Division et le numérateur et le dénominateur de la fraction sur leur diviseur commun autre que l'unité s'appelle réduction de fraction.

Pour annuler une fraction ordinaire, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre naturel.

Ce nombre est le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction.

Les suivantes sont possibles formulaires d'enregistrement des décisions exemples de réduction de fractions ordinaires.

L'étudiant a le droit de choisir n'importe quelle forme d'inscription.

Exemples. Simplifier les fractions.

Réduisez la fraction par 3 (divisez le numérateur par 3 ;

diviser le dénominateur par 3).

Réduire la fraction de 7.

Nous effectuons les actions indiquées au numérateur et au dénominateur de la fraction.

Réduire la fraction obtenue par 5.

Réduire cette fraction 4) au 5 · 7³- le plus grand facteur commun (GCD) du numérateur et du dénominateur, qui se compose des facteurs communs du numérateur et du dénominateur, pris au degré avec le plus petit exposant.

On développe le numérateur et le dénominateur de cette fraction par facteurs premiers.

On a: 756 = 2² · 3³ · 7 et 1176 = 2³ · 3 · 7².

Déterminer le PGCD (plus grand commun diviseur) du numérateur et du dénominateur de la fraction 5) .

C'est le produit des facteurs communs les plus bas.

PGCD (756 ; 1176) = 2² · 3 · 7.

On divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par leur PGCD, c'est-à-dire par 2² · 3 · 7 on obtient une fraction irréductible 9/14 .

Et il était possible d'écrire le développement du numérateur et du dénominateur sous la forme d'un produit de facteurs premiers, sans utiliser la notion de degré, puis de réduire la fraction en rayant les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Lorsqu'il ne reste plus de facteurs identiques, nous multiplions les facteurs restants séparément au numérateur et séparément au dénominateur et écrivons la fraction résultante 9/14 .

Et enfin, il a été possible de réduire cette fraction 5) progressivement, en appliquant les signes de division des nombres à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction. On raisonne ainsi : les nombres 756 et 1176 se termine par un chiffre pair, ce qui signifie que les deux sont divisibles par 2 ... Réduire la fraction de 2 ... Le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction sont des nombres 378 et 588 également divisé en 2 ... Réduire la fraction de 2 ... Notez que le nombre 294 - même, et 189 - impair, et la réduction par 2 n'est plus possible. Vérifions le critère de divisibilité des nombres 189 et 294 au 3 .

(1 + 8 + 9) = 18 est divisible par 3 et (2 + 9 + 4) = 15 est divisible par 3, donc les nombres eux-mêmes 189 et 294 sont divisées en 3 ... Réduire la fraction de 3 ... Plus loin, 63 est divisible par 3, et 98 - Non. Nous passons par d'autres facteurs premiers. Les deux nombres sont divisibles par 7 ... Réduire la fraction de 7 et on obtient une fraction irréductible 9/14 .

Dans cet article, nous examinerons opérations de base avec des fractions algébriques:

• réduction des fractions
• multiplication de fractions
• division des fractions

Commençons avec réductions fractions algébriques .

Il semblerait que, algorithmeévident.

À annuler les fractions algébriques, nécessaire

1. Factorise le numérateur et le dénominateur d'une fraction.

2. Réduire les facteurs égaux.

Cependant, les écoliers commettent souvent l'erreur d'"annuler" non pas des facteurs, mais des termes. Par exemple, il y a des amateurs qui, en une fraction, « réduisent » et obtiennent en résultat, ce qui, bien sûr, n'est pas vrai.

Considérons quelques exemples :

1. Réduire la fraction :

1. Factorisons le numérateur par la formule du carré de la somme, et le dénominateur par la formule de la différence des carrés

2. Divisez le numérateur et le dénominateur par

2. Réduire la fraction :

1. Factorisez le numérateur. Puisque le numérateur contient quatre termes, nous appliquerons le regroupement.

2. Factoriser le dénominateur. Nous appliquerons également le regroupement.

3. Écrivons la fraction que nous avons obtenue et annulons les mêmes facteurs :

Multiplication de fractions algébriques.

Lors de la multiplication de fractions algébriques, nous multiplions le numérateur par le numérateur et nous multiplions le dénominateur par le dénominateur.

Important! Il n'est pas nécessaire de se précipiter pour multiplier dans le numérateur et le dénominateur de la fraction. Après avoir écrit au numérateur le produit des numérateurs des fractions et au dénominateur - le produit des dénominateurs, nous devons factoriser chaque facteur et annuler la fraction.

Considérons quelques exemples :

3. Simplifiez l'expression :

1. Inscrivons le produit des fractions : au numérateur, le produit des numérateurs, et au dénominateur, le produit des dénominateurs :

2. Factorisons chaque parenthèse :

Maintenant, nous devons annuler les mêmes facteurs. Notez que les expressions et ne diffèrent que par le signe : et en divisant la première expression par la seconde, nous obtenons -1.

Donc,

Nous effectuons la division des fractions algébriques selon la règle suivante :

C'est-à-dire pour diviser par une fraction, vous devez multiplier par "inversé".

Nous voyons que la division des fractions se réduit à la multiplication, et la multiplication revient finalement à annuler des fractions.

Prenons un exemple :

4. Simplifiez l'expression :

Les enfants à l'école apprennent les règles de réduction des fractions en 6e année. Dans cet article, nous allons d'abord vous expliquer ce que signifie cette action, puis nous vous expliquerons comment convertir une fraction annulable en une fraction non annulable. Le point suivant sera les règles de réduction des fractions, puis nous passerons progressivement aux exemples.

Que signifie « annuler une fraction » ?

Ainsi, nous savons tous que les fractions ordinaires sont divisées en deux groupes : annulables et irréductibles. Déjà par les noms, on peut comprendre que ceux qui sont réductibles sont abrégés, et ceux qui sont irréductibles ne sont pas abrégés.

• Réduire une fraction signifie diviser son dénominateur et son numérateur par leur (autre qu'un) diviseur positif. Le résultat, bien sûr, est une nouvelle fraction avec un dénominateur et un numérateur inférieurs. La fraction résultante sera égale à la fraction d'origine.

Il convient de noter que dans les livres de mathématiques avec la tâche "réduire la fraction", cela signifie que vous devez amener la fraction d'origine exactement à cette forme irréductible. Si nous parlons en mots simples, puis diviser le dénominateur et le numérateur par leur plus grand diviseur commun est une annulation.

Comment réduire une fraction. Règles de réduction des fractions (6e année)

Donc, il n'y a que deux règles ici.

1. La première règle pour réduire les fractions : vous devez d'abord trouver le plus grand dénominateur commun du dénominateur et du numérateur de votre fraction.
2. La deuxième règle : divisez le dénominateur et le numérateur par le plus grand facteur commun, au final vous obtenez une fraction irréductible.

Comment annuler une fraction impropre ?

Les règles de réduction des fractions sont identiques à celles d'annulation des fractions impropres.

Afin d'annuler une fraction impropre, vous devez d'abord écrire le dénominateur et le numérateur en facteurs premiers, puis seulement réduire les facteurs communs.

Réduire les fractions mélangées

Les règles de réduction des fractions s'appliquent également à la réduction fractions mélangées... Il n'y a qu'une petite différence: nous ne pouvons pas toucher à toute la partie, mais réduire la fraction fractionnaire ou mixte en une fraction incorrecte, puis l'annuler et la convertir à nouveau en une fraction régulière.

Il existe deux façons de réduire les fractions mixtes.

Premièrement : écrire la partie fractionnaire en facteurs premiers, puis laisser la partie entière seule.

La deuxième façon : d'abord traduire en une fraction impropre, écrire en facteurs ordinaires, puis réduire la fraction. Convertissez la fraction incorrecte déjà reçue en la fraction correcte.

Des exemples peuvent être vus sur la photo ci-dessus.

Nous espérons vraiment que nous avons pu vous aider, vous et vos enfants. En effet, en classe, ils sont très souvent inattentifs, il faut donc étudier plus intensément à la maison tout seul.

La réduction des fractions est nécessaire pour amener la fraction à plus esprit simple, par exemple, dans la réponse obtenue à la suite de la résolution de l'expression.

Réduction des fractions, définition et formule.

Qu'est-ce que la réduction fractionnaire ? Que signifie annuler une fraction ?

Définition:
Réduire les fractions- c'est la division du numérateur et du dénominateur de la fraction par le même nombre positif pas égal à zéro et un. À la suite de la réduction, une fraction avec un numérateur et un dénominateur inférieurs est obtenue, égale à la fraction précédente selon.

Formule de réduction de fractions la propriété principale des nombres rationnels.

\ (\ frac (p \ fois n) (q \ fois n) = \ frac (p) (q) \)

Prenons un exemple :
Annuler la fraction \ (\ frac (9) (15) \)

Solution:
Nous pouvons factoriser la fraction en facteurs premiers et annuler les facteurs communs.

\ (\ frac (9) (15) = \ frac (3 \ fois 3) (5 \ fois 3) = \ frac (3) (5) \ fois \ couleur (rouge) (\ frac (3) (3) ) = \ frac (3) (5) \ fois 1 = \ frac (3) (5) \)

Réponse : après la réduction, on obtient la fraction \ (\ frac (3) (5) \). Par la propriété de base des nombres rationnels, la fraction initiale et la fraction résultante sont égales.

\ (\ frac (9) (15) = \ frac (3) (5) \)

Comment réduire les fractions ? Réduire une fraction à une forme irréductible.

Pour obtenir une fraction irréductible en conséquence, nous avons besoin trouver le plus grand facteur commun (pgcd) pour le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Il existe plusieurs façons de trouver le PGCD, nous utiliserons dans l'exemple la décomposition de nombres en facteurs premiers.

Obtenez la fraction non annulable \ (\ frac (48) (136) \).

Solution:
Trouvez GCD (48, 136). Écrivons les nombres 48 et 136 en facteurs premiers.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
PGCD (48, 136) = 2⋅2⋅2 = 6

\ (\ frac (48) (136) = \ frac (\ couleur (rouge) (2 \ fois 2 \ fois 2) \ fois 2 \ fois 3) (\ couleur (rouge) (2 \ fois 2 \ fois 2) \ fois 17) = \ frac (\ couleur (rouge) (6) \ fois 2 \ fois 3) (\ couleur (rouge) (6) \ fois 17) = \ frac (2 \ fois 3) (17) = \ fraction (6) (17) \)

La règle pour réduire une fraction à une forme irréductible.

1. Trouvez le plus grand facteur commun entre le numérateur et le dénominateur.
2. Il est nécessaire de diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand commun diviseur à la suite de la division pour obtenir une fraction irréductible.

Exemple:
Annuler la fraction \ (\ frac (152) (168) \).

Solution:
Trouvez GCD (152, 168). Écrivons les nombres 152 et 168 en facteurs premiers.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
PGCD (152, 168) = 2⋅2⋅2 = 6

\ (\ frac (152) (168) = \ frac (\ couleur (rouge) (6) \ fois 19) (\ couleur (rouge) (6) \ fois 21) = \ frac (19) (21) \)

Réponse : \ (\ frac (19) (21) \) est une fraction irréductible.

Réduction de fraction irrégulière.

Comment annuler une fraction impropre ?
Les règles de réduction des fractions pour les fractions régulières et impropres sont les mêmes.

Prenons un exemple :
Annulez la fraction impropre \ (\ frac (44) (32) \).

Solution:
Écrivons le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers. Et puis nous réduirons les facteurs communs.

\ (\ frac (44) (32) = \ frac (\ couleur (rouge) (2 \ fois 2) \ fois 11) (\ couleur (rouge) (2 \ fois 2) \ fois 2 \ fois 2 \ fois 2 ) = \ frac (11) (2 \ fois 2 \ fois 2) = \ frac (11) (8) \)

Réduction des fractions mélangées.

Fractions mélangées selon les mêmes règles que fractions communes... La seule différence est que nous pouvons ne touchez pas la partie entière, mais réduisez la partie fractionnaire ou convertir une fraction mixte en une fraction impropre, réduire et reconvertir en une fraction régulière.

Prenons un exemple :
Annuler la fraction mixte \ (2 \ frac (30) (45) \).

Solution:
Nous allons résoudre de deux manières :
Première façon :
Écrivons la partie fractionnaire en facteurs premiers, mais nous ne toucherons pas à la partie entière.

\ (2 \ frac (30) (45) = 2 \ frac (2 \ fois \ couleur (rouge) (5 \ fois 3)) (3 \ fois \ couleur (rouge) (5 \ fois 3)) = 2 \ fracturation (2) (3) \)

Deuxième façon :
Tout d'abord, nous la traduisons en une fraction impropre, puis nous l'écrivons en facteurs premiers et l'annulons. Nous convertissons la fraction incorrecte résultante en une fraction correcte.

\ (2 \ frac (30) (45) = \ frac (45 \ fois 2 + 30) (45) = \ frac (120) (45) = \ frac (2 \ fois \ couleur (rouge) (5 \ fois 3) \ fois 2 \ fois 2) (3 \ fois \ couleur (rouge) (3 \ fois 5)) = \ frac (2 \ fois 2 \ fois 2) (3) = \ frac (8) (3) = 2 \ fraction (2) (3) \)

Questions sur le sujet :
L'addition ou la soustraction de fractions peut-elle être annulée ?
Réponse : non, vous devez d'abord additionner ou soustraire des fractions selon les règles, et ensuite seulement réduire. Prenons un exemple :

Évaluez l'expression \ (\ frac (50 + 20-10) (20) \).

Solution:
Ils font souvent l'erreur d'annuler les mêmes nombres au numérateur et au dénominateur dans notre cas, le nombre 20, mais ils ne peuvent pas être annulés tant que vous n'avez pas effectué d'addition et de soustraction.

\ (\ frac (50+ \ couleur (rouge) (20) -10) (\ couleur (rouge) (20)) = \ frac (60) (20) = \ frac (3 \ fois 20) (20) = \ frac (3) (1) = 3 \)

De quels nombres une fraction peut-elle être réduite ?
Réponse : Vous pouvez annuler une fraction par le plus grand facteur commun ou le diviseur habituel du numérateur et du dénominateur. Par exemple, la fraction \ (\ frac (100) (150) \).

Écrivons les nombres 100 et 150 en facteurs premiers.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Le plus grand facteur commun sera le nombre de PGCD (100, 150) = 2⋅5⋅5 = 50

\ (\ frac (100) (150) = \ frac (2 \ fois 50) (3 \ fois 50) = \ frac (2) (3) \)

A reçu une fraction irréductible \ (\ frac (2) (3) \).

Mais il n'est pas nécessaire de toujours diviser par PGCD, une fraction irréductible n'est pas toujours nécessaire, vous pouvez réduire une fraction par un diviseur premier du numérateur et du dénominateur. Par exemple, les nombres 100 et 150 ont un diviseur commun de 2. Réduisez la fraction \ (\ frac (100) (150) \) par 2.

\ (\ frac (100) (150) = \ frac (2 \ fois 50) (2 \ fois 75) = \ frac (50) (75) \)

Reçu la fraction annulée \ (\ frac (50) (75) \).

Quelles fractions peuvent être abrégées ?
Réponse : vous pouvez annuler les fractions dont le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. Par exemple, la fraction \ (\ frac (4) (8) \). Les nombres 4 et 8 ont un nombre par lequel ils divisent tous les deux ce nombre 2. Par conséquent, une telle fraction peut être annulée par le nombre 2.

Exemple:
Comparez les deux fractions \ (\ frac (2) (3) \) et \ (\ frac (8) (12) \).

Ces deux fractions sont égales. Considérons en détail la fraction \ (\ frac (8) (12) \) :

\ (\ frac (8) (12) = \ frac (2 \ fois 4) (3 \ fois 4) = \ frac (2) (3) \ fois \ frac (4) (4) = \ frac (2) (3) \ fois 1 = \ frac (2) (3) \)

De là on obtient \ (\ frac (8) (12) = \ frac (2) (3) \)

Deux fractions sont égales si et seulement si l'une d'elles est obtenue en réduisant l'autre fraction par un facteur commun du numérateur et du dénominateur.

Exemple:
Réduisez si possible les fractions suivantes : a) \ (\ frac (90) (65) \) b) \ (\ frac (27) (63) \) c) \ (\ frac (17) (100) \) d ) \ (\ frac (100) (250) \)

Solution:
a) \ (\ frac (90) (65) = \ frac (2 \ fois \ couleur (rouge) (5) \ fois 3 \ fois 3) (\ couleur (rouge) (5) \ fois 13) = \ frac (2 \ fois 3 \ fois 3) (13) = \ frac (18) (13) \)
b) \ (\ frac (27) (63) = \ frac (\ couleur (rouge) (3 \ fois 3) \ fois 3) (\ couleur (rouge) (3 \ fois 3) \ fois 7) = \ frac (3) (7) \)
c) \ (\ frac (17) (100) \) fraction irréductible
d) \ (\ frac (100) (250) = \ frac (\ couleur (rouge) (2 \ fois 5 \ fois 5) \ fois 2) (\ couleur (rouge) (2 \ fois 5 \ fois 5) \ fois 5) = \ frac (2) (5) \)

Ainsi, nous savons déjà que le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être multipliés et divisés par le même nombre, la fraction ne changera pas de cela. Considérez trois approches :

La première approche.

Pour l'annulation, divisez le numérateur et le dénominateur par le facteur commun. Considérons quelques exemples :

Raccourcissons :

Dans les exemples donnés, on voit tout de suite quels diviseurs prendre pour la réduction. Le processus est simple - nous itérons sur 2,3,4,5 et ainsi de suite. Dans la plupart des exemples de cours scolaires, cela suffit. Mais s'il y a une fraction :

Ici, le processus de sélection des diviseurs peut prendre beaucoup de temps ;). Bien sûr, de tels exemples se situent en dehors du cursus scolaire, mais vous devez être capable d'y faire face. Ci-dessous, nous verrons comment cela est fait. Pour l'instant, revenons au processus de réduction.

Comme discuté ci-dessus, afin de réduire la fraction, nous avons effectué une division par le diviseur commun (li) déterminé par nous. C'est exact! Il suffit d'ajouter des signes de divisibilité des nombres :

- si le nombre est pair alors il est divisible par 2.

- si le nombre des deux derniers chiffres est divisible par 4, alors le nombre lui-même est divisible par 4.

- si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3. Par exemple 125031, 1 + 2 + 5 + 0 + 3 + 1 = 12. Douze est divisible par 3, donc 123031 est divisible par 3.

- s'il y a 5 ou 0 à la fin du nombre, alors le nombre est divisé par 5.

- si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 9, alors le nombre lui-même est divisible par 9. Par exemple, 625032 =.> 6 + 2 + 5 + 0 + 3 + 2 = 18. Dix-huit est divisible par 9, donc 623032 est divisible par 9.

Deuxième approche.

En un mot, en fait, toute l'action se résume à factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs, puis à annuler des facteurs égaux dans le numérateur et le dénominateur (cette approche est une conséquence de la première approche):

Visuellement, afin de ne pas se tromper et de ne pas se tromper, les facteurs égaux sont simplement barrés. La question est : comment factoriser un nombre ? Il faut déterminer par recherche exhaustive tous les diviseurs. C'est un sujet à part, ce n'est pas difficile, regardez les informations dans un manuel ou sur Internet. Vous ne rencontrerez pas de gros problèmes avec la factorisation des nombres présents dans les fractions du cours scolaire.

Formellement, le principe de réduction peut s'écrire comme suit :

La troisième approche.

Voici le plus intéressant pour les avancés et ceux qui veulent le devenir. Réduire la fraction 143/273. Essayez-le vous-même ! Alors comment ça s'est passé rapidement ? Regardez maintenant !

On le retourne (on échange le numérateur et le dénominateur). Divisez la fraction résultante avec un coin et convertissez-la en un nombre mixte, c'est-à-dire sélectionnez la partie entière :

C'est déjà plus facile. On voit que le numérateur et le dénominateur peuvent être annulés par 13 :

Et maintenant, n'oubliez pas de retourner la fraction, notons toute la chaîne:

Vérifié - cela prend moins de temps que de rechercher et de vérifier les diviseurs. Revenons à nos deux exemples :

D'abord. Diviser avec un coin (pas sur une calculatrice), on obtient :

Cette fraction est plus simple, bien sûr, mais il y a encore un problème avec la réduction. Maintenant, nous analysons séparément la fraction 1273/1463, la retournons :

C'est déjà plus facile ici. On peut considérer un tel diviseur comme 19. Le reste ne rentre pas, on peut le voir : 190 : 19 = 10, 1273 : 19 = 67. Hourra ! Écrivons :

Exemple suivant. Raccourcissons 88179/2717.

Divisé, on obtient :

Séparément, nous analysons la fraction 1235/2717, la retournons :

Nous pouvons considérer un tel diviseur comme 13 (jusqu'à 13 ne conviennent pas):

Numérateur 247 : 13 = 19 Dénominateur 1235 : 13 = 95

* Au passage, nous avons vu un autre diviseur égal à 19. Il s'avère que :

Maintenant, nous écrivons le numéro d'origine :

Et peu importe ce qui sera plus dans la fraction - le numérateur ou le dénominateur, si le dénominateur, alors nous le retournons et agissons comme décrit. Ainsi, nous pouvons réduire n'importe quelle fraction, la troisième approche peut être qualifiée d'universelle.

Bien entendu, les deux exemples évoqués ci-dessus ne sont pas des exemples faciles. Essayons cette technologie sur les fractions "simples" que nous avons déjà considérées :

Deux quarts.

Soixante-douze années soixante. Le numérateur est supérieur au dénominateur, vous n'avez pas besoin de le retourner :

Bien entendu, la troisième approche a été appliquée à ces exemples simples juste comme alternative. La méthode, comme déjà mentionné, est universelle, mais pas pratique et correcte pour toutes les fractions, cela s'applique particulièrement aux simples.

La variété des fractions est grande. Il est important que vous appreniez exactement les principes. Il n'y a tout simplement pas de règle stricte pour travailler avec des fractions. Nous avons regardé, compris comment il est plus pratique d'agir et d'aller de l'avant. Avec de la pratique, vous obtiendrez la compétence et vous cliquerez dessus comme des graines.

Sortir:

Si vous voyez un (des) diviseur (s) commun (s) pour le numérateur et le dénominateur, utilisez-les pour réduire.

Si vous savez comment factoriser rapidement un nombre, développez le numérateur et le dénominateur, puis réduisez.

Si vous ne pouvez en aucun cas déterminer le diviseur commun, utilisez la troisième approche.

* Pour réduire des fractions, il est important d'apprendre les principes de la réduction, de comprendre la propriété de base d'une fraction, de connaître les approches de la solution, d'être extrêmement prudent dans les calculs.

Et rappelez-vous! Il est d'usage de réduire une fraction jusqu'au stop, c'est-à-dire de la réduire tant qu'il y a un diviseur commun.

Meilleures salutations, Alexandre Krutitskikh.