Une expression entière est une expression mathématique composée de nombres et de variables alphabétiques à travers les actions d'addition, de soustraction et de multiplication. En outre, il comprend également des expressions qui sont dans leur composition une division dans n'importe quel nombre autre que zéro.

Le concept d'expression rationnelle fractionnelle

L'expression fractionnée est une expression mathématique, qui en plus de l'action d'addition, de soustraction et de multiplication, fabriquées avec des nombres et des variables de lettrage, ainsi que des divisions sur un nombre, non égales à zéro, contient également une division sur les expressions avec des variables de lettrage.

Les expressions rationnelles sont toutes des expressions entières et fractionnaires. Équations rationnelles - Ce sont des équations dont les parties gauche et droite sont des expressions rationnelles. Si dans l'équation rationnelle, les parties gauche et droite seront des expressions entières, une telle équation rationnelle est appelée entière.

Si dans l'équation rationnelle, la partie gauche ou droite sera des expressions fractionnaires, une telle équation rationnelle est appelée fractionnelle.

Exemples d'expressions rationnelles fractionnaires

1. x-3 / x \u003d -6 * x + 19

2. (x - 4) / (2 * x + 5) \u003d (x + 7) / (x-2)

3. (x - 3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5))

Schéma de résolution d'une équation rationnelle fractionnée

1. Trouvez un dénominateur général de toutes les fractions incluses dans l'équation.

2. Multipliez les deux parties de l'équation sur le dénominateur général.

3. Résolvez l'équation entière résultante.

4. Vérifiez les racines et excluez celles d'entre elles qui se transforment en zéro un dénominateur commun.

Puisque nous résolvons des équations rationnelles fractionnaires, les dénominateurs seront des variables. Donc, ils seront dans un dénominateur commun. Et dans le deuxième paragraphe de l'algorithme, nous nous multiplions sur un dénominateur commun, puis des racines superflues peuvent apparaître. Dans lequel le dénominateur général sera égal à zéro et que la multiplication est donc sans signification. Par conséquent, à la fin, assurez-vous de vérifier les racines reçues.

Considérons un exemple:

Résolvez une équation rationnelle fractionnée: (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5)).

Nous allons adhérer à régime général: Trouvez au début le dénominateur général de toutes les fractions. Nous obtenons x * (x-5).

Multipliez chaque fraction sur le dénominateur général et écrivez l'équation entière résultante.

(x-3) / (x-5) * (x * (x-5)) \u003d x * (x + 3);
1 / x * (x * (x-5)) \u003d (x-5);
(x + 5) / (x * (x-5)) * (x * (x-5)) \u003d (x + 5);
x * (x + 3) + (x-5) \u003d (x + 5);

Nous simplifions l'équation résultante. On a:

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 \u003d 0;
x ^ 2 + 3 * x-10 \u003d 0;

Reçu une équation carrée simple. Résoudre tout méthodes célèbresNous obtenons les racines x \u003d -2 et x \u003d 5.

Maintenant, nous effectuons la vérification des solutions obtenues:

Nous substituons le nombre -2 et 5 au dénominateur général. A x \u003d -2, le dénominateur total x * (x-5) ne s'applique pas à zéro, -2 * (- 2-5) \u003d 14. Donc, le nombre -2 sera la racine de l'équation rationnelle fractionnée initiale.

A x \u003d 5, le dénominateur total x * (x-5) devient zéro. Par conséquent, ce nombre n'est pas la racine de l'équation rationnelle fractionnée originale, car il y aura une division à zéro.

Nous avons déjà appris à résoudre des équations carrées. Maintenant, nous répandons les méthodes étudiées pour des équations rationnelles.

Qu'est-ce qu'une expression rationnelle? Nous avons déjà rencontré ce concept. Expressions rationnelles Ils s'appellent des expressions composées de chiffres, de variables, de leurs degrés et de leurs signes d'actions mathématiques.

En conséquence, les équations rationnelles sont appelées les équations de la forme: où - expressions rationnelles.

Auparavant, nous n'avons considéré que ces équations rationnelles réduites à la linéaire. Maintenant, considérons les deux équations rationnelles réduites et carrées.

Exemple 1.

Résoudre l'équation :.

Décision:

La fraction est 0 si et uniquement si son numérateur est 0, et le dénominateur n'est pas égal à 0.

Nous obtenons le système suivant:

La première équation du système est une équation carrée. Avant de décider de décider, nous divisons tous ses coefficients par 3. Recevez:

Nous avons deux racines:; .

Depuis 2 n'est jamais égal à 0, il est nécessaire que deux conditions soient effectuées: . Étant donné qu'aucune de l'équation, l'équation obtenue ci-dessus ne coïncide avec les valeurs inacceptables de la variable, qui s'est révélée pour résoudre la deuxième inégalité, elles sont à la fois des solutions de cette équation.

Répondre:.

Alors, formulons l'algorithme pour résoudre des équations rationnelles:

1. Transférer tous les termes dans la partie gauche afin que dans la partie droite, il s'avère 0.

2. Transformez et simplifiez la partie gauche, apportez toutes les fractions à dénominateur commun.

3. La fraction résultante pour assimiler à 0, selon l'algorithme suivant: .

4. Notez les racines qui se sont avérées dans la première équation et répondent à la deuxième inégalité, en réponse.

Considérons un autre exemple.

Exemple 2.

Résoudre l'équation :.

Décision

Au tout début, nous reporterons tous les composants du côté gauche afin que le droit reste 0. Nous obtenons:

Nous allons maintenant donner la partie gauche de l'équation au dénominateur général:

Cette équation est équivalente au système:

La première équation du système est une équation carrée.

Les coefficients de cette équation :. Calculer discriminant:

Nous avons deux racines:; .

Maintenant, nous résolvons la deuxième inégalité: le produit des multiplicateurs n'est pas 0 si et seulement si aucun des facteurs n'est égal à 0.

Il est nécessaire que deux conditions soient effectuées: . Nous obtenons cela des deux racines de la première équation seulement une - 3 appropriée.

Répondre:.

Dans cette leçon, nous nous sommes rappelés qu'une telle expression rationnelle et a également appris à résoudre les équations rationnelles réduites à des équations carrées.

Dans la prochaine leçon, nous examinerons des équations rationnelles comme modèle de situations réelles, ainsi que de considérer les tâches de mouvement.

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3. Rudocs.exdat.com ().

Devoirs

Nous continuons la conversation pro résoudre les équations. Dans cet article, nous nous concentrerons en détail sur Équations rationnelles et les principes de résoudre des équations rationnelles avec une variable. Nous comprendrons d'abord les équations dont les types sont appelés rationnels, nous donnerons la définition de l'ensemble des équations rationnelles rationnelles et fractionnaires, nous donnons des exemples. Ensuite, nous obtenons les algorithmes pour résoudre des équations rationnelles et, bien sûr, envisagez des solutions d'exemples caractéristiques avec toutes les explications nécessaires.

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Décapage des définitions exprimées, nous présentons plusieurs exemples d'équations rationnelles. Par exemple, x \u003d 1, 2 · x-12 · x 2 · y · z 3 \u003d 0, - ce sont toutes des équations rationnelles.

Des exemples ont montré que des équations rationnelles, comme cependant, et les équations d'autres espèces peuvent être à la fois avec une variable et avec deux, trois, etc. variables. Dans les paragraphes suivants, nous parlerons de résoudre des équations rationnelles avec une variable. Solution d'équations avec deux variables Et leur grand nombre mérite une attention particulière.

Outre la division des équations rationnelles par le nombre de variables inconnues, elles sont toujours divisées en entiers et fractionnaires. Donnons les définitions appropriées.

Définition.

L'équation rationnelle est appelée entierSi la gauche, et ses bonnes parties sont des expressions rationnelles entières.

Définition.

Si au moins une des parties de l'équation rationnelle est une expression fractionnaire, une telle équation est appelée. fractionnellement rationnel (ou rationnel fractionnel).

Il est clair que les équations entières ne contiennent pas de division dans une variable, en revanche, les équations rationnelles fractionnaires contiennent nécessairement une division dans une variable (ou une variable dans le dénominateur). Donc 3 · x + 2 \u003d 0 et (x + y) · (3 · x 2 -1) + x \u003d -y + 0.5 - Ce sont des équations rationnelles entières, toutes deux sont des expressions entières. A et X: (5 · x 3 + Y 2) \u003d 3: (x - 1): 5 - Exemples d'équations rationnelles fractionnaires.

En complétant cet article, nous attirons l'attention sur le fait que les équations linéaires et les équations carrées connues à ce stade sont des équations rationnelles entier.

Résoudre les équations entières

L'une des principales approches de résolution des équations entières est leur réduction à l'équivalent Équations algébriques. Cela peut toujours être fait en effectuant les transformations équivalentes suivantes de l'équation:

• tout d'abord, l'expression du côté droit de l'équation entière d'origine est transférée au côté gauche avec en face familierobtenir zéro sur le côté droit;
• après cela, dans la partie gauche de l'équation, les espèces standard formées.

En conséquence, une équation algébrique est obtenue, ce qui équivaut à l'équation entière initiale. Donc, dans les cas les plus simples, la solution d'équations entières est réduite à la résolution des équations linéaires ou carrées, et dans général - résoudre l'équation algébrique de degré n. Pour plus de clarté, nous analyserons la solution de l'exemple.

Exemple.

Trouvez les racines de toute l'équation 3 · (x + 1) · (x-3) \u003d x · (2 \u200b\u200b· x-1) -3.

Décision.

Nous réduisons toute cette équation pour résoudre l'équation algébrique équivalente. Pour cela, d'abord, nous transférons l'expression du côté droit à gauche, par conséquent, nous arrivons à l'équation 3 · (x + 1) · (x-3) -x · (2 \u200b\u200b· x - 1) + 3 \u003d 0. Et, deuxièmement, nous transformons l'expression formée dans le côté gauche dans le polynôme du type standard en effectuant le nécessaire: 3 · (x + 1) · (x-3) -x · (2 \u200b\u200b· x - 1) + 3 \u003d (3 · x + 3) · (x-3) -2 · x 2 + x + 3 \u003d 3 · x 2 -9 · x + 3 · x-9-2 · x 2 + x + 3 \u003d x 2 -5 · x-6. Ainsi, la solution de l'équation entière initiale est réduite à la solution équation carrée x 2 -5 · x-6 \u003d 0.

Calculez-le discriminant D \u003d (- 5) 2 -4 · 1 · (-6) \u003d 25 + 24 \u003d 49Il est positif, cela signifie que l'équation comporte deux racines valides qui trouvent la formule racines de l'équation carrée:

Pour une confiance totale, faites vérifiez les racines de l'équation. Tout d'abord, vérifiez la racine 6, nous le remplacons au lieu d'une variable X à l'équation entière d'origine: 3 · (6 + 1) · (6-3) \u003d 6 · (2 \u200b\u200b· 6-1) -3que la même chose est 63 \u003d 63. Il s'agit d'une égalité numérique fidèle, donc x \u003d 6 est en effet la racine de l'équation. Maintenant vérifier la racine -1, nous avons 3 · (-1 + 1) · (-1-3) \u003d (- 1) · (2 \u200b\u200b· (-1) -1) -3Où, 0 \u003d 0. A x \u003d -1, l'équation initiale a également fait appel à la bonne égalité numérique, donc x \u003d -1 est également la racine de l'équation.

Répondre:

6 , −1 .

Il convient également de noter ici qu'avec la représentation d'une équation entière sous la forme d'une équation algébrique, le terme "degré d'équation entière" est associé. Donnons la définition appropriée:

Définition.

Le degré d'équation entière Ils appellent le degré d'équivalent d'équation algébrique.

Selon cette définition, toute l'équation de l'exemple précédent a un deuxième degré.

Cela pourrait être complété avec la solution d'équations rationnelles entières si ce n'était pas .... Comme on le sait, la solution d'équations algébriques du degré au-dessus de la seconde est associée à des difficultés importantes et aux équations du degré au-dessus du quatrième, il n'y a pas de formule générale pour les racines. Par conséquent, pour résoudre la troisième, la quatrième équations et plus encore hautes degrés Souvent, vous devez recourir à d'autres méthodes de solutions.

Dans de tels cas, parfois une approche pour résoudre des équations rationnelles entières basées sur méthode de décomposition des multiplicateurs. Dans le même temps, adhérons à l'algorithme suivant:

• premièrement, il cherche que dans la partie droite de l'équation, il y a zéro, il est transféré à l'expression du côté droit de toute l'équation à gauche;
• ensuite, l'expression résultante du côté gauche est représentée comme produit de plusieurs multiplicateurs, ce qui permet de passer à l'agrégat de plusieurs équations plus simples.

L'algorithme ci-dessus pour résoudre une équation entière par la décomposition des multiplicateurs nécessite clarification détaillée Par example.

Exemple.

Décider de toute l'équation (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) \u003d 2 · x · (x 2 -10 · x + 13).

Décision.

Tout d'abord, comme d'habitude, nous transférons l'expression du côté droit à gauche de l'équation, sans oublier de changer le signe, nous obtenons (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 -10 · x + 13) \u003d 0. Il est évident qu'il n'est pas conseillé de convertir la partie gauche de l'équation obtenue en polynôme d'une espèce standard, car elle donnera une équation algébrique du quatrième degré de type de type x 4 -12 · x 3 + 32 · x 2 -16 · x-13 \u003d 0dont la solution est difficile.

D'autre part, il est évident que dans le côté gauche de l'équation obtenue, X 2 -10 · x + 13 peut être donné, la présentant ainsi comme un travail. Avoir (x 2 -10 · x + 13) · (x 2 -2 · x-1) \u003d 0. L'équation obtenue équivaut à l'équation entière d'origine, et elle peut à son tour être remplacée par une combinaison de deux équations carrées x 2 -10 · x + 13 \u003d 0 et x 2 -2 · x-1 \u003d 0. Trouver leurs racines selon les formules racines bien connues à travers le discriminant n'est pas difficile, les racines sont égales. Ce sont les racines souhaitées de l'équation source.

Répondre:

Pour résoudre des équations rationnelles entières est également utile méthode d'introduction d'une nouvelle variable. Dans certains cas, il vous permet de passer aux équations, dont le degré inférieur au degré d'équation entière initiale.

Exemple.

Trouvez les racines valides de l'équation rationnelle (x 2 + 3 · x + 1) 2 + 10 \u003d -2 -2 (x 2 + 3 · x-4).

Décision.

La réduction de cette équation rationnelle à l'équation algébrique est de la mettre légèrement la légère bonne idée, car dans ce cas, nous aurons la nécessité de résoudre l'équation du quatrième degré qui n'a pas de racines rationnelles. Par conséquent, vous devez rechercher une autre solution.

Il est facile de voir que vous pouvez entrer une nouvelle variable Y et remplacer l'expression x 2 + 3 · x. Un tel remplacement nous conduit à une équation entière (Y + 1) 2 + 10 \u003d -2 · (Y-4), qui, après avoir transféré l'expression -2 · (Y-4) à la partie gauche et la transformation ultérieure de La formation d'expression là-bas est réduite à l'équation carrée Y 2 + 4 · Y + 3 \u003d 0. Les racines de cette équation Y \u003d -1 et Y \u003d -3 sont facilement localisées, par exemple, elles peuvent être choisies sur la base du théorème, le théorème inverse de la Vieta.

Nous allons maintenant à la deuxième partie de l'introduction d'une nouvelle variable, c'est-à-dire pour effectuer un remplacement inversé. Après avoir effectué un remplacement, nous obtenons deux équations x 2 + 3 · x \u003d -1 et x 2 + 3 · x \u003d -3, qui peuvent être réécrites comme x 2 + 3 · x + 1 \u003d 0 et x 2 + 3 · x + 3 \u003d 0. Selon la formule racine de l'équation carrée, nous trouvons les racines de la première équation. Et la deuxième équation carrée n'a pas de racines valides, car son discriminant est négatif (D \u003d 3 2 -4 · 3 \u003d 9-12 \u003d -3).

Répondre:

En général, lorsque nous traitons avec des équations entières de haut niveau, vous devriez toujours être préparé pour la recherche. méthode non standard ou réception artificielle pour les résoudre.

Décision d'équations rationnelles fractionnaires

Premièrement, il sera utile de déterminer comment résoudre les équations rationnelles fractionnellement de la forme, où p (x) et q (x) sont des expressions rationnelles entières. Et ensuite, nous montrerons comment réduire les équations rationnelles fractionnaires restantes pour résoudre les équations de l'espèce spécifiée.

Au cœur de l'une des approches de résolution de l'équation réside dans la déclaration suivante: la fraction numérique U / V, où v est différente du nombre zéro (sinon, nous allons rencontrer c, qui n'est pas défini) est zéro si et seulement si son Le chiffre est zéro, puis il y a, alors et seulement si u \u003d 0. En vertu de cette déclaration, la solution de l'équation est réduite à l'exécution de deux conditions P (x) \u003d 0 et q (x) ≠ 0.

Cette conclusion est la suivante algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnée . Pour résoudre une équation rationnelle fractionnée de l'espèce, il est nécessaire

• résoudre une équation rationnelle globale p (x) \u003d 0;
• et vérifiez si la condition Q (x) ≠ 0 est effectuée pour chaque racine trouvée, tandis que
• s'il est effectué, cette racine est la racine de l'équation d'origine;
• si ce n'est pas exécuté, cette racine est un étranger, c'est-à-dire que c'est la racine de l'équation d'origine.

Nous analyserons un exemple de l'application de l'algorithme exprimé dans la résolution d'une équation rationnelle fractionnée.

Exemple.

Trouvez les racines de l'équation.

Décision.

C'est une équation rationnelle fractionnée, avec l'espèce, où p (x) \u003d 3 · x-2, q (x) \u003d 5 · x 2 -2 \u003d 0.

Selon l'algorithme de résolution des équations rationnelles fractionnaires de cette espèce, nous avons d'abord besoin de résoudre l'équation 3 · x-2 \u003d 0. il Équation linéaire, dont la racine est x \u003d 2/3.

Il reste à vérifier cette racine, c'est-à-dire de vérifier si elle satisfait la condition 5 · x 2 -2 ≠ 0. Nous nous remplaçons dans l'expression 5 · x 2 -2 au lieu de x numéro 2/3, nous obtenons. La condition est faite, donc x \u003d 2/3 est la racine de l'équation source.

Répondre:

2/3 .

La solution d'une équation rationnelle fractionnée peut être approchée avec une position légèrement différente. Cette équation est équivalente à une équation entière P (x) \u003d 0 sur la variable X de l'équation initiale. C'est-à-dire que vous pouvez coller à cette algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnée :

• résoudre l'équation p (x) \u003d 0;
• trouver une variable otz x;
• prenez des racines appartenant à la zone de valeurs admissibles - ce sont les racines souhaitées de l'équation rationnelle fractionnée originale.

Par exemple, résoudre une équation rationnelle fractionnée pour cet algorithme.

Exemple.

Décider de l'équation.

Décision.

Tout d'abord, nous résolvons l'équation carrée x 2 -2 · x-11 \u003d 0. Ses racines peuvent être calculées à l'aide de la formule racine pour un deuxième coefficient, nous avons D 1 \u003d (- 1) 2 -1 · (-11) \u003d 12, et.

Deuxièmement, nous trouvons Otz variable X pour l'équation source. Ses tous les nombres pour lesquels x 2 + 3 · x 0, qui est le même x · (x + 3) ≠ 0, où x 0, x ≠ -3.

Il reste à vérifier si les racines trouvées dans la première étape de OTZ. Évidemment oui. Par conséquent, l'équation rationnelle fractionnée initiale a deux racines.

Répondre:

Nous notons que cette approche est plus rentable pour la première, si elle est facilement connectée, et particulièrement rentable si les racines de l'équation P (x) \u003d 0 irrationnelle, par exemple, ou rationnelle, mais avec un chiffrer assez grand et / ou Dénominateur, par exemple, 127/1101 et -31/59. Cela est dû au fait que, dans de tels cas, la vérification de la condition Q (x) ≠ 0 nécessitera des efforts de calcul importants, et il est plus facile d'exclure les racines étrangères selon ...

Dans d'autres cas, lors de la résolution de l'équation, en particulier lorsque les racines de l'équation P (x) \u003d 0 sont entières, il est plus rentable d'utiliser le premier des algorithmes ci-dessus. C'est-à-dire qu'il est conseillé de trouver immédiatement les racines de l'équation entière P (x) \u003d 0, après quoi il est nécessaire de vérifier si la condition Q (x) ≠ 0 est effectuée pour eux et ne pas trouver ... Après quoi il est possible de résoudre l'équation p (x) \u003d 0 sur cet impair. Cela est dû au fait que dans de tels cas, c'est généralement une inspection plus facile que de trouver OTZ.

Considérez la solution de deux exemples pour illustrer les nuances spécifiées.

Exemple.

Trouvez les racines de l'équation.

Décision.

Nous trouverons les racines de toute l'équation (2 · x - 1) · (x-6) · (x 2 -5 · x + 14) · (x + 1) \u003d 0compilé à l'aide d'un numérateur fractionnaire. Partie gauche Cette équation est un produit et la droite zéro, par conséquent, selon la méthode de résolution des équations par la décomposition des multiplicateurs, cette équation équivaut à la totalité de quatre équations 2 · x-1 \u003d 0, x-6 \u003d 0 , x 2 -5 · x + 14 \u003d 0, x + 1 \u003d 0. Trois de ces équations sont linéaires et une carrées, nous pouvons les résoudre. De la première équation, nous trouvons x \u003d 1/2, à partir du second - x \u003d 6, à partir du troisième - x \u003d 7 \u003d \u003d -2, du quatrième - x \u003d -1.

Avec des racines trouvées, il est assez facile d'accomplir leur vérification sur le fait de savoir si le dénominateur de la fraction dans la partie gauche de l'équation d'origine ne se transformait pas en zéro, mais il n'est pas si facile de déterminer l'OTZ, car elle avoir à résoudre une cinquième équation algébrique. Par conséquent, nous refuserons de trouver OTZ en faveur de la vérification des racines. Pour cela, nous les substituons à son tour au lieu d'une variable x dans l'expression x 5 -15 · x 4 + 57 · x 3 -13 · x 2 + 26 · x + 112Annexé après la substitution et les comparer à zéro: (1/2) 5 -15 · (1/2) 4 + 57 · (1/2) 3 -13 · (1/2) 2 + 26 · (1/2) + 112 \u003d 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 -15 · 6 4 + 57 · 6 3 -13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 \u003d 448≠0 ;
7 5 -15 · 7 4 + 57 · 7 3 -13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 \u003d 0;
(-2) 5 -15 · (-2) 4 + 57 · (-2) 3 -13 · (-2) 2 + 26 · (-2) + 112 \u003d -720 ≠ 0;
(-1) 5 -15 · (-1) 4 + 57 · (-1) 3 -13 · (-1) 2 + 26 · (-1) + 112 \u003d 0.

Ainsi, 1/2, 6 et -2 sont les racines souhaitées de l'équation rationnelle fractionnée initiale, et 7 et -1 sont des racines superflues.

Répondre:

1/2 , 6 , −2 .

Exemple.

Trouvez la racine d'une équation rationnelle fractionnaire.

Décision.

Nous trouverons les racines de l'équation (5 · x 2 -7 · x - 1) · (x-2) \u003d 0. Cette équation équivaut à la totalité de deux équations: carré 5 · x 2 -7 · x-1 \u003d 0 et linéaire x-2 \u003d 0. Selon la formule racine de l'équation carrée, nous trouvons deux racines et de la deuxième équation que nous avons x \u003d 2.

Vérifiez si le dénominateur n'apparaît pas aux valeurs trouvées de x, assez désagréable. Et pour déterminer la zone de valeurs admissibles de la variable X dans l'équation source est assez simple. Par conséquent, nous agirons par OTZ.

Dans notre cas, la variable OTZ X de l'équation rationnelle fractionnée initiale est tous des chiffres, à l'exception de ceux pour lesquels la condition X 2 + 5 · X-14 \u003d 0 est satisfaite. Les racines de cette équation carrée sont X \u003d -7 et X \u003d 2, d'où nous concluons une conclusion sur l'OTZ: cela constitue tout ce que telle X.

Il reste à vérifier si les racines trouvées appartiennent aux zones trouvées et x \u003d 2 de valeurs admissibles. Les racines appartiennent donc aux racines de l'équation d'origine et x \u003d 2 - n'appartiennent donc pas à une racine étranger.

Répondre:

Il sera également plus utile de cesser de s'arrêter séparément lorsqu'une équation rationnelle fractionnée du spécificateur dans le numérateur est un nombre, c'est-à-dire lorsque P (x) est représenté par n'importe quel nombre. Où

• si ce numéro est différent de zéro, l'équation n'a pas de racines, car la fraction est zéro si et uniquement si son numérateur est égal à zéro;
• s'il s'agit d'un certain nombre de zéro, l'équation est la racine de l'équation est un nombre quelconque d'OTZ.

Exemple.

Décision.

Étant donné que dans le numérateur de la fraction, qui est situé sur le côté gauche de l'équation, différent du nombre zéro, puis à la manière dont x la valeur de cette fraction ne peut pas être nulle. Par conséquent, cette équation n'a pas de racines.

Répondre:

pas de racines.

Exemple.

Décider de l'équation.

Décision.

Dans le numérateur de la fraction, situé sur le côté gauche de cette équation rationnelle fractionnée, est zéro, de sorte que la valeur de cette fraction est égale à zéro pour tout X, dans lequel il est logique. En d'autres termes, la solution de cette équation est une valeur de X de l'OTZ de cette variable.

Il reste à déterminer cette zone de valeurs admissibles. Il comprend toutes ces valeurs x, dans lesquelles x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Solutions d'équation x 4 + 5 · x 3 \u003d 0 sont 0 et -5, car cette équation équivaut à l'équation x 3 · (x + 5) \u003d 0, et est équivalente à la combinaison de deux équations x 3 \u003d 0 et x + 5 \u003d 0, d'où ces racines sont visibles. Par conséquent, la zone souhaitée de valeurs admissibles est n'importe quel X, sauf x \u003d 0 et x \u003d -5.

Ainsi, l'équation rationnelle fractionnée a infiniment de nombreuses solutions qui sont des chiffres, à l'exception de zéro et moins cinq.

Répondre:

Enfin, il était temps de parler de résoudre des équations rationnelles fractionnelles d'espèces arbitraires. Ils peuvent être écrits comme r (x) \u003d s (x), où R (x) et S (x) sont des expressions rationnelles et au moins une d'entre elles est fractionnaire. En ce qui concerne l'avenir, disons que leur décision est réduite à résoudre les équations du look de nous.

On sait que le transfert du terme d'une partie de l'équation à une autre avec le signe opposé entraîne une équation équivalente, de sorte que l'équation R (x) \u003d S (x) est équivalente à l'équation R (x). (x) \u003d 0.

Nous savons également que tout, identique égal à cette expression. Ainsi, l'expression rationnelle sur le côté gauche de l'équation R (x) -s (x) \u003d 0, nous pouvons toujours convertir en une fraction rationnelle égale identique de l'espèce.

Donc, de l'équation rationnelle fractionnée initiale Rationale R (x) \u003d S (x) se déplacent à l'équation et sa solution, comme nous l'avons découvert ci-dessus, réduit pour résoudre l'équation P (x) \u003d 0.

Mais ici, il est nécessaire de prendre en compte le fait que lors du remplacement de r (x) -s (x) \u003d 0 sur et d'autre sur p (x) \u003d 0, la région des valeurs admissibles de la variable x peut se produire.

Par conséquent, l'équation initiale R (x) \u003d S (x) et l'équation p (x) \u003d 0, à laquelle nous sommes venus, peuvent être noalisés et, après avoir résolu l'équation P (x) \u003d 0, nous pouvons obtenir des racines Ce sera étrangers les racines de l'équation initiale R (x) \u003d S (x). Il est possible d'identifier et non d'inclure des racines étrangères en réponse ou en effectuant un chèque ou en vérifiant leur appartenance de l'équation source OTZ.

Résumez cette information dans algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnée R (x) \u003d s (x). Pour résoudre l'équation rationnelle fractionnée R (x) \u003d s (x), il est nécessaire

• Obtenez sur la droite zéro en transférant l'expression du côté droit avec le signe opposé.
• Effectuez des étapes avec des fractions et des polynômes sur le côté gauche de l'équation, la convertissant ainsi en une fraction rationnelle de l'espèce.
• Résolvez l'équation p (x) \u003d 0.
• Identifier et exclure les racines étrangères, ce qui se fait en les substituant à l'équation initiale ou en vérifiant leur affiliation de l'équation source OTZ.

Pour plus de clarté, nous montrerons toute la chaîne de résoudre des équations rationnelles fractionnaires:
.

Considérons des solutions à plusieurs exemples avec une explication détaillée de la décision de la solution pour clarifier le bloc d'information.

Exemple.

Décider de l'équation rationnelle fractionnée.

Décision.

Nous agirons conformément à la solution obtenue par l'algorithme. Et d'abord, nous déplacons les composants du côté droit de l'équation à gauche, entraînant l'équation.

Dans la deuxième étape, nous devons convertir une expression rationnelle fractionnée sur le côté gauche de l'équation résultante au type de fraction. Pour ce faire, apportez les fractions rationnelles au dénominateur général et simplifiez l'expression obtenue :. Nous arrivons donc à l'équation.

Dans la prochaine étape, nous devons résoudre l'équation -2 · x-1 \u003d 0. Trouver x \u003d -1 / 2.

Il reste à vérifier si le nombre trouvé -1/2 par la racine étrangère de l'équation source est. Pour ce faire, vous pouvez vérifier ou trouver une variable OTZ X de l'équation source. Nous démontrerons les deux approches.

Commençons par le chèque. Nous nous remplaçons dans l'équation initiale au lieu de la variable x nombre -1/2, nous obtenons cela la même, -1 \u003d -1. La substitution donne la bonne égalité numérique, donc x \u003d -1 / 2 est la racine de l'équation d'origine.

Nous montrerons maintenant comment le dernier point de l'algorithme est effectué via OTZ. La zone de valeurs admissibles de l'équation source est l'ensemble de tous les nombres, en plus de -1 et 0 (avec x \u003d -1 et x \u003d 0, les dénominateurs de fractions sont appliqués à zéro). Trouvé à la racine de l'étape précédente x \u003d -1 / 2 appartient à OTZ, donc x \u003d -1 / 2 est la racine de l'équation d'origine.

Répondre:

−1/2 .

Considérer un exemple.

Exemple.

Trouvez les racines de l'équation.

Décision.

Nous devons résoudre une équation rationnelle fractionnée, nous allons passer toutes les étapes de l'algorithme.

Premièrement, nous portons le terme du côté droit à gauche, nous obtenons.

Deuxièmement, nous transformons l'expression formée au côté gauche :. En conséquence, nous arrivons à l'équation X \u003d 0.

Sa racine est évidente - c'est zéro.

À la quatrième étape, il reste à savoir si la racine trouvée n'est pas un étranger pour l'équation rationnelle fractionnée initiale. Avec sa substitution, une expression est obtenue dans l'équation initiale. De toute évidence, cela n'a pas de sens, car il contient une division à zéro. Où nous concluons que 0 est une racine étranger. Par conséquent, l'équation initiale n'a pas de racines.

7, ce qui conduit à l'équation. À partir de là, vous pouvez conclure que l'expression dans le dénominateur de la partie gauche devrait être égale au côté droit, c'est-à-dire. Nous allons maintenant déduire les trois premiers des deux parties :. Par analogie, d'où, puis.

Vérifiez que les deux racines trouvées sont des racines de l'équation rationnelle fractionnée d'origine.

Répondre:

Bibliographie.

• Algèbre: études. Pour 8 cl. enseignement général. Institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16ème éd. - M.: Enlightenment, 2008. - 271 p. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A. G. Algèbre. 8ème année. Dans 2 TSP. 1. Tutoriel pour les étudiants d'établissements d'enseignement général / A. Mordkovich. - 11ème éd., Ched. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: Il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algèbre: 9e année: études. Pour l'éducation générale. Institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16ème éd. - M.: Enlightenment, 2009. - 271 p. : Il. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Mettez simplement, ce sont des équations dans lesquelles il y en a au moins une avec une variable dans le dénominateur.

Par example:

\\ (\\ Frac (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ Frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ Frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Exemple ne pas Equations rationnelles fractionnaires:

\\ (\\ Frac (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ Frac (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Comment les équations rationnelles fractionnelles résistent-elles?

L'essentiel est que vous devez vous rappeler les équations rationnelles fractionnées - elles doivent écrire. Et après avoir trouvé les racines - assurez-vous de les vérifier pour la recevabilité. Sinon, des racines superflues peuvent apparaître et toute la décision sera considérée comme incorrecte.

Algorithme de résolution d'une équation rationnelle fractionnelle:

Notez et «décidez» Odz.

Multipliez chaque membre de l'équation sur le dénominateur général et réduisez les fractions résultantes. Les Dannels disparaîtront.

Enregistrez l'équation sans révéler les crochets.

Décider de l'équation obtenue.

Vérifiez les racines trouvées avec OTZ.

Enregistrez les racines en réponse, qui vérifiez à P.7.

L'algorithme ne mémorise pas, 3-5 équations résolues - et il se souviendra de lui-même.

Exemple . Décider de l'équation rationnelle fractionnaire \\ (\\ Frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Décision:

Répondre: \(3\).

Exemple . Trouvez les racines de l'équation rationnelle fractionnée \\ (\u003d 0 \\)

Décision:

Répondre: \\ (\\ Frac (1) (2) \\).

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