Progression arithmétique  appelé une suite de nombres (membres d'une progression)

Dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par le terme acier, également appelé différence de pas ou de progression.

Ainsi, fixant l’étape de progression et son premier terme, on peut en trouver un élément quelconque par la formule

Propriétés de la progression arithmétique

1) Chaque membre de la progression arithmétique, à partir du deuxième nombre, correspond à la moyenne arithmétique du membre précédent et du membre suivant de la progression

L'inverse est également vrai. Si la moyenne arithmétique des membres impairs (pairs) voisins de la progression est égale à celle du membre se trouvant entre eux, cette séquence de nombres est une progression arithmétique. Selon cette déclaration, il est très simple de vérifier n’importe quelle séquence.

De plus, par la propriété de progression arithmétique, la formule ci-dessus peut être généralisée à la suivante

C'est facile à voir si vous écrivez les termes à la droite du signe égal

Il est souvent utilisé dans la pratique pour simplifier les calculs dans les tâches.

2) La somme des n premiers membres de la progression arithmétique est calculée par la formule

Rappelez-vous bien la formule pour la somme de la progression arithmétique, elle est indispensable dans les calculs et est assez courante dans les situations simples de la vie.

3) Si vous devez trouver non pas le montant total, mais une partie de la séquence à partir de son kème membre, la formule de somme suivante vous sera utile.

4) Il est d’intérêt pratique de trouver la somme de n membres d’une progression arithmétique à partir du kième nombre. Pour ce faire, utilisez la formule

Ceci conclut le matériel théorique et procède à la solution des problèmes courants dans la pratique.

Exemple 1. Trouve le quarantième terme de la progression arithmétique 4; 7; ...

Solution:

Selon la condition, nous avons

Définir le pas de progression

Par la formule bien connue, nous trouvons le quarantième terme de la progression

Exemple 2 La progression arithmétique est donnée par ses troisième et septième membres. Trouvez le premier membre de la progression et la somme de dix.

Solution:

Nous écrivons les éléments de progression donnés selon les formules

Soustrayez le premier de la deuxième équation, on trouve donc l'étape de progression

Nous substituons la valeur trouvée dans l’une des équations pour trouver le premier terme de la progression arithmétique

Nous calculons la somme des dix premiers membres de la progression

Sans appliquer des calculs complexes, nous avons trouvé toutes les quantités recherchées.

Exemple 3. La progression arithmétique est donnée par le dénominateur et l'un de ses membres. Trouvez le premier membre de la progression, la somme de ses 50 membres à partir de 50 ans et la somme des 100 premiers.

Solution:

Nous écrivons la formule du centième élément de progression

et trouver le premier

Basé sur le premier nous trouvons la progression de 50 termes

Trouver la somme de la partie progression

et la somme des 100 premiers

Le montant de la progression est de 250.

Exemple 4

Trouvez le nombre de membres d'une progression arithmétique si:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

Solution:

Nous écrivons les équations à travers le premier terme et l'étape de progression et les définissons

Remplacez les valeurs obtenues dans la formule de somme pour déterminer le nombre de membres dans le montant

Simplifier

et résoudre l'équation du second degré

Des deux valeurs trouvées, seulement 8 convient à la condition du problème. Ainsi, la somme des huit premiers membres de la progression est de 111.

Exemple 5

Résoudre l'équation

1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.

Solution: Cette équation est la somme d'une progression arithmétique. Nous écrivons son premier terme et trouvons la différence de progression

Si chaque nombre naturel n   correspondre à un nombre réel un n , alors ils disent que c'est donné séquence numérique :

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un n , . . . .

Ainsi, une séquence numérique est fonction d'un argument naturel.

Nombre un 1   sont appelés premier membre de la séquence nombre un 2 — deuxième membre de la séquence nombre un 3 — troisième   et ainsi de suite. Nombre un n   sont appelés nième membre de la séquence et un nombre naturel n — son numéro .

De deux membres voisins un n et un n +1   séquence de membres un n +1   sont appelés subséquente (par rapport à un n ) et un n — précédent (par rapport à un n +1 ).

Pour spécifier une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de rechercher un membre d'une séquence avec un nombre quelconque.

La séquence est souvent définie à l'aide de formules du nième terme , c’est-à-dire une formule qui vous permet de déterminer un membre d’une séquence par son numéro.

Par exemple

une séquence de nombres impairs positifs peut être spécifiée par la formule

un n= 2n -1,

et la séquence d'alternance 1   et -1   - formule

b  n = (-1)  n +1 . ◄

La séquence peut être déterminée formule de récurrence,   c'est-à-dire une formule qui exprime tout membre d'une séquence, en commençant par certains, en passant par les membres précédents (un ou plusieurs).

Par exemple

si un 1 = 1 et un n +1 = un n + 5

un 1 = 1,

un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 ,   les sept premiers membres de la séquence numérique sont alors définis comme suit:

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,

un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être fin et sans fin .

Séquence appelée le nec plus ultra si elle a un nombre fini de membres. Séquence appelée sans fin si elle a une infinité de membres.

Par exemple

séquence de nombres naturels à deux chiffres:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

le nec plus ultra.

Séquence principale:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sans fin. ◄

Séquence appelée croissant si chacun de ses membres, à partir du deuxième, est plus grand que le précédent.

Séquence appelée diminuant si chacun de ses membres, à partir du deuxième, est inférieur au précédent.

Par exemple

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . .   - séquence croissante;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /  n, . . . - séquence décroissante. ◄

Une séquence dont les éléments ne diminuent pas avec l’augmentation du nombre ou, au contraire, n’augmente pas, s’appelle séquence monotone .

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique on appelle une séquence dont chaque membre, à partir du deuxième, est égal au précédent auquel est ajouté le même nombre.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un n, . . .

est une progression arithmétique si pour tout nombre naturel n   la condition est remplie:

un n +1 = un n + d,

où d - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre les membres suivants et précédents d’une progression arithmétique donnée est toujours constante:

un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un n +1 - un n = d.

Nombre d   sont appelés différence de progression arithmétique.

Pour spécifier une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et sa différence.

Par exemple

si un 1 = 3, d = 4 , alors les cinq premiers membres de la séquence se trouvent comme suit:

un 1 =3,

un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,

un 5 = un 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pour la progression arithmétique avec le premier membre un 1 et la différence d elle n

un n = un 1 + (n- 1)d.

Par exemple

on retrouve le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, d = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (n- 2)d

un n= un 1 + (n- 1)d

un n +1 = un 1 + nd,

alors évidemment

chaque membre de la progression arithmétique, à partir du deuxième, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des membres successifs d'une progression arithmétique si et seulement si l'un d'entre eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par exemple

un n = 2n- 7 est une progression arithmétique.

Nous utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

un n = 2n- 7,

un n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

un n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Donc

◄

Notez que n le ième terme de progression arithmétique peut être trouvé non seulement par un 1 mais aussi tout précédent un k

un n = un k + (n- k)d.

Par exemple

pour un 5   peut écrire

un 5 = un 1 + 4d,

un 5 = un 2 + 3d,

un 5 = un 3 + 2d,

un 5 = un 4 + d. ◄

un n = un n-k + kd,

un n = un n + k - kd,

alors évidemment

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moitié de la somme des membres de cette progression arithmétique équidistants.

De plus, pour toute progression arithmétique, l'égalité est la suivante:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Par exemple

en progression arithmétique

1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7d\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, depuis

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

  un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 +. . .+ un n,

le premier n   termes de progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes:

Il en résulte notamment que s’il est nécessaire de faire la somme des termes

un k, un k +1 , . . . , un n,

alors la formule précédente conserve sa structure:

Par exemple

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités un 1 , un n, d, n  etS n liés par deux formules:

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules combinées dans un système de deux équations à deux inconnues.

La progression arithmétique est une séquence monotone. Dans ce cas:

• si d > 0 alors il augmente;
• si d < 0 alors il diminue;
• si d = 0 , alors la séquence sera immobile.

Progression géométrique

Progression géométrique on appelle une séquence dont chaque membre, à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel n   la condition est remplie:

b n +1 = b n · q,

où q ≠ 0   - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du prochain membre de cette progression géométrique au précédent est un nombre constant:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombre q   sont appelés dénominateur de la progression géométrique.

Pour spécifier une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

Par exemple

si b 1 = 1, q = -3 , alors les cinq premiers membres de la séquence se trouvent comme suit:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1   et dénominateur q   elle n membre peut être trouvé par la formule:

b n = b 1 · q n -1 .

Par exemple

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

alors évidemment

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du deuxième, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque l'inverse est également vrai, la déclaration suivante est vraie:

les nombres a, b et c sont des membres successifs d'une certaine progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire si l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par exemple

on prouve que la suite donnée par la formule b n \u003d -3 · 2   n est une progression géométrique. Nous utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:

b n \u003d -3 · 2   n,

b n -1 \u003d -3 · 2   n -1 ,

b n +1 \u003d -3 · 2   n +1 .

Donc

b n 2 \u003d (-3 · 2   n) 2 \u003d (-3 · 2   n -1 ) · (-3 · 2   n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ce qui prouve la déclaration nécessaire. ◄

Notez que n le ième terme de la progression géométrique peut être trouvé non seulement par b 1 mais aussi tout membre précédent b k , pour lequel il suffit d'utiliser la formule

b n = b k · q n -   k.

Par exemple

pour b 5   peut écrire

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n -   k,

b n = b n -   k · q k,

alors évidemment

b n 2 = b n -   k· b n +   k

le carré de tout membre d'une progression géométrique, en commençant par le second, est égal au produit des membres de cette progression équidistants.

De plus, pour toute progression géométrique, l'égalité est vraie:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Par exemple

de manière exponentielle

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , depuis

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

le premier n   dénominateur q ≠ 0   calculé par la formule:

Et quand q = 1   - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les membres

b k, b k +1 , . . . , b n,

alors la formule est utilisée:

Par exemple

de manière exponentielle 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , b n, q, n  et S n liés par deux formules:

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules combinées dans un système de deux équations à deux inconnues.

Pour la progression géométrique avec le premier membre b 1   et dénominateur q   le suivant propriétés de monotonicité :

• la progression augmente si l’une des conditions suivantes est vraie:

b 1 > 0 et q> 1;

b 1 < 0 et 0 < q< 1;

• la progression diminue si l'une des conditions suivantes est vraie:

b 1 > 0 et 0 < q< 1;

b 1 < 0 et q> 1.

Si q< 0 , la progression géométrique est alternée: ses membres avec des nombres impairs ont le même signe que son premier membre et les membres avec des nombres pairs ont le signe opposé. Il est clair que la progression géométrique alternée n’est pas monotone.

Le produit de la première n   termes de progression géométrique peuvent être calculés par la formule:

P n= b 1 ·   b 2 ·   b 3 · . . . ·   b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Par exemple

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique décroissante à l'infini

Progression géométrique décroissante à l'infini   appelée progression géométrique infinie, dont le dénominateur est moins 1 c'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. C'est le cas

1 < q< 0 .

Avec ce dénominateur, la séquence est en alternance. Par exemple

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique décroissante à l'infini appeler le numéro auquel la somme du premier n   membres de la progression avec une augmentation illimitée du nombre n . Ce nombre est toujours fini et est exprimé par la formule

Par exemple

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

La relation des progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Considérons seulement deux exemples.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . d alors

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Par exemple

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique différente 2   et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q alors

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . .   - progression arithmétique différente connecter unq .

Par exemple

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6   et

lg 2, lg 12, lg 72, . . .   - progression arithmétique différente lg 6 . ◄

Avant de commencer à décider   problèmes de progression arithmétiques, considérons ce qu’est une séquence numérique, puisque la progression arithmétique est un cas particulier d’une séquence numérique.

Une séquence numérique est un ensemble numérique dont chaque élément a son propre numéro de série.. Les éléments de cet ensemble sont appelés membres de la séquence. Le numéro de séquence de l'élément de la séquence est indiqué par l'index:

Le premier élément de la séquence;

Le cinquième élément de la séquence;

  - "nième" élément de la séquence, c'est-à-dire article mis en file d'attente n.

Il existe une relation entre la valeur d'un élément de séquence et son numéro de série. Par conséquent, nous pouvons considérer la séquence comme une fonction dont l’argument est le numéro de séquence de l’élément de la séquence. En d'autres termes, on peut dire que séquence est une fonction d'un argument naturel:

La séquence peut être définie de trois manières:

1 . La séquence peut être définie à l'aide du tableau.  Dans ce cas, nous définissons simplement la valeur de chaque membre de la séquence.

Par exemple, Quelqu'un a décidé de s’occuper de la gestion de son temps personnel et, tout d’abord, de calculer combien de temps il passait sur VKontakte. En écrivant l'heure dans le tableau, il recevra une séquence composée de sept éléments:

La première ligne du tableau indique le jour de la semaine et la seconde indique l'heure en minutes. Nous voyons que lundi, quelqu'un a passé 125 minutes sur VKontakte, c'est-à-dire jeudi - 248 minutes et vendredi seulement 15.

2 . La séquence peut être spécifiée en utilisant la formule du nième terme.

Dans ce cas, la dépendance de la valeur d'un élément de séquence sur son numéro est exprimée directement sous la forme d'une formule.

Par exemple, si, alors

Pour trouver la valeur d'un élément de séquence avec un nombre donné, nous substituons le numéro de l'élément dans la formule du nième membre.

Nous faisons la même chose s'il faut trouver la valeur de la fonction, si la valeur de l'argument est connue. Nous substituons la valeur de l'argument dans l'équation de fonction:

Si, par exemple, alors

Encore une fois, je remarque que dans une séquence, contrairement à une fonction numérique arbitraire, un argument ne peut être qu'un nombre naturel.

3 . La séquence peut être définie à l’aide d’une formule exprimant la dépendance de la valeur d’un membre d’une séquence portant le nombre n sur la valeur des membres précédents. Dans ce cas, il ne suffit pas de connaître uniquement le numéro du membre de la séquence pour trouver sa valeur. Nous devons spécifier le premier membre ou les premiers membres de la séquence.

Par exemple, considérons une séquence ,

On peut trouver les valeurs des membres de la séquence un par unà partir de la troisième:

C'est-à-dire qu'à chaque fois pour trouver la valeur du nième membre de la séquence, nous revenons aux deux précédents. Cette façon de spécifier une séquence s'appelle récurrent, du mot latin recurro  - reviens.

Nous pouvons maintenant définir la progression arithmétique. La progression arithmétique est un cas particulier simple de séquence numérique.

Progression arithmétique   appelée séquence numérique dont chaque membre, à partir de la seconde, est égal à la précédente, ajouté avec le même numéro.

Le numéro s'appelle différence de progression arithmétique. La différence de progression arithmétique peut être positive, négative ou égale à zéro.

Si title \u003d "(! LANG: d\u003e 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} croissant.

Par exemple, 2; 5; 8; 11; ...

Si, alors chaque membre de la progression arithmétique est plus petit que le précédent, et la progression est diminuant.

Par exemple, 2; -1; -4; -7; ...

Si, alors tous les membres de la progression sont égaux au même nombre, et la progression est stationnaire.

Par exemple, 2; 2; 2; 2; ...

La propriété principale de la progression arithmétique:

Regardons la photo.

On voit que

et en même temps

En ajoutant ces deux égalités, on obtient:

.

Diviser les deux côtés de l'égalité par 2:

Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moyenne arithmétique de deux voisins:

De plus, depuis

et en même temps

alors

et donc

Chaque membre d’une progression arithmétique commençant par title \u003d "(! LANG: k\u003e l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formule du terme aller.

On voit que pour les membres de la progression arithmétique les relations sont satisfaites:

et finalement

Nous avons   formule du nième terme.

IMPORTANT!   Tout membre d'une progression arithmétique peut être exprimé en termes de et. Connaissant le premier terme et la différence de progression arithmétique, vous pouvez trouver l’un de ses membres.

La somme de n membres d'une progression arithmétique.

Dans une progression arithmétique arbitraire, les sommes des membres à égale distance de l'extrême sont égales entre elles:

Considérons une progression arithmétique dans laquelle n membres. Soit la somme de n membres de cette progression égale.

Nous organisons les membres de la progression en ordre croissant, puis en ordre décroissant:

Ajouter par paires:

La somme dans chaque tranche est égale, le nombre de paires est n.

Nous obtenons:

Donc la somme de n membres de progression arithmétique peut être trouvée par les formules:

Considérer résoudre des problèmes de progression arithmétiques.

1 . La séquence est donnée par la formule du nième terme: . Prouver que cette séquence est une progression arithmétique.

Montrons que la différence entre deux membres adjacents de la séquence est le même nombre.

Nous avons reçu que la différence de deux membres voisins de la séquence ne dépend pas de leur nombre et est une constante. Par conséquent, par définition, cette séquence est une progression arithmétique.

2 . La progression arithmétique est donnée -31; -27; ...

a) Trouve 31 membres de la progression.

b) Détermine si le nombre 41 est inclus dans cette progression.

a)  Nous voyons cela;

Nous écrivons la formule du nième terme pour notre progression.

Dans le cas général

Dans notre cas donc

Ou bien l'arithmétique est une sorte de séquence numérique ordonnée dont les propriétés sont étudiées dans un cours d'algèbre. Cet article détaille la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique.

Quelle est cette progression?

Avant de procéder à l’examen de la question (comment trouver la somme de la progression arithmétique), il est utile de comprendre ce qui sera discuté.

Toute séquence de nombres réels obtenue en ajoutant (soustrayant) une certaine valeur de chaque nombre précédent est appelée progression algébrique (arithmétique). Cette définition traduite dans le langage mathématique prend la forme:

Ici, i est le numéro de série de l'élément de la série a i. Ainsi, ne connaissant qu'un seul numéro initial, vous pouvez facilement restaurer la série entière. Le paramètre d dans la formule s'appelle la différence de progression.

On peut facilement montrer que pour la série de nombres considérée, l’égalité suivante est vraie:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

C'est-à-dire que pour trouver la valeur du nième élément dans l'ordre, il faut ajouter la différence d au premier élément 1 n-1 fois.

Quelle est la somme de la progression arithmétique: formule

Avant de donner une formule pour la somme indiquée, il convient de considérer un cas particulier simple. Étant donné une progression des nombres naturels de 1 à 10, vous devez trouver leur somme. Puisqu'il y a peu de termes dans la progression (10), il est possible de résoudre le problème de front, c'est-à-dire de résumer tous les éléments dans l'ordre.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Il convient de considérer une chose intéressante: puisque chaque terme diffère du suivant par la même valeur d \u003d 1, la sommation par paires du premier avec le dixième, du second avec le neuvième, etc. donnera le même résultat. En effet:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Comme vous pouvez le constater, il n’ya que 5 de ces sommes, soit exactement deux fois moins que le nombre d’éléments de la série. En multipliant ensuite le nombre de sommes (5) par le résultat de chaque somme (11), vous obtiendrez le résultat obtenu dans le premier exemple.

Si nous généralisons ces arguments, nous pouvons écrire l'expression suivante:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Cette expression montre qu'il n'est pas nécessaire de totaliser tous les éléments d'une ligne, il suffit de connaître la valeur du premier a 1 et du dernier a n, ainsi que le nombre total de termes n.

On pense que pour la première fois, Gauss a proposé cette égalité alors qu'il cherchait une solution à la tâche assignée par son professeur: résumer les 100 premiers entiers.

Somme des éléments de m à n: formule

La formule donnée dans le paragraphe précédent donne une réponse à la question de savoir comment trouver la somme de la progression arithmétique (premiers éléments), mais souvent dans les problèmes il est nécessaire d’additionner un nombre de nombres au milieu de la progression. Comment le faire?

La réponse à cette question est la plus simple en regardant l'exemple suivant: supposons qu'il soit nécessaire de trouver la somme des membres du mois au mois. Pour résoudre le problème, il convient de présenter le segment donné de m à n progressions sous la forme d’une nouvelle série numérique. Dans cette représentation, le m ième terme a m sera le premier et a n sera sous le nombre n- (m-1). Dans ce cas, en utilisant la formule standard pour la somme, nous obtenons l'expression suivante:

Smn \u003d (n - m + 1) * (a m + an) / 2.

Un exemple d'utilisation de formules

Sachant trouver la somme d’une progression arithmétique, considérons un exemple simple d’utilisation des formules ci-dessus.

La séquence numérique est donnée ci-dessous, vous devriez trouver la somme de ses membres, en commençant par le 5 et se terminant par le 12:

Ces chiffres indiquent que la différence d est 3. En utilisant l'expression du nième élément, nous pouvons trouver les valeurs des 5ème et 12ème termes de la progression. Il s'avère que:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Connaissant les valeurs des nombres aux extrémités de la progression algébrique considérée, ainsi que les nombres dans une rangée qu’ils occupent, nous pouvons utiliser la formule de la somme obtenue au paragraphe précédent. Il se révélera:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Il est à noter que cette valeur pourrait être obtenue différemment: commencez par trouver la somme des 12 premiers éléments à l'aide de la formule standard, puis calculez la somme des 4 premiers éléments selon la même formule, puis soustrayez le deuxième de la première somme.

I.V. Yakovlev | Matériel de maths | MathUs.ru

Progression arithmétique

La progression arithmétique est un type spécial de séquence. Par conséquent, avant de définir la progression arithmétique (puis géométrique), nous devons discuter brièvement du concept important de séquence numérique.

Séquence

Imaginez un appareil sur l'écran dont certains numéros sont affichés l'un après l'autre. Disons 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: Cet ensemble de nombres n'est qu'un exemple de séquence.

La définition Une séquence numérique est un ensemble de nombres dans lesquels chaque numéro peut être attribué à un numéro unique (c'est-à-dire mis en correspondance avec un seul entier positif) 1. Le nombre n est appelé le nième membre de la séquence.

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le premier nombre porte le nombre 2, il s'agit du premier membre de la séquence, ce qui peut être désigné par a1; le numéro cinq a le numéro 6 est le cinquième membre de la séquence, ce qui peut être désigné par a5. En général, le nième membre d'une séquence est désigné par un (ou bn, cn, etc.).

Une situation très pratique est lorsque le nième terme de la séquence peut être défini par une formule. Par exemple, la formule an \u003d 2n 3 définit la séquence: 1; 1; 3; 5; 7; ::: La formule an \u003d (1) n définit la séquence: 1; 1; 1; 1; :::

Chaque ensemble de nombres n'est pas une séquence. Ainsi, un segment n'est pas une séquence; il contient "trop" de nombres pour pouvoir être renumérotés. L'ensemble R de tous les nombres réels n'est pas non plus une séquence. Ces faits sont prouvés au cours de l'analyse mathématique.

Progression arithmétique: définitions de base

Nous sommes maintenant prêts à définir la progression arithmétique.

La définition La progression arithmétique est une séquence dont chaque membre (à partir de la seconde) est égal à la somme du membre précédent et à un nombre fixe (appelé différence de progression arithmétique).

Par exemple, séquence 2; 5; 8; 11; ::: est une progression arithmétique avec le premier terme 2 et la différence 3. Séquence 7; 2; 3; 8; ::: est une progression arithmétique avec un premier terme de 7 et une différence de 5. Séquence 3; 3; 3; ::: est une progression arithmétique avec une différence égale à zéro.

Définition équivalente: la séquence an est appelée progression arithmétique si la différence an + 1 an est une valeur constante (indépendante de n).

La progression arithmétique est appelée croissante si sa différence est positive et décroissante si sa différence est négative.

1 Et voici une définition plus concise: une séquence est une fonction définie sur un ensemble de nombres naturels. Par exemple, une suite de nombres réels est une fonction f: N! R.

Par défaut, les séquences sont considérées comme infinies, c'est-à-dire qu'elles contiennent un nombre infini de nombres. Mais personne ne se soucie de considérer les séquences finies; en fait, tout ensemble fini de nombres peut être appelé séquence finie. Par exemple, la séquence finale est 1; 2; 3; 4; 5 se compose de cinq nombres.

Formule du nième membre d'une progression arithmétique

Il est facile de comprendre que la progression arithmétique est complètement déterminée par deux nombres: le premier terme et la différence. La question se pose donc: comment, connaissant le premier terme et la différence, trouver un terme arbitraire de progression arithmétique?

Il n’est pas difficile d’obtenir la formule souhaitée pour le nième membre de la progression arithmétique. Laisser un

Tâche 1. En progression arithmétique 2; 5; 8; 11; ::: trouve la formule du nième terme et calcule le centième terme.

Solution Selon la formule (1) on a:

an \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Propriété et signe de progression arithmétique

Propriété de la progression arithmétique. Dans une progression arithmétique un pour tout

En d'autres termes, chaque membre de la progression arithmétique (à partir de la seconde) est la moyenne arithmétique des membres voisins.

au besoin.

De manière plus générale, pour la progression arithmétique, une égalité

a n \u003d a n k + a n + k

pour tout n\u003e 2 et tout entier positif k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Il s’avère que la formule (2) est non seulement une condition nécessaire, mais également suffisante pour que la séquence soit une progression arithmétique.

Un signe de progression arithmétique. Si l'égalité (2) vaut pour tout n\u003e 2, alors la séquence an est une progression arithmétique.

Preuve. Nous réécrivons la formule (2) comme suit:

a na n 1 \u003d a n + 1a n:

Cela montre que la différence an + 1 an ne dépend pas de n, ce qui signifie simplement que la séquence an est une progression arithmétique.

La propriété et le signe de la progression arithmétique peuvent être formulés comme une seule déclaration; pour des raisons pratiques, nous le ferons pour trois nombres (c’est précisément la situation qui se produit souvent dans les tâches).

Caractérisation de la progression arithmétique. Trois nombres a, b, c forment une progression arithmétique si et seulement si 2b \u003d a + c.

Problème 2. (Université d’État de Moscou, faculté d’économie, 2007) Trois nombres 8x, 3 x2 et 4 dans l’ordre indiqué forment une progression arithmétique décroissante. Trouve x et indique la différence de cette progression.

Solution Par la propriété de progression arithmétique nous avons:

2 (3 x2) \u003d 8x4, 2x2 + 8x10 \u003d 0, x2 + 4x5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Si x \u003d 1, on obtient une progression décroissante de 8, 2, 4 avec une différence de 6. Si x \u003d 5, on obtient une progression croissante de 40, 22, 4; cette affaire n'est pas bonne.

Réponse: x \u003d 1, la différence est 6.

La somme des n premiers membres de la progression arithmétique

La légende raconte qu'une fois, l'enseignant a demandé aux enfants de trouver la somme des nombres de 1 à 100 et s'est assis tranquillement pour lire le journal. Cependant, en moins de quelques minutes, un garçon a déclaré qu'il avait résolu le problème. C'était Karl Friedrich Gauss, âgé de 9 ans, l'un des plus grands mathématiciens de l'histoire.

L'idée du petit Gauss était la suivante. Laisser

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Nous écrivons ce montant dans l'ordre inverse:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

et additionnez ces deux formules:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Chaque terme entre parenthèses est égal à 101, et tous ces termes sont 100. Par conséquent,

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

Nous utilisons cette idée pour dériver la formule somme

S \u003d a1 + a2 + ::: + + + + + - (3)

Une modification utile de la formule (3) est obtenue en remplaçant la formule du nième terme an \u003d a1 + (n 1) d:

Problème 3. Trouve la somme de tous les nombres positifs à trois chiffres divisibles par 13.

Solution Les nombres à trois chiffres multiples de 13 forment une progression arithmétique avec le premier terme 104 et une différence de 13; Le n-ème terme de cette progression a la forme:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Découvrons combien de membres notre progression contient. Pour ce faire, nous résolvons l'inégalité:

un 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; n ° 6 69:

Donc, dans notre progression de 69 membres. Par la formule (4), nous trouvons le montant souhaité:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2