Les mathématiques, c'est quoiles gens contrôlent la nature et eux-mêmes.

Mathématicien soviétique, académicien A.N. Kolmogorov

Progression géométrique.

Outre les problèmes sur les progressions arithmétiques, les problèmes liés au concept de progression géométrique sont également courants dans les examens d'entrée en mathématiques. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, vous devez connaître les propriétés des progressions géométriques et posséder de bonnes compétences pour les utiliser.

Cet article est consacré à la présentation des propriétés fondamentales de la progression géométrique. Des exemples de résolution de problèmes typiques sont également fournis ici., emprunté aux tâches des examens d'entrée en mathématiques.

Notons d'abord les propriétés de base de la progression géométrique et rappelons les formules et énoncés les plus importants, liés à cette notion.

Définition. Une suite de nombres est appelée progression géométrique si chaque nombre, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Le nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Pour progression géométriqueles formules sont valables

, (1)

Où . La formule (1) est appelée formule du terme général d'une progression géométrique, et la formule (2) représente la propriété principale d'une progression géométrique : chaque terme de la progression coïncide avec la moyenne géométrique de ses termes voisins et .

Note, que c'est précisément à cause de cette propriété que la progression en question est dite « géométrique ».

Les formules (1) et (2) ci-dessus sont généralisées comme suit :

, (3)

Pour calculer le montant d'abord membres d'une progression géométriquela formule s'applique

Si nous notons , alors

Où . Puisque , la formule (6) est une généralisation de la formule (5).

Dans le cas où et progression géométriqueest infiniment décroissant. Pour calculer le montantde tous les termes d'une progression géométrique infiniment décroissante, la formule est utilisée

. (7)

Par exemple , en utilisant la formule (7), nous pouvons montrer, Quoi

Où . Ces égalités sont obtenues à partir de la formule (7) sous la condition que , (première égalité) et , (deuxième égalité).

Théorème. Si, alors

Preuve. Si, alors

Le théorème a été prouvé.

Passons maintenant à des exemples de résolution de problèmes sur le thème « Progression géométrique ».

Exemple 1.Étant donné : , et . Trouver .

Solution. Si nous appliquons la formule (5), alors

Répondre: .

Exemple 2. Qu'il en soit ainsi. Trouver .

Solution. Puisque et , on utilise les formules (5), (6) et obtenons un système d'équations

Si la deuxième équation du système (9) est divisée par la première, alors ou . Il en résulte que . Considérons deux cas.

1. Si, alors à partir de la première équation du système (9) on a.

2. Si , alors .

Exemple 3. Laissez , et . Trouver .

Solution. De la formule (2), il résulte que ou . Depuis , alors ou .

Selon l'état. Cependant, donc. Depuis et alors nous avons ici un système d'équations

Si la deuxième équation du système est divisée par la première, alors ou .

Depuis, l’équation a une racine appropriée unique. Dans ce cas, cela découle de la première équation du système.

En tenant compte de la formule (7), on obtient.

Répondre: .

Exemple 4.Étant donné : et . Trouver .

Solution. Depuis lors.

Depuis, alors ou

D'après la formule (2), nous avons . À cet égard, à partir de l’égalité (10) nous obtenons ou .

Mais par condition, donc.

Exemple 5. Cela est connu. Trouver .

Solution. D'après le théorème, nous avons deux égalités

Depuis , alors ou . Parce que, alors.

Répondre: .

Exemple 6.Étant donné : et . Trouver .

Solution. En tenant compte de la formule (5), on obtient

Depuis lors. Depuis , et , alors .

Exemple 7. Qu'il en soit ainsi. Trouver .

Solution. D'après la formule (1) on peut écrire

Nous avons donc ou . On sait que et , donc et .

Répondre: .

Exemple 8. Trouver le dénominateur d'une progression géométrique décroissante infinie si

Et .

Solution. De la formule (7) il résulte Et . De là et à partir des conditions du problème on obtient un système d'équations

Si la première équation du système est au carré, puis divisez l'équation résultante par la deuxième équation, alors on obtient

Ou .

Répondre: .

Exemple 9. Trouvez toutes les valeurs pour lesquelles la séquence , , est une progression géométrique.

Solution. Laissez , et . D'après la formule (2), qui définit la propriété principale d'une progression géométrique, on peut écrire ou .

De là, nous obtenons l'équation quadratique, dont les racines sont Et .

Vérifions : si, puis , et ;

si , alors et . Dans le premier cas nous avons

et , et dans le second – et .

Répondre: , .Exemple 10.

, (11)

Résoudre l'équation

où et . Solution. Côté gauche

De la formule (7) il résulte, Quoi l'équation (11) est la somme d'une progression géométrique décroissante infinie, dans laquelle et , sous réserve de : et .. À cet égard, l'équation (11) prend la forme ou . Racine appropriéeéquation quadratique

Répondre: .

est Exemple 11. P.séquence de nombres positifs forme une progression arithmétique , UN– progression géométrique

Solution., et ici. Trouver . Parce que séquence arithmétique , Que(la propriété principale de la progression arithmétique). Depuis , alors ou . Il en résulte,que la progression géométrique a la forme. D'après la formule (2)

, puis nous l'écrivons . Depuis et , alors. Dans ce cas, l'expression prend la forme ou . Selon l'état,donc d'après l'équation. nous obtenons la seule solution problème à l'étude

Répondre: .

, c'est-à-dire . Exemple 12.

. (12)

Solution. Calculer la somme

Multiplions les deux côtés de l'égalité (12) par 5 et obtenons séquence arithmétique

Si nous soustrayons (12) de l’expression résultante

ou .

Répondre: .

Pour calculer, nous substituons les valeurs dans la formule (7) et obtenons . Depuis lors., Les exemples de résolution de problèmes donnés ici seront utiles aux candidats lors de la préparation des examens d'entrée. Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution de problèmes, lié à la progression géométrique peut être utilisé matériel pédagogique

de la liste de la littérature recommandée.

1. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Mir et Education, 2013. – 608 p. 2. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : sections supplémentaires programme scolaire. – M. : Lénand / URSS

, 2014. – 216 p. 3. Medynski M.M. Cours complet mathématiques élémentaires dans les tâches et les exercices. Livre 2 : Séquences de nombres et progressions. – M. : Editus

, 2015. – 208 p.

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7 28 112 448 1792...

Considérons une certaine série. Il est absolument clair que la valeur de l’un de ses éléments est exactement quatre fois supérieure à celle du précédent. Moyens, cette série

est une progression. Une progression géométrique est une séquence infinie de nombres. c'est-à-dire que le nombre suivant est obtenu à partir du précédent en multipliant par un nombre spécifique. Ceci est exprimé par la formule suivante.

a z +1 =a z ·q, où z est le numéro de l'élément sélectionné.

Par conséquent, z ∈ N.

La période pendant laquelle la progression géométrique est étudiée à l'école est la 9e année. Des exemples vous aideront à comprendre le concept :

0.25 0.125 0.0625...

Sur la base de cette formule, le dénominateur de la progression peut être trouvé comme suit :

Ni q ni b z ne peuvent être nuls. Aussi, chacun des éléments de la progression ne doit pas être égal à zéro.

Par conséquent, pour connaître le nombre suivant d'une série, vous devez multiplier le dernier par q.

Pour définir cette progression, vous devez spécifier son premier élément et son dénominateur. Après cela, il est possible de trouver n’importe lequel des termes suivants et leur somme.

Variétés

En fonction de q et de a 1, cette progression se divise en plusieurs types :

• Si a 1 et q sont tous deux supérieurs à un, alors une telle séquence augmente à chaque fois élément suivant progression géométrique. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.

Exemple : a 1 =3, q=2 - les deux paramètres sont supérieurs à un.

Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :

3 6 12 24 48 ...

• Si |q| est inférieur à un, c'est-à-dire que la multiplication par lui équivaut à la division, alors une progression avec des conditions similaires est une progression géométrique décroissante. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.

Exemple : a 1 =6, q=1/3 - a 1 est supérieur à un, q est inférieur.

Alors la suite de nombres peut s’écrire comme suit :

6 2 2/3 ... - tout élément est 3 fois plus grand que l'élément qui le suit.

• Signe alterné. Si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemple : a 1 = -3, q = -2 - les deux paramètres sont inférieurs à zéro.

Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :

3, 6, -12, 24,...

Formules

Il existe de nombreuses formules pour une utilisation pratique des progressions géométriques :

• Formule du terme Z. Vous permet de calculer un élément sous un nombre spécifique sans calculer les nombres précédents.

Exemple:q = 3, un 1 = 4. Il faut compter le quatrième élément de la progression.

Solution:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• La somme des premiers éléments dont la quantité est égale à z. Permet de calculer la somme de tous les éléments d'une séquence jusqu'àun zcompris.

Depuis (1-q) est au dénominateur, alors (1 - q)≠ 0, donc q n'est pas égal à 1.

Remarque : si q=1, alors la progression serait une série de nombres répétitifs à l'infini.

Somme de progression géométrique, exemples :un 1 = 2, q= -2. Calculez S5.

Solution:S 5 = 22 - calcul à l'aide de la formule.

• Montant si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemple:un 1 = 2 , q= 0,5. Trouvez le montant.

Solution:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Quelques propriétés :

• Propriété caractéristique. Si la condition suivante fonctionne pour n'importe quelz, alors la série de nombres donnée est une progression géométrique :

un z 2 = un z -1 · unz+1

• De plus, le carré de n'importe quel nombre dans une progression géométrique est trouvé en additionnant les carrés de deux autres nombres quelconques dans une série donnée, s'ils sont équidistants de cet élément.

un z 2 = un z - t 2 + un z + t 2 , Oùt- la distance entre ces nombres.

• Élémentsdiffèrent en qune fois.
• Les logarithmes des éléments d'une progression forment également une progression, mais arithmétique, c'est-à-dire que chacun d'eux est supérieur au précédent d'un certain nombre.

Exemples de quelques problèmes classiques

Pour mieux comprendre ce qu'est une progression géométrique, des exemples avec des solutions pour la classe 9 peuvent vous aider.

• Conditions:un 1 = 3, un 3 = 48. Trouverq.

Solution : chaque élément suivant est supérieur au précédent dansq une fois.Il est nécessaire d'exprimer certains éléments par rapport à d'autres à l'aide d'un dénominateur.

Ainsi,un 3 = q 2 · un 1

Lors du remplacementq= 4

• Conditions:un 2 = 6, un 3 = 12. Calculez S 6.

Solution:Pour ce faire, trouvez simplement q, le premier élément et remplacez-le dans la formule.

un 3 = q· un 2 , ainsi,q= 2

une 2 = q · un 1 ,C'est pourquoi un 1 = 3

S6 = 189

• · un 1 = 10, q= -2. Trouvez le quatrième élément de la progression.

Solution : pour ce faire, il suffit d'exprimer le quatrième élément par le premier et par le dénominateur.

une 4 = q 3· un 1 = -80

Exemple d'application :

• Un client de la banque a effectué un dépôt d'un montant de 10 000 roubles, aux termes duquel chaque année, le client verra 6 % de ce montant ajouté au montant principal. Combien d’argent y aura-t-il sur le compte après 4 ans ?

Solution : Le montant initial est de 10 000 roubles. Cela signifie qu'un an après l'investissement, le compte aura un montant égal à 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Ainsi, le montant du compte après une autre année sera exprimé comme suit :

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Autrement dit, chaque année, le montant augmente de 1,06 fois. Cela signifie que pour retrouver le montant des fonds sur le compte après 4 ans, il suffit de trouver le quatrième élément de progression, qui est donné par le premier élément égal à 10 mille et le dénominateur égal à 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625

Exemples de problèmes de calcul de somme :

La progression géométrique est utilisée dans divers problèmes. Un exemple pour trouver la somme peut être donné comme suit :

un 1 = 4, q= 2, calculezS5.

Solution : toutes les données nécessaires au calcul sont connues, il suffit de les substituer dans la formule.

S 5 = 124

• un 2 = 6, un 3 = 18. Calculez la somme des six premiers éléments.

Solution:

En géom. progression, chaque élément suivant est q fois supérieur au précédent, c'est-à-dire que pour calculer la somme, vous devez connaître l'élémentun 1 et le dénominateurq.

un 2 · q = un 3

q = 3

De même, vous devez trouverun 1 , sachantun 2 Etq.

un 1 · q = un 2

un 1 =2

S 6 = 728.

>>Mathématiques : progression géométrique

Pour la commodité du lecteur, ce paragraphe est construit exactement selon le même plan que celui que nous avons suivi dans le paragraphe précédent.

1. Concepts de base.

Définition. Une suite numérique dont tous les termes sont différents de 0 et dont chaque terme, à partir du second, est obtenu à partir du terme précédent en le multipliant par le même nombre est appelée progression géométrique. Dans ce cas, le nombre 5 est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Ainsi, une progression géométrique est une suite numérique (b n) définie de manière récurrente par les relations

Est-il possible d’examiner une suite de nombres et de déterminer s’il s’agit d’une progression géométrique ? Peut. Si vous êtes convaincu que le rapport d’un membre de la séquence au membre précédent est constant, alors vous avez une progression géométrique.
Exemple 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Exemple 2.

Il s'agit d'une progression géométrique qui a
Exemple 3.

Il s'agit d'une progression géométrique qui a
Exemple 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 - 8, q = 1.

A noter que cette séquence est aussi une progression arithmétique (voir exemple 3 du § 15).

Exemple 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 = 2, q = -1.

Évidemment, une progression géométrique est une suite croissante si b 1 > 0, q > 1 (voir exemple 1), et une suite décroissante si b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Pour indiquer que la suite (b n) est une progression géométrique, la notation suivante convient parfois :

L'icône remplace l'expression « progression géométrique ».
Notons une propriété curieuse et en même temps assez évidente de la progression géométrique :
Si la séquence est une progression géométrique, alors la séquence de carrés, c'est-à-dire est une progression géométrique.
Dans la deuxième progression géométrique, le premier terme est égal à et égal à q 2.
Si dans une progression géométrique nous écartons tous les termes suivant b n , nous obtenons une progression géométrique finie
Dans les paragraphes suivants de cette section, nous examinerons les propriétés les plus importantes de la progression géométrique.

2. Formule du nième terme d'une progression géométrique.

Considérons une progression géométrique dénominateur q. Nous avons:

Il n'est pas difficile de deviner que pour tout nombre n l'égalité est vraie

C'est la formule du nième terme d'une progression géométrique.

Commentaire.

Si vous avez lu et compris la remarque importante du paragraphe précédent, essayez de prouver la formule (1) en utilisant la méthode d'induction mathématique, tout comme cela a été fait pour la formule du nième terme d'une progression arithmétique.

Réécrivons la formule du nième terme de la progression géométrique

et introduisons la notation : On obtient y = mq 2, ou, plus en détail,
L'argument x est contenu dans l'exposant, cette fonction est donc appelée fonction exponentielle. Cela signifie qu'une progression géométrique peut être considérée comme une fonction exponentielle définie sur l'ensemble N d'entiers naturels. Sur la fig. 96a montre le graphique de la fonction Fig. 966 - graphique de fonction Dans les deux cas, nous avons des points isolés (avec des abscisses x = 1, x = 2, x = 3, etc.) situés sur une certaine courbe (les deux figures montrent la même courbe, mais située différemment et représentée à des échelles différentes). Cette courbe est appelée courbe exponentielle. Plus de détails sur la fonction exponentielle et son graphique seront abordés dans le cours d'algèbre de 11e année.

Revenons aux exemples 1 à 5 du paragraphe précédent.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle b 1 = 1, q = 3. Créons la formule du nième terme
2) Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle créons une formule pour le nième terme

Il s'agit d'une progression géométrique qui a Créons la formule pour le nième terme
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Il s'agit d'une progression géométrique pour laquelle b 1 = 8, q = 1. Créons la formule du nième terme
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Il s'agit d'une progression géométrique dans laquelle b 1 = 2, q = -1. Créons la formule pour le nième terme

Exemple 6.

Étant donné une progression géométrique

Dans tous les cas, la solution repose sur la formule du nième terme de la progression géométrique

a) En mettant n = 6 dans la formule du nième terme de la progression géométrique, on obtient

b) Nous avons

Puisque 512 = 2 9, nous obtenons n - 1 = 9, n = 10.

d) Nous avons

Exemple 7.

La différence entre les septième et cinquième termes de la progression géométrique est de 48, la somme des cinquième et sixième termes de la progression est également de 48. Trouvez le douzième terme de cette progression.

Première étape. Elaboration d'un modèle mathématique.

Les conditions du problème peuvent être brièvement écrites comme suit :

En utilisant la formule du nième terme d'une progression géométrique, on obtient :
Alors la deuxième condition du problème (b 7 - b 5 = 48) peut s'écrire

La troisième condition du problème (b 5 + b 6 = 48) peut s'écrire

En conséquence, nous obtenons un système de deux équations à deux variables b 1 et q :

qui, en combinaison avec la condition 1) écrite ci-dessus, représente un modèle mathématique du problème.

Deuxième étape.

Travailler avec le modèle compilé. En égalant les côtés gauches des deux équations du système, on obtient :

(nous avons divisé les deux côtés de l'équation par l'expression non nulle b 1 q 4).

A partir de l'équation q 2 - q - 2 = 0 nous trouvons q 1 = 2, q 2 = -1. En substituant la valeur q = 2 dans la deuxième équation du système, on obtient
En substituant la valeur q = -1 dans la deuxième équation du système, nous obtenons b 1 1 0 = 48 ; cette équation n'a pas de solutions.

Donc, b 1 =1, q = 2 - cette paire est la solution du système d'équations compilé.

Nous pouvons maintenant écrire la progression géométrique dont nous parlons de dans le problème : 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Troisième étape.

Répondez à la question problématique. Vous devez calculer b 12. Nous avons

Réponse : b 12 = 2048.

3. Formule pour la somme des termes d'une progression géométrique finie.

Soit une progression géométrique finie

Notons S n la somme de ses termes, c'est-à-dire

Dérivons une formule pour trouver ce montant.

Commençons par le cas le plus simple, lorsque q = 1. Alors la progression géométrique b 1,b 2, b 3,..., bn est constituée de n nombres égaux à b 1, c'est-à-dire la progression ressemble à b 1, b 2, b 3, ..., b 4. La somme de ces nombres est nb 1.

Soit maintenant q = 1 Pour trouver S n, nous appliquons une technique artificielle : nous effectuons quelques transformations de l'expression S n q. Nous avons:

Lors de la réalisation des transformations, nous avons d'abord utilisé la définition d'une progression géométrique, selon laquelle (voir le troisième raisonnement) ; deuxièmement, ils ont ajouté et soustrait, c'est pourquoi le sens de l'expression, bien entendu, n'a pas changé (voir le quatrième raisonnement) ; troisièmement, nous avons utilisé la formule du nième terme d'une progression géométrique :

De la formule (1) on trouve :

C'est la formule de la somme de n termes d'une progression géométrique (pour le cas où q = 1).

Exemple 8.

Étant donné une progression géométrique finie

a) la somme des termes de la progression ; b) la somme des carrés de ses termes.

b) Ci-dessus (voir p. 132) nous avons déjà noté que si tous les termes d'une progression géométrique sont au carré, alors on obtient une progression géométrique avec le premier terme b 2 et le dénominateur q 2. Alors la somme des six termes de la nouvelle progression sera calculée par

Exemple 9.

Trouver le 8ème terme de la progression géométrique pour lequel

En fait, nous avons prouvé le théorème suivant.

Une suite numérique est une progression géométrique si et seulement si le carré de chacun de ses termes, sauf le premier théorème (et le dernier, dans le cas d'une suite finie), est égal au produit des termes précédents et suivants (un propriété caractéristique d'une progression géométrique).

Progression géométrique non moins important en mathématiques qu'en arithmétique. Une progression géométrique est une suite de nombres b1, b2,..., b[n] dont chaque terme suivant est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant. Ce nombre, qui caractérise également le taux de croissance ou de décroissance de la progression, est appelé dénominateur de progression géométrique et désigne

Pour terminer la tâche d'une progression géométrique, en plus du dénominateur, il faut connaître ou déterminer son premier terme. Pour valeur positive la progression du dénominateur est une séquence monotone, et si cette séquence de nombres est décroissante de manière monotone et si elle est croissante de manière monotone. Le cas où le dénominateur est égal à un n'est pas envisagé en pratique, puisque l'on a une suite de nombres identiques, et leur sommation n'a aucun intérêt pratique

Terme général de progression géométrique calculé par la formule

Somme des n premiers termes d'une progression géométrique déterminé par la formule

Examinons les solutions aux problèmes classiques de progression géométrique. Commençons par les plus simples à comprendre.

Exemple 1. Le premier terme d'une progression géométrique est 27 et son dénominateur est 1/3. Trouvez les six premiers termes de la progression géométrique.

Solution : Écrivons la condition problématique sous la forme

Pour les calculs, nous utilisons la formule du nième terme d'une progression géométrique

Sur cette base, nous trouvons les termes inconnus de la progression

Comme vous pouvez le constater, calculer les termes d'une progression géométrique n'est pas difficile. La progression elle-même ressemblera à ceci

Exemple 2. Les trois premiers termes de la progression géométrique sont donnés : 6 ; -12 ; 24. Trouvez le dénominateur et son septième terme.

Solution : Nous calculons le dénominateur de la progression géomitrique en fonction de sa définition

Nous avons obtenu une progression géométrique alternée dont le dénominateur est égal à -2. Le septième terme est calculé à l'aide de la formule

Cela résout le problème.

Exemple 3. Une progression géométrique est donnée par deux de ses termes . Trouvez le dixième terme de la progression.

Solution:

Écrivons les valeurs données à l'aide de formules

Selon les règles, il faudrait trouver le dénominateur puis chercher valeur souhaitée, mais pour le dixième mandat nous avons

La même formule peut être obtenue sur la base de simples manipulations avec les données d'entrée. Divisez le sixième terme de la série par un autre, et nous obtenons

Si la valeur résultante est multipliée par le sixième terme, on obtient le dixième

Ainsi, pour de telles tâches, en utilisant des transformations simples pour moyen rapide vous pouvez trouver la bonne solution.

Exemple 4. La progression géométrique est donnée par des formules récurrentes

Trouvez le dénominateur de la progression géométrique et la somme des six premiers termes.

Solution:

Écrivons les données données sous la forme d'un système d'équations

Exprimez le dénominateur en divisant la deuxième équation par la première

Trouvons le premier terme de la progression de la première équation

Calculons les cinq termes suivants pour trouver la somme de la progression géométrique

Instructions

10, 30, 90, 270...

Vous devez trouver le dénominateur d'une progression géométrique.
Solution:

Option 1. Prenons un terme arbitraire de la progression (par exemple, 90) et divisons-le par le précédent (30) : 90/30=3.

Si la somme de plusieurs termes d'une progression géométrique ou la somme de tous les termes d'une progression géométrique décroissante est connue, alors pour trouver le dénominateur de la progression, utilisez les formules appropriées :
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), où Sn est la somme des n premiers termes de la progression géométrique et
S = b1/(1-q), où S est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante (la somme de tous les termes de la progression avec un dénominateur inférieur à un).
Exemple.

Le premier terme d'une progression géométrique décroissante est égal à un, et la somme de tous ses termes est égale à deux.

Il convient de déterminer le dénominateur de cette progression.
Solution:

Remplacez les données du problème dans la formule. Il s'avérera :
2=1/(1-q), d'où – q=1/2.

Une progression est une séquence de nombres. Dans une progression géométrique, chaque terme suivant est obtenu en multipliant le précédent par un certain nombre q, appelé dénominateur de la progression.

Instructions

Si deux termes géométriques adjacents b(n+1) et b(n) sont connus, pour obtenir le dénominateur, il faut diviser le nombre le plus grand par celui qui le précède : q=b(n+1)/b (n). Cela découle de la définition de la progression et de son dénominateur. Une condition importante est l'inégalité du premier terme et le dénominateur de la progression vers zéro, sinon elle est considérée comme indéfinie.

Ainsi, les relations suivantes s'établissent entre les termes de la progression : b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. En utilisant la formule b(n)=b1 q^(n-1), tout terme de la progression géométrique dans laquelle le dénominateur q et le terme b1 sont connus peut être calculé. De plus, chacune des progressions est égale en module à la moyenne de ses membres voisins : |b(n)|=√, c'est là que la progression a obtenu son .

Un analogue d'une progression géométrique est le plus simple fonction exponentielle y=a^x, où x est un exposant, a est un certain nombre. Dans ce cas, le dénominateur de la progression coïncide avec le premier terme et égal au nombre un. La valeur de la fonction y peut être comprise comme nième mandat progression si l'argument x est considéré comme étant nombre naturel n (compteur).

Une autre propriété importante de la progression géométrique, qui a donné la progression géométrique