5.1. Концепция среден размер

Средна стойност -това е обобщаващ показател, характеризиращ типичното ниво на явлението. Той изразява стойността на характеристика на единица от населението.

Средната стойност винаги обобщава количествената вариация на чертата, т.е. в средните стойности индивидуалните различия между единиците от популацията, поради случайни обстоятелства, се гасят. За разлика от средното абсолютна стойностхарактеризирането на нивото на черта на отделна единица от популацията не позволява сравняване на стойностите на черта в единици, принадлежащи към различни популации. Така че, ако е необходимо да се сравнят нивата на възнаграждение на работниците в две предприятия, тогава е невъзможно да се сравнят на тази основа двама работници от различни предприятия. Заплатите на избраните за сравнение работници може да не са типични за тези предприятия. Ако сравним размера на средствата за заплати в разглежданите предприятия, тогава броят на служителите не се взема предвид и следователно е невъзможно да се определи къде нивото на заплатите е по -високо. В крайна сметка могат да се сравняват само средни показатели, т.е. колко средно получава един работник във всяко предприятие. Поради това става необходимо да се изчисли средната стойност като обобщаваща характеристика на популацията.

Изчисляването на средната стойност е една от често срещаните техники за обобщение; средният отрича общото, което е типично (типично) за всички единици от изследваната популация, като в същото време пренебрегва разликите между отделните единици. Във всеки феномен и неговото развитие има комбинация от случайност и необходимост. При изчисляване на средните стойности, поради действието на закона за големи числа, шансовете се анулират и балансират, така че човек може да се абстрахира от незначителните характеристики на явлението, от количествените стойности на атрибута във всеки конкретен случай. Способността да се абстрахира от случайността на отделните стойности, колебания и лъжи научната стойност на средните стойности като обобщаващи характеристики на агрегатите.

За да може средната стойност да бъде наистина типична, тя трябва да бъде изчислена въз основа на определени принципи.

Нека се спрем на някои основни принципиизползването на средни стойности.
1. Средната стойност трябва да бъде определена за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици.
2. Средната стойност трябва да бъде изчислена за популация, състояща се от достатъчно Голям бройединици.
3. Средната стойност трябва да се изчисли за населението, чиито единици са в нормално, естествено състояние.
4. Средната стойност трябва да бъде изчислена, като се вземе предвид икономическото съдържание на разглеждания показател.

5.2. Видове средни стойности и как да се изчислят

Нека сега разгледаме видовете средни стойности, характеристиките на тяхното изчисляване и обхвата. Средните стойности са разделени на два големи класа: средни мощности, структурни средни.

ДА СЕ мощност средновключва такива най-известни и често използвани типове като средно геометрично, средноаритметично и средно квадратно.

Като структурни средни стойностисе вземат предвид модата и медианата.

Нека се спрем на средните стойности на мощността. Средните стойности на мощността, в зависимост от представянето на първоначалните данни, могат да бъдат прости и претеглени. Проста средна стойностсе изчислява от негрупирани данни и има следния общ вид:

където X i - опции (стойност) на усреднената характеристика;

n е броят на опциите.

Среднопретегленасе изчислява от групирани данни и има обща форма

,

където X i е вариантът (стойността) на усреднената характеристика или средната стойност на интервала, в който вариантът се измерва;
m - индикатор за степента на средната стойност;
f i - честота, показваща колко пъти i-e стойностна усреднената характеристика.

Нека дадем като пример изчислението на средната възраст на учениците в група от 20 души:

Средната възраст се изчислява по простата средна формула:

Нека да групираме оригиналните данни. Получаваме следващия редразпределение:

В резултат на групирането получаваме нов показател - честота, показваща броя на учениците на възраст X години. Следователно средната възраст на учениците в група ще бъде изчислена, като се използва среднопретеглената формула:

Общите формули за изчисляване на средните стойности на мощността имат степен (m). В зависимост от това каква стойност приема, се разграничават следните видове средни мощности:
средна хармоника, ако m = -1;
геометрична средна стойност, ако m -> 0;
средноаритметична, ако m = 1;
среден квадрат, ако m = 2;
средна кубична, ако m = 3.

Формулите за степен на закон са дадени в таблица. 4.4.

Ако изчислим всички видове средни стойности за едни и същи първоначални данни, тогава техните стойности ще се окажат неравни. Тук важи правилото за мажорантност на средните стойности: с увеличаване на степента m съответната средна стойност също се увеличава:

В статистическата практика по -често от други видове среднопретеглени средни се използват аритметични и хармонично претеглени средни стойности.

Таблица 5.1

Видове средни мощности

Изглед на властта средно аритметично	Индекс степен (m)	Формула за изчисление
		Прост	Претеглено
Хармоничен	-1
Геометрични	0
Аритметика	1
Квадратичен	2
Кубичен	3

Средната хармоника има повече сложна структураот средната аритметична стойност. Хармоничната средна стойност се използва за изчисления, когато теглата не са агрегираните единици - носителите на атрибута, а произведението на тези единици от стойностите на атрибута (т.е. m = Xf). Средният хармоничен престой трябва да се прибягва в случаите на определяне например на средната цена на труд, време, материали за единица продукция, на една част за две (три, четири и т.н.) предприятия, работници, ангажирани в производството на същото вид продукти, същата част, продукт.

Основното изискване за формулата за изчисляване на средната стойност е всички етапи на изчислението да имат реална съществена обосновка; получената средна стойност трябва да бъде заменена индивидуални ценностизнаци за всеки обект, без да се нарушава връзката между отделни и съвкупни показатели. С други думи, средната стойност трябва да бъде изчислена така, че при замяна на всяка отделна стойност на осреднения показател със средната му стойност, някакъв краен обобщен индикатор остава непроменен, свързан сили по друг начин със усредненото. Това заключение се нарича определящ,тъй като естеството на връзката му с отделните стойности определя специфичната формула за изчисляване на средната стойност. Нека покажем това правило, използвайки примера на геометрична средна стойност.

Формула за средна геометрия

използва се най -често при изчисляване на средната стойност за отделни относителни стойности на динамиката.

Средната геометрична стойност се използва, ако е дадена последователност от верижни относителни стойности на динамиката, показваща например увеличение на обема на производството спрямо нивото от предходната година: i 1, i 2, i 3, ..., i n. Очевидно е, че обемът на производството в миналата годинасе определя от първоначалното му ниво (q 0) и последващия растеж през годините:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n.

Като вземем q n като определящ индикатор и заменим отделните стойности на индикаторите на динамиката със средни стойности, стигаме до връзката

Оттук

5.3. Структурни средни стойности

За изучаване се използва специален вид средни стойности - структурни средни стойности вътрешна структурасерия от разпределение на стойностите на атрибутите, както и за оценка на средната стойност (тип мощност), ако според наличните статистически данни изчислението й не може да бъде извършено (например, ако в разглеждания пример няма данни за двете обем на производството и размер на разходите по групи предприятия) ...

Показателите най -често се използват като структурни средни стойности мода -най -често повтаряната стойност на характеристиката - и медиани -стойността на характеристика, която разделя подредената последователност от нейните стойности на две части, равни по брой. В резултат на това в едната половина от единиците от популацията стойността на чертата не надвишава средното ниво, а в другата тя не е по -малка от нея.

Ако изследваната характеристика има дискретни стойности, няма особени трудности при изчисляването на режима и медианата. Ако данните за стойностите на атрибута X се представят под формата на подредени интервали от промяната му (интервални серии), изчисляването на режима и медианата става малко по -сложно. Тъй като средната стойност разделя цялата популация на две части, равни по брой, се оказва, че е в някои от интервалите на атрибута X. Използвайки интерполация, средната стойност се намира в този медиен интервал:

,

където X Me е долната граница на медианния интервал;
h Me - неговата стойност;
(Сума m) / 2 - половината от общата суманаблюдения или половината от обема на показателя, който се използва като претегляне във формулите за изчисляване на средната стойност (в абсолютно или относително изражение);
S Me -1 - сумата от наблюдения (или обемът на характеристиката на претегляне), натрупани преди началото на средния интервал;
m Me - броят на наблюденията или обемът на претеглянето в средния интервал (също в абсолютно или относително изражение).

В нашия пример могат да се получат дори три средни стойности - въз основа на характеристиките на броя на предприятията, обема на производството и обща сумапроизводствени разходи:

По този начин половината от предприятията имат единична цена над 125,19 хиляди рубли, половината от общия обем на производството се произвежда с ниво на себестойност на продукт над 124,79 хиляди рубли. и 50% от общите разходи се генерират, когато цената на един продукт е над 125,07 хиляди рубли. Отбелязваме също, че има известна тенденция към увеличаване на себестойността, тъй като Me 2 = 124,79 хиляди рубли, а средното ниво е 123,15 хиляди рубли.

При изчисляване на модалната стойност на характеристика според данните от интервална серия е необходимо да се обърне внимание на факта, че интервалите са еднакви, тъй като индикаторът за повторяемост на стойностите на характеристиката X зависи от това .За интервална серия с равни интервали стойността на режима се определя като

където X Mo е най -ниската стойност на модалния интервал;
m Mo - броят на наблюденията или обемът на функцията за претегляне в модалния интервал (в абсолютно или относително изражение);
m Mo -1 - същото за интервала, предхождащ модалния;
m Mo + 1 - същото за интервала след модалния;
h - стойността на интервала от промени в чертата в групи.

За нашия пример три модални стойности могат да бъдат изчислени въз основа на характеристиките на броя на предприятията, обема на производството и размера на разходите. И в трите случая модалният интервал е един и същ, тъй като за същия интервал броят на предприятията, обемът на производството и общият размер на производствените разходи са най -големи:

По този начин най -често има предприятия с производствена себестойност от 126,75 хиляди рубли, най -често се произвеждат продукти с ниво на себестойност 126,69 хиляди рубли, а най -често производствените разходи се обясняват с нивото на себестойността от 123,73 хиляди рубли.

5.4. Показатели за вариации

Специфичните условия, в които се намира всеки от изследваните обекти, както и техните особености собствено развитие(социални, икономически и др.) се изразяват със съответните числени нива на статистически показатели. Поради това, вариация,тези. несъответствие на нивата на същия индикатор в различни обекти, е обективен и помага да се разбере същността на изследваното явление.

За измерване на вариациите в статистиката се използват няколко метода.

Най -простото е да се изчисли индикаторът диапазон на вариацияН като разлика между максималните (X max) и минималните (X min) наблюдавани стойности на атрибута:

H = X max - X min.

Обхватът на вариации обаче показва само крайните стойности на чертата. Повторяемостта на междинните стойности не се разглежда тук.

По -строгите характеристики са показатели за променливост спрямо средното ниво на чертата. Най -простият индикатор от този тип е средно линейно отклонение L като средно аритметична стойностабсолютни отклонения на черта от нейното средно ниво:

С повторяемостта на отделните стойности на X използвайте формулата средноаритметичнопретеглено:

(Припомнете си това алгебрична сумаотклонението от средната стойност е нула.)

Намерен индикатор за средното линейно отклонение широко приложениена практика. С негова помощ например се анализира съставът на работниците, ритъмът на производството, еднородността на доставките на материали и се разработват системи за материално стимулиране. Но, за съжаление, този показател усложнява изчисленията от вероятностния тип, затруднява прилагането на методите на математическата статистика. Следователно, в статистиката научно изследванеза да се измери вариацията, най -често се използва индикаторът вариация.

Дисперсията на характеристиката (s 2) се определя въз основа на квадратичната средна степен:

.

Показателят s равно се нарича стандартно отклонение.

В общата теория на статистиката индикаторът на дисперсията е оценка на индикатора на теорията на вероятността със същото име и (като сума от квадратите на отклоненията) оценка на дисперсията в математическата статистика, което дава възможност да се използва разпоредбите на тези теоретични дисциплини за анализ на социално-икономическите процеси.

Ако вариацията се оценява от малък брой наблюдения, взети от неограничена обща популация, тогава средната стойност на признака се определя с известна грешка. Изчислената стойност на дисперсията се оказва отклонена към намаляване. За да се получи безпристрастна оценка, дисперсията на извадката, получена по формулите, дадени по -рано, трябва да се умножи по стойността n / (n - 1). В резултат на това с малък брой наблюдения (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Обикновено вече при n> (15–20) разминаването между предубедените и безпристрастните оценки става незначително. По същата причина отклонението обикновено не се взема предвид във формулата за добавяне на отклонения.

Ако направим няколко извадки от общата популация и всеки път определяме средната стойност на даден признак, тогава възниква проблемът с оценката на променливостта на средната стойност. Оценка на вариация средна стойноствъзможно е и само на базата на едно пробно наблюдение по формулата

,

където n е размерът на извадката; s 2 - дисперсия на характеристиката, изчислена от данните от извадката.

Количеството носи името средна грешка при вземане на пробии е характеристика на отклонението на средната проба на атрибута X от истинската му средна стойност. Индикаторът за средна грешка се използва за оценка на надеждността на резултатите от пробното наблюдение.

Показатели за относителна дисперсия.За да се характеризира мярката за променливостта на изследваната черта, индексите на променливост се изчисляват в относителни стойности. Те ви позволяват да сравните естеството на дисперсията в различни разпределения (различни единици на наблюдение на една и съща черта в две популации, с различни значениясредни стойности, когато се сравняват противоположни популации). Изчисляването на показателите на мярката за относителна дисперсия се извършва като съотношение на абсолютния индикатор на дисперсия към средната аритметична стойност, умножено по 100%.

1. Коефициент на трептенеотразява относителната променливост на крайните стойности на атрибута около средната стойност

.

2. Относителното линейно изключване характеризира дела на средната стойност на знака за абсолютни отклонения от средната стойност

.

3. Коефициент на вариация:

е най -често срещаната мярка за променливост, използвана за оценка на типичността на средните стойности.

В статистиката популациите с коефициент на вариация над 30–35% се считат за хетерогенни.

Този метод за оценка на вариациите също има значителен недостатък. Всъщност, нека, например, първоначалният набор от работници със среден стаж от 15 години, със стандартно отклонение s = 10 години, „на възраст“ с още 15 години. Сега = 30 години, а стандартното отклонение все още е 10. Бившата хетерогенна популация (10/15 × 100 = 66,7%), следователно се оказва доста хомогенна във времето (10/30 × 100 = 33,3%).

Боярски А.Я. Теоретични изследвания в статистиката: сб. Sci. Сборник. - М.: Статистика, 1974. С. 19-57.

Най -важното свойство на средния е, че отразява общото, което е присъщо на всички единици от изследваната популация. Стойностите на чертата на отделните единици от популацията варират под влиянието на много фактори, сред които може да има както основни, така и случайни. Същността на средната стойност се крие във факта, че тя взаимно компенсира отклоненията на стойностите на атрибута, които се дължат на действието на случайни фактори, и натрупва (взема предвид) промените, причинени от действието на основни фактори. Това позволява на средния показател да отразява типичното ниво на чертата и да се абстрахира от индивидуалните характеристики, присъщи на отделните единици.

За да може средната стойност да бъде наистина типична, тя трябва да бъде изчислена въз основа на определени принципи.

Основни принципи за използване на средни стойности.

1. Средната стойност трябва да бъде определена за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици.

2. Средната стойност трябва да бъде изчислена за популация, състояща се от достатъчно голям брой единици.

3. Средната стойност трябва да се изчисли за населението при стационарни условия (когато влияещите фактори не се променят или не се променят значително).

4. Средната стойност трябва да бъде изчислена, като се вземе предвид икономическото съдържание на разглеждания показател.

Изчисляването на повечето специфични статистически данни се основава на използването на:

· Среден агрегат;

· Средна мощност (хармонична, геометрична, аритметична, квадратна, кубична);

· Средна хронология (виж раздел).

Всички средни стойности, с изключение на общата средна стойност, могат да бъдат изчислени в две версии - като претеглени или непретеглени.

Среден агрегат. Използва се формулата:

където w i= x i* f i;

x i- i-ти вариантусреднена характеристика;

f i, - теглото i- първият вариант.

Закон за средната мощност. V общ изгледформула за изчисление:

където степента к- вид средна мощност.

Средните стойности, изчислени въз основа на степенния закон за същите първоначални данни, не са еднакви. С увеличаване на показателя k, съответната средна стойност също се увеличава:

Средна хронология. За моментен времеви ред с равни интервали между датите, той се изчислява по формулата:

,

където x 1и NSнстойността на индикатора в началната и крайната дата.

Формули за изчисляване на средните мощности

Пример. Според таблицата. 2.1 е необходимо да се изчислят средните заплати за три предприятия като цяло.

Таблица 2.1

Заплати на предприятията на АД

Специфични формула за изчислениезависи от таблицата с данни. 7 са оригинални. Съответно са възможни следните опции: данни в колони 1 (брой ПЧП) и 2 (месечна заплата); или - 1 (брой ПЧП) и 3 (средна работна заплата); или 2 (месечна заплата) и 3 (средна работна заплата).

Ако са налични само данни от колони 1 и 2... Резултатите от тези графики съдържат необходимите стойности за изчисляване на желаната средна стойност. Използва се средната агрегирана формула:

Ако са налични само данни от колони 1 и 3, тогава знаменателят на първоначалното съотношение е известен, но неговият числител не е известен. Въпреки това, заплатата може да бъде получена чрез умножаване на средната работна заплата по броя на ПЧП. Следователно общата средна стойност може да бъде изчислена по формулата претеглена средна аритметична стойност:

Трябва да се има предвид, че теглото ( f i) в някои случаи може да бъде продукт от две или дори три значения.

Освен това в статистическата практика средната стойност аритметична непретеглена:

където n е обемът на населението.

Тази средна стойност се използва, когато теглата ( f i) отсъства (всеки вариант на характеристиката се среща само веднъж) или е равен един на друг.

Ако са налични само данните в колони 2 и 3., числителят на първоначалното съотношение е известен, но знаменателят му не е известен. Броят на ПЧП за всяко предприятие може да бъде получен чрез разделяне на ведомостта за заплати на средната работна заплата. След това изчисляването на средната заплата за трите предприятия като цяло се извършва по формулата средно хармонично претеглено:

Ако теглата са равни ( f i) средният показател може да бъде изчислен чрез непретеглена средна хармоника:

В нашия пример използвахме различни формисредно, но получи същия отговор. Това се дължи на факта, че за конкретни данни всеки път се реализира едно и също първоначално средно съотношение.

Средните стойности могат да бъдат изчислени от дискретни и интервални вариационни серии. В този случай изчислението се извършва според средноаритметичната претеглена стойност. За дискретна серия тази формула се използва по същия начин, както в горния пример. В интервалните серии за изчисление се определят средните точки на интервалите.

Пример. Според таблицата. 2.2 ще определим стойността на средния паричен доход на глава от населението за един месец в условен регион.

Таблица 2.2

Първоначални данни (вариационни серии)

За да намерите средната стойност в Excel (няма значение числова, текстова, процентна или друга стойност) има много функции. И всеки от тях има свои характеристики и предимства. Всъщност в тази задача могат да бъдат поставени определени условия.

Например, средните стойности на поредица от числа в Excel се изчисляват с помощта на статистически функции. Можете също така ръчно да въведете собствена формула. Нека разгледаме различни варианти.

Как да намерим средната аритметична стойност на числата?

За да намерите средното аритметично, добавете всички числа в набора и разделете сумата на числото. Например оценките на ученика по компютърни науки: 3, 4, 3, 5, 5. Какво надхвърля една четвърт: 4. Намерихме средната аритметика по формулата: = (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Как да го направите бързо с функциите на Excel? Вземете например поредицата случайни числав редица:

Или: нека да направим клетката активна и просто ръчно да въведем формулата: = СРЕДНА (A1: A8).

Сега нека видим какво друго може да направи функцията AVERAGE.

Намерете средната аритметична стойност на първите две и последните три числа. Формула: = СРЕДНА (A1: B1; F1: H1). Резултат:

Средно по условие

Условието за намиране на средната аритметична стойност може да бъде числов критерий или текстов. Ще използваме функцията: = AVERAGEIF ().

Намерете средната аритметична стойност на числа, по -големи или равни на 10.

Функция: = AVERAGEIF (A1: A8, "> = 10")

Третият аргумент - "Среден диапазон" - е пропуснат. Първо, не е задължително. Второ, диапазонът, анализиран от програмата, съдържа САМО числови стойности... Клетките, посочени в първия аргумент, ще бъдат търсени по условието, посочено във втория аргумент.

Внимание! Критерият за търсене може да бъде посочен в клетката. И във формулата направете връзка към нея.

Нека да намерим средната стойност на числата според текстовия критерий. Например средните продажби на продукта "таблици".

Функцията ще изглежда така: = AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Диапазон - колона с имена на продукти. Критерият за търсене е връзка към клетка с думата „таблици“ (можете да вмъкнете самата дума „таблици“ вместо връзка А7). Среден диапазон - тези клетки, от които ще бъдат взети данни за изчисляване на средната стойност.

В резултат на изчисляването на функцията получаваме следната стойност:

Внимание! За текстов критерий (условие) трябва да се посочи диапазонът на усредняване.

Как да се изчисли среднопретеглената цена в Excel?

Как разбрахме среднопретеглената цена?

Формула: = СУМПРОДУКТ (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12).

Използвайки формулата SUMPRODUCT, ние откриваме общите приходи след продажбата на цялото количество стоки. А функцията SUM сумира количеството стоки. Като разделим общите приходи от продажбата на продукта на общия брой единици на продукта, открихме среднопретеглената цена. Този индикатор взема предвид "теглото" на всяка цена. Делът му в общата маса на стойностите.

Стандартно отклонение: формула в Excel

Разграничете стандартното отклонение за общата популация и за извадката. В първия случай това е коренът на обща дисперсия... Във втория, от вариацията на извадката.

За да се изчисли тази статистика, се съставя формула за дисперсия. Коренът се извлича от него. Но Excel има готова функция за намиране на стандартното отклонение.

Стандартното отклонение е обвързано с мащаба на първоначалните данни. Това не е достатъчно за образно представяне на вариацията на анализирания диапазон. Коефициентът на вариация се изчислява, за да се получи относителното ниво на дисперсията на данните:

стандартно отклонение / средна аритметична стойност

Формулата в Excel изглежда така:

STDEVP (диапазон на стойностите) / AVERAGE (диапазон на стойностите).

Коефициентът на вариация се изчислява като процент. Затова задаваме процентния формат в клетката.

Характеристиките на мерните единици на статистически агрегати са различни по своето значение, например заплатите на работниците от същата професия на всяко предприятие не са еднакви за един и същ период от време, цените на пазара за едни и същи продукти са различни , добивът на земеделски култури в стопанствата на областта и др. Следователно, за да се определи стойността на характеристичната характеристика на целия изследван набор от единици, се изчисляват средните стойности.
средна стойност – това е обобщаваща характеристика на множеството отделни стойности на определена количествена характеристика.

Агрегат, изследван по количествен критерий, се състои от индивидуални стойности; те са повлияни като общи причинии индивидуални условия. Средно, отклоненията, характерни за отделните стойности, се гасят. Средната стойност, като функция от набор от отделни стойности, представлява целия набор като една стойност и отразява общото, което е присъщо на всички негови единици.

Изчислява се средната стойност, изчислена за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици типична вторична... Например, можете да изчислите средната месечна заплата на служител от определена професионална група (миньор, лекар -библиотекар). Разбира се, нивата на месечните заплати на миньорите, поради разликата в тяхната квалификация, трудовия стаж, отработеното време на месец и много други фактори, се различават едно от друго и от нивото на средните заплати. Средното ниво обаче отразява основните фактори, които влияят върху нивото на заплатите, и взаимно компенсират разликите, които възникват поради индивидуалните характеристики на служителя. Средната работна заплата отразява типичното ниво на заплатите за даден тип работник. Получаването на типична средна стойност трябва да бъде предшествано от анализ на това как дадената популация е качествено хомогенна. Ако съвкупността се състои от тях отделни части, тя трябва да бъде разделена на типични групи (средна температура в болницата).

Средствата, използвани като характеристики за хетерогенни популации, се наричат системни средни стойности... Например средният брутен вътрешен продукт (БВП) на глава от населението, средното потребление различни групистоки на човек и други подобни количества, представляващи обобщаващите характеристики на държавата като единна икономическа система.

Средната стойност трябва да бъде изчислена за популации, съдържащи достатъчно голям брой единици. Спазването на това условие е необходимо, за да влезе в сила законът за големите числа, в резултат на което случайните отклонения на отделните стойности от общата тенденция се взаимно отменят.

Видове средни стойности и как да се изчислят

Изборът на типа средно се определя от икономическото съдържание на определен показател и първоначалните данни. Всяка средна стойност обаче трябва да бъде изчислена така, че когато тя замества всеки вариант на усреднената характеристика, крайната, обобщаваща или, както обикновено се нарича, определящ индикатор, което е свързано със средния показател. Например, когато се заменят действителните скорости на отделни участъци от пътя със средната им скорост, общото изминато разстояние не трябва да се променя. превозно средствопо същото време; при замяна на действителните заплати на отделни служители на предприятие със средна стойност заплатизаплатата не трябва да се променя. Следователно във всеки конкретен случай, в зависимост от естеството на наличните данни, има само една истинска средна стойност на показателя, която е адекватна на свойствата и същността на изследваното социално-икономическо явление.
Най-често използваните са средна аритметична, хармонична, средна геометрична, средноквадратична и кубична.
Изброените средни стойности принадлежат към класа власт-законсредни стойности и се комбинират по общата формула:
,
където е средната стойност на изследваната характеристика;
m - индикатор за степента на средната стойност;
- текущата стойност (вариант) на усреднения атрибут;
n е броят на функциите.
В зависимост от стойността на степента m се разграничават следните видове средства за захранване:
при m = -1 - средна хармоника;
при m = 0 - средна геометрия;
за m = 1 - средна аритметична стойност;
за m = 2-среден квадратен;
с m = 3 - средна куб.
Когато използвате същите начални данни, колкото по -голям е показателят m в горната формула, по -голяма стойностсреден размер:
.
Това свойство на средните мощности да се увеличава с увеличаване на показателя на определящата функция се нарича правилото за мажоризация на средствата.
Всяка от маркираните средни стойности може да има две форми: прости претеглени.
Проста средна форматой се използва, когато средната стойност се изчислява от първични (негрупирани) данни. Претеглена форма- при изчисляване на средната стойност за вторични (групирани) данни.

Средноаритметично

Средната аритметична се използва, когато обемът на популацията е сумата от всички отделни стойности на променливия атрибут. Трябва да се отбележи, че ако типът на средната стойност не е посочен, се подразбира средноаритметичната. Логичната му формула е:

Проста средна аритметичнаизчислено по негрупирани данни по формулата:
или ,
къде са отделните стойности на атрибута;
j е редният номер на единицата за наблюдение, който се характеризира със стойността;
N е броят на единиците за наблюдение (размер на популацията).
Пример.В лекцията "Обобщение и групиране на статистически данни" бяха разгледани резултатите от наблюдение на трудовия опит на екип от 10 души. Нека изчислим средния стаж на работниците от бригадата. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

По формулата на средноаритметичното просто число се изчисляват и следните хронологични средни стойностиако времевите интервали, за които са представени характеристичните стойности, са равни.
Пример.Обемът на продадените продукти за първото тримесечие възлиза на 47 ден. единици, за втората 54, за третата 65 и за четвъртата 58 дни. единици Средният тримесечен оборот е (47 + 54 + 65 + 58) / 4 = 56 ден. единици
Ако моментните индикатори са дадени в хронологичния ред, тогава при изчисляване на средната стойност те се заменят с полусуми от стойности в началото и края на периода.
Ако има повече от два момента и интервалите между тях са равни, тогава средната стойност се изчислява по формулата за средната хронология

,
където n е броят пъти
В случай, когато данните са групирани по характерни стойности (т.е. се конструира дискретна вариационна серия разпределение) с средно аритметично претегленосе изчислява, като се използват или честотите, или честотите на наблюдение на специфични стойности на атрибута, броят на които (k) е значителен по -малко числонаблюдения (N).
,
,
където k е броят на групите от вариационната серия,
i - номер на групата на вариационната серия.
Тъй като, a, получаваме формулите, използвани за практически изчисления:
и
Пример.Нека изчислим средния стаж на работните екипи за групирания ред.
а) използване на честоти:

б) използвайки честоти:

В случай, когато данните са групирани по интервали , т.е. са представени под формата на интервални серии на разпределение, при изчисляване на средната аритметична стойност средата на интервала се приема като стойност на атрибута, въз основа на предположението за равномерно разпределениепопулационни единици на даден интервал. Изчислението се извършва по формулите:
и
където е средата на интервала :,
където и са долната и горната граница на интервалите (при условие, че горната граница на този интервал съвпада с долната граница на следващия интервал).

Пример.Нека изчислим средната аритметична стойност на интервалните вариационни серии, изградени въз основа на резултатите от изследването на годишните заплати на 30 работници (вижте лекцията „Обобщение и групиране на статистически данни“).
Таблица 1 - Интервални вариационни серии на разпределение.

hrn. или hrn.
Средните аритметични стойности, изчислени въз основа на първоначалните данни и интервалните вариационни серии, може да не съвпадат поради неравномерното разпределение на стойностите на характеристиките в интервалите. В този случай за по -точно изчисляване на аритметично претеглената средна стойност не трябва да се използват средните точки на интервалите, а простите средни аритметични стойности, изчислени за всяка група ( средни за групата). Извиква се средната стойност, изчислена от средната стойност на групата с помощта на претеглена изчислителна формула обща средна стойност.
Средната аритметична има редица свойства.
1. Сумата от отклонения на варианта от средната стойност е равна на нула:
.
2. Ако всички стойности на варианта се увеличават или намаляват със сумата А, тогава средната стойност също се увеличава или намалява със същото количество А:

3. Ако всяка опция се увеличи или намали с B пъти, тогава средната стойност също ще се увеличи или намали със същия брой пъти:
или
4. Сумата от продуктите на варианта по честотите е равна на произведението на средната стойност от сумата от честотите:

5. Ако всички честоти се разделят или умножат по произволно число, тогава средната аритметика няма да се промени:

6) ако във всички интервали честотите са равни една на друга, тогава среднопретеглената аритметична стойност е равна на простата средноаритметична:
,
където k е броят на групите от вариационната серия.

Използването на свойствата на средната стойност улеснява изчисляването.
Да предположим, че всички опции (x) първо се намаляват с един и същ номер A, а след това се намаляват с B пъти. Най -голямото опростяване се постига, когато стойността на средата на интервала с най -високата честота е избрана като A, а стойността на интервала (за редове с равни интервали) е избрана като B. Количеството А се нарича произход, следователно този метод за изчисляване на средната стойност се нарича начинб ом, броене от условна нулаили начин на моменти.
След такава трансформация получаваме нова вариационна серия разпределение, чиито варианти са равни. Тяхната средна аритметична т.нар момент на първата поръчка,се изразява с формулата и според второто и третото свойство на средната аритметична стойност е равна на средната стойност на първоначалните опции, намалена първо с A, а след това с B пъти, т.е.
Получавам реална средна стойност(средната стойност на първоначалната серия), трябва да умножите момента на първата поръчка с B и да добавите A:

Изчисляването на средната аритметична по метода на моментите е илюстрирано от данните в табл. 2.
Таблица 2 - Разпределение на работниците в предприятието цех по трудов стаж

Намерете момента на първата поръчка ... След това, знаейки, че A = 17,5 и B = 5, изчисляваме средния стаж на работниците в магазина:
години

Средна хармоника
Както е показано по -горе, средната аритметична стойност се използва за изчисляване на средната стойност на характеристика в случаите, когато са известни нейните варианти x и тяхната честота f.
Ако статистическата информация не съдържа честоти f за отделни варианти x на популацията, но е представена като техен продукт, се прилага формулата средно хармонично претеглено... За да изчислим средната стойност, нека обозначим къде. Замествайки тези изрази във формулата за средноаритметичната претеглена стойност, получаваме формулата за хармоничната претеглена средна:
,
където е обемът (теглото) на стойностите на атрибута на индикатора в интервала с числото i (i = 1,2, ..., k).

По този начин средната хармоника се използва в случаите, когато не самите опции подлежат на сумиране, а техните реципрочни стойности: .
В случаите, когато теглото на всяка опция е равно на единица, т.е. отделните стойности на обратния атрибут се появяват веднъж, той се прилага средна хармонична проста:
,
където са отделни варианти на противоположния знак, които се срещат един по един;
N е броят на опциите.
Ако има хармонични средни стойности за две части от популацията и има хармонични средни стойности, тогава общата средна стойност за цялата популация се изчислява по формулата:

и се обади претеглена хармонична средна стойност от групови средни.

Пример.В хода на търговията на валутната борса бяха сключени три транзакции през първия работен час. Данните за размера на продажбата на гривна и обменния курс на гривна спрямо щатския долар са дадени в таблица. 3 (колони 2 и 3). Определете средния курс на гривна спрямо щатския долар за първия час на търговия.
Таблица 3 - Данни за хода на търговията на валутната борса

Средният курс на долара се определя от съотношението на сумата на гривна, продадена по време на всички транзакции, към сумата на доларите, придобити в резултат на същите транзакции. Общият размер на продажбата на гривна е известен от колона 2 на таблицата, а броят на доларите, закупени при всяка транзакция, се определя чрез разделяне на сумата на продажбата на гривна на нейния курс (колона 4). Общо в хода на три транзакции бяха закупени 22 милиона долара. Това означава, че средният курс на гривна за един долар е бил
.
Получената стойност е реална, защото замяната му с действителните обменни курсове на гривна при транзакции няма да промени общата сума на продажбите на гривна, която действа като определящ индикатор: Млн. UAH
Ако за изчислението е използвана средната аритметична стойност, т.е. гривна, след това при валутния курс за покупка от 22 милиона долара. би било необходимо да се похарчат 110,66 милиона гривни, което не отговаря на реалността.

Средно геометрично
Средната геометрична стойност се използва за анализ на динамиката на явленията и ви позволява да определите средния темп на растеж. При изчисляване на геометричната средна стойност отделните стойности на характеристиката представляват относителните показатели на динамиката, изградени под формата на верижни количества, като съотношение на всяко ниво към предходното.
Простата геометрична средна стойност се изчислява по формулата:
,
къде е знакът на произведението,
N е броят на усреднените стойности.
Пример.Броят на регистрираните престъпления за 4 години се е увеличил 1,57 пъти, включително за 1 -во - 1,08 пъти, за 2 -ро - 1,1 пъти, за 3 -то - 1,18 пъти и за 4 -то - 1,12 пъти. Тогава средногодишният темп на растеж на броя на престъпленията е :, т.е. броят на регистрираните престъпления нараства средно с 12% годишно.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96