Fonction exponentielle. Objectifs de la leçon : Considérer un degré avec un exposant irrationnel ; Introduire la définition de la fonction exponentielle Formuler les principales. Degré de nombre : définitions, désignation, exemples

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Dans cet article, nous allons comprendre ce qui est diplôme de. Ici, nous donnerons des définitions du degré d'un nombre, en considérant en détail tous les exposants possibles du degré, en commençant par un exposant naturel, en terminant par un irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes couvrant toutes les subtilités qui se présentent.

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Degré avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons avec . Pour l'avenir, disons que la définition du degré de a d'exposant naturel n est donnée pour a , que nous appellerons base de diplôme, et n , que nous appellerons exposant. Notez également que le degré avec un indicateur naturel est déterminé par le produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez avoir une idée de la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance du nombre a avec exposant naturel n est une expression de la forme a n , dont la valeur est égale au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a , c'est-à-dire .
En particulier, le degré d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner immédiatement les règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire l'entrée a n est : "a à la puissance n". Dans certains cas, de telles options sont également acceptables : "a à la puissance n" et "puissance n du nombre a". Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est "huit puissance douze", ou "huit puissance douzième", ou "puissance douzième huit".

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle le carré d'un nombre, par exemple, 7 2 se lit comme "sept au carré" ou "carré du nombre sept". La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombre de cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme "cinq cubes" ou dire "cube du nombre 5".

Il est temps d'apporter exemples de diplômes avec indicateurs physiques. Commençons par la puissance de 5 7 , où 5 est la base de la puissance et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et entier naturel 9 - exposant (4.32) 9 .

Attention, dans le dernier exemple, la base du degré 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les écarts, on prendra entre parenthèses toutes les bases du degré qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des indicateurs naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté à ce stade, nous allons montrer la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3 . L'expression (−2) 3 est la puissance de −2 d'exposant naturel 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour le degré de a avec un exposant n de la forme a^n . De plus, si n est un nombre naturel multivalué, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici d'autres exemples d'écriture de degrés en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation du degré de la forme a n .

L'un des problèmes, inverse de l'exponentiation avec un exposant naturel, est le problème de trouver la base du degré à partir d'une valeur connue du degré et d'un exposant connu. Cette tâche conduit à .

On sait que l'ensemble des nombres rationnels est constitué d'entiers et de nombres fractionnaires, et chacun nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons défini le degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, afin de compléter la définition du degré avec indicateur rationnel, vous devez donner la signification du degré du nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons-le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété de degré dans un degré reste valide, l'égalité doit être vraie . Si l'on tient compte de l'égalité résultante et de la façon dont on a défini , alors il est logique d'accepter, à condition que pour m, n et a donnés, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valables pour as (ceci est fait dans la section sur les propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si pour m, n et a donnés l'expression a un sens, alors la puissance du nombre a avec un exposant fractionnaire m / n est la racine du nième degré de a à la puissance m.

Cette déclaration nous rapproche de la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire pour quels m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m , n et a, il existe deux approches principales.

Le moyen le plus simple de contraindre a est de supposer a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (car m≤0 n'a pas de puissance de 0 m). Ensuite, nous obtenons la définition suivante du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n un entier naturel, est appelée la racine du nième du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

Le degré fractionnaire de zéro est également défini avec la seule mise en garde que l'exposant doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant positif fractionnaire m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas défini, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant négatif fractionnaire n'a pas de sens.

Il faut noter qu'avec une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire, il y a une nuance : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a du sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0 . Par exemple, il est logique d'écrire ou , et la définition ci-dessus nous oblige à dire que degrés avec un exposant fractionnaire de la forme n'ont pas de sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer le degré avec un exposant fractionnaire m / n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : le degré du nombre a, dont l'exposant est , est considéré comme le degré du nombre a, dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (l'importance de cette condition sera expliquée plus loin). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (la racine d'un degré pair d'un nombre négatif n'a pas de sens), pour m négatif, le nombre a doit toujours être non nul (sinon division par zéro se produira). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être n'importe quoi (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous conduit à une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un entier naturel. Pour toute fraction ordinaire réductible, le degré est remplacé par . La puissance de a avec un exposant fractionnaire irréductible m / n est pour

Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissions simplement le degré comme , et ne faisions pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m / n , alors nous rencontrerions des situations similaires à la suivante : puisque 6/10=3/5 , alors l'égalité , mais , un .

Une fois le degré du nombre déterminé, il est logique de parler de propriétés de degré. Dans cet article, nous donnerons les propriétés de base du degré d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous donnerons des preuves de toutes les propriétés du degré et montrerons également comment ces propriétés sont appliquées lors de la résolution d'exemples.

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Propriétés des degrés avec des indicateurs naturels

Par définition d'une puissance à exposant naturel, la puissance de a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a . Sur la base de cette définition et en utilisant propriétés de multiplication de nombres réels, nous pouvons obtenir et justifier ce qui suit propriétés de degré avec exposant naturel:

la propriété principale du degré a m ·a n =a m+n , sa généralisation ;
la propriété des puissances partielles de mêmes bases a m:a n =a m−n ;
produit degré propriété (a b) n =a n b n , son extension ;
propriété privée à degré naturel(a:b) n =a n:b n ;
exponentiation (a m) n =a m n , sa généralisation (((une n 1) n 2) ...) n k = une n 1 n 2 ... n k;
comparant le degré à zéro :
- si a>0 , alors a n >0 pour tout naturel n ;
- si a=0 , alors a n =0 ;
- si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
si a et b sont des nombres positifs et a
si m et n sont des nombres naturels tels que m>n , alors en 0 0 l'inégalité a m >a n est vraie.

On remarque immédiatement que toutes les égalités écrites sont identique dans les conditions spécifiées, et leurs parties droite et gauche peuvent être interchangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m a n = a m + n avec simplification des expressions souvent utilisé sous la forme a m+n = a m a n .

Voyons maintenant chacun d'eux en détail.

Commençons par la propriété du produit de deux puissances de mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie.

Démontrons la propriété principale du degré. Par la définition d'un degré avec un exposant naturel, le produit de puissances de mêmes bases de la forme a m a n peut s'écrire comme un produit. En raison des propriétés de la multiplication, l'expression résultante peut être écrite comme , et ce produit est la puissance de a d'exposant naturel m+n , c'est-à-dire a m+n . Ceci achève la preuve.

Donnons un exemple qui confirme la propriété principale du degré. Prenons des degrés avec les mêmes bases 2 et puissances naturelles 2 et 3, selon la propriété principale du degré, on peut écrire l'égalité 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Vérifions sa validité, pour laquelle nous calculons les valeurs des expressions 2 2 ·2 3 et 2 5 . En effectuant l'exponentiation, on a 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 et 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, puisque des valeurs égales sont obtenues, alors l'égalité 2 2 2 3 \u003d 2 5 est correcte, et elle confirme la propriété principale du degré.

La propriété principale d'un degré basée sur les propriétés de la multiplication peut être généralisée au produit de trois degrés ou plus avec les mêmes bases et exposants naturels. Donc pour tout nombre k de nombres naturels n 1 , n 2 , …, n k l'égalité une n 1 une n 2 une n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Par exemple, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Vous pouvez passer à la propriété suivante des degrés avec un indicateur naturel - la propriété des puissances partielles avec les mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n vérifiant la condition m>n , l'égalité a m:a n =a m−n est vraie.

Avant de donner la preuve de cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans l'énoncé. La condition a≠0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n =0, et quand on s'est familiarisé avec la division, on a convenu qu'il est impossible de diviser par zéro. La condition m>n est introduite pour ne pas dépasser les exposants naturels. En effet, pour m>n l'exposant a m−n est un entier naturel, sinon ce sera soit zéro (ce qui arrive pour m−n ) soit un nombre négatif (ce qui arrive pour m
Preuve. La propriété principale d'une fraction permet d'écrire l'égalité une m−n une n =une (m−n)+n =une m. De l'égalité obtenue a m−n ·a n =a m et il en résulte que a m−n est un quotient des puissances de a m et a n . Ceci prouve la propriété des puissances partielles avec les mêmes bases.

Prenons un exemple. Prenons deux degrés de mêmes bases π et d'exposants naturels 5 et 2, la propriété considérée du degré correspond à l'égalité π 5 : π 2 = π 5−3 = π 3.

Considérez maintenant propriété de degré de produit: le degré naturel n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égal au produit des degrés a n et b n , c'est-à-dire (a b) n =a n b n .

En effet, par définition d'un degré à exposant naturel, on a . Le dernier produit, basé sur les propriétés de la multiplication, peut être réécrit comme , qui est égal à a n b n .

Voici un exemple : .

Cette propriété s'étend au degré du produit de trois facteurs ou plus. Autrement dit, la propriété de puissance naturelle n du produit de k facteurs s'écrit (une 1 une 2 ... une k) n = une 1 n une 2 n ... une k n.

Pour plus de clarté, nous montrons cette propriété avec un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons .

La propriété suivante est propriété naturelle: le quotient des nombres réels a et b , b≠0 à la puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n , soit (a:b) n =a n:b n .

La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Alors (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, et l'égalité (a:b) n b n =a n implique que (a:b) n est le quotient de a n divisé par b n .

Écrivons cette propriété en utilisant l'exemple de nombres spécifiques : .

Maintenant, parlons propriété d'exponentiation: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, la puissance de a m à la puissance de n est égale à la puissance de a d'exposant m·n , c'est-à-dire (a m) n =a m·n .

Par exemple, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

La preuve de la propriété puissance en un degré est la chaîne d'égalités suivante : .

La propriété considérée peut être étendue de degré à degré à degré, et ainsi de suite. Par exemple, pour tous les nombres naturels p, q, r et s, l'égalité . Pour plus de clarté, voici un exemple avec des numéros spécifiques : (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Il reste à s'attarder sur les propriétés de comparaison des degrés avec un exposant naturel.

Nous commençons par prouver la propriété de comparaison de zéro et de puissance avec un exposant naturel.

Tout d'abord, justifions que a n >0 pour tout a>0 .

Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, comme il ressort de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication nous permettent d'affirmer que le résultat de la multiplication de n'importe quel nombre de nombres positifs sera également un nombre positif. Et la puissance de a d'exposant naturel n est, par définition, le produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Ces arguments nous permettent d'affirmer que pour toute base positive a le degré de a n est un nombre positif. En vertu de la propriété prouvée 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 et .

Il est bien évident que pour tout n naturel avec a=0 le degré de a n est nul. En effet, 0 n =0·0·…·0=0 . Par exemple, 0 3 =0 et 0 762 =0 .

Passons aux bases négatives.

Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le comme 2 m , où m est un nombre naturel. Alors . Pour chacun des produits de la forme a·a est égal au produit des modules des nombres a et a, donc, est un nombre positif. Par conséquent, le produit sera également positif. et degré a 2 m . Voici des exemples : (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 et .

Enfin, lorsque la base de a est un nombre négatif et que l'exposant est un nombre impair 2 m−1, alors . Tous les produits a·a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et sa multiplication par le nombre négatif restant a donne un nombre négatif. En raison de cette propriété (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Passons à la propriété de comparer des degrés avec les mêmes exposants naturels, qui a la formulation suivante : de deux degrés avec les mêmes exposants naturels, n est plus petit que celui dont la base est plus petite, et plus que celui dont la base est plus grande. Prouvons-le.

Inégalité a n propriétés des inégalités l'inégalité étant prouvée de la forme a n .

Il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées des puissances à exposants naturels. Formulons-le. Des deux degrés avec des indicateurs naturels et les mêmes bases positives, moins d'un, le degré est plus grand, dont l'indicateur est moindre; et de deux degrés avec des indicateurs naturels et les mêmes bases supérieures à un, le degré dont l'indicateur est plus grand est plus grand. Passons à la preuve de cette propriété.

Montrons que pour m>n et 0 0 à cause de la condition initiale m>n , d'où il suit qu'à 0
Il reste à prouver la deuxième partie de la propriété. Montrons que pour m>n et a>1, a m >a n est vraie. La différence a m −a n après avoir pris a n entre parenthèses prend la forme a n ·(a m−n −1) . Ce produit est positif, puisque pour a>1 le degré de a n est un nombre positif, et la différence a m−n−1 est un nombre positif, puisque m−n>0 du fait de la condition initiale, et pour a>1, le degré de a m−n est supérieur à un . Donc, a m − a n >0 et a m >a n , ce qui devait être prouvé. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7 >3 2 .

Propriétés des degrés avec des exposants entiers
Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, alors toutes les propriétés des puissances avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des puissances avec des exposants naturels listées et prouvées dans le paragraphe précédent.

Nous avons défini le degré avec un exposant entier négatif, ainsi que le degré avec un exposant nul, de sorte que toutes les propriétés des degrés avec des exposants naturels exprimés par des égalités restent valides. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables à la fois pour les exposants nuls et pour les exposants négatifs, alors que, bien sûr, les bases des degrés sont non nulles.

Ainsi, pour tous les nombres réels et non nuls a et b, ainsi que pour tous les entiers m et n, les éléments suivants sont vrais propriétés des degrés avec des exposants entiers:

une m une n \u003d une m + n;

une m : une n = une m−n ;

(une b) n = une n b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(une m) n = une m n ;

si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a b-n ;

si m et n sont des entiers, et m>n , alors à 0 1 l'inégalité a m >a n est satisfaite.

Pour a=0, les puissances a m et a n n'ont de sens que lorsque m et n sont des entiers positifs, c'est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d'être écrites sont également valables pour les cas où a=0 et les nombres m et n sont des entiers positifs.

Il n'est pas difficile de prouver chacune de ces propriétés, il suffit pour cela d'utiliser les définitions du degré avec un exposant naturel et entier, ainsi que les propriétés des actions avec des nombres réels. À titre d'exemple, montrons que la propriété de puissance est valable à la fois pour les entiers positifs et les entiers non positifs. Pour cela, il faut montrer que si p est nul ou un entier naturel et q est nul ou un entier naturel, alors les égalités (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) et (a−p)−q =a (−p) (−q). Faisons-le.

Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q =a p·q a été prouvée dans la sous-section précédente. Si p=0 , alors on a (a 0) q =1 q =1 et a 0 q =a 0 =1 , d'où (a 0) q =a 0 q . De même, si q=0 , alors (a p) 0 =1 et a p 0 =a 0 =1 , d'où (a p) 0 =a p 0 . Si p=0 et q=0 , alors (a 0) 0 =1 0 =1 et a 0 0 =a 0 =1 , d'où (a 0) 0 =a 0 0 .

Montrons maintenant que (a −p) q =a (−p) q . Par définition d'un degré avec un exposant entier négatif , alors . Par la propriété du quotient en degré, on a . Puisque 1 p =1·1·…·1=1 et , alors . La dernière expression est, par définition, une puissance de la forme a −(p q) , qui, en vertu des règles de multiplication, peut s'écrire a (−p) q .

De la même manière .

Et .

Par le même principe, on peut démontrer toutes les autres propriétés d'un degré avec un exposant entier, écrit sous forme d'égalités.

Dans l'avant-dernière des propriétés enregistrées, il convient de s'attarder sur la preuve de l'inégalité a −n >b −n , qui est vraie pour tout entier négatif −n et tout a et b positifs pour lesquels la condition a . Puisque par condition un 0 . Le produit a n ·b n est aussi positif que le produit des nombres positifs a n et b n . Alors la fraction résultante est positive comme quotient de nombres positifs b n − a n et a n b n . D'où a −n >b −n , qu'il fallait prouver.

La dernière propriété des degrés à exposants entiers se démontre de la même manière que la propriété analogue des degrés à exposants naturels.

Propriétés des puissances avec des exposants rationnels

Nous avons défini le degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d'autres termes, les degrés avec des exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les degrés avec des exposants entiers. À savoir:

La preuve des propriétés des degrés à exposants fractionnaires repose sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire, sur et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Donnons la preuve.

Par définition du degré avec un exposant fractionnaire et , alors . Les propriétés de la racine arithmétique nous permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété du degré avec un exposant entier, on obtient , d'où, par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, on a , et l'exposant du degré obtenu peut être converti comme suit : . Ceci achève la preuve.

La seconde propriété des puissances à exposants fractionnaires se démontre exactement de la même manière :

Les autres égalités sont démontrées par des principes similaires :

Passons à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout a et b positifs, a bp. Nous écrivons le nombre rationnel p sous la forme m/n , où m est un entier et n est un nombre naturel. Conditions p<0 и p>0 dans ce cas sera équivalent aux conditions m<0 и m>0 respectivement. Pour m>0 et a
De même, pour m<0 имеем a m >b m , d'où , c'est-à-dire et a p >b p .

Il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées. Montrons que pour les nombres rationnels p et q , p>q pour 0 0 – inégalité a p >a q . Nous pouvons toujours réduire les nombres rationnels p et q à un dénominateur commun, prenons des fractions ordinaires et, où m 1 et m 2 sont des entiers, et n est un nombre naturel. Dans ce cas, la condition p>q correspondra à la condition m 1 >m 2, qui découle de . Puis, par la propriété de comparer des puissances de mêmes bases et d'exposants naturels en 0 1 – inégalité a m 1 >a m 2 . Ces inégalités en termes de propriétés des racines peuvent être réécrites, respectivement, comme et . Et la définition d'un degré avec un exposant rationnel permet de passer aux inégalités et, respectivement. Nous en tirons la conclusion finale : pour p>q et 0 0 – inégalité a p >a q .

Propriétés des degrés avec des exposants irrationnels

De la façon dont un degré avec un exposant irrationnel est défini, on peut conclure qu'il a toutes les propriétés des degrés avec des exposants rationnels. Donc, pour tout a>0 , b>0 et les nombres irrationnels p et q, les éléments suivants sont vrais propriétés des degrés avec des exposants irrationnels:

une p une q = une p + q ;

une p:une q = une p−q ;

(une b) p = une p b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(une p) q = une p q ;

pour tout nombre positif a et b , a 0 l'inégalité a p b p ;

pour les nombres irrationnels p et q , p>q en 0 0 – inégalité a p >a q .

De cela, nous pouvons conclure que les puissances avec tous les exposants réels p et q pour a>0 ont les mêmes propriétés.

Bibliographie.

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Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques).

PARTIE II. CHAPITRE 6
SÉQUENCES DE CHIFFRES

La notion de degré avec un exposant irrationnel

Soit a un nombre positif et a un nombre irrationnel.
Quel sens faut-il donner à l'expression a* ?
Pour rendre la présentation plus illustrative, nous la réaliserons sur un
Exemple. A savoir, posons a - 2 et a = 1, 624121121112. . . .
Ici, a est une fraction décimale infinie composée selon de tels
loi : à partir de la quatrième décimale, pour l'image a
seuls les chiffres 1 et 2 sont utilisés, et en même temps le nombre de chiffres 1,
écrit dans une rangée avant le chiffre 2, tout le temps augmente de
une. La fraction a est non périodique, car sinon le nombre de chiffres est 1,
enregistrées à la suite à son image seraient limitées.
Donc a est un nombre irrationnel.
Quel est donc le sens de l'expression
21, in2Sh1Sh1Sh11Sh11Sh. . . R
Pour répondre à cette question, nous composons des séquences de valeurs
et avec déficit et excès jusqu'à (0,1)*. Obtenir
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
On compose les suites correspondantes de puissances du nombre 2 :
2M. 2M* ; 21*624 ; 21'62*1 ; …, (3)
21D. 21"63 ; 2*»62Vu 21,6Sh; . (quatre)
La suite (3) est croissante car la suite
(1) (Théorème 2 § 6).
La suite (4) est décroissante car la suite
(2).
Chaque membre de la suite (3) est inférieur à chaque membre de la suite
(4), et donc la suite (3) est bornée
d'en haut, et la séquence (4) est délimitée d'en bas.
Basé sur le théorème de séquence bornée monotone
chacune des séquences (3) et (4) a une limite. Si un

384 Le concept de degré avec un exposant irrationnel . .

maintenant, il s'avère que la différence des séquences (4) et (3) converge
à zéro, alors il s'ensuivra que ces deux séquences,
ont une limite commune.
Différence des premiers termes des suites (3) et (4)
21-7 - 21'* = 2|, dans (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Différence des seconds termes
21'63 - 21.62 = 21.62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Différence des n-ièmes termes
0,0000. ..0 1
2>.««…(2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Basé sur le Théorème 3 § 6
lim 10″ / 2 = 1.
Les séquences (3) et (4) ont donc une limite commune. Cette
limite est le seul nombre réel supérieur à
tous les membres de la séquence (3) et moins que tous les membres de la séquence
(4), et il convient de le considérer comme la valeur exacte de 2*.
De ce qui a été dit, il s'ensuit qu'il est généralement conseillé de prendre
la définition suivante :
Définition. Si a > 1, alors la puissance de a avec irrationnel
l'exposant a est un tel nombre réel,
qui est plus grand que toutes les puissances de ce nombre dont les exposants sont
approximations rationnelles a avec un inconvénient, et moins que toutes les puissances
ce nombre, dont les exposants sont des approximations rationnelles a c
excès.
Si un<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
on appelle un nombre réel qui est supérieur à toutes les puissances
ce nombre, dont les exposants sont des approximations rationnelles a
en excès, et en deçà de toutes les puissances de ce nombre, dont les indicateurs
sont des approximations rationnelles a avec un inconvénient.
.Si a - 1, alors son degré avec un exposant irrationnel a
est 1.
En utilisant le concept de limite, cette définition peut être formulée
Alors:
Puissance d'un nombre positif avec un exposant irrationnel
et s'appelle la limite vers laquelle tend la suite
puissances rationnelles de ce nombre, pourvu que la suite
les indicateurs de ces degrés tendent vers a, c'est-à-dire
aa = lim ah
b-*
13 D, K. Fatshcheev, I. S. Sominsky

Dans le cadre de ce matériel, nous analyserons ce qu'est une puissance d'un nombre. En plus des définitions de base, nous formulerons ce que sont les degrés avec des exposants naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés par des exemples de tâches.
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Tout d'abord, nous formulons la définition de base d'un degré avec un exposant naturel. Pour ce faire, nous devons nous rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons à l'avance que pour le moment nous prendrons un nombre réel comme base (désignons-le par la lettre a) et comme indicateur - un nombre naturel (désigné par la lettre n).
Définition 1
La puissance de a avec un exposant naturel n est le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal au nombre a. Le diplôme s'écrit ainsi : un, et sous forme de formule, sa composition peut être représentée comme suit :

Par exemple, si l'exposant est 1 et la base est a, alors la première puissance de a s'écrit un 1. Étant donné que a est la valeur du facteur et 1 est le nombre de facteurs, nous pouvons conclure que un 1 = un.

En général, on peut dire que le degré est une forme pratique d'écriture d'un grand nombre de facteurs égaux. Ainsi, un enregistrement de la forme 8 8 8 8 peut être réduit à 8 4 . De la même manière, le produit nous permet d'éviter d'écrire un grand nombre de termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; nous l'avons déjà analysé dans l'article consacré à la multiplication des nombres naturels.

Comment lire correctement le dossier du diplôme? L'option généralement acceptée est "a à la puissance n". Ou vous pouvez dire "la nième puissance de a" ou "la nième puissance". Si, par exemple, dans l'exemple, il y a une entrée 8 12 , on peut lire « 8 puissance 12 », « 8 puissance 12 » ou « 12 puissance 8 ».

Les deuxième et troisième degrés du nombre ont leurs propres noms bien établis : carré et cube. Si nous voyons la deuxième puissance, par exemple, du nombre 7 (7 2), alors nous pouvons dire "7 au carré" ou "carré du nombre 7". De même, le troisième degré se lit comme ceci : 5 3 est le "cube du nombre 5" ou "5 au cube". Cependant, il est également possible d'utiliser la formulation standard "au deuxième / troisième degré", ce ne sera pas une erreur.
Exemple 1
Prenons un exemple de diplôme avec un indicateur naturel : pour 5 7 cinq sera la base et sept sera l'indicateur.

La base ne doit pas nécessairement être un nombre entier : pour le degré (4 , 32) 9 la base sera une fraction 4, 32, et l'exposant sera neuf. Faites attention aux parenthèses: une telle notation est faite pour tous les degrés dont les bases diffèrent des nombres naturels.

Par exemple : 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

A quoi servent les parenthèses ? Ils permettent d'éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées : (− 2) 3 et − 2 3 . Le premier d'entre eux signifie un nombre négatif moins deux, élevé à une puissance avec un exposant naturel de trois ; le second est le nombre correspondant à la valeur opposée du degré 2 3 .

Parfois, dans les livres, vous pouvez trouver une orthographe légèrement différente du degré d'un nombre - un ^ n(où a est la base et n est l'exposant). Donc 4^9 est égal à 4 9 . Si n est un nombre à plusieurs chiffres, il est placé entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Mais nous utiliserons la notation un comme plus commun.

Comment calculer la valeur d'un degré avec un exposant naturel est facile à deviner à partir de sa définition : il suffit de multiplier un n -ième nombre de fois. Nous avons écrit plus à ce sujet dans un autre article.

Le concept de degré est à l'opposé d'un autre concept mathématique - la racine d'un nombre. Si nous connaissons la valeur de l'exposant et de l'exposant, nous pouvons calculer sa base. Le degré a des propriétés spécifiques qui sont utiles pour résoudre des problèmes que nous avons analysés dans un document séparé.

Les exposants peuvent contenir non seulement des nombres naturels, mais également toutes les valeurs entières en général, y compris les valeurs négatives et les zéros, car ils appartiennent également à l'ensemble des nombres entiers.
Définition 2
Le degré d'un nombre avec un exposant entier positif peut être affiché sous forme de formule : .

De plus, n est tout entier positif.

Parlons du concept de degré zéro. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du quotient pour des puissances à bases égales. Il est formulé comme ceci :
Définition 3
Égalité une m : une n = une m - n sera vraie dans les conditions suivantes : m et n sont des nombres naturels, m< n , a ≠ 0 .

La dernière condition est importante car elle évite de diviser par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, alors nous obtiendrons le résultat suivant : une n : une n = une n - n = une 0

Mais en même temps a n : a n = 1 - quotient de nombres égaux un et un. Il s'avère que le degré zéro de tout nombre non nul est égal à un.

Cependant, une telle preuve ne convient pas pour zéro à la puissance zéro. Pour ce faire, nous avons besoin d'une autre propriété des puissances - la propriété des produits de puissances avec des bases égales. Il ressemble à ceci : une m une n = une m + n .

Si n vaut 0, alors une m une 0 = une m(cette égalité nous prouve aussi que un 0 = 1). Mais si et est également égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m 0 0 = 0 m, Ce sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe quelle est exactement la valeur du degré 0 0 , c'est-à-dire qu'il peut être égal à n'importe quel nombre, et cela n'affectera pas la validité de l'égalité. Par conséquent, un enregistrement de la forme 0 0 n'a pas de sens particulier en soi, et nous ne le lui attribuerons pas.

Si vous le souhaitez, il est facile de vérifier que un 0 = 1 converge avec la propriété degré (une m) n = une m nà condition que la base du degré ne soit pas égale à zéro. Ainsi, le degré de tout nombre non nul avec un exposant nul est égal à un.
Exemple 2
Prenons un exemple avec des nombres spécifiques : Donc, 5 0 - unité, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , et la valeur 0 0 indéfini.

Après le degré zéro, il nous reste à comprendre ce qu'est un degré négatif. Pour ce faire, nous avons besoin de la même propriété du produit de puissances à bases égales, que nous avons déjà utilisée ci-dessus : a m · a n = a m + n.

On introduit la condition : m = − n , alors a ne doit pas être égal à zéro. Il s'ensuit que une - n une n = une - n + n = une 0 = 1. Il s'avère qu'un n et un nous avons des nombres mutuellement réciproques.

Par conséquent, a à une puissance entière négative n'est rien d'autre qu'une fraction 1 a n .

Cette formulation confirme que pour un degré avec un exposant entier négatif, toutes les mêmes propriétés sont valables qu'un degré avec un exposant naturel (à condition que la base ne soit pas égale à zéro).
Exemple 3
La puissance a avec un entier négatif n peut être représentée comme une fraction 1 a n . Ainsi, a - n = 1 a n sous la condition un ≠ 0 et n est un nombre naturel quelconque.

Illustrons notre idée par des exemples concrets :
Exemple 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire clairement tout ce qui a été dit en une seule formule :
Définition 4
La puissance de a d'exposant naturel z est : a z = a z , e c et z est un entier positif 1 , z = 0 et a ≠ 0 , (si z = 0 et a = 0 on obtient 0 0 , les valeurs de l'expression 0 0 ne sont pas est déterminée) 1 a z , si z est un entier négatif et a ≠ 0 (si z est un entier négatif et a = 0 on obtient 0 z , c'est a n d e n t i o n )

Que sont les degrés avec un exposant rationnel

Nous avons analysé les cas où l'exposant est un entier. Cependant, vous pouvez également élever un nombre à une puissance lorsque son exposant est un nombre fractionnaire. C'est ce qu'on appelle un degré avec un exposant rationnel. Dans cette sous-section, nous prouverons qu'elle a les mêmes propriétés que les autres puissances.

Que sont les nombres rationnels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres entiers et des nombres fractionnaires, tandis que les nombres fractionnaires peuvent être représentés comme des fractions ordinaires (à la fois positives et négatives). Nous formulons la définition du degré d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où n est un nombre naturel et m est un entier.

Nous avons un certain degré avec un exposant fractionnaire a m n . Pour que la propriété de puissance soit maintenue dans un degré, l'égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.

Étant donné la définition d'une nième racine et que a m n n = a m , on peut accepter la condition a m n = a m n si a m n a un sens pour les valeurs données de m , n et a .

Les propriétés ci-dessus du degré avec un exposant entier seront vraies sous la condition a m n = a m n .

La principale conclusion de notre raisonnement est la suivante : le degré d'un certain nombre a avec un exposant fractionnaire m/n est la racine du nième degré du nombre a à la puissance m. Cela est vrai si, pour des valeurs données de m, n et a, l'expression a m n a un sens.

1. On peut limiter la valeur de la base du degré : prendre a, qui pour les valeurs positives de m sera supérieur ou égal à 0, et pour les valeurs négatives il sera strictement inférieur (car pour m ≤ 0 nous obtenons 0 m, mais ce degré n'est pas défini). Dans ce cas, la définition du degré avec un exposant fractionnaire ressemblera à ceci :

L'exposant fractionnaire m/n pour un nombre positif a est la nième racine de a élevée à la puissance m. Sous forme de formule, cela peut être représenté comme suit :

Pour un degré à base zéro, cette disposition convient également, mais uniquement si son exposant est un nombre positif.

Une puissance de base zéro et un exposant fractionnaire positif m/n peut être exprimée comme

0 m n = 0 m n = 0 sous la condition d'entier positif m et naturel n .

Avec un rapport négatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Notons un point. Puisque nous avons introduit la condition que a est supérieur ou égal à zéro, nous avons écarté certains cas.

L'expression a m n a parfois encore du sens pour certaines valeurs négatives de a et certaines valeurs négatives de m . Ainsi, les entrées sont correctes (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , dans lesquelles la base est négative.

2. La deuxième approche consiste à considérer séparément la racine a m n avec des exposants pairs et impairs. Ensuite, nous devons introduire une condition supplémentaire: le degré a, dans l'exposant duquel se trouve une fraction ordinaire réductible, est considéré comme le degré a, dans l'exposant duquel se trouve la fraction irréductible correspondante. Plus tard, nous expliquerons pourquoi nous avons besoin de cette condition et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons un enregistrement a m · k n · k , alors nous pouvons le réduire à a m n et simplifier les calculs.

Si n est un nombre impair et m est positif et a est un nombre non négatif, alors a m n a un sens. La condition pour un a non négatif est nécessaire, car la racine d'un degré pair n'est pas extraite d'un nombre négatif. Si la valeur de m est positive, alors a peut être à la fois négatif et nul, car Une racine impaire peut être tirée de n'importe quel nombre réel.

Combinons toutes les données au-dessus de la définition en une seule entrée :

Ici m/n signifie une fraction irréductible, m est n'importe quel nombre entier et n est n'importe quel nombre naturel.
Définition 5
Pour toute fraction réduite ordinaire m · k n · k, le degré peut être remplacé par a m n .

Le degré de a avec un exposant fractionnaire irréductible m/n – peut être exprimé par a m n dans les cas suivants : - pour tout réel a , des valeurs entières positives m et des valeurs naturelles impaires n . Exemple : 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Pour tout réel non nul a , valeurs entières négatives de m et valeurs impaires de n , par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Pour tout a non négatif, des valeurs entières positives de m et même n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Pour tout entier positif a , négatif m et même n , par exemple, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Dans le cas d'autres valeurs, le degré avec un exposant fractionnaire n'est pas déterminé. Exemples de telles puissances : - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Expliquons maintenant l'importance de la condition mentionnée ci-dessus : pourquoi remplacer une fraction par un exposant réductible pour une fraction par un irréductible. Si nous n'avions pas fait cela, alors de telles situations se seraient avérées, disons, 6/10 = 3/5. Alors (- 1) 6 10 = - 1 3 5 devrait être vrai, mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , et (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

La définition du degré avec un exposant fractionnaire, que nous avons donnée en premier, est plus pratique à appliquer que la seconde, nous continuerons donc à l'utiliser.
Définition 6
Ainsi, la puissance d'un nombre positif a avec l'exposant fractionnaire m / n est définie comme 0 m n = 0 m n = 0 . En cas de négatif un la notation a m n n'a aucun sens. Degré de zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0 , pour les exposants fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.

Dans les conclusions, on note que tout indicateur fractionnaire peut s'écrire à la fois sous forme de nombre fractionnaire et sous forme de fraction décimale : 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant par une fraction ordinaire, puis d'utiliser la définition du degré avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, on obtient :

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Que sont les degrés avec un exposant irrationnel et réel

Que sont les nombres réels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, afin de comprendre ce qu'est un degré avec un exposant réel, nous devons définir des degrés avec des exposants rationnels et irrationnels. À propos de rationnel, nous l'avons déjà mentionné ci-dessus. Traitons les indicateurs irrationnels étape par étape.
Exemple 5
Supposons que nous ayons un nombre irrationnel a et une suite de ses approximations décimales a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Par exemple, prenons la valeur a = 1 , 67175331 . . . , alors

une 0 = 1 , 6 , une 1 = 1 , 67 , une 2 = 1 , 671 , . . . , une 0 = 1 , 67 , une 1 = 1 , 6717 , une 2 = 1 , 671753 , . . .

On peut associer des suites d'approximations à une suite de puissances a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Si nous nous souvenons de ce dont nous avons parlé plus tôt sur l'élévation des nombres à une puissance rationnelle, alors nous pouvons calculer nous-mêmes les valeurs de ces puissances.

Prends pour exemple un = 3, alors une une 0 = 3 1 , 67 , une une 1 = 3 1 , 6717 , une une 2 = 3 1 , 671753 , . . . etc.

La séquence de degrés peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur du degré avec la base a et l'exposant irrationnel a. Résultat : un degré avec un exposant irrationnel de la forme 3 1 , 67175331 . . peut être réduit au nombre 6, 27.
Définition 7
La puissance d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a s'écrit a a . Sa valeur est la limite de la suite a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , où a 0 , a 1 , a 2 , . . . sont des approximations décimales successives du nombre irrationnel a. Un degré avec une base nulle peut également être défini pour les exposants irrationnels positifs, tandis que 0 a \u003d 0 Donc, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Et pour les négatifs, cela ne peut pas être fait, car, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 π n'est pas définie. Une unité élevée à n'importe quelle puissance irrationnelle reste une unité, par exemple, et 1 2 , 1 5 en 2 et 1 - 5 seront égaux à 1 .

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Degré avec un exposant rationnel, ses propriétés.
Expression un n défini pour tout a et n, sauf dans le cas a=0 pour n≤0. Rappelons les propriétés de telles puissances.

Pour tous les nombres a, b et tous les entiers m et n, les égalités sont vraies :
UNE m * une n = une m + n ; un m: un n \u003d un m-n (un ≠ 0); (une m) n = une mn ; (ab) n = une n * b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Notez également la propriété suivante :

Si m>n, alors a m > a n pour a> 1 et a m<а n при 0<а<1.

Dans cette sous-section, nous généralisons la notion de puissance d'un nombre en donnant un sens à des expressions comme 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 etc. Il est naturel de donner une définition telle que les puissances à exposants rationnels aient les mêmes propriétés (ou au moins une partie d'entre elles) que les puissances à exposant entier. Alors, en particulier, la puissance n du nombredoit être égal à un m . En effet, si la propriété
(une p) q = une pq

est effectué, alors

La dernière égalité signifie (par définition de la racine nième) que le nombredoit être la nième racine de a m.

Définition.

Le degré de a>0 avec un exposant rationnel r=, où m est un entier, et n est un entier naturel (n> 1), est le nombre

Donc par définition
(1)

La puissance de 0 n'est définie que pour les exposants positifs ; par définition 0 r = 0 pour tout r>0.
Degré avec un exposant irrationnel.
nombre irrationnelpeut être représenté commelimite d'une suite de nombres rationnels: .
Laisser . Ensuite, il y a des puissances avec un exposant rationnel. On peut montrer que la suite de ces puissances est convergente. La limite de cette suite est appelée degré avec base et exposant irrationnel: .
Nous fixons un nombre positif a et attribuons à chaque nombre. Ainsi, nous obtenons la fonction numérique f(x) = a X , défini sur l'ensemble Q des nombres rationnels et possédant les propriétés listées précédemment. Pour a=1, la fonction f(x) = a X est constant car 1 X =1 pour tout x rationnel.

Traçons plusieurs points du graphique de la fonction y \u003d 2 X ayant préalablement calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 X sur l'intervalle [-2 ; 3] avec un pas de 1/4 (Fig. 1, a), puis avec un pas de 1/8 (Fig. 1, b) En poursuivant mentalement les mêmes constructions avec un pas de 1/16, 1/32 , etc., on voit que les points résultants peuvent être reliés par une courbe lisse, qu'il est naturel de considérer comme le graphique d'une fonction, déjà définie et croissante sur toute la droite numérique et prenant les valeursà des points rationnels(Fig. 1, c). Ayant suffisamment construit grand nombre points du graphique de la fonction, vous pouvez vous assurer que cette fonction a des propriétés similaires (la différence est que la fonction diminue sur R).

Ces observations suggèrent qu'il est possible de définir les nombres 2 et pour tout irrationnel α tel que les fonctions données par les formules y=2 x et sera continue, et la fonction y \u003d 2 X augmente, et la fonctiondiminue le long de la droite numérique entière.

Décrivons en termes généraux comment le nombre a α pour α irrationnel pour a>1. On veut s'assurer que la fonction y = a X augmentait. Alors pour tout r rationnel 1 et r 2 tels que r 1<αdoit satisfaire les inégalités a r1<а α <а r 1 .

Choix des valeurs r 1 et r2 en approchant de x, on voit que les valeurs correspondantes de a r 1 et un r 2 différera peu. On peut prouver qu'il existe, et de plus un seul, un nombre y supérieur à tout a r1 pour tout r rationnel 1 et moins que tous a r 2 pour tout r rationnel 2 . Ce nombre y est, par définition, un α .

Par exemple, avoir calculé à l'aide d'une calculatrice les valeurs 2 x aux points x n et x` n , où x n et x` n - approximations décimales d'un nombreon trouve que plus x est proche n et x` n à , moins ils diffèrent 2 x n et 2 x` n .

Depuis

et donc,

De même, en considérant les approximations décimales suivantespar carence et excès, on arrive aux relations
;

;

;

;

.

Sens calculé sur la calculatrice est :
.

Le nombre un α pour 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 pour tout α et 0α =0 pour α>0.
Fonction exponentielle.

À un > 0, un = 1, fonction définie y=une X, qui est différent de la constante. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle avec socleun.

y= un Xà un> 1:

Graphiques de fonctions exponentielles de base 0< un < 1 и un> 1 sont représentés sur la figure.

Propriétés de base de la fonction exponentielle y= un Xà 0< un < 1:
La portée de la fonction est toute la droite numérique.

Gamme de fonctions - étendue (0; + ) .

La fonction est strictement croissante sur la droite des nombres entiers, c'est-à-dire si X 1 < x 2 , alors un x 1 > un x 2 .

À X= 0 la valeur de la fonction est 1.

Si un X> 0 , puis 0< un < 1 et si X < 0, то un x > 1.
À les propriétés générales fonction exponentielle comme at0< a < 1, так и при a > 1 sont :
un X 1 un X 2 = un X 1 + X 2 , pour tout le monde X 1 et X 2.

un −x= ( un X) − 1 = 1 unX pour tout le monde X.

nun X= un

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