Ramener à un dénominateur commun. Réduction des fractions au plus petit dénominateur commun, règle, exemples, solutions

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Dénominateur commun

Définition 1

Tout multiple commun positif de tous les dénominateurs d'un ensemble de fractions est appelé dénominateur commun.

En d'autres termes, le dénominateur commun des fractions ordinaires données est tout entier naturel, qui peut être divisé par tous les dénominateurs des fractions données.

La définition implique un nombre infini de dénominateurs communs d'un ensemble donné de fractions.

Exemple 3

Trouvez les dénominateurs communs des fractions $\frac(3)(7)$ et $\frac(2)(13)$.

Décision.

Ces fractions ont des dénominateurs égaux à 7$ et 13$ respectivement. Les multiples communs positifs de 2$ et 5$ sont 91$, 182, 273, 364$, et ainsi de suite.

N'importe lequel de ces nombres peut être utilisé comme dénominateur commun de $\frac(3)(7)$ et $\frac(2)(13)$.

Exemple 4

Déterminez si les fractions $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ et $\frac(11)(9)$ peuvent être réduites à un dénominateur commun $252$.

Décision.

Pour déterminer comment réduire une fraction à un dénominateur commun de 252$, il faut vérifier si le nombre 252$ est un multiple commun des dénominateurs 2$, 7$ et 9$. Pour ce faire, nous divisons le nombre $252$ par chacun des dénominateurs :

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

Le nombre $252$ est divisible par tous les dénominateurs, c'est-à-dire est un multiple commun de 2 $, 7 $ et 9 $. Ainsi, ces fractions $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ et $\frac(11)(9)$ peuvent être réduites à un dénominateur commun $252$.

Réponse : vous pouvez.

Plus petit dénominateur commun

Définition 2

Parmi tous les dénominateurs communs de fractions données, on peut distinguer le plus petit nombre naturel, qui s'appelle plus petit dénominateur commun.

Car LCM - le plus petit positif diviseur commun ensemble de nombres donné, alors le PPCM des dénominateurs des fractions données est le plus petit dénominateur commun de ces fractions.

Par conséquent, pour trouver le plus petit dénominateur commun des fractions, vous devez trouver le PPCM des dénominateurs de ces fractions.

Exemple 5

Les fractions $\frac(4)(15)$ et $\frac(37)(18)$ sont données. Trouvez leur plus petit dénominateur commun.

Décision.

Les dénominateurs de ces fractions sont 15$ et 18$. Trouvez le plus petit dénominateur commun comme le PPCM des nombres $15$ et $18$. Pour cela, on utilise le développement des nombres en facteurs premiers:

$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$

$LCC(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Réponse : 90 $.

La règle pour réduire les fractions au plus petit dénominateur commun

Le plus souvent, lors de la résolution de problèmes d'algèbre, de géométrie, de physique, etc. Il est d'usage de réduire les fractions ordinaires au plus petit dénominateur commun, et non à n'importe quel dénominateur commun.

Algorithme:

En utilisant le PPCM des dénominateurs des fractions données, trouvez le plus petit dénominateur commun.
2. Calculer un facteur supplémentaire pour des fractions données. Pour ce faire, le plus petit dénominateur commun trouvé doit être divisé par le dénominateur de chaque fraction. Le nombre résultant sera un facteur supplémentaire de cette fraction.
Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le facteur supplémentaire trouvé.

Exemple 6

Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions $\frac(4)(16)$ et $\frac(3)(22)$ et réduisez-y les deux fractions.

Décision.

Utilisons l'algorithme de réduction des fractions au plus petit dénominateur commun.

Calculez le plus petit commun multiple des nombres $16$ et $22$ :

Factorisons les dénominateurs en facteurs premiers : $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

$LCC(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

Calculons des multiplicateurs supplémentaires pour chaque fraction :

$176\div 16=11$ – pour la fraction $\frac(4)(16)$ ;

$176\div 22=8$ – pour la fraction $\frac(3)(22)$.

Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions $\frac(4)(16)$ et $\frac(3)(22)$ par des facteurs supplémentaires $11$ et $8$ respectivement. On a:

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

Les deux fractions sont réduites au plus petit dénominateur commun $176$.

Réponse : $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Parfois, afin de trouver le plus petit dénominateur commun, il est nécessaire d'effectuer une série de calculs laborieux, qui peuvent ne pas justifier l'objectif de résoudre le problème. Dans ce cas, vous pouvez utiliser le plus moyen facile- réduire les fractions à un dénominateur commun, qui est le produit des dénominateurs de ces fractions.

Pour amener des fractions au plus petit dénominateur commun, il faut : 1) trouver le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, ce sera le plus petit dénominateur commun. 2) trouver un facteur supplémentaire pour chacune des fractions, pour lequel on divise le nouveau dénominateur par le dénominateur de chaque fraction. 3) multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur additionnel.

Exemples. Réduisez les fractions suivantes au plus petit dénominateur commun.

On trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs : PPCM(5 ; 4) = 20, puisque 20 est le plus petit nombre divisible à la fois par 5 et par 4. On trouve pour la 1ère fraction un facteur supplémentaire 4 (20 : 5=4). Pour la 2ème fraction, le multiplicateur supplémentaire est de 5 (20 : 4=5). Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 4, et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 5. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 20 ).

Le plus petit dénominateur commun de ces fractions est 8, puisque 8 est divisible par 4 et lui-même. Il n'y aura pas de multiplicateur supplémentaire à la 1ère fraction (ou on peut dire qu'il est égal à un), à la 2ème fraction le multiplicateur supplémentaire est 2 (8 : 4=2). Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 2. Nous réduisons ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 8 ).

Ces fractions ne sont pas irréductibles.

Nous réduisons la 1ère fraction de 4, et nous réduisons la 2ème fraction de 2. ( voir des exemples sur la réduction des fractions ordinaires : Plan du site → 5.4.2. Exemples de réduction de fractions ordinaires). Trouver LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Le multiplicateur supplémentaire pour la 1ère fraction est 5 (80 : 16=5). Le multiplicateur supplémentaire pour la 2ème fraction est 4 (80 : 20=4). Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 5, et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 4. Nous avons réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 80 ).

Trouvez le plus petit dénominateur commun de la CNP(5 ; 6 et 15) = MCML(5 ; 6 et 15)=30. Le multiplicateur additionnel à la 1ère fraction est 6 (30 : 5=6), le multiplicateur additionnel à la 2ème fraction est 5 (30 : 6=5), le multiplicateur additionnel à la 3ème fraction est 2 (30 : 15=2). On multiplie le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction par 6, le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction par 5, le numérateur et le dénominateur de la 3ème fraction par 2. On réduit ces fractions au plus petit dénominateur commun ( 30 ).

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Dans cette leçon, nous verrons comment réduire des fractions à un dénominateur commun et résoudre des problèmes sur ce sujet. Définissons la notion de dénominateur commun et de facteur supplémentaire, rappelons la mutuelle nombres premiers. Définissons le concept du plus petit dénominateur commun (LCD) et résolvons un certain nombre de problèmes pour le trouver.

Sujet : Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs

Leçon : Réduire des fractions à un dénominateur commun

Répétition. Propriété fondamentale d'une fraction.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre naturel, une fraction égale à celle-ci sera obtenue.

Par exemple, le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par 2. Nous obtenons une fraction. Cette opération est appelée réduction de fraction. Vous pouvez également effectuer la transformation inverse en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2. Dans ce cas, nous disons que nous avons réduit la fraction à un nouveau dénominateur. Le nombre 2 est appelé un facteur supplémentaire.

Conclusion. Une fraction peut être réduite à n'importe quel dénominateur qui est un multiple du dénominateur de la fraction donnée. Afin d'amener une fraction à un nouveau dénominateur, son numérateur et son dénominateur sont multipliés par un facteur supplémentaire.

1. Amenez la fraction au dénominateur 35.

Le nombre 35 est un multiple de 7, c'est-à-dire que 35 est divisible par 7 sans reste. Cette transformation est donc possible. Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, nous divisons 35 par 7. Nous obtenons 5. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par 5.

2. Amenez la fraction au dénominateur 18.

Trouvons un facteur supplémentaire. Pour ce faire, nous divisons le nouveau dénominateur par celui d'origine. Nous obtenons 3. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 3.

3. Amenez la fraction au dénominateur 60.

En divisant 60 par 15, on obtient un multiplicateur supplémentaire. Il est égal à 4. Multiplions le numérateur et le dénominateur par 4.

4. Amener la fraction au dénominateur 24

Dans les cas simples, la réduction à un nouveau dénominateur est effectuée dans l'esprit. Il est d'usage de n'indiquer qu'un facteur supplémentaire derrière la parenthèse un peu à droite et au-dessus de la fraction d'origine.

Une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15 et une fraction peut être réduite à un dénominateur de 15. Les fractions ont un dénominateur commun de 15.

Le dénominateur commun des fractions peut être n'importe quel multiple commun de leurs dénominateurs. Pour plus de simplicité, les fractions sont réduites au plus petit dénominateur commun. Il est égal au plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données.

Exemple. Réduire au plus petit dénominateur commun de la fraction et .

Premièrement, trouvez le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions. Ce nombre est 12. Trouvons un facteur supplémentaire pour les première et deuxième fractions. Pour ce faire, on divise 12 par 4 et par 6. Trois est un facteur supplémentaire pour la première fraction, et deux pour la seconde. On ramène les fractions au dénominateur 12.

Nous avons réduit les fractions à un dénominateur commun, c'est-à-dire que nous avons trouvé des fractions qui leur sont égales et qui ont le même dénominateur.

Règle. Pour ramener les fractions au plus petit dénominateur commun,

Premièrement, trouvez le plus petit commun multiple des dénominateurs de ces fractions, qui sera leur plus petit dénominateur commun ;

Deuxièmement, divisez le plus petit dénominateur commun par les dénominateurs de ces fractions, c'est-à-dire trouvez un facteur supplémentaire pour chaque fraction.

Troisièmement, multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par son facteur supplémentaire.

a) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 12. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 4, pour la seconde - 3. Nous amenons les fractions au dénominateur 24.

b) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le plus petit dénominateur commun est 45. En divisant 45 par 9 par 15, nous obtenons respectivement 5 et 3. Nous amenons les fractions au dénominateur 45.

c) Réduisez les fractions et à un dénominateur commun.

Le dénominateur commun est 24. Les facteurs supplémentaires sont respectivement 2 et 3.

Parfois, il est difficile de trouver verbalement le plus petit commun multiple pour les dénominateurs de fractions données. Ensuite, le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires sont trouvés en les factorisant en facteurs premiers.

Réduire à un dénominateur commun de la fraction et .

Décomposons les nombres 60 et 168 en facteurs premiers. Écrivons le développement du nombre 60 et ajoutons les facteurs manquants 2 et 7 du deuxième développement. Multipliez 60 par 14 et obtenez un dénominateur commun de 840. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est 14. Le facteur supplémentaire pour la deuxième fraction est 5. Réduisons les fractions à un dénominateur commun de 840.

Bibliographie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnemozina, 2012.

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3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - Lumières, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Tâches pour le cours de mathématiques de la 5e à la 6e année. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de la 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. Mathématiques : un interlocuteur-manuel pour les classes de 5e et 6e du secondaire. Bibliothèque du professeur de mathématiques. - Lumières, 1989.

Vous pouvez télécharger les livres spécifiés dans la clause 1.2. Cette leçon.

Devoirs

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et autres Mathématiques 6. - M. : Mnemozina, 2012. (voir lien 1.2)

Devoirs : n° 297, n° 298, n° 300.

Autres tâches : #270, #290

Dans cette leçon, nous verrons comment réduire des fractions à un dénominateur commun et résoudre des problèmes sur ce sujet. Donnons une définition du concept de dénominateur commun et un facteur supplémentaire, souvenez-vous des nombres premiers entre eux. Définissons le concept du plus petit dénominateur commun (LCD) et résolvons un certain nombre de problèmes pour le trouver.