Елементи на комбинативен анализ

Връзки.Празно А а 1 , а 2, а 3 …a n А м (мот н връзки от нелементи от м

Пермутации.Празно А- набор, състоящ се от краен брой елементи а 1 , а 2, а 3 …a n... От различните елементи на комплекта Амогат да се формират групи. Ако всяка група съдържа еднакъв брой елементи м (мот н), след това казват, че се образуват връзки от нелементи от мвъв всеки. Има три вида връзки: разположение, комбинации и пермутации.

Настаняване.Връзки, всяка от които съдържа мразлични елементи ( м < н) взето от нелементи от комплекта А, различаващи се един от друг или в състава на елементите, или в техния ред се наричат разположения от нелементи от мвъв всеки. Броят на тези разположения е обозначен със символа

Теорема 1. Броят на всички различни пермутации на n елемента е

N (n-1) (n-2) (n-3)… .3 * 2 * 1 = 1 * 2 * 3… (n-1) n = n!

Теорема 2. Брой на всички разположения от нелементи от мизчислено по формулата:

Комбинации. Връзкивсеки от които съдържа мразлични елементи ( м < н) взето от нелементи от комплекта Аразличаващи се един от друг, поне един от елементите (само състав) се извиква комбинации от нелементи от мвъв всеки. Броят на такива комбинации е обозначен със символа

Теорема 3. Броят на всички комбинации от n елемента по m се определя по формулата:

Понякога следната формула се използва за записване на броя на разположенията:

Същността и условията за прилагане на теорията на вероятностите.

Теория на вероятностите

Случайно явление -

само

Т.в. служи за обосноваване на математическа и приложна статистика, която се използва при планиране на организацията на производството и др.

Основни понятия на теорията на вероятностите.

Теория на вероятноститеима математическа наука, която изучава моделите в случайни явления.

Случайно явление -това е такова явление, че при многократно възпроизвеждане на един и същ експеримент всеки път протича по различен начин.

Методите на теорията на вероятностите са естествено пригодени самоза изследване на масови случайни явления; те не дават възможност да се предскаже резултатът от отделно случайно явление, но дават възможност да се предскаже средният общ резултат от маса хомогенни случайни събития.

В теорията на вероятностите тестобичайно е да се нарича експеримент, който (поне теоретично) може да се извърши при едни и същи условия неограничен брой пъти.

Резултатът или резултатът от всеки тест се нарича събитие. Събитието е основната концепция на теорията на вероятностите. Ще обозначаваме събитията с буквите A, B, C.

Видове събития:

надеждно събитие- събитие, което със сигурност ще се случи в резултат на опит.

невъзможно събитие- събитие, което не може да се случи в резултат на опит.

случайно събитие- събитие, което може или не може да се случи в даден опит. Равенство на събитията

Вероятностразработки А(означават P (A) А(означават m (A)), нтези. P (A)= m (A) / N.

Пространство на вероятностите.

Пространство на вероятноститеЕ математически модел на случаен експеримент (експеримент) в аксиоматиката на A.N. Колмогоров. Вероятностното пространство съдържа цялата информация за свойствата на случаен експеримент, която е необходима за неговия математически анализ посредством теорията на вероятностите. Всеки проблем от теорията на вероятностите се решава в рамките на определено вероятностно пространство, напълно уточнено първоначално. Проблемите, при които вероятностното пространство не е напълно уточнено и липсващата информация трябва да бъде получена от резултатите от наблюденията, принадлежат към областта на математическата статистика.

Пространство на вероятноститесе определя от тройка компоненти (символи) (Ω, S, P), където Ω е пространството на елементарни събития

S-∂ (сигма) -алгебра на събития, P-вероятност, Ω-надеждно събитие, S-система от подмножества от пространството на елементарни резултати Ω.

5. 5. Директно изчисляване на вероятността.

Класическо определение на вероятносттавъз основа на концепцията справедливост на събитията .

Равенство на събитиятаозначава, че няма причина да предпочитате някой от тях пред другия.

Помислете за тест, който може да доведе до събитие А... Всеки резултат, при който се случва събитие Ае наречен благоприятен събитие А.

Вероятностразработки А(означават P (A)) е съотношението на броя на резултатите, благоприятни за събитието А(означават m (A)),към броя на всички резултати от изпитването - нтези. P (A)= m (A) / N.

Класическото определение на вероятността предполага следното: Имоти :

Вероятността за всяко събитие е между нула и единица.

Доказателство... Тъй като тогава всички части на неравенството се разделят на н, получаваме

Откъдето според класическото определение на вероятността следва, че

Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Вероятността за невъзможно събитие е нула

6. 6. Теореми за добавяне на вероятности.

Ако A и B са несъвместими, тогава P (A + B) = P (A) + P (B)

Ако A и В са противоположни събития, тогава

Елемент от сигма алгебра отсега нататък ще се нарича случайно събитие.

Пълна група събития

Пълна група събития е пълна група от подмножества, всяка от които е събитие. Смята се, че събитията от пълната група са част от пространството на елементарни резултати.

Окончателно добавена функция

Нека бъде А – алгебра. Функцията , която картографира алгебрата към множеството от реални числа

се нарича окончателно адитивна, ако за всеки краен набор от двойки несъвместими събития

Функция за броене-добавка

Нека бъде F- алгебра или сигма-алгебра. Функция

се нарича преброимо адитивна, ако е окончателно адитивна и за всяко преброимо множество от двойки несъвместими събития

Мярката е неотрицателна преброима адитивна функция, определена в сигма алгебра, която отговаря на условието

Крайната мярка

Измерете се нарича краен, ако

Вероятност

Вероятност (вероятностна мярка) Pтова е такава мярка, че

Отсега нататък ще спрем да измерваме вероятността като процент и ще започнем да я измерваме с реални числа от 0 до 1.

се нарича вероятност за събитие А

Пространство на вероятностите

Вероятностното пространство е съвкупност от три обекта - пространството на елементарните резултати, сигма алгебрата на събитията и вероятността.

Това е математически модел на случаен феномен или обект.

Парадоксът на дефинирането на вероятностното пространство

Нека се върнем към първоначалната формулировка на проблема за теорията на вероятностите. Нашата цел беше да изградим математически модел на случаен феномен, който да помогне за количествено определяне на вероятностите на случайни събития. В същото време, за да се конструира вероятностно пространство, е необходимо да се зададе вероятността, т.е. изглежда е точно това, което търсим (?).

Решението на този парадокс е, че за пълно дефиниране на вероятността като функция на всички елементи F, обикновено е достатъчно да го попитате само за някои събития от F, чиято вероятност е лесно да се определи , и след това, използвайки неговата преброима адитивност, изчисляване на всеки елемент F.

Независими събития

Независимостта е важно понятие в теорията на вероятностите.

Събитията A и B се наричат ​​независими, ако

тези. вероятността за едновременното настъпване на тези събития е равна на продукта на техните вероятности.

Събитията в преброимо или крайно множество се наричат ​​независими по двойки, ако някоя от тях е двойка независими събития

Общо

Събитията в преброимо или крайно множество се наричат ​​независими в съвкупност, ако вероятността за едновременно възникване на всяко крайно подмножество от тях е равно на произведението на вероятностите за събитията от това подмножество.

Ясно е, че независимите събития като цяло са независими и по двойки. Обратното не е вярно.

Условна вероятност

Условната вероятност за събитие А, при условие, че е настъпило събитие В, е стойността

Засега ще дефинираме условната вероятност само за събития B, чиято вероятност не е нула.

Ако събитията A и B са независими, тогава

Свойства и теореми

Най -простите свойства на вероятността

Форми за събития пълна групаако поне един от тях задължително ще възникне в резултат на експеримента и е несъвместим по двойки.

Да предположим събитие Аможе да възникне само заедно с едно от няколкото несъвместими по двойки събития, които образуват пълна група. Ще наричаме събития ( i= 1, 2,…, н) хипотезидопълнителен опит (априори). Вероятността за настъпване на събитие А се определя от формулата пълна вероятност :

Пример 16.Има три урни. Първата урна съдържа 5 бели и 3 черни топки, втората съдържа 4 бели и 4 черни топки, а третата съдържа 8 бели топки. Една от урните се избира на случаен принцип (това може да означава например, че селекция се прави от помощна урна, където има три топки с номера 1, 2 и 3). От тази урна се изтегля топка на случаен принцип. Каква е вероятността той да се окаже черен?

Решение.Събитие А- черната топка се отстранява. Ако беше известно от коя урна е изтеглена топката, тогава желаната вероятност би могла да се изчисли според класическото определение на вероятността. Нека въведем предположения (хипотези) за това коя урна е избрана за извличане на топката.

Топката може да бъде извлечена или от първата урна (хипотеза), или от втората (хипотеза), или от третата (хипотеза). Тъй като има равни шансове да изберете някоя от урните, тогава .

Оттук следва, че

Пример 17.Електрическите лампи се произвеждат в три завода. Първият завод произвежда 30% от общия брой електрически лампи, вторият - 25%,
а третото е останалото. Продуктите от първото растение съдържат 1%дефектни крушки, второто - 1,5%, третото - 2%. Магазинът получава продукти и от трите завода. Каква е вероятността лампата, купена в магазин, да е дефектна?

Решение. Трябва да се направят предположения в коя фабрика е произведена крушката. Знаейки това, можем да открием вероятността тя да е дефектна. Нека въведем нотация за събития: А- закупената крушка се оказа дефектна, - лампата е направена от първия завод, - лампата е направена от втория завод,
- лампата е произведена от третия завод.

Намираме необходимата вероятност по формулата за обща вероятност:

Формулата на Байес.

Нека бъде пълна група от двойки несъвместими събития (хипотези). А- случайно събитие. Тогава,

Последната формула, която дава възможност да се надценят вероятностите за хипотези, след като резултатът от теста стане известен, в резултат на което се е появило събитие А, се нарича Формулата на Байес .

Пример 18.Средно 50% от пациентите с болестта се приемат в специализирана болница ДА СЕ, 30% - със заболяване L, 20 % –
с болест М... Вероятността за пълно излекуване на болестта Кравно на 0,7 за болести Lи Мтези вероятности са съответно 0,8 и 0,9. Пациентът, който е приет в болницата, е изписан здрав. Намерете вероятността този пациент да е имал медицинско състояние К.

Решение.Нека въведем хипотези: - пациентът е страдал от заболяване ДА СЕ L, - пациентът е страдал от заболяване М.

Тогава, според условието на проблема, имаме. Нека въведем събитие А- пациентът, който е приет в болницата, е изписан здрав. По условие

По формулата на общата вероятност получаваме:

Според формулата на Байес.

Пространство на вероятностите

Първите теоретични резултати в теорията на вероятностите включват

до средата на 17 век и принадлежат на Б. Паскал, П. Ферма, Х. Хюйгенс, Ж. Бернули. Тази теория дължи успехите си през 18 -ти и началото на 19 -ти век на А. Мойвр, П. Лаплас, К. Гаус, С. Поасон, А. Легендър. Значителен напредък в теорията на вероятностите е постигнат в края на 19 -ти и началото на 20 -ти век в трудовете на Л. Болцман, П. Чебишев, А. Ляпунов, А. Марков, Е. Борел и др. Въпреки това дори до началото на 20 -ти век век, строга и последователна теория. Само аксиоматичен подход направи възможно постигането на това. За първи път аксиоматичната конструкция на теорията е направена от С. Н. Бернщайн през 1917 г., който основава своите конструкции на сравнението на случайни събития по отношение на тяхната вероятност. Този подход обаче не е получил допълнително развитие. Аксиоматичният подход, основан на теорията на множествата и теорията на мерките, разработен от А. Н. Колмогоров през 20 -те години на миналия век, се оказа по -плодотворен. В аксиоматиката на Колмогоров концепцията за случайно събитие, за разлика от класическия подход, не е начална, а е следствие от по -елементарни концепции. Изходната точка на Колмогоров е множеството (пространство) W на елементарни събития (пространство за резултат, пространство за извадка). Характерът на елементите на това пространство няма значение.

Ако A, B, C Î W, тогава следните отношения, установени в теорията на множествата, са очевидни:

A + A = A, AA = A, AÆ = Æ, A + Æ = A, A + W = W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

където горната лента означава допълнението в W; A + B = A B, AB = A + B, AB = BA, A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), (AB) C = A (BC), A (B + C) = AB + AC, A + BC = (A + B) (A + C);

тук Æ означава празен набор, т.е. невъзможно събитие.

В аксиоматиката на Колмогоров се разглежда определена система U от подмножества на множеството W, чиито елементи се наричат ​​случайни събития. Системата U отговаря на следните изисквания: ако подмножества A и B от множеството W са включени в системата U, тогава тази система съдържа и множествата A È B, A Ç B, A и B; самото множество W. също е елемент от системата U. Такава система от множества се нарича (булева) алгебра от множества.

Очевидно от дефиницията на алгебрата от множества следва, че празното множество Æ също принадлежи на семейство U. По този начин алгебрата от множества (т.е. множеството случайни събития) е затворена по отношение на операциите по събиране, пресичане и образуване на допълнения и следователно елементарните операции върху случайни събития не излизат извън множеството случайни събития U .

За повечето приложения е необходимо да се изисква семейството на множествата U да включва не само крайни суми и пресичания на подмножества от множеството W, но и преброими суми и пресичания. Това ни води до дефиницията на s-алгебра.

Определение 1.1. S-алгебра е семейство от подмножества (U) на множество W, което е затворено при операциите на формиране на допълнения, преброими суми и преброими пресичания.

Ясно е, че всяка s-алгебра съдържа самото множество W и празното множество. Ако е дадено произволно семейство U от подмножества на множеството W, тогава най-малката s-алгебра, съдържаща всички множества от семейство U, се нарича s-алгебра, генерирана от семейство U.

Най-голямата s-алгебра съдържа всички подмножества от s; той е полезен в дискретни пространства W, в които вероятността обикновено се определя за всички подмножества на множеството W. В по -общите пространства обаче е невъзможно или нежелателно да се определи вероятността (определението на вероятността ще бъде дадено по -долу) за всички подмножества. Друго крайно определение на s-алгебра може да бъде s-алгебра, състояща се само от множеството W. и празното множество Æ.

Като пример за избора на W и s-алгебрата на подмножества на U, помислете за игра, в която участниците хвърлят зар с числа от 1 до 6 на всяко от шестте му лица. За всяко хвърляне на заровете, само шест състояния се реализират: w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 и w 6, i-тото от които означава получаване на i точки. Фамилията U на случайни събития се състои от 2 6 = 64 елемента, съставени от всички възможни комбинации от w i: w 1,…, w 6; (w 1, w 6), ..., (w 5, w 6); (w 1, w 2, w 3), ..., (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 , w 6) Æ.

Случайни събития, т.е. често ще обозначаваме елементи от s-алгебра U с буквите A, B, ... Ако две случайни събития A и B не съдържат едни и същи елементи w i ÎW, тогава ще ги наречем несъвместими. Събитията A и A се наричат ​​противоположни (в друга нотация, вместо A, можем да поставим CA). Сега можем да преминем към дефиниране на концепцията за вероятност.

Определение 1.2.Вероятностна мярка P върху s-алгебра U на подмножества от множество W е функция P, отговаряща на следните изисквания:

1) P (A) ³ 0; AÎU;

, т.е. притежаващи свойството на преброима адитивност, където A k са взаимно разединени множества от U.

По този начин, независимо от пространството на извадката W, ние приписваме вероятности само на множествата на някаква s-алгебра U и тези вероятности се определят от стойността на мярката P върху тези множества.

Така във всеки проблем за изучаване на случайни събития първоначалната концепция е пространството за извадка s, в което по един или друг начин е избрана s-алгебра, върху която вече е определена вероятностната мярка Р. Следователно можем да дадем следното определение

Определение 1.3.Вероятностно пространство е тройка (W, U, P), състояща се от извадково пространство W, s-алгебра U от нейните подмножества и вероятностна мярка P, определена на U.

На практика може да има проблеми, при които различни вероятности се приписват на едни и същи случайни събития от U. Например, в случай на симетрични зарове, естествено е да поставите:

P (w 1) = P (w 2) = ... = P (w 6) == 1/6,

и ако костта е асиметрична, тогава следните вероятности може да се окажат по -съвместими с реалността: P (w 1) = P (w 2) = P (w 3) = P (w 4) = 1/4, P (w 5) = P (w 6) = 1/12.

По принцип ще се занимаваме с множества W, които са подмножества от крайномерно евклидово пространство R n. Основният обект на теорията на вероятността са случайните величини, т.е. някои функции, определени в примерното пространство W. Първата ни задача е да ограничим класа на функциите, върху които ще работим. Желателно е да се избере такъв клас функции, стандартните операции, върху които не биха били изведени от този клас, по -специално, така че например да не се извеждат операции по вземане на точкови граници, състав на функции и т.н. от този клас.

Определение 1.4.Най -малкият клас функции B, който е затворен при точково преминаване до границата (т.е. ако ¦ 1, ¦ 2, ... принадлежат към клас B и за всички x има граница ¦ (x) = lim¦ n (x ), тогава ¦ (x) принадлежи на B), съдържащ всички непрекъснати функции, се нарича клас Baire.

От това определение следва, че сумата, разликата, произведението, проекцията, съставът на две функции на Baire отново са функции на Baire, т.е. всяка функция на функция на Baire отново е функция на Baire. Оказва се, че ако се ограничим до по -тесни класове функции, тогава не може да се получи засилване или опростяване на теорията.

В общия случай случайните променливи, т.е. функции X = U (х), където XÎWÌR n, трябва да бъдат дефинирани така, че събитията (X £ t) за всяко t да имат определена вероятност, т.е. така че множествата (X £ t) принадлежат на семейство U, за чиито елементи са определени вероятностите P, т.е. така че величините P (X £ t) са определени. Това ни води до следното определение за измеримост на функция по отношение на семейството U.

Определение 1.5.Реална функция U (x), xÎW, се нарича U-измерима, ако за всяко реално t множеството от онези точки xÎW, за които U (x) £ t принадлежи на семейството U.

Тъй като s-алгебра U е затворена при операцията на приемане на допълнения, в определението за измеримост неравенството £ може да бъде заменено с някое от неравенствата ³,>,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Както вече беше посочено, s-алгебрата може да бъде избрана доста произволно и по-специално, както следва: първо, n-мерните интервали са определени в пространството WÎR n, след това, използвайки операциите на алгебрата от множества, множества на a от тези интервали може да се конструира по -сложна структура и се формират семейства от множества. Сред всички възможни семейства може да се избере такова, което съдържа всички отворени подмножества в W. Подобна конструкция води до следното определение.

Определение 1.6.Най-малката s-алгебра U b, съдържаща всички отворени (и следователно всички затворени) подмножества по множества WÌ R n, се нарича борелова s-алгебра, а множествата й се наричат ​​Борел.

Оказва се, че класът на функциите на Бериан B е идентичен с класа на функциите, измерими по отношение на s-алгебра U b на борелови множества.

Сега можем ясно да дефинираме концепцията за случайна величина и вероятностната функция за нейното разпределение.

Определение 1.7.Случайна променлива X е реална функция X = U (x), xÎW, измерима по отношение на s-алгебра U, включена в дефиницията на вероятностно пространство.

Определение 1.8.Функцията за разпределение на случайна променлива X е функция F (t) = P (X £ t), която определя вероятността случайна променлива X да не надвишава стойността на t.

За дадена функция на разпределение F вероятностна мярка може да бъде уникално конструирана и обратно.

Нека разгледаме основните вероятностни закони, като използваме примера за крайно множество W. Нека A, BÌ W. Ако A и B съдържат общи елементи, т.е. AB¹0, тогава можем да напишем: A + B = A + (B-AB) и B = AB + (B-AB), където от дясната страна има несъвместими множества (т.е. несъвместими събития) и следователно, чрез вероятностната мярка на свойството на добавката: P (A + B) = P (B-AB) + P (A), P (B) = P (AB) + P (B-AB); от тук следва Формулата за сумата от вероятностите на произволни събития: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

Ако не се налагат условия при изчисляване на вероятността за събитие А, тогава вероятността P (A) се нарича безусловна. Ако събитие А се реализира, например, при условие, че е реализирано събитие В, тогава говорим за условна вероятност, обозначавайки го със символа P (A / B). В аксиоматичната теория на вероятността по дефиниция се приема:

P (A / B) = P (AB) / P (B).

За да направите това определение интуитивно ясно, помислете например за следната ситуация. Нека кутията съдържа k парчета хартия, маркирани с буквата A, r парчета хартия, маркирани с буквата B, m парчета хартия, маркирани с буквите AB и n празни парчета хартия. Общо има p = k + r + n + m парчета хартия. И нека един лист след друг да се изважда от кутията на свой ред и след всяко издърпване се отбелязва вида на извадената хартия и тя се поставя отново в кутията. Записват се резултатите от много голям брой такива тестове. Условната вероятност P (A / B) означава, че събитие A се разглежда само във връзка с изпълнението на събитие B. В този пример това означава, че е необходимо да се преброи броят на хартиите, извадени с буквите AB и буквата B и разделете първото число на сумата от първото и второто число. При достатъчно голям брой тестове това съотношение ще се стреми към числото, което определя условната вероятност P (A / B). Подобен брой други парчета хартия ще покаже това

Изчисляване на съотношението

ние се уверяваме, че то просто съвпада с предварително изчислената стойност за вероятността P (A / B). Така получаваме

P (A B) = P (A / B) P (B).

Извършвайки подобни разсъждения, като разменим A и B, получаваме

P (A B) = P (B / A) P (A)

Равенство

P (A B) = P (A / B) P (B) = P (B / A) P (A)

се нарича теорема за умножение на вероятностите.

Разгледаният пример също ни позволява ясно да проверим валидността на следното равенство за A B¹Æ:

P (A + B) == P (A) + P (B) - P (A B).

Пример 1.1.Нека заровете се хвърлят два пъти и е необходимо да се определи вероятността P (A / B) да падне в сумата от 10 точки, ако първото хвърляне има 4.

Второто хвърляне от 6 има шанс 1/6. Следователно,

Пример 1.2.Нека има 6 урни:

урна тип А 1 - две бели и една черна топка, урна тип А 2 - две бели и две черни топки, в урна тип А 3 - две черни и една бяла топка. Има 1 урна тип А 1, 2 урни тип А 2 и 3 урни тип А 3. Урна е избрана на случаен принцип и топка от нея. Каква е вероятността тази топка да е бяла? Нека обозначим с B събитието на изваждане на бялата топка.

Да решим проблема, да предположим, че някакво събитие В се реализира само заедно с едно от n несъвместими събития A1, ..., И n, т.е. В =, където събитията BA i и BA j с различни индекси i и j са несъвместими. От свойството на адитивността на вероятността P следва:

Замествайки зависимостта (1.1) тук, получаваме

тази формула се нарича формула за обща вероятност. За да разрешим последния пример, ще използваме формулата за обща вероятност. Тъй като бялата топка (събитие B) може да бъде взета от една от трите урни (събития A1, A2, A3), тогава можем да напишем

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Формулата за обща вероятност дава

Нека изчислим вероятностите, включени в тази формула. Вероятността топката да бъде взета от урна от тип A1 очевидно е равна на P (A1) = 1/6, от урна от тип A2: P (A2) = 2/6 == 1/3 и от урна от тип A3: P (A 3) = 3/6 = 1/2. Ако топката е взета от урна от тип A1, тогава P (B / A 1) = 2/3, ако от урна от тип A2, тогава P (B / A 2) = 1/2, а ако от урна от тип A3, тогава P (B / A 3) = 1/3. Поради това,

P (B) = (1/6) (2/Z) + (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Условната вероятност P (B / A) има всички свойства на вероятността P (B / A) ³0, B (B / B) = 1 и P (B / A) е адитивен.

Дотолкова доколкото

P (A B) == P (B / A) -P (A) = P (A / B) P (B),

тогава следва, че ако A не зависи от B, тоест ако

P (A / B) = P (A),

тогава B не зависи от A, т.е. P (B / A) = P (B).

По този начин, в случай на независими събития, теоремата за умножение приема най -простата форма:

P (A B) = P (A) P (B) (1.3)

Ако събития A и B са независими, тогава всяка от следните двойки събития също са независими: (A, B), (A, B), (A, B). Нека се уверим например, че ако A и B са независими, тогава и A и B. условия P (B / A) = P (B), следва: P (B / A) = 1 - P (B) = P (B).

Събитията могат да бъдат независими по двойки, но като цяло се оказват зависими. В тази връзка се въвежда и понятието за взаимна независимост: събития А 1, ..., А n се наричат ​​взаимно независими, ако за всяко подмножество Е от индекси 1,2, ..., n е равенството

На практика често е необходимо да се оценят вероятностите за хипотези след провеждане на някакъв тест. Нека например събитие В може да се реализира само с едно от несъвместимите събития А1, ..., И п, т.е. и нека се реализира събитие В. Изисква се да се намери вероятността за хипотезата (събитие) A i при условие

какво стана. От теоремата за умножение

P (A i B) = P (B) P (A i / B) = P (A i) P (B / A i)

Като се вземе предвид формулата за общата вероятност за P (B), това предполага

Тези формули се наричат ​​формули на Байес.

Пример 1.3.Да предположим, че в пример 1.2 е извадена бяла топка и е необходимо да се определи каква е вероятността тя да бъде взета от урна от тип 3.

Вероятности и правила за справяне с тях. За пълно описание на механизма на изследвания случаен експеримент не е достатъчно да се посочи само пространството на елементарни събития. Очевидно, заедно с изброяването на всички възможни резултати от изследвания случаен експеримент, ние също трябва да знаем колко често едно или друго елементарно събитие може да се случи в дълга поредица от такива експерименти. Всъщност, връщайки се, да речем, на примери, е лесно да си представим, че в рамките на всеки от

В тези пространства на елементарни събития можем да разгледаме безкраен брой случайни експерименти, които се различават значително по своя механизъм, така че в примери 4.1-4.3 ще имаме значително различни относителни честоти на възникване на едни и същи елементарни резултати, ако използваме различни моменти и зарове (симетрични, с леко изместен център на тежестта, със силно изместен център на тежестта и т.н.) В примери 4.4-4.7, честотата на поява на дефектни продукти, естеството на замърсяването с дефектни продукти в контролирани партиди и честотата настъпването на определен брой повреди на автоматични линейни машини ще зависи от нивото на технологичното оборудване на изследваното производство: със същото пространство от елементарни събития честотата на появата на "добри" елементарни резултати ще бъде по -висока в производството с по -високо технологично ниво.

За да се изгради (в дискретен случай) цялостна и завършена математическа теория на случаен експеримент - теория на вероятностите, в допълнение към вече въведените начални концепции за случаен експеримент, елементарен резултат и случайно събитие, е необходимо да се запасите с още едно първоначално допускане (аксиома), постулиращо съществуването на вероятности за елементарни събития (удовлетворяващо определена нормализация), и определящо вероятността за всяко случайно събитие.

Аксиома. Всеки елемент от пространството на елементарни събития Q съответства на някаква неотрицателна числена характеристика на шансовете за настъпването му, наречена вероятност за събитие и

(от това, по -специално, следва, че за всички).

Определяне на вероятността от събитие. Вероятността за всяко събитие А се определя като сумата от вероятностите на всички елементарни събития, които съставляват събитие А, тоест, ако използвате символиката, за да обозначите „вероятността от събитие А“, тогава

От това и (4.2) веднага следва, че освен това вероятността за надеждно събитие винаги е

е равен на единица, а вероятността за невъзможно събитие е нула. Всички други понятия и правила за действия с вероятности и събития вече ще бъдат извлечени от четирите първоначални определения, въведени по -горе (случаен експеримент, елементарен резултат, случайно събитие и неговата вероятност) и една аксиома.

По този начин, за изчерпателно описание на механизма на изследвания случаен експеримент (в дискретен случай) е необходимо да се посочи краен или преброим набор от всички възможни елементарни резултати Q и на всеки елементарен резултат да се присвои определен неотрицателен (не над една) числова характеристика, интерпретирана като вероятността от изхода на резултата, и установеният тип съответствие трябва да отговаря на изискването за нормализация (4.2).

Пространството на вероятностите е именно концепцията, която формализира такова описание на механизма на случаен експеримент. Да зададете вероятностно пространство означава да зададете пространството на елементарни събития Q и да определите в него горното съответствие на типа

Очевидно съответствието от тип (4.4) може да бъде зададено по различни начини: с помощта на таблици, графики, аналитични формули и накрая, алгоритмично.

Как да се изгради вероятностно пространство, съответстващо на изследвания реален комплекс от условия? По правило няма трудности при попълването на понятията за случаен експеримент, елементарно събитие, пространство от елементарни събития и в дискретен случай всяко разложимо случайно събитие с конкретно съдържание. Но не е толкова лесно да се определят вероятностите на отделни елементарни събития от специфичните условия на решаващия се проблем! За тази цел се използва един от следните три подхода.

Априорният подход за изчисляване на вероятностите се състои в теоретичен, спекулативен анализ на специфичните условия на даден конкретен случаен експеримент (преди самия експеримент). В редица ситуации този предварителен анализ дава възможност теоретично да обоснове метода за определяне на желаните вероятности. Например е възможен случай, когато пространството на всички е възможно

елементарните резултати се състоят от краен брой N елементи, а условията за производството на изследвания случаен експеримент са такива, че вероятностите за всеки от тези N елементарни резултати изглеждат равни на нас (в тази ситуация се озоваваме при хвърляне на симетрична монета, хвърляне на правилните зарове, произволно изтегляне на игрална карта от добре смесена колода и др.). По силата на аксиома (4.2) вероятността за всяко елементарно събитие в този случай е равна на MN. Това ви позволява да получите проста рецепта за изчисляване на вероятността от всяко събитие: ако събитие A съдържа NA елементарни събития, то в съответствие с определението (4.3)

Смисълът на формула (4.3) е, че вероятността от събитие в даден клас ситуации може да се определи като съотношение на броя на благоприятните резултати (т.е. елементарни резултати, включени в това събитие), към броя на всички възможни резултати ( така наречената класическа дефиниция на вероятността). В съвременната интерпретация формулата (4.3) не е определение на вероятността: тя е приложима само в специалния случай, когато всички елементарни резултати са еднакво вероятни.

Постериорно-честотният подход за изчисляване на вероятностите започва по същество от дефиницията на вероятността, възприета от т. Нар. Честотна концепция за вероятност (за повече подробности относно тази концепция вижте например в,). В съответствие с тази концепция вероятността се определя като граница на относителната честота на настъпване на изхода c в процеса на неограничено увеличаване на общия брой на случайни експерименти, т.е.

където е броят на случайните експерименти (от общия брой на проведените случайни експерименти), в които е записано настъпването на елементарно събитие. Съответно, за практическото (приблизително) определяне на вероятностите, се предлага да се вземат относителните честоти на настъпване на събитието ω за достатъчно дълго време

редица случайни експерименти Този метод за изчисляване на вероятностите не противоречи на съвременната (аксиоматична) концепция на теорията на вероятностите, тъй като последната е конструирана по такъв начин, че емпиричният (или селективен) аналог на обективно съществуващата вероятност за всяко събитие А е относителната честота на това събитие в поредица от независими тестове. Определенията на вероятностите се оказват различни в тези две понятия: в съответствие с честотната концепция вероятността не е цел, съществуваща преди опита, свойство на изследваното явление, а се появява само във връзка с експеримент или наблюдение; това води до смесица от теоретични (вярно, поради реалния комплекс от условия за "съществуване" на изследваното явление), вероятностни характеристики и техните емпирични (селективни) аналози. Както пише Г. Крамер, „определеното определение на вероятността може да се сравни например с дефиницията на геометрична точка като граница на петна от тебешир с безкрайно намаляващи размери, но съвременната аксиоматична геометрия не въвежда такава дефиниция“ () . Няма да се спираме тук на математическите недостатъци на честотната концепция на вероятността. Отбелязваме само основните трудности при прилагането на изчислителната техника за получаване на приблизителни стойности, използвайки относителни честоти. Първо, запазване на условията на случаен експеримент непроменени (т.е. запазване на условията на статистически ансамбъл), при което предположението за тенденцията на относителните честоти да се групират около постоянна стойност се оказва валидна, не може да се поддържа неопределено време и с висока точност. Следователно, за оценка на вероятностите с използване на относителни честоти няма

има смисъл да се вземат твърде дълги серии (т.е. твърде големи) и следователно, между другото, точното преминаване до границата (4.5) не може да има истински смисъл. Второ, в ситуации, в които имаме достатъчно голям брой възможни елементарни резултати (и те могат да образуват безкраен и дори, както е отбелязано в раздел 4.1, непрекъснато множество), дори в произволно дълга поредица от случайни експерименти ще имаме възможност резултати, които никога не са били реализирани в хода на нашия експеримент; а за останалите възможни резултати приблизителните стойности на вероятностите, получени с помощта на относителните честоти, ще бъдат изключително ненадеждни при тези условия.

Подходът на апостериорния модел за определяне на вероятностите, съответстващ на конкретно изследван реален комплекс от условия, в момента е може би най-разпространеният и най-удобният на практика. Логиката на този подход е следната. От една страна, в рамките на априорния подход, тоест в рамките на теоретичен, спекулативен анализ на възможните варианти на спецификата на хипотетичните реални комплекси от условия, набор от моделни вероятностни пространства (биномиален, Поасон, нормално, експоненциално и т.н., вижте § 6.1). От друга страна, изследователят има резултатите от ограничен брой случайни експерименти. Освен това, с помощта на специални математически и статистически техники (базирани на методи за статистическа оценка на неизвестни параметри и статистическо тестване на хипотези, вж. Глави 8 и 9), изследователят така или иначе „адаптира“ хипотетичните модели на вероятностните пространства към резултатите от наблюдението, които той притежава (отразяващи спецификата на изследваната реална реалност) и оставя за по -нататъшно използване само онзи модел или онези модели, които не противоречат на тези резултати и в известен смисъл най -добре им съответстват.

Нека сега опишем основните правила за действия с вероятностите за събития, които са последици от горните дефиниции и аксиоми.

Вероятността за сумата от събития (теоремата за събиране на вероятностите). Нека формулираме и докажем правилото за изчисляване на вероятността от сумата на две събития. За да направим това, разделяме всеки от множествата на елементарни събития,

компоненти на събитието в две части:

където обединява всички елементарни събития ω, включени, но не включени в, се състои от всички онези елементарни събития, които са едновременно включени в Използването на дефиниция (4.3) и дефиницията на продукта на събитията, имаме:

В същото време, в съответствие с дефиницията на сумата от събития и с (4.3), имаме

От (4.6), (4.7) и (4.8) получаваме формулата за добавяне на вероятностите (за две събития):

Формула (4.9) за добавяне на вероятности може да бъде обобщена в случай на произволен брой членове (виж например 183, стр. 105):

където "добавки" се изчисляват под формата на сума от вероятности на формата

и сумирането от дясната страна е очевидно при условие, че всички са различни. В специалния случай, когато интересуващата ни система се състои само от несъвместими събития, всички продукти от формата

ще бъдат празни (или невъзможни) събития и съответно формула (4.9) дава

Вероятност на продукта на събитията (теорема за умножение на вероятностите). Условна вероятност.

Нека разгледаме ситуации, когато предварително определено условие или фиксиране на определено събитие, което вече се е случило, изключва от списъка на възможните някои от елементарните събития на анализираното вероятностно пространство. И така, анализирайки набор от N масово произвеждани продукти, съдържащи продукти от първи, втори, трети и четвърти клас, ние разглеждаме вероятностно пространство с елементарни резултати и съответно техните вероятности (тук означава събитие, състоящо се в това, че продукт се оказаха сортове). Да предположим, че условията за сортиране на продукти са такива, че на определен етап продуктите от първи клас са отделени от общата популация и всички вероятностни изводи (и по -специално изчисляването на вероятностите на различни събития), които трябва да изградим във връзка към съкратеното население, състоящо се само от продукти от втори, трети и четвърти клас. В такива случаи е обичайно да се говори за условни вероятности, тоест за вероятностите, изчислени при условие на определено събитие, което вече се е случило. В този случай такова реализирано събитие е събитие, тоест събитие, състоящо се във всеки произволно извлечен продукт, е от втори, трети или четвърти клас. Следователно, ако се интересуваме от изчисляване на условната вероятност от събитие А (при условие, че събитие В вече се е случило), например от факта, че произволно извлечен продукт се оказва от втори или трети клас, тогава очевидно , тази условна вероятност (ние я обозначаваме) може да бъде определена от следната връзка:

Както е лесно да се разбере от този пример, изчисляването на условни вероятности е по същество преход към друго, отсечено от дадено условие В пространството на елементарни събития, когато съотношението на вероятностите на елементарни събития в отсеченото пространство остава същият като в първоначалния (по -широк), но всички те са нормализирани (разделени на), така че изискването за нормализация (4.2) е изпълнено и в новото вероятностно пространство. Разбира се, не може да се въведе терминология с условни вероятности, а просто да се използва апаратът на обикновените („безусловни“) вероятности в новото пространство. Писането от гледна точка на вероятностите на „старото“ пространство е полезно в онези случаи, когато според условията на конкретен проблем трябва през цялото време да помним за съществуването на първоначално, по -широко пространство от елементарни събития.

Получаваме формулата за условната вероятност в общия случай. Нека B е събитие (непразно), N считано за вече настъпило ("условие"), събитие, чиято условна вероятност трябва да бъде изчислена. Новото (отсечено) пространство на елементарни събития Q се състои само от елементарни събития, включени в B, и следователно техните вероятности (с условието за нормализация) се определят от съотношенията

По дефиниция вероятността е вероятността от събитие А в "отсеченото" вероятностно пространство и следователно в съответствие с (4.3) и (4.10)

или, което е същото,

Еквивалентни формули (4.11) и (4.11 ") обикновено се наричат ​​съответно формулата на условната вероятност и правилото за умножение на вероятностите.

Подчертаваме още веднъж, че разглеждането на условните вероятности на различни събития при едно и също условие В е еквивалентно на разглеждането на обикновени вероятности в друго (съкратено) пространство на елементарни събития чрез преизчисляване на съответните вероятности на елементарни събития, използвайки формула (4.10). Следователно всички общи теореми и правила за действия с вероятности остават валидни за условни вероятности, ако тези условни вероятности се вземат при едно и също условие.

Независимост на събитията.

Две събития A и B се наричат ​​независими, ако

За да изясним естествеността на такова определение, се обръщаме към теоремата за умножение на вероятностите (4.11) и виждаме в какви ситуации (4.12) следва от нея. Очевидно това може да се случи, когато условната вероятност е равна на съответната безусловна вероятност, т.е., грубо казано, когато знанието, че събитието е настъпило, не влияе по никакъв начин на оценката на шансовете за настъпване на събитие А.

Разширяването на определението за независимост до система от повече от две събития е както следва. Събитията се наричат ​​взаимно независими, ако за всяка двойка, тройка, четворка и т.н. събития, извадени от този набор от събития, са валидни следните правила за умножение:

Очевидно първият ред предполага

(броят на комбинациите от k по две) уравнения, във второто - и т. н. Следователно общо (4.13) обединява условия. В същото време условията на първия ред са достатъчни, за да се гарантира двойната независимост на тези събития. И въпреки че двойката и взаимната независимост на система от събития, строго погледнато, не са еднакви, разликата им е по -скоро теоретичен, отколкото практически интерес: практически важни примери за двойки независими събития, които не са взаимно независими, очевидно не съществуват.

Свойството на независимост на събитията значително улеснява анализа на различни вероятности, свързани със системата от изследвани събития. Достатъчно е да се каже, че ако в общия случай, за да се опишат вероятностите на всички възможни комбинации от системни събития, е необходимо да се посочат 2 вероятности, то в случай на взаимна независимост на тези събития, са достатъчни само k вероятности

В изследваната реалност много често се срещат независими събития, те се извършват в експерименти (наблюдения), извършвани независимо един от друг в обичайния физически смисъл.

Това е свойството на независимостта на резултатите от четири поредни хвърляния на заровете, което направи възможно (с помощта на (4.13)) лесно да се изчисли вероятността да не изпадне (за нито едно от тези хвърляния) шестица в проблем на раздел 2.2.1. Наистина, след като е определил събитието, че шестте не са изпаднали в хвърлянето (тази възможност директно следва от факта, че събитията изцяло изчерпват цялото пространство на елементарни събития и не се пресичат по двойки), т.е.

Освен това, използвайки теоремата за добавяне на вероятности (във връзка с противоречиви събития, които са събития) и изчисляване на вероятността за всеки от продуктите по формулата за продукта на вероятностите (4.1 D), получаваме (4.14).

Формулата на Байес.

Нека първо се обърнем към следващия проблем. В склада има устройства, произведени от три фабрики: 20% от устройствата в склада са произведени от фабрика # 1, 50% - от фабрика # 2 и 30% - от фабрика # 3. Вероятността устройството да се нуждае от ремонт по време на гаранционния срок е за продуктите всяка от фабриките са равни съответно на 0,2; 0,1; 0,3. Устройството, взето от склада, няма фабрична маркировка и изисква ремонт (по време на гаранционния срок). В коя фабрика най -вероятно е направено това устройство? Каква е тази вероятност? Ако обозначим събитие, състоящо се в това, че случайно взето устройство от склад се оказа произведено в

Замествайки (4.16) и (4.17) в (4.15), получаваме

Използвайки тази формула, е лесно да се изчислят необходимите вероятности:

Следователно най -вероятно нестандартното устройство е произведено в завод № 3.

Доказателството по формула (4.18) в случай на пълна система от събития, състояща се от произволен брой k събития, точно повтаря доказателството по формула (4.18). В тази обща форма формулата

обикновено наричана формула на Байес.