Comment trouver le multiplicateur exponentiel. Progressions arithmétiques et géométriques

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Progression arithmétique

Progression arithmétique une séquence est appelée, dont chaque membre, en commençant par le second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

une 1 , une 2 , une 3 , . . . , un, . . .

est une progression arithmétique si pour tout nombre naturel m la condition est remplie :

un +1 = un + ré,

où ré - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre le terme suivant et le terme précédent du terme donné progression arithmétique toujours constant :

un 2 - une 1 = un 3 - une 2 = . . . = un +1 - un = ré.

Nombre ré sont appelés différence de progression arithmétique.

Pour fixer une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et sa différence.

Par exemple,

si une 1 = 3, ré = 4 , alors les cinq premiers membres de la séquence se trouvent comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + ré = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + ré= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + ré= 11 + 4 = 15,

une 5 = une 4 + ré= 15 + 4 = 19. ◄

Pour la progression arithmétique avec le premier terme une 1 et la différence ré sa m

un = un 1 + (m- 1)ré.

Par exemple,

trouver le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, ré = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (m- 2)ré,

un= un 1 + (m- 1)ré,

un +1 = une 1 + sd,

alors évidemment

un=	un n-1 + un n + 1
	2

chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par exemple,

un = 2m- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

un = 2m- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2m- 9,

un n+1 = 2(n + 1) - 7 = 2m- 5.

D'où,

un n + 1 + un n-1	=	2m- 5 + 2m- 9	= 2m- 7 = un,
2		2

◄

Noter que m -ème terme de la progression arithmétique peut être trouvé non seulement par une 1 , mais aussi tout précédent un k

un = un k + (m- k)ré.

Par exemple,

pour une 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4ré,

un 5 = un 2 + 3ré,

un 5 = un 3 + 2ré,

un 5 = un 4 + ré. ◄

un = un n-k + kd,

un = un n + k - kd,

alors évidemment

un=	une n-k + un n + k
	2

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la demi-somme des membres de cette progression arithmétique également espacés d'elle.

De plus, pour toute progression arithmétique, l'égalité est vraie :

un m + un n = un k + un l,

m + n = k + l.

Par exemple,

en progression arithmétique

1) une 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (une 9 + une 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7ré= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, car

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 +. ... ...+ un,

la première m membres de la progression arithmétique est égal au produit de la demi-somme des termes extrêmes par le nombre de termes :

D'où, en particulier, il s'ensuit que s'il est nécessaire de sommer les termes

un k, un k +1 , . . . , un,

alors la formule précédente conserve sa structure :

Par exemple,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les valeurs une 1 , un, ré, m etS m lié par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une suite monotone. Où:

si ré > 0 , alors il augmente ;
si ré < 0 , alors il est décroissant ;
si ré = 0 , alors la séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique une séquence est appelée, dont chaque membre, en commençant par le second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel m la condition est remplie :

b n +1 = b n · q,

où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du membre suivant d'une progression géométrique donnée au précédent est un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombre q sont appelés dénominateur de la progression géométrique.

Pour fixer une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

Par exemple,

si b 1 = 1, q = -3 , alors les cinq premiers membres de la séquence se trouvent comme suit :

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et le dénominateur q sa m Le e terme peut être trouvé par la formule :

b n = b 1 · qn -1 .

Par exemple,

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

alors évidemment

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

chaque membre d'une progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque la déclaration inverse est également vraie, la déclaration suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par exemple,

montrons que la suite donnée par la formule b n= -3 2 m , est une progression exponentielle. Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

b n= -3 2 m,

b n -1 = -3 2 m -1 ,

b n +1 = -3 2 m +1 .

D'où,

b n 2 = (-3 2 m) 2 = (-3 2 m -1 ) (-3 2 m +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ce qui prouve la déclaration requise. ◄

Noter que m -ème terme de la progression géométrique peut être trouvé non seulement par b 1 , mais aussi tout terme précédent b k , pour laquelle il suffit d'utiliser la formule

b n = b k · qn - k.

Par exemple,

pour b 5 peut être écrit

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · qk,

alors évidemment

b n 2 = b n - k· b n + k

le carré de tout membre d'une progression géométrique, à partir de la seconde, est égal au produit des membres de cette progression équidistants de celle-ci.

De plus, pour toute progression géométrique, l'égalité est vraie :

b m· b n= b k· b l,

m+ m= k+ je.

Par exemple,

exponentiellement

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , car

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

la première m membres d'une progression géométrique avec le dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les termes

b k, b k +1 , . . . , b n,

alors la formule est utilisée :

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Par exemple,

exponentiellement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les valeurs b 1 , b n, q, m et S n lié par deux formules :

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et le dénominateur q ce qui suit propriétés de monotonie :

la progression est ascendante si l'une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 et q> 1;

b 1 < 0 et 0 < q< 1;

la progression est décroissante si l'une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 et 0 < q< 1;

b 1 < 0 et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est alternée : ses membres impairs ont le même signe que son premier terme, et les termes pairs ont le signe opposé. Il est clair qu'une progression géométrique alternée n'est pas monotone.

Le travail du premier m les membres d'une progression géométrique peuvent être calculés par la formule :

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) m / 2 .

Par exemple,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique décroissante à l'infini

Une progression géométrique infiniment décroissante est appelée une progression géométrique infinie, dont le module du dénominateur est inférieur 1 , C'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique infiniment décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. Cela correspond au cas

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est alternée. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est le nombre auquel la somme du premier m membres de la progression avec une augmentation illimitée du nombre m ... Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Par exemple,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Regardons juste deux exemples.

une 1 , une 2 , une 3 , . . . ré , alors

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .

Par exemple,

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique avec différence 2 et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q , alors

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

Par exemple,

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6 et

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progression arithmétique avec différence lg 6 . ◄

Les mathématiques sont par lesquellesles gens contrôlent la nature et eux-mêmes.

Mathématicien soviétique, académicien A.N. Kolmogorov

Progression géométrique.

Outre les problèmes de progression arithmétique, les problèmes liés au concept de progression géométrique sont également courants dans les examens d'entrée en mathématiques. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, vous devez connaître les propriétés d'une progression géométrique et avoir de bonnes compétences pour les utiliser.

Cet article est consacré à la présentation des propriétés de base d'une progression géométrique. Il fournit également des exemples de résolution de tâches typiques., empruntés aux devoirs des examens d'entrée en mathématiques.

Tout d'abord, nous notons les principales propriétés d'une progression géométrique et rappelons les formules et les déclarations les plus importantes, liés à cette notion.

Définition. Une suite numérique est appelée progression géométrique si chacun de ses nombres, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Le nombre est appelé le dénominateur de la progression géométrique.

Pour une progression géométriqueles formules sont valables

, (1)

où . La formule (1) est appelée la formule du terme général d'une progression géométrique, et la formule (2) est la propriété principale d'une progression géométrique : chaque terme de la progression coïncide avec la moyenne géométrique de ses membres voisins et.

Noter, que c'est précisément à cause de cette propriété que la progression considérée est dite « géométrique ».

Les formules (1) et (2) ci-dessus se généralisent comme suit :

, (3)

Pour calculer le montant la première membres d'une progression géométriquela formule est appliquée

Si on note, alors

où . Puisque, alors la formule (6) est une généralisation de la formule (5).

Dans le cas où et, progression géométriqueest infiniment décroissant. Pour calculer le montantde tous les membres d'une progression géométrique infiniment décroissante, la formule est utilisée

. (7)

Par exemple , en utilisant la formule (7), on peut montrer, Quel

où . Ces égalités sont obtenues à partir de la formule (7) à condition que, (première égalité) et, (deuxième égalité).

Théorème. Si donc

Preuve. Si donc,

Le théorème est prouvé.

Passons à l'examen d'exemples de résolution de problèmes sur le thème "Progression géométrique".

Exemple 1.Étant donné :, et. Trouve .

Solution. Si nous appliquons la formule (5), alors

Réponse: .

Exemple 2. Laissez et. Trouve .

Solution. Depuis et, nous allons utiliser les formules (5), (6) et obtenir le système d'équations

Si la deuxième équation du système (9) est divisée par la première, puis ou. Il s'ensuit donc et ... Considérons deux cas.

1. Si, alors à partir de la première équation du système (9) on a.

2. Si, alors.

Exemple 3. Laissez, et. Trouve .

Solution. De la formule (2), il résulte que ou. Depuis, alors ou.

Par condition. Toutefois donc. Depuis et, alors nous avons ici le système d'équations

Si la deuxième équation du système est divisée par la première, alors ou.

Depuis, l'équation a une seule racine appropriée. Dans ce cas, il découle de la première équation du système.

En tenant compte de la formule (7), on obtient.

Réponse: .

Exemple 4. Donné : et. Trouve .

Solution. Depuis.

Depuis, soit

D'après la formule (2), on a. À cet égard, à partir de l'égalité (10), nous obtenons ou.

Cependant, par condition, donc.

Exemple 5. Il est connu que . Trouve .

Solution. D'après le théorème, on a deux égalités

Depuis, alors ou. Depuis.

Réponse: .

Exemple 6. Donné : et. Trouve .

Solution. En tenant compte de la formule (5), on obtient

Depuis. Depuis, et puis.

Exemple 7. Laissez et. Trouve .

Solution. D'après la formule (1), on peut écrire

Par conséquent, nous avons ou. Il est connu que et, par conséquent, et.

Réponse: .

Exemple 8. Trouver le dénominateur d'une progression géométrique infinie décroissante si

et .

Solution. De la formule (7) il résulte et ... A partir de cela et de la condition du problème, on obtient le système d'équations

Si la première équation du système est au carré, puis diviser l'équation résultante par la deuxième équation, alors on obtient

Ou .

Réponse: .

Exemple 9. Trouvez toutes les valeurs pour lesquelles la séquence,, est une progression géométrique.

Solution. Laissez, et. Selon la formule (2), qui définit la propriété principale d'une progression géométrique, vous pouvez écrire ou.

De là on obtient l'équation quadratique, dont les racines sont et .

Vérifions si, puis, et ; si, alors, et.

Dans le premier cas, on a et, et dans le second - et.

Réponse: , .

Exemple 10.Résous l'équation

, (11)

où et.

Solution. Le côté gauche de l'équation (11) est la somme d'une progression géométrique infinie décroissante, dans laquelle et, sous réserve de : et.

De la formule (7) il résulte, Quel ... À cet égard, l'équation (11) prend la forme ou ... Racine appropriée équation quadratique est un

Réponse: .

Exemple 11. N.-É. suite de nombres positifsforme une progression arithmétique, une - progression géométrique, qu'est-ce que cela a à voir avec . Trouve .

Solution. Parce que séquence arithmétique, alors (la propriété principale de la progression arithmétique). Dans la mesure où, puis ou. Cela implique , que la progression géométrique a la forme... Selon la formule (2), puis nous l'écrivons.

Depuis et puis ... Dans ce cas, l'expression prend la forme ou. Par condition, donc de l'équationon a seule décision le problème à l'étude, c'est à dire. ...

Réponse: .

Exemple 12. Calculer le montant

. (12)

Solution. On multiplie les deux côtés de l'égalité (12) par 5 et on obtient

Si on soustrait de l'expression obtenue (12), alors

ou .

Pour calculer, on substitue les valeurs dans la formule (7), et on obtient. Depuis.

Réponse: .

Les exemples de résolution de problèmes donnés ici seront utiles aux candidats en vue des examens d'entrée. Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution de problèmes, lié de façon exponentielle, peut être utilisé tutoriels de la liste de la littérature recommandée.

1. Recueil de problèmes de mathématiques pour les candidats aux collèges techniques / Ed. MI. Skanavi. - M. : Paix et Education, 2013 .-- 608 p.

2. Suprun V.P. Mathématiques pour les lycéens : sections complémentaires programme scolaire... - M. : Lenand / URSS, 2014 .-- 216 p.

3. Medynsky M.M. Cours complet mathématiques élémentaires dans les tâches et les exercices. Livre 2 : Suite de nombres et progressions. - M. : Edithus, 2015 .-- 208 p.

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Ce nombre est appelé le dénominateur de la progression géométrique, c'est-à-dire que chaque terme diffère du précédent de q fois. (Nous supposerons que q 1, sinon tout est trop trivial). Il est facile de voir que la formule générale du n-ième terme de la progression géométrique est b n = b 1 q n - 1; les termes avec les nombres b n et b m diffèrent q n - m fois.

Déjà là L'Egypte ancienne connaissait non seulement l'arithmétique, mais aussi la progression géométrique. Par exemple, voici un problème du papyrus de Rynd : « Sept visages ont sept chats chacun ; chaque chat mange sept souris, chaque souris mange sept oreilles, chaque oreille peut faire pousser sept mesures d'orge. Quelle est la taille des nombres de cette série et leur somme ?"

Riz. 1. L'ancien problème égyptien de la progression géométrique

Cette tâche a été répétée plusieurs fois avec des variations différentes parmi d'autres peuples à d'autres moments. Par exemple, dans l'écrit au XIIIe siècle. "Le Livre de l'Abacus" de Léonard de Pise (Fibonacci) a un problème dans lequel il y a 7 vieilles femmes se dirigeant vers Rome (évidemment des pèlerins), dont chacune a 7 mules, dont chacune a 7 sacs, dont chacun a 7 pains, dont chacun a 7 couteaux, dont chacun est dans 7 fourreaux. Le problème demande combien d'éléments il y a.

La somme des n premiers termes de la progression géométrique S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). Cette formule peut être prouvée, par exemple, comme suit : S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Ajoutez à S n le nombre b 1 q n et obtenez :

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn - 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn –1) q = b 1 + S nq.

D'où S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), et on obtient la formule recherchée.

Déjà sur l'une des tablettes d'argile de l'ancienne Babylone, datant du 6ème siècle. avant JC e., contient la somme 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Certes, comme dans un certain nombre d'autres cas, nous ne savons pas comment ce fait était connu des Babyloniens .

La croissance rapide de la progression géométrique dans un certain nombre de cultures, en particulier indienne, est utilisée à plusieurs reprises comme symbole visuel de l'immensité de l'univers. Dans la légende bien connue de l'émergence des échecs, le seigneur donne à son inventeur la possibilité de choisir lui-même la récompense, et il demande la quantité de grains de blé qui sera obtenue si l'on est mis sur la première cellule de l'échiquier, deux sur le deuxième, quatre sur le troisième, huit sur le quatrième et ainsi de suite, chaque fois que le nombre double. Vladyka pensait que ça arrive, tout au plus, environ quelques sacs, mais il a mal calculé. Il est facile de voir que pour les 64 cases de l'échiquier, l'inventeur aurait dû recevoir (2 64 - 1) grain, qui s'exprime par un nombre à 20 chiffres ; même si toute la surface de la Terre était semée, il faudrait au moins 8 ans pour récolter la quantité de grains requise. Cette légende est parfois interprétée comme indiquant les possibilités presque illimitées cachées dans le jeu d'échecs.

Il est facile de voir que ce numéro est bien composé de 20 chiffres :

2 64 = 2 4 (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6 ∙ 10 19 (un calcul plus précis donne 1,84 ∙ 10 19). Mais je me demande si vous pouvez trouver par quel chiffre ce nombre se termine ?

La progression géométrique est croissante si le dénominateur est supérieur à 1 en valeur absolue, ou décroissante s'il est inférieur à un. Dans ce dernier cas, le nombre q n pour n suffisamment grand peut devenir arbitrairement petit. Alors qu'une progression géométrique croissante augmente de manière inattendue rapidement, une progression décroissante diminue tout aussi rapidement.

Plus n est grand, plus le nombre qn est différent de zéro, et plus la somme des n termes de la progression géométrique S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q) est proche du nombre S = b 1 / ( 1-q). (C'est ainsi que raisonnait F. Viet, par exemple). Le nombre S est appelé somme d'une progression géométrique infiniment décroissante. Néanmoins, pendant de nombreux siècles, la question de savoir quel est le sens de la sommation de la progression géométrique ENTIÈRE, avec son nombre infini de termes, n'était pas assez claire pour les mathématiciens.

Une progression géométrique décroissante peut être observée, par exemple, dans les apories de Zénon « Halving » et « Achille et la tortue ». Dans le premier cas, il est clairement montré que la route entière (suppose de longueur 1) est la somme d'un nombre infini de segments 1/2, 1/4, 1/8, etc. du point de vue du concept de progression géométrique infinie en somme finie. Et pourtant - comment cela peut-il être?

Riz. 2. Progression avec un facteur 1/2

Dans l'aporie sur Achille, la situation est un peu plus compliquée, puisqu'ici le dénominateur de la progression est égal non pas à 1/2, mais à un autre nombre. Supposons, par exemple, qu'Achille court à une vitesse v, qu'une tortue se déplace à une vitesse u et que la distance initiale entre eux soit l. Achille parcourra cette distance dans le temps l/v, la tortue se déplacera d'une distance lu/v pendant ce temps. Lorsqu'Achille parcourt ce segment, la distance entre lui et la tortue deviendra égale à l (u / v) 2, etc. Il s'avère que rattraper la tortue revient à trouver la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante avec le premier terme l et le dénominateur u / v. Cette somme - le segment qu'Achille finira par parcourir jusqu'à l'endroit où il rencontre la tortue - est égale à l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Mais, encore une fois, comment ce résultat doit-il être interprété et pourquoi cela a-t-il un sens ? Longtemps ce n'était pas très clair.

Riz. 3. Progression géométrique avec un facteur 2/3

La somme d'une progression géométrique a été utilisée par Archimède pour déterminer l'aire d'un segment de parabole. Soit le segment donné de la parabole délimité par la corde AB et soit la tangente au point D de la parabole parallèle à AB. Soit C le milieu de AB, E le milieu de AC, F le milieu de CB. Tracez des lignes droites parallèles à DC passant par les points A, E, F, B ; soit la tangente tracée au point D, ces droites se coupent aux points K, L, M, N. Dessinons également les segments AD et DB. Soit la droite EL coupe la droite AD au point G, et la parabole au point H ; la ligne FM coupe la ligne DB au point Q et la parabole au point R. D'après la théorie générale des sections coniques, DC est le diamètre d'une parabole (c'est-à-dire un segment parallèle à son axe) ; lui et la tangente au point D peuvent servir d'axes de coordonnées x et y, dans lesquels l'équation de la parabole est écrite comme y 2 = 2px (x est la distance de D à n'importe quel point d'un diamètre donné, y est la longueur d'un parallèle à une ligne tangente donnée de ce point de diamètre à un certain point sur la parabole elle-même).

En vertu de l'équation de la parabole, DL 2 = 2 p LH, DK 2 = 2 ∙ p KA, et puisque DK = 2DL, alors KA = 4LH. Puisque KA = 2LG, LH = HG. L'aire du segment de la parabole ADB est égale à l'aire du triangle ΔADB et aux aires des segments AHD et DRB combinées. À son tour, l'aire du segment AHD est égale à l'aire du triangle AHD et des segments restants AH et HD, avec chacun desquels vous pouvez effectuer la même opération - diviser en un triangle (Δ) et deux segments restants (), etc. :

L'aire du triangle ΔAHD est égale à la moitié de l'aire du triangle ΔALD (ils ont une base commune AD et les hauteurs diffèrent de 2 fois), qui, à son tour, est égale à la moitié de l'aire du triangle ΔAKD, et donc la moitié de l'aire du triangle ΔACD. Ainsi, l'aire du triangle AHD est égale au quart de l'aire du triangle ACD. De même, l'aire du triangle ΔDRB est égale au quart de l'aire du triangle ΔDFB. Ainsi, les aires des triangles AHD et ΔDRB, prises ensemble, sont égales au quart de l'aire du triangle ADB. La répétition de cette opération appliquée aux segments AH, HD, DR et RB en sélectionnera également des triangles dont l'aire, prise ensemble, sera 4 fois inférieure à l'aire des triangles ΔAHD et ΔDRB pris ensemble, ce qui signifie 16 fois moins que l'aire du triangle ADB. Etc:

Ainsi, Archimède a prouvé que « chaque segment compris entre une ligne droite et une parabole est les quatre tiers d'un triangle de même base et de même hauteur ».

La progression géométrique, avec l'arithmétique, est une série de nombres importante qui est étudiée dans cours d'école algèbre en 9e année. Dans cet article, nous examinerons le dénominateur d'une progression géométrique et comment sa valeur affecte ses propriétés.

Définition d'une progression géométrique

Pour commencer, donnons la définition de cette série de nombres. Une telle série est appelée progression géométrique. nombres rationnels, qui est formé en multipliant séquentiellement son premier élément par un nombre constant appelé dénominateur.

Par exemple, les nombres de la ligne 3, 6, 12, 24, ... sont une progression géométrique, car si vous multipliez 3 (le premier élément) par 2, vous obtenez 6. Si vous multipliez 6 par 2, vous obtenez 12, et ainsi de suite.

Les membres de la séquence considérée sont généralement désignés par le symbole ai, où i est un entier indiquant le numéro d'un élément dans la ligne.

La définition ci-dessus d'une progression peut être écrite en langage mathématique comme suit : an = bn-1 * a1, où b est le dénominateur. Il est facile de vérifier cette formule : si n = 1, alors b1-1 = 1, et on obtient a1 = a1. Si n = 2, alors an = b * a1, et nous revenons à la définition de la série de nombres considérée. Un raisonnement similaire peut être poursuivi pour grandes valeurs n.m.

Dénominateur de la progression géométrique

Le nombre b détermine complètement le caractère de toute la série de nombres. Le dénominateur b peut être positif, négatif ou supérieur à un ou inférieur. Toutes ces options conduisent à des séquences différentes :

b> 1. Il existe une série croissante de nombres rationnels. Par exemple, 1, 2, 4, 8, ... Si l'élément a1 est négatif, alors toute la séquence n'augmentera qu'en valeur absolue, mais diminuera en tenant compte du signe des nombres.
b = 1. Un tel cas n'est souvent pas appelé une progression, car il existe une série ordinaire de nombres rationnels identiques. Par exemple, -4, -4, -4.

Formule pour le montant

Avant de procéder à l'examen tâches spécifiques en utilisant le dénominateur du type de progression considéré, une formule importante doit être donnée pour la somme de ses n premiers éléments. La formule est : Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Vous pouvez obtenir cette expression vous-même si vous considérez une séquence récursive de membres de la progression. Notez également que dans la formule ci-dessus, il suffit de ne connaître que le premier élément et le dénominateur pour trouver la somme nombre arbitraire membres.

Suite infiniment décroissante

Ci-dessus a été donné une explication de ce que c'est. Maintenant, connaissant la formule de Sn, appliquez-la à cette série de nombres. Puisque tout nombre dont le module ne dépasse pas 1, lorsqu'il est élevé à de grands degrés tend vers zéro, c'est-à-dire b∞ => 0, si -1

Puisque la différence (1 - b) sera toujours positive, quelle que soit la valeur du dénominateur, le signe de la somme de la progression infiniment décroissante de la géométrique S∞ est uniquement déterminé par le signe de son premier élément a1.

Nous allons maintenant considérer plusieurs tâches, où nous montrerons comment appliquer les connaissances acquises sur des nombres spécifiques.

Problème numéro 1. Calcul des éléments inconnus de la progression et de la somme

On vous donne une progression géométrique, le dénominateur de la progression est 2, et son premier élément est 3. Quels seront ses 7e et 10e termes, et quelle est la somme de ses sept éléments initiaux ?

La condition du problème est composée assez simplement et implique l'utilisation directe des formules ci-dessus. Ainsi, pour calculer l'élément de numéro n, nous utilisons l'expression an = bn-1 * a1. Pour le 7ème élément on a : a7 = b6 * a1, en substituant les données connues, on obtient : a7 = 26 * 3 = 192. On fait de même pour le 10ème terme : a10 = 29 * 3 = 1536.

Utilisons la formule bien connue de la somme et déterminons cette valeur pour les 7 premiers éléments de la série. On a : S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problème numéro 2. Détermination de la somme des éléments arbitraires de la progression

Soit -2 le dénominateur de la progression exponentielle bn-1 * 4, où n est un entier. Il faut déterminer le montant du 5e au 10e élément de cette série, inclusivement.

Le problème posé ne peut pas être résolu directement à l'aide de formules connues. Vous pouvez le résoudre avec 2 différentes méthodes... Par souci d'exhaustivité, nous présentons les deux.

Méthode 1. Son idée est simple : il faut calculer les deux sommes correspondantes des premiers termes, puis soustraire l'autre de l'un. Nous calculons le plus petit montant : S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Calculons maintenant la grande somme : S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Notez que dans la dernière expression, seuls 4 termes ont été additionnés, puisque le 5ème est déjà inclus dans la somme qu'il faut calculer selon la condition du problème. Enfin, prenez la différence : S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Méthode 2. Avant de substituer des nombres et de compter, vous pouvez obtenir une formule pour la somme entre les membres m et n de la série en question. Nous faisons exactement la même chose que dans la méthode 1, sauf que nous travaillons d'abord avec la représentation symbolique de la somme. On a : Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Dans l'expression résultante, vous pouvez substituer des nombres connus et calculer le résultat final : S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.

Problème numéro 3. Quel est le dénominateur ?

Soit a1 = 2, trouvez le dénominateur de la progression géométrique, pourvu que sa somme infinie soit 3, et on sait qu'il s'agit d'une suite décroissante de nombres.

Par la condition du problème, il est facile de deviner quelle formule doit être utilisée pour le résoudre. Bien sûr, car la somme de la progression est infiniment décroissante. On a : S∞ = a1 / (1 - b). D'où on exprime le dénominateur : b = 1 - a1 / S∞. Il reste à substituer les valeurs connues et obtenir le nombre recherché : b = 1 - 2/3 = -1/3 ou -0,333 (3). Ce résultat peut être vérifié qualitativement si l'on rappelle que pour ce type de séquence le module b ne doit pas dépasser 1. Comme vous pouvez le voir, |-1 / 3 |

Problème numéro 4. Récupérer une série de nombres

Soit 2 éléments d'une série numérique, par exemple, le 5ème est égal à 30 et le 10ème est égal à 60. Il faut reconstituer toute la série à partir de ces données, sachant qu'elle satisfait aux propriétés d'une progression géométrique.

Pour résoudre le problème, vous devez d'abord écrire l'expression correspondante pour chaque membre connu. On a : a5 = b4 * a1 et a10 = b9 * a1. Maintenant, nous divisons la deuxième expression par la première, nous obtenons : a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. À partir de là, nous déterminons le dénominateur en prenant la cinquième racine du rapport des termes connus à partir de la condition du problème, b = 1,148698. Nous substituons le nombre résultant dans l'une des expressions de l'élément connu, nous obtenons : a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.

Ainsi, nous avons trouvé quel est le dénominateur de la progression bn, et la progression géométrique bn-1 * 17,2304966 = an, où b = 1,148698.

Où sont utilisées les progressions géométriques ?

S'il n'y avait pas d'application pratique de cette série de nombres, alors son étude se réduirait à un intérêt purement théorique. Mais il existe une telle application.

Voici les 3 exemples les plus connus :

Le paradoxe de Zénon, dans lequel l'Achille intelligent ne peut pas rattraper la tortue lente, est résolu en utilisant le concept d'une suite de nombres infiniment décroissante.
Si vous placez des grains de blé sur chaque carré de l'échiquier de sorte que 1 grain soit mis sur le 1er carré, 2 - le 2ème, 3 - le 3ème, et ainsi de suite, alors 18446744073709551615 grains sont nécessaires pour remplir tous les carrés du planche!
Dans le jeu Tour de Hanoï, pour réarranger les disques d'une tige à l'autre, il est nécessaire d'effectuer 2n - 1 opérations, c'est-à-dire que leur nombre croît de manière exponentielle avec le nombre de disques n utilisés.

La formule du nième terme d'une progression géométrique est très simple. Tant dans le sens que dans l'apparence générale. Mais il y a toutes sortes de problèmes sur la formule du n-ième terme - des très primitifs aux très sérieux. Et dans le processus de notre connaissance, nous considérerons certainement les deux. Eh bien, faisons connaissance ?)

Donc, pour commencer lui-même formulem

Elle est là:

b n = b 1 · qn -1

Formule comme formule, rien de surnaturel. Il semble encore plus simple et plus compact qu'une formule similaire pour. Le sens de la formule est aussi simple, comme une botte de feutre.

Cette formule vous permet de trouver N'IMPORTE QUEL membre d'une progression géométrique PAR SON NOMBRE " m".

Comme vous pouvez le voir, le sens est une analogie complète avec une progression arithmétique. Nous connaissons le nombre n - nous pouvons également calculer le terme sous ce nombre. Ce que nous voulons. Sans multiplier séquentiellement par "q" plusieurs fois. Exactement.)

Je comprends qu'à ce niveau de travail avec des progressions toutes les valeurs incluses dans la formule devraient déjà vous être claires, mais je considère qu'il est de mon devoir de déchiffrer chacune. Au cas où.

Alors allons-y:

b 1 – premier un membre d'une progression géométrique;

q – ;

m- numéro de membre;

b n – nième (me) un membre d'une progression géométrique.

Cette formule relie les quatre paramètres principaux de toute progression géométrique - bm, b 1 , q et m... Et autour de ces quatre chiffres clés, tournent tous les problèmes dans la progression.

« Comment s'affiche-t-il ? »- J'entends une question curieuse... Élémentaire ! Voir!

Qu'est-ce qui est égal à seconde membre de la progression ? Aucun problème! On écrit directement :

b 2 = b 1 q

Et le troisième mandat ? Pas de problème non plus ! On multiplie le deuxième terme une fois de plus surq.

Comme ça:

B 3 = b 2 q

Rappelons maintenant que le second terme, à son tour, est égal à b 1 q et nous substituons cette expression dans notre égalité :

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

On a:

B 3 = b 1 q 2

Lisons maintenant notre entrée en russe : troisième terme est égal au premier terme fois q dans seconde degré. Tu as compris? Pas encore? Bon, encore un pas.

Quel est le quatrième terme ? Tous les mêmes! Multiplier précédent(c'est-à-dire le troisième terme) par q :

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Le total:

B 4 = b 1 q 3

Et encore une fois, nous traduisons en russe : Quatrième terme est égal au premier terme fois q dans troisième degré.

Etc. Alors comment ? Vous avez un modèle ? Oui! Pour tout terme avec n'importe quel nombre, le nombre de facteurs identiques q (c'est-à-dire le degré du dénominateur) sera toujours un de moins que le nombre du terme requism.

Par conséquent, notre formule sera, sans options :

b n =b 1 · qn -1

C'est tout ce qu'on peut en dire.)

Eh bien, résolvons les problèmes, probablement ?)

Résoudre les problèmes de formulemmembre d'une progression géométrique.

Commençons, comme d'habitude, par appliquer directement la formule. Voici un problème typique :

On sait exponentiellement que b 1 = 512 et q = -1/2. Trouvez le dixième terme de la progression.

Bien sûr, ce problème peut être résolu sans aucune formule. Directement au sens d'une progression géométrique. Mais il faut s'échauffer avec la formule du énième mandat, non ? Alors on se réchauffe.

Nos données pour appliquer la formule sont les suivantes.

Le premier terme est connu. C'est 512.

b 1 = 512.

Le dénominateur de la progression est également connu : q = -1/2.

Il ne reste plus qu'à déterminer quel est le numéro du membre n. Aucun problème! Sommes-nous intéressés par le dixième mandat? Nous substituons donc dix au lieu de n dans la formule générale.

Et nous comptons avec précision l'arithmétique:

Réponse 1

Comme vous pouvez le voir, le dixième terme de la progression s'est avéré être un moins. Pas étonnant : le dénominateur de la progression est -1/2, c'est-à-dire négatif numéro. Et cela nous dit que les signes de notre progression alternent, oui.)

Tout est simple ici. Et voici une tâche similaire, mais un peu plus compliquée en termes de calculs.

On sait exponentiellement que :

b 1 = 3

Trouvez le treizième terme de la progression.

Tout est pareil, seulement cette fois le dénominateur de la progression est irrationnel... La racine de deux. Eh bien, ça va. La formule est une chose universelle, elle fait face à tous les nombres.

Nous travaillons directement selon la formule :

La formule, bien sûr, a fonctionné comme il se doit, mais... c'est là que certains vont geler. Que faire ensuite avec la racine ? Comment élever la racine à la puissance douzième ?

Comment-comment... Vous devez comprendre que toute formule, bien sûr, est une bonne chose, mais la connaissance de toutes les mathématiques précédentes n'est pas annulée ! Comment construire? Oui, les propriétés des diplômes à retenir ! Transformons la racine en exposant fractionnaire et - selon la formule d'exponentiation.

Comme ça:

Réponse : 192

Et c'est tout.)

Quelle est la principale difficulté dans l'application directe de la formule à n termes ? Oui! La principale difficulté est travailler avec des diplômes! A savoir - l'exponentiation nombres négatifs, fractions, racines et autres. Alors ceux qui ont des problèmes avec ça, nous vous exhortons à répéter les degrés et leurs propriétés ! Sinon, vous ralentirez dans ce sujet, oui...)

Résolvons maintenant les problèmes de recherche typiques l'un des éléments de la formule si tous les autres sont donnés. Pour la solution réussie de tels problèmes, la recette est uniforme et terriblement simple - écrire la formulemmembre en vue générale! Juste dans le cahier à côté de la condition. Et puis, à partir de la condition, nous découvrons ce qui nous a été donné et ce qui manque. Et on exprime à partir de la formule la valeur requise... Tout!

Par exemple, une telle tâche inoffensive.

Le cinquième terme d'une progression géométrique de dénominateur 3 est 567. Trouvez le premier terme de cette progression.

Rien de compliqué. Nous travaillons directement par le sort.

On écrit la formule du nième terme !

b n = b 1 · qn -1

Qu'est-ce qui nous a été donné? Tout d'abord, le dénominateur de la progression est donné : q = 3.

De plus, on nous donne cinquième mandat: b 5 = 567 .

Tout? Non! On nous donne aussi le numéro n ! C'est un cinq : n = 5.

J'espère que vous comprenez déjà ce qu'il y a dans l'enregistrement b 5 = 567 deux paramètres sont cachés à la fois - c'est le cinquième terme lui-même (567) et son numéro (5). Dans une leçon similaire sur, j'en ai déjà parlé, mais je pense qu'il n'est pas superflu de vous le rappeler ici.)

Maintenant, nous substituons nos données dans la formule :

567 = b 1 · 3 5-1

Nous considérons l'arithmétique, simplifions et obtenons un simple équation linéaire:

81 b 1 = 567

On résout et on obtient :

b 1 = 7

Comme vous pouvez le voir, il n'y a aucun problème pour trouver le premier membre. Mais en cherchant le dénominateur q et des nombres m il peut y avoir des surprises. Et vous devez également vous y préparer (pour les surprises), oui.)

Par exemple, ce problème :

Le cinquième terme de la progression géométrique avec un dénominateur positif est 162, et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Cette fois, on nous donne les premier et cinquième termes, et on nous demande de trouver le dénominateur de la progression. Alors, commençons.

On écrit la formuleme membre !

b n = b 1 · qn -1

Nos données initiales seront les suivantes :

b 5 = 162

b 1 = 2

m = 5

Pas assez de sens q... Aucun problème! Maintenant, nous allons le trouver.) Nous substituons tout ce que nous savons dans la formule.

On a:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Une simple équation du quatrième degré. Mais maintenant - soigneusement! A ce stade de la solution, de nombreux étudiants extraient immédiatement joyeusement la racine (quatrième degré) et obtiennent une réponse. q=3 .

Comme ça:

q 4 = 81

q = 3

Mais en fait, c'est une réponse inachevée. Plus précisément, incomplet. Pourquoi? Le fait est que la réponse est q = -3 convient aussi : (-3) 4 sera 81 aussi !

Ceci est dû au fait que l'équation de puissance xn = une a toujours deux racines opposéesà mêmem . Avec plus et moins :

Les deux conviennent.

Par exemple, résoudre (c'est-à-dire seconde degré)

x 2 = 9

Pour une raison quelconque, vous n'êtes pas surpris de l'apparence deux racines x = ± 3? Voici la même chose. Et avec n'importe quel autre même degré (quatrième, sixième, dixième, etc.) sera le même. Détails - dans le sujet sur

C'est pourquoi bonne solution serait comme ça :

q 4 = 81

q= ± 3

D'accord, nous avons découvert les signes. Lequel est correct - plus ou moins ? Eh bien, nous relisons l'état du problème à la recherche de Information additionnelle. Bien sûr, il n'est peut-être pas là, mais dans cette tâche, de telles informations disponible. Dans notre condition, il est dit en clair qu'une progression est donnée avec un dénominateur positif.

La réponse est donc évidente :

q = 3

Tout est simple ici. Que pensez-vous que ce serait si l'énoncé du problème était comme ceci :

Le cinquième terme de la progression géométrique est 162, et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Quelle est la différence? Oui! À la condition rien le signe du dénominateur n'est pas mentionné. Ni directement ni indirectement. Et ici la tâche aurait déjà deux solution !

q = 3 et q = -3

Oui oui! Et avec plus et moins.) Mathématiquement, ce fait signifierait qu'il y a deux progressions qui correspondent à l'état du problème. Et pour chacun - son propre dénominateur. Pour le plaisir, entraînez-vous et écrivez les cinq premiers termes de chacun.)

Entraînons-nous maintenant à trouver le numéro de membre. C'est la tâche la plus difficile, oui. Mais aussi plus créatif.)

Une progression géométrique est donnée :

3; 6; 12; 24; …

Quel est le nombre 768 dans cette progression ?

La première étape est toujours la même : écrire la formuleme membre !

b n = b 1 · qn -1

Et maintenant, comme d'habitude, nous y substituons les données que nous connaissons. Euh... pas substitué ! Où est le premier terme, où est le dénominateur, où est tout le reste ?!

Où, où... Et pourquoi avons-nous besoin d'yeux ? Battez vos cils ? Cette fois la progression nous est donnée directement sous la forme séquence. Voir le premier terme ? Nous voyons! C'est un triple (b 1 = 3). Et le dénominateur ? On ne le voit pas encore, mais c'est très facile à compter. Si, bien sûr, vous comprenez.

Alors on compte. Directement au sens d'une progression géométrique : on prend n'importe lequel de ses membres (sauf le premier) et on divise par le précédent.

Au moins comme ça :

q = 24/12 = 2

Que savons-nous d'autre? On connaît aussi un certain membre de cette progression, égal à 768. Sous un certain nombre n :

b n = 768

Nous ne connaissons pas son numéro, mais notre tâche est précisément de le trouver.) Nous cherchons donc. Nous avons déjà téléchargé toutes les données nécessaires à la substitution dans la formule. À mon insu.)

On remplace donc :

768 = 3,2m -1

Nous faisons des éléments élémentaires - nous divisons les deux parties en trois et réécrivons l'équation sous la forme habituelle: l'inconnu à gauche, le connu - à droite.

On a:

2 m -1 = 256

Voici une équation intéressante. Vous devez trouver "n". Qu'est-ce qui est inhabituel ? Oui, je ne discute pas. En fait, c'est le plus simple. On l'appelle ainsi parce que l'inconnu (en dans ce cas Ce nombre m) se tient dans indicateur degré.

Au stade de la connaissance d'une progression géométrique (c'est la neuvième année), on n'apprend pas à résoudre les équations exponentielles, oui ... C'est un sujet pour le lycée. Mais il n'y a rien de terrible. Même si vous ne savez pas comment de telles équations sont résolues, nous essaierons de trouver notre m guidé par une logique simple et le bon sens.

On commence à raisonner. Sur la gauche nous avons un deux jusqu'à un certain point... On ne sait pas encore ce qu'est exactement ce diplôme, mais ce n'est pas bien grave. Mais d'un autre côté, nous savons fermement que ce degré est égal à 256 ! Nous nous rappelons donc dans quelle mesure deux nous donnent 256. Vous vous souvenez ? Oui! V huitième degré!

256 = 2 8

Si vous ne vous souvenez pas ou avec la reconnaissance des degrés du problème, alors tout va bien : nous élevons simplement les deux séquentiellement à un carré, à un cube, au quatrième degré, au cinquième, et ainsi de suite. La sélection, en effet, mais à ce niveau est assez bonne.

D'une manière ou d'une autre, on obtient :

2 m -1 = 2 8

m-1 = 8

m = 9

Donc 768 est neuvième un membre de notre progression. Ça y est, le problème est résolu.)

Réponse : 9

Quoi? Ennuyeuse? Fatigué des trucs élémentaires? Se mettre d'accord. Moi aussi. Passons au niveau suivant.)

Des tâches plus difficiles.

Et maintenant, nous résolvons les problèmes de manière plus abrupte. Pas vraiment super cool, mais ils ont encore un peu de travail à faire pour trouver la réponse.

Par exemple, ceci.

Trouvez le deuxième terme de la progression géométrique si le quatrième terme est -24 et le septième terme est 192.

C'est un classique du genre. Deux membres différents de la progression sont connus, mais un autre membre doit être trouvé. De plus, tous les membres ne sont PAS voisins. Ce qui est gênant au début, oui...

Comme dans, nous examinerons deux façons de résoudre de tels problèmes. La première méthode est universelle. Algébrique. Fonctionne parfaitement avec toutes les données sources. Par conséquent, nous commencerons par lui.)

Nous écrivons chaque terme selon la formule me membre !

Tout est exactement comme avec une progression arithmétique. Seulement cette fois nous travaillons avec un autre formule générale. C'est tout.) Mais l'essence est la même : nous prenons et un par un nous substituons nos données initiales dans la formule du n-ième terme. Pour chaque membre - le leur.

Pour le quatrième membre, écrivez :

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Il y a. Une équation est prête.

Pour le septième membre, on écrit :

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Au total, nous avons deux équations pour la même évolution .

Nous collectons le système auprès d'eux :

Malgré son apparence redoutable, le système est assez simple. La solution la plus évidente est la simple substitution. nous exprimons b 1 de l'équation supérieure et substituer dans l'inférieure :

Après avoir bricolé un peu l'équation inférieure (en réduisant les puissances et en divisant par -24), on obtient :

q 3 = -8

Au fait, vous pouvez arriver à la même équation d'une manière plus simple ! Comment? Maintenant, je vais vous montrer un autre secret, mais très beau, puissant et moyen utile solutions de systèmes similaires. De tels systèmes dans les équations desquels siègent fonctionne seulement. Au moins un. Appelé méthode de division des termes une équation à l'autre.

Alors, devant nous se trouve le système :

Dans les deux équations de gauche - travail et sur la droite est juste un nombre. C'est très bon signe.) Prenons et... divisons, disons, l'équation inférieure par l'équation supérieure ! Que signifie, diviser une équation par une autre ? Très simple. Nous prenons côté gauche une équation (inférieure) et diviser elle sur côté gauche une autre équation (en haut). Le côté droit est similaire : côté droit une équation diviser au côté droit un autre.

L'ensemble du processus de division ressemble à ceci :

Or, ayant réduit tout ce qui est réduit, on obtient :

q 3 = -8

Pourquoi cette méthode est-elle bonne ? Oui, le fait que dans le processus d'une telle division, tout ce qui est mauvais et gênant puisse être réduit en toute sécurité et qu'il reste une équation totalement inoffensive ! C'est pourquoi il est si important d'avoir seulement des multiplications dans au moins une des équations du système. Il n'y a pas de multiplication - il n'y a rien à réduire, oui...

En général, cette méthode (comme beaucoup d'autres façons non triviales de résoudre des systèmes) mérite même une leçon séparée. Je vais certainement l'analyser plus en détail. Un jour…

Cependant, peu importe la façon dont vous résolvez le système, dans tous les cas, nous devons maintenant résoudre l'équation résultante :

q 3 = -8

Pas de problème : extrayez la racine (cubique) et le tour est joué !

Veuillez noter que vous n'avez pas besoin de mettre plus / moins ici lors de l'extraction. Nous avons une racine de degré impaire (troisième). Et la réponse est aussi la même, oui.)

Ainsi, le dénominateur de la progression a été trouvé. Moins deux. Amende! Le processus est en cours.)

Pour le premier terme (disons de l'équation supérieure), nous obtenons :

Amende! Nous connaissons le premier terme, nous connaissons le dénominateur. Et maintenant, nous avons la possibilité de trouver n'importe quel membre de la progression. Y compris le deuxième.)

Pour le deuxième terme, tout est assez simple :

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Réponse : -6

Ainsi, nous avons exposé la manière algébrique de résoudre le problème. Dur? Pas vraiment, je suis d'accord. Long et ennuyeux ? Oui absolument. Mais parfois, vous pouvez réduire considérablement la quantité de travail. Pour cela il y a manière graphique. Bon vieux et familier pour nous.)

Dessiner un problème !

Oui! Exactement. Encore une fois, nous dessinons notre progression sur l'axe des nombres. Il n'est pas nécessaire de suivre une règle, il n'est pas nécessaire de maintenir des intervalles égaux entre les membres (qui, d'ailleurs, ne seront pas les mêmes, puisque la progression est géométrique !), mais simplement schématiquement dessiner notre séquence.

Je l'ai eu comme ça :

Et maintenant, nous regardons l'image et réfléchissons. Combien de facteurs identiques "q" partagent Quatrième et septième membres? C'est vrai, trois !

Par conséquent, nous avons le droit d'écrire:

-24q 3 = 192

Par conséquent, q est maintenant facilement recherché :

q 3 = -8

q = -2

C'est super, le dénominateur est déjà dans notre poche. Et maintenant, regardons à nouveau le tableau : combien de ces dénominateurs se situent entre seconde et Quatrième membres? Deux! Par conséquent, pour enregistrer le lien entre ces termes, le dénominateur sera au carré.

On écrit donc :

b 2 · q 2 = -24 , où b 2 = -24/ q 2

Nous substituons notre dénominateur trouvé dans l'expression pour b 2, comptons et obtenons :

Réponse : -6

Comme vous pouvez le voir, tout est beaucoup plus facile et plus rapide que via le système. De plus, ici, nous n'avons même pas eu besoin de compter le premier terme du tout ! Du tout.)

Voici un moyen simple et intuitif d'éclairer. Mais il a aussi un sérieux inconvénient. Avez-vous deviné? Oui! Cela ne fonctionne que pour des tranches très courtes de la progression. Celles où les distances entre les membres qui nous intéressent ne sont pas très grandes. Mais dans tous les autres cas, il est déjà difficile de faire un dessin, oui... Ensuite, nous résolvons le problème analytiquement, à travers le système.) Et les systèmes sont une chose universelle. Tous les nombres peuvent être traités.

Un autre défi épique :

Le deuxième terme de la progression géométrique est 10 de plus que le premier, et le troisième terme est 30 de plus que le second. Trouvez le dénominateur de la progression.

Qu'est-ce qui est cool ? Pas du tout! Tous les mêmes. Nous traduisons à nouveau l'énoncé du problème en algèbre pure.

1) On écrit chaque terme selon la formule me membre !

Deuxième terme : b 2 = b 1 q

Troisième terme : b 3 = b 1 q 2

2) Nous écrivons la connexion entre les membres à partir de l'énoncé du problème.

Nous lisons la condition : "Le deuxième terme de la progression exponentielle est 10 de plus que le premier." Arrêtez, c'est précieux !

On écrit donc :

b 2 = b 1 +10

Et nous traduisons cette phrase en mathématiques pures :

b 3 = b 2 +30

Nous avons deux équations. Nous les combinons en un système :

Le système a l'air simple. Mais il y a beaucoup d'indices différents pour les lettres. Remplaçons à la place des deuxième et troisième termes de leur expression par le premier terme et le dénominateur ! Est-ce en vain que nous les avons peints ?

On a:

Mais un tel système n'est plus un cadeau, oui... Comment résoudre cela ? Malheureusement, un sort secret universel pour résoudre des problèmes complexes non linéaire il n'y a pas de systèmes en mathématiques et ne peut pas l'être. C'est fantastique! Mais la première chose qui devrait vous venir à l'esprit lorsque vous essayez de mordre une noix aussi dure est d'estimer, mais est-ce qu'une des équations du système se réduit à belle vue, permettant, par exemple, d'exprimer facilement une des variables à travers une autre ?

Estimons donc. La première équation du système est nettement plus simple que la seconde. Nous allons le torturer.) Ne devrions-nous pas essayer à partir de la première équation quelque chose exprimer à travers quelque chose? Puisque nous voulons trouver le dénominateur q, alors il serait plus avantageux pour nous d'exprimer b 1 de l'autre côté q.

Essayons donc de faire cette procédure avec la première équation, en appliquant les bonnes anciennes :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Tout! Nous avons donc exprimé inutile us la variable (b 1) à travers nécessaire(q). Oui, ils n'ont pas reçu l'expression la plus simple. Une certaine fraction... Mais notre système est d'un niveau décent, oui.)

Typique. Nous savons quoi faire.

Nous écrivons ODZ (nécessairement!) :

q ≠ 1

On multiplie le tout par le dénominateur (q-1) et on annule toutes les fractions :

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

On divise tout par dix, on ouvre les crochets, on rassemble tout à gauche :

q 2 – 4 q + 3 = 0

On résout le résultat et on obtient deux racines :

q 1 = 1

q 2 = 3

Il n'y a qu'une dernière réponse : q = 3 .

Réponse : 3

Comme vous pouvez le voir, la façon de résoudre la plupart des problèmes pour la formule du nième terme d'une progression géométrique est toujours la même : lire attentivement condition du problème et, en utilisant la formule du nième terme, on traduit l'ensemble informations utiles en algèbre pure.

À savoir:

1) On écrit séparément chaque terme donné dans le problème par la formulemmembre.

2) À partir de la condition du problème, nous traduisons la connexion entre les termes sous forme mathématique. On compose une équation ou un système d'équations.

3) On résout l'équation résultante ou un système d'équations, on trouve les paramètres inconnus de la progression.

4) En cas de réponse ambiguë, nous lisons attentivement l'état du problème à la recherche d'informations complémentaires (le cas échéant). Nous vérifions également la réponse reçue avec les termes du DLO (le cas échéant).

Et maintenant, listons les principaux problèmes qui conduisent le plus souvent à des erreurs dans le processus de résolution de problèmes sur une progression géométrique.

1. Arithmétique élémentaire. Actions avec des fractions et des nombres négatifs.

2. Si vous rencontrez des problèmes avec au moins un de ces trois points, vous vous tromperez forcément sur ce sujet. Malheureusement... Alors ne soyez pas paresseux et répétez ce qui a été mentionné ci-dessus. Et suivez les liens - allez-y. Parfois, ça aide.)

Formules modifiées et récurrentes.

Examinons maintenant quelques problèmes d'examen typiques avec une présentation moins familière de la condition. Oui, vous l'avez deviné ! ce modifié et récurrent formules du nième terme. Nous avons déjà rencontré de telles formules et travaillé dans une progression arithmétique. Tout est pareil ici. L'essence est la même.

Par exemple, une telle tâche de l'OGE :

La progression géométrique est donnée par la formule b n = 3 2 m ... Trouvez la somme des premier et quatrième membres.

Cette fois, la progression ne nous est pas tout à fait familière. Sous la forme d'une sorte de formule. Et alors? Cette formule - aussi une formuleme membre ! Nous savons tous que la formule du énième terme peut être écrite à la fois sous forme générale, par des lettres, et pour progression spécifique... AVEC spécifique premier terme et dénominateur.

Dans notre cas, en fait, on nous a donné une formule de terme général pour une progression géométrique avec les paramètres suivants :

b 1 = 6

q = 2

Vérifions-le ?) Écrivons la formule du nième terme sous sa forme générale et substituons-la dedans b 1 et q... On a:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2m -1

Simplifiez-le en utilisant la factorisation et les propriétés de puissance pour obtenir :

b n= 6 2m -1 = 3 2 2m -1 = 3 2m -1+1 = 3 2m

Comme vous pouvez le voir, tout est juste. Mais notre objectif avec vous n'est pas de démontrer la dérivation d'une formule spécifique. C'est une parenthèse lyrique. Purement pour la compréhension.) Notre objectif est de résoudre le problème selon la formule qui nous est donnée dans la condition. Catch?) Nous travaillons donc directement avec la formule modifiée.

On compte le premier terme. Remplacer m=1 dans la formule générale :

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Comme ça. Soit dit en passant, je ne serai pas paresseux et j'attirerai encore une fois votre attention sur un bêtisier typique avec le calcul du premier membre. PAS BESOIN de regarder la formule b n= 3 2m, dépêchez-vous immédiatement d'écrire que le premier terme est un triple ! C'est une grossière erreur, oui ...)

Nous allons continuer. Remplacer m=4 et comptez le quatrième terme :

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Et enfin, nous calculons le montant requis:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Réponse : 54

Un autre problème.

La progression géométrique est spécifiée par les conditions :

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Trouvez le quatrième terme de la progression.

Ici, la progression est donnée par une formule récursive. Bien, OK.) Comment travailler avec une telle formule - nous savons aussi.

Alors on agit. Pas à pas.

1) Comptez deux consécutif membre de la progression.

Le premier mandat nous a déjà été attribué. Moins sept. Mais le prochain, deuxième terme, peut être facilement calculé en utilisant la formule récursive. Si vous comprenez comment cela fonctionne, bien sûr.)

On compte donc le deuxième terme selon le premier bien connu :

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) On considère le dénominateur de la progression

Pas de problème non plus. Droit, diviser seconde membre sur premier.

On a:

q = -21/(-7) = 3

3) On écrit la formulem-ème membre sous la forme habituelle et considérer le membre souhaité.

Ainsi, nous connaissons le premier terme, et le dénominateur aussi. On écrit donc :

b n= -7 3m -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Réponse : -189

Comme vous pouvez le voir, travailler avec de telles formules pour une progression géométrique n'est en soi pas différent de celui d'une progression arithmétique. Il est seulement important de comprendre l'essence générale et la signification de ces formules. Eh bien, il faut aussi comprendre le sens de la progression géométrique, oui.) Et puis il n'y aura pas d'erreurs stupides.

Eh bien, résolvons-le nous-mêmes ?)

Tâches assez basiques pour l'échauffement :

1. Une progression géométrique est donnée dans laquelle b 1 = 243, et q = -2/3. Trouvez le sixième terme de la progression.

2. Le terme général de la progression géométrique est donné par la formule b n = 5∙2 m +1 . Trouvez le numéro du dernier terme à trois chiffres de cette progression.

3. La progression géométrique est fixée par les conditions :

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Trouvez le cinquième terme de la progression.

Un peu plus compliqué :

4. Une progression géométrique est donnée :

b 1 =2048; q =-0,5

Quel est le sixième terme négatif ?

Qu'est-ce qui semble super difficile? Pas du tout. Sauvera la logique et la compréhension du sens de la progression géométrique. Eh bien, la formule pour le nième terme, bien sûr.

5. Le troisième terme de la progression géométrique est -14 et le huitième terme est 112. Trouvez le dénominateur de la progression.

6. La somme des premier et deuxième termes de la progression géométrique est 75, et la somme des deuxième et troisième termes est 150. Trouvez le sixième terme de la progression.

Réponses (dans le désarroi) : 6 ; -3888; -1; 800 ; -32 ; 448.

C'est presque tout. Il ne reste plus qu'à apprendre à compter la somme des n premiers termes d'une progression géométrique oui découvrir progression géométrique décroissante à l'infini et son montant. Une chose très intéressante et inhabituelle, soit dit en passant! Plus à ce sujet dans les leçons suivantes.)

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