МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ

Федерална държавна автономна образователна институция

висше професионално образование

"Уралски федерален университет, кръстен на първия президент на Русия Б. Н. Елцин"

Институт по радиоелектроника и информационни технологии - RTF

Отдел Автоматизация и информационни технологии

Сплайн интерполация

МЕТОДОЛОГИЧНИ ИНСТРУКЦИИ ЗА ЛАБОРАТОРНА РАБОТА НА ДИСЦИПЛИНАТА "Числови методи"

Съставител И.А.Селиванова, старши преподавател.

ИНТЕРПОЛАЦИЯ НА ШЛИНА:Методически указания за практически упражнения по дисциплината "Числови методи"

Инструкциите са предназначени за ученици от всички форми на обучение в направление 230100 – „Информатика и компютърна техника”.

GA FGAOU VPO "UrFU, кръстен на първия президент на Русия Б. Н. Елцин", 2011

1. ТЪЛКУВАНЕ ПО СПЛИНИ. 4

1.1. Кубични сплайни. 4

1.2. Специална форма на нотация на сплайн. 5

1.3. Квадратни сплайни. 13

1.4. Практическо задание. осемнадесет

1.5. Опции за работа. 19

Литература 21

1. Интерполация чрез сплайнове.

В случаите, когато интервалът [ а,б], където искате да замените функцията е(х) е голям, можете да приложите сплайн интерполация.

1.1. Кубични сплайни.

Интерполационни сплайни 3 -тиот ред са функции, състоящи се от части от полиноми 3 thпоръчка. В интерфейсните възли се осигурява непрекъснатостта на функцията, нейната първа и втора производни. Апроксимиращата функция е съставена от отделни полиноми, като правило, от една и съща малка степен, всеки дефиниран в своя част от отсечката.

Нека върху сегмента [ а, б] реалната ос х е дадена мрежа, в чиито възли стойностите
функции е(х). Изисква се изграждането на сегмента [ а, б] непрекъсната сплайн функция С(х), което отговаря на следните условия:

За да изградите необходимия сплайн, трябва да намерите коефициентите
полиноми
,i=1,… н, т.е. 4 н неизвестни коефициенти, които отговарят 4 н-2 уравнения (1), (2), (3). За да има система от уравнения решение, се добавят две допълнителни (гранични) условия. Използват се три вида гранични условия:

Условия (1), (2), (3) и едно от условията (4), (5), (6) образуват SLAE от порядъка 4 н. Решението на системата може да се извърши по метода на Гаус. Избирайки обаче специална нотация за кубичния полином, човек може значително да намали реда на решаващата се система от уравнения.

1.2. Специална форма на сплайн нотация.

Помислете за сегмента
... Нека въведем следната нотация на променливите:

Тук
- дължина на сегмента
,

,
- спомагателни променливи,

х- междинна точка на сегмента
.

Кога х преминава през всички стойности в интервала
, променлива варира от 0 до 1 и
варира от 1 до 0.

Нека кубичният полином
на сегмента
изглежда като:

Променливи и
се определят по отношение на конкретен сегмент от интерполация.

Намерете стойността на сплайна
в краищата на сегмента
... Точка
е началното за сегмента
, Следователно =0,
= 1 и в съответствие с (3.8):
.

В края на сегмента
=1,
= 0 и
.

За интервал
точка
е краен, следователно =1,
= 0 и от формула (9) получаваме:
... По този начин условието за непрекъснатост на функцията С(х) на кръстовища на кубични полиноми независимо от избора на числата  i.

За да се определят коефициентите  i, i=0,… н ние диференцираме (8) два пъти като комплексна функция на х... Тогава

Нека определим вторите производни на сплайна
и
:

За полином
точка е началото на интерполационния сегмент и =0,
= 1, следователно

От (15) и (16) следва, че на отсечката [ а,б] сплайн функция, "залепена" от части от полиноми от трети ред, има непрекъсната производна от втори ред.

За да се получи непрекъснатостта на първата производна на функцията С(х), ние изискваме на вътрешните възли на интерполация изпълнението на условието:

За естествен кубичен сплайн
следователно системата от уравнения ще има формата:

и системата от уравнения (17) ще има вида:

Пример.

Първоначални данни:

Функция за смяна
интерполационен кубичен сплайн, чиито стойности в дадените възлови точки (виж таблицата) съвпадат със стойностите на функцията в същите точки. Помислете за различни гранични условия.

Нека изчислим стойността на функцията в възловите точки. За целта заместваме стойностите от таблицата в дадената функция.

За различни гранични условия (4), (5), (6) намираме коефициентите на кубичните сплайни.

1. Помислете за първите гранични условия.

В нашия случай н=3,
,
,
... Да намеря
използваме системата от уравнения (3.18):

Нека изчислим и използвайки формули (7) и (11):

Заменете получените стойности в системата от уравнения:

.

Системно решение:

Като се вземат предвид първите гранични условия, сплайновите коефициенти:

Помислете за дефиницията на сплайновите коефициенти, като вземете предвид граничните условия (3.5):

Намерете производната на функцията
:

Нека изчислим
и
:

Нека заместим в системата от уравнения (21) стойностите и :

Използвайки формула (20), определяме  0 и  3:

Като се вземат предвид конкретни стойности:

и вектора на коефициентите:

Нека изчислим стойностите на кубичния сплайн S (x) в средните точки на интерполационните сегменти.

Средна точка на сегментите:

За да изчислим стойността на кубичния сплайн в средните точки на интерполационните сегменти, използваме формули (7) и (9).

3.1.

намирам и
:

Във формула (3.9) заместваме коефициентите

3.2.

намирам и
:

, за гранични условия (4), (5), (6):

3.3.

намирам и
:

Във формула (9) заместваме коефициентите
, за гранични условия (4), (5), (6):

Нека направим таблица:

Думата сплайн (английска дума "сплайн") означава гъвкава линийка, използвана за начертаване на гладки криви през определени точки на равнина. Формата на това универсално парче на всеки сегмент е описана с кубична парабола. Сплайните се използват широко в инженерните приложения, по -специално в компютърната графика. И така, на всеки i-Тия сегмент [ x i –1 , x i], i = 1, 2,…, Н,решението ще се търси под формата на полином от трета степен:

S i(х)= a i + b i(x - x i)+ c i(х–x i) 2 /2+ d i(x - x i) 3 /6

Неизвестни коефициенти a i, b i, c i, d i, i = 1, 2,..., Н,намираме от:

Условия на интерполация: S i(x i)= f i, i = 1, 2,..., н;С 1 (х 0)= f 0 ,

Функция за непрекъснатост S i(x i– 1 ) = S i– 1 (x i –1), i = 2, 3,..., Н,

Непрекъсваемост на първата и втората производни:

S/i(x i– 1)=S / i– 1 (x i –1), S // i(x i –1)= S // i –1 (x i –1), i = 2, 3,..., н.

Като се има предвид това, за да се определи 4 ннеизвестни, получаваме система 4 н–2 уравнения:

a i = f i, i = 1, 2,..., Н,

b i h i - c i h i 2 /2+ d i h i 3 /6= f i - f i –1 , i = 1, 2,..., Н,

b i - b i - 1 = c i h i - d i h i 2 /2, i = 2, 3,..., Н,

d i h i = c i - c i– 1 , i = 2, 3,..., Н.

където h i = x i - x i– 1. Липсващите две уравнения са получени от допълнителни условия: С //(а)= S //(б)=0. Може да се покаже, че в този случай. Неизвестните могат да бъдат изключени от системата b i, d i,след като получи системата N + 1 линейни уравнения (SLAE) за определяне на коефициентите c i:

° С 0 = 0, c N = 0,

h i c i –1 + 2(h i + h i +1)c i + h i +1 c i +1 = 6 , i = 1, 2,…, н–1. (1)

След това се изчисляват коефициентите b i, d i:

, i = 1, 2,..., Н. (2)

В случай на постоянна решетка h i = hтази система от уравнения е опростена.

Този SLAE има тридиагонална матрица и се решава чрез метода на почистване.

Коефициентите се определят от формулите:

За да се изчисли стойността С(х) в произволна точка от сегмента z∈[а, б] е необходимо да се реши системата от уравнения за коефициентите c i, i = 1,2,…, н–1, след това намерете всички коефициенти b i, d i.Освен това е необходимо да се определи за какъв интервал [ x i 0, x i 0-1] удря тази точка и знае числото i 0,изчислете стойността на сплайна и неговите производни в дадена точка z

С(z)= a i 0 + b i 0 (z - x i 0)+ c i 0 (z - x i 0) 2 /2+ d i 0 (z - x i 0) 3 /6

С /(z)= b i 0 + c i 0 (z - x i 0)+ d i 0 (z - x i 0) 2 /2, С //(z)= c i 0 + d i 0 (z - x i 0).

Изисква се изчисляване на стойностите на функцията в точки 0,25 и 0,8 с помощта на сплайн интерполация.

В нашия случай: h i = 1/4 ,.

Нека напишем система от уравнения, за да определим:

Решавайки тази система от линейни уравнения, получаваме:.

Помислете за точка 0.25, която принадлежи към първия сегмент, т.е. ... Следователно получаваме

Да разгледаме точка 0.8, която принадлежи към четвъртия сегмент, т.е. ...

Следователно,

Глобална интерполация

Кога глобална интерполацияедин полином се намира на целия интервал [ а, б], т.е. се конструира полином, който се използва за интерполиране на функцията f (x) през целия интервал на изменение на аргумента x. Ще търсим интерполираща функция под формата на полином (полином) м-степен П м(х)= а 0 + а 1 x + a 2 х 2 + а 3 х 3 +… + A m x m.Каква е степента на полинома, за да удовлетвори всички условия на интерполация? Да предположим, че са дадени две точки: ( х 0 , f 0) и ( х 1 , f 1), т.е. N = 1. През тези точки може да се проведе една права линия, т.е. интерполиращата функция ще бъде полином от първа степен P 1 (х)= а 0 + а 1 х.Чрез три точки (N = 2) може да се начертае парабола P 2 (х)= а 0 + а 1 x + a 2 х 2 и др. Като разсъждаваме по този начин, можем да приемем, че желаният полином трябва да има степен н .

За да докажем това, ние записваме система от уравнения за коефициентите. Уравненията на системата са условията за интерполация във всяко x = x i:

Тази система е линейна по отношение на желаните коефициенти а 0 , а 1 , а 2 , …,а Н.Известно е, че SLAE има решение, ако неговата детерминанта е различна от нула. Определител на дадена система

носи името Детерминанта на Vandermonde... От курса на математическия анализ е известно, че е ненулева, ако x k≠x m(т.е. всички интерполационни възли са различни). По този начин се доказва, че системата има решение.

Показахме това, за да намерим коефициентите
а 0 , а 1 , а 2 , …,a Nнеобходимо е да се реши SLAE, което е трудна задача. Но има и друг начин за конструиране на полинома н-Th степен, която не изисква решение на такава система.

Полином на Лагранж

Търсим решението във формата , където l i(z) – базисни полиноми н-степента, за която условието е изпълнено: ... Нека проверим, че ако такива полиноми са конструирани, тогава L N (x)ще отговаря на условията за интерполация:

Как да конструираме основни полиноми? Ние определяме

, i = 0, 1,..., Н.

Това е лесно да се разбере

Функция l i(z) е полином н-Th степен от zи за него са изпълнени условията за "основност":

0, i ≠ k ;, т.е. k = 1,…, i-1 или k = i + 1,…, N.

Така успяхме да решим проблема с конструирането на интерполиращия полином Н-и степен, и за това не е необходимо да се решава SLAE. Полиномът на Лагранж може да бъде записан като компактна формула: . Грешката на тази формула може да бъде оценена, ако първоначалната функция g(х) има деривати до N + 1 поръчка:

От тази формула следва, че грешката на метода зависи от свойствата на функцията g(х), както и от местоположението на интерполационните възли и точката z.Изчислените експерименти показват това полиномът на Лагранж има малка грешка за малки стойности н<20 ... За по -големи нгрешката започва да нараства, което показва, че методът на Лагранж не се сближава (т.е. грешката му не намалява с увеличаване н).

Нека разгледаме специални случаи. Нека N = 1, т.е. стойностите на функцията са дадени само в две точки. Тогава основните полиноми са:

, т.е. получаваме формули за късова линейна интерполация.

Нека N = 2. Тогава:

В резултат на това получихме формули за т.нар квадратична или параболична интерполация.

Пример:Дадени са стойностите на някои функции:

Необходимо е да се намери стойността на функцията за z = 1, използвайки интерполационния полином на Lgrange. Ad hoc н= 3, т.е. полиномът на Лагранж е от трети ред. Нека изчислим стойностите на базисните полиноми за z=1:

Избор на емпирични формули

При интерполиране на функции използвахме условието за равенство на стойностите на интерполационния полином и дадената функция в интерполационните възли. Ако първоначалните данни са получени в резултат на експериментални измервания, тогава изискването за точно съвпадение не е необходимо, тъй като данните не са получени точно. В тези случаи може да се изисква само приблизително изпълнение на условията за интерполация. Това условие означава, че интерполиращата функция F (x)минава не точно през дадените точки, а в някои от тяхната околност, както е, например, както е показано на фиг.

Тогава говори за избор на емпирични формули... Изграждането на емпирична формула се състои от два етапа6 на избор на формата на тази формула, съдържаща неизвестни параметри, и определяне на най -добрите в някакъв смисъл на тези параметри. Формата на формулата понякога е известна от физически съображения (за еластична среда, връзката между напрежението и деформацията) или е избрана от геометрични съображения: експерименталните точки са нанесени на графика и общата форма на зависимостта е приблизително предположена чрез сравняване на получената крива с графики на известни функции. Успехът тук до голяма степен се определя от опита и интуицията на изследователя.

За практиката е важен случаят на сближаване на функция с полиноми, т.е. ...

След като е избран видът на емпиричната зависимост, степента на близост до емпиричните данни се определя чрез минимална сума от квадратите на отклоненията на изчислените и експерименталните данни.

Метод на най -малкия квадрат

Нека за първоначалните данни x i, f i, i = 1,..., N (по-добре е да започнете номерирането с едно),се избира видът на емпиричната зависимост: с неизвестни коефициенти. Нека напишем сумата от квадратите на отклоненията между тези, изчислени по емпиричната формула и дадените експериментални данни:

Параметрите ще бъдат намерени от условието на минимума на функцията ... Това е метод на най -малките квадрати (OLS).

Известно е, че в минималната точка всички частни производни на w са равни на нула:

(1)

Нека разгледаме приложението на OLS за конкретен случай, който се използва широко в практиката. Като емпирична функция разгледайте полинома

Формула (1) за определяне на сумата от квадрати на отклонения ще приеме формата:

Нека изчислим дериватите:

Приравнявайки тези изрази към нула и събирайки коефициентите за неизвестните, получаваме следната система от линейни уравнения.

Нека бъде дадена таблица със стойности на функциите y iвъв възли NS 0 < х 1 < ... < х п . Обозначаваме h i = x i - x i -1 , i= 1, 2, ... , NS.

Сплайн- плавна крива, преминаваща през дадените точки ( x i, y i), i = 0, 1, ... , NS. Интерполация на сплайн се крие във факта, че на всеки сегмент [ x i -1 , x i] се използва полином с определена степен. Най-често използваният полином от трета степен, по-рядко - втора или четвърта. В този случай за определяне на коефициентите на полиномите се използват условията за непрекъснатост на производните в интерполационните възли.

Интерполация на кубичен сплайне локална интерполация, когато на всеки сегмент [ x i -1 , x i], i = 1, 2, ... , NSизползва се кубична крива, която удовлетворява определени условия за гладкост, а именно непрекъснатостта на самата функция и нейните първи и втори производни в възловите точки. Използването на кубична функция е мотивирано от следните съображения. Ако приемем, че интерполационната крива съответства на еластична линийка, фиксирана в точките ( x i, y i), то от курса за устойчивост на материалите е известно, че тази крива се дефинира като решение на диференциалното уравнение е(IV) ( х) = 0 на сегмента [ x i -1 , x i] (за опростяване на представянето не разглеждаме въпроси, свързани с физическите измерения). Общото решение на такова уравнение е полином от трета степен с произволни коефициенти, който може удобно да се запише под формата
S i(х) = и аз + b i(NS - x i -1) +с i(х - x i -1) 2 + d i(х - x i -1) 3 ,
x i-1 £ NS £ x i, i = 1, 2, ... , NS.(4.32)

Коефициенти на функции S i(х) се определят от условията за непрекъснатост на функцията и нейната първа и втора производни във вътрешните възли x i,i= 1, 2,..., NS - 1.

От формули (4.32) с NS = x i-1 получаваме

S i(x i- 1) = y i -1 = a i, i = 1, 2,..., NS,(4.33)

и при NS = x i

S i(x i) = и аз + b i h i +с i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

i= 1, 2,..., н.

Условията за непрекъснатост на интерполационната функция се записват във формата S i(x i) = S i -1 (x i), i= 1, 2, ... , н- 1 и от условия (4.33) и (4.34) следва, че те са изпълнени.

Намерете производните на функцията S i(х):

S "i(х) =b i + 2с i(NS - x i -1) + 3ди(NS – x i -1) 2 ,

S "i(х) = 2c i + 6d i(x - x i -1).

В х = x i-1, имаме S "i(x i -1) = b i, С " (x i -1) = 2с i, и при NS = x iвземете

S "i(x i) = b i+ 2с i h i+ 3дих и 2 , С " (x i) = 2с i + 6d i h i.

Условията за непрекъснатост на дериватите водят до уравненията

S "i(x i) =S "i +1 (x i) Þ b i+ 2с i h i+ 3дих и 2 = b i +1 ,

i= l, 2, ..., NS - 1. (4.35)

S "i (x i) = S "i +1 (x i) Þ 2 с i + 6d i h i= 2c i +1 ,

i= l, 2, ..., н- 1. (4.36)

Общо имаме 4 н- 2 уравнения за определяне на 4 ннеизвестен. За да се получат още две уравнения, се използват допълнителни гранични условия, например изискването за нулева кривина на интерполационната крива в крайните точки, тоест равенството на втората производна на нула в краищата на сегмента [ а, б]а = NS 0 , б= x n:

С " 1 (х 0) = 2° С 1 = 0 Þ с 1 = 0,

S "n(x n) = 2с n + 6d n h n = 0 Þ с n + 3d n h n = 0. (4.37)

Системата от уравнения (4.33) - (4.37) може да се опрости и да се получат рекуррентни формули за изчисляване на сплайн коефициентите.

От условие (4.33) имаме явни формули за изчисляване на коефициентите a i:

a i = y i -1 , i = 1,..., н. (4.38)

Нека изразим d iпрез c iизползвайки (4.36), (4.37):

; i = 1, 2,...,н; .

Сложихме с n+1 = 0, след това за d iполучаваме една формула:

, i = 1, 2,...,н. (4.39)

Заместващи изрази за и ази d iв равенство (4.34):

, i= 1, 2,..., н.

и изрази b i, през с i:

, i= 1, 2,..., н. (4.40)

Изключваме от уравнения (4.35) коефициентите b iи d iизползвайки (4.39) и (4.40):

i= 1, 2,..., н -1.

Следователно получаваме система от уравнения за определяне с i:

Системата от уравнения (4.41) може да бъде пренаписана като

Обозначението е въведено тук

, i =1, 2,..., н- 1.

Нека решим системата от уравнения (4.42) по метода на почистване. От първото уравнение изразяваме с 2 през с 3:

° С 2 = a 2 ° С 3 + b 2 ,,. (4.43)

Заменете (4.43) във второто уравнение (4.42):

з 2 (а 2 ° С 3 + b 2) + 2 ( з 2 + з 3)° С 3 + h 3 ° С 4 = g 2 ,

и изрази с 3 през с 4:

с 3 = а 3 с 4 + b 3, (4.44)

Ако приемем, че с i-1 = а i -1 c i+ b i-1 от i-то уравнение (4.42) получаваме

c i= а аз с i+1 + b i

, i = 3,..., н- 1, а н= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= а аз с i+1 + b i, i= н, н -1,..., 2, (4.48)

° С 1 = 0.

3. Изчисляване на коефициенти и аз, b i,d i:

a i = y i -1 ,

i= 1, 2,..., н.

4. Изчисляване на стойността на функцията с помощта на сплайн. За да направите това, намерете такава стойност iче дадената стойност на променливата NSпринадлежи към сегмента [ x i -1 , x i] и изчислете

S i(х) = и аз + b i(NS - x i -1) +с i(х - x i -1) 2 + d i(х - x i -1) 3 . (4.50)

2.2 Кубична сплайн интерполация

Кубичен интерполационен сплайн, съответстващ на дадена функция f (x) и дадени възли x i, е функция S (x), която отговаря на следните условия:

1. На всеки сегмент, i = 1, 2, ..., N, функцията S (x) е полином от трета степен,

2. Функцията S (x), както и нейната първа и втора производни, са непрекъснати на интервала,

3. S (x i) = f (x i), i = 0, 1, ..., N.

На всеки от интервалите, i = 1, 2, ..., N, ще търсим функцията S (x) = S i (x) под формата на полином от трета степен:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i,

където a i, b i, c i, d i - коефициенти за определяне на всички n елементарни сегмента. За да има система от алгебрични уравнения решение, броят на уравненията трябва да бъде точно равен на броя на неизвестните. Следователно трябва да получим 4n уравнения.

Получаваме първите 2n уравнения от условието, че графиката на функцията S (x) трябва да премине през дадените точки, т.е.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Тези условия могат да бъдат записани като:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Следните 2n - 2 уравнения следват от условието за непрекъснатост на първата и втората производни в интерполационните възли, тоест условието за гладкостта на кривата във всички точки.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Приравнявайки на всеки вътрешен възел x = x i стойностите на тези производни, изчислени в левия и десния интервал от възела, получаваме (вземайки предвид h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i, i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

ако x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i, i = 1,2, ..., n - 1.

На този етап имаме 4n неизвестни и 4n - 2 уравнения. Следователно е необходимо да се намерят още две уравнения.

При свободно закрепване на краищата кривината на линията в тези точки може да бъде приравнена на нула. От условията на нулева кривина в краищата следва, че вторите производни са равни на нула в тези точки:

S 1 (x 0) = 0 и S n (x n) = 0,

c i = 0 и 2 c n + 6 d n h n = 0.

Уравненията образуват система от линейни алгебрични уравнения за определяне на 4n коефициента: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2,..., N).

Тази система може да бъде приведена в по-удобна форма. Всички коефициенти a i могат да се намерят от условието наведнъж.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Като заместваме, получаваме:

b i = - (c i + 1 + 2c i), i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Изключваме коефициентите b i и d i от уравнението. Накрая получаваме следната система от уравнения само за коефициентите с i:

c 1 = 0 и c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (h i - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Използвайки намерените коефициенти с i, е лесно да се изчисли d i, b i.

Изчисляване на интеграли по метода на Монте Карло

Този софтуерен продукт реализира възможността за задаване на допълнителни ограничения в областта на интегриране от две двуизмерни сплайн повърхности (за интегриране на измерение 3) ...

Интерполация на функция

Нека бъде дадена таблица със стойности на функцията f (xi) = yi (), в която те са разположени във възходящ ред на стойностите на аргумента: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Интерполация на сплайн

Интерполация на сплайн

Интерполация на сплайн

Нека се запознаем с алгоритъма на програмата. 1. Изчислете стойностите и 2. Въз основа на тези стойности изчисляваме коефициентите на размах и o. 3. Въз основа на получените данни изчисляваме коефициентите 4 ...

Математическо моделиране на технически обекти

Вградените функции на MathCAD ви позволяват да рисувате криви с различна степен на сложност през експерименталните точки по време на интерполация. Линейна интерполация...

Методи за сближаване на функции

На всеки сегмент интерполационният полином е равен на константа, а именно на лявата или дясната стойност на функцията. За лява частична линейна интерполация F (x) = fi-1, ако xi-1? X

Методи за сближаване на функции

На всеки интервал функцията е линейна Fi (x) = kix + li. Стойностите на коефициентите се намират от изпълнението на условията за интерполация в краищата на сегмента: Fi (xi-1) = fi-1, Fi (xi-1) = fi. Получаваме системата от уравнения: kixi-1 + li = fi-1, kixi + li = fi, откъдето намираме ki = li = fii- kixi ...

Методи за решаване на система от линейни уравнения. Интерполация

Постановка на проблема с интерполацията. На интервала е дадена система от точки (интерполационни възли) xi, i = 0,1,…, N; а? x i? b и стойностите на неизвестната функция в тези възли fn i = 0,1,2,…, N. Могат да се поставят следните задачи: 1) Конструирайте функцията F (x) ...

Изграждане на математически модел, описващ процеса на решаване на диференциално уравнение

3.1 Конструиране на интерполационния полином на Лагранж и кондензация на стойности Очевиден начин за решаване на този проблем е да се изчислят стойностите на ѓ (x) с помощта на аналитичните стойности на функцията ѓ. За това - според първоначалната информация ...

Ако те са степени (1, x, x2, ..., xn), тогава говорим за алгебрична интерполация, а функцията се нарича интерполационен полином и се обозначава като: (4) Ако () (5), тогава можем конструирайте интерполационен полином от степен n и освен това само един ...

Практическо приложение на интерполация на гладки функции

Нека разгледаме пример за интерполация за елементи от множество. За простота и краткост вземете = [- 1; 1] ,. Оставете точките и бъдете различни помежду си. Нека поставим следния проблем: (12) конструираме полином, отговарящ на тези условия ...

Приложение на числени методи за решаване на математически задачи

Числени методи

И така, както бе споменато по -горе, задачата на интерполация е да намери такъв полином, чиято графика преминава през дадените точки. Нека функцията y = f (x) бъде дадена с помощта на таблицата (таблица 1) ...

Числени методи за решаване на математически задачи