В изчислителната практика често се налага да се справят с функции, дадени от таблици на техните стойности за някакъв краен набор от стойности NS : .

В процеса на решаване на проблема е необходимо да се използват стойностите
за междинни стойности на аргумента. В този случай се конструира функция Ф (х), която е достатъчно проста за изчисления, които в дадените точки х 0 , х 1 , ..., х н , наречени интерполационни възли, приема стойности, а в другите точки на сегмента (x 0, x n), принадлежащи към областта на дефиницията
, приблизително представлява функцията
с различна степен на точност.

При решаване на проблема, в този случай, вместо функцията
работят с функцията Ф (x). Задачата за конструиране на такава функция Ф (x) се нарича интерполационен проблем. Най -често интерполиращата функция Ф (х) се търси под формата на алгебричен полином.

1. Интерполационен полином

За всяка функция
дефиниран на [ а, б] и всеки набор от възли х 0 , х 1 , ...., х н (х i
[а, б], х i х йза i й) сред алгебричните полиноми със степен най -много n има уникален интерполационен полином Ф (х), който може да бъде записан под формата:

, (3.1)

където
- полином от степен n със следното свойство:

За интерполационния полином, полиномът
изглежда като:

Този полином (3.1) решава проблема с интерполацията и се нарича интерполационен полином на Лагранж.

Като пример, помислете за функция на формата
на интервала
дадени по табличен начин.

Необходимо е да се определи стойността на функцията в точка x-2.5. За това ще използваме полинома на Лагранж. Въз основа на формули (3.1 и 3.3), ние записваме този полином в изрична форма:

(3.4).

След това, замествайки началните стойности от нашата таблица във формула (3.4), получаваме

Резултатът е в съответствие с теорията, т.е. ...

1. Формула за интерполация на Лагранж

Интерполационният полином на Лагранж може да бъде записан в различна форма:

(3.5)

Записването на полинома под формата (3.5) е по -удобно за програмиране.

При решаване на интерполационния проблем количеството нсе нарича ред на интерполиращия полином. Освен това, както се вижда от формулите (3.1) и (3.5), броят на интерполационните възли винаги ще бъде равен на n + 1и значението х, за които стойността
, трябва да лежи в областта на дефиницията на интерполационните възли тези.

. (3.6)

В някои практически случаи общият известен брой интерполационни възли е мможе да бъде по-голям от реда на интерполиращия полином н.

В този случай, преди да се приложи процедурата на интерполация съгласно формула (3.5), е необходимо да се определят тези възли на интерполация, за които е валидно условие (3.6). Трябва да се помни, че най -малката грешка се постига при намиране на стойността х в центъра на интерполационната зона. За да се гарантира това, се предлага следната процедура:

Основната цел на интерполацията е да изчисли стойностите на табличната функция за стойности на аргументи, които не са възлови (междинни), така че интерполацията често се нарича „изкуството на четене на таблици между редовете“.

Полином на Лагранж

Лагранжев интерполационен полином- полином с минимална степен, който приема зададени стойности в даден набор от точки. За н+ 1 двойка числа, където всички х iразличен, има само един полином L(х) степен не повече н, за което L(х i) = y i .

В най -простия случай ( н= 1) е линеен полином, чиято графика е права линия, преминаваща през две дадени точки.

Определение

Този пример показва интерполационния полином на Лагранж за четири точки (-9,5), (-4,2), (-1, -2) и (7,9), както и полиномите y j l j (x), всяка от които преминава през една от избраните точки и приема нулева стойност в останалите x i

Нека за функцията е(х) стойностите са известни y й = е(х й) в някои точки. Тогава можем да интерполираме тази функция като

В частност,

Стойностите на интегралите на л йне зависят от е(х) и те могат да бъдат изчислени предварително, като се знае последователността х i .

За случая на равномерно разпределение на интерполационни възли по сегмент

В този случай можем да изразим х iпрез разстоянието между интерполационните възли h и началната точка х 0 :

и следователно

Замествайки тези изрази във формулата на основния полином и извеждайки h за знаците за умножение в числителя и знаменателя, получаваме

Сега можете да въведете замяна на променлива

и да получим полином на yкойто е изграден с помощта само на целочислена аритметика. Недостатъкът на този подход е факториалната сложност на числителя и знаменателя, която изисква използването на алгоритми с многобайтово представяне на числа.

външни връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво представлява „полиномът на Лагранж“ в други речници:

Формата на писане на полином от степен n (полином на Лагранж с интерполация), интерполиращ дадена функция f (x) .В възлите x 0, x1, ..., xn: В случай, когато стойностите на xi са на еднакво разстояние, тоест, използвайки нотацията (x x0) / h = t формула (1) ... ... Енциклопедия по математика

В математиката полиномите или полиномите в една променлива са функции от формата, където ci са фиксирани коефициенти, а x е променлива. Полиномите представляват един от най -важните класове елементарни функции. Изучаване на полиномиални уравнения и техните решения ... ... Уикипедия

В изчислителната математика полиномите на Бернщайн са алгебрични полиноми, които са линейни комбинации от основни полиноми на Бернщайн. Стабилен алгоритъм за изчисляване на полиноми във формата на Бернщайн е алгоритъмът ... ... Уикипедия

Полином с минимална степен, който приема дадените стойности в даден набор от точки. За двойки числа, където всички са различни, има най-много един полином от степен, за който. В най -простия случай (... Уикипедия

Интерполационният полином на Лагранж е полином с минимална степен, който приема дадени стойности в даден набор от точки. За n + 1 двойки числа, където всички xi са различни, има уникален полином L (x) от степен най -много n, за който L (xi) = yi ... ... Уикипедия

Интерполационният полином на Лагранж е полином с минимална степен, който приема дадени стойности в даден набор от точки. За n + 1 двойки числа, където всички xi са различни, има уникален полином L (x) от степен най -много n, за който L (xi) = yi ... ... Уикипедия

За функцията вижте: Interpolyant. Интерполацията в изчислителната математика е метод за намиране на междинни стойности на величина от наличен дискретен набор от известни стойности. Много от тези, които са изправени пред научни и инженерни изчисления често ... Уикипедия

За функцията вижте: Interpolyant. Интерполацията, интерполацията в изчислителната математика е метод за намиране на междинни стойности на величина от наличен дискретен набор от известни стойности. Много от тези, които се натъкват на научни и ... ... Wikipedia

Ще конструираме интерполационен полином във формата

където са най -много полиноми от степен НС,имащи следното свойство:

Всъщност в този случай полиномът (4.9) на всеки възел x j, j = 0,1, ... n, е равно на съответната стойност на функцията y j, т.е. е интерполация.

Нека конструираме такива полиноми. Тъй като за x = x 0, x 1,… x i -1, x i +1,… x n, можем да факторизираме, както следва

където c е константа. От условието получаваме това

Интерполационен полином (4.1), записан във формата

се нарича интерполационен полином на Лагранж.

Приблизителната стойност на функцията в точката х *изчислено с помощта на полинома на Лагранж ще има остатъчна грешка (4.8). Ако стойностите на функцията y iв интерполационни възли x iса зададени приблизително със същата абсолютна грешка, тогава вместо точната стойност ще бъде изчислена приблизителна стойност и

където е изчислителната абсолютна грешка на интерполационния полином на Лагранж. И накрая, имаме следната оценка на общата грешка на приблизителната стойност.

По -специално, полиномите на Лагранж от първа и втора степен ще имат формата

и техните общи грешки в точката x *

Съществуват и други форми на запис на същия интерполационен полином (4.1), например формулата за интерполация на Нютон с разделени разлики, разгледани по-долу и нейните варианти. За точни изчисления, стойностите Pn (x *)получени чрез различни интерполационни формули, изградени от едни и същи възли, съвпадат. Наличието на изчислителна грешка води до разлика в стойностите, получени от тези формули. Записването на полином под формата на Лагранж води, като правило, до по-малка изчислителна грешка.

Използването на формули за оценка на грешките, произтичащи от интерполация, зависи от формулирането на проблема. Например, ако броят на възлите е известен и функцията е дадена с достатъчно голям брой правилни знаци, тогава проблемът с изчисляването f (x *)с възможно най -голяма точност. Ако, напротив, броят на правилните знаци е малък и броят на възлите е голям, тогава проблемът с изчисляването f (x *)с точността, която позволява табличната стойност на функцията, и за решаването на този проблем може да се наложи както разреждане, така и уплътняване на таблицата.

§4.3. Разделени различия и техните свойства.

Концепцията за разделената разлика е обобщено понятие за производната. Нека стойностите на функциите f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Разделените разлики от първи ред се определят от равенствата

разделени от разлики от втори ред - равенства,

и отделените различия к-ият ред се определят по следната рекурсивна формула:

Разделителните разлики обикновено се поставят в таблица по следния начин:

Помислете за следните свойства на отделните разлики.

1. Разделените разлики на всички поръчки са линейни комбинации от стойности f (x i), т.е. има следната формула:

Нека докажем валидността на тази формула чрез индукция по реда на различията. За разлики от първи ред

Формулата (4.12) е валидна. Да предположим сега, че е валидно за всички разлики в реда.

След това, съгласно (4.11) и (4.12), за разлики в реда k = n + 1ние имаме

Термините, съдържащи f (x 0)и f (x n +1), имат необходимия формуляр. Помислете за термините, съдържащи f (x i), i = 1, 2, ..., n... Има два такива термина - от първата и втората сума:

тези. формулата (4.12) е валидна за разликата в поръчката k = n + 1, доказателството приключи.

2. Разделената разлика е симетрична функция на нейните аргументи x 0, x 1, ... x n (т.е. не се променя за никаква пермутация):

Това свойство следва пряко от равенството (4.12).

3. Просто отношение на разделена разлика еи производно f (n) (x)дава следната теорема.

Нека възлите x 0, x 1, ... x n принадлежат на сегмента и функция f (x)има на този сегмент непрекъсната производна на ред NS... Тогава има смисъл xÎ, Какво

Нека първо докажем валидността на връзката

Съгласно (4.12) изразът в квадратни скоби е

е.

Сравняване (4.14) с израза (4.7) за остатъка R n (x) = f (x) -L n (x)получаваме (4.13), теоремата е доказана.

От тази теорема следва просто следствие. За полином NS-та степен

f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + ... a n

дериват на поръчка NSявно има

и съотношение (4.13) дава за разделената разлика стойността

И така, всеки полином от степен NSразделени разлики в реда NSса равни на постоянна стойност - коефициентът в най-високата степен на полинома. Отделни различия на висшите порядки
(Повече ▼ NS) очевидно са равни на нула. Този извод обаче е валиден само ако няма изчислителна грешка за отделените разлики.

§4.4. Интерполационен полином на Нютон с разделени разлики

Нека напишем интерполационния полином на Лагранж в следната форма:

където L 0 (x) = f (x 0) = y 0, а L k (x)- Интерполационен полином на Лагранж от степен кизградени от възли x 0, x 1, ..., x k... След това има полином на степента кчиито корени са точки x 0, x 1, ..., x k -1... Следователно, той може да бъде факторизиран

където A k е константа.

В съответствие с (4.14) получаваме

Сравнявайки (4.16) и (4.17), получаваме, че (4.15) също има формата

който се нарича интерполационен полином на Нютон с разделени разлики.

Този тип обозначения на интерполационния полином е по -описателен (добавянето на един възел съответства на появата на един термин) и дава възможност да се проследи по -добре аналогията на конструираните конструкции с основните конструкции на математическия анализ.

Остатъчната грешка на интерполационния полином на Нютон се изразява с формула (4.8), но тя, като се има предвид (4.13), може да бъде записана в друга форма

тези. остатъчната грешка може да бъде оценена чрез модула на първия отхвърлен член в полинома N n (x *).

Изчислителна грешка N n (x *)ще се определят от грешките на отделените разлики. Интерполационни възли, най-близки до интерполираната стойност х *, ще има по -голямо въздействие върху интерполационния полином, лежащ по -далеч - по -малко. Ето защо е препоръчително, ако е възможно, за x 0и x 1вземете да дойдете х *интерполационни възли и първо извършват линейна интерполация на тези възли. След това постепенно привличайте следващите възли, така че да са възможно най -симетрични спрямо х *докато следващият член по абсолютна стойност е по -малък от абсолютната грешка на включената в него разделена разлика.

Нека на сегмента функция y = f (x)е зададено в таблица, т.е. (x i, y i), (i = 0,1, .., n),където y i = f (x i).Тази функция се нарича " окото».

Формулиране на проблема: намирам алгебричен полином (полином):

степен не по-висока нтакъв, че

L n (x i) = y i,при i = 0,1, .., н,(5.6)

тези. имащи в дадени възли x i, (i=0,1,..,н) същите стойности като функцията на мрежата при=f (x).

Самият полином L n (x)Наречен интерполационен полином, а задачата е полиномиална интерполация .

Намерете полинома L n (x)- това означава намерете неговите коефициенти a 0 , а 1 ,…, Ан. За това има n + 1 условие (5.6), които са написани под формата на система от линейни алгебрични уравнения по отношение на неизвестните а аз,(i=0, 1,…,н):

където хаз и yаз ( i=0,1,…,н) - таблични стойности на аргумента и функцията.

От курса по алгебра е известно, че детерминантата на тази система, наречена детерминанта на Вандермонде:

ненулеваи следователно системата (5.7) има единствено решение.

След определяне на коефициентите а 0 , а 1 ,…, A n, решаваща система (5.7), получаваме т.нар Интерполационен полином на Лагранжза функция f (x):

(5.8)

което може да се запише като:

Доказано е, че дадено н+1 стойности на функцията могат да бъдат нанесени единственият интерполационен полином на Лагранж(5.8).

На практика интерполационните полиноми на Лагранж на първия ( n = 1) и втората ( n = 2) степени.

При n = 1 информация за интерполираната функция y = f (x)се поставя в две точки: (х 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ), и полиномът на Лагранж има формата

За n = 2 полиномът на Лагранж е конструиран от таблица с три точки

Решение:Заместваме изходните данни във формулата (5.8). Степента на получения полином на Лагранж не е по -висока от третата, тъй като функцията се определя от четири стойности:

Използвайки интерполационния полином на Лагранж, можете да намерите стойността на функцията във всяка междинна точка, например за NS=4:

= 43

Интерполационни полиноми на Лагранжизползвано в метод на крайни елементи, широко използван при решаване на строителни проблеми.

Известни са и други интерполационни формули, например Формулата за интерполация на Нютонизползва се за интерполация в случай на еднакво разположени възли или интерполационен полином Хърмая.

Интерполация на сплайн... При използване на голям брой интерполационни възли се използва специална техника - частично полиномиална интерполациякогато функцията е интерполирана от полином на степен Tмежду съседни възли на мрежата.

Средна квадратна корекция на функциите

Формулиране на проблема

Rms приближениефункции е друг подход за получаване на аналитични изрази за сближаване на функции. Характерна особеност на подобни проблеми е фактът, че първоначалните данни за изграждането на определени закономерности са очевидни приблизителен характер.

Тези данни се получават в резултат на всеки експеримент или в резултат на някакъв изчислителен процес. Съответно тези данни съдържат експериментални грешки (грешки на измервателната апаратура и условия, случайни грешки и др.) или грешки при закръгляване.

Да кажем, че се изследва някакво явление или процес. Като цяло обектът на изследване може да бъде представен от кибернетична система („черна кутия“), показана на фигурата.

Променлива NSЕ независима контролирана променлива (входен параметър).

Променлива YДали реакцията (реакцията) на обекта на изследване е влиянието на входния параметър. Това е зависимата променлива.

Да предположим, че при обработката на резултатите от този експеримент е установена определена функционална зависимост y = f (x)между независимата променлива NSи зависима променлива приТази зависимост е представена под формата на таблица. 5.1 стойности x i, y i (i=1,2,…, Н), получени по време на експеримента.

Таблица 5.1

Ако изразът на аналитичната функция y = f (x)е неизвестен или много труден, тогава възниква проблемът да се намери функцията y =й (NS),стойности от които при x = x i, може би малко по -различноот експериментални данни да, (i=1,..,н). По този начин изследваната зависимост се апроксимира от функцията y =й (NS)на сегмента [ х 1 , x n]:

f (x) @й (NS). (5.9)

Приближаваща функция y =й (NS)Наречен емпирична формула (EF)или регресионно уравнение (RR).

Емпиричните формули не претендират да бъдат законите на природата, а са само хипотези, които повече или по -малко адекватно описват експерименталните данни. Значението им обаче е много голямо. В историята на науката има случаи, когато получената успешна емпирична формула доведе до големи научни открития.

Емпиричната формула е адекватенако може да се използва за описание на обекта на изследване с достатъчна точност за практикуване.

За какво е това пристрастяване?

Ако се намери приближението (5.9), тогава е възможно:

Направете прогноза за поведението на изследвания обект извън сегмента ( екстраполация );

Изберете оптимално посоката на развитие на изследвания процес.

Уравнението на регресията може да има различна форма и различно ниво на сложност, в зависимост от характеристиките на обекта, който се изследва, и необходимата точност на представяне.

Геометричнопроблемът с конструирането на уравнението на регресията се състои в начертаване на кривата L: y =й (NS) « възможно най -близо»В непосредствена близост до системата от експериментални точки M i (x i, y i), i = 1,2, .., ндадена таблица. 5.1 (Фигура 5.2).

Изграждането на уравнението на регресията (емпирична функция) се състои от 2 етапа:

1. избор на общ изгледрегресионни уравнения,

2. определяне на нейните параметри.

Успешен изборуравнението на регресията до голяма степен зависи от опита на експериментатора, изследващ процес или явление.

Като уравнение на регресията често се избира полином (полином):

Втора задача, намиране на параметрирегресионните уравнения се решават с обикновени методи, например метод на най -малките квадрати(OLS), който се използва широко при изучаването на всеки модел въз основа на наблюдения или експерименти.

Развитието на този метод е свързано с имената на известни математици от миналото - К. Гаус и А. Лежандр.

Метод на най-малкия квадрат

Да приемем, че резултатите от експеримента са представени под формата на таблица. 5.1. А регресионното уравнение е записано под формата (5.11), т.е. зависи от ( м+1) параметър

Тези параметри определят местоположението на графиката на уравнението на регресията спрямо експерименталните точки M i (x i, y i), i = 1,2, .., н(Фигура 5.2).

Тези параметри обаче не са еднозначно определени. Изисква се да се избират параметрите, така че графиката на уравнението на регресията да се намира „ възможно най -близо»Към системата на тези експериментални точки.

Нека въведем концепцията отклонениястойности на регресионното уравнение (5.11) от стойността на таблицата y iза x i : , i = 1,2, .., н.

Обмисли сумата от квадратите на отклоненията, коитозависи от( м+1) параметър

Според OLS, най-добрите коефициенти a i(i=0,1,..,м) са тези, които свеждат до минимум сумата от квадратите на отклоненията, т.е.функция.

Използвайки необходими условия за екстремум на функциятаняколко променливи, получаваме т.нар нормална системаза определяне на неизвестни коефициенти :

За приближаващата функция (5.11) системата (5.14) е система от линейни алгебрични уравнения за неизвестните .

Възможни са случаи:

1. Ако, тогава има безкрайно много полиноми (5.11), които минимизират функцията (5.13).

2. Ако m = n–1, тогава има само една полиномиална (5.11) функция за минимизиране (5.13).

По-малкото м, по -проста е емпиричната формула, но не винаги е по -добра. Трябва да се помни, че получената емпирична формула трябва да бъде адекватенобект на изследване.