Елементарните трансформации на редове (колони) на матрица означават следните действия:

1. Препозициониране на два реда (колони).
2. Умножение на всички елементи от ред (колона) по някакво число $ a \ neq 0 $.
3. Сумата от всички елементи на един ред (колона) със съответните елементи на друг ред (колона), умножена по някакво реално число.

Ако приложим някаква елементарна трансформация към редовете или колоните на матрицата $ A $, получаваме нова матрица $ B $. В този случай $ \ rang (A) = \ rang (B) $, т.е. елементарните трансформации не променят ранга на матрицата.

Ако $ \ rang A = \ rang B $, тогава матриците $ A $ и $ B $ се извикват еквивалентен... Фактът, че матрицата $ A $ е еквивалентна на матрицата $ B $, се записва така: $ A \ sim B $.

Често се използва следната нотация: $ A \ rightarrow B $, което означава, че матрицата $ B $ се получава от матрицата $ A $ с помощта на някаква елементарна трансформация.

Когато намирате ранга с помощта на метода на Гаус, можете да работите както с редове, така и с колони. По-удобно е да се работи с низове, следователно в примерите на тази страница трансформациите се извършват върху матрични низове.

Имайте предвид, че транспонирането не променя ранга на матрицата, т.е. $ \ rang (A) = \ rang (A ^ T) $. В някои случаи това свойство е удобно за използване (вижте пример № 3), тъй като, ако е необходимо, е лесно да се правят колони от редове и обратно.

Кратко описание на алгоритъма

Нека представим няколко термина. Нулева линия- низ, всички елементи на който са равни на нула. Ненулев низ- низ, чийто поне един елемент е различен от нула. Водещ елементненулев низ се нарича неговият първи (като се брои отляво надясно) ненулев елемент. Например в реда $ (0; 0; 5; -9; 0) $ водещият елемент ще бъде третият елемент (той е равен на 5).

Рангът на всяка нулева матрица е 0, така че ще разгледаме матрици, различни от нула. Крайната цел на матричните трансформации е да я направят стъпаловидна. Рангът на стъпаловидна матрица е равен на броя ненулеви редове.

Разглежданият метод за намиране на ранга на матрица се състои от няколко стъпки. Първата стъпка използва първия ред, втората стъпка използва втория и т.н. Когато под реда, който използваме на текущата стъпка, остават само нула редове или изобщо няма редове, алгоритъмът спира, тъй като получената матрица ще бъде стъпала.

Сега нека се обърнем към онези трансформации върху низове, които се извършват на всяка стъпка от алгоритъма. Да предположим, че под текущия ред, който трябва да използваме на тази стъпка, има ненулеви линии и $ k $ е номерът на водещия елемент на текущия ред, а $ k _ (\ min) $ е най-малкият от номерата на водещите елементи на тези редове, които лежат под текущия ред ...

• Ако $ k \ lt (k _ (\ min)) $, тогава преминете към следващата стъпка от алгоритъма, т.е. за да използвате следващия ред.
• Ако $ k = k _ (\ min) $, тогава нулираме централните елементи на тези подлежащи редове, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. Ако се появят нулеви редове, тогава ги прехвърляме в долната част на матрицата. След това преминаваме към следващата стъпка от алгоритъма.
• Ако $ k \ gt (k _ (\ min)) $, тогава разменяме текущия ред с един от тези редове по-долу, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. След това нулираме централните елементи на тези подлежащи редове, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. Ако няма такива линии, преминете към следващата стъпка от алгоритъма. Ако се появят нулеви редове, тогава ги прехвърляме в долната част на матрицата.

Как точно се нулират опорните елементи, ще разгледаме на практика. Буквите $ r $ (от думата "ред") ще означават редове: $ r_1 $ е първият ред, $ r_2 $ е вторият ред и т.н. Буквите $ c $ (от думата "колона") ще означават колони: $ c_1 $ - първата колона, $ c_2 $ - втората колона и т.н.

В примерите на тази страница ще използвам $ k $ за обозначаване на централния номер на текущия ред, а $ k _ (\ min) $ ще се използва за обозначаване на най-малкия центров номер на редовете под текущия ред.

Пример №1

Намерете ранга на матрицата $ A = \ left (\ begin (масив) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ край (масив) \ вдясно) $.

Първа стъпка

В първата стъпка работим с първия ред. В първия ред на дадената матрица водещ елемент е първият елемент, т.е. номер на основната точка на първия ред $ k = 1 $. Нека разгледаме редовете под първия ред. Водещите елементи на тези редове са номерирани с 4, 1, 1 и 1. Най-малкото от тези числа е $ k _ (\ min) = 1 $. Тъй като $ k = k _ (\ min) $, ние нулираме централните елементи на тези подлежащи редове, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. С други думи, трябва да нулирате водещите елементи на третия, четвъртия и петия ред.

По принцип можете да започнете да нулирате горните елементи, но за тези преобразувания, които се извършват до нула, е удобно, когато водещият елемент на използвания низ е единица. Това не е необходимо, но прави изчисленията много лесни. Имаме числото -2 като водещ елемент на първия ред. Има няколко опции за замяна на "неудобния" номер с един (или номер (-1)). Можете например да умножите първия ред по 2 и след това да извадите петия от първия ред. Или можете просто да размените първата и третата колона. След пренареждане на колони #1 и #3, получаваме нова матрица, еквивалентна на дадената матрица $ A $:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ край (масив) \ вдясно) \ overset (c_1 \ лява стрелка надясно (c_3)) (\ sim) \ ляво (\ начало (масив) (ccccc) \ удебелен (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normgreen (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ край (масив) \ вдясно) $$

Водещият елемент на първия ред е един. Опорният номер на първия ред не се е променил: $ k = 1 $. Номерата на водещите елементи на редовете под първия са както следва: 4, 1, 2, 1. Най-малкото число е $ k _ (\ min) = 1 $. Тъй като $ k = k _ (\ min) $, ние нулираме централните елементи на тези подлежащи редове, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. Това означава, че трябва да нулирате водещите елементи на третия и петия ред. Тези елементи са подчертани в синьо и зелено.

За да нулираме необходимите елементи, ще извършим операции с редовете на матрицата. Ще напиша тези операции отделно:

$$ \ начало (подравнено) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ удебелен (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) ( \ удебелен (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ край (подравнен) $$

Записът $ r_3 + 5r_1 $ означава, че съответните елементи от първия ред, умножени по пет, са добавени към елементите на третия ред. Резултатът се записва на мястото на третия ред в нова матрица. Ако възникнат трудности с устното изпълнение на такава операция, тогава това действие може да се извърши отделно:

$$ r_3 + 5r_1 = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = (- 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

Подобно е действието $ r_5-r_1 $. В резултат на трансформации на низове получаваме следната матрица:

$$ \ left (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ фантом (0) \\ r_5-r_1 \ край (масив) \ sim \ наляво (\ начало (масив) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (масив) \ вдясно) $$

На този етап първата стъпка може да се счита за завършена. Тъй като под първия ред има редове, различни от нула, трябва да продължите да работите. Единственото предупреждение: в третия ред на получената матрица всички елементи са разделени изцяло на 2. За да намалим числата и да опростим нашите изчисления, умножаваме елементите на третия ред по $ \ frac (1) (2) $ , и след това преминете към втората стъпка:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ край (масив) \ sim \ left (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ край (масив) \ дясно) $$

Втора стъпка

Във втората стъпка работим с втория ред. Във втория ред на матрицата водещ е четвъртият елемент, т.е. номер на въртене на втория ред $ k = 4 $. Нека разгледаме линиите под втория ред. Водещите елементи на тези редове са номерирани с 2, 2 и 2. Най-малкото от тези числа е $ k _ (\ min) = 2 $. Тъй като $ k \ gt (k _ (\ min)) $, трябва да размените текущия втори ред с един от онези редове, чийто номер на централна точка е $ k _ (\ min) $. С други думи, трябва да смените втория ред с трети, четвърти или пети. Ще избера петия ред (това ще избегне появата на дроби), т.е. разменете петия и втория ред:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ край (масив) \ вдясно) \ overset (r_2 \ лява стрелка надясно (r_5)) (\ sim) \ ляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normgreen (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ край (масив) \ вдясно) $$

Нека отново да разгледаме втория ред. Сега водещият елемент е вторият елемент (той е подчертан в червено), т.е. $ k = 2 $. Най-малкото от основните числа на основните редове (тоест на числата 2, 2 и 4) ще бъде $ k _ (\ min) = 2 $. Тъй като $ k = k _ (\ min) $, ние нулираме централните елементи на тези подлежащи редове, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. Това означава, че трябва да нулирате водещите елементи на третия и четвъртия ред. Тези елементи са подчертани в синьо и зелено.

Имайте предвид, че в предишната стъпка 1 беше направен водещ елемент на текущия ред с помощта на пермутация на колони. Това беше направено, за да се избегне работата с дроби. Тук също можете да поставите един на мястото на централната част на втория ред: например, като размените втората и четвъртата колона. Ние обаче няма да направим това, тъй като дроби така или иначе няма да възникнат. Действията с низове ще бъдат така:

$$ \ начало (подравнено) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ удебелен (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ край (подравнен) $$

Извършвайки посочените операции, стигаме до следната матрица:

$$ \ вляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом ( 0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ фантом (0) \ край (масив) \ sim \ left (\ начало (масив) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ край (масив ) \ вдясно) $$

Втората стъпка вече е завършена. Тъй като под втория ред има редове, различни от нула, преминаваме към третата стъпка.

Трета стъпка

В третата стъпка работим с третия ред. В третия ред на матрицата водещият елемент е четвъртият, т.е. номер на въртене на третия ред $ k = 4 $. Нека разгледаме редовете под третия ред. Водещите елементи на тези редове са номерирани с 4 и 4, най-малкият от които е $ k _ (\ min) = 4 $. Тъй като $ k = k _ (\ min) $, ние нулираме централните елементи на тези подлежащи редове, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. Това означава, че трябва да нулирате водещите елементи на четвъртия и петия ред. Трансформациите, които се извършват за тази цел, са напълно подобни на тези, които бяха извършени по-рано:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ край (масив) \ sim \ наляво (\ начало (масив) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ край (масив) \ вдясно) $$

Под третия ред има само нула линии. Това означава, че преобразуването е завършено. Доведохме матрицата до стъпаловидна форма. Тъй като намалената матрица съдържа три ненулеви реда, нейният ранг е 3. Следователно рангът на оригиналната матрица също е три, т.е. $ \ ранг A = 3 $. Пълното решение без обяснение е:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ край (масив) \ вдясно) \ overset (c_1 \ лява стрелка надясно (c_3)) (\ sim) \ ляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ фантом (0) \\ r_5-r_1 \ край (масив) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ начало (масив) (cccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \ край (масив) \ sim \ left (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ край (масив) \ вдясно) \ overset (r_2 \ лява стрелка надясно (r_5)) (\ sim ) \ вляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ фантом (0) \ край (масив) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ \ фантом ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ край (масив) \ sim \ left (\ начало (масив) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ край (масив) \ вдясно) $$

Отговор: $ \ rang A = 3 $.

Пример №2

Намерете ранга на матрицата $ A = \ left (\ begin (масив) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ край (масив) \ вдясно) $.

Тази матрица не е нула, което означава, че нейният ранг е по-голям от нула. Нека да преминем към първата стъпка от алгоритъма.

Първа стъпка

В първата стъпка работим с първия ред. В първия ред на дадената матрица водещ елемент е първият, т.е. номер на централната част на първия ред $ k = 1 $. Нека да разгледаме редовете под първия ред. Водещите елементи на тези линии са номерирани с 1, т.е. Най-малкият осивен номер на основните линии е $ k _ (\ min) = 1 $. Тъй като $ k = k _ (\ min) $, е необходимо да се нулират осевните елементи на тези подлежащи редове, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. С други думи, трябва да нулирате водещите елементи на втория, третия и четвъртия ред.

За удобство на изчисленията ще направим водещия елемент от първия ред да стане един. В предишния пример за това сменихме колоните, но това действие няма да работи с тази матрица - в тази матрица няма елементи, равни на единица. Нека извършим едно помощно действие: $ r_1-5r_2 $. Тогава опорната точка на първия ред ще бъде 1.

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) r_1-5r_2 \\ \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \ край (масив) \ sim \ left (\ начало (масив) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ край (масив) \ вдясно) $$

Водещият елемент на първия ред е един. Нека нулираме водещите елементи на основните редове:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ край (масив) \ sim \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ край (масив) \ вдясно) $$

Първата стъпка приключи. Тъй като под първия ред има редове, различни от нула, трябва да продължите да работите.

Втора стъпка

Във втората стъпка работим с втория ред. Във втория ред на матрицата водещ елемент е вторият, т.е. номер на въртене на втория ред $ k = 2 $. Водещите елементи в редовете по-долу имат същото число 2, така че $ k _ (\ min) = 2 $. Тъй като $ k = k _ (\ min) $, ние нулираме централните елементи на тези подлежащи редове, чийто осивен номер е $ k _ (\ min) $. Това означава, че трябва да нулирате водещите елементи на третия и четвъртия ред.

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ край (масив) \ sim \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ край (масив) \ вдясно) $$

Появи се нулев ред. Нека го пуснем до дъното на матрицата:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ край (масив) \ надясно) \ надхвърляне (r_3 \ лява стрелка надясно (r_4)) (\ sim) \ наляво (\ начало (масив) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ край (масив) \ вдясно) $$

Втората стъпка вече е завършена. Забележете, че вече имаме стъпаловидна матрица. Въпреки това можем официално да завършим нашия алгоритъм. Тъй като под втория ред има ненулеви линии, трябва да отидете на третата стъпка и да работите с третия ред, но под третия ред няма ненулеви линии. Следователно преобразуването е завършено.

Между другото, матрицата, която получихме, е трапецовидна. Трапецовидна матрица е специален случай на стъпаловидна матрица.

Тъй като тази матрица съдържа три ненулеви реда, нейният ранг е 3. Следователно рангът на оригиналната матрица също е три, т.е. $ \ rang (A) = 3 $. Пълното решение без обяснение е:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) r_1-5r_2 \\ \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \ край (масив) \ sim \ left (\ начало (масив) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ край (масив) \ sim $$ $$ \ наляво (\ начало (масив) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ край (масив) \ sim \ наляво (\ начало (масив) (cccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ край (масив) \ вдясно) \ overset (r_3 \ лява стрелка надясно (r_4)) ( \ sim ) \ left (\ начало (масив) (cccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ край (масив) \ вдясно) $$

Отговор: $ \ rang A = 3 $.

Пример №3

Намерете ранга на матрицата $ A = \ left (\ начало (масив) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ край (масив) \ вдясно) $.

Понякога в процеса на решаване е удобно да се транспонира матрицата. Тъй като рангът на транспонираната матрица е равен на ранга на оригиналната матрица, такава операция е напълно допустима. Този пример ще разгледа точно такъв случай. По време на трансформациите ще се появят два еднакви низа $ (0; \; 1; \; - 2) $ (първи и четвърти). По принцип можете да извършите действието $ r_4-r_1 $, след което четвъртият ред ще бъде нулиран, но това само ще удължи решението с един запис, така че няма да извършим нулиране на четвъртия ред.

$$ \ left (\ начало (масив) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ фантом (0) \ край (масив) \ sim \ left (\ начало (масив) (ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ край (масив) \ вдясно) \ sim $$ $$ \ sim \ ляво (\ начало (масив) (cccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & - 2 & 0 \ край (масив) \ надясно) \ надхвърляне (r_1 \ лява стрелка надясно (r_2)) (\ sim) \ ляво (\ начало ( масив) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ r_3 + 2r_1 \ край (масив) \ sim $$ $$ \ наляво (\ начало (масив) (cccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ край (масив) \ вдясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ r_3-3r_2 \ край (масив) \ sim \ наляво (\ начало (масив) (cccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ край (масив) \ вдясно) $$

Рангът на трансформираната матрица е 2, следователно рангът на оригиналната матрица е $ \ rang (A) = 2 $. По принцип беше възможно да се намери ранга без транспониране на матрицата: разменете първия ред с втория, третия или петия и продължете обичайните трансформации с редове. Методът за редуциране на матрица до стъпаловидна форма позволява вариации в процеса на решение.

Отговор: $ \ rang A = 2 $.

Пример №4

Намерете ранга на матрицата $ A = \ left (\ начало (масив) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ край (масив) \ дясно) $.

Тази матрица не е нула, т.е. нейният ранг е по-голям от нула. Нека да преминем към първата стъпка от алгоритъма.

Първа стъпка

В първата стъпка работим с първия ред. В първия ред на дадената матрица водещ елемент е вторият, т.е. номер на въртене на първия ред $ k = 2 $. Помислете за линиите под първия ред. Водещите елементи на тези редове са номерирани с 3, т.е. Най-малкият осивен номер на основните линии е $ k _ (\ min) = 3 $. Тъй като $ k \ lt (k _ (\ min)) $, преминаваме към следващата стъпка от алгоритъма.

Втора стъпка

Във втората стъпка работим с втория ред. Във втория ред водещ елемент е третият, т.е. номер на въртене на втория ред $ k = 3 $. Под втория ред има само един трети ред, чието централно число е 3, така че $ k _ (\ min) = 3 $. Тъй като $ k = k _ (\ min) $, нулираме водещия елемент на третия ред:

$$ \ наляво (\ начало (масив) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ край (масив) \ дясно) \ начало (масив) (l) \ фантом (0) \\ \ фантом (0) \\ r_3-2r_2 \ край (масив) \ sim \ ляв (\ начало (масив ) (cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ край (масив) \ вдясно) $$

Получи стъпаловидна матрица. Рангът на трансформираната матрица и следователно рангът на оригиналната матрица е 3.

Отговор: $ \ rang A = 3 $.

Пример №5

Намерете ранга на матрицата $ A = \ left (\ начало (масив) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ Край (масив) \ вдясно) $.

Понякога е възможно да се намали матрица до стъпаловидна матрица, като се използва само една пермутация на редове или колони. Това, разбира се, се случва изключително рядко, но успешното пренареждане може значително да опрости решението.

$$ \ left (\ начало (масив) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ край (масив ) \ надясно) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ sim) \ left (\ begin (масив) (cccccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ край (масив) \ вдясно) \ надхвърляне (c_1 \ лява стрелка надясно (c_4)) (\ sim) \ наляво (\ начало (масив) (cccccc) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ край (масив) \ вдясно) $$

Матрицата намалена до стъпаловидна, $ \ rang (A) = 3 $.

Отговор: $ \ rang A = 3 $.

Тази статия ще обсъди такова понятие като ранг на матрица и необходимите допълнителни понятия. Ще дадем примери и доказателства за намиране на ранга на матрица, а също така ще ви кажем какво е матричен минор и защо е толкова важен.

Незначителна матрица

За да разберем какъв е рангът на матрицата, е необходимо да се разбере такова понятие като минор на матрица.

Определение 1

Незначителенк-тия ред матрица е детерминантата на квадратна матрица от порядък k × k, която се състои от елементите на матрицата A, разположени в предварително избраните k-редове и k-колони, като същевременно се запазва позицията на елементите на матрицата A.

Просто казано, ако в матрица A изтрием (pk) редове и (nk) колони и от тези елементи, които остават, съставим матрица, запазвайки подредбата на елементите на матрица A, тогава детерминантата на получената матрица е минор от порядък k на матрица A.

От примера следва, че минорите от първи ред на матрицата A са самите елементи на матрицата.

Има няколко примера за непълнолетни от 2-ри ред. Нека изберем два реда и две колони. Например 1-ви и 2-ри ред, 3-та и 4-та колона.

При този избор на елементи минорът от втория ред ще бъде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Друг минор от втори ред на матрицата A е 0 0 1 1 = 0

Нека предоставим илюстрация на конструкцията на минорите от втори ред на матрицата A:

Минорът от 3-ти порядък се получава чрез изтриване на третата колона от матрицата A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Илюстрация на това как се получава минорът от 3-ти порядък на матрицата A:

За дадена матрица няма минорни числа по-високи от 3-ти ред, т.к

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Колко минор от порядък k има за матрица A от порядък p × n?

Броят на непълнолетните се изчислява по следната формула:

C p k × C n k, където e e C p k = p! к! (р - к)! и C n k = n! к! (n - k)! - броят на комбинациите от p до k, от n до k, съответно.

След като решим какви са минорите на матрицата A, можем да пристъпим към определяне на ранга на матрицата A.

Матричен ранг: методи за намиране

Матричен ранг - най-високият порядък на матрицата, различен от нула.

Обозначение 1

ранг (A), Rg (A), Rang (A).

От дефиницията на ранга на матрицата и минора на матрицата става ясно, че рангът на нулевата матрица е нула, а рангът на ненулевата матрица е ненулев.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция

Изброяване на непълнолетните - метод, базиран на определяне на ранга на матрица.

Алгоритъм на действия чрез изброяване на непълнолетни :

Необходимо е да се намери ранга на матрицата A от порядък стр× н... Ако има поне един ненулев елемент, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица ( от е минор от 1-ви ред, който не е равен на нула).

Следва изброяване на непълнолетните от 2-ри ред. Ако всички минорни от 2-ри ред са равни на нула, тогава рангът е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от 2-ри ред, е необходимо да се премине към изброяване на минорите от 3-ти ред и рангът на матрицата в този случай ще бъде равен на поне два.

Ще действаме по подобен начин с ранга от трети ред: ако всички минорни числа на матрицата са равни на нула, тогава рангът ще бъде равен на две. Ако има поне един ненулев минор от трети порядък, тогава рангът на матрицата е поне три. И така нататък, по аналогия.

Пример 2

Намерете ранга на матрица:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Тъй като матрицата е различна от нула, нейният ранг е най-малко равен на единица.

Минорът от 2-ри ред - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 е различен от нула. Оттук следва, че рангът на матрицата A е най-малко два.

Итерираме минорите от 3-ти ред: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 бр.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Минорите от 3-ти ред са равни на нула, следователно рангът на матрицата е равен на две.

Отговор : Ранг (A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на граничните минорни

Метод за гранични непълнолетни - метод, който ви позволява да получите резултат с по-малко изчислителна работа.

Изправен пред непълнолетни - второстепенният M ok (k + 1) -тия ред на матрицата A, който граничи с минорния M от порядък k на матрицата A, ако матрицата, която съответства на второстепенното M ok "съдържа" матрицата, която съответства на непълнолетен М.

Най-просто казано, матрицата, която съответства на ограниченото второстепенно M o k, се получава от матрицата, съответстваща на граничното второстепенно M o k, чрез изтриване на елементи от един ред и една колона.

Пример 3

Намерете ранга на матрица:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

За да намерим ранга, вземаме минор от 2-ри ред М = 2 - 1 4 1

Записваме всички граничещи непълнолетни:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

За обосноваване на метода на граничещи непълнолетни, представяме една теорема, чието формулиране не изисква доказателствена основа.

Теорема 1

Ако всички минори, граничещи с k-тия минор на матрицата A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минорни от порядък (k + 1) на матрицата A са равни на нула.

Алгоритъм на действията :

За да се намери ранга на матрица, не е необходимо да се преброяват всички малки, достатъчно е да се погледнат граничните.

Ако граничещите малки са равни на нула, тогава рангът на матрицата е нула. Ако има поне един минор, който не е равен на нула, тогава разглеждаме граничните минорни.

Ако всички са нула, тогава ранг (A) е два. Ако има поне един граничещ минор, различен от нула, тогава продължаваме да разглеждаме неговите граничещи минорни. И така нататък, по подобен начин.

Пример 4

Намерете ранга на матрица по метода на граничните минорни

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Как да решим?

Тъй като елементът a 11 от матрицата A не е равен на нула, тогава вземаме минор от 1-ви ред. Нека започнем да търсим ненулев граничещ минор:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Открихме граничещ минор от 2-ри ред, който не е равен на нула 2 0 4 1.

Нека повторим граничните минорни - (има (4 - 2) × (5 - 2) = 6 парчета).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Отговор : Ранг (A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус (с помощта на елементарни трансформации)

Нека си припомним какво представляват елементарните трансформации.

Елементарни трансформации:

• чрез пренареждане на редовете (колони) на матрицата;
• чрез умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата по произволно ненулево число k;

чрез добавяне към елементите на всеки ред (колона) елементи, които съответстват на друг ред (колона) от матрицата, които се умножават по произволно число k.

Определение 5

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус - метод, базиран на теорията за еквивалентност на матриците: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Ранг (A) = Ранг (B).

Валидността на това твърдение следва от дефиницията на матрицата:

• в случай на пермутация на редове или колони на матрица, нейната детерминанта променя знака. Ако е равно на нула, то остава равно на нула при пренареждане на редове или колони;
• в случай на умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, което не е равно на нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, която се умножава от k;

в случай на добавяне към елементите на определен ред или колона от матрицата на съответните елементи от друг ред или колона, които се умножават по числото k, не променя неговия детерминант.

Същността на метода на елементарните трансформации : редуцираме матрицата, чийто ранг трябва да се намери, до трапецовидна, използвайки елементарни трансформации.

За какво?

Рангът на матрици от този вид е доста лесен за намиране. Той е равен на броя на редовете, които съдържат поне един ненулев елемент. И тъй като рангът не се променя по време на елементарни трансформации, това ще бъде рангът на матрицата.

Нека илюстрираме този процес:

• за правоъгълни матрици A от порядък p по n, чийто брой редове е по-голям от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 0 0 n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• за правоъгълни матрици A от порядък p по n, чийто брой редове е по-малък от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• за квадратни матрици A от порядък n по n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 0 0 n , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

Пример 5

Намерете ранга на матрица A с помощта на елементарни трансформации:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Как да решим?

Тъй като елементът a 11 е различен от нула, е необходимо да се умножат елементите от първия ред на матрицата A по 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Добавете към елементите на 2-ри ред съответните елементи от 1-ви ред, които се умножават по (-3). Към елементите на 3-ти ред добавете елементите от 1-ви ред, които се умножават по (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елементът a 22 (2) е различен от нула, така че умножаваме елементите от 2-рия ред на матрицата A по A (2) по a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Към елементите от 3-ия ред на получената матрица добавете съответните елементи от 2-рия ред, които се умножават по 3 2;
• към елементите на 4-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 9 2;
• към елементите на 5-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 3 2.

Всички елементи на реда са нула. Така с помощта на елементарни трансформации приведохме матрицата до трапецовидна форма, от която се вижда, че R a n k (A (4)) = 2. Оттук следва, че рангът на оригиналната матрица също е равен на две.

Коментирайте

Ако извършвате елементарни трансформации, тогава приблизителни стойности не са разрешени!

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Определение. По ранга на матрицатае максималният брой линейно независими линии, считани за вектори.

Теорема 1 за ранга на матрица. По ранга на матрицатае максималният ред на ненулев минор на матрицата.

Вече анализирахме понятието миньор в урока, използвайки детерминанти, а сега ще го обобщим. Нека вземем в матрицата някои редове и някои колони, като това „някои“ трябва да е по-малко от броя на редовете и колоните на матрицата, а за редове и колони това „някои“ трябва да е същото число. След това в пресечната точка на някои редове и колко колони ще има матрица от по-нисък порядък от нашата оригинална матрица. Детерминантата на тази матрица ще бъде минор от k-ти порядък, ако споменатото „някое“ (броят на редовете и колоните) се обозначи с k.

Определение.Незначителен ( r+1)-ти ред, в който се намира избраното непълнолетно лице r-тия ред се нарича граничещ за даден минор.

Двете най-често използвани са намиране на ранга на матрицата... Това граничещ с непълнолетни пъти метод на елементарни трансформации(по метода на Гаус).

Следната теорема се използва за метода на граничните малки.

Теорема 2 за ранга на матрица.Ако от елементите на матрицата е възможно да се състави минор rпорядък, който не е равен на нула, тогава рангът на матрицата е r.

При метода на елементарните трансформации се използва следното свойство:

Ако чрез елементарни трансформации се получи трапецовидна матрица, която е еквивалентна на оригиналната, тогава ранга на тази матрицае броят на редовете в него, с изключение на редовете, състоящи се изцяло от нули.

Намиране на ранга на матрица по метода на граничните минорни

Граничащ минор е минор от по-висок ред спрямо даден, ако този минор от по-висок ред съдържа дадено второстепенно.

Например, като се има предвид матрицата

Да вземем непълнолетен

граничещи ще бъдат следните непълнолетни:

Алгоритъм за намиране на ранга на матрицаследващия.

1. Намерете ненулеви минори от втори ред. Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата ще бъде равен на единица ( r =1 ).

2. Ако има поне един минор от втори ред, който не е равен на нула, тогава съставете граничещите минори от трети ред. Ако всички граничещи минори от третия ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на две ( r =2 ).

3. Ако поне един от граничещите минори от трети ред не е равен на нула, тогава съставяме граничещите минори. Ако всички граничещи минорни от четвъртия ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е три ( r =2 ).

4. Продължете, докато размерът на матрицата позволява.

Пример 1.Намерете ранга на матрица

.

Решение. Минор от втори ред .

Ние го рамкираме. Ще има четирима граничещи непълнолетни:

,

,

По този начин всички граничещи минорни от третия ред са равни на нула, следователно рангът на тази матрица е равен на две ( r =2 ).

Пример 2.Намерете ранга на матрица

Решение. Рангът на тази матрица е 1, тъй като всички второстепенни минорни числа на тази матрица са равни на нула (в този, както и в случаите на граничещи непълнолетни в следващите два примера, скъпи студенти са приканени да проверят сами, вероятно с помощта на правилата за изчисляване на детерминанти), а сред минорите от първи ред, тоест сред елементите на матрицата, няма равни на нула.

Пример 3.Намерете ранга на матрица

Решение. Минорите от втория порядък на тази матрица, във всички минори от третия ред на тази матрица са равни на нула. Следователно рангът на тази матрица е два.

Пример 4.Намерете ранга на матрица

Решение. Рангът на тази матрица е 3, тъй като единственият минор от трети ред на тази матрица е 3.

Намиране на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации (метод на Гаус)

Още в пример 1 може да се види, че задачата за определяне на ранга на матрица по метода на граничещи минорите изисква изчисляване на голям брой детерминанти. Има обаче начин да се сведе количеството на изчисленията до минимум. Този метод се основава на използването на елементарни матрични трансформации и се нарича още метод на Гаус.

Елементарните матрични трансформации се разбират като следните операции:

1) умножаване на всеки ред или колона от матрицата по число, различно от нула;

2) добавяне към елементите на всеки ред или колона от матрицата на съответните елементи от друг ред или колона, умножени по същото число;

3) размяна на два реда или колони от матрицата;

4) премахване на "нулеви" линии, тоест тези, всички елементи на които са равни на нула;

5) изтриване на всички пропорционални линии, с изключение на една.

Теорема.Елементарна трансформация не променя ранга на матрицата. С други думи, ако използваме елементарни трансформации от матрицата Аотиде до матрицата Б, тогава .

Редове (колони). Няколко реда (колони) се наричат ​​линейно независими, ако нито един от тях не може да бъде изразен линейно по отношение на останалите. Рангът на системата от редове винаги е равен на ранга на системата от колони и това число се нарича ранг на матрицата.

Рангът на матрицата е най-високият от порядките на всички възможни ненулеви минорни елементи на тази матрица. Рангът на нулева матрица от произволен размер е нула. Ако всички второстепенни минори са нула, тогава рангът е единица и т.н.

Рангът на матрицата е измерението на изображението dim ⁡ (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ dim (\ име на оператор (im) (A)))линеен оператор, на който съответства матрицата.

Обикновено рангът на матрицата A (\ displaystyle A)обозначено звън ⁡ A (\ стил на дисплея \ име на оператор (ранг) A), r ⁡ A (\ стил на дисплея \ име на оператор (r) A), rg ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rg) A)или ранг ⁡ A (\ displaystyle \ име на оператор (ранг) A)... Последният вариант е типичен за английския език, докато първите два са за немски, френски и редица други езици.

Колегиален YouTube

• 1 / 5

  Нека е правоъгълна матрица.

  Тогава, по дефиниция, рангът на матрицата A (\ displaystyle A)е:

  Теорема (за правилността на дефиницията на ранговете).Нека всички второстепенни на матрицата A m × n (\ displaystyle A_ (m \ пъти n))поръчка k (\ displaystyle k)равно на нула ( M k = 0 (\ displaystyle M_ (k) = 0)). Тогава ∀ M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ forall M_ (k + 1) = 0)ако съществуват.

  Свързани дефиниции

  Имоти

  • Теорема (за основния минор):Нека бъде r = ранг ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ име на оператор (ранг) A, M_ (r))- основен минор на матрицата A (\ displaystyle A), тогава:
  • Последствия:
  • Теорема (за инвариантността на ранга при елементарни трансформации):Нека въведем нотация за матрици, получени една от друга чрез елементарни трансформации. Тогава е вярно следното твърдение: Ако A ∼ B (\ displaystyle A \ sim B), то техните редици са равни.
  • Теоремата на Кронекер - Капели:Система от линейни алгебрични уравнения е последователна, ако и само ако рангът на нейната главна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица. По-специално:
    • Броят на основните променливи на системата е равен на ранга на системата.
    • Съвместна система ще бъде определена (нейното решение е уникално), ако рангът на системата е равен на броя на всички нейни променливи.
  • Неравенството на Силвестър:Ако Аи Бматрици с размери m x nи n x k, тогава
  rang ⁡ A B ≥ rang ⁡ A + ранг ⁡ B - n (\ displaystyle \ operatorname (rang) AB \ geq \ operatorname (rang) A + \ operatorname (rang) B-n)

  Това е специален случай на следното неравенство.

  • неравенство на Фробениус:Ако AB, BC, ABC са добре дефинирани, тогава
  rang ⁡ A B C ≥ rang ⁡ A B + ранг ⁡ B C - ранг ⁡ B (\ displaystyle \ operatorname (rang) ABC \ geq \ operatorname (rang) AB + \ operatorname (rang) BC- \ operatorname (rang) B)

  Линейна трансформация и ранг на матрица

  Нека бъде A (\ displaystyle A)- матрица на размерите m × n (\ displaystyle m \ times n)над полето C (\ displaystyle C)(или R (\ displaystyle R)). Нека бъде T (\ displaystyle T)- съответна линейна трансформация A (\ displaystyle A)на стандартна основа; означава, че T (x) = A x (\ displaystyle T (x) = Ax). Матричен ранг A (\ displaystyle A) е измерението на диапазона от стойности на трансформацията T (\ displaystyle T).

  Методи

  Има няколко метода за намиране на ранга на матрица:

  • Елементарен метод на трансформация
  Рангът на матрицата е равен на броя на ненулевите редове в матрицата след редуцирането й до стъпаловидна форма с помощта на елементарни трансформации върху редовете на матрицата.
  • Метод за гранични непълнолетни
  Нека в матрицата A (\ displaystyle A)открит ненулев минор k (\ displaystyle k)-та поръчка M (\ displaystyle M)... Помислете за всички непълнолетни (k + 1) (\ displaystyle (k + 1))-ти ред, включително (граничещи) второстепенни M (\ displaystyle M); ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е k (\ displaystyle k)... В противен случай сред граничещите непълнолетни има ненулева единица и цялата процедура се повтаря.

  Всякаква матрица Апоръчка m × nможе да се разглежда като колекция мвектори ред или нколонни вектори.

  По рангматрици Апоръчка m × nе максималният брой линейно независими вектори колони или вектори редове.

  Ако рангът на матрицата Ае равно на r, тогава пише:

  Намиране на ранга на матрица

  Нека бъде Аматрица на произволен ред м× н... За намиране на ранга на матрица Априложете към него метода на елиминиране на Гаус.

  Обърнете внимание, че ако на някакъв етап от изключването опорната точка е равна на нула, тогава разменяме тази линия с линията, в която опорната точка е различна от нула. Ако се окаже, че няма такъв ред, преминете към следващата колона и т.н.

  След директното движение на елиминиране на Гаус получаваме матрица, чиито елементи под главния диагонал са равни на нула. Освен това може да има нулеви линейни вектори.

  Броят на ненулевите вектори-редове ще бъде рангът на матрицата А.

  Нека разгледаме всичко това с прости примери.

  Пример 1.

  Умножавайки първия ред по 4 и добавяйки към втория ред и умножавайки първия ред по 2 и добавяйки към третия ред, имаме:

  

  Вторият ред се умножава по -1 и се добавя към третия ред:

  

  Получихме два ненулеви реда и следователно рангът на матрицата е 2.

  Пример 2.

  Намерете ранга на следната матрица:

  

  Умножете първия ред по -2 и добавете към втория ред. По същия начин нулираме елементите от третия и четвъртия ред на първата колона:

  

  Нека нулираме елементите от третия и четвъртия ред на втората колона, като добавим съответните редове към втория ред, умножени по -1.