Salut les chatons ! La dernière fois, nous avons analysé en détail ce que sont les racines (si vous ne vous en souvenez pas, je vous recommande de lire). La principale conclusion de cette leçon : il n'y a qu'une seule définition universelle des racines, que vous devez connaître. Le reste est absurde et une perte de temps.

Aujourd'hui on va plus loin. Nous apprendrons à multiplier les racines, nous étudierons certains problèmes liés à la multiplication (si ces problèmes ne sont pas résolus, ils peuvent devenir fatals à l'examen) et nous nous exercerons correctement. Alors faites le plein de pop-corn, installez-vous confortablement - et nous commencerons. :)

Vous n'avez pas encore fumé, n'est-ce pas ?

La leçon s'est avérée assez volumineuse, alors je l'ai divisée en deux parties :

1. Tout d'abord, nous allons examiner les règles de multiplication. Le plafond semble faire allusion: c'est quand il y a deux racines, il y a un signe «multiplier» entre elles - et nous voulons en faire quelque chose.
2. Ensuite, nous analyserons la situation inverse : il y a une grande racine, et nous étions impatients de la présenter comme un produit de deux racines de manière plus simple. Avec quelle peur il est nécessaire est une question distincte. Nous n'analyserons que l'algorithme.

Pour ceux qui ont hâte de passer directement à la partie 2, vous êtes les bienvenus. Commençons par le reste dans l'ordre.

Règle de multiplication de base

Commençons par les racines carrées classiques les plus simples. Ceux qui sont désignés par $\sqrt(a)$ et $\sqrt(b)$. Pour eux, tout est globalement clair :

règle de multiplication. Pour multiplier une racine carrée par une autre, il suffit de multiplier leurs expressions radicales, et d'écrire le résultat sous le radical commun :

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Aucune restriction supplémentaire n'est imposée sur les nombres à droite ou à gauche : si les racines multiplicatrices existent, alors le produit existe également.

Exemples. Considérez quatre exemples avec des nombres à la fois :

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10 ; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le sens principal de cette règle est de simplifier les expressions irrationnelles. Et si dans le premier exemple nous aurions extrait les racines de 25 et 4 sans aucune nouvelle règle, alors l'étain commence : $\sqrt(32)$ et $\sqrt(2)$ ne comptent pas par eux-mêmes, mais leur produit s'avère être un carré exact, donc sa racine est égale à un nombre rationnel.

Séparément, je voudrais noter la dernière ligne. Là, les deux expressions radicales sont des fractions. Grâce au produit, de nombreux facteurs s'annulent et l'expression entière se transforme en un nombre adéquat.

Bien sûr, tout ne sera pas toujours aussi beau. Parfois, il y aura de la merde complète sous les racines - on ne sait pas quoi en faire et comment se transformer après la multiplication. Un peu plus tard, quand vous commencerez à étudier les équations et les inégalités irrationnelles, il y aura toutes sortes de variables et de fonctions en général. Et très souvent, les compilateurs des problèmes comptent simplement sur le fait que vous trouverez des termes ou des facteurs contractuels, après quoi la tâche sera grandement simplifiée.

De plus, il n'est pas nécessaire de multiplier exactement deux racines. Vous pouvez multiplier trois à la fois, quatre - oui même dix ! Cela ne changera pas la règle. Regarde:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6 ; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(aligner)\]

Et encore une petite remarque selon le deuxième exemple. Comme vous pouvez le voir, dans le troisième multiplicateur, il y a une fraction décimale sous la racine - dans le processus de calcul, nous la remplaçons par une normale, après quoi tout est facilement réduit. Donc : je recommande fortement de se débarrasser des fractions décimales dans toutes les expressions irrationnelles (c'est-à-dire contenant au moins une icône radicale). Cela vous fera économiser beaucoup de temps et de nerfs à l'avenir.

Mais c'était une digression lyrique. Considérez maintenant plus cas général- lorsque l'exposant racine est nombre arbitraire$n$, et pas seulement les deux "classiques".

Le cas d'un indicateur arbitraire

Donc, nous avons compris les racines carrées. Et que faire des cubes ? Ou en général avec des racines de degré arbitraire $n$ ? Oui, tout est pareil. La règle reste la même :

Pour multiplier deux racines de degré $n$, il suffit de multiplier leurs expressions radicales, après quoi le résultat s'écrit sous un radical.

En général, rien de compliqué. Sauf si le volume de calculs peut être plus. Regardons quelques exemples :

Exemples. Calculer les produits :

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5 ; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(aligner)\]

Et encore attention à la deuxième expression. Nous multiplions racines cubiques, se débarrasser de fraction décimale et nous obtenons ainsi le produit des nombres 625 et 25 au dénominateur. grand nombre- Personnellement, je ne considère pas immédiatement à quoi cela correspond.

Par conséquent, nous avons simplement sélectionné le cube exact au numérateur et au dénominateur, puis utilisé l'une des propriétés clés (ou, si vous préférez, la définition) de la racine du $n$ième degré :

\[\begin(aligner) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| un\droit|. \\ \end(aligner)\]

De telles "arnaques" peuvent vous faire gagner beaucoup de temps lors de l'examen ou travail de contrôle Alors souviens-toi:

Ne vous précipitez pas pour multiplier les nombres dans l'expression radicale. Tout d'abord, vérifiez : que se passe-t-il si le degré exact d'une expression y est "crypté" ?

Avec toute l'évidence de cette remarque, je dois admettre que la plupart des étudiants non préparés à bout portant ne voient pas les diplômes exacts. Au lieu de cela, ils multiplient tout à l'avance, puis se demandent : pourquoi ont-ils obtenu des chiffres aussi brutaux ? :)

Cependant, tout cela est un jeu d'enfant par rapport à ce que nous allons étudier maintenant.

Multiplication de racines avec différents exposants

Eh bien, maintenant nous pouvons multiplier les racines avec les mêmes exposants. Et si les scores sont différents ? Dites, comment multipliez-vous un $\sqrt(2)$ ordinaire par une merde comme $\sqrt(23)$ ? Est-il même possible de faire cela?

Oui bien sûr, vous pouvez. Tout se fait selon cette formule :

Règle de multiplication racine. Pour multiplier $\sqrt[n](a)$ par $\sqrt[p](b)$, faites simplement la transformation suivante :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cependant, cette formule ne fonctionne que si les expressions radicales ne sont pas négatives. C'est une remarque très importante, sur laquelle nous reviendrons un peu plus tard.

Pour l'instant, regardons quelques exemples :

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625). \\ \end(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, rien de compliqué. Voyons maintenant d'où vient l'exigence de non-négativité et ce qui se passera si nous la violons. :)

Pourquoi les expressions radicales doivent-elles être non négatives ?

Bien sûr, vous pouvez être comme professeurs d'école et citez intelligemment le manuel:

L'exigence de non-négativité est associée à différentes définitions des racines de degrés pairs et impairs (respectivement, leurs domaines de définition sont également différents).

Eh bien, c'est devenu plus clair? Personnellement, quand j'ai lu ce non-sens en 8e année, j'ai compris par moi-même quelque chose comme ceci: "L'exigence de non-négativité est liée à *#&^@(*#@^#)~%" - en bref, je je ne comprenais rien à l'époque. :)

Alors maintenant, je vais tout expliquer de manière normale.

Voyons d'abord d'où vient la formule de multiplication ci-dessus. Pour ce faire, permettez-moi de vous rappeler une propriété importante de la racine :

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

En d'autres termes, nous pouvons sans risque élever l'expression radicale à n'importe quel degré naturel$k$ - dans ce cas, l'index racine devra être multiplié par le même degré. Par conséquent, nous pouvons facilement réduire toutes les racines à un indicateur commun, après quoi nous multiplions. C'est de là que vient la formule de multiplication :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Mais il y a un problème qui limite sévèrement l'application de toutes ces formules. Considérez ce nombre :

Selon la formule qui vient d'être donnée, on peut ajouter n'importe quel degré. Essayons d'ajouter $k=2$ :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Nous avons supprimé le moins précisément parce que le carré brûle le moins (comme tout autre degré pair). Et maintenant, effectuons la transformation inverse : "réduisez" les deux dans l'exposant et le degré. Après tout, toute égalité peut être lue à la fois de gauche à droite et de droite à gauche :

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](une); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(aligner)\]

Mais alors quelque chose de fou se produit :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Cela ne peut pas être dû au fait que $\sqrt(-5) \lt 0$ et $\sqrt(5) \gt 0$. Cela signifie que pour les puissances paires et les nombres négatifs, notre formule ne fonctionne plus. Après quoi nous avons deux options :

1. Se battre contre le mur pour affirmer que les mathématiques sont une science stupide, où « il y a des règles, mais c'est inexact » ;
2. Introduire des restrictions supplémentaires en vertu desquelles la formule deviendra 100 % fonctionnelle.

Dans la première option, nous devrons constamment attraper les cas «sans travail» - c'est difficile, long et généralement fu. Par conséquent, les mathématiciens ont préféré la deuxième option. :)

Mais ne vous inquiétez pas ! En pratique, cette restriction n'affecte en rien les calculs, car tous les problèmes décrits ne concernent que les racines d'un degré impair, et des inconvénients peuvent en être retirés.

Par conséquent, nous formulons une autre règle qui s'applique en général à toutes les actions avec des racines :

Avant de multiplier les racines, assurez-vous que les expressions radicales ne sont pas négatives.

Exemple. Dans le nombre $\sqrt(-5)$, vous pouvez retirer le moins sous le signe racine - alors tout ira bien :

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(aligner)\]

Sentir la différence? Si vous laissez un moins sous la racine, alors lorsque l'expression radicale sera mise au carré, elle disparaîtra et la merde commencera. Et si vous retirez d'abord un moins, vous pouvez même augmenter / supprimer un carré jusqu'à ce que vous soyez bleu au visage - le nombre restera négatif. :)

Ainsi, le plus correct et le plus moyen fiable la multiplication des racines est la suivante :

1. Supprimez tous les inconvénients sous les radicaux. Les moins ne sont que dans les racines de la multiplicité impaire - ils peuvent être placés devant la racine et, si nécessaire, réduits (par exemple, s'il y a deux de ces moins).
2. Effectuez la multiplication selon les règles décrites ci-dessus dans la leçon d'aujourd'hui. Si les indices des racines sont les mêmes, il suffit de multiplier les expressions racine. Et s'ils sont différents, on utilise la formule diabolique \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Nous apprécions le résultat et les bonnes notes. :)

Bien? allons-nous pratiquer ?

Exemple 1. Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4 ; \end(aligner)\]

C'est l'option la plus simple: les indicateurs des racines sont identiques et impairs, le problème n'est que dans le moins du deuxième multiplicateur. Nous supportons ce moins nafig, après quoi tout est facilement considéré.

Exemple 2. Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( aligner)\]

Ici, beaucoup seraient confus par le fait que la sortie s'est avérée être un nombre irrationnel. Oui, ça arrive : on n'a pas pu se débarrasser complètement de la racine, mais au moins on a considérablement simplifié l'expression.

Exemple 3. Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

C'est sur cela que je voudrais attirer votre attention. Il y a deux points ici:

1. Sous la racine n'est pas un nombre ou un degré spécifique, mais la variable $a$. À première vue, c'est un peu inhabituel, mais en réalité, lors de la résolution de problèmes mathématiques, vous aurez le plus souvent affaire à des variables.
2. Au final, nous avons réussi à "réduire" l'exposant racine et le degré dans l'expression radicale. Cela arrive assez souvent. Et cela signifie qu'il était possible de simplifier considérablement les calculs si vous n'utilisez pas la formule principale.

Par exemple, vous pourriez faire ceci :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(aligner)\]

En fait, toutes les transformations ont été effectuées uniquement avec le second radical. Et si vous ne peignez pas en détail toutes les étapes intermédiaires, le nombre de calculs diminuera considérablement au final.

En fait, nous avons déjà rencontré une tâche similaire ci-dessus lors de la résolution de l'exemple $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Maintenant, il peut être écrit beaucoup plus facilement :

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(aligner)\]

Eh bien, nous avons compris la multiplication des racines. Considérons maintenant l'opération inverse : que faire lorsqu'il y a une œuvre sous la racine ?

Extraire la racine carrée d'un nombre n'est pas la seule opération réalisable avec ce phénomène mathématique. Tout comme les nombres ordinaires, les racines carrées peuvent être additionnées et soustraites.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Règles d'addition et de soustraction de racines carrées

Des actions telles que l'ajout et la soustraction d'une racine carrée ne sont possibles que si l'expression de la racine est la même.

Exemple 1

Vous pouvez ajouter ou soustraire des expressions 2 3 et 6 3, mais pas 5 6 et 9 4 . S'il est possible de simplifier l'expression et de l'amener aux racines avec le même numéro de racine, alors simplifiez, puis ajoutez ou soustrayez.

Actions racine : les bases

6 50 - 2 8 + 5 12

Algorithme d'action :

1. Simplifier l'expression racine. Pour ce faire, il faut décomposer l'expression racine en 2 facteurs dont l'un est un nombre carré (le nombre dont on extrait toute la racine carrée, par exemple 25 ou 9).
2. Ensuite, vous devez prendre la racine du nombre carré et écrivez la valeur résultante avant le signe racine. Veuillez noter que le deuxième facteur est entré sous le signe racine.
3. Après le processus de simplification, il est nécessaire de souligner les racines avec les mêmes expressions radicales - seules elles peuvent être ajoutées et soustraites.
4. Pour les racines avec les mêmes expressions radicales, il est nécessaire d'ajouter ou de soustraire les facteurs qui précèdent le signe racine. L'expression racine reste inchangée. N'ajoutez ni ne soustrayez pas de nombres racine !

Astuce 1

Si vous avez un exemple avec beaucoup d'expressions radicales identiques, soulignez ces expressions avec des lignes simples, doubles et triples pour faciliter le processus de calcul.

Exemple 3

Essayons cet exemple :

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Vous devez d'abord décomposer 50 en 2 facteurs 25 et 2, puis prendre la racine de 25, qui est 5, et retirer 5 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 5 par 6 (le multiplicateur à la racine) et obtenir 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Tout d'abord, vous devez décomposer 8 en 2 facteurs : 4 et 2. Ensuite, à partir de 4, extrayez la racine, qui est égale à 2, et retirez 2 sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 2 (le facteur à la racine) et obtenir 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Tout d'abord, vous devez décomposer 12 en 2 facteurs : 4 et 3. Ensuite, extrayez la racine de 4, qui est 2, et sortez-la de sous la racine. Après cela, vous devez multiplier 2 par 5 (le facteur à la racine) et obtenir 10 3 .

Résultat simplifié : 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

En conséquence, nous avons vu combien d'expressions radicales identiques sont contenues dans cet exemple. Pratiquons maintenant avec d'autres exemples.

Exemple 4

• Simplifier (45) . Nous factorisons 45 : (45) = (9 × 5) ;
• Nous retirons 3 sous la racine (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Nous additionnons les facteurs aux racines : 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Exemple 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Simplification 6 40 . Nous factorisons 40 : 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Nous retirons 2 sous la racine (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Nous multiplions les facteurs qui sont devant la racine : 12 10 ;
• On écrit l'expression sous une forme simplifiée : 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Puisque les deux premiers termes ont les mêmes nombres racines, nous pouvons les soustraire : (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Exemple 6

Comme nous pouvons le voir, il n'est pas possible de simplifier les nombres radicaux, nous recherchons donc des membres avec les mêmes nombres radicaux dans l'exemple, effectuons des opérations mathématiques (addition, soustraction, etc.) et écrivons le résultat :

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Conseils:

• Avant d'additionner ou de soustraire, il est impératif de simplifier (si possible) les expressions radicales.
• L'ajout et la soustraction de racines avec des expressions de racine différentes sont strictement interdits.
• Ne pas ajouter ou soustraire un nombre entier ou une racine carrée : 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Lorsque vous effectuez des opérations avec des fractions, vous devez trouver un nombre divisible par chaque dénominateur, puis amener les fractions à dénominateur commun, puis additionnez les numérateurs et laissez les dénominateurs inchangés.

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La racine d'un nombre est plus facile à soustraire à l'aide d'une calculatrice. Mais si vous n'avez pas de calculatrice, vous devez connaître l'algorithme de calcul de la racine carrée. Le fait est qu'un nombre dans un carré se trouve sous la racine. Par exemple, 4 au carré est 16. Autrement dit, la racine carrée de 16 sera égale à quatre. De plus, 5 au carré est 25. Par conséquent, la racine de 25 sera 5. Et ainsi de suite.

Si le nombre est petit, il peut être facilement soustrait verbalement, par exemple, la racine de 25 sera 5 et la racine de 144-12. Vous pouvez également calculer sur la calculatrice, il y a une icône racine spéciale, vous devez entrer un nombre et cliquer sur l'icône.

Le tableau des racines carrées aidera également :

Il existe d'autres moyens plus complexes, mais très efficaces :

La racine de n'importe quel nombre peut être soustraite à l'aide d'une calculatrice, d'autant plus qu'ils se trouvent dans tous les téléphones aujourd'hui.

Vous pouvez essayer de comprendre approximativement comment un nombre donné peut se révéler en multipliant un nombre par lui-même.



Calculer la racine carrée d'un nombre n'est pas difficile, surtout s'il existe une table spéciale. Une table bien connue des leçons d'algèbre. Une telle opération s'appelle extraire la racine carrée du nombre a, en d'autres termes, résoudre l'équation. Presque toutes les calculatrices des smartphones ont une fonction racine carrée.



Le résultat de l'extraction de la racine carrée d'un nombre connu sera un autre nombre qui, une fois élevé à la deuxième puissance (carré), donnera le même nombre que nous connaissons. Considérez l'une des descriptions des colonies, qui semble courte et compréhensible :







Voici une vidéo sur le sujet :

Il existe plusieurs façons de calculer la racine carrée d'un nombre.

Le moyen le plus courant consiste à utiliser une table racine spéciale (voir ci-dessous).

De plus, sur chaque calculatrice, il existe une fonction avec laquelle vous pouvez trouver la racine.

Ou en utilisant une formule spéciale.



Il existe plusieurs façons d'extraire la racine carrée d'un nombre. L'un d'eux est le plus rapide, à l'aide d'une calculatrice.

Mais s'il n'y a pas de calculatrice, vous pouvez le faire manuellement.

Le résultat sera précis.

Le principe est presque le même que la division par une colonne :



















Essayons sans calculatrice de trouver la valeur de la racine carrée d'un nombre, par exemple 190969.







Ainsi, tout est extrêmement simple. Dans les calculs, l'essentiel est de respecter certains règles simples et penser logiquement.

Pour cela, vous avez besoin d'une table de carrés



Par exemple, la racine de 100 = 10, de 20 = 400 de 43 = 1849

Désormais, presque toutes les calculatrices, y compris celles des smartphones, peuvent calculer la racine carrée d'un nombre. MAIS si vous n'avez pas de calculatrice, vous pouvez trouver la racine du nombre de plusieurs manières simples :

Décomposition en facteurs premiers



Décomposer le nombre racine en facteurs qui sont nombres carrés. Selon le numéro de la racine, vous obtiendrez une réponse approximative ou exacte. Les nombres carrés sont des nombres à partir desquels la racine carrée entière peut être extraite. Facteurs d'un nombre qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 8 sont 2 et 4, puisque 2 x 4 = 8, les nombres 25, 36, 49 sont des nombres carrés, puisque 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Les facteurs carrés sont des facteurs qui sont des nombres carrés. Tout d'abord, essayez de factoriser le nombre racine en facteurs carrés.

Par exemple, calculez la racine carrée de 400 (manuellement). Essayez d'abord de factoriser 400 en facteurs carrés. 400 est un multiple de 100, qui est un nombre carré divisible par 25. Diviser 400 par 25 donne 16, qui est aussi un nombre carré. Ainsi, 400 peut être factorisé en facteurs carrés de 25 et 16, c'est-à-dire 25 x 16 = 400.

Écrivez-le comme suit : 400 = (25 x 16).



La racine carrée du produit de certains termes est égale au produit des racines carrées de chaque terme, c'est-à-dire (a x b) = a x b. En utilisant cette règle, prenez la racine carrée de chaque facteur carré et multipliez les résultats pour trouver la réponse.

Dans notre exemple, prenons la racine carrée de 25 et 16.



Si le nombre radical ne se décompose pas en deux multiplicateur carré(ce qui arrive la plupart du temps), vous ne pourrez pas trouver la réponse exacte sous forme d'entier. Mais vous pouvez simplifier le problème en décomposant le nombre racine en un facteur carré et un facteur ordinaire (un nombre à partir duquel la racine carrée entière ne peut pas être extraite). Ensuite, vous prendrez la racine carrée du facteur carré et vous prendrez la racine du facteur ordinaire.

Par exemple, calculez la racine carrée du nombre 147. Le nombre 147 ne peut pas être divisé en deux facteurs carrés, mais il peut être divisé en facteurs suivants : 49 et 3. Résolvez le problème comme suit :



Vous pouvez maintenant évaluer la valeur de la racine (trouver une valeur approximative) en la comparant aux valeurs des racines carrées les plus proches (des deux côtés de la droite numérique) du nombre racine. Vous obtiendrez la valeur de la racine sous forme de fraction décimale, qui doit être multipliée par le nombre derrière le signe racine.

Revenons à notre exemple. Le nombre racine est 3. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 1 (1 \u003d 1) et 4 (4 \u003d 2). Ainsi, la valeur de 3 est comprise entre 1 et 2. Comme la valeur de 3 est probablement plus proche de 2 que de 1, notre estimation est : 3 = 1,7. Nous multiplions cette valeur par le nombre au signe racine: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Si vous faites les calculs sur une calculatrice, vous obtenez 12,13, ce qui est assez proche de notre réponse.

Cette méthode fonctionne également avec de grands nombres. Par exemple, considérons 35. Le nombre racine est 35. Les nombres carrés les plus proches sont 25 (25 = 5) et 36 (36 = 6). Ainsi, la valeur 35 est comprise entre 5 et 6. Comme la valeur 35 est beaucoup plus proche de 6 que de 5 (car 35 n'est que 1 de moins que 36), on peut dire que 35 est légèrement inférieur à 6. Une vérification sur la calculatrice donne nous la réponse 5,92 - nous avions raison.



Une autre façon est de factoriser le nombre racine en facteurs premiers. Facteurs premiers d'un nombre qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Écris les facteurs premiers dans une rangée et trouve des paires de facteurs identiques. De tels facteurs peuvent être retirés du signe de la racine.

Par exemple, calculez la racine carrée de 45. Nous décomposons le nombre racine en facteurs premiers : 45 \u003d 9 x 5 et 9 \u003d 3 x 3. Ainsi, 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 peut être extrait du signe racine : 45 = 35. Nous pouvons maintenant estimer 5.

Prenons un autre exemple : 88.

= (2x4x11)

= (2x2x2x11). Vous avez trois multiplicateurs 2 ; prenez-en quelques-uns et sortez-les du signe de la racine.

2(2 x 11) = 22 x 11. Vous pouvez maintenant évaluer 2 et 11 et trouver une réponse approximative.

Ce didacticiel vidéo peut également être utile :

Pour extraire la racine d'un nombre, vous devez utiliser une calculatrice, ou s'il n'y en a pas, je vous conseille d'aller sur ce site et de résoudre le problème en utilisant calculateur en ligne, qui donnera la valeur correcte en secondes.

Addition et soustraction de racines- l'une des "pierres d'achoppement" les plus courantes pour ceux qui suivent un cours de mathématiques (algèbre) au lycée. Cependant, apprendre à les additionner et à les soustraire correctement est très important, car des exemples pour la somme ou la différence des racines sont inclus dans le programme de l'examen d'État unifié de base dans la discipline "mathématiques".

Afin de maîtriser la solution de tels exemples, vous avez besoin de deux choses - comprendre les règles et acquérir de la pratique. Après avoir résolu une ou deux douzaines d'exemples typiques, l'étudiant apportera cette compétence à l'automatisme, puis il n'aura rien à craindre à l'examen. Il est recommandé de commencer à maîtriser les opérations arithmétiques avec addition, car les additionner est un peu plus facile que de les soustraire.

La façon la plus simple d'expliquer cela est avec l'exemple d'une racine carrée. En mathématiques, il existe un terme bien établi "carré". "Carré" signifie multiplier un nombre spécifique par lui-même une fois.. Par exemple, si vous mettez au carré 2, vous obtenez 4. Si vous mettez 7 au carré, vous obtenez 49. Le carré de 9 est 81. Ainsi, la racine carrée de 4 est 2, de 49 est 7 et de 81 est 9.

En règle générale, l'enseignement de ce sujet en mathématiques commence par les racines carrées. Afin de le déterminer immédiatement, un lycéen doit connaître par cœur la table de multiplication. Pour ceux qui ne connaissent pas bien ce tableau, il faut utiliser des indices. Habituellement, le processus d'extraction de la racine carrée d'un nombre est donné sous la forme d'un tableau sur les couvertures de nombreux cahiers de mathématiques scolaires.

Les racines sont des types suivants :

• carré;
• cubique (ou le soi-disant troisième degré);
• quatrième degré;
• cinquième degré.

Règles d'ajout

Afin de résoudre avec succès exemple typique, il faut garder à l'esprit que tous les nombres racines peuvent être empilés les uns avec les autres. Pour pouvoir les assembler, il faut les ramener à un seul patron. Si ce n'est pas possible, alors le problème n'a pas de solution. De tels problèmes se retrouvent aussi souvent dans les manuels de mathématiques comme une sorte de piège pour les élèves.

L'addition n'est pas autorisée dans les affectations lorsque les expressions radicales diffèrent les unes des autres. Ceci peut être illustré par un exemple illustratif :

• l'élève est confronté à la tâche : additionner la racine carrée de 4 et de 9 ;
• un étudiant inexpérimenté qui ne connaît pas la règle écrit généralement: "racine de 4 + racine de 9 \u003d racine de 13".
• il est très facile de prouver que cette façon de résoudre est fausse. Pour ce faire, vous devez trouver la racine carrée de 13 et vérifier si l'exemple est résolu correctement.
• à l'aide d'une microcalculatrice, vous pouvez déterminer qu'il est d'environ 3,6. Il reste maintenant à vérifier la solution ;
• racine de 4=2, et de 9=3 ;
• La somme de deux et trois est cinq. Ainsi, cet algorithme de résolution peut être considéré comme incorrect.

Si les racines ont le même degré mais différent expressions numériques, il est sorti des parenthèses, et entre parenthèses est entré la somme de deux expressions radicales. Ainsi, il est déjà extrait de ce montant.

Algorithme d'addition

Pour bien décider la tâche la plus simple, nécessaire:

1. Déterminez exactement ce qui doit être ajouté.
2. Découvrez s'il est possible d'additionner des valeurs les unes aux autres, guidé par les règles existantes en mathématiques.
3. S'ils ne peuvent pas être ajoutés, vous devez les transformer de manière à pouvoir les ajouter.
4. Après avoir effectué toutes les transformations nécessaires, il est nécessaire d'effectuer l'addition et d'écrire la réponse finale. L'addition peut être faite mentalement ou avec une calculatrice, selon la complexité de l'exemple.

Quelles sont les racines similaires

Afin de résoudre correctement un exemple d'addition, il est nécessaire, tout d'abord, de réfléchir à la manière dont il peut être simplifié. Pour ce faire, vous devez avoir une connaissance de base de ce qu'est la similarité.

La possibilité d'identifier des exemples similaires aide à résoudre rapidement le même type d'exemples d'addition, en les ramenant sous une forme simplifiée. Pour simplifier un exemple d'ajout typique, vous devez :

1. Trouvez-en des similaires et attribuez-les à un groupe (ou plusieurs groupes).
2. Réécrivez l'exemple existant de manière à ce que les racines qui ont le même indicateur se suivent clairement (c'est ce qu'on appelle le "groupement").
3. Ensuite, vous devez réécrire l'expression, cette fois de manière à ce que les expressions similaires (qui ont le même indicateur et la même racine) se suivent également.

Après cela, un exemple simplifié est généralement facile à résoudre.

Afin de résoudre correctement tout exemple d'addition, vous devez comprendre clairement les règles de base de l'addition, et également savoir ce qu'est une racine et comment cela se produit.

Parfois, ces tâches semblent très compliquées à première vue, mais elles sont généralement facilement résolues en regroupant des tâches similaires. La chose la plus importante est la pratique, puis l'élève commencera à "cliquer sur des tâches comme des noix". L'addition de racine est l'une des branches les plus importantes des mathématiques, les enseignants doivent donc allouer suffisamment de temps pour l'étudier.

Vidéo

Cette vidéo vous aidera à comprendre les équations aux racines carrées.