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Progression géométrique. Guide complet avec des exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.

Le nombre avec le nombre est appelé le nième membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas :

Les types de progression les plus courants sont l’arithmétique et la géométrique. Dans ce sujet, nous parlerons du deuxième type - progression géométrique.

Pourquoi la progression géométrique est-elle nécessaire et son histoire ?

Même dans les temps anciens, le moine mathématicien italien Léonard de Pise (mieux connu sous le nom de Fibonacci) s'occupait des besoins pratiques du commerce. Le moine avait pour tâche de déterminer quel est le plus petit nombre de poids pouvant être utilisé pour peser un produit ? Dans ses travaux, Fibonacci prouve qu'un tel système de poids est optimal : C'est l'une des premières situations dans lesquelles les gens ont dû faire face à une progression géométrique, dont vous avez probablement déjà entendu parler et avez au moins notion générale. Une fois que vous avez parfaitement compris le sujet, réfléchissez à la raison pour laquelle un tel système est optimal ?

Actuellement, dans la pratique de la vie, progression géométrique Cela se manifeste lors d'un investissement d'argent dans une banque, lorsque le montant des intérêts est calculé sur le montant accumulé sur le compte pour la période précédente. En d'autres termes, si vous placez de l'argent sur un dépôt à terme dans une caisse d'épargne, après un an, le dépôt augmentera du montant initial, c'est-à-dire le nouveau montant sera égal à la cotisation multipliée par. Dans une autre année, ce montant augmentera de, c'est-à-dire le montant obtenu à ce moment-là sera à nouveau multiplié par et ainsi de suite. Une situation similaire est décrite dans les problèmes de calcul de ce qu'on appelle intérêts composés- le pourcentage est prélevé à chaque fois sur le montant qui se trouve sur le compte, en tenant compte des intérêts antérieurs. Nous parlerons de ces tâches un peu plus tard.

Il existe de nombreux cas plus simples où une progression géométrique est appliquée. Par exemple, la propagation de la grippe : une personne a infecté une autre personne, elle a, à son tour, infecté une autre personne, et donc la deuxième vague d'infection est une personne, et elle, à son tour, en a infecté une autre... et ainsi de suite. .

D'ailleurs, une pyramide financière, le même MMM, est un calcul simple et sec basé sur les propriétés d'une progression géométrique. Intéressant? Voyons cela.

Progression géométrique.

Disons que nous avons une séquence de nombres :

Vous répondrez immédiatement que c'est facile et le nom d'une telle séquence est progression arithmétique avec la différence de ses membres. Que diriez-vous de ceci :

Si vous soustrayez le nombre précédent du nombre suivant, vous verrez qu'à chaque fois vous obtenez une nouvelle différence (et ainsi de suite), mais la séquence existe définitivement et est facile à remarquer - chaque nombre suivant est plusieurs fois plus grand que le précédent !

Ce type de séquence de nombres est appelé progression géométrique et est désigné.

La progression géométrique () est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Les restrictions selon lesquelles le premier terme ( ) n'est pas égal et ne sont pas aléatoires. Supposons qu'il n'y en a pas, et que le premier terme est toujours égal, et q est égal à, hmm... qu'il en soit ainsi, alors il s'avère :

Convenez que ce n'est plus une progression.

Comme vous le comprenez, nous obtiendrons les mêmes résultats s'il y a un nombre autre que zéro, a. Dans ces cas, il n'y aura tout simplement pas de progression, puisque toute la série de nombres sera soit composée uniquement de zéros, soit d'un seul nombre, et tout le reste sera constitué de zéros.

Parlons maintenant plus en détail du dénominateur de la progression géométrique, c'est-à-dire o.

Répétons : - c'est le numéro combien de fois chaque terme suivant change-t-il ? progression géométrique.

À votre avis, qu'est-ce que cela pourrait être ? C'est vrai, positif et négatif, mais pas nul (nous en avons parlé un peu plus haut).

Supposons que le nôtre soit positif. Soit dans notre cas, a. Quelle est la valeur du deuxième terme et ? Vous pouvez facilement répondre à cela :

C'est exact. En conséquence, si, alors tous les termes ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs.

Et si c'est négatif ? Par exemple, un. Quelle est la valeur du deuxième terme et ?

C'est une histoire complètement différente

Essayez de compter les termes de cette progression. Combien as-tu reçu ? J'ai. Ainsi, si, alors les signes des termes de la progression géométrique alternent. Autrement dit, si vous voyez une progression avec des signes alternés pour ses membres, alors son dénominateur est négatif. Ces connaissances peuvent vous aider à vous tester lors de la résolution de problèmes sur ce sujet.

Pratiquons maintenant un peu : essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression géométrique et lesquelles sont une progression arithmétique :

J'ai compris? Comparons nos réponses :

• Progression géométrique - 3, 6.
• Progression arithmétique - 2, 4.
• Ce n'est ni une progression arithmétique ni géométrique - 1, 5, 7.

Revenons à notre dernière progression et essayons de trouver son membre, tout comme dans celle arithmétique. Comme vous l'avez peut-être deviné, il existe deux façons de le trouver.

On multiplie successivement chaque terme par.

Ainsi, le ème terme de la progression géométrique décrite est égal à.

Comme vous l'avez déjà deviné, vous allez maintenant dériver vous-même une formule qui vous aidera à trouver n'importe quel membre de la progression géométrique. Ou l'avez-vous déjà développé pour vous-même, décrivant comment trouver le ème membre étape par étape ? Si tel est le cas, vérifiez l’exactitude de votre raisonnement.

Illustrons cela avec l'exemple de la recherche du ième terme de cette progression :

Autrement dit:

Trouvez vous-même la valeur du terme de la progression géométrique donnée.

Est-ce que ça a marché ? Comparons nos réponses :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons multiplié séquentiellement par chaque terme précédent de la progression géométrique.
Essayons de « dépersonnaliser » cette formule - mettons-la sous forme générale et obtenons :

La formule dérivée est vraie pour toutes les valeurs, positives et négatives. Vérifiez-le vous-même en calculant les termes de la progression géométrique avec les conditions suivantes : , a.

As-tu compté ? Comparons les résultats :

Convenez qu'il serait possible de trouver le terme d'une progression de la même manière qu'un terme, cependant, il existe une possibilité de calcul incorrect. Et si on a déjà trouvé le ième terme de la progression géométrique, alors quoi de plus simple que d'utiliser la partie « tronquée » de la formule.

Progression géométrique infiniment décroissante.

Tout récemment, nous avons évoqué le fait qu'il pourrait y avoir à la fois davantage et inférieur à zéro, cependant, il existe des valeurs spéciales pour lesquelles la progression géométrique est appelée infiniment décroissant.

Pourquoi pensez-vous que ce nom est donné ?
Tout d’abord, écrivons une progression géométrique composée de termes.
Disons alors :

Nous voyons que chaque terme suivant est inférieur au précédent d'un facteur, mais y aura-t-il un nombre ? Vous répondrez immédiatement - « non ». C'est pourquoi il diminue infiniment - il diminue et diminue, mais ne devient jamais nul.

Pour comprendre clairement à quoi cela ressemble visuellement, essayons de tracer un graphique de notre progression. Ainsi, dans notre cas, la formule prend la forme suivante :

Sur les graphiques, nous avons l'habitude de tracer la dépendance, donc :

L'essence de l'expression n'a pas changé : dans la première entrée nous avons montré la dépendance de la valeur d'un membre d'une progression géométrique sur son nombre ordinal, et dans la deuxième entrée nous avons simplement pris la valeur d'un membre d'une progression géométrique comme , et a désigné le nombre ordinal non pas comme, mais comme. Il ne reste plus qu'à construire un graphique.
Voyons ce que tu as. Voici le graphique que j'ai obtenu :

Voyez-vous ? La fonction décroît, tend vers zéro, mais ne le franchit jamais, elle décroît donc infiniment. Marquons nos points sur le graphique, et en même temps quelles sont leurs coordonnées et leur signification :

Essayez de représenter schématiquement un graphique d'une progression géométrique si son premier terme est également égal. Analysez quelle est la différence avec notre graphique précédent ?

Avez-vous réussi ? Voici le graphique que j'ai obtenu :

Maintenant que vous avez bien compris les bases du sujet de la progression géométrique : vous savez ce que c'est, vous savez comment trouver son terme, et vous savez aussi ce qu'est une progression géométrique infiniment décroissante, passons à sa propriété principale.

Propriété de progression géométrique.

Vous souvenez-vous de la propriété des termes d'une progression arithmétique ? Oui, oui, comment trouver la valeur d'un certain nombre d'une progression lorsqu'il existe des valeurs précédentes et suivantes des termes de cette progression. Vous souvenez-vous? C'est ici:

Nous sommes maintenant confrontés exactement à la même question concernant les termes de la progression géométrique. Pour dériver une telle formule, commençons par dessiner et raisonner. Vous verrez, c'est très simple, et si vous oubliez, vous pourrez le sortir vous-même.

Prenons une autre progression géométrique simple, dans laquelle nous connaissons et. Comment trouver ? Avec la progression arithmétique, c'est facile et simple, mais qu'en est-il ici ? En fait, il n'y a rien de compliqué non plus en géométrique - il suffit d'écrire chaque valeur qui nous est donnée selon la formule.

Vous vous demandez peut-être : que devrions-nous faire maintenant ? Oui, très simple. Tout d'abord, représentons ces formules dans une image et essayons de faire diverses manipulations avec elles afin d'arriver à une valeur.

Faisons abstraction des nombres qui nous sont donnés, concentrons-nous uniquement sur leur expression à travers la formule. Nous devons trouver la valeur mise en évidence orange, connaissant les membres qui lui sont adjacents. Essayons de produire avec eux diverses actions, à la suite de quoi nous pouvons obtenir.

Ajout.
Essayons d'ajouter deux expressions et nous obtenons :

À partir de cette expression, comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons en aucun cas l'exprimer, nous allons donc essayer une autre option - la soustraction.

Soustraction.

Comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons pas non plus exprimer cela, essayons donc de multiplier ces expressions les unes par les autres.

Multiplication.

Maintenant, regardez bien ce que nous avons en multipliant les termes de la progression géométrique qui nous sont donnés par rapport à ce qu'il faut trouver :

Devinez de quoi je parle ? C'est vrai, pour trouver, nous devons prendre racine carréeà partir des nombres de progression géométrique adjacents à celui souhaité multipliés les uns par les autres :

Voici. Vous avez vous-même dérivé la propriété de progression géométrique. Essayez d'écrire cette formule dans vue générale. Est-ce que ça a marché ?

Vous avez oublié la condition ? Réfléchissez aux raisons pour lesquelles c'est important, par exemple, essayez de le calculer vous-même. Que se passera-t-il dans ce cas ? C'est vrai, c'est complètement absurde car la formule ressemble à ceci :

N'oubliez donc pas cette limitation.

Maintenant calculons ce que cela équivaut

La bonne réponse est ! Si vous n'avez pas oublié la deuxième valeur possible lors du calcul, alors tout va bien et vous pouvez immédiatement passer à l'entraînement, et si vous avez oublié, lisez ce qui est discuté ci-dessous et faites attention à pourquoi il est nécessaire d'écrire les deux racines dans la réponse.

Traçons nos deux progressions géométriques - l'une avec une valeur et l'autre avec une valeur et vérifions si les deux ont le droit d'exister :

Afin de vérifier si une telle progression géométrique existe ou non, il faut voir si tous ses termes donnés sont les mêmes ? Calculez q pour les premier et deuxième cas.

Vous voyez pourquoi nous devons écrire deux réponses ? Car le signe du terme que vous recherchez dépend s’il est positif ou négatif ! Et comme nous ne savons pas ce que c’est, nous devons écrire les deux réponses avec un plus et un moins.

Maintenant que vous avez maîtrisé les points principaux et dérivé la formule de la propriété de progression géométrique, trouvez, connaissez et

Comparez vos réponses avec les bonnes :

Qu'en pensez-vous, et si on nous donnait non pas les valeurs des termes de la progression géométrique adjacentes au nombre souhaité, mais à équidistance de celui-ci. Par exemple, nous devons trouver, et donné et. Pouvons-nous utiliser la formule que nous avons dérivée dans ce cas ? Essayez de confirmer ou d'infirmer cette possibilité de la même manière, en décrivant en quoi consiste chaque valeur, comme vous l'avez fait lorsque vous avez initialement dérivé la formule.
Qu'as-tu obtenu ?

Maintenant, regardez à nouveau attentivement.
et, en conséquence :

De là, nous pouvons conclure que la formule fonctionne non seulement avec les voisins avec les termes souhaités de la progression géométrique, mais aussi avec équidistant de ce que recherchent les membres.

Ainsi, notre formule initiale prend la forme :

Autrement dit, si dans le premier cas nous disions cela, nous disons maintenant qu'il peut être égal à tout nombre naturel plus petit. L'essentiel est que ce soit le même pour les deux nombres donnés.

Entraînez-vous sur exemples spécifiques, soyez extrêmement prudent !

1. , . Trouver.
2. , . Trouver.
3. , . Trouver.

Décidé? J'espère que vous avez été extrêmement attentif et que vous avez remarqué un petit problème.

Comparons les résultats.

Dans les deux premiers cas, on applique sereinement la formule ci-dessus et on obtient les valeurs suivantes :

Dans le troisième cas, lorsque l'on examine attentivement les numéros d'ordre des numéros qui nous sont donnés, nous comprenons qu'ils ne sont pas équidistants du numéro que nous recherchons : c'est le numéro précédent, mais il est retiré à une position, il est donc impossible d'appliquer la formule.

Comment le résoudre ? Ce n’est en fait pas aussi difficile qu’il y paraît ! Écrivons en quoi consiste chaque numéro qui nous est donné et le numéro que nous recherchons.

Nous avons donc et. Voyons ce que nous pouvons faire avec eux ? Je suggère de diviser par. On obtient :

Nous substituons nos données dans la formule :

La prochaine étape que nous pouvons trouver - pour cela, nous devons la franchir racine cubiqueà partir du nombre obtenu.

Maintenant, regardons à nouveau ce que nous avons. Nous l'avons, mais nous devons le trouver, et il est à son tour égal à :

Nous avons trouvé toutes les données nécessaires au calcul. Remplacez dans la formule :

Notre réponse : .

Essayez de résoudre vous-même un autre problème similaire :
Donné: ,
Trouver:

Combien as-tu reçu ? J'ai - .

Comme vous pouvez le constater, vous avez essentiellement besoin souviens-toi d'une seule formule- . Vous pouvez retirer vous-même tout le reste sans aucune difficulté et à tout moment. Pour ce faire, écrivez simplement la progression géométrique la plus simple sur une feuille de papier et notez à quoi chacun de ses nombres est égal, selon la formule décrite ci-dessus.

La somme des termes d'une progression géométrique.

Regardons maintenant les formules qui permettent de calculer rapidement la somme des termes d'une progression géométrique dans un intervalle donné :

Pour dériver la formule de la somme des termes d'une progression géométrique finie, multipliez toutes les parties de l'équation ci-dessus par. On obtient :

Regardez bien : quel est le point commun entre les deux dernières formules ? C'est vrai, les membres communs, par exemple, et ainsi de suite, à l'exception du premier et du dernier membre. Essayons de soustraire la 1ère de la 2ème équation. Qu'as-tu obtenu ?

Exprimez maintenant le terme de la progression géométrique à travers la formule et remplacez l'expression résultante dans notre dernière formule :

Regroupez l’expression. Vous devriez obtenir :

Il ne reste plus qu'à exprimer :

En conséquence, dans ce cas.

Et si? Quelle formule fonctionne alors ? Imaginez une progression géométrique à. Comment est-elle ? Une série de nombres identiques est correcte, donc la formule ressemblera à ceci :

Il existe de nombreuses légendes sur la progression arithmétique et géométrique. L'une d'elles est la légende de Seth, le créateur des échecs.

Beaucoup de gens savent que le jeu d’échecs a été inventé en Inde. Lorsque le roi hindou la rencontra, il fut ravi de son esprit et de la variété des positions possibles en elle. Ayant appris qu'il avait été inventé par l'un de ses sujets, le roi décida de le récompenser personnellement. Il convoqua l'inventeur chez lui et lui ordonna de lui demander tout ce qu'il voulait, promettant de réaliser même le désir le plus habile.

Seta demanda du temps pour réfléchir, et lorsque le lendemain Seta apparut devant le roi, il surprit le roi par la modestie sans précédent de sa demande. Il demanda de donner un grain de blé pour la première case de l'échiquier, un grain de blé pour la deuxième, un grain de blé pour la troisième, une quatrième, etc.

Le roi était en colère et chassa Seth, disant que la demande du serviteur était indigne de la générosité du roi, mais il promit que le serviteur recevrait ses grains pour toutes les cases du plateau.

Et maintenant la question : en utilisant la formule de la somme des termes d'une progression géométrique, calculer combien de grains Seth devrait recevoir ?

Commençons par raisonner. Puisque, selon la condition, Seth a demandé un grain de blé pour la première case de l'échiquier, pour la deuxième, pour la troisième, pour la quatrième, etc., alors on voit que dans le problème nous parlons de sur la progression géométrique. A quoi cela équivaut-il dans ce cas ?
Droite.

Total des carrés de l'échiquier. Respectivement, . Nous avons toutes les données, il ne reste plus qu'à les brancher sur la formule et à calculer.

Pour imaginer au moins approximativement « l'échelle » d'un nombre donné, on transforme en utilisant les propriétés du degré :

Bien sûr, si vous le souhaitez, vous pouvez prendre une calculatrice et calculer le nombre auquel vous obtenez, et sinon, vous devrez me croire sur parole : la valeur finale de l'expression sera.
C'est-à-dire:

quintillion quadrillion billion milliards millions milliers.

Ouf) Si vous voulez imaginer l’énormité de ce nombre, estimez la taille d’une grange qui serait nécessaire pour accueillir toute la quantité de céréales.
Si la grange mesure m de haut et m de large, sa longueur devrait s'étendre sur km, c'est-à-dire deux fois plus loin de la Terre au Soleil.

Si le roi avait été fort en mathématiques, il aurait pu inviter lui-même le scientifique à compter les grains, car pour compter un million de grains, il lui faudrait au moins une journée de comptage infatigable, et étant donné qu'il faut compter des quintillions, le il faudrait compter les grains tout au long de sa vie.

Résolvons maintenant un problème simple impliquant la somme des termes d’une progression géométrique.
Vasya, un élève de la classe 5A, a contracté la grippe, mais continue d'aller à l'école. Chaque jour, Vasya infecte deux personnes qui, à leur tour, infectent deux autres personnes, et ainsi de suite. Il n'y a que des gens dans la classe. Dans combien de jours toute la classe aura-t-elle la grippe ?

Ainsi, le premier terme de la progression géométrique est Vasya, c'est-à-dire une personne. Le ème terme de la progression géométrique correspond aux deux personnes qu'il a infectées le premier jour de son arrivée. Montant total membres de la progression est égal au nombre d’élèves en 5A. On parle ainsi d’une progression dans laquelle :

Remplaçons nos données dans la formule de la somme des termes d'une progression géométrique :

Toute la classe tombera malade dans quelques jours. Vous ne croyez pas aux formules et aux chiffres ? Essayez de décrire vous-même « l’infection » des étudiants. Est-ce que ça a marché ? Regardez à quoi ça ressemble pour moi :

Calculez vous-même combien de jours il faudrait aux élèves pour contracter la grippe si chacun d'eux infectait une personne et qu'il n'y avait qu'une seule personne dans la classe.

Quelle valeur as-tu obtenu ? Il s’est avéré que tout le monde a commencé à tomber malade au bout d’une journée.

Comme vous pouvez le constater, une telle tâche et son dessin ressemblent à une pyramide dans laquelle chacune des tâches suivantes « amène » de nouvelles personnes. Cependant, tôt ou tard, il arrive un moment où ce dernier ne peut attirer personne. Dans notre cas, si l'on imagine que la classe est isolée, la personne de ferme la chaîne (). Ainsi, si une personne était impliquée dans une pyramide financière dans laquelle de l'argent était donné si deux autres participants étaient réunis, alors cette personne (ou cas général) n'aurait amené personne et, par conséquent, ils auraient perdu tout ce qu'ils avaient investi dans cette arnaque financière.

Tout ce qui a été dit ci-dessus fait référence à une progression géométrique décroissante ou croissante, mais, comme vous vous en souvenez, nous avons un type spécial - une progression géométrique infiniment décroissante. Comment calculer la somme de ses membres ? Et pourquoi ce type de progression présente-t-il certaines caractéristiques ? Voyons cela ensemble.

Alors, tout d’abord, regardons à nouveau ce dessin d’une progression géométrique infiniment décroissante à partir de notre exemple :

Regardons maintenant la formule de la somme d'une progression géométrique, dérivée un peu plus tôt :
ou

Vers quoi recherchons-nous ? C'est vrai, le graphique montre qu'il tend vers zéro. C'est-à-dire que at sera presque égal, respectivement, lors du calcul de l'expression que nous obtiendrons presque. À cet égard, nous pensons que lors du calcul de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, cette parenthèse peut être négligée, puisqu'elle sera égale.

- la formule est la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.

IMPORTANT! Nous utilisons la formule de la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme infini nombre de membres.

Si un nombre spécifique n est spécifié, alors nous utilisons la formule pour la somme de n termes, même si ou.

Maintenant, pratiquons.

1. Trouver la somme des premiers termes de la progression géométrique avec et.
2. Trouver la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante avec et.

J'espère que vous avez été extrêmement prudent. Comparons nos réponses :

Vous savez désormais tout sur la progression géométrique et il est temps de passer de la théorie à la pratique. Les problèmes de progression géométrique les plus courants rencontrés lors de l’examen sont les problèmes de calcul des intérêts composés. Ce sont de ceux-là dont nous parlerons.

Problèmes de calcul des intérêts composés.

Vous avez probablement entendu parler de la formule dite des intérêts composés. Comprenez-vous ce que cela signifie ? Sinon, essayons de comprendre, car une fois que vous aurez compris le processus lui-même, vous comprendrez immédiatement ce que la progression géométrique a à voir avec cela.

Nous allons tous à la banque et savons qu'il y a conditions différentes sur les dépôts : c'est le terme, et le service supplémentaire, et les intérêts avec deux de diverses manières ses calculs - simples et complexes.

AVEC intérêts simples tout est plus ou moins clair : les intérêts sont courus une seule fois à la fin de la durée du dépôt. Autrement dit, si nous disons que nous déposons 100 roubles par an, ils ne seront crédités qu'à la fin de l'année. En conséquence, à la fin du dépôt, nous recevrons des roubles.

Intérêts composés- c'est une option dans laquelle cela se produit capitalisation des intérêts, c'est-à-dire leur ajout au montant du dépôt et le calcul ultérieur du revenu non pas à partir du montant initial, mais à partir du montant du dépôt accumulé. La capitalisation ne se produit pas constamment, mais avec une certaine fréquence. En règle générale, ces périodes sont égales et les banques utilisent le plus souvent un mois, un trimestre ou une année.

Supposons que nous déposions les mêmes roubles chaque année, mais avec une capitalisation mensuelle du dépôt. Que faisons-nous ?

Vous comprenez tout ici ? Sinon, voyons cela étape par étape.

Nous avons apporté des roubles à la banque. À la fin du mois, nous devrions avoir sur notre compte un montant composé de nos roubles plus les intérêts sur ceux-ci, soit :

Accepter?

On peut le sortir des parenthèses et on obtient alors :

D'accord, cette formule ressemble déjà plus à ce que nous avons écrit au début. Il ne reste plus qu'à calculer les pourcentages

Dans l'énoncé du problème, on nous parle des taux annuels. Comme vous le savez, nous ne multiplions pas par : nous convertissons les pourcentages en décimales, c'est-à-dire:

Droite? Maintenant, vous vous demandez peut-être d’où vient ce numéro ? Très simple !
Je le répète : l'énoncé du problème parle de ANNUEL les intérêts qui courent MENSUEL. Comme vous le savez, dans un an de mois, la banque nous facturera donc une partie des intérêts annuels par mois :

Vous l'avez compris ? Essayez maintenant d’écrire à quoi ressemblerait cette partie de la formule si je disais que les intérêts sont calculés quotidiennement.
Avez-vous réussi ? Comparons les résultats :

Bien joué! Revenons à notre tâche : écrivez combien sera crédité sur notre compte au cours du deuxième mois, en tenant compte du fait que des intérêts sont courus sur le montant du dépôt accumulé.
Voici ce que j'ai obtenu :

Ou, en d'autres termes :

Je pense que vous avez déjà remarqué une tendance et vu une progression géométrique dans tout cela. Écrivez à quoi sera égal son membre ou, en d'autres termes, quelle somme d'argent nous recevrons à la fin du mois.
A fait? Vérifions !

Comme vous pouvez le constater, si vous mettez de l'argent dans une banque pendant un an à un taux d'intérêt simple, vous recevrez des roubles, et si à un taux d'intérêt composé, vous recevrez des roubles. Le bénéfice est faible, mais cela n'arrive qu'au cours de la ème année, mais sur une période plus longue, la capitalisation est beaucoup plus rentable :

Examinons un autre type de problème impliquant les intérêts composés. Après ce que vous avez compris, ce sera élémentaire pour vous. Donc, la tâche :

La société Zvezda a commencé à investir dans le secteur en 2000, avec un capital en dollars. Chaque année depuis 2001, elle perçoit un bénéfice égal au capital de l'année précédente. Quel bénéfice la société Zvezda recevra-t-elle à la fin de 2003 si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?

Capital de la société Zvezda en 2000.
- capital de la société Zvezda en 2001.
- capital de la société Zvezda en 2002.
- capital de la société Zvezda en 2003.

Ou nous pouvons écrire brièvement :

Pour notre cas :

2000, 2001, 2002 et 2003.

Respectivement:
roubles
Veuillez noter que dans ce problème nous n'avons pas de division ni par ni par, puisque le pourcentage est donné ANNUELLEMENT et il est calculé ANNUELLEMENT. Autrement dit, lorsque vous lisez un problème sur les intérêts composés, faites attention au pourcentage donné et à la période pendant laquelle il est calculé, puis procédez ensuite aux calculs.
Vous savez désormais tout sur la progression géométrique.

Entraînement.

1. Trouver le terme de la progression géométrique si on le sait, et
2. Trouver la somme des premiers termes de la progression géométrique si l'on sait cela, et
3. La société MDM Capital a commencé à investir dans le secteur en 2003, avec des capitaux en dollars. Chaque année depuis 2004, elle perçoit un bénéfice égal au capital de l'année précédente. La société MSK Cash Flows a commencé à investir dans l'industrie en 2005 pour un montant de 10 000 $ et a commencé à réaliser un bénéfice en 2006 pour un montant de. De combien de dollars le capital d'une entreprise serait-il supérieur à celui de l'autre à la fin de 2007, si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?

Réponses :

1. Puisque l'énoncé du problème ne dit pas que la progression est infinie et qu'il faut trouver la somme d'un nombre précis de ses termes, le calcul est effectué selon la formule :
2. 
   Société de Capital MDM :

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - augmente de 100%, soit 2 fois.
   Respectivement:
   roubles
   Société MSK Cash Flows :

   2005, 2006, 2007.
   - augmente de, c'est-à-dire de fois.
   Respectivement:
   roubles
   roubles

Résumons.

1) La progression géométrique ( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

2) L'équation des termes de la progression géométrique est .

3) peut prendre n'importe quelle valeur sauf et.

• si, alors tous les termes ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs;
• si, alors tous les termes ultérieurs de la progression signes alternatifs ;
• quand - la progression est dite infiniment décroissante.

4) , à - propriété de progression géométrique (termes adjacents)

ou
, à (termes équidistants)

Quand tu le trouveras, ne l'oublie pas il devrait y avoir deux réponses.

Par exemple,

5) La somme des termes de la progression géométrique est calculée par la formule :
ou

Si la progression est infiniment décroissante, alors :
ou

IMPORTANT! Nous utilisons la formule pour la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme d'un nombre infini de termes.

6) Les problèmes impliquant des intérêts composés sont également calculés à l'aide de la formule du ème terme d'une progression géométrique, à condition que espèces n'ont pas été retirés de la circulation :

PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Progression géométrique( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce numéro s'appelle dénominateur d’une progression géométrique.

Dénominateur de progression géométrique peut prendre n’importe quelle valeur sauf et.

• Si, alors tous les termes suivants de la progression ont le même signe - ils sont positifs ;
• si, alors tous les membres suivants de la progression alternent les signes ;
• quand - la progression est dite infiniment décroissante.

Équation des termes de progression géométrique - .

Somme des termes d'une progression géométrique calculé par la formule :
ou

La formule du nième terme d’une progression géométrique est très simple. Tant par sa signification que par son apparence générale. Mais il y a toutes sortes de problèmes sur la formule du nième terme - du plus primitif au plus grave. Et au cours de notre connaissance, nous considérerons certainement les deux. Eh bien, faisons connaissance ?)

Donc, pour commencer, en fait formulen

C'est ici:

bn = b 1 · qn -1

La formule n’est qu’une formule, rien de surnaturel. Cela semble encore plus simple et plus compact qu'une formule similaire. La signification de la formule est aussi simple que celle des bottes en feutre.

Cette formule permet de retrouver N'IMPORTE QUEL membre d'une progression géométrique PAR SON NUMÉRO" n".

Comme vous pouvez le constater, le sens est une analogie complète avec une progression arithmétique. On connaît le nombre n - on peut aussi compter le terme sous ce nombre. Celui que nous voulons. Sans multiplier à plusieurs reprises par « q » plusieurs fois. C'est tout l'intérêt.)

Je comprends qu'à ce niveau de travail avec les progressions, toutes les quantités incluses dans la formule devraient déjà être claires pour vous, mais je considère toujours qu'il est de mon devoir de déchiffrer chacune d'elles. Juste au cas où.

Alors, c'est parti :

b 1 – d'abord terme de progression géométrique;

q – ;

n– numéro de membre ;

bn – nième (nème) terme d’une progression géométrique.

Cette formule relie les quatre paramètres principaux de toute progression géométrique - bn, b 1 , q Et n. Et tous les problèmes de progression tournent autour de ces quatre chiffres clés.

« Comment est-il supprimé ? »– J'entends une question curieuse... Élémentaire ! Regarder!

Qu'est-ce qui est égal à deuxième membre de la progression ? Pas de question ! Nous écrivons directement :

b 2 = b 1 ·q

Et le troisième membre ? Pas de problème non plus ! On multiplie le deuxième terme encore une fois surq.

Comme ça:

B 3 = b 2 q

Rappelons maintenant que le deuxième terme, à son tour, est égal à b 1 ·q et substituons cette expression dans notre égalité :

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

On obtient :

B 3 = b 1 ·q 2

Lisons maintenant notre entrée en russe : troisième le terme est égal au premier terme multiplié par q dans deuxième degrés. Comprenez-vous ? Pas encore? Bon, encore un pas.

Quel est le quatrième terme ? Tout est pareil ! Multiplier précédent(c'est-à-dire le troisième terme) sur q :

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 ·q 3

Et encore une fois, nous traduisons en russe : quatrième le terme est égal au premier terme multiplié par q dans troisième degrés.

Et ainsi de suite. Alors comment ? Avez-vous saisi le modèle ? Oui! Pour tout terme avec n'importe quel nombre, le nombre de facteurs identiques q (c'est-à-dire le degré du dénominateur) sera toujours un de moins que le nombre du membre souhaitén.

Notre formule sera donc, sans options :

b n =b 1 · qn -1

C'est tout.)

Eh bien, résolvons les problèmes, je suppose ?)

Résoudre les problèmes de formulenème terme d’une progression géométrique.

Commençons, comme d'habitude, par l'application directe de la formule. Voici un problème typique :

En progression géométrique, on sait que b 1 = 512 et q = -1/2. Trouvez le dixième terme de la progression.

Bien entendu, ce problème peut être résolu sans aucune formule. Directement dans le sens de progression géométrique. Mais il faut s'échauffer avec la formule du nième terme, non ? Ici, nous nous échauffons.

Nos données pour appliquer la formule sont les suivantes.

Le premier membre est connu. Il s'agit du 512.

b 1 = 512.

Le dénominateur de la progression est également connu : q = -1/2.

Il ne reste plus qu'à déterminer quel est le nombre de membres n. Pas de question ! Sommes-nous intéressés par le dixième mandat ? Nous substituons donc dix au lieu de n dans la formule générale.

Et calculez soigneusement l'arithmétique :

Réponse : -1

Comme vous pouvez le constater, le dixième terme de la progression s'est avéré négatif. Rien d'étonnant : notre dénominateur de progression est -1/2, soit négatif nombre. Et cela nous dit que les signes de notre progression alternent, oui.)

Tout est simple ici. Voici un problème similaire, mais un peu plus compliqué au niveau des calculs.

En progression géométrique, on sait que :

b 1 = 3

Trouvez le treizième terme de la progression.

Tout est pareil, mais cette fois le dénominateur de la progression est irrationnel. Racine de deux. Eh bien, ça va. La formule est universelle ; elle peut gérer n’importe quel nombre.

Nous travaillons directement selon la formule :

La formule, bien sûr, a fonctionné comme elle le devrait, mais... c'est là que certaines personnes restent bloquées. Que faire ensuite de la racine ? Comment élever une racine à la puissance douzième ?

Comment-comment... Vous devez comprendre que toute formule, bien sûr, est une bonne chose, mais la connaissance de toutes les mathématiques précédentes n'est pas annulée ! Comment construire ? Oui, rappelez-vous les propriétés des diplômes ! Transformons la racine en degré fractionnaire et – selon la formule pour élever un diplôme à un grade.

Comme ça:

Réponse : 192

Et c'est tout.)

Quelle est la principale difficulté d’appliquer directement la formule du nième terme ? Oui! La principale difficulté est travailler avec des diplômes !À savoir, l'exponentiation nombres négatifs, fractions, racines et structures similaires. Alors, à ceux qui ont des problèmes avec cela, s'il vous plaît, répétez les diplômes et leurs propriétés ! Sinon, vous ralentirez aussi ce sujet, oui...)

Résolvons maintenant les problèmes de recherche typiques un des éléments de la formule, si tous les autres sont donnés. Pour résoudre avec succès de tels problèmes, la recette est uniforme et terriblement simple - écrire la formulen-ème membre en général ! Directement dans le cahier à côté de l'état. Et puis, à partir des conditions, nous déterminons ce qui nous est donné et ce qui manque. Et on exprime à partir de la formule la valeur requise. Tous!

Par exemple, un problème aussi inoffensif.

Le cinquième terme d'une progression géométrique de dénominateur 3 est 567. Trouvez le premier terme de cette progression.

Rien de compliqué. Nous travaillons directement selon le sort.

Écrivons la formule du nième terme !

bn = b 1 · qn -1

Qu'est-ce qu'on nous a donné ? Tout d’abord, le dénominateur de la progression est donné : q = 3.

De plus, on nous donne cinquième membre: b 5 = 567 .

Tous? Non! On nous a également donné le numéro n ! Cela fait cinq : n = 5.

J'espère que vous comprenez déjà ce qu'il y a dans l'enregistrement b 5 = 567 deux paramètres sont cachés à la fois - c'est le cinquième terme lui-même (567) et son nombre (5). J'en ai déjà parlé dans une leçon similaire, mais je pense que cela vaut la peine de le mentionner ici aussi.)

Maintenant, nous substituons nos données dans la formule :

567 = b 1 ·3 5-1

Nous faisons l'arithmétique, simplifions et obtenons quelque chose de simple équation linéaire:

81 b 1 = 567

On résout et on obtient :

b 1 = 7

Comme vous pouvez le constater, il n’y a aucun problème pour trouver le premier terme. Mais en cherchant le dénominateur q et des chiffres n Il peut aussi y avoir des surprises. Et il faut aussi s'y préparer (surprises), oui.)

Par exemple, ce problème :

Le cinquième terme d'une progression géométrique avec un dénominateur positif est 162, et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Cette fois, on nous donne les premier et cinquième termes et on nous demande de trouver le dénominateur de la progression. On y va.

Nous écrivons la formulenle membre !

bn = b 1 · qn -1

Nos données initiales seront les suivantes :

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Valeur manquante q. Pas de question ! Trouvons-le maintenant.) Nous substituons tout ce que nous savons dans la formule.

On obtient :

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Une simple équation du quatrième degré. Et maintenant - soigneusement! Sur à ce stade solutions, de nombreux étudiants extraient immédiatement avec joie la racine (du quatrième degré) et obtiennent la réponse q=3 .

Comme ça:

q4 = 81

q = 3

Mais en réalité, c’est une réponse inachevée. Plus précisément, incomplet. Pourquoi? Le fait est que la réponse q = -3 convient également : (-3) 4 sera également 81 !

C'est parce que l'équation de puissance xn = un a toujours deux racines opposéesà mêmen . Avec plus et moins :

Les deux conviennent.

Par exemple, au moment de décider (c.-à-d. deuxième diplômes)

x2 = 9

Pour une raison quelconque, vous n'êtes pas surpris par l'apparence deux racines x=±3 ? C'est la même chose ici. Et avec n'importe quel autre même le degré (quatrième, sixième, dixième, etc.) sera le même. Les détails sont dans le sujet sur

C'est pourquoi la bonne décision sera comme ceci :

q 4 = 81

q= ±3

D'accord, nous avons trié les signes. Lequel est correct : plus ou moins ? Eh bien, relisons l'énoncé du problème à la recherche de Informations Complémentaires. Bien sûr, cela n'existe peut-être pas, mais dans ce problème, de telles informations disponible. Notre condition indique en clair qu'une progression est donnée avec dénominateur positif.

La réponse est donc évidente :

q = 3

Tout est simple ici. À votre avis, que se passerait-il si l'énoncé du problème ressemblait à ceci :

Le cinquième terme d'une progression géométrique est 162 et le premier terme de cette progression est 2. Trouvez le dénominateur de la progression.

Quelle est la différence ? Oui! En état Rien aucune mention n'est faite du signe du dénominateur. Ni directement ni indirectement. Et là, le problème aurait déjà deux solutions !

q = 3 Et q = -3

Oui, oui ! Avec un plus et un moins.) Mathématiquement, ce fait signifierait qu'il y a deux progressions, qui correspondent aux conditions du problème. Et chacun a son propre dénominateur. Juste pour vous amuser, entraînez-vous et écrivez les cinq premiers termes de chacun.)

Entraînons-nous maintenant à trouver le numéro du membre. Ce problème est le plus difficile, oui. Mais aussi plus créatif.)

Étant donné une progression géométrique :

3; 6; 12; 24; …

Quel nombre dans cette progression est le nombre 768 ?

La première étape est toujours la même : écrire la formulenle membre !

bn = b 1 · qn -1

Et maintenant, comme d’habitude, nous y substituons les données que nous connaissons. Hm... ça ne marche pas ! Où est le premier terme, où est le dénominateur, où est tout le reste ?!

Où, où... Pourquoi avons-nous besoin d'yeux ? Battre vos cils ? Cette fois la progression nous est donnée directement sous la forme séquences. Pouvons-nous voir le premier membre ? On voit ! C'est un triple (b 1 = 3). Et le dénominateur ? On ne le voit pas encore, mais c’est très facile à compter. Si bien sûr vous comprenez...

Alors on compte. Directement selon le sens d'une progression géométrique : on prend n'importe lequel de ses termes (sauf le premier) et on le divise par le précédent.

Au moins comme ça :

q = 24/12 = 2

Que savons-nous d’autre ? On connaît aussi un terme de cette progression, égal à 768. Sous un certain nombre n :

bn = 768

Nous ne connaissons pas son numéro, mais notre tâche est précisément de le retrouver.) Nous cherchons donc. Nous avons déjà téléchargé toutes les données nécessaires à la substitution dans la formule. À votre insu.)

Ici, nous remplaçons :

768 = 3 2n -1

Faisons les élémentaires - divisons les deux côtés par trois et réécrivons l'équation sous la forme habituelle : l'inconnue est à gauche, la connue est à droite.

On obtient :

2 n -1 = 256

C'est une équation intéressante. Nous devons trouver "n". Quoi, inhabituel ? Oui, je ne discute pas. En fait, c'est la chose la plus simple. On l'appelle ainsi parce que l'inconnu (en dans ce cas c'est un numéro n) coûte en indicateur degrés.

Au stade de l'apprentissage de la progression géométrique (nous sommes en neuvième année), on ne vous apprend pas à résoudre des équations exponentielles, oui... C'est un sujet pour le lycée. Mais il n'y a rien d'effrayant. Même si vous ne savez pas comment de telles équations sont résolues, essayons de trouver notre n, guidé par une logique simple et du bon sens.

Commençons à parler. A gauche nous avons un deux dans une certaine mesure. On ne sait pas encore ce qu’est exactement ce diplôme, mais ce n’est pas effrayant. Mais on sait avec certitude que ce degré est égal à 256 ! On se souvient donc dans quelle mesure deux nous donne 256. Vous vous en souvenez ? Oui! DANS huitième degrés!

256 = 2 8

Si vous ne vous souvenez pas ou avez des difficultés à reconnaître les degrés, ce n’est pas grave non plus : il suffit de successivement le carré deux, le cube, le quatrième, le cinquième, et ainsi de suite. La sélection, en fait, mais à ce niveau fonctionnera plutôt bien.

D'une manière ou d'une autre, on obtient :

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Donc 768 est neuvième membre de notre progression. Voilà, problème résolu.)

Réponse : 9

Quoi? Ennuyeux? Fatigué des trucs élémentaires ? Accepter. Moi aussi. Passons au niveau suivant.)

Tâches plus complexes.

Résolvons maintenant des problèmes plus difficiles. Pas vraiment super cool, mais qui nécessitent un peu de travail pour trouver la réponse.

Par exemple, celui-ci.

Trouvez le deuxième terme d'une progression géométrique si son quatrième terme est -24 et son septième terme est 192.

C'est un classique du genre. Deux termes différents de la progression sont connus, mais un autre terme doit être trouvé. De plus, tous les membres ne sont PAS voisins. Ce qui est déroutant au début, oui...

Comme dans, pour résoudre de tels problèmes, nous considérerons deux méthodes. La première méthode est universelle. Algébrique. Fonctionne parfaitement avec toutes les données sources. C'est pourquoi nous commencerons par cela.)

Nous décrivons chaque terme selon la formule nle membre !

Tout est exactement comme avec une progression arithmétique. Seulement cette fois, nous travaillons avec un autre formule générale. C'est tout.) Mais l'essence est la même : on prend et un par un Nous substituons nos données initiales dans la formule du nième terme. Pour chaque membre - le sien.

Pour le quatrième terme on écrit :

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Manger. Une équation est prête.

Pour le septième terme on écrit :

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Au total, nous avons deux équations pour la même évolution .

Nous en assemblons un système :

Malgré son apparence menaçante, le système est assez simple. La solution la plus évidente est la simple substitution. Nous exprimons b 1 de l'équation du haut et remplacez-la par celle du bas :

Après avoir bidouillé un peu l'équation du bas (en réduisant les puissances et en divisant par -24), on obtient :

q 3 = -8

D’ailleurs, cette même équation peut être obtenue de manière plus simple ! Lequel? Maintenant je vais vous montrer un autre secret, mais très beau, puissant et manière utile solutions pour de tels systèmes. De tels systèmes, dont les équations incluent ne fonctionne que. Au moins dans un. Appelé méthode de division une équation à une autre.

Nous avons donc devant nous un système :

Dans les deux équations de gauche - travail, et à droite se trouve juste un numéro. C'est très bon signe.) Prenons-le et... divisons, disons, l'équation inférieure par l'équation supérieure ! Qu'est-ce que ça veut dire divisons une équation par une autre ? Très simple. Prenons-le côté gauche une équation (inférieure) et diviser elle sur côté gauche une autre équation (en haut). Le côté droit est similaire : côté droit une équation diviser sur côté droit un autre.

L'ensemble du processus de division ressemble à ceci :

Maintenant, en réduisant tout ce qui peut être réduit, on obtient :

q 3 = -8

Qu'est-ce qui est bien avec cette méthode ? Oui, car dans le processus d'une telle division, tout ce qui est mauvais et gênant peut être réduit en toute sécurité et une équation totalement inoffensive subsiste ! C'est pourquoi il est si important d'avoir multiplication seulement dans au moins une des équations du système. Il n'y a pas de multiplication - il n'y a rien à réduire, oui...

En général, cette méthode (comme beaucoup d’autres méthodes non triviales de résolution de systèmes) mérite même une leçon distincte. Je vais certainement l'examiner plus en détail. Un jour…

Cependant, peu importe la manière exacte dont vous résolvez le système, dans tous les cas, nous devons maintenant résoudre l’équation résultante :

q 3 = -8

Pas de problème : extrayez la racine cubique et le tour est joué !

Veuillez noter qu'il n'est pas nécessaire de mettre un plus/moins ici lors de l'extraction. Notre racine est de degré impair (troisième). Et la réponse est également la même, oui.)

Ainsi, le dénominateur de la progression a été trouvé. Moins deux. Super! Le processus est en cours.)

Pour le premier terme (disons, à partir de l’équation supérieure), nous obtenons :

Super! On connaît le premier terme, on connaît le dénominateur. Et maintenant, nous avons la possibilité de retrouver n’importe quel membre de la progression. Y compris le deuxième.)

Pour le deuxième mandat tout est assez simple :

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Réponse : -6

Nous avons donc décomposé la méthode algébrique pour résoudre le problème. Difficile? Pas vraiment, je suis d'accord. Long et fastidieux ? Oui, définitivement. Mais parfois, vous pouvez réduire considérablement la quantité de travail. Pour cela il y a méthode graphique. Bon vieux et familier pour nous.)

Dessinons un problème !

Oui! C'est exact. Encore une fois, nous représentons notre progression sur l’axe des nombres. Il n’est pas nécessaire de suivre une règle, il n’est pas nécessaire de maintenir des intervalles égaux entre les termes (qui d’ailleurs ne seront pas les mêmes puisque la progression est géométrique !), mais simplement schématiquement Dessinons notre séquence.

Je l'ai eu comme ceci :

Maintenant, regardez l'image et comprenez-la. Combien de facteurs identiques "q" séparent quatrième Et septième des membres ? C'est vrai, trois !

Nous avons donc parfaitement le droit d'écrire :

-24·q 3 = 192

À partir de là, il est maintenant facile de trouver q :

q 3 = -8

q = -2

Ça tombe bien, on a déjà le dénominateur en poche. Regardons maintenant à nouveau le tableau : combien de ces dénominateurs se situent entre deuxième Et quatrième des membres ? Deux! Par conséquent, pour enregistrer le lien entre ces termes, nous élèverons le dénominateur quadrillé.

Nous écrivons donc :

b 2 · q 2 = -24 , où b 2 = -24/ q 2

Nous substituons notre dénominateur trouvé dans l'expression pour b 2, comptons et obtenons :

Réponse : -6

Comme vous pouvez le constater, tout est beaucoup plus simple et rapide que via le système. De plus, ici, nous n’avons même pas eu besoin de compter le premier terme ! Du tout.)

Voici une méthode si simple et claire : la lumière. Mais cela présente aussi un sérieux inconvénient. L'avez-vous deviné ? Oui! Ce n’est bon que pour des morceaux de progression très courts. Celles où les distances entre les membres qui nous intéressent ne sont pas très grandes. Mais dans tous les autres cas, il est déjà difficile de dresser un tableau, oui... Ensuite, nous résolvons le problème de manière analytique, à travers le système.) Et les systèmes sont des choses universelles. Ils peuvent gérer n’importe quel nombre.

Un autre défi épique :

Le deuxième terme de la progression géométrique est 10 de plus que le premier et le troisième terme est 30 de plus que le deuxième. Trouvez le dénominateur de la progression.

Quoi, cool ? Pas du tout! Tout est pareil. Encore une fois, nous traduisons l’énoncé du problème en algèbre pure.

1) Nous décrivons chaque terme selon la formule nle membre !

Deuxième terme : b 2 = b 1 q

Troisième terme : b 3 = b 1 q 2

2) Nous notons le lien entre les membres à partir de l'énoncé du problème.

Nous lisons la condition : "Le deuxième terme de la progression géométrique est 10 plus grand que le premier." Arrêtez, c'est précieux !

Nous écrivons donc :

b 2 = b 1 +10

Et nous traduisons cette phrase en mathématiques pures :

b 3 = b 2 +30

Nous avons deux équations. Combinons-les dans un système :

Le système semble simple. Mais il y a trop d’indices différents pour les lettres. Remplaçons les deuxième et troisième termes par leurs expressions par le premier terme et le dénominateur ! Est-ce en vain que nous les avons peints ?

On obtient :

Mais un tel système n'est plus un cadeau, oui... Comment résoudre ce problème ? Malheureusement, il n'existe pas de sortilège secret universel pour résoudre des problèmes complexes. non linéaire Il n’existe pas de systèmes en mathématiques et il ne peut y en avoir. C'est fantastique ! Mais la première chose qui devrait vous venir à l’esprit lorsque vous essayez de résoudre un problème aussi difficile est de comprendre Mais une des équations du système n’est-elle pas réductible à belle vue, permettant par exemple d'exprimer facilement une des variables par rapport à une autre ?

Voyons cela. La première équation du système est nettement plus simple que la seconde. Nous allons le torturer.) Ne devrions-nous pas essayer à partir de la première équation quelque chose exprimer à travers quelque chose? Puisque nous voulons trouver le dénominateur q, alors il serait plus avantageux pour nous d'exprimer b 1 à travers q.

Essayons donc de faire cette procédure avec la première équation, en utilisant les bonnes anciennes :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Tous! Nous avons donc exprimé inutile donnez-nous la variable (b 1) via nécessaire(q). Oui, ce n’est pas l’expression la plus simple que nous ayons. Une sorte de fraction... Mais notre système est d'un niveau décent, oui.)

Typique. Nous savons quoi faire.

Nous écrivons ODZ (Nécessairement!) :

q ≠ 1

On multiplie le tout par le dénominateur (q-1) et on annule toutes les fractions :

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

On divise le tout par dix, on ouvre les parenthèses et on récupère tout par la gauche :

q 2 – 4 q + 3 = 0

Nous résolvons le résultat et obtenons deux racines :

q 1 = 1

q 2 = 3

Il n'y a qu'une seule réponse finale : q = 3 .

Réponse : 3

Comme vous pouvez le constater, le chemin pour résoudre la plupart des problèmes impliquant la formule du nième terme d'une progression géométrique est toujours le même : lire attentivement condition du problème et en utilisant la formule du nième terme on traduit l'intégralité informations utiles en algèbre pure.

À savoir:

1) Nous décrivons séparément chaque terme donné dans le problème selon la formulenème membre.

2) À partir des conditions du problème, nous traduisons la connexion entre les membres sous forme mathématique. Nous composons une équation ou un système d'équations.

3) Nous résolvons l'équation ou le système d'équations résultant, trouvons les paramètres inconnus de la progression.

4) En cas de réponse ambiguë, lisez attentivement l'énoncé du problème à la recherche d'informations supplémentaires (le cas échéant). Nous vérifions également la réponse reçue avec les termes du DL (le cas échéant).

Énumérons maintenant les principaux problèmes qui conduisent le plus souvent à des erreurs dans le processus de résolution de problèmes de progression géométrique.

1. Arithmétique élémentaire. Opérations avec des fractions et des nombres négatifs.

2. S'il y a des problèmes sur au moins un de ces trois points, alors vous ferez inévitablement des erreurs sur ce sujet. Malheureusement... Alors ne soyez pas paresseux et répétez ce qui a été mentionné ci-dessus. Et suivez les liens - allez-y. Parfois, ça aide.)

Formules modifiées et récurrentes.

Examinons maintenant quelques problèmes d’examen typiques avec une présentation moins familière de la condition. Oui, oui, vous l'avez deviné ! Ce modifié Et récurrent formules du nième terme. Nous avons déjà rencontré de telles formules et travaillé sur la progression arithmétique. Tout est pareil ici. L'essence est la même.

Par exemple, ce problème de l'OGE :

La progression géométrique est donnée par la formule bn = 3 2 n . Trouvez la somme de ses premier et quatrième termes.

Cette fois, la progression n’est pas tout à fait comme d’habitude pour nous. Sous la forme d'une sorte de formule. Et alors ? Cette formule est aussi une formulenle membre ! Vous et moi savons que la formule du nième terme peut s'écrire à la fois sous forme générale, en utilisant des lettres, et pour progression spécifique. AVEC spécifique premier terme et dénominateur.

Dans notre cas, on nous donne en fait une formule générale pour une progression géométrique avec les paramètres suivants :

b 1 = 6

q = 2

Allons-nous vérifier ?) Écrivons la formule du nième terme sous sa forme générale et remplaçons-la par b 1 Et q. On obtient :

bn = b 1 · qn -1

bn= 6 2n -1

On simplifie en utilisant la factorisation et les propriétés des puissances, et on obtient :

bn= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Comme vous pouvez le constater, tout est juste. Mais notre objectif n’est pas de démontrer la dérivation d’une formule spécifique. C'est ainsi, une digression lyrique. Uniquement pour comprendre.) Notre objectif est de résoudre le problème en utilisant la formule qui nous est donnée dans la condition. Vous comprenez ?) Nous travaillons donc directement avec la formule modifiée.

On compte le premier terme. Remplaçons n=1 dans la formule générale :

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Comme ça. À propos, je ne serai pas paresseux et j'attirerai encore une fois votre attention sur une erreur typique dans le calcul du premier terme. À NE PAS FAIRE, en regardant la formule bn= 3 2n, dépêchez-vous immédiatement d'écrire que le premier terme est un trois ! C'est une grossière erreur, oui...)

Continuons. Remplaçons n=4 et comptez le quatrième terme :

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Et enfin, on calcule le montant requis :

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Réponse : 54

Un autre problème.

La progression géométrique est spécifiée par les conditions :

b 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

Trouvez le quatrième terme de la progression.

Ici la progression est donnée par une formule récurrente. Eh bien, d'accord.) Comment travailler avec cette formule – nous le savons aussi.

Alors nous agissons. Pas à pas.

1) Comptez deux consécutif membre de la progression.

Le premier mandat nous a déjà été donné. Moins sept. Mais le deuxième terme suivant peut être facilement calculé à l'aide de la formule de récurrence. Si vous comprenez le principe de son fonctionnement, bien sûr.)

On compte donc le deuxième terme selon la première bien connue :

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Calculer le dénominateur de la progression

Pas de problème non plus. Tout droit, divisons deuxième bite sur d'abord.

On obtient :

q = -21/(-7) = 3

3) Écrivez la formulenème membre sous la forme habituelle et calculez le membre requis.

Nous connaissons donc le premier terme, tout comme le dénominateur. Nous écrivons donc :

bn= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Réponse : -189

Comme vous pouvez le constater, travailler avec de telles formules pour une progression géométrique n'est fondamentalement pas différent de celui pour une progression arithmétique. Il est seulement important de comprendre l'essence générale et la signification de ces formules. Eh bien, vous devez également comprendre le sens de la progression géométrique, oui.) Et puis il n'y aura pas d'erreurs stupides.

Eh bien, décidons nous-mêmes ?)

Tâches très basiques pour l'échauffement :

1. Étant donné une progression géométrique dans laquelle b 1 = 243, une q = -2/3. Trouvez le sixième terme de la progression.

2. Le terme général de la progression géométrique est donné par la formule bn = 5∙2 n +1 . Trouvez le numéro du dernier terme à trois chiffres de cette progression.

3. La progression géométrique est donnée par les conditions :

b 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

Trouvez le cinquième terme de la progression.

Un peu plus compliqué :

4. Étant donné une progression géométrique :

b 1 =2048; q =-0,5

À quoi est égal le sixième terme négatif ?

Qu'est-ce qui semble super difficile ? Pas du tout. La logique et la compréhension du sens de la progression géométrique vous sauveront. Eh bien, la formule du nième terme, bien sûr.

5. Le troisième terme de la progression géométrique est -14 et le huitième terme est 112. Trouvez le dénominateur de la progression.

6. La somme des premier et deuxième termes de la progression géométrique est 75 et la somme des deuxième et troisième termes est 150. Trouvez le sixième terme de la progression.

Réponses (en désarroi) : 6 ; -3888 ; -1 ; 800 ; -32 ; 448.

C'est presque tout. Tout ce que nous avons à faire c'est apprendre à compter la somme des n premiers termes d'une progression géométrique oui découvrir progression géométrique infiniment décroissante et son montant. Une chose très intéressante et inhabituelle, d'ailleurs ! Nous en parlerons plus dans les prochaines leçons.)

Si pour tout nombre naturel n correspondre à un nombre réel un , alors ils disent que c'est donné séquence de nombres :

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un , . . . .

Ainsi, la séquence de nombres est fonction de l’argument naturel.

Nombre un 1 appelé premier terme de la suite , nombre un 2 — deuxième terme de la suite , nombre un 3 — troisième et ainsi de suite. Nombre un appelé nième mandat séquences , et un nombre naturel n — son numéro .

De deux membres adjacents un Et un +1 membre de séquence un +1 appelé ultérieur (par rapport à un ), UN un — précédent (par rapport à un +1 ).

Pour définir une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de rechercher un membre de la séquence avec n'importe quel numéro.

Souvent, la séquence est spécifiée en utilisant formules du nième terme , c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Par exemple,

une séquence de nombres impairs positifs peut être donnée par la formule

un= 2n- 1,

et la séquence d'alternance 1 Et -1 - formule

b n = (-1)n +1 . ◄

La séquence peut être déterminée formule récurrente, c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, en passant par les membres précédents (un ou plusieurs).

Par exemple,

Si un 1 = 1 , UN un +1 = un + 5

un 1 = 1,

un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit :

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,

un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être final Et sans fin .

La séquence s'appelle ultime , s'il compte un nombre fini de membres. La séquence s'appelle sans fin , s’il compte une infinité de membres.

Par exemple,

séquence de nombres naturels à deux chiffres :

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Suite de nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sans fin. ◄

La séquence s'appelle croissant , si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.

La séquence s'appelle décroissant , si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent.

Par exemple,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — séquence croissante ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — séquence décroissante. ◄

Une séquence dont les éléments ne diminuent pas à mesure que le nombre augmente, ou, au contraire, n'augmentent pas, s'appelle séquence monotone .

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un, . . .

est une progression arithmétique si pour n'importe quel nombre naturel n la condition est remplie :

un +1 = un + d,

Où d - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre les termes suivants et précédents d'une progression arithmétique donnée est toujours constante :

un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un +1 - un = d.

Nombre d appelé différence de progression arithmétique.

Pour définir une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et sa différence.

Par exemple,

Si un 1 = 3, d = 4 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,

un 5 = un 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pour une progression arithmétique avec le premier terme un 1 et la différence d son n

un = un 1 + (n- 1)d.

Par exemple,

trouver le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, d = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)ré = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (n- 2)d,

un= un 1 + (n- 1)d,

un +1 = un 1 + sd,

alors évidemment

Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par exemple,

un = 2n- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

un = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(m+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ainsi,

◄

Noter que n Le ème terme d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers un 1 , mais aussi tout précédent un k

un = un k + (n- k)d.

Par exemple,

Pour un 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4d,

un 5 = un 2 + 3d,

un 5 = un 3 + 2d,

un 5 = un 4 + d. ◄

un = un n-k + kd,

un = un n+k - kd,

alors évidemment

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moitié de la somme des membres équidistants de cette progression arithmétique.

De plus, pour toute progression arithmétique, l’égalité suivante est vraie :

une m + une n = une k + une l,

m + n = k + l.

Par exemple,

en progression arithmétique

1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, parce que

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= une 1 + une 2 + une 3 + . . .+ un,

d'abord n termes d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes et du nombre de termes :

De là, en particulier, il s'ensuit que si vous devez additionner les termes

un k, un k +1 , . . . , un,

alors la formule précédente conserve sa structure :

Par exemple,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités un 1 , un, d, n EtS n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une séquence monotone. Dans ce cas:

• Si d > 0 , alors il augmente ;
• Si d < 0 , alors il diminue ;
• Si d = 0 , alors la séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel n la condition est remplie :

bn +1 = bn · q,

Où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du terme suivant d'une progression géométrique donnée au précédent est un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

Nombre q appelé dénominateur de progression géométrique.

Pour définir une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

Par exemple,

Si b 1 = 1, q = -3 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et le dénominateur q son n Le ème terme peut être trouvé à l'aide de la formule :

bn = b 1 · qn -1 .

Par exemple,

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = b 1 · qn,

alors évidemment

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque l’inverse est également vrai, la déclaration suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par exemple,

Montrons que la suite donnée par la formule bn= -3 2 n , est une progression géométrique. Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

bn= -3 2 n,

bn -1 = -3 2 n -1 ,

bn +1 = -3 2 n +1 .

Ainsi,

bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ce qui prouve l’énoncé souhaité. ◄

Noter que n Le ième terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement à travers b 1 , mais aussi tout membre précédent bb , pour lequel il suffit d'utiliser la formule

bn = bb · qn - k.

Par exemple,

Pour b 5 peut être écrit

b5 = b1 · q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q. ◄

bn = bb · qn - k,

bn = bn - k · qk,

alors évidemment

bn 2 = bn - k· bn + k

le carré de tout terme d'une progression géométrique, à partir du second, est égal au produit des termes équidistants de cette progression.

De plus, pour toute progression géométrique l'égalité est vraie :

bm· bn= bb· b l,

m+ n= k+ je.

Par exemple,

en progression géométrique

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , parce que

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn

d'abord n membres d'une progression géométrique avec dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les termes

bb, bb +1 , . . . , bn,

alors la formule est utilisée :

Par exemple,

en progression géométrique 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , bn, q, n Et S n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et le dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :

• la progression est croissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et q> 1;

b 1 < 0 Et 0 < q< 1;

• La progression est décroissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et 0 < q< 1;

b 1 < 0 Et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est alternée : ses termes avec des nombres impairs ont le même signe que son premier terme, et les termes avec des nombres pairs ont le signe opposé. Il est clair qu’une progression géométrique alternée n’est pas monotone.

Produit du premier n les membres d'une progression géométrique peuvent être calculés à l'aide de la formule :

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .

Par exemple,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique infiniment décroissante

Progression géométrique infiniment décroissante appelée progression géométrique infinie dont le module du dénominateur est inférieur 1 , c'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique infiniment décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. ça correspond à l'occasion

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est alternée. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel se rapproche sans limite la somme des premiers n membres d'une progression avec une augmentation illimitée du nombre n . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

Par exemple,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Regardons seulement deux exemples.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . d , Que

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .

Par exemple,

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique avec différence 2 Et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q , Que

journal a b 1, journal a b 2, journal a b 3, . . . - progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

Par exemple,

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6 Et

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - progression arithmétique avec différence LG 6 . ◄

Considérons une certaine série.

7 28 112 448 1792...

Il est absolument clair que la valeur de l’un de ses éléments est exactement quatre fois supérieure à celle du précédent. Moyens, cette série est une progression.

Une progression géométrique est une séquence infinie de nombres. caractéristique principale c'est-à-dire que le nombre suivant est obtenu à partir du précédent en multipliant par un nombre spécifique. Ceci est exprimé par la formule suivante.

a z +1 =a z ·q, où z est le numéro de l'élément sélectionné.

Par conséquent, z ∈ N.

La période pendant laquelle la progression géométrique est étudiée à l'école est la 9e année. Des exemples vous aideront à comprendre le concept :

0.25 0.125 0.0625...

Sur la base de cette formule, le dénominateur de la progression peut être trouvé comme suit :

Ni q ni b z ne peuvent être nuls. Aussi, chacun des éléments de la progression ne doit pas être égal à zéro.

Par conséquent, pour connaître le nombre suivant d'une série, vous devez multiplier le dernier par q.

Pour définir cette progression, vous devez spécifier son premier élément et son dénominateur. Après cela, il est possible de trouver n’importe lequel des termes suivants et leur somme.

Variétés

En fonction de q et a 1, cette progression se divise en plusieurs types :

• Si a 1 et q sont tous deux supérieurs à un, alors une telle séquence augmente à chaque fois élément suivant progression géométrique. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.

Exemple : a 1 =3, q=2 - les deux paramètres sont supérieurs à un.

Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :

3 6 12 24 48 ...

• Si |q| est inférieur à un, c'est-à-dire que la multiplication par lui équivaut à la division, alors une progression avec des conditions similaires est une progression géométrique décroissante. Un exemple de ceci est présenté ci-dessous.

Exemple : a 1 =6, q=1/3 - a 1 est supérieur à un, q est inférieur.

Alors la suite de nombres peut s’écrire comme suit :

6 2 2/3 ... - tout élément est 3 fois plus grand que l'élément qui le suit.

• Signe alterné. Si q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemple : a 1 = -3, q = -2 - les deux paramètres sont inférieurs à zéro.

Alors la séquence de nombres peut s’écrire comme ceci :

3, 6, -12, 24,...

Formules

Il existe de nombreuses formules pour une utilisation pratique des progressions géométriques :

• Formule pour le zième terme. Vous permet de calculer un élément sous un nombre spécifique sans calculer les nombres précédents.

Exemple:q = 3, un 1 = 4. Il faut compter le quatrième élément de la progression.

Solution:un 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• La somme des premiers éléments dont le nombre est égal à z. Permet de calculer la somme de tous les éléments d'une séquence jusqu'àun zcompris.

Depuis (1-q) est au dénominateur, alors (1 - q)≠ 0, donc q n'est pas égal à 1.

Remarque : si q=1, alors la progression serait une série de nombres répétitifs à l'infini.

Somme de progression géométrique, exemples :un 1 = 2, q= -2. Calculez S5.

Solution:S 5 = 22 - calcul à l'aide de la formule.

• Montant si |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemple:un 1 = 2 , q= 0,5. Trouvez le montant.

Solution:Taille = 2 · = 4

Taille = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Quelques propriétés :

• Propriété caractéristique. Si la condition suivante fonctionne pour n'importe quelz, alors la série de nombres donnée est une progression géométrique :

un z 2 = un z -1 · unz+1

• De plus, le carré de n'importe quel nombre dans une progression géométrique est trouvé en additionnant les carrés de deux autres nombres quelconques dans une série donnée, s'ils sont équidistants de cet élément.

un z 2 = un z - t 2 + un z + t 2 , Oùt- la distance entre ces nombres.

• Élémentsdiffèrent en qune fois.
• Les logarithmes des éléments d'une progression forment également une progression, mais arithmétique, c'est-à-dire que chacun d'eux est supérieur au précédent d'un certain nombre.

Exemples de quelques problèmes classiques

Pour mieux comprendre ce qu'est une progression géométrique, des exemples avec des solutions pour la classe 9 peuvent vous aider.

• Conditions:un 1 = 3, un 3 = 48. Trouverq.

Solution : chaque élément suivant est supérieur au précédent dansq une fois.Il est nécessaire d'exprimer certains éléments par rapport à d'autres à l'aide d'un dénominateur.

Ainsi,un 3 = q 2 · un 1

Lors du remplacementq= 4

• Conditions:un 2 = 6, un 3 = 12. Calculez S 6.

Solution:Pour ce faire, trouvez simplement q, le premier élément et remplacez-le dans la formule.

un 3 = q· un 2 , ainsi,q= 2

une 2 = q · un 1 ,C'est pourquoi un 1 = 3

S6 = 189

• · un 1 = 10, q= -2. Trouvez le quatrième élément de la progression.

Solution : pour ce faire, il suffit d'exprimer le quatrième élément par le premier et par le dénominateur.

une 4 = q 3· un 1 = -80

Exemple d'application :

• Un client de la banque a effectué un dépôt d'un montant de 10 000 roubles, aux termes duquel chaque année, le client verra 6 % de ce montant ajouté au montant principal. Combien d’argent y aura-t-il sur le compte après 4 ans ?

Solution : Le montant initial est de 10 000 roubles. Cela signifie qu'un an après l'investissement, le compte aura un montant égal à 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Ainsi, le montant du compte après une autre année sera exprimé comme suit :

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Autrement dit, chaque année, le montant augmente de 1,06 fois. Cela signifie que pour retrouver le montant des fonds sur le compte après 4 ans, il suffit de trouver le quatrième élément de progression, qui est donné par le premier élément égal à 10 mille et le dénominateur égal à 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625

Exemples de problèmes de calcul de somme :

La progression géométrique est utilisée dans divers problèmes. Un exemple pour trouver la somme peut être donné comme suit :

un 1 = 4, q= 2, calculezS5.

Solution : toutes les données nécessaires au calcul sont connues, il suffit de les substituer dans la formule.

S 5 = 124

• un 2 = 6, un 3 = 18. Calculez la somme des six premiers éléments.

Solution:

En géom. progression, chaque élément suivant est q fois supérieur au précédent, c'est-à-dire que pour calculer la somme, vous devez connaître l'élémentun 1 et le dénominateurq.

un 2 · q = un 3

q = 3

De même, vous devez trouverun 1 , sachantun 2 Etq.

un 1 · q = un 2

un 1 =2

S 6 = 728.

Progression géométrique non moins important en mathématiques qu'en arithmétique. Une progression géométrique est une suite de nombres b1, b2,..., b[n] dont chaque terme suivant est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant. Ce nombre, qui caractérise également le taux de croissance ou de décroissance de la progression, est appelé dénominateur de progression géométrique et désigne

Pour préciser complètement une progression géométrique, en plus du dénominateur, il faut connaître ou déterminer son premier terme. Pour une valeur positive du dénominateur, la progression est une séquence monotone, et si cette séquence de nombres est monotone décroissante et si elle est monotone croissante. Le cas où le dénominateur est égal à un n'est pas envisagé en pratique, puisque l'on a une suite de nombres identiques, et leur sommation n'a aucun intérêt pratique

Terme général de progression géométrique calculé par la formule

Somme des n premiers termes d'une progression géométrique déterminé par la formule

Examinons les solutions aux problèmes classiques de progression géométrique. Commençons par les plus simples à comprendre.

Exemple 1. Le premier terme d'une progression géométrique est 27 et son dénominateur est 1/3. Trouvez les six premiers termes de la progression géométrique.

Solution : Écrivons la condition problématique sous la forme

Pour les calculs, nous utilisons la formule du nième terme d'une progression géométrique

Sur cette base, nous trouvons les termes inconnus de la progression

Comme vous pouvez le constater, calculer les termes d'une progression géométrique n'est pas difficile. La progression elle-même ressemblera à ceci

Exemple 2. Les trois premiers termes de la progression géométrique sont donnés : 6 ; -12 ; 24. Trouvez le dénominateur et son septième terme.

Solution : Nous calculons le dénominateur de la progression géomitrique en fonction de sa définition

Nous avons obtenu une progression géométrique alternée dont le dénominateur est égal à -2. Le septième terme est calculé à l'aide de la formule

Cela résout le problème.

Exemple 3. Une progression géométrique est donnée par deux de ses termes . Trouvez le dixième terme de la progression.

Solution:

Écrivons les valeurs données à l'aide de formules

Selon les règles, il faudrait trouver le dénominateur puis chercher la valeur souhaitée, mais pour le dixième terme nous avons

La même formule peut être obtenue sur la base de simples manipulations avec les données d'entrée. Divisez le sixième terme de la série par un autre, et nous obtenons

Si la valeur résultante est multipliée par le sixième terme, on obtient le dixième

Ainsi, pour de tels problèmes, en utilisant rapidement des transformations simples, vous pouvez trouver la bonne solution.

Exemple 4. La progression géométrique est donnée par des formules récurrentes

Trouvez le dénominateur de la progression géométrique et la somme des six premiers termes.

Solution:

Écrivons les données données sous la forme d'un système d'équations

Exprimez le dénominateur en divisant la deuxième équation par la première

Trouvons le premier terme de la progression de la première équation

Calculons les cinq termes suivants pour trouver la somme de la progression géométrique