Dans l'article, nous allons montrer comment résoudre des fractions sur des exemples simples et compréhensibles. Déterminons ce qu'est une fraction et considérons solution de fractions!

Concept fractions est introduit dans le cours de mathématiques dès la 6e année du secondaire.

Les fractions sont de la forme : ± X / Y, où Y est le dénominateur, il indique en combien de parties le tout a été divisé, et X est le numérateur, il indique combien de ces parties ont été prises. Pour plus de clarté, prenons un exemple avec un gâteau :

Dans le premier cas, le gâteau a été coupé de manière égale et une moitié a été prise, c'est-à-dire 1/2. Dans le second cas, le gâteau a été coupé en 7 morceaux, dont 4 morceaux ont été prélevés, c'est-à-dire 4/7.

Si la partie de la division d'un nombre par un autre n'est pas un nombre entier, elle s'écrit sous la forme d'une fraction.

Par exemple, l'expression 4: 2 = 2 donne un entier, mais 4: 7 n'est pas complètement divisible, donc cette expression s'écrit sous la forme d'une fraction 4/7.

En d'autres termes fraction est une expression qui désigne la division de deux nombres ou expressions, et qui s'écrit à l'aide d'une barre fractionnaire.

Si le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est correcte, si au contraire elle est incorrecte. La fraction peut comprendre un nombre entier.

Par exemple, 5 est 3/4.

Cette entrée signifie que pour obtenir un 6 entier, il manque une partie de quatre.

Si tu veux te souvenir comment résoudre des fractions pour la 6e année, vous devez comprendre que solution de fractions se résume essentiellement à comprendre quelques choses simples.

• Une fraction est essentiellement une expression d'une fraction. C'est-à-dire expression numérique combien d'une valeur donnée provient d'un tout. Par exemple, la fraction 3/5 exprime que si nous divisons un tout en 5 parties et que le nombre de parties ou de parties de ce tout est de trois.
• La fraction peut être inférieure à 1, par exemple 1/2 (ou en fait la moitié), alors elle est correcte. Si la fraction est supérieure à 1, par exemple 3/2 (trois moitiés ou un et demi), alors c'est incorrect et pour simplifier la solution, on ferait mieux de sélectionner la partie entière 3/2 = 1 entier 1/2 .
• Les fractions sont les mêmes nombres que 1, 3, 10 et même 100, seuls les nombres ne sont pas des nombres entiers mais des fractions. Vous pouvez effectuer toutes les mêmes opérations avec eux qu'avec les nombres. Il n'est pas plus difficile de compter des fractions, et puis par exemples précis nous allons le montrer.

Comment résoudre des fractions. Exemples.

Une variété d'opérations arithmétiques sont applicables aux fractions.

Apporter une fraction à un dénominateur commun

Par exemple, vous voulez comparer les fractions 3/4 et 4/5.

Pour résoudre le problème, nous trouvons d'abord le plus petit dénominateur commun, c'est-à-dire plus petit nombre, qui est divisible sans reste par chacun des dénominateurs des fractions

Plus petit dénominateur commun (4,5) = 20

Ensuite, le dénominateur des deux fractions est réduit au plus petit dénominateur commun

Réponse : 15/20

Addition et soustraction de fractions

S'il est nécessaire de calculer la somme de deux fractions, elles sont d'abord ramenées à un dénominateur commun, puis les numérateurs sont additionnés, tandis que le dénominateur reste inchangé. La différence entre les fractions est calculée de la même manière, la seule différence est que les numérateurs sont soustraits.

Par exemple, vous devez trouver la somme des fractions 1/2 et 1/3

Trouvez maintenant la différence entre les fractions 1/2 et 1/4

Multiplication et division de fractions

Ici la solution des fractions est simple, tout est assez simple ici :

• Multiplication - les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont multipliés entre eux;
• Division - nous obtenons d'abord l'inverse de la deuxième fraction, c'est-à-dire nous échangeons son numérateur et son dénominateur, après quoi nous multiplions les fractions résultantes.

Par exemple:

À ce sujet comment résoudre des fractions, tous. Si vous avez encore des questions sur résolution de fractions, si quelque chose n'est pas clair, écrivez dans les commentaires et nous vous répondrons certainement.

Si vous êtes enseignant, il est possible de télécharger une présentation pour école primaire(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) vous sera utile.

Fraction- la forme de représentation des nombres en mathématiques. Une barre fractionnaire indique une opération de division. Le numérateur fraction est appelée le dividende, et dénominateur- diviseur. Par exemple, dans une fraction, le numérateur est 5 et le dénominateur est 7.

Correct une fraction dont le module du numérateur est supérieur au module du dénominateur est appelée. Si la fraction est correcte, alors le module de sa valeur est toujours inférieur à 1. Toutes les autres fractions sont tort.

La fraction s'appelle mixte s'il est écrit sous forme d'entier et de fraction. C'est la même chose que la somme de ce nombre et de la fraction :

Propriété de base d'une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre, la valeur de la fraction ne changera pas, c'est-à-dire, par exemple,

Dénominateur commun des fractions

Pour amener deux fractions à un dénominateur commun, il vous faut :

1. Multiplier le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde
2. Le numérateur de la deuxième fraction est multiplié par le dénominateur de la première
3. Remplacer les dénominateurs des deux fractions par leur produit

Actions avec fractions

Une addition. Pour additionner deux fractions, il vous faut

1. Ajoutez les nouveaux numérateurs des deux fractions et laissez le dénominateur inchangé

Exemple:

Soustraction. Pour soustraire une fraction d'une autre, vous avez besoin

1. Amener les fractions à un dénominateur commun
2. Soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé

Exemple:

Multiplication. Pour multiplier une fraction par une autre, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs :

Division. Pour diviser une fraction par une autre, le numérateur de la première fraction doit être multiplié par le dénominateur de la seconde, et le dénominateur de la première fraction doit être multiplié par le numérateur de la seconde :

Les fractions peuvent être ordinaires et décimales. Lorsqu'un élève apprend l'existence de ce dernier, il commence, à chaque occasion, à traduire tout ce qui est possible sous forme décimale, même si cela n'est pas obligatoire.

Curieusement, les préférences des lycéens et des étudiants changent, car il est plus facile d'effectuer de nombreuses opérations arithmétiques avec des fractions ordinaires. Et les valeurs avec lesquelles les diplômés traitent peuvent parfois être tout simplement impossibles à convertir en forme décimale sans perte. En conséquence, les deux types de fractions sont, d'une manière ou d'une autre, adaptés au cas et ont leurs propres avantages et inconvénients. Voyons comment travailler avec eux.

Définition

Les fractions sont les mêmes fractions. S'il y a dix tranches dans une orange et qu'on vous en a donné une, alors vous avez 1/10 du fruit dans votre main. Avec un tel enregistrement, comme dans la phrase précédente, la fraction sera dite ordinaire. Si vous écrivez la même chose que 0,1 - décimal. Les deux options sont égales, mais elles ont leurs propres avantages. La première option est plus pratique pour la multiplication et la division, la seconde pour l'addition, la soustraction et dans un certain nombre d'autres cas.

Comment convertir une fraction en une autre forme

Supposons que vous ayez une fraction et que vous vouliez en faire une décimale. Qu'est-ce que je dois faire?

À propos, vous devez décider à l'avance que tous les nombres ne peuvent pas être écrits sous forme décimale sans problème. Il faut parfois arrondir le résultat, en perdant un certain nombre de décimales, et dans de nombreux domaines - par exemple en sciences exactes - c'est un luxe totalement inadmissible. Dans le même temps, les actions avec fractions décimales et ordinaires en 5e année permettent un tel transfert d'un type à un autre sans interférence, au moins à titre d'entraînement.

Si un multiple de 10 peut être obtenu à partir du dénominateur en multipliant ou en divisant par un nombre entier, la traduction se fera sans aucune difficulté : se transforme en 0,75, 13/20 - en 0,65.

La procédure inverse est encore plus simple, car vous pouvez toujours en obtenir une ordinaire à partir d'une fraction décimale sans perte de précision. Par exemple, 0,2 devient 1/5 et 0,08 devient 4/25.

Conversions internes

Avant d'effectuer des actions conjointes avec des fractions ordinaires, vous devez préparer les nombres pour d'éventuelles opérations mathématiques.

Tout d'abord, vous devez rassembler toutes les fractions de l'exemple en une seule vue générale... Ils doivent être ordinaires ou décimaux. Faisons tout de suite une réserve qu'il est plus pratique d'effectuer la multiplication et la division avec le premier.

Lors de la préparation des chiffres pour les actions futures, vous serez aidé par la règle, bien connue et utilisée à la fois dans les premières années d'étude du sujet et dans les mathématiques supérieures, qui sont étudiées dans les universités.

Propriétés des fractions

Disons que vous avez un sens. Disons 2/3. Qu'est-ce qui change si vous multipliez le numérateur et le dénominateur par 3 ? Il s'avère que 6/9. Et si un million ? 2 000 000 / 3 000 000. Mais attendez, le nombre ne change pas du tout qualitativement - 2/3 restent égaux à 2 000 000/3 000 000. C'est seulement la forme qui change, pas le contenu. La même chose se produira en divisant les deux parties par la même valeur. C'est la propriété principale de la fraction, qui vous aidera à plusieurs reprises à effectuer des actions avec des fractions décimales et ordinaires sur les tests et les examens.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre est appelé expansion de fraction, et la division est appelée contraction. Je dois dire que rayer les mêmes nombres en haut et en bas lors de la multiplication et de la division de fractions est une procédure étonnamment agréable (dans le cadre d'un cours de mathématiques, bien sûr). On a l'impression que la réponse est déjà proche et l'exemple est pratiquement résolu.

Fractions incorrectes

Une fraction irrégulière est une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. Autrement dit, s'il est possible d'en sélectionner une partie entière, elle relève de cette définition.

Si un tel nombre (supérieur ou égal à un) est présenté comme une fraction ordinaire, il sera qualifié d'incorrect. Et si le numérateur est inférieur au dénominateur, c'est correct. Les deux types sont également pratiques lors de l'exécution d'actions possibles avec des fractions ordinaires. Ils peuvent être librement multipliés et divisés, ajoutés et soustraits.

Si en même temps est sélectionné partie entière et il y a un reste sous forme de fraction, le nombre résultant sera appelé mixte. À l'avenir, vous ferez face différentes façons combinaisons de telles structures avec des variables, ainsi que la résolution d'équations où cette connaissance est requise.

Opérations arithmétiques

Si tout est clair avec la propriété de base d'une fraction, alors comment se comporter lors de la multiplication de fractions ? Les actions avec des fractions ordinaires en 5e année impliquent tous les types d'opérations arithmétiques qui sont effectuées de deux manières différentes.

La multiplication et la division sont très simples. Dans le premier cas, les numérateurs et dénominateurs de deux fractions sont simplement multipliés. Dans le second - la même chose, seulement entrecroisé. Ainsi, le numérateur de la première fraction est multiplié par le dénominateur de la seconde, et vice versa.

Pour effectuer une addition et une soustraction, vous devez effectuer une action supplémentaire - ramener tous les composants de l'expression à un dénominateur commun. Cela signifie que les parties inférieures des fractions doivent être remplacées par la même valeur - un multiple des deux dénominateurs existants. Par exemple, pour 2 et 5 ce sera 10. Pour 3 et 6 - 6. Mais alors que faire avec Haut? Nous ne pouvons pas le laisser tel quel si nous avons changé celui du bas. Selon la propriété de base de la fraction, nous multiplierons le numérateur par le même nombre que le dénominateur. Cette opération doit être effectuée avec chacun des nombres que nous allons ajouter ou soustraire. Cependant, de telles actions avec des fractions ordinaires en 6e année sont déjà effectuées "automatiquement", et des difficultés ne surviennent que sur stade initialétudier le sujet.

Comparaison

Si deux fractions le même dénominateur, alors le plus grand sera celui avec le plus grand numérateur. Si les parties supérieures sont les mêmes, alors la plus grande sera celle avec moins dénominateur... Il ne faut pas oublier que de telles situations de comparaison réussies sont rares. Très probablement, les parties supérieure et inférieure des expressions ne correspondront pas. Ensuite, vous devez vous souvenir des actions possibles avec des fractions ordinaires et utiliser la technique utilisée pour les additions et les soustractions. N'oubliez pas non plus que si nous parlons de nombres négatifs, alors la grande fraction sera plus petite.

Avantages des fractions communes

Il arrive que les enseignants disent aux enfants une phrase dont le contenu peut être exprimé comme suit : plus on donne d'informations lors de la formulation d'un devoir, plus la solution sera facile. Cela semble étrange ? Mais vraiment : avec un grand nombre de quantités connues, vous pouvez utiliser presque toutes les formules, mais si seulement quelques nombres sont fournis, des réflexions supplémentaires peuvent être nécessaires, vous devrez vous rappeler et prouver des théorèmes, donner des arguments en faveur de votre innocence ...

Pourquoi fait-on ça? Et en plus, les fractions ordinaires, malgré toute leur lourdeur, peuvent grandement simplifier la vie de l'étudiant, permettant à la multiplication et à la division de réduire des chaînes entières de valeurs, et lors du calcul de la somme et de la différence, retirez les arguments communs et, encore une fois, réduisez-les.

Lorsqu'il est nécessaire de mener des actions conjointes avec les fractions décimales, des transformations sont effectuées en faveur des premiers : comment convertir 3/17 en décimal ? Seulement avec la perte d'informations, pas autrement. Mais 0,1 peut être représenté par 1/10, puis - par 17/170. Et puis les deux nombres résultants peuvent être additionnés ou soustraits : 30/170 + 17/170 = 47/170.

Pourquoi les fractions décimales sont utiles

S'il est plus pratique d'effectuer des actions avec des fractions ordinaires, alors tout écrire avec leur aide est extrêmement gênant, les décimales ont ici un avantage significatif. Comparez : 1748/10000 et 0,1748. C'est la même valeur représentée dans deux différentes options... Bien sûr, la deuxième façon est plus simple !

De plus, les fractions décimales sont plus faciles à représenter, car toutes les données ont une base commune qui ne diffère que par des ordres de grandeur. Par exemple, nous avons facilement connaissance d'une remise de 30 % et l'estimons même importante. Comprenez-vous immédiatement ce qui est plus - 30% ou 137/379 ? Ainsi, les fractions décimales fournissent un calcul standardisé.

Au lycée, les élèves décident équations du second degré... Effectuer des actions avec des fractions ordinaires ici est déjà extrêmement problématique, car la formule de calcul des valeurs d'une variable contient Racine carrée du montant. En présence d'une fraction qui ne peut être réduite à une décimale, la solution devient si compliquée qu'il devient presque impossible de calculer la réponse exacte sans calculatrice.

Ainsi, chaque façon de représenter les fractions a ses avantages dans son contexte respectif.

Formulaires d'enregistrement

Il y a deux manières d'écrire des actions avec des fractions ordinaires : à travers une ligne horizontale, en deux "niveaux", et à travers une barre oblique (aka "barre oblique") - dans une ligne. Lorsqu'un étudiant écrit dans un cahier, la première option est généralement plus pratique et donc plus courante. La répartition d'un certain nombre de nombres dans les cellules contribue au développement de l'attention lors du calcul et de la réalisation des transformations. Lors de l'écriture dans une chaîne, vous pouvez par inadvertance confondre l'ordre des actions, perdre des données, c'est-à-dire faire une erreur.

Assez souvent de nos jours, il est nécessaire d'imprimer des nombres sur un ordinateur. Vous pouvez séparer les fractions avec la barre horizontale traditionnelle à l'aide d'une fonctionnalité de Microsoft Word 2010 et versions ultérieures. Le fait est que dans ces versions du logiciel, il existe une option appelée "formule". Il affiche un champ transformable rectangulaire, dans lequel vous pouvez combiner n'importe quel symbole mathématique, former des fractions à deux et quatre étages. Au dénominateur et au numérateur, vous pouvez utiliser des parenthèses, des signes d'opération. En conséquence, vous pourrez écrire toutes les actions conjointes avec des fractions ordinaires et décimales sous la forme traditionnelle, c'est-à-dire la manière dont on leur apprend à le faire à l'école.

Si vous utilisez l'éditeur de texte standard du Bloc-notes, toutes les expressions fractionnaires devront être écrites avec une barre oblique. Malheureusement, il n'y a pas d'autre moyen ici.

Conclusion

Nous avons donc examiné toutes les actions de base avec des fractions ordinaires, dont il s'avère qu'il n'y en a pas tellement.

Si au début, il peut sembler qu'il s'agit d'une section difficile des mathématiques, alors ce n'est qu'une impression temporaire - rappelez-vous, une fois que vous avez pensé de cette façon à la table de multiplication, et même plus tôt - à propos de l'écriture ordinaire et du comptage de un à dix.

Il est important de comprendre que les fractions sont utilisées dans Vie courante partout. Vous vous occuperez de l'argent et des calculs d'ingénierie, informatique et l'alphabétisation musicale, et partout - partout ! - nombres fractionnaires figurera. Par conséquent, ne soyez pas paresseux et étudiez ce sujet à fond - d'autant plus qu'il n'est pas si difficile.