5.1. concept taille moyenne

Valeur moyenne - il s'agit d'un indicateur généralisant qui caractérise le niveau typique du phénomène. Il exprime la valeur de l'attribut, liée à l'unité de la population.

La moyenne généralise toujours la variation quantitative du trait, c'est-à-dire en valeurs moyennes, les différences individuelles dans les unités de la population dues à des circonstances aléatoires sont annulées. Contrairement à la moyenne valeur absolue, qui caractérise le niveau de l'attribut d'une unité distincte de la population, ne permet pas de comparer les valeurs de l'attribut pour des unités appartenant à des populations différentes. Ainsi, si vous devez comparer les niveaux de rémunération des travailleurs de deux entreprises, vous ne pouvez pas comparer deux salariés d'entreprises différentes sur cette base. Les salaires des travailleurs sélectionnés pour la comparaison peuvent ne pas être typiques de ces entreprises. Si nous comparons la taille des fonds salariaux dans les entreprises considérées, le nombre d'employés n'est pas pris en compte et, par conséquent, il est impossible de déterminer où le niveau des salaires est le plus élevé. En fin de compte, seules les moyennes peuvent être comparées, c'est-à-dire Combien gagne en moyenne un travailleur dans chaque entreprise ? Ainsi, il est nécessaire de calculer la valeur moyenne en tant que caractéristique généralisante de la population.

Le calcul de la moyenne est une technique de généralisation courante; l'indicateur moyen nie le général qui est typique (typique) pour toutes les unités de la population étudiée, en même temps il ignore les différences entre les unités individuelles. Dans tout phénomène et son développement, il y a une combinaison de hasard et de nécessité. Lors du calcul des moyennes, en raison du fonctionnement de la loi des grands nombres, le hasard s'annule, s'équilibre, de sorte que vous pouvez faire abstraction des caractéristiques insignifiantes du phénomène, des valeurs quantitatives de l'attribut dans chaque cas spécifique. Dans la capacité de faire abstraction du caractère aléatoire des valeurs individuelles, des fluctuations, réside la valeur scientifique des moyennes en tant que caractéristiques généralisantes des agrégats.

Pour que la moyenne soit vraiment typifiante, elle doit être calculée en tenant compte de certains principes.

Arrêtons-nous sur certains principes généraux l'utilisation de moyennes.
1. La moyenne doit être déterminée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes.
2. La moyenne doit être calculée pour une population composée de suffisamment un grand nombre unités.
3. La moyenne doit être calculée pour la population dont les unités sont dans un état naturel normal.
4. La moyenne doit être calculée en tenant compte du contenu économique de l'indicateur à l'étude.

5.2. Types de moyennes et méthodes pour les calculer

Considérons maintenant les types de moyennes, les caractéristiques de leur calcul et leurs domaines d'application. Les valeurs moyennes sont divisées en deux grandes classes : moyennes de puissance, moyennes structurelles.

POUR puissance moyenne incluent les types les plus célèbres et les plus couramment utilisés tels que la moyenne géométrique, la moyenne arithmétique et le carré moyen.

Comme moyennes structurelles le mode et la médiane sont considérés.

Arrêtons-nous sur les moyennes de puissance. Les moyennes de puissance, selon la présentation des données initiales, peuvent être simples et pondérées. moyenne simple est calculé à partir de données non groupées et a la forme générale suivante :

où X i est la variante (valeur) de la caractéristique moyennée ;

n est le nombre d'options.

Moyenne pondérée est calculé par données groupées et a une forme générale

,

où X i est la variante (valeur) de la caractéristique moyennée ou la valeur médiane de l'intervalle dans lequel la variante est mesurée ;
m est l'exposant de la moyenne ;
f i - fréquence montrant combien de fois cela se produit i-ième valeur signe moyen.

Donnons à titre d'exemple le calcul de l'âge moyen des élèves dans un groupe de 20 personnes :

Nous calculons l'âge moyen à l'aide de la formule moyenne simple :

Regroupons les données source. Avoir rangée suivante distributions :

À la suite du regroupement, nous obtenons un nouvel indicateur - la fréquence, indiquant le nombre d'étudiants âgés de X ans. Par conséquent, l'âge moyen des élèves du groupe sera calculé à l'aide de la formule moyenne pondérée :

Les formules générales de calcul des moyennes exponentielles ont un exposant (m). Selon la valeur qu'elle prend, on distingue les types de moyennes de puissance suivants :
moyenne harmonique si m = -1 ;
moyenne géométrique si m -> 0 ;
moyenne arithmétique si m = 1 ;
racine carrée moyenne si m = 2 ;
cubique moyen si m = 3.

Les formules de moyenne de puissance sont données dans le tableau. 4.4.

Si nous calculons tous les types de moyennes pour les mêmes données initiales, leurs valeurs ne seront pas les mêmes. Ici la règle de la majorance des moyennes s'applique : avec une augmentation de l'exposant m, la valeur moyenne correspondante augmente également :

Dans la pratique statistique, plus souvent que d'autres types de moyennes pondérées, des moyennes pondérées arithmétiques et harmoniques sont utilisées.

Tableau 5.1

Types de moyens de puissance

Type de puissance milieu	Indicateur degrés (m)	Formule de calcul
		Simple	pondéré
harmonique	-1
Géométrique	0
Arithmétique	1
quadratique	2
cubique	3

La moyenne harmonique a plus structure complexe que la moyenne arithmétique. La moyenne harmonique est utilisée pour les calculs lorsque les poids ne sont pas les unités de la population - les porteurs du trait, mais les produits de ces unités et les valeurs du trait (c'est-à-dire m = Xf). L'harmonique simple moyen doit être utilisé pour déterminer, par exemple, les coûts moyens de la main-d'œuvre, du temps, des matériaux par unité de production, par pièce pour deux (trois, quatre, etc.) entreprises, les travailleurs engagés dans la fabrication du même type de produit, la même pièce, produit.

La principale exigence de la formule de calcul de la valeur moyenne est que toutes les étapes du calcul aient une véritable justification significative; la moyenne résultante devrait remplacer valeurs individuelles un signe pour chaque objet sans rompre le lien entre les indicateurs individuels et synthétiques. En d'autres termes, la valeur moyenne doit être calculée de sorte que lorsque chaque valeur individuelle de l'indicateur moyenné est remplacée par sa valeur moyenne, un indicateur récapitulatif final reste inchangé, en relation ou d'une autre manière avec la moyenne . Ce résultat est appelé déterminer puisque la nature de sa relation avec les valeurs individuelles détermine la formule spécifique de calcul de la valeur moyenne. Montrons cette règle sur l'exemple de la moyenne géométrique.

Formule moyenne géométrique

le plus souvent utilisé lors du calcul de la valeur moyenne des valeurs relatives individuelles de la dynamique.

La moyenne géométrique est utilisée si une séquence de valeurs relatives en chaîne de la dynamique est donnée, indiquant, par exemple, une augmentation du volume de production par rapport au niveau de l'année précédente : i 1 , i 2 , i 3 , ..., dans . Il est clair que le volume de production l'année dernière est déterminé par son niveau initial (q 0) et sa croissance ultérieure au fil des ans :

q n =q 0 × je 1 × je 2 ×...×i n .

En prenant q n comme indicateur de définition et en remplaçant les valeurs individuelles des indicateurs de dynamique par des valeurs moyennes, nous arrivons à la relation

D'ici

5.3. Moyennes structurelles

Un type spécial de moyennes - les moyennes structurelles - est utilisé pour étudier structure interne série de distribution de valeurs caractéristiques, ainsi que pour estimer la valeur moyenne (type loi de puissance), si, selon les données statistiques disponibles, son calcul ne peut pas être effectué (par exemple, si dans l'exemple considéré, il n'y avait pas de données sur les deux le volume de production et le montant des coûts par groupes d'entreprises) .

Les indicateurs sont le plus souvent utilisés comme moyennes structurelles. mode - la valeur de caractéristique la plus fréquemment répétée - et médiane - la valeur d'une caractéristique qui divise la séquence ordonnée de ses valeurs en deux parties égales en nombre. En conséquence, dans la moitié des unités de population, la valeur de l'attribut ne dépasse pas le niveau médian et dans l'autre moitié, elle n'est pas inférieure à celui-ci.

Si la caractéristique étudiée a des valeurs discrètes, il n'y a alors aucune difficulté particulière à calculer le mode et la médiane. Si les données sur les valeurs de l'attribut X sont présentées sous la forme d'intervalles ordonnés de son changement (série d'intervalles), le calcul du mode et de la médiane devient un peu plus compliqué. Comme la valeur médiane divise l'ensemble de la population en deux parties égales en nombre, elle se retrouve dans l'un des intervalles de la caractéristique X. Par interpolation, la valeur médiane se trouve dans cet intervalle médian :

,

où X Me est la borne inférieure de l'intervalle médian ;
h Me est sa valeur ;
(Somme m) / 2 - la moitié de nombre total observations ou la moitié du volume de l'indicateur utilisé comme pondération dans les formules de calcul de la valeur moyenne (en termes absolus ou relatifs) ;
S Me-1 est la somme des observations (ou le volume de la caractéristique de pondération) cumulées avant le début de l'intervalle médian ;
m Me est le nombre d'observations ou le volume de la caractéristique de pondération dans l'intervalle médian (également en termes absolus ou relatifs).

Dans notre exemple, même trois valeurs médianes peuvent être obtenues - sur la base des signes du nombre d'entreprises, du volume de production et montant total coûts de production:

Ainsi, pour la moitié des entreprises, le coût d'une unité de production dépasse 125,19 mille roubles, la moitié du volume total de production est produite avec un niveau de coûts par produit de plus de 124,79 mille roubles. et 50% du coût total est formé au niveau du coût d'un produit supérieur à 125,07 mille roubles. Nous notons également qu'il existe une certaine tendance à la hausse des coûts, puisque Me 2 = 124,79 mille roubles, et le niveau moyen est de 123,15 mille roubles.

Lors du calcul de la valeur modale d'une caractéristique en fonction des données de la série d'intervalles, il faut faire attention au fait que les intervalles sont les mêmes, car l'indicateur de la fréquence des valeurs de caractéristique X en dépend. une série d'intervalles avec des intervalles égaux, la valeur de mode est déterminée comme

où X Mo est la valeur inférieure de l'intervalle modal ;
m Mo est le nombre d'observations ou le volume de la caractéristique de pondération dans l'intervalle modal (en termes absolus ou relatifs) ;
m Mo -1 - idem pour l'intervalle précédant le modal;
m Mo+1 - idem pour l'intervalle suivant le modal ;
h est la valeur de l'intervalle de changement du trait dans les groupes.

Pour notre exemple, trois valeurs modales peuvent être calculées en fonction des signes du nombre d'entreprises, du volume de production et du montant des coûts. Dans les trois cas, l'intervalle modal est le même, puisque pour le même intervalle, le nombre d'entreprises, le volume de production et le montant total des coûts de production s'avèrent être les plus importants :

Ainsi, les entreprises avec un niveau de coût de 126,75 mille roubles sont le plus souvent rencontrées, les produits avec un niveau de coût de 126,69 mille roubles sont le plus souvent produits, et le plus souvent les coûts de production s'expliquent par un niveau de coût de 123,73 mille roubles.

5.4. Indicateurs de variation

Les conditions spécifiques dans lesquelles se trouve chacun des objets étudiés, ainsi que les caractéristiques de leur propre développement(social, économique, etc.) sont exprimés par les niveaux numériques correspondants des indicateurs statistiques. De cette façon, variation, celles. écart entre les niveaux d'un même indicateur dans différents objets, a un caractère objectif et aide à comprendre l'essence du phénomène étudié.

Il existe plusieurs façons de mesurer la variation des statistiques.

Le plus simple est le calcul de l'indicateur variation de portée H comme différence entre les valeurs maximales (X max) et minimales (X min) observées du trait :

H=X max - X min .

Cependant, la plage de variation ne montre que les valeurs extrêmes du trait. La répétabilité des valeurs intermédiaires n'est pas prise en compte ici.

Les caractéristiques plus strictes sont des indicateurs de fluctuation par rapport au niveau moyen de l'attribut. L'indicateur le plus simple de ce type est écart linéaire moyen L comme moyenne valeur arithmétiqueécarts absolus d'un trait par rapport à son niveau moyen :

Lorsque vous répétez des valeurs individuelles de X, utilisez la formule moyenne arithmétique pondéré:

(Rappeler que somme algébrique l'écart par rapport à la moyenne est nul.)

L'indicateur de l'écart linéaire moyen trouvé application large sur la pratique. Avec son aide, par exemple, la composition des travailleurs, le rythme de production, l'uniformité de l'approvisionnement en matériaux sont analysés et des systèmes d'incitations matérielles sont développés. Mais, malheureusement, cet indicateur complique les calculs de type probabiliste, rend difficile l'application des méthodes de statistiques mathématiques. Par conséquent, en statistique recherche scientifique La mesure de variation la plus couramment utilisée est dispersion.

La variance de caractéristique (s 2) est déterminée sur la base de la moyenne de puissance quadratique :

.

Un exposant s égal à est appelé écart-type.

Dans la théorie générale des statistiques, l'indicateur de variance est une estimation de l'indicateur de la théorie des probabilités du même nom et (comme la somme des écarts au carré) une estimation de la variance en statistique mathématique, ce qui permet d'utiliser les dispositions de ces disciplines théoriques pour analyser les processus socio-économiques.

Si la variation est estimée à partir d'un petit nombre d'observations tirées d'une population générale illimitée, la valeur moyenne de la caractéristique est déterminée avec une certaine erreur. La valeur calculée de la dispersion semble décalée vers le bas. Pour obtenir une estimation sans biais, la variance de l'échantillon obtenue à partir des formules ci-dessus doit être multipliée par n / (n - 1). En conséquence, avec un petit nombre d'observations (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Habituellement déjà à n > (15÷20) l'écart entre les estimations biaisées et non biaisées devient insignifiant. Pour la même raison, le biais n'est généralement pas pris en compte dans la formule d'addition des variances.

Si plusieurs échantillons sont prélevés dans la population générale et qu'à chaque fois la valeur moyenne de l'attribut est déterminée, alors se pose le problème de l'estimation de la variabilité des moyennes. Estimer la variance valeur moyenne peut également être basé sur un seul échantillon d'observation selon la formule

,

où n est la taille de l'échantillon ; s 2 est la variance de la caractéristique calculée à partir des données d'échantillon.

Évaluer est appelé erreur d'échantillonnage moyenne et est une caractéristique de l'écart de la valeur moyenne de l'échantillon de la caractéristique X par rapport à sa vraie valeur moyenne. L'indicateur d'erreur moyenne est utilisé pour évaluer la fiabilité des résultats de l'observation de l'échantillon.

Indicateurs de dispersion relative. Pour caractériser la mesure de fluctuation du trait étudié, les indicateurs de fluctuation sont calculés en termes relatifs. Ils permettent de comparer la nature de la dispersion dans différentes distributions (différentes unités d'observation d'un même trait dans deux populations, avec différentes valeurs moyennes, lorsque l'on compare des populations hétérogènes). Le calcul des indicateurs de mesure de la dispersion relative est effectué comme le rapport de l'indice de dispersion absolu à la moyenne arithmétique, multiplié par 100 %.

1. Coefficient d'oscillation reflète la fluctuation relative des valeurs extrêmes du trait autour de la moyenne

.

2. L'arrêt linéaire relatif caractérise la part de la valeur moyenne du signe des écarts absolus par rapport à la valeur moyenne

.

3. Coefficient de variation :

est la mesure de variance la plus couramment utilisée pour évaluer la typicité des moyennes.

Dans les statistiques, les populations avec un coefficient de variation supérieur à 30-35% sont considérées comme hétérogènes.

Cette méthode d'estimation de la variation présente également un inconvénient important. En effet, supposons, par exemple, que l'ensemble initial de travailleurs ayant une ancienneté moyenne de 15 ans, avec un écart-type s = 10 ans, soit « vieilli » de 15 ans supplémentaires. Maintenant = 30 ans, et l'écart-type est toujours de 10. La population auparavant hétérogène (10/15 × 100 = 66,7 %), s'avère donc assez homogène dans le temps (10/30 × 100 = 33,3 %).

Boyarsky A.Ya. Recherche théorique sur les statistiques : Sat. Scientifique Actes.- M.: Statistiques, 1974. p. 19–57.

La propriété la plus importante de la moyenne est qu'elle reflète le commun inhérent à toutes les unités de la population étudiée. Les valeurs de l'attribut des unités individuelles de la population varient sous l'influence de nombreux facteurs, parmi lesquels il peut y avoir des facteurs de base et aléatoires. L'essence de la moyenne réside dans le fait qu'elle compense les écarts des valeurs de l'attribut, dues à l'action de facteurs aléatoires, et accumule (prend en compte) les changements provoqués par l'action du principal les facteurs. Cela permet à la moyenne de refléter le niveau typique de l'attribut et de faire abstraction des caractéristiques individuelles inhérentes aux unités individuelles.

Pour que la moyenne soit vraiment typifiante, elle doit être calculée en tenant compte de certains principes.

Principes de base pour l'utilisation des moyennes.

1. La moyenne doit être déterminée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes.

2. La moyenne doit être calculée pour une population constituée d'un nombre suffisamment important d'unités.

3. La moyenne doit être calculée pour la population dans des conditions stationnaires (lorsque les facteurs d'influence ne changent pas ou ne changent pas de manière significative).

4. La moyenne doit être calculée en tenant compte du contenu économique de l'indicateur à l'étude.

Le calcul des indicateurs statistiques les plus spécifiques repose sur l'utilisation de :

agrégat moyen ;

puissance moyenne (harmonique, géométrique, arithmétique, quadratique, cubique);

moyenne chronologique (voir section).

Toutes les moyennes, à l'exception de la moyenne globale, peuvent être calculées en deux versions - pondérées ou non pondérées.

Agrégat moyen. La formule utilisée est :

où Wi= x je* Fi;

x je- i-ème option signe moyen ;

Fi, - poids je- ème option.

Degré moyen. DANS vue générale formule de calcul :

où degré k- un type de puissance moyenne.

Les valeurs des moyennes calculées sur la base des exposants moyens pour les mêmes données initiales ne sont pas les mêmes. Avec une augmentation de l'exposant k, la valeur moyenne correspondante augmente également :

Chronologique moyen. Pour une série dynamique momentanée avec des intervalles égaux entre les dates, il est calculé par la formule :

,

où x1 Et Xn valeur de l'indicateur pour la date de début et de fin.

Formules de calcul des moyennes de puissance

Exemple. Selon le tableau. 2.1, il est nécessaire de calculer le salaire moyen en général pour trois entreprises.

Tableau 2.1

Salaire des entreprises AO

spécifique formule de calcul dépend de quelle table de données. 7 sont d'origine. Ainsi, les options suivantes sont possibles : données des colonnes 1 (nombre de PPP) et 2 (masse salariale mensuelle) ; ou - 1 (nombre de PPP) et 3 (appel d'offres moyen) ; ou 2 (masse salariale mensuelle) et 3 (salaire moyen).

S'il n'y a que des données pour les colonnes 1 et 2. Les résultats de ces graphiques contiennent les valeurs nécessaires au calcul de la moyenne souhaitée. La formule de l'agrégat moyen est utilisée :

S'il n'y a que des données pour les colonnes 1 et 3, alors le dénominateur du ratio original est connu, mais son numérateur n'est pas connu. Cependant, la masse salariale peut être obtenue en multipliant le salaire moyen par le nombre de RCR. Par conséquent, la moyenne globale peut être calculée à l'aide de la formule moyenne arithmétique pondérée:

Il faut tenir compte du fait que le poids ( Fi) peut dans certains cas être un produit de deux ou même trois valeurs.

En outre, la moyenne est également utilisée dans la pratique statistique. arithmétique non pondérée:

où n est le volume de la population.

Cette moyenne est utilisée lorsque les poids ( Fi) sont absents (chaque variante du trait n'apparaît qu'une seule fois) ou sont égaux entre eux.

S'il n'y a que des données pour les colonnes 2 et 3., c'est-à-dire que le numérateur du rapport original est connu, mais son dénominateur n'est pas connu. Le nombre de PPP de chaque entreprise peut être obtenu en divisant la masse salariale par le salaire moyen. Ensuite, le calcul du salaire moyen pour les trois entreprises dans leur ensemble est effectué selon la formule harmonique moyenne pondérée:

Si les poids sont égaux ( Fi) le calcul de l'indicateur moyen peut être fait selon harmonique moyenne non pondérée :

Dans notre exemple, nous avons utilisé différentes formes moyenne, mais a reçu la même réponse. Cela est dû au fait que pour des données spécifiques, le même ratio initial de la moyenne a été mis en œuvre à chaque fois.

Les moyennes peuvent être calculées à l'aide de séries de variations discrètes et d'intervalles. Dans ce cas, le calcul est effectué selon la moyenne pondérée arithmétique. Pour une série discrète, cette formule est utilisée de la même manière que dans l'exemple ci-dessus. Dans la série d'intervalles, les points médians des intervalles sont déterminés pour le calcul.

Exemple. Selon le tableau. 2.2 déterminer la valeur du revenu monétaire moyen par habitant et par mois dans une région conditionnelle.

Tableau 2.2

Données initiales (série de variation)

Afin de trouver la valeur moyenne dans Excel (que ce soit une valeur numérique, textuelle, en pourcentage ou autre), il existe de nombreuses fonctions. Et chacun d'eux a ses propres caractéristiques et avantages. Après tout, certaines conditions peuvent être définies dans cette tâche.

Par exemple, les valeurs moyennes d'une série de nombres dans Excel sont calculées à l'aide de fonctions statistiques. Vous pouvez également entrer manuellement votre propre formule. Considérons différentes options.

Comment trouver la moyenne arithmétique des nombres ?

Pour trouver la moyenne arithmétique, vous additionnez tous les nombres de l'ensemble et divisez la somme par le nombre. Par exemple, les notes d'un étudiant en informatique : 3, 4, 3, 5, 5. Ce qui vaut pour un trimestre : 4. Nous avons trouvé la moyenne arithmétique en utilisant la formule : \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Comment le faire rapidement en utilisant les fonctions d'Excel ? Prenons, par exemple, la série nombres aléatoires en ligne:

Ou : activez la cellule et saisissez simplement manuellement la formule : =MOYENNE(A1:A8).

Voyons maintenant ce que la fonction MOYENNE peut faire d'autre.

Trouvez la moyenne arithmétique des deux premiers et des trois derniers nombres. Formule : =MOYENNE(A1:B1;F1:H1). Résultat:

Moyenne par condition

La condition pour trouver la moyenne arithmétique peut être un critère numérique ou textuel. Nous utiliserons la fonction : =AVERAGEIF().

Trouvez la moyenne arithmétique des nombres supérieurs ou égaux à 10.

Fonction : =MOYENNESI(A1:A8,">=10")

Le troisième argument - "Plage de moyenne" - est omis. Tout d'abord, ce n'est pas obligatoire. Deuxièmement, la plage analysée par le programme contient UNIQUEMENT valeurs numériques. Dans les cellules spécifiées dans le premier argument, la recherche sera effectuée selon la condition spécifiée dans le deuxième argument.

Attention! Le critère de recherche peut être spécifié dans une cellule. Et dans la formule d'y faire référence.

Trouvons la valeur moyenne des nombres par le critère du texte. Par exemple, les ventes moyennes du produit "tables".

La fonction ressemblera à ceci : =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Gamme - une colonne avec des noms de produits. Le critère de recherche est un lien vers une cellule avec le mot "tables" (vous pouvez insérer le mot "tables" à la place du lien A7). Plage de moyenne - les cellules à partir desquelles les données seront extraites pour calculer la valeur moyenne.

À la suite du calcul de la fonction, nous obtenons la valeur suivante :

Attention! Pour un critère de texte (condition), la plage de moyenne doit être spécifiée.

Comment calculer le prix moyen pondéré dans Excel ?

Comment connaître le prix moyen pondéré ?

Formule : =SOMMEPROD(C2:C12,B2:B12)/SOMME(C2:C12).

En utilisant la formule SOMMEPROD, nous découvrons le revenu total après la vente de la quantité totale de marchandises. Et la fonction SOMME - résume la quantité de marchandises. En divisant le revenu total de la vente de biens par le nombre total d'unités de biens, nous avons trouvé le prix moyen pondéré. Cet indicateur prend en compte le "poids" de chaque prix. Sa part dans la masse totale des valeurs.

Écart type : formule dans Excel

Distinguer l'écart-type pour la population générale et pour l'échantillon. Dans le premier cas, c'est la racine de écart général. Dans le second, à partir de la variance de l'échantillon.

Pour calculer cet indicateur statistique, une formule de dispersion est établie. La racine en est extraite. Mais dans Excel, il existe une fonction prête à l'emploi pour trouver l'écart type.

L'écart type est lié à l'échelle des données sources. Ceci n'est pas suffisant pour une représentation figurative de la variation de la gamme analysée. Pour obtenir le niveau relatif de dispersion dans les données, le coefficient de variation est calculé :

écart type / moyenne arithmétique

La formule dans Excel ressemble à ceci :

STDEV (plage de valeurs) / AVERAGE (plage de valeurs).

Le coefficient de variation est calculé en pourcentage. Par conséquent, nous définissons le format de pourcentage dans la cellule.

Les signes des unités d'agrégats statistiques ont une signification différente, par exemple, les salaires des travailleurs d'une profession d'une entreprise ne sont pas les mêmes pour la même période, les prix du marché pour les mêmes produits sont différents, les rendements des cultures dans les exploitations de la région, etc... Par conséquent, afin de déterminer la valeur d'une caractéristique caractéristique de l'ensemble de la population d'unités étudiées, des valeurs moyennes sont calculées.
valeur moyenne – c'est une caractéristique généralisante de l'ensemble des valeurs individuelles d'un trait quantitatif.

La population étudiée par un attribut quantitatif est constituée de valeurs individuelles ; ils sont influencés comme causes communes et conditions individuelles. Dans la valeur moyenne, les écarts caractéristiques des valeurs individuelles sont annulés. La moyenne, étant fonction d'un ensemble de valeurs individuelles, représente l'ensemble entier avec une valeur et reflète la chose commune qui est inhérente à toutes ses unités.

La moyenne calculée pour des populations composées d'unités qualitativement homogènes est appelée moyenne typique. Par exemple, vous pouvez calculer le salaire mensuel moyen d'un employé de l'un ou l'autre groupe professionnel (mineur, médecin, bibliothécaire). Bien sûr, les niveaux des salaires mensuels des mineurs, en raison de la différence de leurs qualifications, de leur durée de service, des heures travaillées par mois et de nombreux autres facteurs, diffèrent les uns des autres et du niveau des salaires moyens. Cependant, le niveau moyen reflète les principaux facteurs qui affectent le niveau des salaires et compensent mutuellement les différences dues aux caractéristiques individuelles de l'employé. Le salaire moyen reflète le niveau de salaire typique pour ce type de travailleur. L'obtention d'une moyenne type doit être précédée d'une analyse de l'homogénéité qualitative de cette population. Si l'ensemble est composé de parties séparées, il doit être divisé en groupes typiques (température moyenne à l'hôpital).

Les valeurs moyennes utilisées comme caractéristiques pour les populations hétérogènes sont appelées moyennes du système. Par exemple, le produit intérieur brut (PIB) moyen par habitant, la consommation moyenne divers groupes biens par personne et autres quantités similaires représentant les caractéristiques généralisantes de l'État en tant que système économique unique.

La moyenne doit être calculée pour des populations composées d'un nombre suffisamment important d'unités. Le respect de cette condition est nécessaire pour que la loi des grands nombres entre en vigueur, à la suite de quoi les écarts aléatoires des quantités individuelles par rapport à la tendance générale s'annulent.

Types de moyennes et méthodes pour les calculer

Le choix du type de moyenne est déterminé par le contenu économique d'un certain indicateur et des données initiales. Cependant, toute valeur moyenne doit être calculée de sorte que lorsqu'elle remplace chaque variante de la caractéristique moyennée, la finale, généralisante ou, comme on l'appelle communément, ne change pas. indicateur de définition, qui est lié à la moyenne. Par exemple, lors du remplacement des vitesses réelles sur des sections individuelles du chemin, leur vitesse moyenne ne doit pas modifier la distance totale parcourue véhicule en même temps; lors du remplacement des salaires réels des employés individuels de l'entreprise par le salaire moyen un salaire la masse salariale ne doit pas changer. Par conséquent, dans chaque cas particulier, selon la nature des données disponibles, il n'y a qu'une seule vraie valeur moyenne de l'indicateur qui est adéquate aux propriétés et à l'essence du phénomène socio-économique à l'étude.
Les plus couramment utilisés sont la moyenne arithmétique, la moyenne harmonique, la moyenne géométrique, le carré moyen et le cubique moyen.
Les moyennes indiquées appartiennent à la classe Puissance moyenne et sont combinés par la formule générale :
,
où est la valeur moyenne du trait étudié ;
m est l'exposant de la moyenne ;
– valeur actuelle (variante) de la caractéristique moyennée;
n est le nombre de caractéristiques.
En fonction de la valeur de l'exposant m, on distingue les types de moyennes de puissance suivants :
à m = -1 – harmonique moyenne ;
à m = 0 – moyenne géométrique ;
à m = 1 – moyenne arithmétique ;
à m = 2 – racine carrée moyenne ;
à m = 3 - cubique moyen.
Lorsque vous utilisez les mêmes données d'entrée, plus l'exposant m est grand dans la formule ci-dessus, plus le plus de valeur taille moyenne:
.
Cette propriété de loi de puissance signifie augmenter avec une augmentation de l'exposant de la fonction de définition est appelée la règle de la majorité des moyens.
Chacune des moyennes notées peut prendre deux formes : Facile Et pondéré.
La forme simple du milieu s'applique lorsque la moyenne est calculée sur des données primaires (non groupées). forme pondérée– lors du calcul de la moyenne des données secondaires (groupées).

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est utilisée lorsque le volume de la population est la somme de toutes les valeurs individuelles de l'attribut variable. Il est à noter que si le type de moyenne n'est pas indiqué, la moyenne arithmétique est supposée. Sa formule logique est :

moyenne arithmétique simple calculé par données non groupées selon la formule :
ou ,
où sont les valeurs individuelles de la fonctionnalité ;
j est le numéro de série de l'unité d'observation, qui est caractérisé par la valeur ;
N est le nombre d'unités d'observation (taille de l'ensemble).
Exemple. Dans la conférence «Résumé et regroupement de données statistiques», les résultats de l'observation de l'expérience de travail d'une équipe de 10 personnes ont été examinés. Calculez l'expérience de travail moyenne des travailleurs de la brigade. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

D'après la formule de la moyenne arithmétique simple, on calcule aussi moyennes chronologiques, si les intervalles de temps pour lesquels les valeurs caractéristiques sont présentées sont égaux.
Exemple. Le volume de produits vendus pour le premier trimestre s'élève à 47 den. unités, pour le second 54, pour le troisième 65 et pour le quatrième 58 den. unités Le chiffre d'affaires trimestriel moyen est de (47+54+65+58)/4 = 56 den. unités
Si des indicateurs momentanés sont donnés dans la série chronologique, lors du calcul de la moyenne, ils sont remplacés par des demi-sommes de valeurs au début et à la fin de la période.
S'il y a plus de deux moments et que les intervalles entre eux sont égaux, la moyenne est calculée à l'aide de la formule de la moyenne chronologique

,
où n est le nombre de points dans le temps
Lorsque les données sont regroupées par valeurs d'attribut (c'est-à-dire qu'une série de distribution variationnelle discrète est construite) avec moyenne arithmétique pondérée est calculé en utilisant soit des fréquences, soit des fréquences d'observation de valeurs spécifiques de la caractéristique, dont le nombre (k) est significativement moins que le nombre observations (N) .
,
,
où k est le nombre de groupes de la série de variation,
i est le numéro du groupe de la série de variation.
Depuis , et , on obtient les formules utilisées pour les calculs pratiques :
Et
Exemple. Calculons l'ancienneté moyenne des équipes de travail pour les séries groupées.
a) en utilisant des fréquences :

b) en utilisant des fréquences :

Lorsque les données sont regroupées par intervalles , c'est à dire. sont présentés sous la forme de séries de distribution d'intervalles, lors du calcul de la moyenne arithmétique, le milieu de l'intervalle est pris comme valeur de la caractéristique, sur la base de l'hypothèse de distribution uniforme unités de population dans un intervalle donné. Le calcul s'effectue selon les formules :
Et
où est le milieu de l'intervalle : ,
où et sont les bornes inférieure et supérieure des intervalles (sous réserve que la borne supérieure de cet intervalle coïncide avec la borne inférieure de l'intervalle suivant).

Exemple. Calculons la moyenne arithmétique de la série de variation d'intervalle construite à partir des résultats d'une étude des salaires annuels de 30 ouvriers (voir le cours "Résumé et regroupement des données statistiques").
Tableau 1 - Série de variation d'intervalle de la distribution.

UAH ou UAH
Les moyennes arithmétiques calculées sur la base des données initiales et des séries de variation d'intervalle peuvent ne pas coïncider en raison de la répartition inégale des valeurs d'attribut dans les intervalles. Dans ce cas, pour un calcul plus précis de la moyenne pondérée arithmétique, il convient d'utiliser non pas le milieu des intervalles, mais les moyennes simples arithmétiques calculées pour chaque groupe ( moyennes de groupe). La moyenne calculée à partir des moyennes de groupe à l'aide d'une formule de calcul pondérée est appelée moyenne générale.
La moyenne arithmétique a plusieurs propriétés.
1. La somme des écarts de la variante à la moyenne est nulle :
.
2. Si toutes les valeurs de l'option augmentent ou diminuent de la valeur A, alors la valeur moyenne augmente ou diminue de la même valeur A :

3. Si chaque option est augmentée ou diminuée de B fois, la valeur moyenne augmentera ou diminuera également du même nombre de fois :
ou
4. La somme des produits de la variante par les fréquences est égale au produit de la valeur moyenne par la somme des fréquences :

5. Si toutes les fréquences sont divisées ou multipliées par un nombre quelconque, la moyenne arithmétique ne changera pas :

6) si dans tous les intervalles les fréquences sont égales entre elles, alors la moyenne arithmétique pondérée est égale à la moyenne arithmétique simple :
,
où k est le nombre de groupes dans la série de variations.

L'utilisation des propriétés de la moyenne permet de simplifier son calcul.
Supposons que toutes les options (x) soient d'abord réduites du même nombre A, puis réduites d'un facteur B. La plus grande simplification est obtenue lorsque la valeur du milieu de l'intervalle avec la fréquence la plus élevée est choisie comme A, et la valeur de l'intervalle comme B (pour les lignes avec les mêmes intervalles). La quantité A est appelée l'origine, donc cette méthode de calcul de la moyenne s'appelle façon b référence ohm à partir de zéro conditionnel ou chemin des instants.
Après une telle transformation, on obtient une nouvelle série de distribution variationnelle dont les variants sont égaux à . Leur moyenne arithmétique, appelée moment du premier ordre, est exprimé par la formule et selon les deuxième et troisième propriétés, la moyenne arithmétique est égale à la moyenne de la version originale, réduite d'abord de A, puis de B fois, c'est-à-dire .
Pour obtenir vraie moyenne(milieu de la ligne d'origine), vous devez multiplier le moment du premier ordre par B et ajouter A :

Le calcul de la moyenne arithmétique par la méthode des moments est illustré par les données du tableau. 2.
Tableau 2 - Répartition des salariés du magasin de l'entreprise selon l'ancienneté

Trouver le moment de la première commande . Puis, sachant que A = 17,5, et B = 5, nous calculons l'expérience de travail moyenne des ouvriers du magasin :
années

Harmonique moyenne
Comme indiqué ci-dessus, la moyenne arithmétique est utilisée pour calculer la valeur moyenne d'une caractéristique dans les cas où ses variantes x et leurs fréquences f sont connues.
Si les informations statistiques ne contiennent pas de fréquences f pour les options individuelles x de la population, mais sont présentées comme leur produit , la formule est appliquée harmonique moyenne pondérée. Pour calculer la moyenne, notez , d'où . En remplaçant ces expressions dans la formule de la moyenne arithmétique pondérée, nous obtenons la formule de la moyenne harmonique pondérée :
,
où est le volume (poids) des valeurs d'attribut de l'indicateur dans l'intervalle avec le numéro i (i=1,2, …, k).

Ainsi, la moyenne harmonique est utilisée dans les cas où ce ne sont pas les options elles-mêmes qui sont sujettes à sommation, mais leurs réciproques : .
Dans les cas où le poids de chaque option est égal à un, c'est-à-dire les valeurs individuelles de la fonction inverse se produisent une fois, appliquez moyenne harmonique simple:
,
où sont les variantes individuelles du trait inverse qui se produisent une fois ;
N est le nombre d'options.
S'il existe des moyennes harmoniques pour deux parties de la population avec un nombre de et, alors la moyenne totale pour l'ensemble de la population est calculée par la formule :

et appelé moyenne harmonique pondérée des moyennes du groupe.

Exemple. Trois transactions ont été conclues au cours de la première heure de négociation sur le marché des changes. Les données sur le montant des ventes de hryvnia et le taux de change de la hryvnia par rapport au dollar américain sont présentées dans le tableau. 3 (colonnes 2 et 3). Déterminez le taux de change moyen de la hryvnia par rapport au dollar américain pour la première heure de négociation.
Tableau 3 - Données sur le cours des échanges sur le marché des changes

Le taux de change moyen du dollar est déterminé par le rapport entre le montant des hryvnias vendues au cours de toutes les transactions et le montant des dollars acquis à la suite des mêmes transactions. Le montant total de la vente de hryvnia est connu dans la colonne 2 du tableau, et le montant en dollars achetés dans chaque transaction est déterminé en divisant le montant de la vente de hryvnia par son taux de change (colonne 4). Un total de 22 millions de dollars a été acheté lors de trois transactions. Cela signifie que le taux de change moyen de la hryvnia pour un dollar était
.
La valeur résultante est réelle, car sa substitution des taux de change réels de la hryvnia dans les transactions ne modifiera pas le montant total des ventes de la hryvnia, qui agit comme indicateur de définition: millions UAH
Si la moyenne arithmétique a été utilisée pour le calcul, c'est-à-dire hryvnia, puis au taux de change pour l'achat de 22 millions de dollars. Il faudrait dépenser 110,66 millions d'UAH, ce qui n'est pas vrai.

Moyenne géométrique
La moyenne géométrique sert à analyser la dynamique des phénomènes et permet de déterminer le facteur de croissance moyen. Lors du calcul de la moyenne géométrique, les valeurs individuelles de l'attribut sont des indicateurs relatifs de dynamique, construits sous la forme de valeurs en chaîne, comme le rapport de chaque niveau au précédent.
La moyenne géométrique simple est calculée par la formule :
,
où est le signe du produit,
N est le nombre de valeurs moyennes.
Exemple. Le nombre d'infractions enregistrées sur 4 ans a augmenté de 1,57 fois, y compris pour le 1er - de 1,08 fois, pour le 2e - de 1,1 fois, pour le 3e - de 1,18 et pour le 4e - de 1,12 fois. Alors le taux de croissance annuel moyen du nombre de crimes est : , c'est-à-dire Le nombre d'infractions enregistrées a augmenté en moyenne de 12 % par an.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96