elle-même comprend une variété de tâches, de théorèmes et de formules. Si vous comprenez et appliquez correctement les connaissances, toute difficulté avec des calculs sera affranchie.

Les mathématiques n'ont pas besoin de mémorisation constante. Besoin d'apprendre à comprendre la décision et à apprendre plusieurs formules. Progressivement, dans des conclusions logiques, nous pouvons résoudre des tâches similaires, des équations. Une telle science peut sembler très lourde à première vue, mais si elles plongent dans le monde des chiffres et des tâches, le look changera de façon spectaculaire dans meilleur côté.

Spécialité technique Toujours rester le plus recherché dans le monde. Maintenant dans le monde technologies modernesLes mathématiques sont devenues un attribut indispensable de toute sphère. Vous devez toujours vous rappeler propriétés utiles mathématiques.

Décomposition de triple avec support

En plus de résoudre les moyens habituels, il y a une autre décomposition sur les supports. Utilisé à l'aide de la formule de vin.

1. Assembler l'équation à 0.

hACHE. 2 + Bx + c= 0

2. Les racines de l'équation restent les mêmes, mais au lieu de zéro, les formules de décomposition sur des supports sont maintenant utilisées.

hACHE. 2 + Bx + c \u003d a ( X - X. 1) ( X - X. 2)

2 X. 2 – 4 X. – 6 = 2 ( X. + 1) ( X. – 3)

4. Solution x \u003d -1, x \u003d 3

La décomposition de Square Three-Stakes sur les multiplicateurs fait référence aux tâches scolaires, avec lesquelles tout le monde est fait face tôt ou plus tard. Comment l'exécuter? Quelle est la formule de décomposition d'une carrée trois-melan pour les multiplicateurs? Nous comprendrons étape par étape en utilisant des exemples.

Formule générale

La décomposition des trois enjeux carrés sur les multiplicateurs est effectuée en résolvant l'équation carrée. Il s'agit d'une tâche simple qui peut être résolue par plusieurs méthodes - trouvant un discriminant, à l'aide du théorème Vieta, il existe une solution graphique de la solution. Les deux premières manières sont étudiées au lycée.

La formule générale ressemble à ceci:lx 2 + kx + n \u003d l (x - x 1) (x - x 2) (1)

L'algorithme d'affectation

Afin de décomposer carré trois enjûts sur des multiplicateurs, vous devez connaître le théorème de la vita, disposer d'un programme à la main pour résoudre, pouvoir trouver une décision graphiquement ou de rechercher les racines de l'équation du second degré à travers la formule discriminante. . Si le carré est déclenché et qu'il est nécessaire de se décomposer sur des multiplicateurs, l'algorithme d'actions est:

1) assimiler l'expression initiale à zéro pour obtenir l'équation.

2) plomb termes similaires (S'il y a un tel besoin).

3) Trouvez les racines dans une méthode célèbre. La méthode graphique est préférable de s'appliquer s'il est connu à l'avance que les racines sont entier et à petit nombre. Il faut rappeler que le nombre de racines est égal au degré d'équation maximal, c'est-à-dire l'équation carrée des racines de deux.

4) substituer la valeur h. Dans l'expression (1).

5) Notez la décomposition de la carré trois-enjeux sur les multiplicateurs.

Exemples

Enfin comprendre comment cette tâche est effectuée, la pratique permet. Illustrer l'expansion des multiplicateurs de la carrée trois diminutions. Exemples:

il est nécessaire de décomposer l'expression:

Nous avons recours à notre algorithme:

1) x 2 -17x + 32 \u003d 0

2) des composants similaires sont réduits

3) Selon la formule VIETA, trouvez que les racines de cet exemple sont difficiles, il est donc préférable d'utiliser l'expression pour le discriminant:

D \u003d 289-128 \u003d 161 \u003d (12,69) 2

4) Remplaçait les racines trouvées par nous dans la formule principale de la décomposition:

(x-2 155) * (x-14,845)

5) Ensuite, la réponse sera comme ceci:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Vérifiez si les solutions trouvées par le discriminant correspondent aux formules de la Vieta:

14,845 . 2,155=32

Pour ces racines, le théorème Vieta est utilisé, ils ont été trouvés correctement, et les facteurs reçus par nous sont également corrects.

De même, décomposer 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Dans le cas précédent, les solutions n'étaient pas signifiées, mais en chiffres valides, faciles à avoir une calculatrice. Envisagez maintenant un exemple plus complexe dans lequel les racines seront exhaustives: décomposez sur les multiplicateurs X 2 + 4x + 9. Selon la formule de vin, les racines ne seront pas trouvées et le discriminant est négatif. Les racines seront sur l'avion complexe.

D \u003d -20

Basé sur cela, nous obtenons les racines des racines --4 + 2i * 5 1/2 et -4-2i * 5 1/2, car (-20) 1/2 \u003d 2i * 5 1/2.

Nous obtenons la décomposition souhaitée, substituant les racines dans la formule générale.

Un autre exemple: vous devez décomposer l'expression 23x 2 -14x + 7 expression.

Nous avons une équation 23x 2 -14x + 7 =0

D \u003d -448.

Donc, racines 14 + 21,166i et 14-21,166i. La réponse sera comme ceci:

23x 2 -14x + 7 \u003d 23 (x- 14-21.166i )*(x- 14 + 21,166i ).

Donnons un exemple, pour résoudre ce qui est possible sans l'aide du discriminant.

Soit nécessaire de décomposer l'équation carrée x 2 -32x + 255. De toute évidence, cela peut être résolu et discriminant, mais plus rapide dans ce cas, ramassez les racines.

x 1 \u003d 15

x 2 \u003d 17

Donc x 2 -32x + 255 \u003d (x-15) (x-17).