Разсъжденията, основани единствено на точни факти и точните заключения, базирани на тези факти, се наричат ​​строги съображения. В случаите, когато е необходимо да се използват несигурни факти за вземане на решения, строги разсъждения стават неподходящи. Следователно, една от силните страни на всяка експертна система се счита за нейната способност да формира разсъждения в условия на несигурност толкова успешно, колкото правят човешките експерти. Подобни разсъждения са от свободен характер. Можете спокойно да говорите за присъствие размита логика.

Несигурност, и в резултат на това размитата логика може да се счита за недостатъчна информация за вземане на решение. Несигурността се превръща в проблем, защото може да попречи на създаването на най-доброто решение и дори да доведе до намиране на лошо решение. Трябва да се отбележи, че качествено решение, намерено в реално време, често се счита за по-приемливо от по-добро решение, което отнема много време за изчисляване. Например, забавяне на предоставянето на лечение за допълнително изследване може да доведе до смърт на пациент, без да чака помощ.

Причината за несигурността е наличието на различни грешки в информацията. Опростена класификациятези грешки могат да бъдат представени в тяхното разделяне на следните видове:

• неяснота на информацията, появата на която се дължи на факта, че част от информацията може да се тълкува по различни начини;
• непълна информация поради липса на някои данни;
• неадекватност на информацията, причинена от използването на данни, не отговаря на реалната ситуация (възможните причини са субективни грешки: лъжи, дезинформация, неизправност на оборудването);
• грешки при измерване, възникващи поради неспазване на изискванията за коректност и точност на критериите за количествено представяне на данните;
• произволни грешки, проява на които са случайни колебания на данните спрямо средната им стойност (причината може да бъде: ненадеждност на оборудването, Брауново движение, термични ефекти и др.).

Към днешна дата са разработени значителен брой теории за несигурност, в които се прави опит да се премахнат някои или дори всички грешки и да се осигури надежден извод в условия на несигурност. Най-често използваните в практиката са теориите, базирани на класическата дефиниция на вероятността и на апостериорната вероятност.

Един от най-старите и най-важни инструменти за решаване на проблеми с изкуствения интелект е вероятността. Вероятносте количествен начин за отчитане на несигурността. Класическата вероятност произлиза от теория, предложена за първи път от Паскал и Ферма през 1654 г. Оттогава е извършена много работа в изучаването на вероятностите и прилагането на множество приложения на вероятностите в науката, технологиите, бизнеса, икономиката и други области.

Класическа вероятност

Класическа вероятностнаричан още априорна вероятност, тъй като дефиницията му се отнася до идеални системи. Терминът "преди" означава вероятност, която се определя "на събития", без да се вземат предвид много фактори, които се случват в реалния свят. Концепцията за априорна вероятност се прилага за събития, настъпващи в идеални системи, склонни към износване или влиянието на други системи. В идеалната система възникването на което и да е от събитията се случва по същия начин, което прави анализа им много по-лесен.

Основната формула за класическата вероятност (P) се дефинира, както следва:

В тази формула Уе броят на очакваните събития и н- общият брой събития с еднакви вероятности, които са възможни резултати от експеримент или тест. Например, вероятността да получите което и да е лице на шестостранен зар е 1/6, а тегленето на която и да е карта от тесте, съдържащо 52 различни карти, е 1/52.

Аксиоми на теорията на вероятностите

Формална теория на вероятността може да бъде създадена въз основа на три аксиоми:

Горните аксиоми позволиха да се положи основите на теорията на вероятностите, но те не отчитат вероятността от събития, настъпили в реални - неидеални системи. За разлика от априорния подход, в реалните системи, за определяне на вероятността за някакво събитие P (E), се прилага методът за определяне на експерименталната вероятност като граница на честотното разпределение:

Постериорна вероятност

В тази формула е (E)обозначава честотата на възникване на някакво събитие между нброй наблюдения на общите резултати. Този тип вероятност също се нарича постериорна вероятност, т.е. вероятност, определена "след събитията". Основата за определяне на апостериорната вероятност е измерването на честотата, с която се случва събитие по време на голям брой тестове. Например дефиницията на социалния тип на кредитоспособен банков клиент въз основа на емпиричен опит.

Събития, които не се изключват взаимно, могат да си влияят. Такива събития се класифицират като комплексни. Вероятността от сложни събития може да се изчисли чрез анализиране на съответните пробни пространства. Тези примерни пространства могат да бъдат представени с помощта на диаграми на Venn, както е показано на фиг. 1

Фиг. 1 Примерно пространство за две невзаимно изключващи се събития

Вероятността за настъпване на събитие А, която се определя, като се вземе предвид фактът, че е настъпило събитие В, се нарича условна вероятност и се обозначава P (A | B)... Условната вероятност се определя, както следва:

Предходна вероятност

В тази формула вероятността P (B)не трябва да бъде нула и е предварителна вероятност, която се определя преди да стане известна друга допълнителна информация. Предходна вероятносттова, което се използва във връзка с използването на условна вероятност, понякога се нарича абсолютна вероятност.

Има проблем, който по същество е противоположен на проблема за изчисляване на условната вероятност. Състои се в определяне на обратната вероятност, която показва вероятността от предишно събитие, като се вземат предвид събитията, настъпили в бъдеще. На практика този тип вероятност се среща доста често, например по време на медицинска диагностика или диагностика на оборудване, при които се откриват определени симптоми и задачата е да се намери възможна причина.

За да разрешим този проблем, ние използваме Теорема на Байес, кръстен на британския математик Томас Байс от 18 век. Байесовата теория се използва широко днес за анализ на дърветата на решения в икономиката и социалните науки. Байесовото търсене на решения се използва и в експертната система PROSPECTOR при идентифициране на перспективни обекти за проучване на полезни изкопаеми. Системата PROSPECTOR придоби широка популярност като първата експертна система, с помощта на която беше открито ценно находище на молибден, струващо 100 милиона долара.

C7 В тази съвременна форма теоремата на Байес всъщност е формулирана от Лаплас. Самата формулировка на проблема принадлежи на Томас Байес. Той го формулира като обратен на добре познатия проблем на Бернули. Ако Бернули търсеше вероятността за различни резултати от "кривата" на хвърляне на монета, то Байс, напротив, се опитваше да определи степента на тази "кривина" чрез емпирично наблюдаваните резултати от хвърлянето на монета. В неговото решение нямаше предварителна вероятност.

Въпреки че правилото изглежда много просто, се оказва трудно да се приложи на практика, тъй като апостериорните вероятности (или дори стойностите на опростените функции на решение) са неизвестни. Техните стойности могат да бъдат оценени. По силата на теоремата на Байес, апостериорните вероятности могат да бъдат изразени чрез априорни вероятности и функции на плътност с формулата P C, Ix = P C, (P (x I C, / P Cy P xI C,

Оценявайки резултатите от класификацията по метода MDA, виждаме значителна част от погрешните решения за фалирали компании (група 1) - едно от тях би получило заем. Фирмите с неясни позиции (група 2) са трудни за правилно класифициране, тъй като в крайна сметка те могат да попаднат в 1-ва или 3-та група. Въпросът не може да се подобри чрез привеждане на предходните вероятности в съответствие с възприятията на банката за вероятността фирма да принадлежи към различни групи. Общият показател за коректност на прогнозата е само 56,6%, а от 1-ва група само 30% са правилно класифицирани.

При съществуващото ниво на сложност и едновременност на протичащите процеси, моделите, базирани на причинно-следствени връзки, имат ограничени възможности за приложение; нововъзникващите събития постоянно променят спецификациите на всички променливи (както включени, така и невключени в модела) и стойностите априорните вероятности и плащанията за различни стратегии са много несигурни и се колебаят рязко с промените в икономическия растеж, лихвените проценти, обменните курсове и рентабилността на некредитните транзакции (например при промяна на оперативните и комисионните такси).

Тъй като в реална ситуация е невъзможно да се знае предварително коя част от фирмите, представени в произволна извадка, ще фалират в рамките на една година, и тъй като авторите на двата разглеждани модела, както може да се предположи, определят нивата на разделяне на базата на някои специфични предположения за предходните вероятности за фалит и цената на грешките, ние опростихме процедурата за сравнение и въведохме относителни нива на разделяне. С други думи, за всеки модел ние разглеждахме долните 10% от сигналите, генерирани от модела за следващата година, като сигнали за фалит. Всъщност този подход означава общо 10% предварителна вероятност за фалит и съотношението на броя на сигналите за фалит към реалните фалити в предишния тест, което се определя с помощта на оптимизиращия праг. В допълнение, този метод има предимството, че свежда до минимум изкривяванията поради голямото време закъснение между публикуването на Altman Z-резултата и провеждането на експеримента. Средните показатели през това време може да са се променили и следователно разделянето на компаниите на силни и слаби, въз основа на определена пропорция, изглежда по-надеждно. Таблица 9.2 показва резултатите от експеримент за прогнозиране на фалити за една година напред с индикация за грешката за всеки модел.

Приемайки предходната вероятност за факт, преценете очакваната печалба в случай на откриване на клон.

Означаваме с A. събитието, че q 6 [

Да предположим, например, че са избрани следните параметри: стойността на капиталовите инвестиции, стойността на оперативните разходи и цената на готовите продукти, които съответно могат да приемат стойностите на Кb К2, К3 Эь Э2, Э3 Ць Ц2 , Цз- Всяка от тези стойности съответства на някаква априорна вероятност, например Кь Эь Ts имат вероятност pt = 0,1, за K2, A2, Ts2 вероятността ще бъде p2 = 0,8, а за K3, E3, Ts3 - p3 = 0,1.

Нека априорната вероятност за получаване в края на процеса на проектиране на техническо решение, удовлетворяващо

Ако играч 2 има повече от една стратегия в игра D и априорните вероятности за тяхното използване са неизвестни на играч 1 или дори няма смисъл да се говори за тези вероятности, тогава всичко, което току-що беше казано, е неприложимо.

Както видяхме по-рано, промените в предходните вероятности p и q зависят от настройката на сигнала.

От това следва, че ако имаме неутрално по отношение на риска предприятие, което вярва, че кол опция ще струва C с вероятност m и j с вероятност (1 - m), тогава този субект ще изчисли текущата цена на опцията в пълно съответствие с нашето изведено уравнение ... Имайте предвид, че никога не сме допускали съществуването на априорни вероятности за възникване на определена цена на акциите и съответно оценка на бъдещата опция. Този подход се нарича неутрална оценка на риска.

Нека m (

Дясната страна на (7.53) не е плътност в правилния смисъл, тъй като интегралът от нея не е дефиниран; въпреки това при изчисляване на плътността на постериорното разпределение на параметрите по формулата на Байес възникват формални трудности при работа с ( 7.53) или не възникват, или могат лесно да бъдат преодолени ... Както ще видим по-долу в раздел 7.3.2, изборът (7.53) е аналитично удобен и, изглежда, добре отразява пълната липса на априорно знание за разпределението на параметрите. Той обаче всъщност крие много силни допускания, че няма корелация между параметрите (да не се бърка с корелацията между оценките на стойностите на параметрите, която зависи от разпределението на регресорите и стойността на a), пренебрежимо малкото a априорна вероятност векторът на параметрите да лежи във всеки даден краен обем, каквато и да е стойността му и т.н. Това понякога води до сериозни трудности при интерпретацията на резултатите от байесовото оценяване.

Разгледайте съдържанието на теоремата на Байес от малко по-различна гледна точка. За да направим това, нека запишем всички възможни резултати от нашия експеримент. Нека символите Н0, h означават резултата, монетата не е покрита и горната й страна е гербът."

Аз съм като V2i, тогава вероятността за посочения резултат ще бъде Va X x1 / 2 = 1 / 4- По-долу даваме списък на всички резултати и техните предходни вероятности

И така, в примера с монета и зар, P (Ha) е априорната вероятност, P (Na K) е задната вероятност, а P (H Ha) е вероятността.

Ако сега предходната вероятност P (H0) може да се приеме равна или на 1, или на 0, се казва, че вземащият решение

Представете си сега, че експериментаторът предлага на вземащия решение напълно надеждна (или пълна) информация за това кой конкретен обект не е покрит. Лицето, което взема решение, трябва обаче да плати за услугата за съобщаване на такава напълно надеждна информация, преди да получи тази информация. Каква би била стойността на такава информация?Той може да погледне напред и да се запита какво ще направи в отговор на всяко от двете възможни съобщения, които дадена услуга може да предостави, и да изчисли дохода си въз основа на получените отговори. Претеглянето на този доход с помощта на априорни вероятности от възможни съобщения би му позволило да оцени размера на очаквания доход, ако е платил някаква сума за напълно надеждна информация, преди действително да я получи. Тъй като този очакван доход би бил повече от 0,5 $, тоест това, което той очаква само въз основа на априорна информация, тогава увеличението на дохода би било максималната сума, която би имало смисъл да плати за информационната услуга.

Фирмата трябва да закупи голямо количество стоки днес или утре. Днес цената на продукта е $14,5 за бройка. Според фирмата утре цената му ще бъде или 10, или 20 долара с еднаква вероятност. Нека x означава утрешната цена, тогава предходните вероятности са

На последния етап се проверява надеждността на избора на априорни вероятности за възникване на пазарни условия и се изчислява очакваната полезност от прецизирането на тези вероятности. За това се изгражда дърво на решенията. Ако възникне необходимост от допълнително проучване на пазара, се препоръчва да се преустанови изпълнението на избраната опция за нов продукт до получаване на по-надеждни резултати.

В маркетинговата практика на една компания често се налага да се съпоставят разходите за получаване на частична (непълна) информация и разходите за получаване на допълнителна нова информация, за да се вземе по-добро решение. Мениджърът (вземащият решения) трябва да прецени доколко ползата, получена от допълнителна информация, покрива разходите за получаването й. В този случай може да се приложи байесовата теория на решенията. Първоначалните данни са априорните вероятности P (Sk) и условните вероятности P (Z Sk) за възникване на пазарно състояние Z, при условие че се предполага възникването на състояние 5A. Когато се получи нова информация, се изчислява очакваната полезност на всяка стратегия и след това се избира стратегията с максимална стойност на очакваната полезност. С помощта на нова информация вземащият решение може да коригира предходните вероятности P (Sk), а това е много важно при вземане на решения.

Сега е желателно да се знае каква ще бъде вероятността за появата на обективното състояние Sk при получаване на нова информация. Следователно е необходимо да се намери P (Sk Z), където k, q = 1, n. Това е условната вероятност и е коригираната предходна вероятност. За да изчислим P (Sk Z), използваме формулата на Байес

И така, ние получихме прецизираните предварителни вероятности за появата на обективни пазарни условия. Целият процес на изчисление и получените резултати са показани в табл. 9.11 и 9.12.

Използването на байесовия подход (6.47) изисква познаване на априорните вероятности и плътностите на разпределението на вероятностите.

Използвайки числените характеристики на обектите, получени от AGC, извършихме стандартен линеен множествен дискриминантен анализ със същите (равни на 33%) предварителни вероятности за членство на елемент. групи. 41% от общия брой случаи са класифицирани правилно и това е малко по-добре от 33% точност, която би била получена, ако обектът беше произволно причислен към една или друга група. Раздел. 8.6 по-долу е таблица за погрешна класификация, наричана още матрица за грешки.

Следващото предизвикателство е разработването на стандарт за тестване. В повечето случаи се вземат малко проби за оценка на MDA модели и това увеличава вероятността моделът да пасне твърде тясно на тестовите данни. Извадките обикновено съдържат еднакъв дял фалирали и нефалирали фирми, а самите данни по правило съответстват на периоди на интензивен фалит. Това води до заключението, че надеждни са само резултатите от оценката на модела върху нови данни. От масата. 9.1 може да се види, че дори при най-благоприятните тестове с нови данни (когато всички примери са взети от един и същ период от време и освен това са хомогенни по отношение на отрасли и размер на предприятието), качеството е по-лошо, отколкото на пробите, които са използвани за определяне на параметрите на модела. Тъй като на практика потребителите на модели за класификация няма да могат да настроят модела спрямо други предходни вероятности за фалит, размер на фирмата или индустрия, действителното качество на модела може да бъде дори по-лошо. Качеството може също да се влоши поради факта, че в пробите, използвани за тестване на модели MDA, има малко фирми, които не са фалирали, но са изложени на риск. Ако има само четири или пет такива фирми, които оцеляват в риск, това изкривява реалния дял на рисковите компании и в резултат на това честотата на грешки от тип II се оказва подценена.

Методите на MDA, включени в сравнението, бяха изчислени и оптимизирани въз основа на честота на фалшивия сигнал от 10 1 с някои предходни вероятности и разходи за грешки. Бих искал да използвам като предварителен критерий по-малко от 10% броя на потенциалните банкрути сред населението, но това не е в добро съответствие с параметрите на моделите. Също така е в противоречие с практиката, при която понижаването на прага под 10 процента не води до фалит. И така, когато делът на фалшивите сигнали беше намален до 7%, Z-скалата на Tuffler престана да идентифицира фалити като цяло, а моделът Datastream се натъкна на това препятствие при около 8%. За разлика от тях, невронната мрежа разпозна два случая на фалит под нивото на разделяне от 4,5%, т.е. мрежата е в състояние да работи в условия, при които има само пет фалшиви сигнала за едно правилно идентифициране на фалит. Тази цифра е сравнима с най-добрите резултати, които MDA моделите получават при много по-малко взискателни последващи тестове. Това води до два извода: първо, невронните модели са надежден метод за класификация в кредитния сектор, и второ, използването на цената на акциите като целева променлива в обучението може да бъде по-изгодно от самия индикатор за фалит/оцеляване. Цената на акциите отразява -

В гл. 3-5 описват методи за мащабиране на предпочитанията (тегла) на бъдещи събития, количествени оценки на степента на предпочитание и можем да изчислим безусловната вероятност за всеки резултат от извадката

I. Условни вероятности. Априорни и апостериорни вероятности. 3

II Независими събития. 5

III.Проверка на статистически хипотези. Статистическа надеждност. 7

IV. Използване на теста хи-квадрат 19

1. Определяне на достоверността на разликата между набор от честоти и набор от вероятности. 19

2. Определяне на достоверността на разликата между няколко набора от честоти. 26

V НЕЗАВИСИМА РАБОТА 33

Урок номер 2

1. Условни вероятности. Априорни и апостериорни вероятности.

Случайна променлива се задава от три обекта: набор от елементарни събития, набор от събития и вероятност от събития. Извикват се онези стойности, които произволната променлива може да приеме елементарни събития.Наборите от елементарни събития се наричат събития... За числови и други не много сложни случайни променливи всеки набор от елементарни събития е събитие.

Да вземем пример: хвърляне на зар.

Има общо 6 елементарни събития: "точка", "2 точки", "3 точки" ... "6 точки". Събитие - всеки набор от елементарни събития, например „четно“ е сумата от елементарни събития „2 точки“, „4 точки“ и „6 точки“.

Вероятността за всяко елементарно събитие P (A) е 1/6:

вероятността за събитие е броят на елементарните събития, включени в него, разделен на 6.

Доста често, в допълнение към известната вероятност за събитие, има някаква допълнителна информация, която променя тази вероятност. Например смъртността на пациентите. от постъпилите в болница с остра кървяща стомашна язва е около 10%. Въпреки това, ако пациентът е на възраст над 80 години, тази смъртност е 30%.

За описание на подобни ситуации се използва т.нар условни вероятности... Те се обозначават като P (A / B) и се четат „вероятността за събитие A при условието за събитие B“. За изчисляване на условната вероятност се използва формулата:

Нека се върнем към предишния пример:

Нека сред пациентите, приети в болницата с остра кървяща язва на стомаха, 20% са пациенти над 80 години. Освен това сред всички пациенти делът на пациентите, починали на възраст над 80 години, е 6% (припомнете си, че делът на всички смъртни случаи е 10%). В такъв случай

При дефиниране на условни вероятности термините априори(буквално - преди опит) и a posteriori(буквално - след опит) вероятности.

Използвайки условни вероятности, човек може да изчисли други от една вероятност, например за размяна на събитие и условие.

Нека разгледаме тази техника на примера на анализиране на връзката между риска от ревматизъм (ревматична треска) и един от антигените, които са рисков фактор за него.

Честотата на ревматизъм е около 1%. Да обозначим наличието на ревматизъм като R +, докато P (R +) = 0,01.

Наличието на антиген ще бъде обозначено като А+. Открива се при 95% от пациентите с ревматизъм и при 6% от тези без ревматизъм. В нашата нотация това са: условни вероятности P (A + / R +) = 0,95 и P (A + / R -) = 0,06.

Въз основа на тези три вероятности ще определим последователно други вероятности.

На първо място, ако честотата на ревматизма е P (R +) = 0,01, тогава вероятността да не се разболеете е P (R -) = 1-P (R +) = 0,99.

От формулата за условната вероятност намираме това

P (A + и R +) = P (A + / R +) * P (R +) = 0,95 * 0,01 = 0,0095, или 0,95% от населението едновременно страда от ревматизъм и има антиген.

По същия начин

P (A + и R -) = P (A + / R -) * P (R -) = 0,06 * 0,99 = 0,0594, или 5,94% от населението носи антигена, но не получава ревматизъм.

Тъй като всеки с антигена или има ревматизъм, или не се разболява (но не и двете едновременно), сумата от последните две вероятности дава честотата на пренасяне на антиген в популацията като цяло:

P (A +) = P (A + u R +) + P (A + u R -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Съответно, делът на хората без антиген е равен на

P (A -) = 1- P (A +) = 0,9311

Тъй като честотата на ревматизъм е 1%, а делът на хората с антиген и ревматизъм е 0,95%, делът на хората с ревматизъм и без антиген е:

P (A - и R +) = P (R +) - P (A + и R +) = 0,01 - 0,0095 = 0,0005

Сега ще се движим в обратна посока, преминавайки от вероятностите на събитията и техните комбинации към условните вероятности. Според първоначалната формула за условна вероятност P (A + / R +) = P (R + и A +) / P (A +) = 0,0095 / 0,06890,1379, или приблизително 13,8% от лицата, носещи антигена, се разболяват от ревматизъм . Тъй като честотата на популацията като цяло е само 1%, фактът на откриване на антиген увеличава вероятността от ревматизъм с 14 пъти.

По същия начин, P (R + / A -) = P (R + и A -) / P (A -) = 0,0005 / 0,93110,000054, тоест фактът, че не е открит антиген по време на изследването, намалява вероятността от ревматизъм 19 пъти.

Нека да форматираме тази задача в електронна таблица на Excel:

Можете да видите процеса на изграждане на таблица picture2 \ p2-1.gif

Случайно събитие се оценява с число, което определя интензивността на проявлението на това събитие. Този номер се нарича вероятностразработки P () ... Вероятността за елементарно събитие е ... Вероятността за събитие е числена мярка за степента на обективност, възможността за това събитие. Колкото по-голяма е вероятността, толкова по-вероятно е събитието.

Всяко събитие, което съответства на цялото пространство за резултати Се наречен достоверно събитие, т.е. такова събитие, което в резултат на експеримента непременно трябва да се случи (например падането на произволен брой точки от 1 до 6 на заровете). Ако събитието не принадлежи към набора С, тогава се счита невъзможен(например появата на брой точки, по-голям от 6 на зар). Вероятността за невъзможно събитие е 0, вероятността за определено събитие е 1. Всички останали събития имат вероятност от 0 до 1.

Развития Еи са наречени противоположно, ако Еидва, когато не идва ... Например събитието Е- "загуба на четен брой точки", след това събитието - "загуба на нечетен брой точки." Две събития Е 1 и Е 2 са наречени непоследователноако няма общ резултат и за двете събития.

За определяне на вероятностите за случайни събития се използват преки или косвени методи. При директно изчисляване на вероятността се разграничават априорни и апостериорни схеми за изчисление, когато извършват наблюдения (експерименти) или априорно преброяват броя на експериментите мв който се е проявило събитието и общият брой извършени експерименти н... Косвените методи се основават на аксиоматичната теория. Тъй като събитията се дефинират като множества, върху тях могат да се извършват всички теоретически операции. Теорията на множеството, функционалният анализ са предложени от академик A.N. Колмогоров и е в основата на аксиоматичната теория на вероятностите. Ето аксиомите на вероятностите.

аксиомааз. Поле за събитиеФ(С) е алгебрата на множествата.

Тази аксиома насочва към аналогия между теорията на множествата и теорията на вероятностите.

аксиомаII. Към всеки комплектотФ(С) реалното число P (), наречена вероятност за събитието:

в състояние С 1 С 2 =  (за непоследователни събития С 1 и С 2 ), или за много непоследователни събития

където н- броят на елементарните събития (възможни резултати).

Вероятността за случайно събитие

където - вероятности за елементарни събития включени в подмножеството .

Пример 1.1. Определете вероятността да изпаднете от всяко число при хвърляне на зар, да изпаднете от четно число, число 4 .

Решение... Вероятността всяко число да изпадне от множеството

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Вероятността да се получи четно число, т.е.
={2, 4, 6}, въз основа на (1.6) ще бъде P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Вероятността за получаване на число  4 , т.е.
= {4, 5, 6 } ,

P (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Задачи за самообучение

1. В коша има 20 бели, 30 черни и 50 червени топки. Определете вероятността първата топка, извадена от коша, да бъде бяла; черен; червен.

2. В ученическата група има 12 момчета и 10 момичета. Каква е вероятността на семинара по теория на вероятностите да отсъстват: 1) млад мъж; 2) момиче; 3) две момчета?

3. През годината 51 дни се отличаваха с това, че валеше (или сняг) в тези дни. Каква е вероятността да рискувате да попаднете в дъжд (или сняг): 1) отивате на работа; 2) туризъм за 5 дни?

4. Направете задача по темата на тази задача и я решете.

1.1.3. Определяне на апостериорна вероятност (статистическа вероятност или честота

случайно събитие)

При определяне на вероятността априори се приема, че са еднакво вероятни. Това далеч не винаги е вярно, по-често се случва така
в
... Предположение
води до грешка в априорната дефиниция P ( ) по установената схема. За определяне , и като цяло P ( ) провеждане на целеви тестове. В хода на провеждането на такива тестове (например резултатите от теста в примери 1.2, 1.3) при различни условия, различни условия, влияния, причинни фактори, т.е. в различни случаи,различен резултати(различни прояви на информация на изследвания обект) Всеки резултат от теста отговаря на един елемент или едно подмножество множества С.Ако дефинирате мкато брой благоприятни събития Арезултати, получени в резултат нтестове, апостериорната вероятност (статистическа вероятност или честота на случайно събитие А)

Въз основа на закона за големите числа за  А

тези. с увеличаване на броя на опитите, честотата на случайно събитие (апостериорна или статистическа вероятност) клони към вероятността за това събитие.

Пример 1.2. Вероятността да се получат глави при хвърляне на монета, определена от схемата на случаите, е 0,5. Необходимо е да се хвърли монета 10, 20, 30 ... пъти и да се определи честотата на произволно събитие от опашки след всяка серия от тестове.

Решение... К. Поасон хвърли монетата 24 000 пъти, с 11998 опашки. Тогава по формула (1.7) вероятността за получаване на опашки

.

Задачи за самообучение

Въз основа на голям статистически материал ( н  ), са получени стойностите на вероятностите за появата на отделни букви от руската азбука и интервала () в текстовете, които са дадени в таблица 1.1.

Таблица 1.1. Вероятността за появата на букви от азбуката в текста

Вземете страница с произволен текст и определете честотата на поява на различни букви на тази страница. Увеличете обема на тестовете до две страници. Сравнете получените резултати с данните в таблицата. Направете заключение.

При стрелба по мишени се получава следният резултат (виж таблица 1.2).

Таблица 1.2. Резултат от стрелба по мишена

Каква е вероятността целта да бъде улучена от първия изстрел, ако беше по-малка от десет, девет и т.н.?

3. Планирайте и провеждайте подобни тестове за други събития. Представете своите резултати.