Казахме, че алгебрична крива от втори ред се определя от алгебрично уравнение от втора степен по отношение на NSи в... В общ вид такова уравнение се записва като

А NS 2 + B ху+ C в 2 + D х+ Д y+ F = 0, (6)

освен това, А 2 + В 2 + С 2 ¹ 0 (т.е. в същото време числата А, В, С не изчезват). Условия А NS 2, Б ху, С в 2 се наричат ​​старши термини на уравнението, числото

Наречен дискриминантана това уравнение. Извиква се уравнение (6) общо уравнениекрива от втори ред.

За кривите, разгледани по -рано, имаме:

Елипса: Þ A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

кръг NS 2 + в 2 = а 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - а 2, d = 1> 0;

Хипербола: Þ A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

Парабола: в 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

NS 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Кривите, дадени от уравнение (6), се наричат централнакриви, ако d¹0. Ако d> 0, тогава кривата елипсовиднавъведете, ако d<0, то кривая хиперболиченТип. Криви, за които d = 0 са криви параболиченТип.

Доказано е, че линията от втори ред в всякаквиДекартовата координатна система е дадена от алгебрично уравнение от втори ред. Само в едната система уравнението има сложна форма (например (6)), а в другата е по -проста, например (5). Следователно е удобно да се разгледа координатна система, в която изследваната крива се записва чрез най -простото (например канонично) уравнение. Преходът от една координатна система, при която кривата е дадена от уравнение от формата (6) към друга, където нейното уравнение има по -опростен вид, се нарича координатно преобразуване.

Нека разгледаме основните видове преобразувания на координати.

И. Извършете трансформациякоординатни оси (със запазване на посоката). Нека в оригиналната координатна система XOU точка M има координати ( NS, вNS¢, в¢). От чертежа се вижда, че координатите на точката М в различните системи са свързани чрез съотношенията

(7) или (8).

Формулите (7) и (8) се наричат ​​формули за преобразуване на координати.

II. Ротационна трансформациякоординатни оси под ъгъл а. Ако точка М има координати ( NS, в), а в новата координатна система XO ¢ Y има координати ( NS¢, в¢). Тогава връзката между тези координати се изразява с формулите

, (9)

или

Чрез преобразуване на координатите уравнение (6) може да бъде намалено до едно от следните канониченуравнения.

1) - елипса,

2) - хипербола,

3) в 2 = 2px, NS 2 = 2RU- парабола

4) а 2 NS 2 – б 2 y 2 = 0 - двойка пресичащи се прави линии (фиг. А)

5) y 2 – а 2 = 0 - двойка успоредни прави линии (фиг. Б)

6) х 2 –а 2 = 0 - двойка успоредни прави линии (фиг. В)

7) y 2 = 0 - съвпадащи прави линии (ос OX)

8) x 2 = 0 - съвпадащи прави линии (оста OU)

9) а 2 NS 2 + б 2 y 2 = 0 - точка (0, 0)

10) въображаема елипса

11) у 2 + а 2 = 0 - двойка въображаеми линии

12) x 2 + а 2 = 0 е двойка въображаеми линии.

Всяко от тези уравнения е уравнение на линия от втори ред. Извикват се линиите, определени от уравнения 4 - 12 изроденкриви от втори ред.

Помислете за примери за трансформиране на общото уравнение на крива в канонична форма.

1) 9NS 2 + 4в 2 – 54NS + 8в+ 49 = 0 Þ (9 NS 2 – 54NS) + (4в 2 + 8в) + 49 = 0 Þ

9(NS 2 – 6NS+ 9) + 4(в 2 + 2в+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9 ( NS –3) 2 + 4(в+ 1) = 36, Þ

.

Сложихме NS¢ = NS – 3, в¢ = в+ 1, получаваме каноничното уравнение на елипсата ... Равенство NS¢ = NS – 3, в¢ = в+ 1 определя трансформацията на транслацията на координатната система до точката (3, –1). След като сте изградили старите и новите координатни системи, не е трудно да нарисувате тази елипса.

2) 3в 2 +4NS– 12в+8 = 0. Преобразуване:

(3в 2 – 12в)+ 4 NS+8 = 0

3(в 2 – 4в+4) - 12 + 4 NS +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(NS –1) = 0

(в – 2) 2 = – (NS – 1) .

Сложихме NS¢ = NS – 1, в¢ = в- 2, получаваме уравнението на парабола в¢ 2 = - NS¢. Избраната подмяна съответства на прехвърлянето на координатната система в точката O ¢ (1,2).

В тази статия ще разгледаме общото уравнение на права линия в равнина. Нека дадем примери за изграждане на общото уравнение на права линия, ако са известни две точки от тази права или ако са известни една точка и нормалният вектор на тази права линия. Нека представим методите за преобразуване на уравнението в общ вид в канонични и параметрични форми.

Нека бъде дадена произволна декартова правоъгълна координатна система Окси... Помислете за уравнение от първа степен или линейно уравнение:

където A, B, C- някои константи и поне един от елементите Аи Бненулева.

Ще покажем, че линейното уравнение в равнина определя права линия. Нека докажем следната теорема.

Теорема 1. В произволна декартова правоъгълна координатна система на равнина всяка права линия може да бъде определена с линейно уравнение. Обратно, всяко линейно уравнение (1) в произволна декартова правоъгълна координатна система на равнина определя права линия.

Доказателство. Достатъчно е да се докаже, че линията Lсе определя от линейно уравнение за всяка една декартова правоъгълна координатна система, тъй като тогава тя ще се определя от линейно уравнение и за всеки избор на декартова правоъгълна координатна система.

Нека се даде права линия в равнината L... Нека изберем координатна система, така че оста Волсъвпада с права линия Lи оста Ойбеше перпендикулярна на него. Тогава уравнението на права линия Lще приеме следната форма:

Всички точки на права линия Lще задоволи линейното уравнение (2) и всички точки извън тази права линия няма да отговарят на уравнение (2). Първата част от теоремата е доказана.

Нека бъде дадена декартова правоъгълна координатна система и нека бъде дадено линейно уравнение (1), където поне един от елементите Аи Бненулева. Нека намерим мястото на точките, чиито координати отговарят на уравнение (1). Тъй като поне един от коефициентите Аи Бсе различава от нула, тогава уравнение (1) има поне едно решение М(х 0 ,y 0). (Например за А≠ 0, точка М 0 (−C / A, 0) принадлежи към даденото място на точки). Замествайки тези координати в (1), получаваме идентичността

Нека извадим идентичността (3) от (1):

Очевидно уравнението (4) е еквивалентно на уравнение (1). Следователно е достатъчно да се докаже, че (4) определя някаква линия.

Тъй като разглеждаме декартова правоъгълна координатна система, от равенство (4) следва, че вектор с компоненти ( x - x 0 , у - у 0) е ортогонално на вектора нс координати ( А, Б}.

Помислете за някаква права линия Lпреминавайки през точката М 0 (х 0 , y 0) и перпендикулярно на вектора н(Фиг. 1). Нека точката М(х, y) принадлежи на права линия L... След това векторът с координати x - x 0 , у - у 0 перпендикулярно ни уравнението (4) е изпълнено (скаларен продукт на вектори ни е равно на нула). Обратно ако точка М(х, y) не лежи на права линия L, след това вектора с координати x - x 0 , у - у 0 не е ортогонално на вектора ни уравнение (4) не е изпълнено. Теоремата е доказана.

Доказателство. Тъй като правите линии (5) и (6) определят една и съща права линия, нормалните вектори н 1 ={А 1 ,Б 1) и н 2 ={А 2 ,Б 2) са колинеарни. Тъй като вектори н 1 ≠0, н 2 ≠ 0, тогава съществува число λ , Какво н 2 =н 1 λ ... Следователно имаме: А 2 =А 1 λ , Б 2 =Б 1 λ ... Нека докажем това ° С 2 =° С 1 λ ... Очевидно съвпадащите линии имат обща точка М 0 (х 0 , y 0). Умножение на уравнението (5) по λ и изваждайки от него уравнение (6) получаваме:

Тъй като първите две равенства от изрази (7) са изпълнени, тогава ° С 1 λ −° С 2 = 0. Тези. ° С 2 =° С 1 λ ... Забележката е доказана.

Обърнете внимание, че уравнение (4) определя уравнението на права линия, преминаваща през точката М 0 (х 0 , y 0) и с нормален вектор н={А, Б). Следователно, ако нормалният вектор на правата линия и точката, принадлежаща на тази права линия, са известни, тогава е възможно да се изгради общото уравнение на правата линия, като се използва уравнение (4).

Пример 1. Права линия преминава през точка М= (4, −1) и има нормален вектор н= (3, 5). Постройте общото уравнение на права линия.

Решение. Ние имаме: х 0 =4, y 0 =−1, А=3, Б= 5. За да изградим общо уравнение на права линия, заместваме тези стойности в уравнение (4):

Отговор:

Векторът е успореден на права линия Lи следователно е пердикулярна на нормалния вектор на правата линия L... Нека конструираме нормален вектор на права линия L, като се има предвид, че скаларното произведение на вектори ни е равно на нула. Можем да запишем например н={1,−3}.

За да конструираме общото уравнение на права линия, ще използваме формула (4). Заменете в (4) координатите на точката М 1 (можем да вземем и координатите на точката М 2) и нормален вектор н:

Замяна на координатите на точките М 1 и М 2 в (9) можем да се уверим, че правата линия, дадена от уравнение (9), преминава през тези точки.

Отговор:

Извадете (10) от (1):

Получихме каноничното уравнение на линията. Вектор q={−Б, А) е насочващият вектор на правата линия (12).

Вижте обратна трансформация.

Пример 3. Правата линия на равнина е представена от следното общо уравнение:

Преместете втория член надясно и разделете двете страни на уравнението на 2 · 5.

Крива от втори ред- местоположение на точки на равнина, правоъгълни координати

които отговарят на уравнение от вида:

в която поне един от коефициентите а 11, а 12, а 22не е нула.

Инварианти на криви от втори ред.

Формата на кривата зависи от 4 инварианта, дадени по -долу:

Ротационни и транслационни инварианти на координатната система:

Инвариантно по отношение на въртенето на координатната система ( полуинвариантно):

За да изучите кривите от втори ред, помислете за продукта A * C.

Общ уравнение на крива от втори редизглежда така:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Ако A * C> 0 елипсовиден тип... Всякакви елипсовидни

уравнение е уравнение или на обикновена елипса, или на дегенерирана елипса (точка), или на въображаема

елипса (в този случай уравнението не определя едно геометрично изображение на равнината);

Ако A * C< 0 , тогава уравнението приема формата на уравнението хиперболичен тип... Всеки хиперболичен

уравнението изразява или проста хипербола, или дегенерирана хипербола (две пресичащи се линии);

Ако A * C = 0, тогава линията от втори ред няма да бъде централна. Уравнения от този тип се наричат

уравнения параболичен типи изрази в равнина или проста парабола, или 2 паралелни

(или съвпадащи) прави линии, или не изразяват геометрично изображение в равнината;

Ако A * C ≠ 0, кривата от втори ред ще бъде

Общото уравнение на кривата от втори ред в равнината е:

Брадва 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ей + F = 0, (39)

където А 2 + Б 2 + ° С 2 0, (А, Б, ° С, д, E, F) R... Той определя всички възможни конични участъци, които са произволно разположени в равнината.

От коефициентите на уравнение (39) съставяме две детерминанти:

Наречен дискриминанта на уравнението(39), и - дискриминанта на водещите членове на уравнението.При 0 уравнение (39) определя:> 0 - елипса;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

От общото уравнение (39) можете да преминете към каноничното уравнение, ако изключите линейните и кръстосаните членове, като преминете към нова координатна система, която съвпада с осите на симетрията на фигурата. Замени в (39) хНа х + аи yНа y + б, където а, бнякои константи. Нека изпишем получените коефициенти за NSи yи ги приравнявайте на 0

(Аа + Бб + д)х = 0, (Cb + Ба + E)y = 0. (41)

В резултат на това уравнение (39) ще приеме вида:

А(х) 2 + 2Б(х)(y) + ° С(y) 2 + F = 0, (42)

където коефициентите А, Б, ° Сне са се променили, но F= /. Решението на системата от уравнения (41) ще определи координатите на центъра на симетрията на фигурата:

Ако Б= 0, тогава а = -д/А, б = -E/° Си е удобно да се изключат линейните членове в (39) чрез метода на редукция до перфектен квадрат:

Брадва 2 + 2Dx = А(х 2 + 2xD/А + (д/А) 2 - (д/А) 2) = А(х + д/А) 2 - д 2 /А.

В уравнение (42) ще завъртим координатите под ъгъла a (38). Нека изпишем получения коефициент на кръстосания член хyи го приравняваме на 0

xy = 0. (44)

Условие (44) определя необходимия ъгъл на завъртане на координатните оси, докато те съвпаднат с осите на симетрия на фигурата и приеме формата:

Уравнение (42) приема вида:

А+ X 2 + ° С + Y 2 + F = 0 (46)

от което е лесно да се премине към каноничното уравнение на кривата:

Коефициенти А + , ° С+, при условие (45), може да се представи като корени на спомагателно квадратно уравнение:

T 2 - (А + ° С)T + = 0. (48)

В резултат на това бяха определени позицията и посоката на осите на симетрията на фигурата, нейната полуос:

и тя може да бъде конструирана геометрично.

В случай = 0 имаме парабола. Ако неговата ос на симетрия е успоредна на оста Ох, тогава уравнението се редуцира до формата:

ако не, тогава във формата:

където изразите в скоби, приравнени на 0, определят линиите на новите координатни оси:,.

Решаване на типични задачи

Пример 15.Уравнение 2 х 2 + 3y 2 - 4х + 6y- 7 = 0 към каноничната форма и изграждане на крива.

Решение. Б= 0, = -72 0, = 6> 0 елипса.

Нека извършим редукцията до пълен квадрат:

2(х - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Център на симетрични координати (1; -1), линейно преобразуване х = х - 1, Y = y+ 1 привежда уравнението в канонична форма.

Пример 16.Уравнение 2 xy = а 2 към каноничната форма и изградете крива.

Решение. Б = 1, = а 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Центърът на координатната система е в центъра на симетрията на кривата; в уравнението няма линейни термини. Нека завъртим осите през ъгъла a. По формула (45) имаме tan2a = Б/(А - ° С) =, т.е. а = 45 °. Коефициентите на каноничното уравнение (46) А + , ° С+ се определят от уравнение (48): T 2 = 1 или T 1,2 = 1 А + = 1, ° С+ = -1, т.е.
х 2 - Y 2 = а 2 или. По този начин уравнение 2 ху = а 2 описва хипербола с център на симетрия в (0; 0). Осите на симетрията са разположени по протежение на бисектрисите на координатните ъгли, координатните оси са асимптотите, полуосите на хиперболата са равни а.y - 9 = 0;

9х 2 + y 2 - 18х + 2y + 1 = 0;

2х 2 + 4NS + y - 2 = 0;

3х 2 - 6NS - y + 2 = 0;

- х 2 + 4y 2 - 8х - 9y + 16 = 0;

4х 2 + 8NS - y - 5 = 0;

9х 2 - y 2 + 18х + 2y - 1 = 0;

9х 2 - 4y 2 + 36х + 16y - 16 = 0.

Установяваме правоъгълна координатна система на равнината и разглеждаме общото уравнение на втората степен

в който
.

Извиква се множеството от всички точки на равнината, чиито координати отговарят на уравнение (8.4.1) крив (линия) втора поръчка.

За всяка крива от втори ред има правоъгълна координатна система, наречена канонична, в която уравнението на тази крива има една от следните форми:

1)
(елипса);

2)
(въображаема елипса);

3)
(чифт въображаеми пресичащи се линии);

4)
(хипербола);

5)
(чифт пресичащи се линии);

6)
(парабола);

7)
(чифт успоредни линии);

8)
(чифт въображаеми успоредни линии);

9)
(чифт съвпадащи прави линии).

Извикват се уравнения 1) –9) канонични уравнения на криви от втори ред.

Решението на проблема за свеждане на уравнението на крива от втори ред до каноничната форма включва намирането на каноничното уравнение на кривата и каноничната координатна система. Канонизацията ви позволява да изчислите параметрите на крива и да определите нейното местоположение спрямо оригиналната координатна система. Преход от оригиналната правоъгълна координатна система
към каноничната
се осъществява чрез завъртане на осите на оригиналната координатна система около точка Опод някакъв ъгъл  и последващ паралелен превод на координатната система.

Чрез инварианти на крива от втори ред(8.4.1) се наричат ​​такива функции на коефициентите на неговото уравнение, чиито стойности не се променят при преминаване от една правоъгълна координатна система към друга от същата система.

За кривата от втори ред (8.4.1), сумата от коефициентите в квадратите на координатите

,

детерминанта, съставена от коефициентите при най -високите членове

и детерминанта от трети ред

са инварианти.

Стойността на инвариантите s, ,  може да се използва за определяне на типа и съставяне на каноничното уравнение на крива от втори ред (таблица 8.1).

Таблица 8.1

Класификация на криви от втори ред въз основа на инвариантите

Нека разгледаме по -отблизо елипсата, хиперболата и параболата.

Елипса(Фиг. 8.1) се нарича мястото на точките на равнината, за които сумата от разстоянията до две неподвижни точки
този самолет, т.нар огнища на елипса, има постоянна стойност (по -голяма от разстоянието между фокусите). Това не изключва съвпадението на фокусите на елипсата. Ако фокусите съвпадат, тогава елипсата е кръг.

Половината сума от разстоянията от точката на елипсата до нейните фокуси се обозначава с а, половината от разстоянието между фокусите - с... Ако е избрана правоъгълна координатна система на равнината, така че фокусите на елипсата да са разположени върху оста Охсиметрично относно началото, тогава в тази координатна система елипсата се дава от уравнението

, (8.4.2)

Наречен каноничното елипсово уравнение, където
.

Ориз. 8.1

При посочения избор на правоъгълна координатна система, елипсата е симетрична спрямо координатните оси и началото. Осите на симетрията на елипсата го наричат оси, и центърът на симетрията - центъра на елипсата... В същото време числата 2 често се наричат ​​осите на елипсата. аи 2 би цифрите аи б – голями полу-малка оссъответно.

Точките на пресичане на елипсата с нейните оси се наричат върховете на елипсата... Върховете на елипсата имат координати ( а, 0), (–а, 0), (0, б), (0, –б).

Елипса на ексцентричностизвика номера

. (8.4.3)

От 0  ° С < а, ексцентриситет на елипсата 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Следователно може да се види, че ексцентрицитетът характеризира формата на елипсата: колкото по -близо  до нула, толкова повече елипсата изглежда като окръжност; с увеличаване на , елипсата става по -продълговата.

Нека бъде
- произволна точка на елипсата,
и
- разстояние от точката Мпреди трикове F 1 и F 2 съответно. Числата r 1 и r 2 се наричат радиуси на фокусна точка М елипсаи се изчисляват по формулите

Директоркиосвен кръг елипсас каноничното уравнение (8.4.2) са две прави линии

.

Елипсовата директриса се намира извън елипсата (фиг. 8.1).

Съотношение на фокусния радиус точкиМелипса на разстояние  тази елипса (фокусът и директрисата се считат за подходящи, ако са от една и съща страна на центъра на елипсата).

Хипербола(Фиг. 8.2) се нарича мястото на точките на равнината, за които модулът на разликата между разстоянията до две неподвижни точки и този самолет, т.нар фокуси на хипербола, има постоянна стойност (не равна на нула и по -малка от разстоянието между фокусите).

Нека разстоянието между фокусите да бъде 2 с, а посоченият модул на разликата в разстоянието е 2 а... Нека изберем правоъгълна координатна система по същия начин, както за елипса. В тази координатна система хиперболата се дава от уравнението

, (8.4.4)

Наречен каноничното уравнение на хипербола, където
.

Ориз. 8.2

При този избор на правоъгълна координатна система координатните оси са осите на симетрия на хиперболата, а началото е нейният център на симетрия. Осите на симетрията на хиперболата го наричат оси, а центърът на симетрията е център на хипербола... Правоъгълник със страни 2 аи 2 бразположени, както е показано на фиг. 8.2 се извиква основният правоъгълник на хиперболата... Числа 2 аи 2 бОсите на хиперболата и числата аи б- нея полувалове... Линии, които са продължение на диагоналите на основния правоъгълник хиперболни асимптоти

.

Точки на пресичане на хиперболата с оста Волса наречени върховете на хиперболата... Върховете на хиперболата имат координати ( а, 0), (–а, 0).

Ексцентрицитет на хиперболаизвика номера

. (8.4.5)

Дотолкова доколкото с > а, ексцентрицитетът на хиперболата > 1. Нека пренапишем равенството (8.4.5) във вида

.

Следователно може да се види, че ексцентричността характеризира формата на основния правоъгълник и следователно формата на самата хипербола: колкото по -малък е , толкова повече се простира главният правоъгълник и след него самата хипербола по оста Вол.

Нека бъде
- произволна точка на хиперболата,
и
- разстояние от точката Мпреди трикове F 1 и F 2 съответно. Числата r 1 и r 2 се наричат радиуси на фокусна точка М хиперболаи се изчисляват по формулите

Директорки хиперболас каноничното уравнение (8.4.4) са две линии

.

Директрите на хипербола пресичат главния правоъгълник и преминават между центъра и съответния връх на хиперболата (фиг. 8.2).

О съотношение на фокусния радиус точкиМ хипербола към разстояние от тази точка до съответния фокус директорката се равнява на ексцентричност на тази хипербола (фокусът и директрисата се считат за подходящи, ако са разположени от една и съща страна на центъра на хиперболата).

Парабола(Фиг. 8.3) се нарича местоположението на точките на равнината, за които разстоянието до някаква неподвижна точка F (фокусна парабола) на тази равнина е равно на разстоянието до някаква фиксирана права линия ( парабола директрикс), също разположени в разглежданата равнина.

Нека изберем началото Оправоъгълна координатна система в средата на сегмента [ FD], което е перпендикуляр извън фокуса Fкъм директрисата (предполага се, че фокусът не принадлежи на директрисата) и оста Воли Ойдиректно, както е показано на фиг. 8.3. Нека дължината на сегмента [ FD] е равно на стр... След това в избраната координатна система
и канонично уравнение на параболаима формата

. (8.4.6)

Количеството стрНаречен параметър парабола.

Параболата има ос на симетрия, наречена параболна ос... Точката на пресичане на парабола с нейната ос се нарича върха на парабола... Ако параболата е дадена от нейното канонично уравнение (8.4.6), тогава оста на параболата е оста Вол... Очевидно върхът на параболата е произходът.

Пример 1.Точка А= (2, –1) принадлежи на елипсата, точката F= (1, 0) е неговият фокус, съответстващ Fдиректрисата се дава от уравнението
... Изравнете тази елипса.

Решение.Ще приемем, че координатната система е правоъгълна. След това разстоянието от точка Ана директорката
в съответствие със съотношение (8.1.8), в което


, равно на

.

Разстояние от точка Ада се съсредоточи Fравно на

,

което ви позволява да определите ексцентрицитета на елипсата

.

Нека бъде М = (х, y) Е произволна точка на елипсата. След това разстоянието
от точка Мна директорката
по формула (8.1.8) е равно на

и разстоянието от точка Мда се съсредоточи Fравно на

.

Тъй като за всяка точка на елипсата съотношението е постоянна стойност, равна на ексцентрицитета на елипсата, следователно имаме

,

Пример 2.Кривата се дава от уравнението

в правоъгълна координатна система. Намерете каноничната координатна система и каноничното уравнение на тази крива. Определете вида на кривата.

Решение.Квадратична форма
има матрица

.

Характерният му полином

има корени  1 = 4 и  2 = 9. Следователно, в ортонормираната основа на собствените вектори на матрицата Аразглежданата квадратна форма има канонична форма

.

Нека пристъпим към изграждане на матрица на ортогонално преобразуване на променливите, която редуцира разглежданата квадратна форма до посочената канонична форма. За целта ще конструираме фундаментални системи от решения на хомогенни системи от уравнения
и ги ортонормализирайте.

При
тази система има формата

Общото му решение е
... Тук има една безплатна променлива. Следователно фундаменталната система от решения се състои от един вектор, например от вектора
... Нормализирайки го, получаваме вектора

.

При
също конструиране на вектор

.

Вектори и вече са ортогонални, тъй като се отнасят до различни собствени стойности на симетричната матрица А... Те съставляват каноничната ортонормална основа на дадената квадратна форма. Необходимата ортогонална матрица (ротационна матрица) се конструира от колоните на техните координати

.

Нека проверим правилността на намирането на матрицата Rспоред формулата
, където
- матрица с квадратна форма в основата
:

Матрица Rнамерени правилно.

Нека извършим трансформацията на променливите

и запишете уравнението на тази крива в нова правоъгълна координатна система със стария вектор на центъра и посоката
:

където
.

Получава каноничното уравнение на елипсата

.

Поради факта, че получената трансформация на правоъгълни координати се определя от формулите

,

,

канонична координатна система
има начало
и водещи вектори
.

Пример 3.Използвайки инвариантна теория, определете типа и напишете каноничното уравнение на кривата

Решение.Дотолкова доколкото

,

в съответствие с таблицата. 8.1 заключаваме, че това е хипербола.

Тъй като s = 0, характеристичният полином на матрица с квадратна форма

Корените му
и
ви позволява да напишете каноничното уравнение на кривата

където Ссе установява от условието

,

.

Желаното канонично уравнение на кривата

.

В задачите на този раздел координатитех, yсе приемат за правоъгълни.

8.4.1. За елипси
и
намирам:

а) полуоси;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) уравнения на директрисите.

8.4.2. Направете уравненията на елипса, като знаете нейния фокус
съответстващи на директора х= 8 и ексцентричност ... Намерете втория фокус и втората директриса на елипсата.

8.4.3. Приравнете елипса, чийто фокус е в координати (1, 0) и (0, 1), а главната ос е две.

8.4.4. Дадена хипербола
... Намирам:

а) полуоси аи б;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) уравнения на асимптоти;

д) директрисни уравнения.

8.4.5. Дадена хипербола
... Намирам:

а) полуоси аи б;

б) трикове;

в) ексцентричност;

г) уравнения на асимптоти;

д) директрисни уравнения.

8.4.6. Точка
принадлежи към хипербола, чийто фокус е
, а съответната директриса е дадена от уравнението
... Изравнете тази хипербола.

8.4.7. Изравнете парабола, ако се обърне внимание
и директорката
.

8.4.8. Като се има предвид върхът на параболата
и уравнението на директрисата
... Изравнете тази парабола.

8.4.9. Изравнете парабола, чийто фокус е в точка

а директрисата е дадена от уравнението
.

8.4.10. Изравнете кривата от втори ред, като знаете нейната ексцентричност
, фокус
и съответният директор
.

8.4.11. Определете типа на кривата от втори ред, напишете нейното канонично уравнение и намерете каноничната координатна система:

Ж)
;

8.4.12.

е елипса. Намерете дължините на полуосите и ексцентрицитета на тази елипса, координатите на центъра и фокусите, направете уравненията за осите и директрисата.

8.4.13. Докажете, че кривата от втори ред, дадена от уравнението

е хипербола. Намерете дължините на полуосите и ексцентрицитета на тази хипербола, координатите на центъра и фокусите, съставете уравненията за осите, директрисите и асимптотите.

8.4.14. Докажете, че кривата от втори ред, дадена от уравнението

,

е парабола. Намерете параметъра на тази парабола, координатите на върховете и фокуса, направете уравненията за оста и директрисата.

8.4.15. Доведете всяко от следните уравнения до канонична форма. Начертайте съответната крива от втори ред на чертежа спрямо оригиналната правоъгълна координатна система:

8.4.16. Използвайки инвариантна теория, определете типа и напишете каноничното уравнение на кривата.