Ordinaire nombres fractionnaires pour la première fois, ils rencontrent des écoliers de 5e année et les accompagnent tout au long de leur vie, car dans la vie de tous les jours, il est souvent nécessaire de considérer ou d'utiliser un objet non pas entièrement, mais en morceaux séparés. Le début de l'étude de ce sujet est les actions. Les actions sont des parties égales, en laquelle tel ou tel sujet est divisé. Après tout, il n'est pas toujours possible d'exprimer, par exemple, la longueur ou le prix d'un produit sous forme d'entier, il faut prendre en compte des parties ou des fractions d'une mesure. Formé du verbe "diviser" - diviser en parties et ayant des racines arabes, au VIIIe siècle, le mot "fraction" lui-même est apparu en russe.

Les expressions fractionnaires ont longtemps été considérées comme le domaine le plus difficile des mathématiques. Au 17ème siècle, lorsque les premiers manuels de mathématiques sont apparus, on les appelait "nombres brisés", ce qui était très difficile à afficher dans la compréhension des gens.

Aspect moderne les résidus fractionnaires simples, dont certaines parties sont séparées par une ligne horizontale, ont d'abord été promus par Fibonacci - Léonard de Pise. Ses œuvres sont datées de 1202. Mais le but de cet article est d'expliquer simplement et clairement au lecteur comment se produit la multiplication. fractions mélangées avec différents dénominateurs.

Multiplication de fractions avec différents dénominateurs

Dans un premier temps, il convient de déterminer variétés de fractions:

• correct;
• tort;
• mixte.

Ensuite, vous devez vous rappeler comment la multiplication de nombres fractionnaires avec les mêmes dénominateurs... La règle même de ce processus est facile à formuler indépendamment : le résultat de la multiplication fractions simples avec les mêmes dénominateurs est une expression fractionnaire dont le numérateur est le produit des numérateurs, et le dénominateur est le produit des dénominateurs de ces fractions. C'est, en fait, le nouveau dénominateur est le carré de l'un des existants.

En multipliant fractions simples avec des dénominateurs différents pour deux facteurs ou plus, la règle ne change pas :

une /b * c/ré = a * c / b * d.

La seule différence est que le nombre résultant sous la ligne fractionnaire sera le produit de différents nombres et, naturellement, le carré d'un expression numérique il est impossible de le nommer.

Il convient de considérer la multiplication de fractions avec différents dénominateurs avec des exemples :

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Les exemples utilisent des moyens de réduire les expressions fractionnaires. Vous ne pouvez annuler que les nombres du numérateur avec les nombres du dénominateur ; les facteurs adjacents au-dessus ou en dessous de la ligne fractionnaire ne peuvent pas être annulés.

Outre les nombres fractionnaires simples, il existe le concept de fractions mixtes. Un nombre mixte se compose d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire, c'est-à-dire qu'il s'agit de la somme de ces nombres :

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Comment fonctionne la multiplication ?

Plusieurs exemples sont suggérés pour examen.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

L'exemple utilise la multiplication d'un nombre par partie fractionnaire ordinaire, vous pouvez écrire la règle de cette action par la formule :

une * b/c = un B /c.

En fait, un tel produit est la somme des mêmes restes fractionnaires, et le nombre de termes indique cette entier naturel. Un cas particulier:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Il existe une autre option pour résoudre la multiplication d'un nombre par un reste fractionnaire. Il suffit de diviser le dénominateur par ce nombre :

ré * e /F = e /f : d.

Il est utile d'utiliser cette technique lorsque le dénominateur est divisé par un nombre naturel sans reste, ou, comme on dit, complètement.

Convertissez les nombres fractionnaires en fractions impropres et obtenez le produit de la manière décrite précédemment :

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Cet exemple implique une manière de représenter une fraction mixte dans une fraction incorrecte, elle peut également être représentée sous la forme d'une formule générale :

une bc = a * b + c / c, où le dénominateur de la nouvelle fraction est formé en multipliant la partie entière avec le dénominateur et en l'ajoutant au numérateur du reste fractionnaire d'origine, et le dénominateur reste le même.

Ce processus fonctionne dans verso... Pour sélectionner la partie entière et le reste fractionnaire, vous devez diviser le numérateur mauvaise fraction sur son dénominateur "coin".

Multiplication de fractions impropres produit de manière conventionnelle. Lorsque l'enregistrement passe sous une seule ligne fractionnaire, si nécessaire, il est nécessaire de réduire les fractions afin de réduire les nombres par cette méthode et il est plus facile de calculer le résultat.

Il existe de nombreuses aides sur Internet pour résoudre même des problèmes mathématiques complexes dans différentes variantes programmes. Quantité suffisante ces services offrent leur aide pour compter la multiplication des fractions avec nombres différents en dénominateurs - ce qu'on appelle des calculatrices en ligne pour calculer des fractions. Ils sont capables non seulement de multiplier, mais aussi d'effectuer toutes les autres opérations arithmétiques simples avec des fractions ordinaires et des nombres fractionnaires. Il n'est pas difficile de travailler avec, les champs correspondants sont renseignés sur la page du site, le signe est sélectionné action mathématique et "calculer" est enfoncé. Le programme calcule automatiquement.

Le sujet des opérations arithmétiques avec des nombres fractionnaires est pertinent tout au long de l'éducation des collégiens et des lycéens. Au lycée, ils ne sont plus considérés comme les types les plus simples, mais expressions fractionnaires entières, mais la connaissance des règles de transformation et de calcul, obtenue plus tôt, est appliquée sous sa forme originale. Une connaissance de base bien maîtrisée donne une totale confiance en bonne décision plus tâches difficiles.

En conclusion, il est logique de citer les mots de Lev Nikolaevitch Tolstoï, qui a écrit : « L'homme est une fraction. Il n'est pas au pouvoir de l'homme d'augmenter son numérateur - sa dignité, mais chacun peut diminuer son dénominateur - son opinion sur lui-même, et par cette diminution il peut approcher de sa perfection."

Maintenant que nous avons appris à additionner et multiplier des fractions individuelles, nous pouvons considérer plus structures complexes... Par exemple, que se passe-t-il si le même problème contient des additions, des soustractions et des multiplications de fractions ?

Tout d'abord, vous devez traduire toutes les fractions en fractions incorrectes. Ensuite, nous effectuons séquentiellement les actions requises - dans le même ordre que pour les nombres ordinaires. À savoir:

1. L'exponentiation est effectuée en premier - supprimez toutes les expressions contenant des indicateurs ;
2. Ensuite - division et multiplication;
3. La dernière étape est l'addition et la soustraction.

Bien sûr, s'il y a des parenthèses dans l'expression, l'ordre des actions change - tout ce qui se trouve à l'intérieur des parenthèses doit être compté en premier. Et n'oubliez pas les fractions incorrectes : vous devez sélectionner la partie entière uniquement lorsque toutes les autres actions ont déjà été effectuées.

Traduisons toutes les fractions de la première expression en celles qui sont incorrectes, puis effectuons les actions suivantes :

Trouvons maintenant la valeur de la deuxième expression. Ici des fractions avec partie entière non, mais il y a des parenthèses, donc nous faisons d'abord l'addition, et seulement ensuite la division. Notez que 14 = 7 2. Puis:

Enfin, considérons le troisième exemple. Il y a des parenthèses et un diplôme ici - il vaut mieux les compter séparément. En tenant compte du fait que 9 = 3 3, on a :

Jetez un œil au dernier exemple. Pour élever une fraction à une puissance, vous devez élever séparément le numérateur à cette puissance et séparément - le dénominateur.

Vous pouvez décider d'une manière différente. Si l'on rappelle la définition du degré, le problème se ramènera à la multiplication habituelle des fractions :

Fractions à plusieurs étages

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les fractions « pures », lorsque le numérateur et le dénominateur sont nombres ordinaires... Ceci est tout à fait cohérent avec la définition d'une fraction numérique donnée dans la toute première leçon.

Mais que se passe-t-il si un objet plus complexe est placé au numérateur ou au dénominateur ? Par exemple, une autre fraction de nombre ? De telles constructions apparaissent assez souvent, surtout lorsque l'on travaille avec de longues expressions. Voici quelques exemples:

Il n'y a qu'une règle pour travailler avec des fractions à plusieurs étages : vous devez vous en débarrasser immédiatement. La suppression des étages "supplémentaires" est assez simple, si vous vous souvenez que la barre fractionnaire signifie l'opération de division standard. Par conséquent, toute fraction peut être réécrite comme suit :

En utilisant ce fait et en observant l'ordre des actions, nous pouvons facilement réduire toute fraction à plusieurs niveaux à une fraction régulière. Jetez un œil à des exemples :

Tâche. Convertissez des fractions à plusieurs étages en fractions normales :

Dans chaque cas, nous réécrivons la fraction principale en remplaçant la ligne de séparation par un signe de division. N'oubliez pas non plus que tout nombre entier peut être représenté sous la forme d'une fraction avec un dénominateur de 1. C'est-à-dire, 12 = 12/1 ; 3 = 3/1. On a:

Dans le dernier exemple, les fractions ont été annulées avant la multiplication finale.

Les spécificités du travail avec des fractions à plusieurs niveaux

Il y a une subtilité dans les fractions à plusieurs étages dont il faut toujours se souvenir, sinon vous pouvez obtenir une mauvaise réponse, même si tous les calculs étaient corrects. Regarde:

1. Le numérateur contient un seul chiffre 7, et le dénominateur contient la fraction 12/5 ;
2. Le numérateur contient la fraction 7/12 et le dénominateur est le chiffre unique 5.

Donc, pour un disque, nous en avons deux complètement différentes interprétations... Si vous comptez, les réponses seront également différentes :

Pour toujours lire l'entrée sans ambiguïté, utilisez une règle simple : la ligne de séparation de la fraction principale doit être plus longue que la ligne imbriquée. Il est souhaitable - plusieurs fois.

Si vous suivez cette règle, les fractions ci-dessus doivent être écrites comme suit :

Oui, cela peut être moche et prendre trop de place. Mais vous compterez correctement. Enfin, quelques exemples où des fractions à plusieurs étages surviennent vraiment :

Tâche. Trouvez les valeurs des expressions :

Donc, nous travaillons avec le premier exemple. Convertissons toutes les fractions en fractions irrégulières, puis effectuons des opérations d'addition et de division :

Faisons de même avec le deuxième exemple. Traduisons toutes les fractions en fractions irrégulières et effectuons les opérations requises. Afin de ne pas fatiguer le lecteur, j'omettrai quelques-uns des calculs évidents. Nous avons:

Du fait qu'il y a des sommes dans le numérateur et le dénominateur des fractions principales, la règle d'écriture des fractions à plusieurs étages est automatiquement observée. De plus, dans le dernier exemple, nous avons intentionnellement laissé 46/1 sous forme fractionnaire pour faire la division.

Notez également que dans les deux exemples, la barre fractionnaire remplace en fait les parenthèses : tout d'abord, nous avons trouvé la somme, et seulement ensuite - le quotient.

Certains diront que la transition vers les fractions impropres dans le deuxième exemple était clairement redondante. C'est peut-être ainsi. Mais avec cela, nous nous assurons contre les erreurs, car la prochaine fois, l'exemple peut s'avérer beaucoup plus compliqué. Choisissez vous-même ce qui est le plus important : la vitesse ou la fiabilité.

Tôt ou tard, tous les enfants à l'école commencent à apprendre les fractions : leur addition, leur division, leur multiplication et toutes les actions possibles qui ne peuvent être effectuées qu'avec des fractions. Afin de fournir une aide appropriée à l'enfant, les parents eux-mêmes ne doivent pas oublier comment les nombres entiers sont divisés en fractions, sinon vous ne pourrez pas l'aider avec quoi que ce soit, mais seulement le confondre. Si vous devez vous souvenir de cette action, mais que vous ne pouvez tout simplement pas rassembler toutes les informations que vous avez en tête dans une seule règle, cet article vous aidera : vous apprendrez à diviser un nombre par une fraction et à voir des exemples clairs.

Comment diviser un nombre en fraction

Écrivez votre exemple sur un brouillon afin de pouvoir prendre des notes et des annotations. N'oubliez pas qu'un nombre entier est écrit entre les cellules, juste à leur intersection, et des nombres fractionnaires - chacun dans sa propre cellule.

• V Par ici vous devez retourner la fraction, c'est-à-dire écrire le dénominateur dans le numérateur et le numérateur dans le dénominateur.
• Le signe de division doit être changé en multiplication.
• Il ne vous reste plus qu'à effectuer la multiplication selon les règles déjà apprises : le numérateur est multiplié par un entier, et le dénominateur n'est pas touché.

Bien sûr, à la suite d'une telle action, vous obtiendrez très grand nombre au numérateur. Il est impossible de laisser la fraction dans cet état - l'enseignant n'acceptera tout simplement pas cette réponse. Réduisez la fraction en divisant le numérateur par le dénominateur. Le nombre entier qui sera obtenu en conséquence, écrivez à gauche de la fraction au milieu des cellules, et le reste sera le nouveau numérateur. Le dénominateur reste inchangé.

Cet algorithme est assez simple, même pour un enfant. Après l'avoir terminé cinq à six fois, l'enfant se souviendra de l'ordre de l'action et pourra l'appliquer à toutes les fractions.

Comment diviser un nombre par une décimale

Il existe d'autres types de fractions - décimales. La division en eux se produit selon un algorithme complètement différent. Si vous rencontrez un tel exemple, suivez les instructions :

• Tout d'abord, transformez les deux nombres en décimales... C'est facile à faire : votre diviseur est déjà représenté comme une fraction, et vous séparez le nombre naturel divisible par une virgule, obtenant une fraction décimale. Autrement dit, si le dividende était de 5, vous obtenez 5,0. Vous devez séparer le nombre par autant de chiffres qu'il en coûte après la virgule et le diviseur.
• Après cela, vous devez faire des deux fractions décimales des nombres naturels. Au début, vous pouvez trouver cela un peu déroutant, mais c'est le plus manière rapide division, qui vous prendra quelques secondes, après quelques séances d'entraînement. La fraction 5,0 devient le nombre 50, la fraction 6,23 devient 623.
• Diviser. Si les nombres s'avèrent grands ou si une division se produit avec un reste, effectuez-la dans une colonne. Ainsi, vous verrez clairement toutes les actions. cet exemple... Vous n'avez pas besoin de mettre une virgule à dessein, car elle apparaîtra elle-même lors d'une longue division.

Ce type de division semble d'abord trop déroutant, car vous devez transformer le dividende et le diviseur en fraction, puis à nouveau en nombres naturels. Mais après une courte séance d'entraînement, vous commencerez immédiatement à voir ces nombres qu'il vous suffit de diviser les uns par les autres.

N'oubliez pas que la capacité de diviser correctement des fractions et des nombres entiers peut s'avérer utile plus d'une fois dans la vie. laquelle l'enfant ne peut pas décider de tâches plus complexes.

Toutes les actions peuvent être effectuées avec des fractions, y compris la division. Cet article montre la division fractions communes... Des définitions seront données, des exemples seront considérés. Examinons de plus près la division de fractions par des nombres naturels et vice versa. La division d'une fraction ordinaire par un nombre mixte sera considérée.

Division des fractions ordinaires

La division est l'inverse de la multiplication. Lors de la division, l'inconnue est à oeuvre célèbre et un autre facteur, où sa signification donnée est préservée avec des fractions ordinaires.

Si vous devez diviser une fraction ordinaire a b par c d, alors pour déterminer un tel nombre, vous devez multiplier par le diviseur c d, cela aboutira au dividende a b. Obtenez un nombre et écrivez-le a b d c, où d c est l'inverse de c d nombre. Les égalités peuvent être écrites en utilisant les propriétés de multiplication, à savoir : a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, où l'expression a b d c est le quotient de la division de a b par c d.

De là, nous obtenons et formulons la règle de division des fractions ordinaires :

Définition 1

Pour diviser une fraction commune a b par c d, vous devez multiplier le dividende par l'inverse du diviseur.

Écrivons la règle sous forme d'expression : a b : c d = a b d c

Les règles de division se réduisent à la multiplication. Pour s'y tenir, vous devez être bien versé dans la multiplication de fractions ordinaires.

Passons à l'examen de la division des fractions ordinaires.

Exemple 1

Divisez 9 7 par 5 3. Écris le résultat sous forme de fraction.

Solution

Le nombre 5 3 est l'inverse de 3 5. La règle de division des fractions communes doit être utilisée. Nous écrivons cette expression comme suit : 9 7 : 5 3 = 9 7 3 5 = 9 3 7 5 = 27 35.

Réponse: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Lors de la réduction de fractions, la partie entière doit être sélectionnée si le numérateur est supérieur au dénominateur.

Exemple 2

Divisez 8 15 : 24 65. Écrivez la réponse sous forme de fraction.

Solution

Pour résoudre, vous devez passer de la division à la multiplication. Écrivons-le sous cette forme : 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Il faut faire une réduction, et cela se fait comme suit : 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Sélectionnez la partie entière et obtenez 13 9 = 1 4 9.

Réponse: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Division d'une fraction extraordinaire par un nombre naturel

Nous utilisons la règle de division d'une fraction par un nombre naturel : pour diviser un b par un nombre naturel n, il suffit de multiplier le dénominateur par n. De là, nous obtenons l'expression : a b : n = a b · n.

La règle de division est une conséquence de la règle de multiplication. Par conséquent, représenter un nombre naturel sous forme de fraction donnera une égalité de ce type : a b : n = a b : n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Considérez cette division d'une fraction par un nombre.

Exemple 3

Divisez la fraction 16 45 par le nombre 12.

Solution

Appliquons la règle de division d'une fraction par un nombre. On obtient une expression de la forme 16 45 : 12 = 16 45 12.

Réduisons la fraction. On obtient 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 3 5 = 4 135.

Réponse: 16 45: 12 = 4 135 .

Division d'un nombre naturel par une fraction ordinaire

La règle de division est similaire ô la règle de division d'un nombre naturel par une fraction ordinaire : pour diviser un nombre naturel n par un nombre ordinaire a b, il faut multiplier le nombre n par l'inverse de la fraction a b.

Sur la base de la règle, nous avons n : a b = n b a, et grâce à la règle de multiplication d'un nombre naturel par une fraction ordinaire, nous obtenons notre expression sous la forme n : a b = n b a. Il faut considérer cette division par un exemple.

Exemple 4

Divisez 25 par 15 28.

Solution

Il faut passer de la division à la multiplication. On écrit sous la forme d'une expression 25 : 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Réduisez la fraction pour obtenir le résultat sous forme de fraction 46 2 3.

Réponse: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Division d'une fraction ordinaire par un nombre fractionnaire

Lorsque vous divisez une fraction ordinaire par un nombre mixte, vous pouvez facilement diviser des fractions ordinaires. Il est nécessaire de convertir le nombre mixte en une fraction impropre.

Exemple 5

Divisez 35 16 par 3 1 8.

Solution

Puisque 3 1 8 est un nombre fractionnaire, représentez-le comme une fraction impropre. On obtient alors 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Divisons maintenant les fractions. On obtient 35 16 : 3 1 8 = 35 16 : 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Réponse: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

La division d'un nombre mixte se fait de la même manière que pour les nombres ordinaires.

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