Premier niveau

Équations du second degré. Guide complet (2019)

Dans le terme " équation quadratique« Le mot clé est « carré ». Cela signifie que l'équation doit nécessairement contenir une variable (le même x) au carré, et qu'il ne doit pas y avoir de x au troisième (ou plus) degré.

La solution de nombreuses équations se réduit à la solution d'équations quadratiques.

Apprenons à déterminer que nous avons une équation quadratique, et pas une autre.

Exemple 1.

Débarrassons-nous du dénominateur et multiplions chaque terme de l'équation par

Transférons tout sur côté gauche et ranger les termes par ordre décroissant des degrés de x

Maintenant, nous pouvons dire avec confiance que cette équation est quadratique !

Exemple 2.

Multiplions les côtés gauche et droit par :

Cette équation, bien qu'elle y figurât à l'origine, n'est pas carrée !

Exemple 3.

Multiplions le tout par :

Craintivement? Quatrième et deuxième degrés ... Cependant, si nous faisons une substitution, alors nous verrons que nous avons une équation quadratique simple :

Exemple 4.

Il semble être là, mais regardons de plus près. Déplaçons tout vers la gauche :

Vous voyez, il a rétréci - et maintenant c'est une simple équation linéaire !

Essayez maintenant de déterminer par vous-même lesquelles des équations suivantes sont quadratiques et lesquelles ne le sont pas :

Exemples:

Réponses:

1. carré;
2. carré;
3. pas carré;
4. pas carré;
5. pas carré;
6. carré;
7. pas carré;
8. carré.

Les mathématiciens divisent conditionnellement toutes les équations quadratiques sous la forme suivante :

• Équations quadratiques complètes- les équations dans lesquelles les coefficients et, ainsi que le terme libre c ne sont pas égaux à zéro (comme dans l'exemple). De plus, parmi les équations quadratiques complètes, il y a étant donné- ce sont des équations dans lesquelles le coefficient (l'équation de l'exemple un est non seulement complète, mais aussi réduite !)

• Équations quadratiques incomplètes- les équations dans lesquelles le coefficient et ou le terme libre c sont égaux à zéro :

  Ils sont incomplets, car il leur manque un élément. Mais l'équation doit toujours avoir un x au carré !!! Sinon, ce ne sera plus un carré, mais une autre équation.

Pourquoi avez-vous imaginé une telle division ? Il semblerait qu'il y ait un X au carré, et d'accord. Cette division est due aux méthodes de résolution. Examinons chacun d'eux plus en détail.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d'abord, attardons-nous sur la résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont beaucoup plus simples !

Les équations quadratiques incomplètes sont des types suivants :

1. , dans cette équation le coefficient est.
2. , dans cette équation le terme libre est.
3. , dans cette équation le coefficient et l'interception sont égaux.

1.et. Puisque nous savons extraire Racine carrée, alors exprimons à partir de cette équation

L'expression peut être négative ou positive. Le nombre au carré ne peut pas être négatif, car en multipliant deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif, donc : si, alors l'équation n'a pas de solution.

Et si, alors nous obtenons deux racines. Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. L'essentiel est que vous devez savoir et toujours vous rappeler qu'il ne peut pas y en avoir moins.

Essayons de résoudre quelques exemples.

Exemple 5 :

Résous l'équation

Il reste maintenant à extraire la racine des côtés gauche et droit. Vous souvenez-vous comment extraire les racines?

Réponse:

N'oubliez jamais les racines négatives !!!

Exemple 6 :

Résous l'équation

Réponse:

Exemple 7 :

Résous l'équation

Aie! Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines !

Pour les équations qui n'ont pas de racines, les mathématiciens ont mis au point une icône spéciale - (ensemble vide). Et la réponse peut s'écrire ainsi :

Réponse:

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines. Il n'y a aucune restriction ici, puisque nous n'avons pas extrait la racine.
Exemple 8 :

Résous l'équation

Retirons le facteur commun entre parenthèses :

Ainsi,

Cette équation a deux racines.

Réponse:

Le type le plus simple d'équations quadratiques incomplètes (bien qu'elles soient toutes simples, n'est-ce pas ?). Évidemment, cette équation n'a toujours qu'une seule racine :

On se passera ici d'exemples.

Résolution d'équations quadratiques complètes

On rappelle qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme équation où

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles données.

Rappelles toi, n'importe quelle équation quadratique peut être résolue en utilisant le discriminant ! Même incomplet.

Le reste des méthodes vous aidera à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, commencez par apprendre la solution à l'aide du discriminant.

1. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du discriminant.

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est très simple, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l'équation a une racine. Attention particulière avancez d'un pas. Le discriminant () nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors la formule à l'étape sera réduite à. Ainsi, l'équation aura la racine entière.
• Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9 :

Résous l'équation

Étape 1 sauter.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

L'équation a donc deux racines.

Étape 3.

Réponse:

Exemple 10 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous la forme standard, donc Étape 1 sauter.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

L'équation a donc une racine.

Réponse:

Exemple 11 :

Résous l'équation

L'équation est présentée sous la forme standard, donc Étape 1 sauter.

Étape 2.

On trouve le discriminant :

Par conséquent, nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n'y a pas de racines de l'équation.

Maintenant, nous savons comment écrire correctement de telles réponses.

Réponse: Pas de racines

2. Résoudre des équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta.

Si vous vous en souvenez, il existe un type d'équations que l'on appelle réduites (lorsque le coefficient a est égal) :

De telles équations sont très faciles à résoudre en utilisant le théorème de Vieta :

Somme des racines étant donné l'équation quadratique est, et le produit des racines est.

Exemple 12 :

Résous l'équation

Cette équation convient à la résolution en utilisant le théorème de Vieta, puisque ...

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

• et. Le montant est égal;
• et. Le montant est égal;
• et. Le montant est égal.

et sont la solution du système :

Réponse: ; .

Exemple 13 :

Résous l'équation

Réponse:

Exemple 14 :

Résous l'équation

L'équation est réduite, ce qui signifie :

Réponse:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme, où est l'inconnue, sont des nombres, et.

Le numéro est appelé l'aîné ou premières chanceséquation quadratique, - deuxième coefficient, une - Membre gratuit.

Pourquoi? Parce que si, l'équation deviendra immédiatement linéaire, parce que disparaître.

De plus, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est dite incomplète. Si tous les termes sont en place, c'est-à-dire que l'équation est complète.

Solutions à divers types d'équations quadratiques

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes :

Pour commencer, analysons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On distingue les types d'équations suivants :

I., dans cette équation, le coefficient et l'intersection sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est.

III. , dans cette équation le terme libre est.

Voyons maintenant une solution à chacun de ces sous-types.

Évidemment, cette équation n'a toujours qu'une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. C'est pourquoi:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si, nous avons deux racines

Ces formules n'ont pas besoin d'être mémorisées. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être moins.

Exemples:

Solutions:

Réponse:

N'oubliez jamais les racines négatives !

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour enregistrer brièvement que le problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône de jeu vide.

Réponse:

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Réponse:

Tirez le facteur commun hors des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisez le côté gauche de l'équation et trouvez les racines :

Réponse:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes :

1. Discrimination

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue en utilisant le discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule de racine ? Mais le discriminant peut être négatif. Que faire? Il faut porter une attention particulière à l'étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors l'équation a une racine :
• Si, alors l'équation a la même racine, mais en fait, une racine :

  De telles racines sont appelées racines doubles.

• Si, alors la racine du discriminant n'est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi est-ce possible montant différent racines? Passons à la signification géométrique de l'équation quadratique. Le graphe de la fonction est une parabole :

Dans le cas particulier, qui est une équation quadratique,. Et cela signifie que les racines de l'équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axe). La parabole peut ne pas du tout croiser l'axe, ou elle peut le croiser en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si - alors vers le bas.

Exemples:

Solutions:

Réponse:

Réponse: .

Réponse:

Il n'y a donc pas de solutions.

Réponse: .

2. Le théorème de Vieta

Il est très simple d'utiliser le théorème de Vieta : il suffit de choisir un couple de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est le deuxième coefficient, pris avec le signe opposé.

Il est important de se rappeler que le théorème de Vieta ne peut être appliqué que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 1:

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation convient à la résolution en utilisant le théorème de Vieta, puisque ... Autres coefficients : ; ...

La somme des racines de l'équation est :

Et le produit est égal à :

Choisissons de telles paires de nombres, dont le produit est égal, et vérifions si leur somme est égale :

• et. Le montant est égal;
• et. Le montant est égal;
• et. Le montant est égal.

et sont la solution du système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Réponse: ; ...

Exemple #2 :

Solution:

Choisissons de telles paires de nombres qui donnent dans le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : additionner.

et : additionner. Pour l'obtenir, il suffit de changer les signes des prétendues racines : et, après tout, le produit.

Réponse:

Exemple n°3 :

Solution:

Le terme libre de l'équation est négatif, et donc le produit des racines est un nombre négatif... Ceci n'est possible que si l'une des racines est négative et l'autre positive. Par conséquent, la somme des racines est différence de leurs modules.

Choisissons de telles paires de nombres qui donnent dans le produit, et dont la différence est égale à :

et: leur différence est égale - ne correspond pas;

et : - ne convient pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - s'adapte. Il ne reste plus qu'à se rappeler que l'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, alors la racine du plus petit en valeur absolue doit être négative :. Nous vérifions:

Réponse:

Exemple n°4 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est réduite, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, ce qui signifie que le produit des racines est négatif. Et cela n'est possible que lorsqu'une racine de l'équation est négative et l'autre positive.

Sélectionnons de telles paires de nombres, dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Réponse:

Exemple #5 :

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est réduite, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie qu'au moins une des racines est négative. Mais puisque leur produit est positif, alors les deux racines sont avec un signe moins.

Sélectionnons de telles paires de nombres, dont le produit est égal à :

De toute évidence, les racines sont les nombres et.

Réponse:

Avouez-le, c'est très pratique de faire des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant. Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible.

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche de racines. Pour rentabiliser son utilisation, vous devez amener les actions à l'automatisme. Et pour cela, décidez de cinq autres exemples. Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser le discriminant ! Théorème de Vieta uniquement :

Solutions pour les tâches pour le travail indépendant :

Tâche 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Par le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par un morceau :

Ne convient pas, car le montant ;

: le montant est ce dont vous avez besoin.

Réponse: ; ...

Tâche 2.

Et encore, notre théorème de Vieta préféré : la somme devrait fonctionner, mais le produit est égal.

Mais puisqu'il ne devrait pas l'être, mais, nous changeons les signes des racines : et (dans la somme).

Réponse: ; ...

Tâche 3.

Hum... Où est-ce ?

Il est nécessaire de transférer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Alors arrêtez! L'équation n'est pas donnée. Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations ci-dessus. Donc, vous devez d'abord apporter l'équation. Si vous ne pouvez pas l'évoquer, abandonnez cette aventure et résolvez-la d'une autre manière (par exemple, via le discriminant). Permettez-moi de vous rappeler qu'apporter une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal à :

Amende. Alors la somme des racines est égale, et le produit.

C'est facile à saisir ici : après tout - un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Réponse: ; ...

Tâche 4.

Le terme libre est négatif. Qu'est-ce qu'il a de si spécial ? Et le fait que les racines seront de signes différents. Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais le produit.

Ainsi, les racines sont égales et, mais l'une d'elles est avec un moins. Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire. Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Réponse: ; ...

Tâche 5.

Quelle est la première chose à faire ? C'est vrai, donnez l'équation:

Encore une fois : nous sélectionnons les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales et, mais l'une d'elles est avec un moins. Lequel? Leur somme doit être égale, ce qui signifie qu'avec un moins il y aura une racine plus grande.

Réponse: ; ...

Résumer:

1. Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
2. En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
3. Si l'équation n'est pas donnée ou s'il n'y a pas une seule paire appropriée de multiplicateurs de termes libres, alors il n'y a pas de racines entières et vous devez résoudre d'une autre manière (par exemple, via le discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous forme de termes issus des formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors, après avoir changé les variables, l'équation peut être représentée comme une équation quadratique incomplète du type.

Par exemple:

Exemple 1:

Résous l'équation:.

Solution:

Réponse:

Exemple 2 :

Résous l'équation:.

Solution:

Réponse:

V vue générale la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Ça ne ressemble à rien ? C'est un discriminant ! C'est vrai, nous avons la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. BREF SUR LE PRINCIPAL

Équation quadratique est une équation de la forme, où est l'inconnue, sont les coefficients de l'équation quadratique, est le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dont les coefficients ne sont pas nuls.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, c'est-à-dire :.

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et ou le terme libre c sont égaux à zéro :

• si le coefficient, l'équation a la forme :,
• si le terme libre, l'équation a la forme :,
• si et, l'équation a la forme :.

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnue :,

2) Vérifier le signe de l'expression :

• si, alors l'équation n'a pas de solutions,
• si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Tirez le facteur commun hors des parenthèses :,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L'équation a donc deux racines :

1.3. Équation quadratique incomplète de la forme, où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine :.

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Décision utilisant le discriminant

1) Réduisons l'équation à la forme standard :,

2) On calcule le discriminant par la formule :, qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

• si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
• si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
• si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équations de la forme, où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , une.

2.3. Solution carré complet

2.5 Formule de Vieta pour les polynômes (équations) diplômes supérieurs

Les formules dérivées par Viet pour les équations quadratiques sont également valables pour les polynômes de degrés supérieurs.

Soit le polynôme

P (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +… + a n

A n racines différentes x 1, x 2…, x n.

Dans ce cas, il a une factorisation de la forme :

a 0 x n + a 1 x n-1 +… + a n = a 0 (x - x 1) (x - x 2)… (x - x n)

Nous divisons les deux côtés de cette égalité par un 0 0 et développons les parenthèses dans la première partie. On obtient l'égalité :

xn + () xn -1 +… + () = xn - (x 1 + x 2 +… + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + xn -1 xn) xn - 2 +… + (- 1) nx 1 x 2… xn

Mais deux polynômes sont identiquement égaux si et seulement si les coefficients aux mêmes degrés sont égaux. Il s'ensuit donc que l'égalité

x 1 + x 2 +… + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n =

x 1 x 2 ... x n = (-1) n

Par exemple, pour les polynômes du troisième degré

un 0 x³ + un 1 x² + un 2 x + un 3

Nous avons les identités

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Quant aux équations quadratiques, cette formule est appelée formules de Vieta. Les membres de gauche de ces formules sont des polynômes symétriques issus des racines x 1, x 2 ..., x n de cette équation, et les membres de droite sont exprimés par le coefficient du polynôme.

2.6 Équations réductibles au carré (biquadratique)

Les équations du quatrième degré se réduisent à des équations quadratiques :

hache 4 + bx 2 + c = 0,

dit biquadratique, et, et 0.

Il suffit de mettre dans cette équation x 2 = y, donc,

ay² + par + c = 0

trouver les racines de l'équation quadratique résultante

y 1,2 =

Pour trouver les racines x 1, x 2, x 3, x 4 à la fois, remplacez y par x et obtenez

x² =

x 1,2,3,4 = .

Si l'équation du quatrième degré a x 1, alors elle a aussi une racine x 2 = -x 1,

S'il a x 3, alors x 4 = - x 3. La somme des racines d'une telle équation est nulle.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Remplacez l'équation par la formule des racines des équations biquadratiques :

x 1,2,3,4 = ,

sachant que x 1 = -x 2, et x 3 = -x 4, alors :

x 3,4 =

Réponse : x 1,2 = ± 2 ; x 1,2 =

2.7 Étude des équations biquadratiques

Prenons l'équation biquadratique

hache 4 + bx 2 + c = 0,

où a, b, c sont des nombres réels, et a> 0. En introduisant l'inconnue auxiliaire y = x², nous étudions les racines de cette équation, et mettons les résultats dans le tableau (voir Annexe # 1)

2.8 Formule Cardano

Si nous utilisons le symbolisme moderne, alors la dérivation de la formule de Cardano peut ressembler à ceci :

x =

Cette formule définit les racines de l'équation générale du troisième degré :

hache 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Cette formule est très lourde et complexe (elle contient plusieurs radicaux complexes). Il ne s'applique pas toujours, car très difficile à remplir.

F (xо) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Listez ou choisissez parmi 2-3 textes les endroits les plus intéressants. Ainsi, nous avons examiné les dispositions générales pour la création et le déroulement des cours au choix, qui seront prises en compte lors de l'élaboration d'un cours au choix en algèbre pour la 9e année « Équations quadratiques et inégalités avec un paramètre ». Chapitre II. Méthodologie de réalisation du cours électif « Équations quadratiques et inégalités avec un paramètre » 1.1. Général...

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Formulation et démonstration du théorème de Vieta pour les équations quadratiques. Le théorème inverse de Vieta. Théorème de Vieta pour les équations cubiques et les équations d'ordre arbitraire.

Équations du second degré

Le théorème de Vieta

Soit et notons les racines de l'équation quadratique réduite
(1) .
Alors la somme des racines est égale au coefficient at, pris avec le signe opposé. Le produit des racines est égal au terme libre :
;
.

Une note sur les racines multiples

Si le discriminant de l'équation (1) est égal à zéro, alors cette équation a une racine. Mais afin d'éviter des formulations lourdes, il est généralement admis que dans ce cas, l'équation (1) a deux racines multiples ou égales :
.

Preuve une

Trouvons les racines de l'équation (1). Pour ce faire, appliquez la formule des racines de l'équation quadratique :
;
;
.

On trouve la somme des racines :
.

Pour trouver un travail, appliquez la formule :
.
Puis

.

Le théorème est prouvé.

Preuve de la seconde

Si les nombres et sont les racines de l'équation quadratique (1), alors
.
Nous élargissons les parenthèses.

.
Ainsi, l'équation (1) prendra la forme :
.
En comparant avec (1) on trouve :
;
.

Le théorème est prouvé.

Le théorème inverse de Vieta

Soit des nombres arbitraires. Alors et sont les racines de l'équation quadratique
,
où
(2) ;
(3) .

Preuve du théorème inverse de Vieta

Considérons l'équation quadratique
(1) .
Nous devons prouver que si et, alors u sont les racines de l'équation (1).

Remplacer (2) et (3) dans (1) :
.
On regroupe les termes du côté gauche de l'équation :
;
;
(4) .

Remplacer dans (4) :
;
.

Remplacer dans (4) :
;
.
L'équation est remplie. Autrement dit, le nombre est la racine de l'équation (1).

Le théorème est prouvé.

Théorème de Vieta pour une équation quadratique complète

Considérons maintenant l'équation quadratique complète
(5) ,
où, et il y a quelques chiffres. De plus.

Divisons l'équation (5) par :
.
C'est-à-dire que nous avons l'équation réduite
,
où ; ...

Alors le théorème de Vieta pour l'équation quadratique complète a la forme suivante.

Soit et notons les racines de l'équation quadratique complète
.
Ensuite, la somme et le produit des racines sont déterminés par les formules :
;
.

Théorème de Vieta pour l'équation cubique

De la même manière, nous pouvons établir des connexions entre les racines d'une équation cubique. Considérons l'équation cubique
(6) ,
où,,, sont des nombres. De plus.
Divisons cette équation en :
(7) ,
où , , .
Soit,, les racines de l'équation (7) (et de l'équation (6)). Puis

.

En comparant avec l'équation (7), nous trouvons :
;
;
.

Théorème de Vieta pour une équation de degré n

De la même manière, vous pouvez trouver des liens entre les racines,, ...,, pour une équation du nième degré
.

Le théorème de Vieta pour une équation du nième degré a la forme suivante :
;
;
;

.

Pour obtenir ces formules, nous écrivons l'équation sous la forme suivante :
.
Ensuite, nous assimilons les coefficients à,,, ..., et comparons le terme libre.

Les références:
DANS. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements techniques, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algèbre : un manuel pour les établissements d'enseignement de 8e année, Moscou, Éducation, 2006.

En mathématiques, il existe des techniques spéciales avec lesquelles de nombreuses équations quadratiques sont résolues très rapidement et sans aucun discriminant. De plus, avec une formation appropriée, beaucoup commencent à résoudre des équations quadratiques oralement, littéralement « à première vue ».

Malheureusement, dans le cours moderne de mathématiques scolaires, ces technologies ne sont presque pas étudiées. Mais il faut savoir ! Et aujourd'hui, nous examinerons l'une de ces techniques - le théorème de Vieta. Tout d'abord, introduisons une nouvelle définition.

Une équation quadratique de la forme x 2 + bx + c = 0 est dite réduite. Veuillez noter que le coefficient pour x 2 est 1. Il n'y a pas d'autres restrictions sur les coefficients.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 est l'équation quadratique réduite ;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - également donné ;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - mais ceci n'est pas affiché, puisque le coefficient en x 2 est 2.

Bien sûr, toute équation quadratique de la forme ax 2 + bx + c = 0 peut être réduite - il suffit de diviser tous les coefficients par le nombre a. Nous pouvons toujours le faire, car il résulte de la définition d'une équation quadratique que a 0.

Certes, ces transformations ne seront pas toujours utiles pour trouver des racines. Un peu plus tard, nous nous assurerons que cela ne doit être fait que lorsque dans l'équation au carré finale tous les coefficients sont entiers. Pour l'instant, considérons les exemples les plus simples :

Tâche. Convertissez l'équation quadratique en une équation réduite :

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ;
2. -4x 2 + 32x + 16 = 0 ;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

Divisez chaque équation par le coefficient de la variable x 2. On a:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - tout divisé par 3;
2. -4x 2 + 32x + 16 = 0 x 2 - 8x - 4 = 0 - divisé par -4 ;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 x 2 + 5x + 2 = 0 - divisé par 1,5, tous les coefficients sont devenus entiers ;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 = 0 - divisé par 2. Dans ce cas, des coefficients fractionnaires sont apparus.

Comme vous pouvez le voir, les équations quadratiques données peuvent avoir des coefficients entiers même dans le cas où l'équation d'origine contenait des fractions.

Nous allons maintenant formuler le théorème principal, pour lequel, en fait, le concept d'équation quadratique réduite a été introduit :

Le théorème de Vieta. Considérons une équation quadratique réduite de la forme x 2 + bx + c = 0. Supposons que cette équation a des racines réelles x 1 et x 2. Dans ce cas, les affirmations suivantes sont vraies :

1. x 1 + x 2 = -b. En d'autres termes, la somme des racines de l'équation quadratique donnée est égale au coefficient de la variable x, prise avec le signe opposé ;
2. x 1 x 2 = env. Le produit des racines d'une équation quadratique est égal au coefficient libre.

Exemples. Pour simplifier, nous ne considérerons que les équations quadratiques réduites qui ne nécessitent pas de transformations supplémentaires :

1. x 2 - 9x + 20 = 0 x 1 + x 2 = - (−9) = 9 ; x 1 x 2 = 20 ; racines : x 1 = 4 ; x 2 = 5 ;
2. x 2 + 2x - 15 = 0 x 1 + x 2 = -2; x 1 x 2 = -15 ; racines : x 1 = 3 ; x 2 = -5 ;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 x 1 + x 2 = -5 ; x 1 x 2 = 4 ; racines : x 1 = -1 ; x 2 = -4.

Le théorème de Vieta nous donne des informations supplémentaires sur les racines d'une équation quadratique. À première vue, cela peut sembler intimidant, mais même avec une formation minimale, vous apprendrez à « voir » les racines et à les deviner littéralement en quelques secondes.

Tâche. Résoudre l'équation quadratique :

1. x 2 - 9x + 14 = 0 ;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 ;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 ;
4. -7x 2 + 77x - 210 = 0.

Essayons d'écrire les coefficients selon le théorème de Vieta et "deviner" les racines :

1. x 2 - 9x + 14 = 0 est l'équation quadratique réduite.
   Par le théorème de Vieta on a : x 1 + x 2 = - (- 9) = 9 ; x 1 · x 2 = 14. Il est facile de voir que les racines sont les nombres 2 et 7 ;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - également donné.
   Par le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = - (- 12) = 12 ; x 1 x 2 = 27. D'où les racines : 3 et 9 ;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - cette équation n'est pas réduite. Mais nous allons maintenant corriger cela en divisant les deux membres de l'équation par le coefficient a = 3. Nous obtenons : x 2 + 11x + 10 = 0.
   Résoudre par le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = −11 ; x 1 x 2 = 10 racines : -10 et -1 ;
4. -7x 2 + 77x - 210 = 0 - encore une fois le coefficient en x 2 n'est pas égal à 1, c'est-à-dire équation non donnée. Divisez le tout par le nombre a = -7. On obtient : x 2 - 11x + 30 = 0.
   Par le théorème de Vieta : x 1 + x 2 = - (- 11) = 11 ; x 1 x 2 = 30 ; à partir de ces équations, il est facile de deviner les racines : 5 et 6.

A partir du raisonnement ci-dessus, on peut voir comment le théorème de Vieta simplifie la solution des équations quadratiques. Pas de calculs compliqués, pas de racines et fractions arithmétiques. Et nous n'avons même pas eu besoin du discriminant (voir la leçon "Résoudre des équations quadratiques").

Bien entendu, dans toutes nos réflexions, nous sommes partis de deux hypothèses importantes, qui, d'une manière générale, ne sont pas toujours remplies dans les problèmes réels :

1. L'équation quadratique est réduite, c'est-à-dire le coefficient en x 2 est 1 ;
2. L'équation a deux racines distinctes. Du point de vue de l'algèbre, dans ce cas le discriminant D> 0 - en fait, on suppose d'abord que cette inégalité est vraie.

Cependant, dans les problèmes mathématiques typiques, ces conditions sont remplies. Si les calculs aboutissent à une « mauvaise » équation quadratique (le coefficient en x 2 est différent de 1), il est facile de la corriger - jetez un œil aux exemples au tout début de la leçon. Je suis généralement muet sur les racines : quel est ce problème auquel il n'y a pas de réponse ? Bien sûr, il y aura des racines.

Ainsi, régime général La solution des équations quadratiques par le théorème de Vieta est la suivante :

1. Réduisez l'équation quadratique à l'équation réduite, si cela n'a pas déjà été fait dans l'énoncé du problème ;
2. Si les coefficients de l'équation quadratique donnée s'avèrent fractionnaires, nous résolvons à travers le discriminant. Vous pouvez même revenir à l'équation d'origine pour travailler avec des nombres plus « pratiques » ;
3. Dans le cas des coefficients entiers, on résout l'équation par le théorème de Vieta ;
4. Si en quelques secondes il n'était pas possible de deviner les racines, nous martelons le théorème de Vieta et résolvons à travers le discriminant.

Tâche. Résolvez l'équation : 5x 2 - 35x + 50 = 0.

Donc, devant nous se trouve une équation qui ne se réduit pas, car coefficient a = 5. Divisez le tout par 5, on obtient : x 2 - 7x + 10 = 0.

Tous les coefficients de l'équation quadratique sont entiers - essayons de le résoudre par le théorème de Vieta. On a : x 1 + x 2 = - (- 7) = 7 ; x 1 · x 2 = 10. Dans ce cas, les racines sont faciles à deviner - ce sont 2 et 5. Il n'est pas nécessaire de compter à travers le discriminant.

Tâche. Résoudre l'équation : -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Regardez : -5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - cette équation n'est pas réduite, on divise les deux côtés par le coefficient a = -5. On obtient : x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - une équation à coefficients fractionnaires.

Il vaut mieux revenir à l'équation d'origine et compter à travers le discriminant : −5x 2 + 8x - 2,4 = 0 D = 8 2 - 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 = 0,4.

Tâche. Résolvez l'équation : 2x 2 + 10x - 600 = 0.

Tout d'abord, divisons le tout par le coefficient a = 2. Nous obtenons l'équation x 2 + 5x - 300 = 0.

Cette équation réduite, d'après le théorème de Vieta, on a : x 1 + x 2 = −5 ; x 1 x 2 = -300. Il est difficile de deviner les racines de l'équation quadratique dans ce cas - personnellement, je me suis sérieusement "bloqué" lorsque je résolvais ce problème.

Il va falloir chercher les racines à travers le discriminant : D = 5 2 - 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2. Si vous ne vous souvenez pas de la racine du discriminant, je noterai simplement que 1225 : 25 = 49. Par conséquent, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2.

Maintenant que la racine du discriminant est connue, il ne sera pas difficile de résoudre l'équation. On obtient : x 1 = 15 ; x 2 = -20.

Le théorème de Vieta (plus précisément, le théorème inverse du théorème de Vieta) permet de réduire le temps de résolution des équations quadratiques. Il faut juste savoir s'en servir. Comment apprendre à résoudre des équations quadratiques en utilisant le théorème de Vieta ? Ce n'est pas difficile, si vous réfléchissez un peu.

Nous ne parlerons maintenant que de la solution de l'équation quadratique réduite selon le théorème de Vieta.L'équation quadratique réduite est une équation dans laquelle a, c'est-à-dire le coefficient devant x², est égal à un. Il est également possible de résoudre des équations quadratiques non réduites en utilisant le théorème de Vieta, mais là déjà au moins une des racines n'est pas un entier. Il est plus difficile de les deviner.

Le théorème inverse au théorème de Vieta dit : si les nombres x1 et x2 sont tels que

alors x1 et x2 sont les racines de l'équation quadratique

Lors de la résolution d'une équation quadratique selon le théorème de Vieta, seules 4 options sont possibles. Si vous vous souvenez du raisonnement, vous pouvez apprendre très rapidement à trouver des racines entières.

I. Si q est un nombre positif,

cela signifie que les racines x1 et x2 sont des nombres du même signe (puisque ce n'est que lorsque la multiplication des nombres avec le même signe est un nombre positif).

I.a. Si -p est un nombre positif, (respectivement, p<0), то оба корня x1 и x2 — nombres positifs(puisqu'ils ont ajouté des nombres du même signe et ont obtenu un nombre positif).

I.b. Si -p est négatif, (respectivement, p> 0), alors les deux racines sont des nombres négatifs (en additionnant des nombres de même signe, on obtient un nombre négatif).

II. Si q est négatif,

cela signifie que les racines x1 et x2 ont des signes différents (lors de la multiplication des nombres, un nombre négatif n'est obtenu que si les signes des facteurs sont différents). Dans ce cas, x1 + x2 n'est plus une somme, mais une différence (après tout, en additionnant des nombres avec différents signes nous soustrayons le plus petit du plus grand). Par conséquent, x1 + x2 montre à quel point une racine diffère de x1 et x2, c'est-à-dire de combien une racine est plus grande que l'autre (modulo).

II.a. Si -p est un nombre positif, (c'est-à-dire p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Si -p est négatif, (p> 0), alors la plus grande racine (modulo) est un nombre négatif.

Considérons la solution des équations quadratiques par le théorème de Vieta à l'aide d'exemples.

Résoudre l'équation quadratique réduite par le théorème de Vieta :

Ici q = 12> 0, donc les racines x1 et x2 sont des nombres de même signe. Leur somme est -p = 7> 0, donc les deux racines sont des nombres positifs. Nous sélectionnons des nombres entiers dont le produit est 12. Ce sont 1 et 12, 2 et 6, 3 et 4. La somme est 7 pour une paire de 3 et 4. Donc, 3 et 4 sont les racines de l'équation.

V cet exemple q = 16> 0, ce qui signifie que les racines x1 et x2 sont des nombres de même signe. Leur somme -p = -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Ici q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, alors le plus grand nombre est positif. Les racines sont donc 5 et -3.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.