Comment additionner des fractions avec des dénominateurs différents est une règle. Division d'un entier par un entier. Fractions ordinaires. Division avec reste

Votre enfant a apporté devoirs de l'école et vous ne savez pas comment le résoudre? Alors ce mini tutoriel est fait pour vous !

Comment ajouter des décimales

Il est plus pratique d'ajouter des fractions décimales dans une colonne. Pour effectuer l'addition fractions décimales, vous devez respecter une règle simple :

• Le chiffre doit être en dessous du chiffre, une virgule en dessous de la virgule.

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, les unités entières sont les unes sous les autres, les dixièmes et les centièmes sont sous les autres. Maintenant, nous ajoutons les nombres, en ignorant la virgule. Que faire avec une virgule ? La virgule est transférée à l'endroit où elle se trouvait à la place des entiers.

Addition de fractions à dénominateurs égaux

Pour effectuer une addition avec un dénominateur commun, vous devez garder le dénominateur inchangé, trouver la somme des numérateurs et obtenir une fraction, qui sera le total.

Addition de fractions avec différents dénominateurs par la méthode de recherche du multiple commun

La première chose à regarder, ce sont les dénominateurs. Les dénominateurs sont différents, ne sont-ils pas divisibles, sont-ils nombres premiers... Vous devez d'abord ramener à un dénominateur commun, pour cela il y a plusieurs façons :

• 1/3 + 3/4 = 13/12, pour résoudre cet exemple nous devons trouver le plus petit commun multiple (LCM) qui sera divisible par 2 dénominateurs. Pour désigner le plus petit multiple de a et b - LCM (a; b). V cet exemple LCM (3 ; 4) = 12. On vérifie : 12 : 3 = 4 ; 12 : 4 = 3.
• On multiplie les facteurs et on additionne les nombres obtenus, on obtient 13/12 - pas fraction correcte.

• Afin de convertir une fraction incorrecte en une fraction correcte, divisez le numérateur par le dénominateur, nous obtenons l'entier 1, le reste 1 est le numérateur et 12 est le dénominateur.

Addition de fractions par multiplication croisée à croisée

Il existe une autre façon d'ajouter des fractions avec des dénominateurs différents en utilisant la formule "croix à croix". C'est un moyen garanti de niveler les dénominateurs en multipliant les numérateurs par le dénominateur d'une fraction et vice versa. Si vous êtes seulement sur stade initial en étudiant les fractions, alors cette méthode est la plus simple et la plus précise, comment obtenir le résultat correct lors de l'addition de fractions avec différents dénominateurs.

Au 5ème siècle avant JC philosophe grec ancien Zénon d'Elée a formulé ses fameuses apories, dont la plus célèbre est l'aporie "Achille et la tortue". C'est comme ça que ça sonne :

Disons qu'Achille court dix fois plus vite qu'une tortue et se trouve à mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faut à Achille pour parcourir cette distance, la tortue rampera une centaine de pas dans la même direction. Quand Achille aura fait cent pas, la tortue rampera encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra indéfiniment, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est venu comme un choc logique à toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous, d'une manière ou d'une autre, ont considéré les apories de Zénon. Le choc a été si fort que " ... les discussions se poursuivent à l'heure actuelle, la communauté scientifique n'est pas encore parvenue à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes ... analyse mathématique, théorie des ensembles, nouvelles approches physiques et philosophiques ont été impliquées dans l'étude de la question ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée à la question ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Tout le monde comprend qu'il est dupe, mais personne ne comprend ce qu'est la tromperie.

Du point de vue des mathématiques, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la grandeur à. Cette transition implique une application au lieu de constantes. Autant que je sache, l'appareil mathématique pour utiliser des unités de mesure variables n'a pas encore été développé, ou il n'a pas été appliqué à l'aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. Nous, par inertie de la pensée, appliquons des unités constantes de mesure de temps à la réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à une dilatation du temps jusqu'à ce qu'elle s'arrête complètement au moment où Achille est au niveau de la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus dépasser la tortue.

Si nous retournons la logique à laquelle nous sommes habitués, tout se met en place. Achille court à vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. En conséquence, le temps passé à le surmonter est dix fois moins que le précédent. Si nous appliquons le concept d'"infini" dans cette situation, alors il serait correct de dire "Achille rattrapera infiniment rapidement la tortue".

Comment éviter ce piège logique ? Restez dans des unités de temps constantes et ne reculez pas. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Pendant le temps pendant lequel Achille fera mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps, égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a maintenant huit cents pas d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais ce n'est pas une solution complète au problème. La déclaration d'Einstein sur l'insurmontabilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l'aporie de Zeno "Achille et la tortue". Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution doit être recherchée non pas en nombre infiniment grand, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante que Zeno raconte à propos d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à chaque instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à chaque instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant du temps une flèche volante repose en différents points de l'espace, qui, en fait, est le mouvement. Un autre point doit être noté ici. A partir d'une seule photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer le fait du mouvement d'une voiture, deux photographies sont nécessaires, prises du même point à des moments différents, mais elles ne peuvent pas être utilisées pour déterminer la distance. Pour déterminer la distance à la voiture, vous avez besoin de deux photographies prises à partir de différents points de l'espace en même temps, mais vous ne pouvez pas déterminer le fait de mouvement à partir d'elles (bien sûr, vous avez toujours besoin de données supplémentaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera) . Ce que je veux tourner Attention particulière, c'est ainsi que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils offrent des possibilités de recherche différentes.

mercredi 4 juillet 2018

La distinction entre set et multiset est très bien décrite dans Wikipedia. Nous regardons.

Comme vous pouvez le voir, "il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble", mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé un "multi-ensemble". Une telle logique de l'absurdité ne sera jamais comprise par les êtres rationnels. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui manquent d'intelligence du mot "complètement". Les mathématiciens agissent comme des formateurs ordinaires, nous prêchant leurs idées absurdes.

Une fois que les ingénieurs qui ont construit le pont étaient dans un bateau sous le pont pendant les tests du pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur incompétent mourrait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait supporter la charge, un ingénieur talentueux construirait d'autres ponts.

Peu importe comment les mathématiciens se cachent derrière l'expression "coire, je suis dans la maison", ou plutôt "les mathématiques étudient des concepts abstraits", il y a un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical est de l'argent. Appliquons la théorie mathématique des ensembles aux mathématiciens eux-mêmes.

Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse, distribuant les salaires. Voici un mathématicien pour son argent. Nous comptons le montant total pour lui et étalons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de la même dénomination. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et remettons au mathématicien son « ensemble mathématique de salaire ». Expliquons les mathématiques qu'il ne recevra le reste des billets que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.

Tout d'abord, la logique des députés fonctionnera : « Vous pouvez appliquer cela aux autres, vous ne pouvez pas appliquer à moi ! De plus, nous commencerons à nous assurer qu'il existe des numéros de billets différents sur les billets de même dénomination, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. Bon, comptons le salaire en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : sur différentes pièces il y a montant différent la saleté, la structure cristalline et la disposition des atomes pour chaque pièce sont uniques ...

Et maintenant j'ai le plus intérêt Demander: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments du multi-ensemble se transforment en éléments de l'ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science ne se trouvait nulle part près d'ici.

Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football avec le même terrain. La superficie des champs est la même, ce qui signifie que nous avons un multi-ensemble. Mais si on considère les noms des mêmes stades, on obtient beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le voir, le même ensemble d'éléments est à la fois un ensemble et un multi-ensemble. Comment est-ce correct ? Et ici, le mathématicien-chaman-shuller sort un atout de sa manche et commence à nous parler soit du set, soit du multiset. En tout cas, il nous convaincra qu'il a raison.

Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous montrer, sans aucun "pensable comme pas un seul tout" ou "pas pensable comme un tout".

dimanche 18 mars 2018

La somme des chiffres du nombre est une danse des chamanes avec un tambourin, qui n'a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d'un nombre et à l'utiliser, mais c'est pourquoi ils sont des chamanes afin d'enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes mourront tout simplement.

Besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipedia et essayez de trouver la page Somme des chiffres d'un nombre. Cela n'existe pas. Il n'y a pas de formule mathématique permettant de trouver la somme des chiffres d'un nombre. Après tout, les chiffres sont symboles graphiques, à l'aide desquels nous écrivons des nombres et en langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : "Trouvez la somme de symboles graphiques représentant n'importe quel nombre". Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamans - c'est élémentaire.

Voyons ce que nous faisons et comment pour trouver la somme des chiffres d'un nombre donné. Et donc, prenons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Passons en revue toutes les étapes dans l'ordre.

1. Nous écrivons le numéro sur un morceau de papier. Qu'avons-nous fait? Nous avons converti le nombre en symbole graphique du nombre. Ce n'est pas une opération mathématique.

2. Nous avons découpé une image résultante en plusieurs images contenant des nombres séparés. Couper une image n'est pas une opération mathématique.

3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.

4. Additionnez les nombres obtenus. Ça, ce sont les mathématiques.

La somme des chiffres de 12345 est 15. Ce sont les "cours de coupe et de couture" des chamanes utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.

Du point de vue des mathématiques, peu importe dans quel système de nombres nous écrivons le nombre. Alors, dans différents systèmes le calcul de la somme des chiffres du même nombre sera différent. En mathématiques, le système de nombres est indiqué en indice à droite du nombre. Avec un grand nombre 12345, je ne veux pas me tromper, considérez le nombre 26 de l'article sur. Écrivons ce nombre dans des systèmes de nombres binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n'examinerons pas chaque étape au microscope, nous l'avons déjà fait. Voyons le résultat.

Comme vous pouvez le voir, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres du même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C'est comme si vous obteniez des résultats complètement différents lorsque vous déterminiez l'aire d'un rectangle en mètres et en centimètres.

Le zéro dans tous les systèmes numériques se ressemble et n'a pas de somme de chiffres. Ceci est un autre argument pour le fait que. Une question pour les mathématiciens : comment est-ce que quelque chose qui n'est pas un nombre est désigné en mathématiques ? Quoi, pour les mathématiciens, il n'y a que des nombres ? Pour les chamans, je peux le permettre, mais pour les scientifiques - non. La réalité n'est pas qu'une question de chiffres.

Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec différentes unités de mesure. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure de la même quantité conduisent à résultats différents après les avoir comparés, cela signifie que cela n'a rien à voir avec les mathématiques.

Qu'est-ce que les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat action mathématique ne dépend pas de la valeur du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.

Ouvre la porte et dit :

Aie! N'est-ce pas des toilettes pour femmes ?
- Jeune femme! C'est un laboratoire pour l'étude de la sainteté aveugle des âmes lors de l'ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelle autre toilette ?

Femelle... Le nimbe au-dessus et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une œuvre d'art comme celle-ci défile devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Alors il n'est pas surprenant que dans votre voiture vous trouviez soudainement une icône étrange :

Personnellement, je fais un effort sur moi-même pour que chez une personne qui fait caca (une image), je puisse voir moins quatre degrés (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, la désignation des degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaisse pas la physique. Elle a juste un stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l'enseignent constamment. Voici un exemple.

1A n'est pas "moins quatre degrés" ou "un a". C'est "l'homme caca" ou le nombre "vingt-six" en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement le nombre et la lettre comme un seul symbole graphique.

Noter! Avant d'écrire votre réponse finale, voyez si vous pouvez réduire la fraction que vous avez reçue.

Soustraction de fractions de même dénominateur, exemples:

,

,

Soustraire une fraction correcte de un.

S'il est nécessaire de soustraire de l'unité une fraction correcte, l'unité est transférée sous la forme d'une fraction incorrecte, son dénominateur est égal au dénominateur de la fraction à soustraire.

Un exemple de soustraction d'une fraction correcte d'un :

Le dénominateur de la fraction soustraite = 7 , c'est-à-dire que nous représentons l'unité comme une fraction irrégulière 7/7 et soustrayons selon la règle de soustraction des fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Soustraire une fraction correcte d'un nombre entier.

Règles de soustraction de fractions - corriger à partir d'un entier (entier naturel):

• Nous traduisons les fractions données, qui contiennent une partie entière, en des fractions incorrectes. Nous obtenons des termes normaux (peu importe s'ils ont des dénominateurs différents), que nous comptons selon les règles données ci-dessus ;
• Ensuite, nous calculons la différence des fractions que nous avons reçues. Du coup, on va presque trouver la réponse ;
• Nous effectuons la transformation inverse, c'est-à-dire que nous nous débarrassons de la fraction incorrecte - nous sélectionnons toute la partie dans la fraction.

Soustrayez la fraction correcte de l'entier : représentez l'entier naturel sous la forme d'un nombre fractionnaire. Celles. on occupe une unité dans un nombre naturel et on la convertit sous la forme d'une fraction irrégulière, le dénominateur est le même que celui de la fraction à soustraire.

Un exemple de soustraction de fractions :

Dans l'exemple, nous avons remplacé l'unité par une fraction impropre 7/7 et au lieu de 3, nous avons noté un nombre mixte et soustrait la fraction de la partie fractionnaire.

Soustraction de fractions avec différents dénominateurs.

Ou, pour le dire en d'autres termes, soustraction de différentes fractions.

La règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents. Afin de soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, il faut d'abord ramener ces fractions au plus petit dénominateur commun (LCN), et seulement ensuite effectuer la soustraction comme avec les fractions avec le même dénominateur.

Le dénominateur commun des fractions multiples est LCM (plus petit commun multiple) nombres naturels, qui sont les dénominateurs de ces fractions.

Attention! Si dans fraction finaleÉtant donné que le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, la fraction doit être annulée. Une mauvaise fraction est mieux représentée comme une fraction mixte. Laisser le résultat de la soustraction sans annuler la fraction dans la mesure du possible est une solution inachevée à l'exemple !

Procédure pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents.

• trouver le LCM pour tous les dénominateurs ;
• mettre des facteurs supplémentaires pour toutes les fractions ;
• multiplier tous les numérateurs par un facteur supplémentaire ;
• nous écrivons les produits résultants dans le numérateur, en signant un dénominateur commun sous toutes les fractions;
• soustraire les numérateurs des fractions, en signant le dénominateur commun sous la différence.

De la même manière, l'addition et la soustraction de fractions sont effectuées s'il y a des lettres dans le numérateur.

Soustraction de fractions, exemples :

Soustraction de fractions mixtes.

À soustraire des fractions mixtes (nombres) séparément de la partie entière, soustraire la partie entière et soustraire la partie fractionnaire de la partie fractionnaire.

La première option consiste à soustraire les fractions mixtes.

Si les parties fractionnaires le même dénominateurs et numérateur de la partie fractionnaire du soustrait (en soustraire) ≥ numérateur de la partie fractionnaire du soustrait (le soustraire).

Par exemple:

La deuxième option consiste à soustraire des fractions mixtes.

Lorsque les parties fractionnaires divers dénominateurs. Pour commencer, nous ramenons les parties fractionnaires à un dénominateur commun, puis nous soustrayons la partie entière du tout et la partie fractionnaire de la partie fractionnaire.

Par exemple:

La troisième option pour soustraire des fractions mixtes.

La partie fractionnaire du réduit est inférieure à la partie fractionnaire du soustrait.

Exemple:

Parce que les parties fractionnaires ont des dénominateurs différents, ce qui signifie que, comme dans la deuxième option, nous ramenons d'abord les fractions ordinaires à un dénominateur commun.

Le numérateur de la partie fractionnaire du soustrait est inférieur au numérateur de la partie fractionnaire du soustrait.3 < 14. Par conséquent, nous prenons une unité de la partie entière et amenons cette unité sous la forme d'une fraction irrégulière avec le même dénominateur et le numérateur = 18.

Dans le numérateur du côté droit, nous écrivons la somme des numérateurs, puis nous ouvrons les parenthèses dans le numérateur du côté droit, c'est-à-dire que nous multiplions tout et en donnons des similaires. Nous n'ouvrons pas de parenthèses dans le dénominateur. Il est d'usage de laisser l'œuvre aux dénominateurs. On a:

L'une des sciences les plus importantes, dont l'application peut être vue dans des disciplines telles que la chimie, la physique et même la biologie, sont les mathématiques. L'étude de cette science permet de développer certaines qualités mentales, de s'améliorer et de se concentrer. L'un des sujets qui méritent une attention particulière dans le cours "Mathématiques" est l'addition et la soustraction de fractions. Pour de nombreux étudiants, l'apprentissage est difficile. Peut-être que notre article vous aidera à mieux comprendre ce sujet. Comment soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs Les fractions sont les mêmes nombres avec lesquels vous pouvez produire actions diverses... Ils diffèrent des nombres entiers en présence d'un dénominateur. C'est pourquoi, lorsque vous effectuez des actions avec des fractions, vous devez étudier certaines de leurs caractéristiques et règles. Le cas le plus simple est la soustraction de fractions ordinaires dont les dénominateurs sont représentés par le même nombre. Cette action ne sera pas difficile si vous connaissez une règle simple : Pour soustraire la seconde d'une fraction, il faut soustraire le numérateur de la fraction soustraite du numérateur de la fraction réduite. Nous écrivons ce nombre dans le numérateur de la différence et laissons le même dénominateur : k / m - b / m = (k-b) / m. Exemples de soustraction de fractions avec les mêmes dénominateurs 7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19. On soustrait le numérateur de la fraction soustraite "3" au numérateur de la fraction réduite "7", on obtient "4". Nous écrivons ce nombre dans le numérateur de la réponse, et au dénominateur nous mettons le même nombre qui était dans les dénominateurs des première et deuxième fractions - "19". L'image ci-dessous montre quelques exemples plus similaires. Prenons un exemple plus complexe, où les fractions ayant les mêmes dénominateurs sont soustraites : 29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47. Du numérateur de la fraction réduite "29" en soustrayant à leur tour les numérateurs de toutes les fractions suivantes - "3", "8", "2", "7". En conséquence, nous obtenons le résultat "9", que nous écrivons au numérateur de la réponse, et au dénominateur nous écrivons le nombre qui se trouve dans les dénominateurs de toutes ces fractions - "47". Addition de fractions avec le même dénominateur L'addition et la soustraction de fractions ordinaires s'effectuent selon le même principe. Pour additionner des fractions dont les dénominateurs sont les mêmes, il faut additionner les numérateurs. Le nombre résultant est le numérateur de la somme, et le dénominateur reste le même : k / m + b / m = (k + b) / m. Voyons à quoi cela ressemble dans un exemple : 1/4 + 2/4 = 3/4. Au numérateur du premier terme de la fraction - "1" - ajoutez le numérateur du deuxième terme de la fraction - "2". Le résultat - "3" - est écrit dans le numérateur de la somme et le dénominateur est le même que dans les fractions - "4". Fractions avec différents dénominateurs et leur soustraction Nous avons déjà considéré l'action avec des fractions qui ont le même dénominateur. Comme vous pouvez le voir, sachant règles simples, il est assez facile de résoudre de tels exemples. Mais que se passe-t-il si vous devez effectuer une action avec des fractions qui ont des dénominateurs différents ? De nombreux lycéens sont déconcertés par ces exemples. Mais même ici, si vous connaissez le principe de la solution, les exemples ne vous seront plus difficiles. Il y a aussi une règle ici, sans laquelle la solution de telles fractions est tout simplement impossible. Pour soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez les ramener au même plus petit dénominateur. Nous parlerons plus en détail de la façon de procéder. Propriété de fraction Afin d'amener plusieurs fractions au même dénominateur, vous devez utiliser la propriété principale de la fraction dans la solution : après avoir divisé ou multiplié le numérateur et le dénominateur par le même nombre, vous obtenez une fraction égale à celle donnée. Ainsi, par exemple, la fraction 2/3 peut avoir des dénominateurs tels que "6", "9", "12", etc., c'est-à-dire qu'elle peut avoir la forme de n'importe quel nombre qui est un multiple de "3". Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par "2", nous obtenons la fraction 4/6. Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur de la fraction d'origine par "3", nous obtenons 6/9, et si la même action est effectuée avec le nombre "4", nous obtenons 8/12. Avec une égalité, on peut l'écrire ainsi : 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12… Comment convertir plusieurs fractions au même dénominateur Voyons comment amener plusieurs fractions au même dénominateur. Par exemple, prenez les fractions montrées dans l'image ci-dessous. Tout d'abord, vous devez déterminer quel nombre peut devenir le dénominateur pour chacun d'eux. Pour faciliter les choses, nous factorisons les dénominateurs disponibles. Le dénominateur de 1/2 et 2/3 ne peut pas être factorisé. Le dénominateur 7/9 a deux facteurs 7/9 = 7 / (3 x 3), le dénominateur de la fraction 5/6 = 5 / (2 x 3). Vous devez maintenant déterminer quels facteurs seront les plus petits pour toutes ces quatre fractions. Étant donné que la première fraction du dénominateur contient le nombre "2", ce qui signifie qu'il doit être présent dans tous les dénominateurs, il y a deux triplets dans la fraction 7/9, ce qui signifie que les deux doivent également être présents dans le dénominateur. Compte tenu de ce qui précède, nous déterminons que le dénominateur se compose de trois facteurs : 3, 2, 3 et est égal à 3 x 2 x 3 = 18. Considérez la première fraction - 1/2. Son dénominateur contient "2", mais il n'y a pas un seul chiffre "3", mais il devrait y en avoir deux. Pour ce faire, on multiplie le dénominateur par deux triplets, mais, selon la propriété de la fraction, on doit multiplier le numérateur par deux triplets : 1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18. De même, nous effectuons des actions avec les fractions restantes. 2/3 - il manque au dénominateur un trois et un deux : 2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18. 7/9 ou 7 / (3 x 3) - il manque deux au dénominateur : 7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18. 5/6 ou 5 / (2 x 3) - il manque un triple au dénominateur : 5/6 = (5x3) / (6x3) = 15/18. Ensemble, cela ressemble à ceci : Comment soustraire et additionner des fractions avec différents dénominateurs Comme mentionné ci-dessus, pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, il faut les réduire au même dénominateur, puis utiliser les règles de soustraction de fractions de même dénominateur, qui ont déjà été décrites. Regardons un exemple : 4/18 - 3/15. Trouvez un multiple de 18 et 15 : Le numéro 18 est composé de 3 x 2 x 3. Le nombre 15 est composé de 5 x 3. Le multiple commun sera 5 x 3 x 3 x 2 = 90. Une fois le dénominateur trouvé, il est nécessaire de calculer un facteur qui sera différent pour chaque fraction, c'est-à-dire le nombre par lequel non seulement le dénominateur, mais aussi le numérateur devront être multipliés. Pour ce faire, le nombre que nous avons trouvé (le multiple commun) est divisé par le dénominateur de la fraction pour laquelle des facteurs supplémentaires doivent être déterminés. 90 divisé par 15. Le nombre résultant "6" sera un facteur pour 3/15. 90 divisé par 18. Le nombre résultant "5" sera un multiplicateur pour 4/18. La prochaine étape de notre solution consiste à amener chaque fraction au dénominateur "90". Nous avons déjà discuté de la manière de procéder. Voyons comment cela est écrit dans un exemple : (4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45. Si les fractions sont composées de petits nombres, le dénominateur commun peut être déterminé, comme dans l'exemple illustré ci-dessous. De même, il est produit et ayant des dénominateurs différents. Soustraction et avoir des parties entières Nous avons déjà couvert en détail la soustraction de fractions et leur addition. Mais comment soustraire si la fraction a partie entière? Encore une fois, utilisons quelques règles : Toutes les fractions qui ont une partie entière doivent être converties en fractions incorrectes. Parlant en mots simples, retirez toute la pièce. Pour ce faire, multipliez le nombre de la partie entière par le dénominateur de la fraction, ajoutez le produit obtenu au numérateur. Le nombre qui sera obtenu après ces actions est le numérateur de la fraction impropre. Le dénominateur reste inchangé. Si les fractions ont des dénominateurs différents, vous devez les ramener au même. Additionner ou soustraire avec les mêmes dénominateurs. Si vous obtenez une fraction incorrecte, sélectionnez la partie entière. Il existe une autre façon d'ajouter et de soustraire des fractions avec des parties entières. Pour cela, les actions sont effectuées séparément avec des parties entières et séparément des actions avec des fractions, et les résultats sont enregistrés ensemble. L'exemple ci-dessus se compose de fractions qui ont le même dénominateur. Dans le cas où les dénominateurs sont différents, ils doivent être réduits au même, puis effectuer les actions, comme indiqué dans l'exemple. Soustraire des fractions d'un nombre entier Une autre variété d'actions avec des fractions est le cas où la fraction doit être soustraite de À première vue exemple similaire semble difficile à résoudre. Cependant, tout est assez simple ici. Pour le résoudre, il faut convertir un entier en fraction, et avec le même dénominateur qui se trouve dans la fraction à soustraire. Ensuite, nous effectuons une soustraction similaire à une soustraction avec les mêmes dénominateurs. Par exemple, cela ressemble à ceci : 7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9. La soustraction de fractions (6e année) donnée dans cet article est la base pour résoudre des exemples plus complexes, qui sont considérés dans les cours suivants. La connaissance de ce sujet est ensuite utilisée pour résoudre des fonctions, des dérivées, etc. Par conséquent, il est très important de comprendre et de comprendre les actions avec les fractions discutées ci-dessus. Actions avec fractions. Attention! Il y a d'autres matériaux dans la section spéciale 555. Pour ceux qui sont très "pas très..." Et pour ceux qui sont "très égaux...") Alors, que sont les fractions, les types de fractions, les transformations - nous nous sommes souvenus. Traitons le problème principal. Que pouvez-vous faire avec des fractions ? Oui, tout ce qui est avec des nombres ordinaires. Additionner, soustraire, multiplier, diviser. Toutes ces actions avec décimal les fractions ne sont pas différentes des opérations avec des nombres entiers. En fait, c'est pourquoi ils sont bons, décimaux. La seule chose est que vous devez mettre la virgule correctement. Numéros mixtes, comme je l'ai dit, sont de peu d'utilité pour la plupart des actions. Ils doivent encore être convertis en fractions. Mais les actions avec fractions communes sera plus rusé. Et bien plus important ! Laissez-moi vous rappeler: toutes les actions avec des expressions fractionnaires avec des lettres, des sinus, des inconnues et ainsi de suite ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires! Les opérations fractionnaires sont le fondement de toute algèbre. C'est pour cette raison que nous analyserons ici en détail toute cette arithmétique. Addition et soustraction de fractions. Tout le monde peut additionner (soustraire) des fractions avec les mêmes dénominateurs (j'espère vraiment !). Eh bien, permettez-moi de vous rappeler complètement oublieux: lors de l'addition (soustraction), le dénominateur ne change pas. Les numérateurs sont additionnés (soustraits) pour donner le numérateur du résultat. Taper: Bref, dans vue générale: Et si les dénominateurs étaient différents ? Ensuite, en utilisant la propriété de base de la fraction (ici elle s'est à nouveau avérée utile !), Nous faisons les mêmes dénominateurs ! Par exemple: Ici, nous devions faire 4/10 à partir de la fraction 2/5. Dans le seul but de rendre les dénominateurs identiques. Notez, juste au cas où, que 2/5 et 4/10 sont la même fraction! Seulement 2/5 est inconfortable pour nous, et 4/10 n'est rien du tout. Soit dit en passant, c'est l'essence de la résolution de tous les problèmes en mathématiques. Quand on est de inconfortable les expressions font le même, mais déjà pratique pour la solution. Un autre exemple: La situation est similaire. Ici on fait 48 sur 16. Par simple multiplication par 3. Tout est clair. Mais ici, nous sommes tombés sur quelque chose comme : Comment être ?! Il est difficile de faire neuf sur sept ! Mais nous sommes intelligents, nous connaissons les règles ! Nous transformons tous fraction de sorte que les dénominateurs deviennent les mêmes. C'est ce qu'on appelle « amener à dénominateur commun»: Comment! Comment ai-je su environ 63 ? Très simple! 63 est un nombre qui est divisible par 7 et 9 en même temps. Un tel nombre peut toujours être obtenu en multipliant les dénominateurs. Si on multiplie un nombre par 7, par exemple, alors le résultat sera certainement divisible par 7 ! Si vous devez additionner (soustraire) plusieurs fractions, il n'est pas nécessaire de le faire par paires, par étapes. Il suffit de trouver un dénominateur commun à toutes les fractions, et de ramener chaque fraction à ce même dénominateur. Par exemple: Et quel est le dénominateur commun ? Vous pouvez, bien sûr, multiplier 2, 4, 8 et 16. Nous obtenons 1024. Cauchemar. Il est plus facile de comprendre que le nombre 16 est parfaitement divisible par 2, 4 et 8. Par conséquent, à partir de ces nombres, il est facile d'obtenir 16. Ce nombre sera le dénominateur commun. 1/2 se transformera en 8/16, 3/4 en 12/16, et ainsi de suite. Soit dit en passant, si nous prenons 1024 comme dénominateur commun, tout ira bien aussi, à la fin tout rétrécira. Seulement tout le monde n'y arrivera pas, à cause des calculs... Complétez l'exemple vous-même. Pas un logarithme... Il devrait être 29/16. Donc, ajouter (soustraire) des fractions est clair, j'espère ? Bien sûr, il est plus facile de travailler dans une version abrégée, avec des facteurs supplémentaires. Mais ce plaisir est disponible pour ceux qui ont honnêtement travaillé dans notes inférieures... Et je n'ai rien oublié. Et maintenant nous allons faire les mêmes actions, mais pas avec des fractions, mais avec expressions fractionnaires... Il y aura un nouveau râteau ici, oui... Nous devons donc ajouter deux expressions fractionnaires : Nous devons rendre les dénominateurs identiques. Et seulement avec l'aide multiplication! Donc, la propriété de base de la fraction dicte. Par conséquent, je ne peux pas ajouter un à la première fraction du dénominateur. (Mais ce serait bien!). Mais si vous multipliez les dénominateurs, voyez-vous, tout grandira ensemble ! Alors on écrit, la ligne de la fraction, on laisse un espace vide en haut, puis on l'ajoute, et en dessous on écrit le produit des dénominateurs, pour ne pas oublier : Et, bien sûr, on ne multiplie rien du côté droit, on n'ouvre pas les parenthèses ! Et maintenant, en regardant le dénominateur commun du côté droit, nous découvrons : pour obtenir le dénominateur x (x + 1) dans la première fraction, le numérateur et le dénominateur de cette fraction doivent être multipliés par (x + 1) . Et dans la deuxième fraction - par x. Cela se passera comme ceci : Noter! Les parenthèses sont apparues ici ! C'est le râteau sur lequel beaucoup marchent. Pas les parenthèses, bien sûr, mais leur absence. Les parenthèses apparaissent car nous multiplions la totalité numérateur et la totalité dénominateur! Et pas leurs pièces séparées... Au numérateur du côté droit, on écrit la somme des numérateurs, tout est comme en fractions numériques, puis on ouvre les parenthèses dans le numérateur du côté droit, c'est-à-dire. nous multiplions tout et donnons des semblables. Vous n'avez pas besoin d'ouvrir des parenthèses dans les dénominateurs, vous n'avez pas besoin de multiplier quelque chose ! En général, aux dénominateurs (tout) le travail est toujours plus agréable ! On a: Nous avons donc eu la réponse. Le processus semble long et difficile, mais cela dépend de la pratique. Résolvez des exemples, habituez-vous, tout deviendra simple. Ceux qui ont maîtrisé les fractions en temps voulu font toutes ces opérations d'une seule main, sur la machine ! Et encore une note. Beaucoup traitent des fractions, mais accrochez-vous aux exemples avec entier Nombres. J'aime : 2 + 1/2 + 3/4 =? Où attacher le diable? Vous n'avez pas besoin d'attacher n'importe où, vous devez faire une fraction sur deux. Ce n'est pas facile, mais très simple ! 2 = 2/1. Comme ça. Tout nombre entier peut être écrit sous forme de fraction. Le numérateur est le nombre lui-même, le dénominateur est un. 7 est 7/1, 3 est 3/1, et ainsi de suite. C'est la même chose avec les lettres. (a + b) = (a + b) / 1, x = x / 1, etc. Et puis nous travaillons avec ces fractions selon toutes les règles. Eh bien, en plus - soustraction de fractions, les connaissances ont été rafraîchies. Nous avons répété la conversion des fractions d'un type à un autre. Vous pouvez et vérifiez. Allons-nous résoudre un peu?) Calculer: Réponses (dans le désarroi) : 71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6 Multiplication / division de fractions - dans la prochaine leçon. Il y a aussi des tâches pour toutes les actions avec des fractions. Si vous aimez ce site... Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.) Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et connaître votre niveau. Tests de validation instantanés. Apprendre - avec intérêt !) vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

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