Десетична фракция- разнообразие фракции, който има "кръгло" число в знаменателя: 10, 100, 1000 и т.н., например, фракция 5/10 има десетичен знак от 0,5. Въз основа на този принцип, фракциямогат да бъдат представени в форматадесетичен фракции.

Инструкции

Да кажем, че трябва да се подчините на форматадесетичен фракция 18/25.
Първо трябва да се уверите, че едно от "кръглите" числа се появява в знаменателя: 100, 1000 и т.н. За да направите това, трябва да умножите знаменателя по 4. Но трябва да умножите и числителя, и знаменателя по 4.

Чрез умножаване на числителя и знаменателя фракции 18/25 по 4 е 72/100. Това фракцияв десетичен знак формататака: 0,72.

Дроб в математиката е рационално число, равно на една или повече части, на които е разделено. В този случай записът на дроба трябва да съдържа индикация от две числа: едното от тях показва на колко точно дроби е била разделена единицата при създаването на тази дроб, а другото - колко от тези дроби включват дробното число. Ако тези две числа са записани като числител и знаменател, разделени с черта, тогава този формат се нарича "обикновена" дроб. Има обаче друг формат за писане на дроби, наречен "десетичен".

Триетажната форма на запис на числа, при която знаменателят е разположен над числителя, а между тях има и разделителна линия, не винаги е удобна. Това неудобство започна да се проявява особено с масовото разпространение на персоналните компютри. Десетичната форма на представяне на дроби е лишена от този недостатък - не се изисква да се посочва числителят в нея, тъй като по дефиниция той винаги е равен на десет в отрицателна степен. Следователно дробно число може да бъде записано на един ред, въпреки че дължината му в повечето случаи ще бъде много по-голяма от дължината на съответната обикновена дроб.

Друго предимство на записването на числа в десетичен формат е, че те са много по-лесни за сравняване един с друг. Тъй като знаменателят на всяка цифра от две такива числа е еднакъв, достатъчно е да се сравнят само две цифри от съответните цифри, докато при сравняване на обикновени дроби трябва да се вземат предвид както числителя, така и знаменателя на всяко от тях. Това предимство е важно не само за хората, но и за компютрите - сравняването на числа в десетичен формат е сравнително лесно за програмиране.

Съществуват вековни правила за събиране, умножение и други математически операции, които ви позволяват да извършвате изчисления на хартия или в главата си с числа във формат на десетични дроби. Това е още едно предимство на този формат пред обикновените дроби. Въпреки че с развитието на компютърните технологии, когато калкулаторът е дори в часовник, той става по-малко забележим.

Описаните предимства на десетичния формат за запис на дробни числа показват, че основната му цел е да опрости работата с математически стойности. Този формат има и недостатъци - например, за да запишете периодични дроби в десетична дроб, трябва също да добавите число в скоби, а ирационалните числа в десетичен формат винаги имат приблизителна стойност. Въпреки това, при сегашното ниво на развитие на хората и техните технологии, той е много по-удобен за използване от обичайния формат за запис на дроби.

Десетичната дроб е дроб, в който знаменателят е естествена степен на 10. Това например е дроб Тази дроб може да се запише в следната форма: изпишете цифрите на числителя в низ и отделете със запетая на точно толкова от тях, колкото има нули в знаменателя, а именно:

В такъв запис числата вляво от запетаята образуват цялата част, а числата вдясно от запетаята образуват дробната част на дадената десетична дроб.

Нека p / q е всяко положително рационално число. От аритметиката процесът на деление е добре известен, което прави възможно представянето на числото като десетична дроб. Същността на процеса на деление е, че първо се намира най-голямото цяло число пъти q се съдържа в p; ако p е кратно на q, тогава процесът на деление завършва тук. В противен случай се появява остатъкът. След това те намират колко десети от q се съдържат в този остатък и на тази стъпка процесът може да приключи или да се появи нов остатък. В последния случай те намират колко стотни от q се съдържат в него и т.н.

Ако знаменателят q няма други прости делители, различни от 2 или 5, тогава след краен брой стъпки остатъкът ще бъде нула, процесът на деление ще приключи и дадената дроб ще бъде преобразувана в крайна десетична дроб. Всъщност в този случай винаги можете да изберете цяло число, така че след като умножите числителя и знаменателя на дадена дроб по него, да получите равна дроб, в която знаменателят ще представлява естествена степен на десет. Такава, например, е дробът

който може да бъде представен така:

Въпреки това, без да прави тези трансформации, като раздели числителя на знаменателя, читателят ще получи същия резултат:

Ако знаменателят на неприводима дроб има поне един прост делител, различен от 2 или 5, тогава процесът на деление на q никога няма да приключи (нито един от следващите остатъци няма да изчезне).

След извършване на разделяне намираме

За да запишете резултата, получен в този пример, периодично повтарящите се цифри 0 и 6 са затворени в скоби и се записват:

В този пример и други подобни случаи, действието на разделяне не дава крайния резултат като десетичен знак. Възможно е, обобщавайки понятието за десетична дроб, все пак да кажем, че частното 965/132 е представено от безкрайна периодична дроб.Повтарящите се числа 06 се наричат ​​период на тази дроб, а техният брой е равен в нашата например, е продължителността на периода.

За да разберем причината за явлението периодичност на дроб, нека анализираме например процеса на деление на 7. Ако делението не е извършено изцяло, тогава се появява остатък, който може да има само една от следните стойности : 1, 2, 3, 4, 5, 6. И на всяка от следващите стъпки остатъкът отново ще има една от тези шест стойности. Следователно, не по-късно от седмата стъпка, неизбежно ще се сблъскаме с една от стойностите на остатъка, които вече са се появявали преди. От този момент нататък процесът на разделяне ще придобие периодичен характер. И двете стойности на остатъците и частното ще се повтарят периодично. Това разсъждение е приложимо в случай на всеки друг делител.

По този начин всяка обикновена дроб се представя с крайна или безкрайна периодична десетична дроб. Забележително е, че, обратно, всяка периодична десетична дроб може да бъде представена като обикновена дроб. Нека покажем как се извършва това действие. В този случай се използва формулата за сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия (стр. 92).

може да се разбира по следния начин:

тук членовете от дясната страна, започвайки от втория, образуват безкрайна геометрична прогресия със знаменателя и първия член

Използване на формула (92.2):

Ясно е, че същият процес ще позволи всяка дадена безкрайна периодична дроб да бъде представена под формата на обикновена дроб (и, както може да се покаже, точно тази, от която в процеса на разделяне се получава тази безкрайна периодична дроб ). Има едно изключение обаче. Помислете за фракцията

и приложете към него процеса на преобразуване в обикновена дроб:

Стигнахме до числото 1/2, което е представено от крайната десетична дроб.

Подобен резултат ще се получи винаги, когато периодът на дадена безкрайна дроб има вида (9). Следователно, ние идентифицираме такива двойки числа, като напр.

Понякога е полезно също така да се разрешат нотации на формата

представляващи формално крайните десетични дроби като безкрайни с период (0).

Всичко, което беше казано за преобразуването на обикновена дроб в десетична периодична дроб и обратно, важи за положителните рационални числа. В случай на отрицателно число можете да направите две неща.

1) Вземете положително число, противоположно на дадено отрицателно, преобразувайте го в десетична дроб и след това поставете знак минус пред него. Например за - 5/3 получаваме

2) Представете дадено отрицателно рационално число като сбор от неговата цяла част (отрицателна) и неговата дробна част (неотрицателна) и след това преобразувайте само тази дробна част от числото в десетична дроб. Например:

За записване на числа, представени като сбор от тяхната отрицателна цяло число и крайна или безкрайна десетична дроб, се приема следното обозначение (изкуствена форма на записване на отрицателно число):

Тук знакът минус се поставя не пред цялата дроб, а над цялата й част, за да се подчертае, че само цялата част е отрицателна, а дробната част след запетаята е положителна.

Тази нотация създава еднообразие в записването на положителните и отрицателните десетични дроби и ще се използва в бъдеще в теорията на десетичните логаритми (стр. 28). За практика предлагаме на читателя да провери прехода от един запис към друг в примерите:

Сега можем да формулираме окончателното заключение: всяко рационално число може да бъде представено с безкрайна десетична периодична дроб и, обратно, всяка такава дроб дефинира рационално число. Крайната десетична дроб също позволява две форми на нотация под формата на безкрайна десетична дроб: с точка (0) и с точка (9).

Още в началното училище учениците се сблъскват с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действията с тези числа. Следователно, трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези понятия са прости, основното е да разберете всичко по ред.

За какво са дроби?

Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневието непрекъснато подтиква хората да работят с части от предмети и неща.

Например, шоколадът има няколко филийки. Помислете за ситуация, при която нейната плочка е оформена от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, ще получите 6 части. Тя ще се раздели добре на три. Но пет няма да могат да дадат цял ​​брой парченца шоколад.

Между другото, тези резени вече са фракции. А по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.

Какво е дроб?

Това е число, съставено от частите на едно. Външно изглежда като две числа, разделени от хоризонтална или наклонена линия. Тази черта се нарича дробна. Числото, изписано в горната част (вляво), се нарича числител. Долното (вдясно) е знаменателят.

Всъщност дробната лента се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече делим, а знаменателят - делител.

Какви дроби има?

В математиката има само два вида от тях: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават с първите в началните класове, наричайки ги просто "дроби". Вторият ще признае в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.

Обикновените дроби са всички онези, които се записват като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетичното число е число, в което дробната част има позиционна нотация и е отделена от цялото със запетая. Например 4.7. На учениците трябва да им е ясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.

Всяка дроб може да бъде записана като десетична. Това твърдение почти винаги е вярно в обратната посока. Има правила, които ви позволяват да пишете десетична дроб с обикновена дроб.

Какви са подвидовете на тези видове фракции?

По-добре е да започнете в хронологичен ред, докато се изучават. Дробите са на първо място. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.

вярно. Неговият числител винаги е по-малък от знаменателя.

Грешно. Неговият числител е по-голям или равен на знаменателя.

Съкратено / несводимо. Може да бъде както правилно, така и грешно. Важно е и друго, дали числителят със знаменателя има общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят и двете части на фракцията, тоест да я намалят.

Смесени. На обичайната му правилна (неправилна) дробна част се приписва цяло число. Освен това винаги стои отляво.

композитен. Образува се от две фракции, разделени една от друга. Тоест в него има три дробни линии наведнъж.

Десетичните дроби имат само два подвида:

окончателен, тоест този, в който дробната част е ограничена (има край);

безкрайно - число, чиито цифри след десетичната запетая не свършват (те могат да се записват безкрайно).

Как да преобразуваме десетичен знак във дроб?

Ако е крайно число, тогава се прилага асоциацията, базирана на правилото – както чуя, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна линия.

Като намек за необходимия знаменател, трябва да запомните, че той винаги е едно и няколко нули. Последните трябва да бъдат написани толкова, колкото има цифри в дробната част на въпросното число.

Как да преобразуваме десетичните дроби в обикновени, ако тяхната цяла част отсъства, тоест равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След като приложите посоченото правило, се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. За първото число знаменателят ще бъде 10, за второто - 100. Тоест, посочените примери ще имат числата: 9/10, 5/100. Освен това се оказва, че последното може да бъде намалено с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.

Как да направим обикновена дроб от десетичен знак, ако цялата му част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И в двата примера се чете цялата част и нейната стойност се записва. В първия случай е - 5, във втория - 13. След това трябва да преминете към дробната част. Те трябва да извършат същата операция. Първото число има 23/100, второто - 108/100 000. Втората стойност трябва отново да бъде съкратена. Отговорът е следните смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как да преобразуваме безкрайна десетична дроб в дроб?

Ако е непериодична, тогава такава операция ще се провали. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се превежда в крайна или периодична.

Единственото, което можете да направите с такава дроб, е да я закръглите. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуването в десетичен - никога няма да даде първоначална стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не могат да бъдат превърнати в обикновени. Това трябва да се помни.

Как да напишем безкрайна периодична дроб под формата на обикновена дроб?

В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат ​​период. Например 0,3 (3). Тук "3" в периода. Те се класифицират като рационални, тъй като могат да бъдат трансформирани във дроби.

Тези, които са се сблъсквали с периодични дроби, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.

Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак под формата на обикновена дроб, ще бъде различно за посочените два вида числа. Доста лесно е да запишете чисти периодични дроби с обикновени. Както при крайните, те трябва да бъдат преобразувани: напишете периода в числителя, а знаменателят ще бъде числото 9, повторено толкова пъти, колкото периодът съдържа.

Например 0, (5). Числото няма цяла част, така че трябва да започнете с дробната част веднага. В числителя напишете 5, а в знаменателя - 1. Тоест отговорът ще бъде дроб 5/9.

Правило за това как да се напише обикновена десетична периодична дроб, която е смесена.

Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще имат знаменател.

Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.

За да определите числителя, трябва да запишете разликата между две числа. Всички цифри след десетичната запетая, заедно с точката, ще бъдат намалени. Изваден - е без точка.

Например 0,5 (8) - запишете периодичната десетична дроб под формата на обикновена. В дробната част преди точката има една цифра. Така че нулата ще бъде едно. В периода също има само едно число - 8. Тоест има само една деветка. Тоест, трябва да напишете 90 в знаменателя.

За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Оказва се 53. Отговорът, например, ще трябва да напише 53/90.

Как се превръщат обикновените дроби в десетични?

Най-простият вариант се оказва число, чийто знаменател е 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и се поставя запетая между дробната и целата част.

Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т. н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Само знаменателят трябва да се умножи, но и числителят по същото число.

За всички останали случаи е полезно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите две опции за отговор: крайна или периодична десетична дроб.

Действия с обикновени дроби

Събиране и изваждане

Учениците ги опознават преди другите. Освен това, първо дробите имат едни и същи знаменатели, а след това са различни. Общите правила могат да се сведат до такъв план.

Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.

Запишете допълнителни фактори към всички обикновени дроби.

Умножете числителите и знаменателите по факторите, определени за тях.

Добавете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.

Ако числителят на намаленото число е по-малък от изваденото, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или редовна дроб.

В първия случай трябва да вземете една единица от цялата част. Добавете знаменателя към числителя на дроба. И след това направете изваждането.

Във втория е необходимо да се приложи правилото за изваждане на по-голямото от по-малкото число. Тоест, извадете модула на намаляващото от модула на изваденото и поставете знака "-" в отговор.

Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест разделете числителя на знаменателя.

Умножение и деление

Не е необходимо дробите да се довеждат до общ знаменател, за да се попълнят. Това улеснява следването на стъпките. Но те все пак трябва да спазват правилата.

Когато умножавате обикновени дроби, трябва да вземете предвид числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат отменени.

Умножете числителите.

Умножете знаменателите.

Ако получите отменяема дроб, тогава тя трябва да бъде отново опростена.

Когато делите, първо трябва да замените деленето с умножение, а делителя (втората дроб) с реципрочната стойност (разменете числителя и знаменателя).

След това продължете както при умножението (започвайки от точка 1).

В задачи, при които трябва да умножите (делите) по цяло число, последното се предполага да бъде записано като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.



Десетични действия

Събиране и изваждане

Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната запетая в дроб. И да действа по вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за събирането и изваждането им ще бъдат абсолютно същите.

Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Добавете липсващия брой нули към него.

Напишете дроби, така че запетаята да е под запетаята.

Събиране (изваждане) като естествени числа.

Премахнете запетаята.

Умножение и деление

Важно е да не е необходимо да добавяте нули тук. Предполага се, че дробите се оставят така, както са дадени в примера. И след това върви по план.

За да умножите, трябва да напишете дроби една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.

Умножете като естествени числа.

Поставете запетая в отговора, като броите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.

За да разделите, първо трябва да трансформирате делителя: да го направите естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.

Умножете дивидента по същото число.

Разделете десетичното число на естествено число.

Поставете запетая в отговора в момента, когато завършва разделянето на цялата част.



Ами ако има и двата вида дроби в един пример?

Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате действия върху обикновени и десетични дроби. При подобни задачи има две възможни решения. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-добрия.

Първият начин: представлява обикновен десетичен знак

Подходящо е, ако при деление или превеждане се получават крайни дроби. Ако поне едно число дава периодичната част, тогава тази техника е забранена. Ето защо, дори и да не ви харесва да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.

Вторият начин: запишете десетични дроби с обикновени

Тази техника се оказва удобна, ако в частта след десетичната запетая има 1-2 цифри. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните означения ще направят възможно преброяването на задачата по-бързо и по-лесно. Ето защо винаги трябва трезво да оценявате задачата и да изберете най-простия метод за решение.

В тази статия ще анализираме как преобразуване на обикновени дроби в десетични дроби, а също така да разгледаме обратния процес - превръщане на десетичните дроби във дроби. Тук ще изразим правилата за обръщане на дроби и ще дадем подробни решения на типични примери.

Навигация в страницата.

Преобразуване на дроби в десетични знаци

Нека да обозначим последователността, в която ще се занимаваме преобразуване на обикновени дроби в десетични дроби.

Първо, ще разгледаме как да представим обикновени дроби със знаменатели 10, 100, 1000, ... като десетични дроби. Това е така, защото десетичните дроби по същество са компактна форма за записване на обикновени дроби със знаменатели 10, 100,...

След това ще продължим и ще покажем как всяка обикновена дроб (не само със знаменатели 10, 100, ...) може да бъде записана като десетична дроб. Това обръщане на обикновени дроби произвежда както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.

Сега нека поговорим за всичко по ред.

Преобразуване на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби

Някои обикновени обикновени дроби изискват "предварителна подготовка" преди превръщането им в десетични дроби. Това се отнася за обикновените дроби, броят на цифрите в числителя на които е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например, обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за превръщане в десетична дроб, а фракцията 9/10 не се нуждае от подготовка.

„Предварителна подготовка“ на обикновени обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на такъв брой нули вляво в числителя, така че общият брой цифри там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например, след добавяне на нули, дроб ще изглежда така.

След като подготвите правилната обикновена дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична дроб.

Да дадем правилото за превръщане на обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична... Състои се от три стъпки:

• напишете 0;
• след него поставяме десетична запетая;
• записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).

Нека разгледаме приложението на това правило при решаване на примери.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 37/100 в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото 100, което съдържа две нули. Числителят съдържа числото 37, той съдържа две цифри, следователно, тази дроб не е необходимо да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.

Сега записваме 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя и получаваме десетична дроб от 0,37.

Отговор:

0,37 .

За да консолидираме уменията за превеждане на обикновени обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.

Пример.

Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетична дроб.

Решение.

Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб се нуждае от подготовка за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3 = 4 нули вляво в числителя, така че общият брой цифри там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме.

Остава да се състави желаната десетична дроб. За да направите това, първо, пишем 0, второ, поставяме запетая и трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107, в резултат на което имаме десетична дроб 0,0000107.

Отговор:

0,0000107 .

Неправилните дроби не се нуждаят от подготовка при преобразуване в десетични знаци. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби:

• запишете числото от числителя;
• разделяме десетичната запетая толкова цифри вдясно, колкото има нули в знаменателя на оригиналната дроб.

Нека анализираме приложението на това правило при решаване на пример.

Пример.

Преобразувайте неправилната обикновена дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична дроб.

Решение.

Първо, записваме числото от числителя 56888038009 и второ, разделяме десетичната запетая с 5 цифри вдясно, тъй като в знаменателя на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетична дроб 568 880.38009.

Отговор:

568 880,38009 .

За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб, след което получената дроб може да се преобразува в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа със знаменател на дробната част 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:

• ако е необходимо, извършваме "предварителна подготовка" на дробната част от първоначалното смесено число, като добавяме необходимия брой нули вляво в числителя;
• записваме цялата част от първоначалното смесено число;
• поставете десетична запетая;
• записваме числото от числителя заедно с добавените нули.

Помислете за пример, при решаването на който ще изпълним всички необходими стъпки, за да представим смесено число като десетична дроб.

Пример.

Преобразувайте смесеното число в десетична дроб.

Решение.

В знаменателя на дробната част има 4 нули, в числителя има числото 17, състоящо се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули вляво в числителя, така че броят на цифрите там да стане равен на броят на нулите в знаменателя. По този начин числителят ще бъде 0017.

Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична запетая, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, и получаваме желаното десетична дроб 23.0017.

Нека напишем накратко цялото решение: .

Несъмнено беше възможно първо да се представи смесеното число като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така:.

Отговор:

23,0017 .

Преобразуване на обикновени дроби в крайни и безкрайни периодични десетични дроби

Не само обикновените дроби със знаменатели 10, 100, ..., но и обикновените дроби с други знаменатели могат да бъдат превърнати в десетична дроб. Сега ще разберем как се прави това.

В някои случаи оригиналната обикновена дроб се свежда лесно до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (вижте намаляването на обикновената дроб до новия знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробът 2/5 може да бъде намален до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дроб 4/10, което според правилата, обсъдени в предишния параграф, могат лесно да бъдат превърнати в десетична дроб 0, 4 .

В други случаи трябва да използвате различен начин за преобразуване на обикновена дроб в десетична, към който сега се обръщаме.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дроба се разделя на знаменателя, числителят преди това се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равни и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин като деленето на колона от естествени числа, а в частното се поставя десетична запетая, когато завършва деленето на цялата част от дивидента. Всичко това ще стане ясно от решенията на примерите по-долу.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 621/4 в десетична дроб.

Решение.

Представяме числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавяме десетична запетая и няколко нули след нея. За начало добавяме 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621.00.

Сега нека направим колонното деление на 621 000 на 4. Първите три стъпки не се различават от разделянето на естествени числа на колона, след което стигаме до следната картина:

Така стигнахме до десетичната запетая в дивидента, а остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме делението с колона, без да обръщаме внимание на запетаите:

Това завършва разделянето и в резултат получихме десетична дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.

Отговор:

155,25 .

За да консолидирате материала, разгледайте решението на още един пример.

Пример.

Преобразувайте дроб 21/800 в десетична.

Решение.

За да преобразувате тази обикновена дроб в десетична, разделете на колона с десетичен знак 21 000 ... на 800. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението:

Накрая получихме остатъка от 0, това е мястото, където преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетична дроб завършва и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.

Отговор:

0,02625 .

Може да се случи, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб все още не получаваме остатъка от 0. В тези случаи разделянето може да продължи толкова дълго, колкото желаете. Въпреки това, като се започне от определена стъпка, остатъците се повтарят периодично, а числата в частното също се повтарят. Това означава, че първоначалната дроб се преобразува в безкрайна периодична десетична дроб. Нека покажем това с пример.

Пример.

Запишете дроба 19/44 като десетична.

Решение.

За да преобразуваме обикновена дроб в десетична, ние извършваме разделяне на колони:

Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното се повтарят числата 1 и 8. Така първоначалната обикновена дроб 19/44 се превръща в периодична десетична дроб 0,43181818 ... = 0,43 (18).

Отговор:

0,43(18) .

В края на този параграф ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои - само в периодични.

Нека имаме пред нас неприводима обикновена дроб (ако дробът е отменим, тогава първо извършваме намаляването на дроба) и трябва да разберем в коя десетична дроб може да се преобразува - крайна или периодична.

Ясно е, че ако обикновена дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да се преобразува в крайна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. далеч не са дадени всички обикновени дроби. Към такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чиито знаменатели са поне едно от числата 10, 100, ... И кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100,... ще ни позволят да отговорим на този въпрос, а те са както следва: 10 = 2 · 5, 100 = 2 · 2 · 5 · 5, 1000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 ,…. От това следва, че делителите са 10, 100, 1000 и т.н. може да има само числа, чиито прости фактори съдържат само числа 2 и (или) 5.

Сега можем да направим общо заключение за превръщането на обикновени дроби в десетични дроби:

• ако в разлагането на знаменателя в прости множители има само числа 2 и (или) 5, тогава тази дроб може да се преобразува в крайна десетична дроб;
• ако освен две и петици, в разширението на знаменателя присъстват и други прости числа, тогава тази дроб се преобразува в безкрайна десетична периодична дроб.

Пример.

Без да превръщате обикновените дроби в десетични дроби, кажете ми коя от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 може да се преобразува в крайна десетична дроб и коя - само в периодична.

Решение.

Разлагането на прости фактори на знаменателя на 47/20 е 20 = 2 · 2 · 5. Това разширение съдържа само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменател 100), следователно, може да се преобразува в крайна десетична дроб .

Разлагането на прости фактори на знаменателя на дроб 7/12 е 12 = 2 · 2 · 3. Тъй като съдържа прост фактор 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в периодична десетична дроб.

Фракция 21/56 е контрактилен, след свиване приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя в прости множители съдържа три фактора, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8, а оттам и равната на него дроб 21/56, може да се преобразува в крайна десетична дроб.

И накрая, разширението на знаменателя на дроб 31/17 е само 17, следователно, тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.

Отговор:

47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в окончателен десетичен знак, а 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодичен.

Дробите не се превръщат в безкрайни непериодични десетични дроби

Информацията в предишния параграф повдига въпроса: „Може ли да се получи безкрайна непериодична дроб при разделяне на числителя на дроб на знаменателя?“

Отговорът е не. Когато превеждате обикновена дроб, можете да получите или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.

От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът винаги е по-малък от делителя, тоест ако разделим някое цяло число на цяло число q, тогава остатъкът може да бъде само едно от числата 0, 1, 2,... , q − 1. От това следва, че след завършване на деленето по колона от цялата част на числителя на обикновената дроб със знаменателя q, на не повече от q стъпки, ще възникне една от следните две ситуации:

• или ще получим остатък от 0, при това деление ще приключи и ще получим крайната десетична дроб;
• или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при разделяне на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), така че ще се получи безкрайна периодична десетична дроб.

Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.

От разсъжденията, дадени в този параграф, следва също така, че дължината на периода на десетичната дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразуване на десетични дроби във дроби

Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена. Нека започнем с преобразуването на крайните десетични дроби във дроби. След това разгледайте метода за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.

Преобразуване на крайните десетични дроби във дроби

Доста лесно е да получите обикновена дроб, която се записва като крайна десетична дроб. Правило за преобразуване на крайния десетичен знак в дробисе състои от три стъпки:

• първо, напишете дадената десетична дроб в числителя, като предварително сте отхвърлили десетичната запетая и всички нули вляво, ако има такива;
• второ, напишете единица в знаменателя и добавете към нея толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
• трето, ако е необходимо, извършете намаляването на получената фракция.

Нека разгледаме решения на примери.

Пример.

Преобразувайте десетичното число 3,025 във дроб.

Решение.

Ако премахнем десетичната запетая в оригиналната десетична дроб, тогава получаваме числото 3 025. Вляво няма нули, които бихме изхвърлили. И така, в числителя на желаната дроб напишете 3 025.

Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули към него вдясно, тъй като в оригиналната десетична дроб след десетичната запетая има 3 цифри.

Така че получихме обикновената дроб 3 025/1000. Тази дроб може да бъде отменена с 25, получаваме .

Отговор:

.

Пример.

Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 във дроб.

Решение.

Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като пускаме нулите вляво, получаваме числото 17, което е числител на желаната дроб.

Записваме единица с четири нули в знаменателя, тъй като в оригиналната десетична дроб след десетичната запетая има 4 цифри.

В резултат на това имаме обикновена дроб от 17/10000. Тази дроб е неприводима и преобразуването на десетичната дроб в обикновената е завършено.

Отговор:

.

Когато цялата част на оригиналната крайна десетична дроб е различна от нула, тогава тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на крайното десетично число в смесено число:

• числото до десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
• в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на оригиналната десетична дроб, след като изпуснете всички нули в нея отляво;
• в знаменателя на дробната част трябва да напишете цифрата 1, към която добавяте толкова нули вдясно, колкото има цифри в оригиналната десетична дроб след десетичната запетая;
• ако е необходимо, намалете дробната част от полученото смесено число.

Нека разгледаме пример за преобразуване на десетичен знак в смесено число.

Пример.

Пренапишете десетичното число 152.06005 като смесено число

За да запишете рационалното число m / n като десетична дроб, разделете числителя на знаменателя. В този случай частното се записва в крайна или безкрайна десетична дроб.

Запишете даденото число като десетична дроб.

Решение. Разделете в колона числителя на всяка дроб по нейния знаменател: а)разделете 6 на 25; б)разделете 2 на 3; v)разделете 1 на 2 и след това присвоете получената дроб на едно - цялата част от това смесено число.

Неприводими обикновени дроби, чиито знаменатели не съдържат други прости множители, освен 2 и 5 , се записват в крайна десетична дроб.

V пример 1кога а)знаменател 25 = 5 · 5; кога v)знаменателят е 2, така че получихме крайните десетични числа 0,24 и 1,5. Кога б)знаменателят е 3, така че резултатът не може да бъде записан като крайна десетична дроб.

Възможно ли е без разделяне на колона да се преобразува в десетична дроб такава обикновена дроб, чиито знаменател не съдържа други фактори освен 2 и 5? Нека го разберем! Коя дроб се нарича десетична и се записва без дробна черта? Отговор: дроб със знаменател 10; 100; 1000 и др. И всяко от тези числа е продукт равниброя на "двойките" и "петиците". Всъщност: 10 = 2 · 5; 100 = 2 · 5 · 2 · 5; 1000 = 2 5 2 5 2 5 и т.н.

Следователно знаменателят на неприводима обикновена дроб ще трябва да бъде представен като произведение на "двойките" и "петиците", след което да се умножи по 2 и (или) по 5, така че "двойките" и "петиците" да станат равни. Тогава знаменателят на дроба ще бъде 10 или 100 или 1000 и т.н. За да не се промени стойността на дроба, умножаваме числителя на дроба по същото число, с което е умножен знаменателят.

Представете следните дроби като десетичен знак:

Решение. Всяка от тези фракции е неприводима. Нека разделим знаменателя на всяка дроб на прости множители.

20 = 2 2 5. Заключение: липсва една "петица".

8 = 2 2 2. Заключение: липсват три "петици".

25 = 5 5. Заключение: липсват две "двойки".

Коментирайте.На практика те често не използват разлагане на множители на знаменателя, а просто задават въпроса: с колко трябва да се умножи знаменателят, за да се получи единица с нули (10 или 100 или 1000 и т.н.). И тогава числителят се умножава по същото число.

И така, в случая а)(пример 2) от числото 20 можете да получите 100, като умножите по 5, следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по 5.

Кога б)(пример 2) от числото 8 числото 100 няма да работи, но числото 1000 ще се умножи по 125. И числителят (3) и знаменателят (8) на дроба се умножават по 125.

Кога v)(пример 2) от 25 получавате 100, ако умножите по 4. Това означава, че числителят 8 трябва да се умножи по 4.

Безкрайна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност, се нарича периодичнодесетична дроб. Колекцията от повтарящи се числа се нарича период на тази дроб. За краткост периодът на дроба се записва веднъж, като се затваря в скоби.

Кога б)(пример 1) повтарящата се цифра е една и е равна на 6. Следователно нашият резултат 0,66 ... ще бъде записан така: 0, (6). Прочетете: нула точка, шест в точка.

Ако има една или повече неповтарящи се цифри между запетаята и първата точка, тогава такава периодична дроб се нарича смесена периодична дроб.

Неприводима обикновена дроб, чийто знаменател е заедно с другимножители съдържа коефициента 2 или 5 , става смесенипериодична фракция.

Запишете числата като десетична дроб.