1
/
5
Значението на нормалното разпределение в много области на науката (например в математическата статистика и статистическата физика) произтича от централната гранична теорема на теорията на вероятностите. Ако резултатът от наблюдението е сбор от много случайни слабо взаимозависими величини, всяка от които има малък принос към общата сума, тогава с увеличаване на броя на членовете разпределението на центрирания и нормализирания резултат клони към нормално. Този закон на теорията на вероятностите има следствие от широкото разпространение на нормалното разпределение, което е една от причините за неговото име.
Имоти
Моменти
Ако произволни променливи X 1 (\ displaystyle X_ (1))и X 2 (\ displaystyle X_ (2))независими и нормално разпределени с очаквани стойности μ 1 (\ displaystyle \ mu _ (1))и μ 2 (\ displaystyle \ mu _ (2))и вариации σ 1 2 (\ displaystyle \ sigma _ (1) ^ (2))и σ 2 2 (\ displaystyle \ sigma _ (2) ^ (2))съответно тогава X 1 + X 2 (\ displaystyle X_ (1) + X_ (2))също има нормално разпределение с очакване μ 1 + μ 2 (\ displaystyle \ mu _ (1) + \ mu _ (2))и дисперсия σ 1 2 + σ 2 2. (\ displaystyle \ sigma _ (1) ^ (2) + \ sigma _ (2) ^ (2).)Това означава, че нормална случайна променлива може да бъде представена като сума от произволен брой независими нормални случайни променливи.
Максимална ентропия
Нормалното разпределение има максимална диференциална ентропия сред всички непрекъснати разпределения, чиято дисперсия не надвишава дадена стойност.
Моделиране на псевдослучайни нормални стойности
Най-простите приблизителни методи за моделиране се основават на централната гранична теорема. А именно, ако добавим няколко независими идентично разпределени количества с ограничена дисперсия, тогава сумата ще бъде разпределена приблизителноглоба. Например, ако добавите 100 независими стандарти равномерноразпределени случайни променливи, тогава разпределението на сумата ще бъде приблизително нормално.
За програмно генериране на нормално разпределени псевдослучайни променливи е за предпочитане да се използва трансформацията на Box-Muller. Тя ви позволява да генерирате едно нормално разпределено количество на базата на едно равномерно разпределено количество.
Нормално разпространение в природата и приложенията
Нормалното разпределение е често срещано в природата. Например, следните случайни променливи са добре моделирани от нормалното разпределение:
- отклонение при стрелба.
- грешки при измерване (все пак грешките на някои измервателни уреди нямат нормално разпределение).
- някои характеристики на живите организми в популацията.
Това разпределение е толкова широко разпространено, защото е безкрайно делимо непрекъснато разпределение с крайна дисперсия. Следователно някои други се доближават до него в предела, например бином и Поасон. Това разпределение симулира много недетерминирани физически процеси.
Връзка с други дистрибуции
- Нормалното разпределение е разпределение на Пиърсън тип XI.
- Съотношението на двойка независими стандартни нормално разпределени случайни променливи има разпределение на Коши. Тоест, ако случайната променлива X (\ displaystyle X)е връзка X = Y / Z (\ displaystyle X = Y / Z)(където Y (\ displaystyle Y)и Z (\ displaystyle Z)са независими стандартни нормални случайни променливи), то ще има разпределението на Коши.
- Ако z 1,…, z k (\ displaystyle z_ (1), \ ldots, z_ (k))са съвместно независими стандартни нормални случайни променливи, т.е. z i ∼ N (0, 1) (\ displaystyle z_ (i) \ sim N \ вляво (0,1 \ вдясно)), след това произволната променлива x = z 1 2 +… + z k 2 (\ displaystyle x = z_ (1) ^ (2) + \ ldots + z_ (k) ^ (2))има хи-квадрат разпределение с k степени на свобода.
- Ако произволна променлива X (\ displaystyle X)подлежи на логнормално разпределение, то неговият естествен логаритъм има нормално разпределение. Тоест, ако X ∼ L o g N (μ, σ 2) (\ displaystyle X \ sim \ mathrm (LogN) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right)), тогава Y = ln (X) ∼ N (μ, σ 2) (\ displaystyle Y = \ ln \ left (X \ right) \ sim \ mathrm (N) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right ))... Обратно, ако Y ∼ N (μ, σ 2) (\ displaystyle Y \ sim \ mathrm (N) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ right)), тогава X = exp (Y) ∼ L og N (μ, σ 2) (\ displaystyle X = \ exp \ left (Y \ right) \ sim \ mathrm (LogN) \ left (\ mu, \ sigma ^ (2) \ вдясно)).
- Съотношението на квадратите на две стандартни нормални случайни променливи има
Законът за нормалното разпределение (често наричан закон на Гаус) играе изключително важна роля в теорията на вероятностите и заема специално място сред другите закони за разпределение. Това е най-разпространеният закон за разпределението на практика. Основната характеристика, която отличава нормалния закон от другите закони, е, че той е ограничаващ закон, който се приближава от други закони за разпределение при много чести типични условия.
Може да се докаже, че сумата от достатъчно голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи, подчинени на всякакви закони за разпределение (при някои много хлабави ограничения), приблизително се подчинява на нормалния закон и това е толкова по-точно, колкото повече произволните променливи се сумират. Повечето от произволните величини, срещани на практика, като например грешки при измерване, грешки при снимане и т.н., могат да бъдат представени като суми от много голям брой относително малки членове - елементарни грешки, всяка от които е причинена от действие на отделна причина, независима от другите... Каквито и закони на разпределението да са обект на индивидуални елементарни грешки, характеристиките на тези разпределения в сумата от голям брой термини се изравняват и сумата се оказва подчинена на закон, близък до нормалния. Основното ограничение, наложено на грешките, които трябва да се сумират, е, че всички те играят относително малка роля в общата сума. Ако това условие не е изпълнено и например една от случайните грешки се окаже в влиянието си върху сумата, която рязко преобладава над всички останали, тогава законът за разпределение на тази преобладаваща грешка ще наложи своето влияние върху сумата и ще определи неговият закон за разпространение в неговите основни характеристики.
Теоремите, установяващи нормалния закон като граница за сумата от независими равномерно малки произволни членове, ще бъдат разгледани по-подробно в глава 13.
Законът за нормалното разпределение се характеризира с плътност на вероятността във формата:
Кривата на нормалното разпределение има симетрична форма на хълм (фиг. 6.1.1). Максималната ордината на кривата, равна на, съответства на точката; с увеличаване на разстоянието от точката, плътността на разпределението намалява и при, кривата асимптотично се приближава към оста на абсцисата.
Нека разберем значението на числените параметри и включени в израза на нормалния закон (6.1.1); Нека докажем, че количеството не е нищо друго освен математическото очакване, а количеството е стандартното отклонение на количеството. За да направите това, ние изчисляваме основните числени характеристики на количеството - математическото очакване и дисперсията.
Прилагане на променлива замяна
Лесно е да се провери, че първият от двата интервала във формула (6.1.2) е равен на нула; вторият е добре познатият интеграл на Ойлер-Поасон:
. (6.1.3)
следователно,
тези. параметърът е математическото очакване на стойността. Този параметър, особено при задачи за стрелба, често се нарича център на дисперсия (съкратено като c. R.).
Нека изчислим дисперсията на количеството:
.
Отново се прилага замяната на променливата
Интегрирайки по части, получаваме:
Първият член в къдравите скоби е равен на нула (тъй като at намалява по-бързо от всяка степен нараства), вторият член по формула (6.1.3) е равен, откъдето
Следователно параметърът във формулата (6.1.1) не е нищо друго освен стандартното отклонение на стойността.
Нека разберем значението на параметрите и нормалното разпределение. От формула (6.1.1) директно се вижда, че центърът на симетрия на разпределението е центърът на разсейване. Това става ясно от факта, че когато знакът на разликата се промени на противоположния, изразът (6.1.1) не се променя. Ако промените центъра на разсейване, кривата на разпределение ще се измести по абсцисата, без да променя формата си (фиг. 6.1.2). Центърът на разсейване характеризира позицията на разпределението по оста на абсцисата.
Размерът на центъра на разсейване е същият като размерността на произволна променлива.
Параметърът характеризира не позицията, а самата форма на кривата на разпределение. Това е дисперсионната характеристика. Най-голямата ордината на кривата на разпределение е обратно пропорционална; при нарастване максималната ордината намалява. Тъй като площта на кривата на разпределение винаги трябва да остава равна на единица, тогава с увеличаване на кривата на разпределение става по-плоска, простираща се по абсцисата; напротив, с намаляване, кривата на разпределение се простира нагоре, като едновременно се свива отстрани и става по-игловидна. На фиг. 6.1.3 показва три нормални криви (I, II, III) при; от тях крива I съответства на най-голямата, а крива III на най-малката стойност. Промяната на параметъра е еквивалентна на промяна на мащаба на кривата на разпределение - увеличаване на мащаба по една ос и същото намаляване по другата.
Примери за случайни променливи, разпределени според нормалния закон, са височината на човек, масата на уловена риба от един вид. Нормалното разпределение означава следното
: има стойности на човешкия ръст, масата на рибите от един вид, които интуитивно се възприемат като "нормални" (но всъщност - осреднени) и се срещат в доста голяма извадка много по-често от тези, които се различават по по-голяма или по-малка посока.
Нормалното разпределение на вероятностите на непрекъсната случайна променлива (понякога - разпределението на Гаус) може да се нарече камбановидно поради факта, че функцията на плътността на това разпределение, симетрична спрямо средната стойност, е много подобна на разрез на камбана (червена крива в фигурата по-горе).
Вероятността да се посрещнат определени стойности в извадката е равна на площта на фигурата под кривата, а в случай на нормално разпределение виждаме, че под горната част на "камбаната", която съответства на стойности, клонящи към средната стойност, площта и следователно вероятността са по-големи, отколкото под ръбовете. По този начин получаваме същото, което вече беше казано: вероятността да срещнете човек с „нормален“ ръст, улов на риба с „нормално“ тегло е по-висока, отколкото за стойности, които се различават в по-голяма или по-малка посока. В много случаи на практика грешките в измерването се разпределят по закон, близък до нормалния.
Нека се спрем отново на фигурата в началото на урока, която показва функцията на плътността на нормалното разпределение. Графиката на тази функция е получена чрез изчисляване на определена извадка от данни в софтуерния пакет STATISTICA... На него колоните на хистограмата представляват интервали от извадкови стойности, чието разпределение е близко (или, както се казва в статистиката, незначително се различава от) до действителната графика на функцията на плътността на нормалното разпределение, което е червено крива. Графиката показва, че тази крива наистина е с форма на камбана.
Нормалното разпределение е ценно в много отношения поради факта, че знаейки само математическото очакване на непрекъсната случайна променлива и стандартното отклонение, може да се изчисли всяка вероятност, свързана с това количество.
Нормалното разпределение също има предимството, че е едно от най-лесните за използване. статистически тестове, използвани за проверка на статистически хипотези - t тест на Студент- може да се използва само когато извадковите данни се подчиняват на закона за нормално разпределение.
Функцията на плътността на нормалното разпределение на непрекъсната случайна величинаможе да се намери по формулата:
,
където х- стойността на променливата, - средната стойност, - стандартното отклонение, д= 2,71828 ... е основата на естествения логаритъм, = 3,1416 ...
Свойства на функцията за плътност на нормално разпределение
Промените в средната стойност преместват кривата на нормалното разпределение в посоката на оста вол... Ако се увеличи, кривата се движи надясно, ако намалява, след това наляво.
Ако стандартното отклонение се промени, тогава височината на горната част на кривата се променя. С увеличаване на стандартното отклонение горната част на кривата е по-висока, а когато стандартното отклонение намалява, то е по-ниско.
Вероятност за достигане на стойност на нормално разпределена случайна променлива в даден интервал
Още в този раздел ще започнем да решаваме практически задачи, чието значение е посочено в заглавието. Нека разгледаме какви възможности предоставя теорията за решаване на проблеми. Началната концепция за изчисляване на вероятността нормално разпределена случайна променлива, попадаща в даден интервал, е кумулативната функция на нормално разпределение.
Кумулативна функция за нормално разпределение:
.
Въпреки това е проблематично да се получат таблици за всяка възможна комбинация от средно и стандартно отклонение. Следователно, един от най-простите начини за изчисляване на вероятността нормално разпределена случайна променлива, попадаща в даден интервал, е да се използват таблици на вероятностите за стандартизираното нормално разпределение.
Стандартизирано или нормализирано е нормалното разпределение, средната стойност на която е и стандартното отклонение.
Функция на плътност на стандартизираното нормално разпределение:
.
Кумулативна функция на стандартизирано нормално разпределение:
.
Фигурата по-долу показва кумулативната функция на стандартизираното нормално разпределение, графиката на която е получена чрез изчисляване на определена извадка от данни в софтуерния пакет STATISTICA... Самата графика е червена крива и извадковите стойности се доближават до нея.
За да увеличите снимката, можете да кликнете върху нея с левия бутон на мишката.
Стандартизирането на произволна променлива означава преход от първоначалните единици, използвани в задачата, към стандартизирани единици. Стандартизацията се извършва по формулата
На практика всички възможни стойности на произволна променлива често не са известни, така че средната стойност и стандартното отклонение не могат да бъдат точно определени. Те се заменят със средноаритметичната стойност на наблюденията и стандартното отклонение с... Величината zизразява отклонението на стойностите на произволна променлива от средноаритметичната стойност при измерване на стандартните отклонения.
Отворен интервал
Таблицата на вероятностите за стандартизирано нормално разпределение, която се намира в почти всяка книга по статистика, съдържа вероятностите, че произволна променлива има стандартизирано нормално разпределение Зще приеме стойност, по-малка от определено число z... Тоест ще попадне в отворения интервал от минус безкрайност до z... Например, вероятността, че количеството Зпо-малко от 1,5 е равно на 0,93319.
Пример 1.Компанията произвежда части с нормален живот от 1000 часа и стандартно отклонение от 200 часа.
За произволно избрана част изчислете вероятността нейният експлоатационен живот да бъде най-малко 900 часа.
Решение. Нека представим първата нотация:
Търсене на вероятност.
Стойностите на произволната променлива са в отворения интервал. Но ние знаем как да изчислим вероятността случайна променлива да вземе стойност, по-малка от дадена, и според условието на задачата се изисква да се намери равна или по-голяма от дадена. Това е другата част от пространството под кривата на плътността на камбаната. Следователно, за да намерите желаната вероятност, трябва да извадите от единицата споменатата вероятност случайната променлива да приеме стойност, по-малка от дадени 900:
Сега произволната променлива трябва да бъде стандартизирана.
Продължаваме да въвеждаме обозначението:
z = (х ≤ 900)
;
х= 900 - дадена стойност на произволна променлива;
μ
= 1000 - средна стойност;
σ
= 200 - стандартно отклонение.
Въз основа на тези данни условията на проблема са:
.
Според таблици на стандартизирана случайна променлива (граница на интервала) z= −0,5 съответства на вероятност от 0,30854. Извадете го от единица и получете това, което се изисква в формулировката на проблема:
Така че, вероятността частта да издържи най-малко 900 часа е 69%.
Тази вероятност може да се получи с помощта на функцията MS Excel NORM.DIST (стойността на интегралната стойност е 1):
П(х≥900) = 1 - П(х≤900) = 1 - NORM.DIST (900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
За изчисленията в MS Excel - в един от следващите параграфи на този урок.
Пример 2.В някой град средният годишен доход на семейството е нормално разпределена случайна променлива със средна стойност 300 000 и стандартно отклонение 50 000. Известно е, че доходите на 40% от семействата са по-малки от А... Намерете стойността А.
Решение. В този проблем 40% не е нищо повече от вероятността произволна променлива да вземе стойност от отворен интервал, по-малка от определена стойност, обозначена с буквата А.
За да намерите величината А, първо съставяме интегралната функция:
Според състоянието на проблема
μ
= 300000 - средна стойност;
σ
= 50 000 - стандартно отклонение;
х = А- стойността, която трябва да се намери.
Съставяне на равенство
.
Според статистическите таблици откриваме, че вероятността 0,40 съответства на стойността на границата на интервала z = −0,25
.
Следователно, ние съставяме равенството
и намерете неговото решение:
А = 287300
.
Отговор: 40% от семействата имат доходи под 287 300.
Затворен интервал
В много задачи се изисква да се намери вероятността нормално разпределена случайна променлива да приеме стойност в диапазона от z 1 до z 2. Тоест ще попадне в затворения интервал. За да се решат такива проблеми, е необходимо да се намерят в таблицата вероятностите, съответстващи на границите на интервала, и след това да се намери разликата между тези вероятности. Това изисква изваждане на по-малката стойност от по-голямата. Примери за решения на тези често срещани проблеми са както следва и се предлага да ги решите независимо и след това можете да видите правилните решения и отговори.
Пример 3.Печалбата на предприятието за определен период е случайна величина, подчинена на закона за нормално разпределение със средна стойност 0,5 млн. и стандартно отклонение от 0,354. Определете с точност до два знака след десетичната запетая вероятността печалбата на предприятието да бъде от 0,4 до 0,6 c.u.
Пример 4.Дължината на произведената част е произволна променлива, разпределена според нормалния закон с параметри μ
= 10 и σ
= 0,071. Намерете с точност до два знака след десетичната запетая вероятността за брак, ако допустимите размери на частта трябва да бъдат 10 ± 0,05.
Съвет: в този проблем, в допълнение към намирането на вероятността случайна променлива да попадне в затворен интервал (вероятността да получите недефектна част), трябва да извършите още едно действие.
ви позволява да определите вероятността стандартизираната стойност Зне по-малко -zи не повече + z, където z- произволно избрана стойност на стандартизирана случайна променлива.
Приблизителен метод за проверка на нормалността на разпределение
Приблизителен метод за проверка на нормалността на разпределението на извадковите стойности се основава на следното свойство на нормално разпределение: коефициент на асиметрия β
1
и коефициентът на ексцес β
2
равно на нула.
Коефициент на асиметрия β
1
числено характеризира симетрията на емпиричното разпределение спрямо средната стойност. Ако коефициентът на асиметрия е нула, тогава средната аритметрична стойност, медианата и модата са равни: и кривата на плътността на разпределението е симетрична спрямо средната. Ако коефициентът на асиметрия е по-малък от нула (β
1
< 0
), тогава средната аритметична е по-малка от медианата, а медианата от своя страна е по-малка от режима () и кривата се измества надясно (в сравнение с нормалното разпределение). Ако коефициентът на асиметрия е по-голям от нула (β
1
> 0
), тогава средната аритметична е по-голяма от медианата, а медианата от своя страна е по-голяма от режима () и кривата е изместена наляво (в сравнение с нормалното разпределение).
Коефициент на ексцезия β
2
характеризира концентрацията на емпиричното разпределение около средноаритметичната по посока на оста ойи степента на пикове на кривата на плътността на разпределението. Ако коефициентът на ексцес е по-голям от нула, тогава кривата е по-удължена (в сравнение с нормалното разпределение)по оста ой(графиката е по-пикова). Ако коефициентът на ексцес е по-малък от нула, тогава кривата е по-сплескана (в сравнение с нормалното разпределение)по оста ой(графиката е по-тъпа).
Коефициентът на изкривяване може да се изчисли с помощта на функцията SKOS на MS Excel. Ако проверявате един масив от данни, тогава трябва да въведете диапазона от данни в едно поле "Число".
Коефициентът на ексцес може да се изчисли с помощта на функцията EXCESS на MS Excel. При проверка на един масив от данни също е достатъчно да въведете диапазона от данни в едно поле "Число".
Така че, както вече знаем, при нормално разпределение коефициентите на асиметрия и ексцес са равни на нула. Но какво ще стане, ако получим коефициенти на асиметрия, равни на -0,14, 0,22, 0,43, и коефициенти на ексцес, равни на 0,17, -0,31, 0,55? Въпросът е съвсем справедлив, тъй като на практика имаме работа само с приблизителни, селективни стойности на асиметрия и ексцес, които са обект на някакво неизбежно, неконтролируемо разсейване. Следователно е невъзможно да се изисква строго равенство на тези коефициенти до нула, те трябва да са достатъчно близки до нула. Но какво означава - достатъчно?
Необходимо е да се сравнят получените емпирични стойности с приемливите стойности. За да направите това, трябва да проверите следните неравенства (сравнете стойностите на коефициентите в модула с критичните стойности - границите на зоната за тестване на хипотезата).
За коефициента на асиметрия β
1
.
) играе особено важна роля в теорията на вероятностите и най-често се използва при решаване на практически задачи. Основната му характеристика е, че това е ограничаващ закон, към който се приближават други закони за разпределение при много често срещани типични условия. Например, сумата от достатъчно голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи приблизително се подчинява на нормалния закон и това се прави толкова по-точно, колкото повече случайни променливи се сумират.
Експериментално е доказано, че грешките в измерването, отклоненията в геометричните размери и положението на строителните конструктивни елементи при тяхното производство и монтаж, променливостта на физико-механичните характеристики на материалите и натоварванията, действащи върху строителните конструкции, са обект на нормалния закон.
Гаусовото разпределение се подчинява на почти всички случайни стойности, чието отклонение от средните стойности се причинява от голям набор от случайни фактори, всеки от които е поотделно незначителен (централна гранична теорема).
Нормална дистрибуциясе нарича разпределение на случайна непрекъсната променлива, за която плътността на вероятността има вида (фиг. 18.1).
Ориз. 18.1. Нормален закон за разпределение за 1< a 2 .
където a и са параметри на разпределение.
Вероятностните характеристики на случайна променлива, разпределена според нормалния закон, са:
Очаквана стойност (18,2)
Дисперсия (18.3)
Стандартно отклонение (18.4)
Коефициент на асиметрия A = 0(18.5)
Излишък Е= 0. (18.6)
Параметърът σ, включен в гаусовото разпределение, е равен на средно-квадратното съотношение на произволната стойност. Величината аопределя позицията на разпределителния център (виж фиг. 18.1) и стойността а- ширината на разпределението (фиг. 18.2), т.е. статистическо разпределение около средната стойност.
Ориз. 18.2. Нормален закон за разпределение за σ 1< σ 2 < σ 3
Вероятността за попадане в даден интервал (от x 1 до x 2) за нормално разпределение, както във всички случаи, се определя от интеграла от плътността на вероятностите (18.1), който не се изразява чрез елементарни функции и е представено от специална функция, наречена функция на Лаплас (интеграл на вероятностите).
Едно от представянията на интеграла на вероятностите:
Величината иНаречен квантил.
Вижда се, че Ф (х) е нечетна функция, т.е. Ф (-х) = -Ф (х) .
Стойностите на тази функция се изчисляват и представят под формата на таблици в техническата и учебната литература.
Функцията на разпределение на нормалния закон (фиг. 18.3) може да се изрази чрез интеграла на вероятностите:
Ориз. 18.2. Нормална функция на закона за разпределението.
Вероятността за удряне на произволна променлива, разпределена според нормалния закон в интервала от NSдо x, се определя от израза:
трябва да бъде отбелязано че
Ф (0) = 0; Ф (∞) = 0,5; Ф (-∞) = -0,5.
При решаване на практически задачи, свързани с разпределението, често е необходимо да се вземе предвид вероятността за попадане в интервал, симетричен по отношение на математическото очакване, ако дължината на този интервал, т.е. ако самият интервал има граница от до, имаме:
При решаване на практически задачи границите на отклоненията на случайните стойности се изразяват в стандарта, средноквадратичното отклонение, умножено по коефициент, който определя границите на областта на отклоненията на произволната величина.
Като вземем и и също използвайки формулата (18.10) и таблицата Ф (х) (Приложение № 1), получаваме
Тези формули показватче ако една произволна променлива има нормално разпределение, тогава вероятността за нейното отклонение от средната й стойност с не повече от σ е 68,27%, не повече от 2σ - 95,45% и не повече от 3σ - 99,73%.
Тъй като стойността на 0,9973 е близка до единицата, практически е невъзможно нормалното разпределение на произволна променлива да се отклони от математическото очакване с повече от 3σ. Това правило, което е вярно само за нормалното разпределение, се нарича правило на трите сигма. Счупването му има шанс P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Това правило се използва при установяване на границите на допустимите отклонения на толерансите на геометричните характеристики на продуктите и конструкциите.
Случайно, ако в резултат на опит може да приеме реални стойности с определени вероятности. Най-пълната, изчерпателна характеристика на произволна променлива е законът на разпределението. Законът за разпределението е функция (таблица, графика, формула), която ви позволява да определите вероятността произволна променлива X да приеме определена стойност xi или да попадне в определен интервал. Ако произволна променлива има даден закон за разпределение, тогава те казват, че тя се разпределя според този закон или се подчинява на този закон за разпределение.
Всеки закон за разпределениетоТова е функция, която напълно описва произволна променлива от вероятностна гледна точка. На практика разпределението на вероятностите на произволна променлива X често трябва да се преценява само по резултатите от теста.
Нормална дистрибуция
Нормална дистрибуцияНаричано още гаусово разпределение, разпределение на вероятностите, което играе критична роля в много области на знанието, особено във физиката. Физическата величина се подчинява на нормално разпределение, когато е повлияна от огромен брой случайни смущения. Ясно е, че подобна ситуация е изключително често срещана, следователно можем да кажем, че от всички разпределения в природата най-често се среща нормалното разпределение - оттук и едно от имената му.
Нормалното разпределение зависи от два параметъра - преместване и мащаб, тоест от математическа гледна точка не е едно разпределение, а цяло семейство от тях. Стойностите на параметрите съответстват на стойностите на средната стойност (математическо очакване) и разпространението (стандартно отклонение).
Стандартното нормално разпределение е нормално разпределение със средна стойност 0 и стандартно отклонение от 1.
Коефициент на асиметрия
Коефициентът на асиметрия е положителен, ако дясната опашка на разпределението е по-дълга от лявата, и отрицателен в противен случай.
Ако разпределението е симетрично по отношение на математическото очакване, тогава неговият коефициент на асимметрия е нула.
Коефициентът на изкривяване на извадката се използва за тестване на разпределението за симетрия, както и за груб предварителен тест за нормалност. Позволява отхвърляне, но не позволява приемане на хипотезата за нормалност.
Коефициент на ексцезия
Коефициентът на ексцес (коефициент на пиковост) е мярка за остротата на пика на разпределението на произволна променлива.
"Минус три" в края на формулата беше въведено, за да направи коефициентът на ексцес на нормалното разпределение равен на нула. Положителен е, ако пикът на разпределението близо до математическото очакване е рязък, и отрицателен, ако върхът е гладък.
Моменти на произволна променлива
Моментът на произволна променлива е числова характеристика на разпределението на дадена случайна променлива.
