Dans l'un des articles précédents, nous avons déjà évoqué le degré d'un nombre. Aujourd'hui, nous allons essayer de naviguer dans le processus de recherche de son sens. Scientifiquement parlant, nous trouverons comment exposer correctement. Nous comprendrons comment ce processus se déroule, en touchant en même temps à tous les exposants possibles : naturel, irrationnel, rationnel, entier.

Examinons donc de plus près les solutions des exemples et découvrons ce que cela signifie :

1. Définition conceptuelle.
2. Élever à l'art négatif.
3. Indicateur entier.
4. Élever un nombre à degré irrationnel.

Voici une définition qui reflète fidèlement le sens : "L'élévation à une puissance est la définition de la valeur du degré d'un nombre."

En conséquence, la construction du nombre a à l'art. r et le processus de recherche de la valeur du degré a avec l'exposant r sont des concepts identiques. Par exemple, si la tâche consiste à calculer la valeur du degré (0,6) 6 ″, elle peut être simplifiée en l'expression «Élever le nombre 0,6 à la puissance 6».

Après cela, vous pouvez passer directement aux règles de construction.

Élever à une puissance négative

Pour plus de clarté, vous devez faire attention à la chaîne d'expressions suivante :

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 en moins 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 en moins 2 pas.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 moins 3 m.,

110000=0.00001=1*10 à moins 4 degrés.

Grâce à ces exemples, vous pouvez voir clairement la possibilité de calculer instantanément 10 à n'importe quelle puissance négative. Pour cela, il suffit de décaler simplement la composante décimale :

• 10 à -1 degré - avant l'unité 1 zéro;
• en -3 - trois zéros avant un ;
• -9 correspond à 9 zéros et ainsi de suite.

Il est également facile de comprendre selon ce schéma combien sera 10 moins 5 cuillères à soupe. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Comment élever un nombre à une puissance naturelle

En rappelant la définition, nous tenons compte du fait que l'entier naturel a de l'art. n est égal au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a. Illustrons : (a * a * ... a) n, où n est le nombre de nombres qui sont multipliés. En conséquence, pour élever a à n, il faut calculer le produit de la forme suivante : a * a * ... et diviser par n fois.

A partir de là, il devient évident que érection dans l'art naturel. repose sur la capacité à effectuer la multiplication(ce matériel est couvert dans la section sur la multiplication des nombres réels). Regardons le problème :

Monter -2 à la 4ème cuillère à soupe.

Nous avons affaire à un indicateur naturel. En conséquence, le déroulement de la décision sera le suivant : (-2) à l'art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Il ne reste plus qu'à effectuer la multiplication des entiers : (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Nous en obtenons 16.

Réponse à la tâche :

(-2) à l'art. 4=16.

Exemple:

Calculez la valeur : trois virgule deux septièmes au carré.

Cet exemple est égal au produit suivant : trois virgule deux septièmes fois trois virgule deux septièmes. En nous rappelant comment s'effectue la multiplication des nombres mixtes, nous terminons la construction:

• 3 entiers 2 septièmes multipliés par eux-mêmes ;
• égale 23 septièmes fois 23 septièmes ;
• égal à 529 quarante-neuvièmes ;
• nous réduisons et obtenons 10 trente-neuf quarante-neuvièmes.

Réponse: 10 39/49

En ce qui concerne la question de l'élévation à un indicateur irrationnel, il convient de noter que les calculs commencent à être effectués après l'achèvement de l'arrondi préliminaire de la base du degré à un certain rang, ce qui permettrait d'obtenir une valeur avec une précision donnée . Par exemple, nous devons élever au carré le nombre P (pi).

On commence par arrondir P au centième et on obtient :

P au carré \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Cependant, si nous réduisons P à dix millièmes, nous obtenons P = 3,14159. Ensuite, la quadrature obtient un nombre complètement différent : 9,8695877281.

Il convient de noter ici que dans de nombreux problèmes, il n'est pas nécessaire d'élever des nombres irrationnels à une puissance. En règle générale, la réponse est saisie soit sous la forme, en fait, d'un degré, par exemple la racine de 6 à la puissance 3, soit, si l'expression le permet, sa transformation est effectuée: la racine de 5 à 7 degrés \u003d 125 racine de 5.

Comment élever un nombre à une puissance entière

Cette manipulation algébrique est appropriée prendre en compte pour les cas suivants :

• pour les entiers ;
• pour indicateur zéro ;
• pour un entier positif.

Étant donné que presque tous les entiers positifs coïncident avec la masse des nombres naturels, le régler à une puissance entière positive est le même processus que le régler dans l'Art. Naturel. Nous avons décrit ce processus dans le paragraphe précédent.

Parlons maintenant du calcul de l'art. nul. Nous avons déjà découvert ci-dessus que la puissance nulle du nombre a peut être déterminée pour tout a non nul (réel), tandis que a dans st. 0 sera égal à 1.

En conséquence, la construction de tout nombre réel à zéro art. en donnera un.

Par exemple, 10 en st.0=1, (-3.65)0=1 et 0 en st. 0 ne peut pas être déterminé.

Afin de compléter l'exponentiation à une puissance entière, il reste à décider des options pour les valeurs entières négatives. Nous rappelons que l'art. de a avec un exposant entier -z sera défini comme une fraction. Au dénominateur de la fraction se trouve l'art. avec une valeur entière positive, dont nous avons déjà appris à trouver la valeur. Il ne reste plus qu'à considérer un exemple de construction.

Exemple:

Calculer la valeur du nombre 2 au cube avec un entier indicateur négatif.

Processus de résolution :

Selon la définition d'un degré avec un indicateur négatif, nous notons: deux en moins 3 cuillères à soupe. est égal à un à deux à la troisième puissance.

Le dénominateur est calculé simplement : deux au cube ;

3 = 2*2*2=8.

Réponse: deux à moins la 3e cuillère à soupe. = un huitième.

Dans le cadre de ce matériel, nous analyserons ce qu'est une puissance d'un nombre. En plus des définitions de base, nous formulerons ce que sont les degrés avec des exposants naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés par des exemples de tâches.

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Tout d'abord, nous formulons la définition de base d'un degré avec un exposant naturel. Pour ce faire, nous devons nous rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons à l'avance que pour le moment nous prendrons un nombre réel comme base (désignons-le par la lettre a) et comme indicateur - un nombre naturel (désigné par la lettre n).

Définition 1

La puissance de a avec un exposant naturel n est le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal au nombre a. Le diplôme s'écrit ainsi : un, et sous forme de formule, sa composition peut être représentée comme suit :

Par exemple, si l'exposant est 1 et la base est a, alors la première puissance de a s'écrit un 1. Étant donné que a est la valeur du facteur et 1 est le nombre de facteurs, nous pouvons conclure que un 1 = un.

En général, on peut dire que le degré est une forme pratique d'écriture d'un grand nombre de facteurs égaux. Ainsi, un enregistrement de la forme 8 8 8 8 peut être réduit à 8 4 . De la même manière, le travail nous aide à éviter d'écrire un grand nombre termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; nous en avons déjà parlé dans l'article sur la multiplication nombres naturels.

Comment lire correctement le dossier du diplôme? L'option généralement acceptée est "a à la puissance n". Ou vous pouvez dire "la nième puissance de a" ou "la nième puissance". Si, par exemple, dans l'exemple, il y a une entrée 8 12 , on peut lire « 8 puissance 12 », « 8 puissance 12 » ou « 12 puissance 8 ».

Les deuxième et troisième degrés du nombre ont leurs propres noms bien établis : carré et cube. Si nous voyons la deuxième puissance, par exemple, du nombre 7 (7 2), alors nous pouvons dire "7 au carré" ou "carré du nombre 7". De même, le troisième degré se lit comme ceci : 5 3 est le "cube du nombre 5" ou "5 au cube". Cependant, il est également possible d'utiliser la formulation standard "au deuxième / troisième degré", ce ne sera pas une erreur.

Exemple 1

Prenons un exemple de diplôme avec un indicateur naturel : pour 5 7 cinq sera la base et sept sera l'indicateur.

La base ne doit pas nécessairement être un nombre entier : pour le degré (4 , 32) 9 la base sera une fraction 4, 32, et l'exposant sera neuf. Faites attention aux parenthèses: une telle notation est faite pour tous les degrés dont les bases diffèrent des nombres naturels.

Par exemple : 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

A quoi servent les parenthèses ? Ils permettent d'éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées : (− 2) 3 et − 2 3 . Le premier signifie un nombre négatif moins deux élevé à l'exposant naturel trois ; le second est le nombre correspondant à la valeur opposée du degré 2 3 .

Parfois, dans les livres, vous pouvez trouver une orthographe légèrement différente du degré d'un nombre - un ^ n(où a est la base et n est l'exposant). Donc 4^9 est égal à 4 9 . Si n est un nombre à plusieurs chiffres, il est placé entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Mais nous utiliserons la notation un comme plus commun.

Comment calculer la valeur d'un degré avec un exposant naturel est facile à deviner à partir de sa définition : il suffit de multiplier un n -ième nombre de fois. Nous avons écrit plus à ce sujet dans un autre article.

Le concept de degré est à l'opposé d'un autre concept mathématique - la racine d'un nombre. Si nous connaissons la valeur de l'exposant et de l'exposant, nous pouvons calculer sa base. Le degré a des propriétés spécifiques qui sont utiles pour résoudre des problèmes que nous avons analysés dans un document séparé.

Les exposants peuvent contenir non seulement des nombres naturels, mais également toutes les valeurs entières en général, y compris les valeurs négatives et les zéros, car ils appartiennent également à l'ensemble des nombres entiers.

Définition 2

Le degré d'un nombre avec un exposant entier positif peut être affiché sous forme de formule : .

De plus, n est tout entier positif.

Parlons du concept de degré zéro. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du quotient pour des puissances à bases égales. Il est formulé comme ceci :

Définition 3

Égalité une m : une n = une m - n sera vraie dans les conditions suivantes : m et n sont des nombres naturels, m< n , a ≠ 0 .

La dernière condition est importante car elle évite de diviser par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, alors nous obtiendrons le résultat suivant : une n : une n = une n - n = une 0

Mais en même temps a n : a n = 1 est un quotient nombres égaux un et un. Il s'avère que le degré zéro de tout nombre non nul est égal à un.

Cependant, une telle preuve ne convient pas pour zéro à la puissance zéro. Pour ce faire, nous avons besoin d'une autre propriété des puissances - la propriété des produits de puissances avec des bases égales. Il ressemble à ceci : une m une n = une m + n .

Si n vaut 0, alors une m une 0 = une m(cette égalité nous prouve aussi que un 0 = 1). Mais si et est également égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m 0 0 = 0 m, Ce sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe quelle est exactement la valeur du degré 0 0 , c'est-à-dire qu'il peut être égal à n'importe quel nombre, et cela n'affectera pas la validité de l'égalité. Par conséquent, un enregistrement de la forme 0 0 n'a pas de sens particulier en soi, et nous ne le lui attribuerons pas.

Si vous le souhaitez, il est facile de vérifier que un 0 = 1 converge avec la propriété degré (une m) n = une m nà condition que la base du degré ne soit pas égale à zéro. Ainsi, le degré de tout nombre non nul avec un exposant nul est égal à un.

Exemple 2

Prenons un exemple avec des nombres spécifiques : Donc, 5 0 - unité, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , et la valeur 0 0 indéfini.

Après le degré zéro, il nous reste à comprendre ce qu'est un degré négatif. Pour ce faire, nous avons besoin de la même propriété du produit de puissances à bases égales, que nous avons déjà utilisée ci-dessus : a m · a n = a m + n.

On introduit la condition : m = − n , alors a ne doit pas être égal à zéro. Il s'ensuit que une - n une n = une - n + n = une 0 = 1. Il s'avère qu'un n et un nous avons des nombres mutuellement réciproques.

Par conséquent, a à une puissance entière négative n'est rien d'autre qu'une fraction 1 a n .

Cette formulation confirme que pour un degré avec un exposant entier négatif, toutes les mêmes propriétés sont valables qu'un degré avec un exposant naturel (à condition que la base ne soit pas égale à zéro).

Exemple 3

La puissance a avec un entier négatif n peut être représentée comme une fraction 1 a n . Ainsi, a - n = 1 a n sous la condition un ≠ 0 et n est un nombre naturel quelconque.

Illustrons notre idée par des exemples concrets :

Exemple 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire clairement tout ce qui a été dit en une seule formule :

Définition 4

La puissance de a d'exposant naturel z est : a z = a z , e c et z est un entier positif 1 , z = 0 et a ≠ 0 , (si z = 0 et a = 0 on obtient 0 0 , les valeurs de l'expression 0 0 ne sont pas est déterminée)   1 a z , si z est un entier négatif et a ≠ 0 (si z est un entier négatif et a = 0 on obtient 0 z , c'est a n d e n t i o n )

Que sont les degrés avec un exposant rationnel

Nous avons analysé les cas où l'exposant est un entier. Cependant, vous pouvez également élever un nombre à une puissance lorsque son exposant est un nombre fractionnaire. C'est ce qu'on appelle le degré indicateur rationnel. Dans cette sous-section, nous prouverons qu'elle a les mêmes propriétés que les autres puissances.

Que sont les nombres rationnels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres entiers et nombres fractionnaires, tandis que les nombres fractionnaires peuvent être représentés comme des fractions ordinaires (à la fois positives et négatives). Nous formulons la définition du degré d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où n est un nombre naturel et m est un entier.

Nous avons un certain degré avec un exposant fractionnaire a m n . Pour que la propriété de puissance soit maintenue dans un degré, l'égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.

Étant donné la définition d'une nième racine et que a m n n = a m , on peut accepter la condition a m n = a m n si a m n a un sens pour les valeurs données de m , n et a .

Les propriétés ci-dessus du degré avec un exposant entier seront vraies sous la condition a m n = a m n .

La principale conclusion de notre raisonnement est la suivante : le degré d'un certain nombre a avec un exposant fractionnaire m/n est la racine du nième degré du nombre a à la puissance m. Cela est vrai si, pour des valeurs données de m, n et a, l'expression a m n a un sens.

1. On peut limiter la valeur de la base du degré : prendre a, qui pour les valeurs positives de m sera supérieur ou égal à 0, et pour les valeurs négatives il sera strictement inférieur (car pour m ≤ 0 nous obtenons 0 m, mais ce degré n'est pas défini). Dans ce cas, la définition du degré avec un exposant fractionnaire ressemblera à ceci :

L'exposant fractionnaire m/n pour un nombre positif a est la nième racine de a élevée à la puissance m. Sous forme de formule, cela peut être représenté comme suit :

Pour un degré à base zéro, cette disposition convient également, mais uniquement si son exposant est un nombre positif.

Une puissance de base zéro et un exposant fractionnaire positif m/n peut être exprimée comme

0 m n = 0 m n = 0 sous la condition d'entier positif m et naturel n .

Avec un rapport négatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Notons un point. Puisque nous avons introduit la condition que a est supérieur ou égal à zéro, nous avons écarté certains cas.

L'expression a m n a parfois encore du sens pour certaines valeurs négatives de a et certaines valeurs négatives de m . Ainsi, les entrées sont correctes (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , dans lesquelles la base est négative.

2. La deuxième approche consiste à considérer séparément la racine a m n avec des exposants pairs et impairs. Ensuite, nous devons introduire une condition supplémentaire: le degré a, dans l'exposant duquel se trouve une fraction ordinaire réductible, est considéré comme le degré a, dans l'exposant duquel se trouve la fraction irréductible correspondante. Plus tard, nous expliquerons pourquoi nous avons besoin de cette condition et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons un enregistrement a m · k n · k , alors nous pouvons le réduire à a m n et simplifier les calculs.

Si n est un nombre impair et m est positif et a est un nombre non négatif, alors a m n a un sens. La condition pour un a non négatif est nécessaire, car la racine d'un degré pair n'est pas extraite d'un nombre négatif. Si la valeur de m est positive, alors a peut être à la fois négatif et nul, car Une racine impaire peut être tirée de n'importe quel nombre réel.

Combinons toutes les données au-dessus de la définition en une seule entrée :

Ici m/n signifie une fraction irréductible, m est n'importe quel nombre entier et n est n'importe quel nombre naturel.

Définition 5

Pour toute fraction réduite ordinaire m · k n · k, le degré peut être remplacé par a m n .

Le degré de a à exposant fractionnaire irréductible m / n - peut être exprimé par a m n dans les cas suivants : - pour tout réel a , entier valeurs positives m et les entiers positifs impairs n . Exemple : 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Pour tout réel non nul a , valeurs entières négatives de m et valeurs impaires de n , par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Pour tout a non négatif, des valeurs entières positives de m et même n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Pour tout entier positif a , négatif m et même n , par exemple, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Dans le cas d'autres valeurs, le degré avec un exposant fractionnaire n'est pas déterminé. Exemples de telles puissances : - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Expliquons maintenant l'importance de la condition mentionnée ci-dessus : pourquoi remplacer une fraction par un exposant réductible pour une fraction par un irréductible. Si nous n'avions pas fait cela, alors de telles situations se seraient avérées, disons, 6/10 = 3/5. Alors (- 1) 6 10 = - 1 3 5 devrait être vrai, mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , et (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

La définition du degré avec un exposant fractionnaire, que nous avons donnée en premier, est plus pratique à appliquer que la seconde, nous continuerons donc à l'utiliser.

Définition 6

Ainsi, la puissance d'un nombre positif a avec l'exposant fractionnaire m / n est définie comme 0 m n = 0 m n = 0 . En cas de négatif un la notation a m n n'a aucun sens. Degré de zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0 , pour les exposants fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.

Dans les conclusions, on note que tout indicateur fractionnaire peut s'écrire sous la forme nombre mixte, et sous la forme fraction décimale: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant par une fraction ordinaire, puis d'utiliser la définition du degré avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, on obtient :

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Que sont les degrés avec un exposant irrationnel et réel

Que sont les nombres réels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, afin de comprendre ce qu'est un degré avec un exposant réel, nous devons définir des degrés avec des exposants rationnels et irrationnels. À propos de rationnel, nous l'avons déjà mentionné ci-dessus. Traitons les indicateurs irrationnels étape par étape.

Exemple 5

Supposons que nous ayons un nombre irrationnel a et une suite de ses approximations décimales a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Par exemple, prenons la valeur a = 1 , 67175331 . . . , alors

une 0 = 1 , 6 , une 1 = 1 , 67 , une 2 = 1 , 671 , . . . , une 0 = 1 , 67 , une 1 = 1 , 6717 , une 2 = 1 , 671753 , . . .

On peut associer des suites d'approximations à une suite de puissances a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Si nous nous souvenons de ce dont nous avons parlé plus tôt sur l'élévation des nombres à une puissance rationnelle, alors nous pouvons calculer nous-mêmes les valeurs de ces puissances.

Prends pour exemple un = 3, alors une une 0 = 3 1 , 67 , une une 1 = 3 1 , 6717 , une une 2 = 3 1 , 671753 , . . . etc.

La séquence de degrés peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur du degré avec la base a et l'exposant irrationnel a. Résultat : un degré avec un exposant irrationnel de la forme 3 1 , 67175331 . . peut être réduit au nombre 6, 27.

Définition 7

La puissance d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a s'écrit a a . Sa valeur est la limite de la suite a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , où a 0 , a 1 , a 2 , . . . sont des approximations décimales successives du nombre irrationnel a. Un degré avec une base nulle peut également être défini pour les exposants irrationnels positifs, tandis que 0 a \u003d 0 Donc, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Et pour les négatifs, cela ne peut pas être fait, car, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 π n'est pas définie. Une unité élevée à n'importe quelle puissance irrationnelle reste une unité, par exemple, et 1 2 , 1 5 en 2 et 1 - 5 seront égaux à 1 .

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L'une des principales caractéristiques de l'algèbre, et en fait de toutes les mathématiques, est un diplôme. Bien sûr, au 21e siècle, tous les calculs peuvent être effectués sur une calculatrice en ligne, mais il vaut mieux apprendre à le faire soi-même pour le développement du cerveau.

Dans cet article, nous examinerons les questions les plus importantes concernant cette définition. A savoir, nous comprendrons de quoi il s'agit en général et quelles sont ses principales fonctions, quelles propriétés existent en mathématiques.

Regardons des exemples de ce à quoi ressemble le calcul, quelles sont les formules de base. Nous analyserons les principaux types de grandeurs et comment elles diffèrent des autres fonctions.

Nous comprendrons comment résoudre divers problèmes en utilisant cette valeur. Nous montrerons avec des exemples comment monter à un degré zéro, irrationnel, négatif, etc.

Calculateur d'exponentiation en ligne

Quel est le degré d'un nombre

Que signifie l'expression « élever un nombre à une puissance » ?

Le degré n d'un nombre a est le produit de facteurs de grandeur a n fois de suite.

Mathématiquement ça ressemble à ça :

une n = une * une * une * … une n .

Par exemple:

• 2 3 = 2 dans la troisième étape. = 2 * 2 * 2 = 8 ;
• 4 2 = 4 en pas. deux = 4 * 4 = 16 ;
• 5 4 = 5 en pas. quatre = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 ;
• 10 5 \u003d 10 en 5 étapes. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000 ;
• 10 4 \u003d 10 en 4 étapes. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ci-dessous un tableau de carrés et de cubes de 1 à 10.

Tableau des degrés de 1 à 10

Vous trouverez ci-dessous les résultats de l'élévation des nombres naturels à des puissances positives - "de 1 à 100".

Propriétés du diplôme

Quelle est la caractéristique d'une telle fonction mathématique ? Regardons les propriétés de base.

Les scientifiques ont établi ce qui suit signes caractéristiques de tous les degrés :

• une n * une m = (a) (n+m) ;
• une n : une m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Vérifions avec des exemples :

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Par contre 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

De même : 2 3 : 2 2 = 8 / 4 = 2. Sinon 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Et si c'était différent ? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Comme vous pouvez le voir, les règles fonctionnent.

Mais comment être avec addition et soustraction? Tout est simple. La première exponentiation est effectuée, puis seulement l'addition et la soustraction.

Regardons des exemples :

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Mais dans ce cas, vous devez d'abord calculer l'addition, car il y a des actions entre parenthèses : (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Comment produire l'informatique en plus cas difficiles ? La commande est la même :

• s'il y a des crochets, vous devez commencer par eux;
• puis exponentiation;
• puis effectuer des opérations de multiplication, de division ;
• après addition, soustraction.

Il existe des propriétés spécifiques qui ne sont pas caractéristiques de tous les degrés :

1. La racine du nième degré du nombre a au degré m s'écrira : a m / n .
2. Lors de l'élévation d'une fraction à une puissance : le numérateur et son dénominateur sont soumis à cette procédure.
3. Lors de la construction d'un ouvrage numéros différentsà une puissance, l'expression correspondra au produit de ces nombres par une puissance donnée. C'est-à-dire : (a * b) n = a n * b n .
4. Lorsque vous élevez un nombre à une puissance négative, vous devez diviser 1 par un nombre dans la même étape, mais avec un signe "+".
5. Si le dénominateur d'une fraction est en une puissance négative, alors cette expression sera égale au produit du numérateur et du dénominateur en une puissance positive.
6. Tout nombre à la puissance 0 = 1, et au pas. 1 = à lui-même.

Ces règles sont importantes dans des cas individuels, nous les examinerons plus en détail ci-dessous.

Degré avec un exposant négatif

Que faire avec un degré négatif, c'est-à-dire lorsque l'indicateur est négatif ?

Basé sur les propriétés 4 et 5(voir point ci-dessus) il s'avère:

Un (- n) \u003d 1 / Un n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Et vice versa:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Et si c'était une fraction ?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Diplôme avec un indicateur naturel

Il est compris comme un degré avec des exposants égaux à des nombres entiers.

Choses à retenir:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1 ; 3.15 0 = 1 ; (-4) 0 = 1…etc.

UNE 1 = UNE, 1 1 = 1 ; 2 1 = 2 ; 3 1 = 3…etc.

Aussi, si (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… alors le résultat sera avec un signe « + ». Si un nombre négatif est élevé à une puissance impaire, alors vice versa.

Les propriétés générales, et toutes les spécificités décrites ci-dessus, les caractérisent également.

Degré fractionnaire

Cette vue peut s'écrire sous la forme d'un schéma : A m/n. Il se lit comme suit : la racine du nième degré du nombre A à la puissance m.

Avec un indicateur fractionnaire, vous pouvez tout faire : réduire, décomposer en parties, élever à un autre degré, etc.

Degré avec exposant irrationnel

Soit α un nombre irrationnel et А ˃ 0.

Pour comprendre l'essence du diplôme avec un tel indicateur, Voyons différents cas possibles :

• A \u003d 1. Le résultat sera égal à 1. Puisqu'il existe un axiome - 1 est égal à un en toutes puissances;

À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 sont des nombres rationnels ;

• 0˂А˂1.

Dans ce cas, inversement : À r 2 ˂ À α ˂ À r 1 dans les mêmes conditions qu'au deuxième alinéa.

Par exemple, l'exposant est le nombre π. C'est rationnel.

r 1 - dans ce cas il est égal à 3 ;

r 2 - sera égal à 4.

Alors, pour A = 1, 1 π = 1.

A = 2, alors 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, alors (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Pour de tels diplômes, tous opérations mathématiques et les propriétés spécifiques décrites ci-dessus.

Conclusion

Résumons - à quoi servent ces valeurs, quels sont les avantages de telles fonctions? Bien sûr, tout d'abord, ils simplifient la vie des mathématiciens et des programmeurs lors de la résolution d'exemples, car ils permettent de minimiser les calculs, de réduire les algorithmes, de systématiser les données, et bien plus encore.

Où d'autre cette connaissance peut-elle être utile? À n'importe spécialité de travail: médecine, pharmacologie, dentisterie, construction, technologie, ingénierie, design, etc.

Formules de puissance utilisé dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inéquations.

Numéro c est n-ième puissance d'un nombre un lorsque:

Opérations avec degrés.

1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'additionnent :

suisune n = une m + n .

2. Dans la division des degrés avec la même base, leurs indicateurs sont soustraits:

3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :

(abc…) n = une n b n c n …

4. Le degré d'une fraction est égal au rapport des degrés du dividende et du diviseur :

(a/b) n = une n / b n .

5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

(suis) n = une m n .

Chaque formule ci-dessus est correcte dans les directions de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Opérations avec des racines.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine du rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lors de l'élévation d'une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre racine à cette puissance :

4. Si nous augmentons le degré de la racine dans n une fois et en même temps monter à nème puissance est un nombre racine, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si nous diminuons le degré de la racine dans n racine en même temps nème degré du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Degré avec un exposant négatif. Le degré d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est défini comme un divisé par le degré du même nombre avec un exposant égal à valeur absolue indicateur non positif :

Formule suis:une n = une m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi à m< n.

Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formuler suis:une n = une m - n est devenu juste à m=n, vous avez besoin de la présence du degré zéro.

Degré avec exposant zéro. La puissance de tout nombre non nul avec un exposant nul est égale à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Pour élever un nombre réel unà un degré m/n, vous devez extraire la racine nème degré de mème puissance de ce nombre un.

Dans la continuité de la conversation sur le degré d'un nombre, il est logique de s'occuper de trouver la valeur du degré. Ce procédé a été nommé exponentiation. Dans cet article, nous allons juste étudier comment s'effectue l'exponentiation, en abordant tous les exposants possibles - naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Et par tradition, nous examinerons en détail les solutions aux exemples d'augmentation des nombres à divers degrés.

Navigation dans les pages.

Que signifie "exponentiation" ?

Commençons par expliquer ce qu'on appelle l'exponentiation. Voici la définition pertinente.

Définition.

Exponentation est de trouver la valeur de la puissance d'un nombre.

Ainsi, trouver la valeur de la puissance de a avec l'exposant r et élever le nombre a à la puissance de r revient au même. Par exemple, si la tâche est « calculer la valeur de la puissance (0,5) 5 », alors elle peut être reformulée comme suit : « Élever le nombre 0,5 à la puissance 5 ».

Vous pouvez maintenant accéder directement aux règles selon lesquelles l'exponentiation est effectuée.

Élever un nombre à une puissance naturelle

En pratique, l'égalité basée sur s'applique généralement sous la forme . Autrement dit, lors de l'élévation du nombre a à une puissance fractionnaire m / n, la racine du nième degré du nombre a est d'abord extraite, après quoi le résultat est élevé à une puissance entière m.

Envisagez des solutions à des exemples d'élévation à une puissance fractionnaire.

Exemple.

Calculez la valeur du degré.

La solution.

Nous montrons deux solutions.

Première voie. Par définition de degré avec un exposant fractionnaire. Nous calculons la valeur du degré sous le signe de la racine, après quoi nous extrayons racine cubique: .

La deuxième façon. Par définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et sur la base des propriétés des racines, les égalités sont vraies . Maintenant, extrayez la racine Enfin, on élève à une puissance entière .

Évidemment, les résultats obtenus de l'élévation à une puissance fractionnaire coïncident.

Réponse:

Notez qu'un exposant fractionnaire peut être écrit sous la forme d'une fraction décimale ou d'un nombre fractionnaire, dans ces cas, il doit être remplacé par la fraction ordinaire correspondante, puis l'exponentiation doit être effectuée.

Exemple.

Calculer (44,89) 2,5 .

La solution.

On écrit l'exposant sous la forme fraction commune(si nécessaire, voir l'article): . Maintenant, nous effectuons une élévation à une puissance fractionnaire :

Réponse:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Il faut dire aussi qu'il suffit d'élever les nombres à des puissances rationnelles processus laborieux(en particulier lorsqu'il y a des nombres suffisamment grands dans le numérateur et le dénominateur de l'exposant fractionnaire), ce qui est généralement effectué à l'aide de la technologie informatique.

En conclusion de ce paragraphe, nous nous attarderons sur la construction du nombre zéro à une puissance fractionnaire. Nous avons donné la signification suivante au degré fractionnaire de zéro de la forme : car nous avons , tandis que zéro à la puissance m/n n'est pas défini. Ainsi, zéro à une puissance fractionnaire positive est égal à zéro, par exemple, . Et zéro dans une puissance négative fractionnaire n'a pas de sens, par exemple, les expressions et 0 -4,3 n'ont pas de sens.

Élever à une puissance irrationnelle

Parfois, il devient nécessaire de connaître la valeur du degré d'un nombre avec un exposant irrationnel. Dans ce cas, à des fins pratiques, il suffit généralement d'obtenir la valeur du diplôme jusqu'à un certain signe. Notons tout de suite qu'en pratique cette valeur est calculée à l'aide d'une technologie de calcul électronique, car l'élévation manuelle à une puissance irrationnelle nécessite un grand nombre de calculs fastidieux. Mais néanmoins nous décrirons en termes généraux l'essence des actions.

Pour obtenir une valeur approximative de la puissance de a avec un exposant irrationnel, une approximation décimale de l'exposant est prise et la valeur de l'exposant est calculée. Cette valeur est la valeur approchée du degré du nombre a avec un exposant irrationnel. Plus l'approximation décimale du nombre est précise au départ, plus la valeur en degrés sera précise à la fin.

A titre d'exemple, calculons la valeur approximative de la puissance de 2 1.174367... . Prendre l'approximation décimale suivante indicateur irrationnel: . Maintenant, nous élevons 2 à une puissance rationnelle de 1,17 (nous avons décrit l'essence de ce processus dans le paragraphe précédent), nous obtenons 2 1,17 ≈ 2,250116. De cette façon, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Si nous prenons une approximation décimale plus précise d'un exposant irrationnel, par exemple, , alors nous obtenons une valeur plus précise du degré d'origine : 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

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