Dans cet article, nous allons comprendre ce qui est diplôme de. Ici, nous donnerons des définitions du degré d'un nombre, en considérant en détail tous les exposants possibles du degré, en commençant par un exposant naturel, en terminant par un irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes couvrant toutes les subtilités qui se présentent.

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Degré avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons avec . Pour l'avenir, disons que la définition du degré de a d'exposant naturel n est donnée pour a , que nous appellerons base de diplôme, et n , que nous appellerons exposant. Notez également que le degré avec un indicateur naturel est déterminé par le produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez avoir une idée de la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance du nombre a avec exposant naturel n est une expression de la forme a n , dont la valeur est égale au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a , c'est-à-dire .
En particulier, le degré d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner immédiatement les règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire l'entrée a n est : "a à la puissance n". Dans certains cas, de telles options sont également acceptables : "a à la puissance n" et "puissance n du nombre a". Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est "huit puissance douze", ou "huit puissance douzième", ou "puissance douzième huit".

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle le carré d'un nombre, par exemple, 7 2 se lit comme "sept au carré" ou "carré du nombre sept". La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombre de cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme "cinq cubes" ou dire "cube du nombre 5".

Il est temps d'apporter exemples de diplômes avec indicateurs physiques. Commençons par la puissance de 5 7 , où 5 est la base de la puissance et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9 .

Attention, dans le dernier exemple, la base du degré 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les écarts, on prendra entre parenthèses toutes les bases du degré qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des indicateurs naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté à ce stade, nous allons montrer la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3 . L'expression (−2) 3 est la puissance de −2 d'exposant naturel 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour le degré de a avec un exposant n de la forme a^n . De plus, si n est un nombre naturel multivalué, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici d'autres exemples d'écriture de degrés en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation du degré de la forme a n .

L'un des problèmes, inverse de l'exponentiation avec un exposant naturel, est le problème de trouver la base du degré à partir d'une valeur connue du degré et d'un exposant connu. Cette tâche conduit à .

On sait que beaucoup nombres rationnels se compose de nombres entiers et de nombres fractionnaires, chacun nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons défini le degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, afin de compléter la définition du degré avec indicateur rationnel, vous devez donner la signification du degré du nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons-le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété de degré dans un degré reste valide, l'égalité doit être vraie . Si l'on tient compte de l'égalité résultante et de la façon dont on a défini , alors il est logique d'accepter, à condition que pour m, n et a donnés, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valables pour as (ceci est fait dans la section sur les propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si pour m, n et a donnés l'expression a un sens, alors la puissance du nombre a avec un exposant fractionnaire m / n est la racine du nième degré de a à la puissance m.

Cette déclaration nous rapproche de la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire pour quels m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m , n et a, il existe deux approches principales.

Le moyen le plus simple de contraindre a est de supposer a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (car m≤0 n'a pas de puissance de 0 m). Ensuite, nous obtenons la définition suivante du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n un entier naturel, est appelée la racine du nième du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

Le degré fractionnaire de zéro est également défini avec la seule mise en garde que l'exposant doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant positif fractionnaire m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas défini, c'est-à-dire le degré de zéro avec une fraction indicateur négatif n'a pas de sens.

Il faut noter qu'avec une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire, il y a une nuance : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a du sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0 . Par exemple, il est logique d'écrire ou , et la définition ci-dessus nous oblige à dire que degrés avec un exposant fractionnaire de la forme n'ont pas de sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer le degré avec un exposant fractionnaire m / n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : le degré du nombre a, dont l'exposant est , est considéré comme le degré du nombre a, dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (l'importance de cette condition sera expliquée plus loin). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (la racine d'un degré pair d'un nombre négatif n'a pas de sens), pour m négatif, le nombre a doit toujours être non nul (sinon division par zéro se produira). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être n'importe quoi (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous conduit à une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un entier naturel. Pour toute fraction ordinaire réductible, le degré est remplacé par . La puissance de a avec un exposant fractionnaire irréductible m / n est pour



Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissions simplement le degré comme , et ne faisions pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m / n , alors nous rencontrerions des situations similaires à la suivante : puisque 6/10=3/5 , alors l'égalité , mais , un .

PARTIE II. CHAPITRE 6
SÉQUENCES DE CHIFFRES

La notion de degré avec un exposant irrationnel

Soit a un nombre positif et a un nombre irrationnel.
Quel sens faut-il donner à l'expression a* ?
Pour rendre la présentation plus illustrative, nous la réaliserons sur un
Exemple. A savoir, posons a - 2 et a = 1, 624121121112. . . .
Ici, un - infini décimal, compilé selon
loi : à partir de la quatrième décimale, pour l'image a
seuls les chiffres 1 et 2 sont utilisés, et en même temps le nombre de chiffres 1,
écrit dans une rangée avant le chiffre 2, tout le temps augmente de
une. La fraction a est non périodique, car sinon le nombre de chiffres est 1,
enregistrées à la suite à son image seraient limitées.
Donc a est un nombre irrationnel.
Quel est donc le sens de l'expression
21, in2Sh1Sh1Sh11Sh11Sh. . . R
Pour répondre à cette question, nous composons des séquences de valeurs
et avec déficit et excès jusqu'à (0,1)*. Obtenir
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
On compose les suites correspondantes de puissances du nombre 2 :
2M. 2M* ; 21*624 ; 21'62*1 ; …, (3)
21D. 21"63 ; 2*»62Vu 21,6Sh; . (quatre)
La suite (3) est croissante car la suite
(1) (Théorème 2 § 6).
La suite (4) est décroissante car la suite
(2).
Chaque membre de la suite (3) est inférieur à chaque membre de la suite
(4), et donc la suite (3) est bornée
d'en haut, et la séquence (4) est délimitée d'en bas.
Basé sur le théorème de séquence bornée monotone
chacune des séquences (3) et (4) a une limite. Si un

384 Le concept de degré avec un exposant irrationnel . .

maintenant, il s'avère que la différence des séquences (4) et (3) converge
à zéro, alors il s'ensuivra que ces deux séquences,
ont une limite commune.
Différence des premiers termes des suites (3) et (4)
21-7 - 21'* = 2|, dans (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Différence des seconds termes
21'63 - 21.62 = 21.62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Différence des n-ièmes termes
0,0000. ..0 1
2>.««…(2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Basé sur le Théorème 3 § 6
lim 10″ / 2 = 1.
Les séquences (3) et (4) ont donc une limite commune. Cette
limite est le seul nombre réel supérieur à
tous les membres de la séquence (3) et moins que tous les membres de la séquence
(4), et il convient de le considérer comme la valeur exacte de 2*.
De ce qui a été dit, il s'ensuit qu'il est généralement conseillé de prendre
la définition suivante :
Définition. Si a > 1, alors la puissance de a avec irrationnel
l'exposant a est un tel nombre réel,
qui est plus grand que toutes les puissances de ce nombre dont les exposants sont
approximations rationnelles a avec un inconvénient, et moins que toutes les puissances
ce nombre, dont les exposants sont des approximations rationnelles a c
excès.
Si un<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
on appelle un nombre réel qui est supérieur à toutes les puissances
ce nombre, dont les exposants sont des approximations rationnelles a
en excès, et en deçà de toutes les puissances de ce nombre, dont les indicateurs
sont des approximations rationnelles a avec un inconvénient.
.Si a - 1, alors son degré avec un exposant irrationnel a
est 1.
En utilisant le concept de limite, cette définition peut être formulée
Alors:
Puissance d'un nombre positif avec un exposant irrationnel
et s'appelle la limite vers laquelle tend la suite
puissances rationnelles de ce nombre, pourvu que la suite
les indicateurs de ces degrés tendent vers a, c'est-à-dire
aa = lim ah
b- *
13 D, K. Fatshcheev, I. S. Sominsky

Degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.

Expression un n défini pour tout a et n, sauf dans le cas a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont vraies :

UNE m * une n = une m + n ; un m: un n \u003d un m-n (un ≠ 0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n * b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m > a n pour a> 1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette sous-section, nous généralisons la notion de puissance d'un nombre en donnant un sens à des expressions comme 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition telle que les puissances à exposants rationnels aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la puissance n du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété

(une p) q = une pq

est effectué, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la racine nième) que le nombredoit être la nième racine de a m.

Définition.

Le degré de a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier, et n est un entier naturel (n> 1), est le nombre

Donc par définition

(1)

La puissance de 0 n'est définie que pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.

Degré avec un exposant irrationnel.

nombre irrationnelpeut être représenté commelimite d'une suite de nombres rationnels: .

Laisser . Ensuite, il y a des puissances avec un exposant rationnel. On peut montrer que la suite de ces puissances est convergente. La limite de cette suite est appelée degré avec base et exposant irrationnel: .

Traçons plusieurs points du graphique de la fonction y \u003d 2 X ayant préalablement calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 X sur l'intervalle [-2 ; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b) En poursuivant mentalement les mêmes constructions avec un pas de 1/16, 1/32 , etc., on voit que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qu'il est naturel de considérer comme le graphique d'une fonction, déjà définie et croissante sur toute la droite numérique et prenant les valeursà des points rationnels(Fig. 1, c). Ayant suffisamment construit grand nombre points du graphique de la fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent qu'il est possible de définir les nombres 2 et pour tout irrationnel α tel que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y \u003d 2 X augmente, et la fonctiondiminue le long de la droite numérique entière.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a α pour α irrationnel pour a>1. On veut s'assurer que la fonction y = a X augmentait. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choix des valeurs r 1 et r2 en approchant de x, on voit que les valeurs correspondantes de a r 1 et un r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et de plus un seul, un nombre y supérieur à tout a r1 pour tout r rationnel 1 et moins que tous a r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est, par définition, un α .

Par exemple, avoir calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 x aux points x n et x` n , où x n et x` n - approximations décimales d'un nombreon trouve que plus x est proche n et x` n à , moins ils diffèrent 2 x n et 2 x` n .

Depuis

et donc,

De même, en considérant les approximations décimales suivantespar carence et excès, on arrive aux relations

;

;

;

;

.

Sens calculé sur la calculatrice est :

.

Le nombre un α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.

Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y=une X, qui est différent de la constante. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle avec socleun.

y= un Xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base fonction exponentielle y= un Xà 0< un < 1:

• La portée de la fonction est toute la droite numérique.
• Gamme de fonctions - étendue (0; + ) .
• La fonction est strictement croissante sur la droite des nombres entiers, c'est-à-dire si X 1 < x 2 , alors un x 1 > un x 2 .
• À X= 0 la valeur de la fonction est 1.
• Si un X> 0 , puis 0< un < 1 et si X < 0, то un x > 1.
À les propriétés générales fonction exponentielle comme at0< a < 1, так и при a > 1 sont :
• un X 1 un X 2 = un X 1 + X 2 , pour tout le monde X 1 et X 2.
• un −x= ( un X) − 1 = 1 unX pour tout le monde X.
• nun X= un

Degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.

Expression un n défini pour tout a et n, sauf dans le cas a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont vraies :

UNE m * une n = une m + n ; un m: un n \u003d un m-n (un ≠ 0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n * b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m > a n pour a> 1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette sous-section, nous généralisons la notion de puissance d'un nombre en donnant un sens à des expressions comme 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition telle que les puissances à exposants rationnels aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la puissance n du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété

(une p) q = une pq

est effectué, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la racine nième) que le nombredoit être la nième racine de a m.

Définition.

Le degré de a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier, et n est un entier naturel (n> 1), est le nombre

Donc par définition

(1)

La puissance de 0 n'est définie que pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.

Degré avec un exposant irrationnel.

nombre irrationnelpeut être représenté commelimite d'une suite de nombres rationnels: .

Laisser . Ensuite, il y a des puissances avec un exposant rationnel. On peut montrer que la suite de ces puissances est convergente. La limite de cette suite est appelée degré avec base et exposant irrationnel: .

Traçons plusieurs points du graphique de la fonction y \u003d 2 X ayant préalablement calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 X sur l'intervalle [-2 ; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b) En poursuivant mentalement les mêmes constructions avec un pas de 1/16, 1/32 , etc., on voit que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qu'il est naturel de considérer comme le graphique d'une fonction, déjà définie et croissante sur toute la droite numérique et prenant les valeursà des points rationnels(Fig. 1, c). Ayant construit un nombre suffisamment grand de points du graphe de la fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent qu'il est possible de définir les nombres 2 et pour tout irrationnel α tel que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y \u003d 2 X augmente, et la fonctiondiminue le long de la droite numérique entière.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a α pour α irrationnel pour a>1. On veut s'assurer que la fonction y = a X augmentait. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choix des valeurs r 1 et r2 en approchant de x, on voit que les valeurs correspondantes de a r 1 et un r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et de plus un seul, un nombre y supérieur à tout a r1 pour tout r rationnel 1 et moins que tous a r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est, par définition, un α .

Par exemple, avoir calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 x aux points x n et x` n , où x n et x` n - approximations décimales d'un nombreon trouve que plus x est proche n et x` n à , moins ils diffèrent 2 x n et 2 x` n .

Depuis

et donc,

De même, en considérant les approximations décimales suivantespar carence et excès, on arrive aux relations

;

;

;

;

.

Sens calculé sur la calculatrice est :

.

Le nombre un α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.

Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y=une X, qui est différent de la constante. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle avec socleun.

y= un Xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base de la fonction exponentielle y= un Xà 0< un < 1:

• La portée de la fonction est toute la droite numérique.
• Gamme de fonctions - étendue (0; + ) .
• La fonction est strictement croissante sur la droite des nombres entiers, c'est-à-dire si X 1 < x 2 , alors un x 1 > un x 2 .
• À X= 0 la valeur de la fonction est 1.
• Si un X> 0 , puis 0< un < 1 et si X < 0, то un x > 1.
Aux propriétés générales de la fonction exponentielle comme at0< a < 1, так и при a > 1 sont :
• un X 1 un X 2 = un X 1 + X 2 , pour tout le monde X 1 et X 2.
• un −x= ( un X) − 1 = 1 unX pour tout le monde X.
• nun X= un

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(3/5) -1 une 1 3 1/2 (4/9) 0 une *81 (1/2) -3 une -n ​​36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

Expression 2 x 2 2 = 4 2 5 = = = 1/2 4 = 1/16 2 4/3 = 32 4 = 0,5 = 1/2 3,5 = 1/2 7= 1/(8 2) = 2/ 16 2)=

3=1, … 1 ; 1,7 1,73 ; 1,732 ; 1,73205 ; 1, ;… la suite augmente 2 1 ; 2 1,7 ; 2 1,73 ; 2 1,732 ; 2 1,73205 ; 2 1, ;… la suite augmente Limitée, ce qui signifie qu'elle converge vers une limite - valeur 2 3

On peut définir π 0

10 10 18 Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="(!LANG : Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 21

La quantité d'informations double tous les 10 ans Sur l'axe Ox - selon la loi de progression arithmétique : 1,2,3,4…. Sur l'axe des ordonnées - conformément à la loi progression géométrique: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Le graphe d'une fonction exponentielle, on l'appelle l'exposant (du latin exponere - afficher)