Premier niveau

Degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où en avez-vous besoin ? Pourquoi avez-vous besoin de passer du temps à les étudier?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances dans Vie courante lire cet article.

Et, bien sûr, connaître les diplômes vous rapprochera d'un succès passer l'OGE ou l'examen d'État unifié et d'entrer dans l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si au lieu de formules vous voyez du charabia, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est la même opération mathématique comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain d'une manière très exemples simples. Faire attention. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Chacun a deux bouteilles de cola. Combien de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Multiplication maintenant.

Le même exemple avec cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d'abord certains modèles, puis trouvent un moyen de les «compter» plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes avait le même nombre de bouteilles de cola et ont proposé une technique appelée multiplication. D'accord, il est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreur, il vous suffit de vous rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus fort et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et une autre, plus jolie :

Et quoi d'autre trucs délicats mathématiciens paresseux sont venus avec les factures? Correctement - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez élever ce nombre à la cinquième puissance. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la cinquième puissance est. Et ils résolvent ces problèmes dans leur esprit - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Pour ce faire, il vous suffit rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi le second degré s'appelle-t-il carré nombres, et le troisième cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question. Maintenant, vous aurez à la fois des carrés et des cubes.

Exemple concret #1

Commençons par un carré ou la seconde puissance d'un nombre.

Imaginez une piscine carrée mesurant mètres par mètres. La piscine est dans votre jardin. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... une piscine sans fond ! Il est nécessaire de couvrir le fond de la piscine avec des carreaux. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de déterminer cela, vous devez connaître la superficie du fond de la piscine.

Vous pouvez simplement compter en poussant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vos carreaux sont mètre par mètre, il vous faudra des pièces. C'est facile... Mais où as-tu vu un tel carreau ? Le carreau sera plutôt cm par cm et puis vous serez tourmenté par « compter avec le doigt ». Ensuite, il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine, on posera des tuiles (morceaux) et de l'autre, aussi, des tuiles. En multipliant par, vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué qu'on a multiplié le même nombre par lui-même pour déterminer l'aire du fond de la piscine ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque le même nombre est multiplié, nous pouvons utiliser la technique d'exponentiation. (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs dans les calculs . Pour l'examen, c'est très important).
Ainsi, trente au deuxième degré sera (). Ou vous pouvez dire que trente carrés le seront. En d'autres termes, la seconde puissance d'un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c'est TOUJOURS la seconde puissance d'un certain nombre. Un carré est une image de la puissance seconde d'un nombre.

Exemple concret #2

Voici une tâche pour vous, comptez le nombre de cases sur l'échiquier en utilisant la case du nombre ... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour compter leur nombre, vous devez multiplier huit par huit, ou ... si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez carré huit. Obtenez des cellules. () Alors?

Exemple concret #3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. Le même bassin. Mais maintenant, vous devez savoir combien d'eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Les volumes et les liquides, soit dit en passant, sont mesurés en mètres cubes. De manière inattendue, n'est-ce pas ?) Dessinez une piscine : un fond d'un mètre de taille et d'un mètre de profondeur et essayez de calculer combien de cubes mètre par mètre au total entreront dans votre piscine.

Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre… vingt-deux, vingt-trois… Combien cela a-t-il coûté ? Vous ne vous êtes pas perdu ? C'est difficile de compter avec le doigt ? Pour que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, vous devez multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus facile, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens sont paresseux et rusés s'ils rendent cela trop facile. Tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Et qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez utiliser le diplôme. Ainsi, ce que vous comptiez autrefois avec un doigt, ils le font en une seule action : trois dans un cube est égal. Il s'écrit comme ceci :

Reste seulement mémoriser le tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous ne soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des fainéants et des gens rusés pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques exemples supplémentaires tirés de la vie.

Exemple concret #4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, vous gagnez un autre million pour chaque million. Autrement dit, chacun de vos millions au début de chaque année double. Combien d'argent aurez-vous dans les années ? Si vous êtes maintenant assis et que vous «comptez avec votre doigt», alors vous êtes une personne très travailleuse et .. stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Alors, la première année - deux fois deux... la deuxième année - ce qui s'est passé, par deux de plus, la troisième année... Arrêtez ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même une fois. Donc, deux à la puissance cinq, c'est un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui calcule le plus vite obtienne ces millions... Est-ce que ça vaut la peine de rappeler les degrés des nombres, qu'en pensez-vous ?

Exemple concret #5

Vous avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez deux de plus pour chaque million. C'est super non ? Chaque million est triplé. Combien d'argent aurez-vous dans un an ? Comptons. La première année - multipliez par, puis le résultat par un autre ... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris: trois se multiplient par eux-mêmes. Donc la quatrième puissance est un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre est ou.

Vous savez maintenant qu'en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons de plus près ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts ... pour ne pas se confondre

Alors, d'abord, définissons les concepts. Qu'est-ce que tu penses, quel est l'exposant? C'est très simple - c'est le nombre qui est "en haut" de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple est le nombre qui est en bas, à la base.

Voici une photo pour que vous soyez sûr.

Eh bien et dans vue générale pour généraliser et mieux retenir... Un degré avec une base "" et un exposant "" se lit comme "au degré" et s'écrit comme suit :

Puissance d'un nombre avec un exposant naturel

Vous l'avez probablement déjà deviné : parce que l'exposant est entier naturel. Oui, mais qu'est-ce que entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont ceux qui sont utilisés pour compter lors de la liste des éléments : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des éléments, nous ne disons pas : "moins cinq", "moins six", "moins sept". Nous ne disons pas non plus "un tiers" ou "zéro virgule cinq dixièmes". Ce ne sont pas des nombres naturels. Que pensez-vous que ces chiffres sont?

Des nombres comme "moins cinq", "moins six", "moins sept" font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et un nombre. Zéro est facile à comprendre - c'est quand il n'y a rien. Et que signifient les nombres négatifs ("moins") ? Mais ils ont été inventés avant tout pour désigner des dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont des nombres rationnels. D'après vous, comment sont-ils arrivés ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'ils n'avaient pas assez de nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, l'aire, etc. Et ils sont venus avec nombres rationnels… Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref sans fin décimal. Par exemple, si vous divisez la circonférence d'un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Sommaire:

Définissons le concept de degré, dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

1. Tout nombre à la première puissance est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même :
3. Mettre un nombre au cube, c'est le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle, c'est multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés du diplôme

D'où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons ce qui est et ?

Par définition:

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C'est très simple : nous avons ajouté des facteurs aux facteurs, et le résultat est des facteurs.

Mais par définition, c'est le degré d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , qui devait être prouvé.

Exemple: Simplifiez l'expression.

La solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

La solution: Il est important de noter que dans notre règle nécessairementça doit être la même raison !
Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais restons un facteur distinct :

uniquement pour les produits de puissances !

Vous ne devez en aucun cas écrire cela.

2. c'est-à-dire -ième puissance d'un nombre

Comme pour la propriété précédente, passons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ème puissance du nombre :

En fait, cela peut s'appeler "mettre entre parenthèses l'indicateur". Mais vous ne pouvez jamais faire ceci au total :

Rappelons les formules de la multiplication abrégée : combien de fois a-t-on voulu écrire ?

Mais ce n'est pas vrai, vraiment.

Diplôme à base négative

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce que devrait être l'exposant.

Mais quelle devrait être la base?

En degrés de indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre. En effet, on peut multiplier n'importe quel nombre entre eux, qu'il soit positif, négatif ou pair.

Réfléchissons à quels signes ("" ou "") auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? MAIS? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que nous multiplions entre eux, le résultat sera positif.

Mais les négatifs sont un peu plus intéressants. Après tout, on se souvient d'une règle simple de la 6e année : « un moins fois un moins donne un plus ». C'est-à-dire ou. Mais si nous multiplions par, il s'avère.

Déterminez par vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

Avez-vous réussi?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant, et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît: peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Eh bien, sauf quand la base est zéro. La base n'est pas la même, n'est-ce pas ? Évidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples de pratique

Analyse de la solution 6 exemples

Si nous ne prêtons pas attention au huitième degré, que voyons-nous ici ? Jetons un coup d'œil au programme de la 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés ! On a:

Nous regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. S'ils étaient échangés, la règle pourrait s'appliquer.

Mais comment faire ça ? Il s'avère que c'est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Les termes ont magiquement changé de place. Ce "phénomène" s'applique à toute expression à un degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se souvenir : tous les signes changent en même temps!

Reprenons l'exemple :

Et encore la formule :

ensemble nous nommons les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe "") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent de naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Passons maintenant aux nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, nous nous demandons : pourquoi en est-il ainsi ?

Envisagez une certaine puissance avec une base. Prenons, par exemple, et multiplions par :

Donc, nous avons multiplié le nombre par, et nous avons obtenu le même qu'il était -. Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, sur. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtenez toujours zéro, c'est clair. Mais d'autre part, comme tout nombre au degré zéro, il doit être égal. Quelle est donc la vérité là-dedans ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s'impliquer et ont refusé d'élever zéro à la puissance zéro. C'est-à-dire que maintenant nous pouvons non seulement diviser par zéro, mais aussi l'élever à la puissance zéro.

Allons plus loin. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent des nombres négatifs. Pour comprendre ce qu'est un degré négatif, faisons la même chose que la dernière fois : multipliez un nombre normal par le même dans degré négatif:

A partir de là, il est déjà facile d'exprimer le souhait:

Maintenant, nous étendons la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons la règle :

Un nombre à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive. Mais en même temps la base ne peut pas être nulle :(parce qu'il est impossible de diviser).

Résumons :

I. L'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

II. Tout nombre à la puissance zéro est égal à un : .

III. Un nombre qui n'est pas égal à zéro à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive : .

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solution indépendante :

Analyse des tâches pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen il faut être prêt à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leur solution si vous ne pouviez pas le résoudre et vous apprendrez à les traiter facilement lors de l'examen !

Continuons à élargir la gamme de nombres "appropriés" en tant qu'exposant.

Considérez maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout cela peut être représenté sous forme de fraction, où et sont d'ailleurs des entiers.

Pour comprendre ce qui est "degré fractionnaire" Considérons une fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Maintenant rappelez-vous la règle "degré en degré":

Quel nombre doit être élevé à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ème degré.

Je vous rappelle : la racine de la ème puissance d'un nombre () est un nombre qui, élevé à une puissance, est égal.

C'est-à-dire que la racine du ème degré est l'opération inverse de l'exponentiation : .

Il se trouve que. Évidemment cela cas particulier peut être prolongé : .

Ajoutez maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir avec la règle power-to-power :

Mais la base peut-elle être n'importe quel nombre ? Après tout, la racine ne peut pas être extraite de tous les nombres.

Aucun!

Rappelez-vous la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. C'est-à-dire qu'il est impossible d'extraire des racines de degré pair à partir de nombres négatifs !

Et cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.

Qu'en est-il de l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté par d'autres fractions réduites, par exemple, ou.

Et il s'avère qu'il existe, mais n'existe pas, et ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, puis vous pouvez l'écrire. Mais dès que nous écrivons l'indicateur d'une manière différente, nous avons à nouveau des problèmes : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, considérons seul exposant de base positif avec exposant fractionnaire.

Donc si:

• - entier naturel;
• est un entier ;

Exemples:

Les puissances avec un exposant rationnel sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples pratiques

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, maintenant - le plus difficile. Nous allons maintenant analyser degré c indicateur irrationnel .

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour les degrés avec un exposant rationnel, à l'exception de

En effet, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, entier et rationnel, nous avons chaque fois inventé une certaine «image», «analogie» ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...puissance nulle- c'est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - donc le résultat n'est qu'un certain "nombre vide" , à savoir le nombre ;

...exposant entier négatif- c'est comme si une sorte de " processus inverse”, c'est-à-dire que le nombre n'a pas été multiplié par lui-même, mais divisé.

Soit dit en passant, la science utilise souvent un degré avec un exposant complexe, c'est-à-dire qu'un exposant n'est même pas un nombre réel.

Mais à l'école, on ne pense pas à ces difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle déjà habituelle pour élever un degré à un degré :

Regardez maintenant le score. Vous rappelle-t-il quelque chose ? On rappelle la formule de multiplication abrégée de la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Réponse: .

2. Nous apportons les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :

NIVEAU AVANCÉ

Définition du diplôme

Le degré est une expression de la forme : , où :

• — base de diplôme;
• - exposant.

Degré avec exposant naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n revient à multiplier le nombre par lui-même par :

Puissance avec exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif Numéro:

érection à puissance nulle:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, tout nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif Numéro:

(parce qu'il est impossible de diviser).

Encore une fois à propos des valeurs nulles : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

Exemples:

Degré avec exposant rationnel

• - entier naturel;
• est un entier ;

Exemples:

Propriétés du diplôme

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d'où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons: qu'est-ce que et?

Par définition:

Ainsi, à droite de cette expression, on obtient le produit suivant :

Mais par définition, c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

La solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

La solution : Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doivent avoir la même base. Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais restons un facteur distinct :

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour les produits de puissances!

Je ne dois en aucun cas écrire cela.

Comme pour la propriété précédente, passons à la définition du degré :

Réorganisons-le comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la puissance -ième du nombre:

En fait, cela peut s'appeler "mettre entre parenthèses l'indicateur". Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de la multiplication abrégée : combien de fois a-t-on voulu écrire ? Mais ce n'est pas vrai, vraiment.

Puissance à base négative.

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce qui devrait être indice diplôme. Mais quelle devrait être la base? En degrés de Naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, on peut multiplier n'importe quel nombre entre eux, qu'il soit positif, négatif ou pair. Réfléchissons à quels signes ("" ou "") auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? MAIS? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que nous multiplions entre eux, le résultat sera positif.

Mais les négatifs sont un peu plus intéressants. Après tout, on se souvient d'une règle simple de la 6e année : « un moins fois un moins donne un plus ». C'est-à-dire ou. Mais si nous multiplions par (), nous obtenons -.

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication suivante, le signe changera. Il est possible de formuler une telle règles simples:

1. même degré, - nombre positif.
2. Un nombre négatif, érigé en étrange degré, - nombre négatif.
3. Un nombre positif à n'importe quelle puissance est un nombre positif.
4. Zéro à toute puissance est égal à zéro.

Déterminez par vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

Avez-vous réussi? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair? Nous regardons simplement la base et l'exposant, et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît: peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Eh bien, sauf quand la base est zéro. La base n'est pas la même, n'est-ce pas ? Évidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir lequel est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, il devient clair que, ce qui signifie que la base moins que zéro. Autrement dit, nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des degrés et les divisons les uns dans les autres, les divisons par paires et obtenons:

Avant d'analyser la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les valeurs des expressions :

Solutions :

Si nous ne prêtons pas attention au huitième degré, que voyons-nous ici ? Jetons un coup d'œil au programme de la 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés !

On a:

Nous regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. S'ils étaient inversés, la règle 3 pourrait s'appliquer, mais comment faire ? Il s'avère que c'est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant ça ressemble à ça :

Les termes ont magiquement changé de place. Ce "phénomène" s'applique à toute expression à un degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se souvenir : tous les signes changent en même temps ! Il ne peut pas être remplacé en changeant un seul moins répréhensible pour nous !

Reprenons l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d'habitude : élargissons le concept de diplôme et simplifions :

Eh bien, maintenant ouvrons les parenthèses. Combien y aura-t-il de lettres ? fois par des multiplicateurs - à quoi cela ressemble-t-il ? Ce n'est rien d'autre que la définition d'une opération multiplication: total il s'est avéré être des multiplicateurs. Autrement dit, c'est, par définition, une puissance d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Degré avec exposant irrationnel

En plus des informations sur les degrés pour le niveau moyen, nous analyserons le degré avec un indicateur irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, entier et rationnel, nous avons chaque fois inventé une certaine «image», «analogie» ou description en termes plus familiers. Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre au degré zéro est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - par conséquent, le résultat n'est qu'un certaine « préparation d'un numéro », à savoir un numéro ; un degré avec un indicateur négatif entier - c'est comme si un certain «processus inverse» s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d'imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d'imaginer un espace à 4 dimensions). C'est plutôt un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre le concept de degré à tout l'espace des nombres.

Soit dit en passant, la science utilise souvent un degré avec un exposant complexe, c'est-à-dire qu'un exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l'école, on ne pense pas à ces difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

Alors que faire si nous voyons un exposant irrationnel ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

Réponses:

1. Rappelez-vous la formule de la différence des carrés. Réponse: .
2. On ramène les fractions à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple : .
3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULE DE BASE

Diplôme est appelée une expression de la forme : , où :

Degré avec exposant entier

degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Degré avec exposant rationnel

degré, dont l'indicateur est les nombres négatifs et fractionnaires.

Degré avec exposant irrationnel

exposant dont l'exposant est une fraction ou une racine décimale infinie.

Propriétés du diplôme

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif élevé à même degré, - nombre positif.
• Nombre négatif élevé à étrange degré, - nombre négatif.
• Un nombre positif à n'importe quelle puissance est un nombre positif.
• Zéro est égal à n'importe quelle puissance.
• Tout nombre à la puissance zéro est égal.

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Boom de l'information En biologie - colonies de microbes dans une boîte de Pétri Lapins en Australie Réactions en chaîne - en chimie En physique - désintégration radioactive, changement pression atmosphérique avec changement d'altitude, refroidissement du corps En physique, décroissance radioactive, changement de pression atmosphérique avec changement d'altitude, refroidissement du corps. La libération d'adrénaline dans le sang et sa destruction Ils affirment également que la quantité d'informations double tous les 10 ans Ils affirment également que la quantité d'informations double tous les 10 ans.

(3/5) -1 une 1 3 1/2 (4/9) 0 une *81 (1/2) -3 une -n ​​36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

Expression 2 x 2 2 = 4 2 5 = = = 1/2 4 = 1/16 2 4/3 = 32 4 = 0,5 = 1/2 3,5 = 1/2 7= 1/(8 2) = 2/ 16 2)=

3=1, … 1 ; 1,7 1,73 ; 1,732 ; 1,73205 ; 1, ;… la suite augmente 2 1 ; 2 1,7 ; 2 1,73 ; 2 1,732 ; 2 1,73205 ; 2 1, ;… la suite augmente Limitée, ce qui signifie qu'elle converge vers une limite - valeur 2 3

On peut définir π 0

10 10 18 Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="(!LANG : Propriétés de la fonction y = a x n \ n a >10 21

La quantité d'informations double tous les 10 ans Sur l'axe Ox - selon la loi de progression arithmétique : 1,2,3,4…. Sur l'axe des ordonnées - conformément à la loi progression géométrique: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Le graphe d'une fonction exponentielle, on l'appelle l'exposant (du latin exponere - afficher)

Degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.

Expression un n défini pour tout a et n, sauf dans le cas a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont vraies :

UNE m * une n = une m + n ; un m: un n \u003d un m-n (un ≠ 0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n * b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m > a n pour a> 1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette sous-section, nous généralisons la notion de puissance d'un nombre en donnant un sens à des expressions comme 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition telle que les puissances à exposants rationnels aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la puissance n du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété

(une p) q = une pq

est effectué, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la racine nième) que le nombredoit être la nième racine de a m.

Définition.

Le degré de a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier, et n est un entier naturel (n> 1), est le nombre

Donc par définition

(1)

La puissance de 0 n'est définie que pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.

Degré avec un exposant irrationnel.

nombre irrationnelpeut être représenté commelimite d'une suite de nombres rationnels: .

Laisser . Ensuite, il y a des puissances avec un exposant rationnel. On peut montrer que la suite de ces puissances est convergente. La limite de cette suite est appelée degré avec base et exposant irrationnel: .

Traçons plusieurs points du graphique de la fonction y \u003d 2 X ayant préalablement calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 X sur l'intervalle [-2 ; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b) En poursuivant mentalement les mêmes constructions avec un pas de 1/16, 1/32 , etc., on voit que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qu'il est naturel de considérer comme le graphique d'une fonction, déjà définie et croissante sur toute la droite numérique et prenant les valeursà des points rationnels(Fig. 1, c). Ayant suffisamment construit grand nombre points du graphique de la fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent qu'il est possible de définir les nombres 2 et pour tout irrationnel α tel que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y \u003d 2 X augmente, et la fonctiondiminue le long de la droite numérique entière.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a α pour α irrationnel pour a>1. On veut s'assurer que la fonction y = a X augmentait. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choix des valeurs r 1 et r2 en approchant de x, on voit que les valeurs correspondantes de a r 1 et un r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et de plus un seul, un nombre y supérieur à tout a r1 pour tout r rationnel 1 et moins que tous a r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est, par définition, un α .

Par exemple, avoir calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 x aux points x n et x` n , où x n et x` n - approximations décimales d'un nombreon trouve que plus x est proche n et x` n à , moins ils diffèrent 2 x n et 2 x` n .

Depuis

et donc,

De même, en considérant les approximations décimales suivantespar carence et excès, on arrive aux relations

;

;

;

;

.

Sens calculé sur la calculatrice est :

.

Le nombre un α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.

Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y=une X, qui est différent de la constante. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle avec socleun.

y= un Xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base de la fonction exponentielle y= un Xà 0< un < 1:

• La portée de la fonction est toute la droite numérique.
• Gamme de fonctions - étendue (0; + ) .
• La fonction est strictement croissante sur la droite des nombres entiers, c'est-à-dire si X 1 < x 2 , alors un x 1 > un x 2 .
• À X= 0 la valeur de la fonction est 1.
• Si un X> 0 , puis 0< un < 1 et si X < 0, то un x > 1.
À les propriétés générales fonction exponentielle comme at0< a < 1, так и при a > 1 sont :
• un X 1 un X 2 = un X 1 + X 2 , pour tout le monde X 1 et X 2.
• un −x= ( un X) − 1 = 1 unX pour tout le monde X.
• nun X= un

Degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.

Expression un n défini pour tout a et n, sauf dans le cas a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont vraies :

UNE m * une n = une m + n ; un m: un n \u003d un m-n (un ≠ 0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n * b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m > a n pour a> 1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette sous-section, nous généralisons la notion de puissance d'un nombre en donnant un sens à des expressions comme 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition telle que les puissances à exposants rationnels aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la puissance n du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété

(une p) q = une pq

est effectué, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la racine nième) que le nombredoit être la nième racine de a m.

Définition.

Le degré de a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier, et n est un entier naturel (n> 1), est le nombre

Donc par définition

(1)

La puissance de 0 n'est définie que pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.

Degré avec un exposant irrationnel.

nombre irrationnelpeut être représenté commelimite d'une suite de nombres rationnels: .

Laisser . Ensuite, il y a des puissances avec un exposant rationnel. On peut montrer que la suite de ces puissances est convergente. La limite de cette suite est appelée degré avec base et exposant irrationnel: .

Traçons plusieurs points du graphique de la fonction y \u003d 2 X ayant préalablement calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 X sur l'intervalle [-2 ; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b) En poursuivant mentalement les mêmes constructions avec un pas de 1/16, 1/32 , etc., on voit que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qu'il est naturel de considérer comme le graphique d'une fonction, déjà définie et croissante sur toute la droite numérique et prenant les valeursà des points rationnels(Fig. 1, c). Ayant construit un nombre suffisamment grand de points du graphe de la fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent qu'il est possible de définir les nombres 2 et pour tout irrationnel α tel que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y \u003d 2 X augmente, et la fonctiondiminue le long de la droite numérique entière.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a α pour α irrationnel pour a>1. On veut s'assurer que la fonction y = a X augmentait. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choix des valeurs r 1 et r2 en approchant de x, on voit que les valeurs correspondantes de a r 1 et un r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et de plus un seul, un nombre y supérieur à tout a r1 pour tout r rationnel 1 et moins que tous a r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est, par définition, un α .

Par exemple, avoir calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 x aux points x n et x` n , où x n et x` n - approximations décimales d'un nombreon trouve que plus x est proche n et x` n à , moins ils diffèrent 2 x n et 2 x` n .

Depuis

et donc,

De même, en considérant les approximations décimales suivantespar carence et excès, on arrive aux relations

;

;

;

;

.

Sens calculé sur la calculatrice est :

.

Le nombre un α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.

Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y=une X, qui est différent de la constante. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle avec socleun.

y= un Xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base de la fonction exponentielle y= un Xà 0< un < 1:

• La portée de la fonction est toute la droite numérique.
• Gamme de fonctions - étendue (0; + ) .
• La fonction est strictement croissante sur la droite des nombres entiers, c'est-à-dire si X 1 < x 2 , alors un x 1 > un x 2 .
• À X= 0 la valeur de la fonction est 1.
• Si un X> 0 , puis 0< un < 1 et si X < 0, то un x > 1.
Aux propriétés générales de la fonction exponentielle comme at0< a < 1, так и при a > 1 sont :
• un X 1 un X 2 = un X 1 + X 2 , pour tout le monde X 1 et X 2.
• un −x= ( un X) − 1 = 1 unX pour tout le monde X.
• nun X= un