La formule suivante sera la définition degrés de indicateur naturel (a est la base de l'exposant et du facteur répété, et n est l'exposant, qui indique combien de fois le facteur est répété) :

Cette expression signifie que la puissance du nombre a d'indice naturel n est le produit de n facteurs, sachant que chacun des facteurs est égal à a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - la base du diplôme,

5 - exposant,

1419857 est la valeur en degrés.

L'exposant à exposant nul est 1 , à condition que a \neq 0 :

un^0=1 .

Par exemple : 2^0=1

Lorsque vous devez écrire un grand nombre, la puissance de 10 est généralement utilisée.

Par exemple, l'un des dinosaures les plus anciens de la Terre a vécu il y a environ 280 millions d'années. Son âge s'écrit : 2,8 \cdot 10^8 .

Tout nombre supérieur à 10 peut être écrit sous la forme \cdot 10^n , à condition que 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют forme standard du nombre.

Exemples de tels nombres : 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.

Vous pouvez dire à la fois "a à la puissance n", et "puissance n du nombre a" et "a à la puissance n".

4^5 - "quatre à la puissance 5" ou "4 à la puissance cinq" ou vous pouvez aussi dire "cinquième puissance du nombre 4"

À cet exemple 4 est la base du degré, 5 est l'exposant.

Nous donnons maintenant un exemple avec des fractions et des nombres négatifs. Pour éviter toute confusion, il est d'usage d'écrire entre parenthèses les bases autres que les nombres naturels :

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 etc...

Remarquez aussi la différence :

(-5) ^ 6 - signifie la puissance d'un nombre négatif -5 avec l'exposant naturel 6.

5^6 - correspond au nombre opposé de 5^6 .

Propriétés des degrés avec exposant naturel

La principale propriété du diplôme

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

La base reste la même, mais les exposants sont ajoutés.

Par exemple : 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Propriété des puissances partielles avec les mêmes bases

a^n : a^k=a^(n-k) si n > k .

Les exposants sont soustraits, mais la base reste la même.

Cette restriction n > k est introduite pour ne pas dépasser les exposants naturels. En effet, pour n > k, l'exposant a^(n-k) sera un nombre naturel, sinon ce sera soit un nombre négatif (k< n ), либо нулем (k-n ).

Par exemple : 2^3 : 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Propriété d'exponentiation de puissance

(a^n)^k=a^(nk)

La base reste la même, seuls les exposants sont multipliés.

Par exemple: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Propriété d'exponentiation du produit

Chaque facteur est élevé à la puissance n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Par exemple: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

La propriété d'exponentiation d'une fraction

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont tous deux élevés à une puissance. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Dans le cadre de ce matériel, nous analyserons ce qu'est une puissance d'un nombre. En plus des définitions de base, nous formulerons ce que sont les degrés avec des exposants naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés par des exemples de tâches.

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Tout d'abord, nous formulons la définition de base d'un degré avec un exposant naturel. Pour ce faire, nous devons nous rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons à l'avance que pour le moment nous prendrons un nombre réel comme base (désignons-le par la lettre a) et comme indicateur - un nombre naturel (désigné par la lettre n).

Définition 1

La puissance de a avec un exposant naturel n est le produit du nième nombre de facteurs, dont chacun est égal au nombre a. Le diplôme s'écrit ainsi : un, et sous forme de formule, sa composition peut être représentée comme suit :

Par exemple, si l'exposant est 1 et la base est a, alors la première puissance de a s'écrit un 1. Étant donné que a est la valeur du facteur et 1 est le nombre de facteurs, nous pouvons conclure que un 1 = un.

En général, on peut dire que le degré est une forme pratique d'écriture d'un grand nombre de facteurs égaux. Ainsi, un enregistrement de la forme 8 8 8 8 peut être réduit à 8 4 . De la même manière, le travail nous aide à éviter d'écrire un grand nombre termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; nous l'avons déjà analysé dans l'article consacré à la multiplication des nombres naturels.

Comment lire correctement le dossier du diplôme? L'option généralement acceptée est "a à la puissance n". Ou vous pouvez dire "la nième puissance de a" ou "la nième puissance". Si, par exemple, dans l'exemple, il y a une entrée 8 12 , on peut lire « 8 puissance 12 », « 8 puissance 12 » ou « 12 puissance 8 ».

Les deuxième et troisième degrés du nombre ont leurs propres noms bien établis : carré et cube. Si nous voyons la deuxième puissance, par exemple, du nombre 7 (7 2), alors nous pouvons dire "7 au carré" ou "carré du nombre 7". De même, le troisième degré se lit comme ceci : 5 3 est le "cube du nombre 5" ou "5 au cube". Cependant, il est également possible d'utiliser la formulation standard "au deuxième / troisième degré", ce ne sera pas une erreur.

Exemple 1

Prenons un exemple de diplôme avec un indicateur naturel : pour 5 7 cinq sera la base et sept sera l'indicateur.

La base ne doit pas nécessairement être un nombre entier : pour le degré (4 , 32) 9 la base sera une fraction 4, 32, et l'exposant sera neuf. Faites attention aux parenthèses: une telle notation est faite pour tous les degrés dont les bases diffèrent des nombres naturels.

Par exemple : 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

A quoi servent les parenthèses ? Ils permettent d'éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées : (− 2) 3 et − 2 3 . Le premier d'entre eux signifie un nombre négatif moins deux, élevé à une puissance avec un exposant naturel de trois ; le second est le nombre correspondant à la valeur opposée du degré 2 3 .

Parfois, dans les livres, vous pouvez trouver une orthographe légèrement différente du degré d'un nombre - un ^ n(où a est la base et n est l'exposant). Donc 4^9 est égal à 4 9 . Si n est un nombre à plusieurs chiffres, il est placé entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Mais nous utiliserons la notation un comme plus commun.

Comment calculer la valeur d'un degré avec un exposant naturel est facile à deviner à partir de sa définition : il suffit de multiplier un n -ième nombre de fois. Nous avons écrit plus à ce sujet dans un autre article.

Le concept de degré est à l'opposé d'un autre concept mathématique - la racine d'un nombre. Si nous connaissons la valeur de l'exposant et de l'exposant, nous pouvons calculer sa base. Le degré a des propriétés spécifiques qui sont utiles pour résoudre des problèmes que nous avons analysés dans un document séparé.

Les exposants peuvent contenir non seulement des nombres naturels, mais également toutes les valeurs entières en général, y compris les valeurs négatives et les zéros, car ils appartiennent également à l'ensemble des nombres entiers.

Définition 2

Le degré d'un nombre avec un exposant entier positif peut être affiché sous forme de formule : .

De plus, n est tout entier positif.

Parlons du concept de degré zéro. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du quotient pour des puissances à bases égales. Il est formulé comme ceci :

Définition 3

Égalité une m : une n = une m - n sera vraie dans les conditions suivantes : m et n sont des nombres naturels, m< n , a ≠ 0 .

La dernière condition est importante car elle évite de diviser par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, alors nous obtiendrons le résultat suivant : une n : une n = une n - n = une 0

Mais en même temps a n : a n = 1 est un quotient nombres égaux un et un. Il s'avère que le degré zéro de tout nombre non nul est égal à un.

Cependant, une telle preuve ne convient pas pour zéro à la puissance zéro. Pour ce faire, nous avons besoin d'une autre propriété des puissances - la propriété des produits de puissances avec des bases égales. Il ressemble à ceci : une m une n = une m + n .

Si n vaut 0, alors une m une 0 = une m(cette égalité nous prouve aussi que un 0 = 1). Mais si et est également égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m 0 0 = 0 m, Ce sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe quelle est exactement la valeur du degré 0 0 , c'est-à-dire qu'il peut être égal à n'importe quel nombre, et cela n'affectera pas la validité de l'égalité. Par conséquent, un enregistrement de la forme 0 0 n'a pas de sens particulier en soi, et nous ne le lui attribuerons pas.

Si vous le souhaitez, il est facile de vérifier que un 0 = 1 converge avec la propriété degré (une m) n = une m nà condition que la base du degré ne soit pas égale à zéro. Ainsi, le degré de tout nombre non nul avec un exposant nul est égal à un.

Exemple 2

Prenons un exemple avec des nombres spécifiques : Donc, 5 0 - unité, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , et la valeur 0 0 indéfini.

Après le degré zéro, il nous reste à comprendre ce qu'est un degré négatif. Pour ce faire, nous avons besoin de la même propriété du produit de puissances à bases égales, que nous avons déjà utilisée ci-dessus : a m · a n = a m + n.

On introduit la condition : m = − n , alors a ne doit pas être égal à zéro. Il s'ensuit que une - n une n = une - n + n = une 0 = 1. Il s'avère qu'un n et un nous avons des nombres mutuellement réciproques.

En conséquence, un dans l'ensemble degré négatif n'est rien d'autre qu'une fraction 1 a n .

Cette formulation confirme que pour un degré avec un exposant entier négatif, toutes les mêmes propriétés sont valables qu'un degré avec un exposant naturel (à condition que la base ne soit pas égale à zéro).

Exemple 3

La puissance a avec un entier négatif n peut être représentée comme une fraction 1 a n . Ainsi, a - n = 1 a n sous la condition un ≠ 0 et n est quelconque entier naturel.

Illustrons notre idée par des exemples concrets :

Exemple 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire clairement tout ce qui a été dit en une seule formule :

Définition 4

La puissance de a d'exposant naturel z est : a z = a z , e c et z est un entier positif 1 , z = 0 et a ≠ 0 , (si z = 0 et a = 0 on obtient 0 0 , les valeurs de l'expression 0 0 ne sont pas est déterminée)   1 a z , si z est un entier négatif et a ≠ 0 (si z est un entier négatif et a = 0 on obtient 0 z , c'est a n d e n t i o n )

Que sont les degrés avec un exposant rationnel

Nous avons analysé les cas où l'exposant est un entier. Cependant, vous pouvez également élever un nombre à une puissance lorsque son exposant est un nombre fractionnaire. C'est ce qu'on appelle le degré indicateur rationnel. Dans cette sous-section, nous prouverons qu'elle a les mêmes propriétés que les autres puissances.

Que sont les nombres rationnels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres entiers et nombres fractionnaires, tandis que les nombres fractionnaires peuvent être représentés comme des fractions ordinaires (à la fois positives et négatives). Nous formulons la définition du degré d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où n est un nombre naturel et m est un entier.

Nous avons un certain degré avec un exposant fractionnaire a m n . Pour que la propriété de puissance soit maintenue dans un degré, l'égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.

Étant donné la définition d'une nième racine et que a m n n = a m , on peut accepter la condition a m n = a m n si a m n a un sens pour les valeurs données de m , n et a .

Les propriétés ci-dessus du degré avec un exposant entier seront vraies sous la condition a m n = a m n .

La principale conclusion de notre raisonnement est la suivante : le degré d'un certain nombre a avec un exposant fractionnaire m/n est la racine du nième degré du nombre a à la puissance m. Cela est vrai si, pour des valeurs données de m, n et a, l'expression a m n a un sens.

1. On peut limiter la valeur de la base du degré : prendre a, qui pour les valeurs positives de m sera supérieur ou égal à 0, et pour les valeurs négatives il sera strictement inférieur (car pour m ≤ 0 nous obtenons 0 m, mais ce degré n'est pas défini). Dans ce cas, la définition du degré avec un exposant fractionnaire ressemblera à ceci :

L'exposant fractionnaire m/n pour un nombre positif a est la nième racine de a élevée à la puissance m. Sous forme de formule, cela peut être représenté comme suit :

Pour un degré à base zéro, cette disposition convient également, mais uniquement si son exposant est un nombre positif.

Une puissance de base zéro et un exposant fractionnaire positif m/n peut être exprimée comme

0 m n = 0 m n = 0 sous la condition d'entier positif m et naturel n .

Avec un rapport négatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Notons un point. Puisque nous avons introduit la condition que a est supérieur ou égal à zéro, nous avons écarté certains cas.

L'expression a m n a parfois encore du sens pour certaines valeurs négatives de a et certaines valeurs négatives de m . Ainsi, les entrées sont correctes (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , dans lesquelles la base est négative.

2. La deuxième approche consiste à considérer séparément la racine a m n avec des exposants pairs et impairs. Ensuite, nous devons introduire une condition supplémentaire: le degré a, dans l'exposant duquel se trouve une fraction ordinaire réductible, est considéré comme le degré a, dans l'exposant duquel se trouve la fraction irréductible correspondante. Plus tard, nous expliquerons pourquoi nous avons besoin de cette condition et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons un enregistrement a m · k n · k , alors nous pouvons le réduire à a m n et simplifier les calculs.

Si n est un nombre impair et m est positif et a est un nombre non négatif, alors a m n a un sens. La condition pour un a non négatif est nécessaire, car la racine d'un degré pair n'est pas extraite d'un nombre négatif. Si la valeur de m est positive, alors a peut être à la fois négatif et nul, car Une racine impaire peut être tirée de n'importe quel nombre réel.

Combinons toutes les données au-dessus de la définition en une seule entrée :

Ici m/n signifie une fraction irréductible, m est n'importe quel nombre entier et n est n'importe quel nombre naturel.

Définition 5

Pour toute fraction réduite ordinaire m · k n · k, le degré peut être remplacé par a m n .

Le degré de a à exposant fractionnaire irréductible m / n - peut être exprimé par a m n dans les cas suivants : - pour tout réel a , entier valeurs positives m et les entiers positifs impairs n . Exemple : 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Pour tout réel non nul a , valeurs entières négatives de m et valeurs impaires de n , par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Pour tout a non négatif, des valeurs entières positives de m et même n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Pour tout entier positif a , négatif m et même n , par exemple, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Dans le cas d'autres valeurs, le degré avec un exposant fractionnaire n'est pas déterminé. Exemples de telles puissances : - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Expliquons maintenant l'importance de la condition mentionnée ci-dessus : pourquoi remplacer une fraction par un exposant réductible pour une fraction par un irréductible. Si nous n'avions pas fait cela, alors de telles situations se seraient avérées, disons, 6/10 = 3/5. Alors (- 1) 6 10 = - 1 3 5 devrait être vrai, mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , et (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

La définition du degré avec un exposant fractionnaire, que nous avons donnée en premier, est plus pratique à appliquer que la seconde, nous continuerons donc à l'utiliser.

Définition 6

Ainsi, la puissance d'un nombre positif a avec l'exposant fractionnaire m / n est définie comme 0 m n = 0 m n = 0 . En cas de négatif un la notation a m n n'a aucun sens. Degré de zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0 , pour les exposants fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.

Dans les conclusions, on note que tout indicateur fractionnaire peut s'écrire sous la forme nombre mixte, et sous forme de fraction décimale : 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant fraction commune puis utilisez la définition du degré avec un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, on obtient :

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Que sont les degrés avec un exposant irrationnel et réel

Que sont les nombres réels ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, afin de comprendre ce qu'est un degré avec un exposant réel, nous devons définir des degrés avec des exposants rationnels et irrationnels. À propos de rationnel, nous l'avons déjà mentionné ci-dessus. Traitons les indicateurs irrationnels étape par étape.

Exemple 5

Supposons que nous ayons un nombre irrationnel a et une suite de ses approximations décimales a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Par exemple, prenons la valeur a = 1 , 67175331 . . . , alors

une 0 = 1 , 6 , une 1 = 1 , 67 , une 2 = 1 , 671 , . . . , une 0 = 1 , 67 , une 1 = 1 , 6717 , une 2 = 1 , 671753 , . . .

On peut associer des suites d'approximations à une suite de puissances a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Si nous nous souvenons de ce dont nous avons parlé plus tôt sur l'élévation des nombres à une puissance rationnelle, alors nous pouvons calculer nous-mêmes les valeurs de ces puissances.

Prends pour exemple un = 3, alors une une 0 = 3 1 , 67 , une une 1 = 3 1 , 6717 , une une 2 = 3 1 , 671753 , . . . etc.

La séquence de degrés peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur du degré avec la base a et l'exposant irrationnel a. Résultat : un degré avec un exposant irrationnel de la forme 3 1 , 67175331 . . peut être réduit au nombre 6, 27.

Définition 7

La puissance d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a s'écrit a a . Sa valeur est la limite de la suite a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , où a 0 , a 1 , a 2 , . . . sont des approximations décimales successives du nombre irrationnel a. Un degré avec une base nulle peut également être défini pour les exposants irrationnels positifs, tandis que 0 a \u003d 0 Donc, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Et pour les négatifs, cela ne peut pas être fait, car, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 π n'est pas définie. Unité élevée à n'importe quel degré irrationnel, reste un, par exemple, et 1 2 , 1 5 en 2 et 1 - 5 seront égaux à 1 .

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Leçon vidéo 2 : Diplôme avec un indicateur naturel et ses propriétés

Conférence:

Diplôme avec un indicateur naturel

En dessous de diplôme un certain nombre "un" avec un indicateur "n" comprendre le produit d'un nombre "un" tout seul "n" une fois que.

Lorsqu'on parle d'un diplôme avec un indicateur naturel, cela signifie que le nombre "n" doit être entier et non négatif.

un- la base du degré, qui indique quel nombre doit être multiplié par lui-même,

n- exposant - il indique combien de fois la base doit être multipliée par elle-même.

Par exemple:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Dans ce cas, la base du degré est le chiffre "8", l'exposant est le chiffre "4", la valeur du degré est le chiffre "4096".

L'erreur la plus grande et la plus courante dans le calcul du degré consiste à multiplier l'exposant par la base - CE N'EST PAS VRAI !

Lorsque nous parlons environ un degré avec un exposant naturel, ce qui signifie que seul l'exposant (n) doit être un nombre naturel.

N'importe quel nombre sur la droite numérique peut être utilisé comme base.

Par exemple,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

L'opération mathématique effectuée sur la base et l'exposant est appelée exponentiation.

L'addition/soustraction est l'opération mathématique du premier étage, la multiplication/division est l'opération du deuxième étage, l'exponentiation est l'opération mathématique du troisième étage, c'est-à-dire l'une des plus élevées.

Cette hiérarchie opérations mathématiques détermine l'ordre dans le calcul. Si cette action se produit dans des tâches parmi les deux précédentes, alors elle est effectuée en premier.

Par exemple:

15 + 6 *2 2 = 39

Dans cet exemple, vous devez d'abord élever 2 à la puissance, c'est-à-dire

puis multipliez le résultat par 6, c'est-à-dire

Un degré avec un exposant naturel est utilisé non seulement pour des calculs spécifiques, mais aussi pour la commodité d'écrire de grands nombres. Dans ce cas, le concept est également utilisé "forme de nombre standard". Cette entrée implique la multiplication d'un certain nombre de 1 à 9 par une base de puissance égale à 10 avec un exposant.

Par exemple, pour écrire le rayon de la Terre sous une forme standard, utilisez la notation suivante :

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

et la masse de la Terre, par exemple, s'écrit comme suit :

propriétés de degré

Pour la commodité de résoudre des exemples avec des degrés, il est nécessaire de connaître leurs principales propriétés :

1. Si vous devez multiplier deux degrés qui ont la même base, dans ce cas, la base doit rester inchangée et les indicateurs ajoutés.

une n * une m = une n+m

Par exemple:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. S'il est nécessaire de diviser deux degrés qui ont la même base, dans ce cas, la base doit rester inchangée et les indicateurs soustraits. Veuillez noter que pour les opérations avec des puissances à exposant naturel, l'exposant du dividende doit être supérieur à l'exposant du diviseur. Sinon, le quotient de cette action sera un nombre avec un exposant négatif.

un n / un m = un n-m

Par exemple,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. S'il faut élever une puissance à une autre, la base du résultat reste le même nombre, et les exposants sont multipliés.

(une n) m = une n*m

Par exemple,

4. S'il est nécessaire d'élever le produit à une certaine puissance nombres arbitraires, alors nous pouvons utiliser une certaine loi de distribution, dans laquelle nous obtenons le produit de différentes bases au même degré.

(une * b) m = une m * b m

Par exemple,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Une propriété similaire peut être utilisée pour diviser des puissances, en d'autres termes, pour élever un double ordinaire à une puissance.

(un / b) m = un m / b m

6. Tout nombre élevé à un exposant égal à un est égal au nombre d'origine.

un 1 = un

Par exemple,

7. Lorsque vous élevez un nombre à une puissance avec un exposant de zéro, le résultat de ce calcul sera toujours un.

et 0 = 1

Par exemple,

Premier niveau

Degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où en avez-vous besoin ? Pourquoi avez-vous besoin de passer du temps à les étudier?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances dans Vie courante lire cet article.

Et, bien sûr, connaître les diplômes vous rapprochera d'un succès passer l'OGE ou l'examen d'État unifié et d'entrer dans l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si au lieu de formules vous voyez du charabia, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est la même opération mathématique comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain d'une manière très exemples simples. Faire attention. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Chacun a deux bouteilles de cola. Combien de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Multiplication maintenant.

Le même exemple avec cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d'abord certains modèles, puis trouvent un moyen de les «compter» plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes avait le même nombre de bouteilles de cola et ont proposé une technique appelée multiplication. D'accord, il est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreur, il vous suffit de vous rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus fort et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et une autre, plus jolie :

Et quoi d'autre trucs délicats mathématiciens paresseux sont venus avec les factures? Correctement - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez élever ce nombre à la cinquième puissance. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la cinquième puissance est. Et ils résolvent ces problèmes dans leur esprit - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Pour ce faire, il vous suffit rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi le second degré s'appelle-t-il carré nombres, et le troisième cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question. Maintenant, vous aurez à la fois des carrés et des cubes.

Exemple concret #1

Commençons par un carré ou la seconde puissance d'un nombre.

Imaginez une piscine carrée mesurant mètres par mètres. La piscine est dans votre jardin. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... une piscine sans fond ! Il est nécessaire de couvrir le fond de la piscine avec des carreaux. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de déterminer cela, vous devez connaître la superficie du fond de la piscine.

Vous pouvez simplement compter en poussant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vos carreaux sont mètre par mètre, il vous faudra des pièces. C'est facile... Mais où as-tu vu un tel carreau ? Le carreau sera plutôt cm par cm et puis vous serez tourmenté par « compter avec le doigt ». Ensuite, il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine, on posera des tuiles (morceaux) et de l'autre, aussi, des tuiles. En multipliant par, vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué qu'on a multiplié le même nombre par lui-même pour déterminer l'aire du fond de la piscine ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque le même nombre est multiplié, nous pouvons utiliser la technique d'exponentiation. (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs dans les calculs . Pour l'examen, c'est très important).
Ainsi, trente au deuxième degré sera (). Ou vous pouvez dire que trente carrés le seront. En d'autres termes, la seconde puissance d'un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c'est TOUJOURS la seconde puissance d'un certain nombre. Un carré est une image de la puissance seconde d'un nombre.

Exemple concret #2

Voici une tâche pour vous, comptez le nombre de cases sur l'échiquier en utilisant la case du nombre ... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour compter leur nombre, vous devez multiplier huit par huit, ou ... si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez carré huit. Obtenez des cellules. () Alors?

Exemple concret #3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. Le même bassin. Mais maintenant, vous devez savoir combien d'eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Les volumes et les liquides, soit dit en passant, sont mesurés en mètres cubes. De manière inattendue, n'est-ce pas ?) Dessinez une piscine : un fond d'un mètre de taille et d'un mètre de profondeur et essayez de calculer combien de cubes mètre par mètre au total entreront dans votre piscine.

Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre… vingt-deux, vingt-trois… Combien cela a-t-il coûté ? Vous ne vous êtes pas perdu ? C'est difficile de compter avec le doigt ? Pour que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, vous devez multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus facile, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens sont paresseux et rusés s'ils rendent cela trop facile. Tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Et qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez utiliser le diplôme. Ainsi, ce que vous comptiez autrefois avec un doigt, ils le font en une seule action : trois dans un cube est égal. Il s'écrit comme ceci :

Reste seulement mémoriser le tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous ne soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des fainéants et des gens rusés pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques exemples supplémentaires tirés de la vie.

Exemple concret #4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, vous gagnez un autre million pour chaque million. Autrement dit, chacun de vos millions au début de chaque année double. Combien d'argent aurez-vous dans les années ? Si vous êtes maintenant assis et que vous «comptez avec votre doigt», alors vous êtes une personne très travailleuse et .. stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Alors, la première année - deux fois deux... la deuxième année - ce qui s'est passé, par deux de plus, la troisième année... Arrêtez ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même une fois. Donc, deux à la puissance cinq, c'est un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui calcule le plus vite obtienne ces millions... Est-ce que ça vaut la peine de rappeler les degrés des nombres, qu'en pensez-vous ?

Exemple concret #5

Vous avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez deux de plus pour chaque million. C'est super non ? Chaque million est triplé. Combien d'argent aurez-vous dans un an ? Comptons. La première année - multipliez par, puis le résultat par un autre ... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris: trois se multiplient par eux-mêmes. Donc la quatrième puissance est un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre est ou.

Vous savez maintenant qu'en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons de plus près ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts ... pour ne pas se confondre

Alors, d'abord, définissons les concepts. Qu'est-ce que tu penses, quel est l'exposant? C'est très simple - c'est le nombre qui est "en haut" de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple est le nombre qui est en bas, à la base.

Voici une photo pour que vous soyez sûr.

Eh bien et dans vue générale pour généraliser et mieux retenir... Un degré avec une base "" et un exposant "" se lit comme "au degré" et s'écrit comme suit :

Puissance d'un nombre avec un exposant naturel

Vous l'avez probablement déjà deviné : car l'exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont ceux qui sont utilisés pour compter lors de la liste des éléments : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des éléments, nous ne disons pas : "moins cinq", "moins six", "moins sept". Nous ne disons pas non plus "un tiers" ou "zéro virgule cinq dixièmes". Ce ne sont pas des nombres naturels. Que pensez-vous que ces chiffres sont?

Des nombres comme "moins cinq", "moins six", "moins sept" font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et un nombre. Zéro est facile à comprendre - c'est quand il n'y a rien. Et que signifient les nombres négatifs ("moins") ? Mais ils ont été inventés avant tout pour désigner des dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont des nombres rationnels. D'après vous, comment sont-ils arrivés ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'ils n'avaient pas assez de nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, l'aire, etc. Et ils sont venus avec nombres rationnels… Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref sans fin décimal. Par exemple, si vous divisez la circonférence d'un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Sommaire:

Définissons le concept de degré, dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

1. Tout nombre à la première puissance est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même :
3. Mettre un nombre au cube, c'est le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle, c'est multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés du diplôme

D'où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons ce qui est et ?

Par définition:

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C'est très simple : nous avons ajouté des facteurs aux facteurs, et le résultat est des facteurs.

Mais par définition, c'est le degré d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , qui devait être prouvé.

Exemple: Simplifiez l'expression.

La solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

La solution: Il est important de noter que dans notre règle nécessairementça doit être la même raison !
Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais restons un facteur distinct :

uniquement pour les produits de puissances !

Vous ne devez en aucun cas écrire cela.

2. c'est-à-dire -ième puissance d'un nombre

Comme pour la propriété précédente, passons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ème puissance du nombre :

En fait, cela peut s'appeler "mettre entre parenthèses l'indicateur". Mais vous ne pouvez jamais faire ceci au total :

Rappelons les formules de la multiplication abrégée : combien de fois a-t-on voulu écrire ?

Mais ce n'est pas vrai, vraiment.

Diplôme à base négative

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce que devrait être l'exposant.

Mais quelle devrait être la base?

En degrés de indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre. En effet, on peut multiplier n'importe quel nombre entre eux, qu'il soit positif, négatif ou pair.

Réfléchissons à quels signes ("" ou "") auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? MAIS? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que nous multiplions entre eux, le résultat sera positif.

Mais les négatifs sont un peu plus intéressants. Après tout, on se souvient d'une règle simple de la 6e année : « un moins fois un moins donne un plus ». C'est-à-dire ou. Mais si nous multiplions par, il s'avère.

Déterminez par vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

Avez-vous réussi?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant, et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît: peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Eh bien, sauf quand la base est zéro. La base n'est pas la même, n'est-ce pas ? Évidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples de pratique

Analyse de la solution 6 exemples

Si nous ne prêtons pas attention au huitième degré, que voyons-nous ici ? Jetons un coup d'œil au programme de la 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés ! On a:

Nous regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. S'ils étaient échangés, la règle pourrait s'appliquer.

Mais comment faire ça ? Il s'avère que c'est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Les termes ont magiquement changé de place. Ce "phénomène" s'applique à toute expression à un degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se souvenir : tous les signes changent en même temps!

Reprenons l'exemple :

Et encore la formule :

ensemble nous nommons les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe "") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent de naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Passons maintenant aux nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, nous nous demandons : pourquoi en est-il ainsi ?

Envisagez une certaine puissance avec une base. Prenons, par exemple, et multiplions par :

Donc, nous avons multiplié le nombre par, et nous avons obtenu le même qu'il était -. Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, sur. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtenez toujours zéro, c'est clair. Mais d'autre part, comme tout nombre au degré zéro, il doit être égal. Quelle est donc la vérité là-dedans ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s'impliquer et ont refusé d'élever zéro à la puissance zéro. C'est-à-dire que maintenant nous pouvons non seulement diviser par zéro, mais aussi l'élever à la puissance zéro.

Allons plus loin. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent des nombres négatifs. Pour comprendre ce qu'est un degré négatif, faisons la même chose que la dernière fois : nous multiplions un nombre normal par le même dans un degré négatif :

A partir de là, il est déjà facile d'exprimer le souhait:

Maintenant, nous étendons la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons la règle :

Un nombre à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive. Mais en même temps la base ne peut pas être nulle :(parce qu'il est impossible de diviser).

Résumons :

I. L'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

II. Tout nombre à la puissance zéro est égal à un : .

III. Un nombre qui n'est pas égal à zéro à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive : .

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solution indépendante :

Analyse des tâches pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen il faut être prêt à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leur solution si vous ne pouviez pas le résoudre et vous apprendrez à les traiter facilement lors de l'examen !

Continuons à élargir la gamme de nombres "appropriés" en tant qu'exposant.

Considérez maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout cela peut être représenté sous forme de fraction, où et sont d'ailleurs des entiers.

Pour comprendre ce qui est "degré fractionnaire" Considérons une fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Maintenant rappelez-vous la règle "degré en degré":

Quel nombre doit être élevé à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ème degré.

Je vous rappelle : la racine de la ème puissance d'un nombre () est un nombre qui, élevé à une puissance, est égal.

C'est-à-dire que la racine du ème degré est l'opération inverse de l'exponentiation : .

Il se trouve que. Évidemment cela cas particulier peut être prolongé : .

Ajoutez maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir avec la règle power-to-power :

Mais la base peut-elle être n'importe quel nombre ? Après tout, la racine ne peut pas être extraite de tous les nombres.

Aucun!

Rappelez-vous la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. C'est-à-dire qu'il est impossible d'extraire des racines de degré pair à partir de nombres négatifs !

Et cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.

Qu'en est-il de l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté par d'autres fractions réduites, par exemple, ou.

Et il s'avère qu'il existe, mais n'existe pas, et ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, puis vous pouvez l'écrire. Mais dès que nous écrivons l'indicateur d'une manière différente, nous avons à nouveau des problèmes : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, considérons seul exposant de base positif avec exposant fractionnaire.

Donc si:

• - entier naturel;
• est un entier ;

Exemples:

Les puissances avec un exposant rationnel sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples pratiques

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, maintenant - le plus difficile. Nous allons maintenant analyser degré avec un exposant irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour les degrés avec un exposant rationnel, à l'exception de

En effet, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, entier et rationnel, nous avons chaque fois inventé une certaine «image», «analogie» ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...puissance nulle- c'est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - donc le résultat n'est qu'un certain "nombre vide" , à savoir le nombre ;

...exposant entier négatif- c'est comme si une sorte de " processus inverse”, c'est-à-dire que le nombre n'a pas été multiplié par lui-même, mais divisé.

Soit dit en passant, la science utilise souvent un degré avec un exposant complexe, c'est-à-dire qu'un exposant n'est même pas un nombre réel.

Mais à l'école, on ne pense pas à ces difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle déjà habituelle pour élever un degré à un degré :

Regardez maintenant le score. Vous rappelle-t-il quelque chose ? On rappelle la formule de multiplication abrégée de la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Réponse: .

2. Nous apportons les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :

NIVEAU AVANCÉ

Définition du diplôme

Le degré est une expression de la forme : , où :

• — base de diplôme;
• - exposant.

Degré avec exposant naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n revient à multiplier le nombre par lui-même par :

Puissance avec exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif Numéro:

érection à puissance nulle:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, tout nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif Numéro:

(parce qu'il est impossible de diviser).

Encore une fois à propos des valeurs nulles : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

Exemples:

Degré avec exposant rationnel

• - entier naturel;
• est un entier ;

Exemples:

Propriétés du diplôme

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d'où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons: qu'est-ce que et?

Par définition:

Ainsi, à droite de cette expression, on obtient le produit suivant :

Mais par définition, c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

La solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

La solution : Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doivent avoir la même base. Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais restons un facteur distinct :

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour les produits de puissances!

Je ne dois en aucun cas écrire cela.

Comme pour la propriété précédente, passons à la définition du degré :

Réorganisons-le comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la puissance -ième du nombre:

En fait, cela peut s'appeler "mettre entre parenthèses l'indicateur". Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de la multiplication abrégée : combien de fois a-t-on voulu écrire ? Mais ce n'est pas vrai, vraiment.

Puissance à base négative.

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce qui devrait être indice diplôme. Mais quelle devrait être la base? En degrés de Naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, on peut multiplier n'importe quel nombre entre eux, qu'il soit positif, négatif ou pair. Réfléchissons à quels signes ("" ou "") auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? MAIS? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que nous multiplions entre eux, le résultat sera positif.

Mais les négatifs sont un peu plus intéressants. Après tout, on se souvient d'une règle simple de la 6e année : « un moins fois un moins donne un plus ». C'est-à-dire ou. Mais si nous multiplions par (), nous obtenons -.

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication suivante, le signe changera. Il est possible de formuler une telle règles simples:

1. même degré, - nombre positif.
2. Nombre négatif élevé à étrange degré, - nombre négatif.
3. Un nombre positif à n'importe quelle puissance est un nombre positif.
4. Zéro à toute puissance est égal à zéro.

Déterminez par vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

Avez-vous réussi? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair? Nous regardons simplement la base et l'exposant, et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît: peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Eh bien, sauf quand la base est zéro. La base n'est pas la même, n'est-ce pas ? Évidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir lequel est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, il devient clair que, ce qui signifie que la base moins que zéro. Autrement dit, nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des degrés et les divisons les uns dans les autres, les divisons par paires et obtenons:

Avant d'analyser la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les valeurs des expressions :

Solutions :

Si nous ne prêtons pas attention au huitième degré, que voyons-nous ici ? Jetons un coup d'œil au programme de la 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés !

On a:

Nous regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. S'ils étaient inversés, la règle 3 pourrait s'appliquer, mais comment faire ? Il s'avère que c'est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant ça ressemble à ça :

Les termes ont magiquement changé de place. Ce "phénomène" s'applique à toute expression à un degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se souvenir : tous les signes changent en même temps ! Il ne peut pas être remplacé en changeant un seul moins répréhensible pour nous !

Reprenons l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d'habitude : élargissons le concept de diplôme et simplifions :

Eh bien, maintenant ouvrons les parenthèses. Combien y aura-t-il de lettres ? fois par des multiplicateurs - à quoi cela ressemble-t-il ? Ce n'est rien d'autre que la définition d'une opération multiplication: total il s'est avéré être des multiplicateurs. Autrement dit, c'est, par définition, une puissance d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Degré avec exposant irrationnel

En plus des informations sur les degrés pour le niveau moyen, nous analyserons le degré avec un indicateur irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, entier et rationnel, nous avons chaque fois inventé une certaine «image», «analogie» ou description en termes plus familiers. Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre au degré zéro est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - par conséquent, le résultat n'est qu'un certaine « préparation d'un numéro », à savoir un numéro ; un degré avec un indicateur négatif entier - c'est comme si un certain «processus inverse» s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d'imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d'imaginer un espace à 4 dimensions). C'est plutôt un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre le concept de degré à tout l'espace des nombres.

Soit dit en passant, la science utilise souvent un degré avec un exposant complexe, c'est-à-dire qu'un exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l'école, on ne pense pas à ces difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

Alors qu'est-ce qu'on fait si on voit indicateur irrationnel degrés? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

Réponses:

1. Rappelez-vous la formule de la différence des carrés. Réponse: .
2. On ramène les fractions à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple : .
3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULE DE BASE

Diplôme est appelée une expression de la forme : , où :

Degré avec exposant entier

degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Degré avec exposant rationnel

degré, dont l'indicateur est les nombres négatifs et fractionnaires.

Degré avec exposant irrationnel

exposant dont l'exposant est une fraction ou une racine décimale infinie.

Propriétés du diplôme

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif élevé à même degré, - nombre positif.
• Nombre négatif élevé à étrange degré, - nombre négatif.
• Un nombre positif à n'importe quelle puissance est un nombre positif.
• Zéro est égal à n'importe quelle puissance.
• Tout nombre à la puissance zéro est égal.

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