Простата средна аритметична стойност е среден член, при определянето на който е общият обем на даден елемент агрегатътданните са равномерно разпределени между всички единици в дадената съвкупност. И така, средната годишна продукция на служител е количеството продукция, което би паднало на всеки служител, ако целият обем продукция беше равномерно разпределен между всички служители на организацията. Средноаритметичната проста стойност се изчислява по формулата:

Проста средна аритметика- Равно на съотношението на сумата от индивидуалните стойности на даден признак към броя на характеристиките в съвкупността

Пример 1. Екип от 6 работници получава 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 хиляди рубли на месец.

Намерете средната заплата Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 хиляди рубли.

Претеглена средна аритметична стойност

Ако обемът на набора от данни е голям и представлява серия на разпределение, тогава се изчислява претеглена средна аритметична стойност. По този начин се определя среднопретеглената цена за единица продукция: общите производствени разходи (сумата от продуктите на нейното количество към цената на единица продукция) се разделят на общото количество продукция.

Представяме това под формата на следната формула:

Претеглена средна аритметична стойност- е равно на съотношението (сумата от произведенията на стойността на даден признак към честотата на повторение на даден признак) към (сумата от честотите на всички признаци).Използва се, когато вариантите на изследваната съвкупност се появяват неравен брой пъти.

Пример 2. Намерете средната месечна заплата на работник в цеха

Средните заплати могат да се получат чрез разделяне обща сумазаплати за общ бройработници:

Отговор: 3,35 хиляди рубли.

Средно аритметично за интервални серии

При изчисляване на средноаритметичната стойност за интервална вариационна серия първо определете средната стойност за всеки интервал, като полусумата от горната и долната граница, а след това - средната за цялата серия. В случай на отворени интервали стойността на долния или горния интервал се определя от размера на съседните до тях интервали.

Средните стойности, изчислени от интервални серии, са приблизителни.

Пример 3... Определете средната възраст на вечерните ученици.

Средните стойности, изчислени от интервални серии, са приблизителни. Степента на тяхната апроксимация зависи от степента, до която действителното разпределение на единиците на населението в рамките на интервала се доближава до равномерно.

При изчисляване на средните стойности могат да се използват не само абсолютни стойности, но и относителни стойности (честота).

Всеки човек в съвременен святКогато планира да тегли заем или да прави запаси от зеленчуци за зимата, той периодично се сблъсква с такова понятие като "средна стойност". Нека да разберем: какво е това, какви видове и класове съществуват и защо се използва в статистиката и други дисциплини.

Средно - какво е това?

Подобно име (SV) е обобщена характеристика на набор от хомогенни явления, определена от всяка една количествена променлива характеристика.

Въпреки това хората, които са далеч от подобни сложни определения, разбират това понятие като средно количество от нещо. Например, преди да вземе заем, банков служител определено ще попита потенциален клиентпредоставят данни за средния доход за годината, тоест общата сума пари, която човек печели. Изчислява се като се сумират приходите за цялата година и се разделят на броя на месеците. Така банката ще може да определи дали клиентът й ще успее да погаси дълга навреме.

Защо се използва?

Като правило средните стойности се използват широко, за да се даде обобщено описание на определени социални явления, които имат масов характер. Те могат да се използват и за по-малки изчисления, както в случая на заем в примера по-горе.

Най-често обаче средните стойности все още се използват за глобални цели. Пример за един от тях е изчисляването на количеството електроенергия, консумирана от гражданите за един календарен месец. Въз основа на получените данни в бъдеще се установяват максимални норми за категории от населението, които се ползват от облаги от държавата.

Също така, с помощта на средни стойности, гаранционният експлоатационен живот е определен домакински уреди, автомобили, сгради и др. Въз основа на събраните по този начин данни някога са били разработени съвременни стандарти за труд и почивка.

Всъщност всеки феномен на съвременния живот, който има масов характер, по един или друг начин непременно се свързва с разглежданата концепция.

Приложения

Това явление се използва широко в почти всички точни науки, особено тези с експериментален характер.

Намирането на средна стойност е от съществено значение в медицината, инженерството, готвенето, икономиката, политиката и др.

Въз основа на данните, получени от такива обобщения, се разработват терапевтични лекарства, програми за обучение и минимум цена на животи заплати, изграждане на графици за обучение, производство на мебели, дрехи и обувки, хигиенни артикули и много други.

В математиката този термин се нарича "средна стойност" и се използва за изпълнение на решения различни примерии задачи. Най-простите от тях са събиране и изваждане с правилни дроби. В края на краищата, както знаете, за решаване подобни примеринеобходимо е да доведете и двете дроби до общ знаменател.

Също така в кралицата на точните науки терминът „средна стойност случайна величина". Повечето са по-запознати с него като "математическо очакване", по-често разглеждано в теорията на вероятностите. Трябва да се отбележи, че подобно явление се прилага и при извършване на статистически изчисления.

Средна стойност в статистиката

Най-често обаче изследваното понятие се използва в статистиката. Както знаете, самата тази наука е специализирана в изчисленията и анализите. количествени характеристикимасови социални явления. Поради това средната стойност в статистиката се използва като специализиран метод за постигане на основните й задачи – събирането и анализа на информация.

Същността на този статистически метод е да замени отделните уникални стойности на разглеждания атрибут с определена балансирана средна стойност.

Известният виц с храната е пример. И така, в определена фабрика във вторник за обяд шефовете му обикновено ядат месни запеканки, а обикновените работници - задушено зеле. Въз основа на тези данни можем да заключим, че средно персоналът на завода вечеря зелеви рулца във вторник.

все пак даден примерлеко преувеличено, но илюстрира основния недостатък на метода за търсене на средна стойност - изравняване на индивидуалните характеристики на обекти или лица.

Средните стойности се използват не само за анализиране на събраната информация, но и за планиране и прогнозиране на по-нататъшни действия.

Оценява се и постигнатите резултати (например изпълнението на плана за отглеждане и прибиране на пшеница за пролетно-летния сезон).

Как да изчислим правилно

Въпреки че, в зависимост от вида на SV, има различни формули за изчисляването му, в общата теория на статистиката, като правило, се използва само един метод за изчисляване на средната стойност на даден признак. За да направите това, първо трябва да съберете стойностите на всички явления и след това да разделите получената сума на техния брой.

Когато правите такива изчисления, си струва да запомните, че средната стойност винаги има същото измерение (или единици) като отделната единица от съвкупността.

Условия за правилно изчисление

Формулата, разгледана по-горе, е много проста и универсална, така че е почти невъзможно да се направи грешка в нея. Въпреки това, винаги си струва да се вземат предвид два аспекта, в противен случай получените данни няма да отразяват реалната ситуация.

Класове CB

След като намери отговори на основните въпроси: "Каква е средната стойност?", "Къде се използва?" и "Как можете да го изчислите?", струва си да разберете какви класове и видове CB съществуват.

На първо място, това явление е разделено на 2 класа. Това са структурни и средни по степенен закон.

Видове степенен закон SV

Всеки от горните класове от своя страна е разделен на типове. Класът за степен има четири.

• Средноаритметичната е най-често срещаният тип CB. Това е средният член, при определяне на който общият обем на разглеждания атрибут в набора от данни се разпределя еднакво между всички единици от дадения набор.

  Този тип е разделен на подвидове: проста и претеглена аритметична SV.

• Средната хармонична е реципрочната стойност на средноаритметичната стойност, изчислена от реципрочната стойност на разглеждания атрибут.

  Използва се в случаите, когато индивидуалните стойности на атрибута и продукта са известни, но данните за честотата не са.

• Средната геометрична се използва най-често при анализа на темповете на растеж на икономическите явления. Това дава възможност да се запази работата непроменена. индивидуални ценностидадена стойност, а не сума.

  Освен това може да бъде проста и балансирана.

• Средноквадратната стойност се използва при изчисляване на отделни показатели на показателите, като коефициент на вариация, който характеризира ритъма на производство и др.

  Той също така изчислява средните диаметри на тръби, колела, средните страни на квадрат и подобни фигури.

  Както всички други видове средни SV, средният квадрат е прост и претеглен.

Видове структурни величини

В допълнение към средния SV, структурните типове често се използват в статистиката. Те са по-подходящи за изчисляване на относителните характеристики на стойностите на различния атрибут и вътрешна структураразпределителна серия.

Има два такива типа.

Средно аритметично(в математиката и статистиката) набор от числа е сумата от всички числа, разделена на техния брой. Това е една от най-често срещаните мерки на централната тенденция.

Предложено е (заедно със средната геометрична и средната хармонична) от питагорейците.

Специални случаи на средноаритметичната стойност са средната (на общата съвкупност) и средната извадка (извадки).

Въведение

Означаваме набора от данни х = (х 1 , х 2 , …, х н), тогава средната извадка обикновено се обозначава с хоризонтална лента над променливата (x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))), произнася се „ хс линия ").

Гръцката буква μ се използва за означаване на средноаритметичната стойност на цялото население. За случайна променлива, за която е определена средната стойност, μ е вероятностна средна стойностили математическото очакване на случайна променлива. Ако комплектът хе комплект произволни числас вероятностно средно μ, тогава за всяка извадка х иот тази колекция μ = E ( х и) е математическото очакване на тази извадка.

На практика разликата между μ и x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) е, че μ е типична променлива, защото можете да видите извадката, а не цялата съвкупност. Следователно, ако извадката е представена на случаен принцип (по отношение на теорията на вероятностите), тогава x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (но не μ) може да се третира като произволна променлива с разпределение на вероятностите в извадката (разпределение на вероятностите на средната стойност).

И двете от тези количества се изчисляват по същия начин:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (\ displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)

Ако хе случайна променлива, тогава математическото очакване хможе да се разглежда като средноаритметично от стойностите при многократни измервания на количество х... Това е проявление на закона за големите числа. Следователно средната извадка се използва за оценка на неизвестното математическо очакване.

В елементарната алгебра е доказано, че средната н+ 1 числа над средното нчисла, ако и само ако новото число е по-голямо от старото средно, по-малко, ако и само ако новото число е по-малко от средното и не се променя, ако и само ако новото число е равно на средното. Колкото повече н, толкова по-малка е разликата между новите и стари средни стойности.

Имайте предвид, че има няколко други "средни" стойности, включително средна мощност, средна по Колмогоров, средна хармонична, средна аритметично-геометрична и различни претеглени средни стойности (напр. претеглена средна аритметична, средна претеглена геометрична стойност, средно претеглена хармонична).

Примери за

• За три числа ги добавете и разделете на 3:

• За четири числа ги добавете и разделете на 4:

Или по-просто 5 + 5 = 10, 10: 2. Тъй като сме добавили 2 числа, което означава колко числа събираме, ние разделяме на толкова.

Непрекъсната произволна променлива

За непрекъснато разпределена величина f (x) (\ displaystyle f (x)), средното аритметично за сегмента [a; b] (\ displaystyle) се дефинира от гледна точка на определения интеграл:

F (x) ¯ [a; b] = 1 b - a ∫ abf (x) dx (\ displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ frac (1) (ba)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx)

Някои проблеми при използването на средната стойност

Липса на здравина

Въпреки че средноаритметичната често се използва като средни стойности или централни тенденции, тази концепция не се прилага за стабилни статистики, което означава, че средната аритметична стойност подлежи на силно влияние„Големи отклонения“. Трябва да се отбележи, че за разпределения с голям коефициент на изкривяване, средната аритметична стойност може да не съответства на концепцията за „средно“, а средните стойности от стабилна статистика (например медианата) могат да опишат по-добре централната тенденция.

Класически пример е изчисляването на средния доход. Средноаритметичната може да се тълкува погрешно като медиана, което може да доведе до заключението, че има повече хора с по-високи доходи, отколкото в действителност. „Средният“ доход се тълкува по такъв начин, че доходите на повечето хора са близки до това число. Този „среден“ (в смисъла на средноаритметичната) доход е по-висок от дохода на повечето хора, тъй като високият доход с голямо отклонение от средната стойност силно изкривява средноаритметичната стойност (за разлика от това, средният доход „съпротивлява“ на такова пристрастие). Този „среден“ доход обаче не казва нищо за броя на хората близо до средния доход (и не казва нищо за броя на хората близо до модалния доход). Въпреки това, ако вземете лекомислено понятията "средно" и "мнозинство от хората", тогава можете да направите погрешно заключение, че повечето хора имат доходи по-високи, отколкото са в действителност. Например, доклад за „средния“ нетен доход в Медина, Вашингтон, изчислен като средноаритметична стойност на годишните нетни доходи на всички жители, ще даде изненадващо голям бройзаради Бил Гейтс. Разгледайте извадката (1, 2, 2, 2, 3, 9). Средноаритметичната стойност е 3,17, но пет от шест стойности са под тази средна стойност.

Сложна лихва

Ако числата умножете, но не сгънете, трябва да използвате средната геометрична, а не средната аритметична. Най-често този инцидент се случва при изчисляване на възвръщаемостта на инвестициите във финанси.

Например, ако акциите паднаха с 10% през първата година и се увеличиха с 30% през втората година, тогава е неправилно да се изчислява „средното“ увеличение за тези две години като средноаритметично (-10% + 30%) / 2 = 10%; правилната средна стойност в този случай се дава от кумулативния годишен темп на прираст, при който годишният прираст е едва около 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Причината за това е, че процентите имат нова отправна точка всеки път: 30% са 30%. от число, по-малко от цената в началото на първата година:ако акциите са били на $30 в началото и са паднали с 10%, това е $27 в началото на втората година. Ако акциите се покачат с 30%, тя струва $35,1 в края на втората година. Средноаритметичната стойност на този ръст е 10%, но тъй като акциите са само $5,1 за 2 години, средният ръст от 8,2% дава крайния резултат от $35,1:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Ако използваме средноаритметичната стойност от 10% по същия начин, няма да получим действителната стойност: [$ 30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $ 36,3].

Съединение в края на година 2: 90% * 130% = 117% за общо увеличение от 17% и CAGR от 117% ≈ 108,2% (\ displaystyle (\ sqrt (117 \%)) \ приблизително 108,2 \% ), тоест средногодишен ръст от 8,2%.

Упътвания

Когато се изчислява средноаритметичната стойност на някаква променлива, която се променя циклично (например фаза или ъгъл), трябва да се обърне специално внимание. Например, средната стойност от 1 ° и 359 ° би била 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180 °. Това число е неправилно по две причини.

• Първо, ъгловите стандарти са определени само за диапазона от 0 ° до 360 ° (или 0 до 2π, когато се измерват в радиани). По този начин една и съща двойка числа може да бъде записана като (1 ° и −1 °) или като (1 ° и 719 °). Средната стойност на всяка двойка ще бъде различна: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) + (- 1 ^ (\ circ))) (2)) = 0 ^ (\ circ)), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +719 ^ (\ circ)) (2)) = 360 ^ (\ circ)) .
• Второ, в този случай 0 ° (еквивалентно на 360 °) би било геометрично по-добрата средна стойност, тъй като числата се отклоняват по-малко от 0 °, отколкото от всяка друга стойност (0 ° има най-малка дисперсия). Сравнете:
  • числото 1 ° се отклонява от 0 ° само с 1 °;
  • числото 1 ° се отклонява от изчислената средна стойност от 180 ° със 179 °.

Средната стойност за цикличната променлива, изчислена по горната формула, ще бъде изкуствено изместена от реалната средна стойност към средата на числовия диапазон. Поради това средната стойност се изчислява по различен начин, а именно числото с най-малка дисперсия ( Централна точка). Освен това, вместо изваждане, се използва модулното разстояние (тоест периферното разстояние). Например, модулното разстояние между 1 ° и 359 ° е 2 °, а не 358 ° (на окръжност между 359 ° и 360 ° == 0 ° - един градус, между 0 ° и 1 ° - също 1 °, общо - 2 °).

4.3. Средни стойности. Същност и значение на средните стойности

Средно аритметичнов статистиката се нарича обобщаващ показател, който характеризира типичното ниво на дадено явление в специфични условия на място и време, отразявайки стойността на променлив атрибут на единица от качествено хомогенна съвкупност. В икономическата практика се използват широк набор от показатели, изчислени като средни.

Например, обобщаващ показател за доходите на работниците в акционерно дружество (АД) е средният доход на един работник, определен от съотношението на фонда заплатии социални плащания за разглеждания период (година, тримесечие, месец) към броя на работниците в АО.

Изчисляването на средната стойност е една от често срещаните техники за обобщение; средно аритметичноотразява общото, което е типично (типично) за всички единици от изследваната съвкупност, като същевременно пренебрегва различията на отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация авариии необходимост.При изчисляване на средните, поради действието на закона за големите числа, шансовете се отменят и балансират, така че може да се абстрахира от незначителните характеристики на явлението, от количествените стойности на атрибута във всеки конкретен случай. Способността да се абстрахира от случайността на индивидуалните стойности, флуктуациите и научната стойност на средните стойности като обобщаващхарактеристики на агрегатите.

Когато има нужда от обобщаване, изчисляването на такива характеристики води до замяна на много различни индивидуални стойности на характеристиката средно аритметичнопоказател, който характеризира цялата съвкупност от явления, който дава възможност да се идентифицират модели, присъщи на масовите социални явления, които са невидими в отделните явления.

Средната отразява характерното, типично, реално ниво на изследваните явления, характеризира тези нива и промените им във времето и пространството.

Средната е обобщена характеристика на закономерностите на процеса в условията, в които протича.

4.4. Видове средни стойности и как да ги изчислим

Изборът на вида средна стойност се определя от икономическото съдържание на определен показател и изходните данни. Във всеки случай се прилага една от средните стойности: аритметика, гармоничен, геометричен, квадратичен, кубичени т.н. Изброените средни стойности принадлежат към класа властово правосреден.

В допълнение към средните по степенен закон, в статистическата практика се използват структурни средни, които се считат за мода и медиана.

Нека се спрем по-подробно на средните стойности на мощността.

Средноаритметично

Най-често срещаният тип носител е средно аритметично аритметика.Използва се в случаите, когато обемът на променлива характеристика за цялата съвкупност е сумата от стойностите на характеристиките на нейните отделни единици. Социалните явления се характеризират с адитивността (сумирането) на обемите на променливия атрибут, това определя областта на приложение на средноаритметичната стойност и обяснява нейното разпространение като обобщаващ показател, например: общият фонд на работната заплата е сумата от заплатите на всички работници, брутната реколта е сумата на произведените продукти от цялата посевна площ.

За да изчислите средноаритметичната стойност, трябва да разделите сумата от всички стойности на атрибута на техния брой.

Средноаритметичната стойност се прилага във формата проста средна и среднопретеглена.Първоначалната, определяща форма е простата средна стойност.

Проста средна аритметикае равна на простата сума от отделните стойности на осреднения атрибут, разделена на общия брой на тези стойности (използва се в случаите, когато има негрупирани индивидуални стойности на атрибута):

където
- индивидуални стойности на променливата (опции); м - броят на единиците в съвкупността.

Освен това, границите на сумиране няма да бъдат посочени във формулите. Например, трябва да намерите средната продукция на един работник (шлосер), ако знаете колко части е направил всеки от 15-те работници, т.е. са дадени редица индивидуални стойности на характеристиката, парчета:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Простата средна аритметична се изчислява по формулата (4.1), 1 брой:

Средата на опциите, които се повтарят различен брой пъти или, както се казва, имат различни тежести, се нарича претеглени.Теглата са броят на единиците в различни групи от съвкупността (едни и същи опции се комбинират в група).

Претеглена средна аритметична стойност- средната стойност на групираните стойности, - се изчислява по формулата:

, (4.2)

където
- тегло (честота на повторение на едни и същи признаци);

- сумата от произведенията на величината на характеристиките по тяхната честота;

- общия брой единици в популацията.

Ще илюстрираме техниката за изчисляване на средноаритметичната претеглена стойност с помощта на примера, разгледан по-горе. За да направим това, ще групираме изходните данни и ще ги поставим в таблица. 4.1.

Таблица 4.1

Разпределение на работници за производство на части

Съгласно формулата (4.2) средноаритметичната претеглена е, бр .:

В някои случаи теглата може да не се представят абсолютни стойности, но относително (в проценти или части от единица). Тогава формулата за средноаритметичната претеглена ще изглежда така:

където
- частен, т.е. делът на всяка честота в общата сума на всички

Ако честотите се изчисляват във фракции (коефициенти), тогава
= 1, а формулата за средноаритметично претеглената е:

Изчисляване на претеглената средна аритметична стойност от средните по групи се извършва по формулата:

,

където е- броят на единиците във всяка група.

Резултатите от изчисляването на средноаритметичната стойност на груповите средни са представени в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Разпределение на работниците по среден трудов стаж

В този пример опциите не са индивидуални данни за трудовия стаж на отделните работници, а средната стойност за всеки цех. Везни еса броят на работниците в магазините. Следователно средният трудов стаж на работниците в предприятието ще бъде години:

.

Изчисляване на средноаритметичното в разпределителния ред

Ако стойностите на осреднения признак са посочени под формата на интервали ("от - до"), т.е. интервална серия на разпределение, тогава при изчисляване на средноаритметичната стойност средните точки на тези интервали се приемат като стойности на атрибутите в групите, в резултат на което се образува дискретна серия. Разгледайте следния пример (Таблица 4.3).

Преминаваме от интервалната серия към дискретната, като заменим стойностите на интервала с техните средни стойности / (проста средна стойност

Таблица 4.3

Разпределение на работниците в АД по ниво на месечната заплата

стойностите на отворените интервали (първият и последният) условно се приравняват към интервалите, съседни на тях (вторият и предпоследният).

При такова изчисление на средната стойност се допуска известна неточност, тъй като се прави предположение за еднородността на разпределението на единиците на атрибута в рамките на групата. Въпреки това, колкото по-тесен е интервалът и колкото повече единици са в интервала, толкова по-малка е грешката.

След като се намери средата на интервалите, изчисленията се извършват по същия начин, както в дискретната серия - опциите се умножават по честотите (тегла) и сборът от произведенията се разделя на сбора от честотите (тегла) , хиляди рубли:

.

И така, средното ниво на заплати за работниците на АО е 729 рубли. на месец.

Изчисляването на средната аритметична честота отнема време и трудоемко. Въпреки това, в някои случаи процедурата за изчисляване на средната стойност може да бъде опростена и улеснена чрез използване на нейните свойства. Нека представим (без доказателство) някои от основните свойства на средноаритметичната стойност.

Свойство 1. Ако всички индивидуални стойности на дадена характеристика (т. всички опции) намаляване или увеличаване на ипъти, след това средната стойност новата функция съответно ще намалее или ще се увеличи иведнъж.

Свойство 2. Ако всички варианти на осреднения признак намалеятшийте или увеличете с числото A, тогава съответства средноаритметичната стойноствсъщност ще намалее или увеличи със същото число A.

Свойство 3. Ако теглата на всички осреднени опции се намалят или увеличаване на Да се пъти, тогава средноаритметичната стойност няма да се промени.

Вместо абсолютни показатели, можете да използвате като тегла на средната стойност специфични теглаобщо (акции или проценти). Това опростява изчисленията на средната стойност.

За да опростят изчисленията на средната стойност, те следват пътя на намаляване на стойностите на вариантите и честотите. Най-голямо опростяване се постига, когато, като Асе избира стойността на един от централните варианти с най-висока честота, като / е стойността на интервала (за редове с равни интервали). Величината A се нарича начало, следователно този метод за изчисляване на средната стойност се нарича "метод на броене от условна нула" или "Пътят на моментите."

Да приемем, че всички опции NSпърво намалено със същото число A, а след това намалено с иведнъж. Получаваме нова вариационна серия на разпространението на нови опции .

Тогава нови опциище се изрази:

,

и тяхното ново средно аритметично , -момент на първа поръчка-формула:

.

Тя е равна на средната стойност на оригиналните опции, първо намалена с А,и след това в иведнъж.

За да се получи реалната средна стойност, е необходим момент от първи ред м 1 , умножете по ии добавете A:

.

Този методизчисляването на средната аритметична стойност от поредица от вариации се нарича "Пътят на моментите."Този метод се прилага в редове на равни интервали.

Изчисляването на средноаритметичната стойност по метода на моментите е илюстрирано от данните в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Разпределение на малките предприятия в региона по стойност на ДМА (ОПФ) през 2000г

Намерете момента на първата поръчка

.

След това вземайки A = 19 и знаейки това и= 2, изчислете NS,хиляди рубли.:

Видове средни стойности и методи за тяхното изчисляване

На етапа на статистическа обработка могат да се поставят разнообразни изследователски задачи, за решаването на които трябва да се избере подходяща средна стойност. В този случай е необходимо да се ръководите от следното правило: стойностите, които представляват числителя и знаменателя на средната стойност, трябва да бъдат логически свързани.

• средни мощности;
• структурни средни стойности.

Нека представим следните конвенции:

Стойностите, за които се изчислява средната стойност;

Средно, където линията по-горе показва, че има осредняване на отделните стойности;

Честота (повторяемост на индивидуалните стойности на даден елемент).

Различни средни стойности се извличат от общата формула за средна мощност:

(5.1)

за k = 1 - средноаритметичната стойност; k = -1 - среден хармоник; k = 0 - средно геометрична; k = -2 - средноквадратичен корен.

Средните стойности са прости и претеглени. Претеглени средни стойностите наричат ​​стойности, които отчитат, че някои опции за стойностите на чертата могат да имат различни числа и следователно всяка опция трябва да бъде умножена по това число. С други думи, "теглата" са числата на единиците от населението в различни групи, т.е. всяка опция е "претеглена" според честотата си. Честотата f се нарича статистическо теглоили средно тегло.

Средноаритметично- най-разпространеният вид среда. Използва се, когато изчислението се извършва върху негрупирани статистически данни, където искате да получите средния член. Средноаритметичната е такава средна стойност на характеристика, при получаването на която общият обем на даден признак в съвкупността остава непроменен.

Средноаритметичната формула ( просто) има формата

където n е размерът на популацията.

Например, средната заплата на служителите на предприятието се изчислява като средноаритметично:

Определящите показатели тук са заплатите на всеки служител и броят на служителите на предприятието. При изчисляване на средната стойност общият размер на заплатите остава същият, но разпределен сякаш поравно между всички работници. Например, трябва да изчислите средната заплата на работниците в малка компания, в която са заети 8 души:

При изчисляване на средните стойности отделните стойности на атрибута, който се осреднява, могат да се повторят, следователно средната стойност се изчислява според групираните данни. В такъв случай идваотносно използването претеглена средна аритметична стойносткоято има формата

(5.3)

И така, трябва да изчислим средната цена на акциите на някое акционерно дружество на борсовата търговия. Известно е, че сделките са извършени в рамките на 5 дни (5 транзакции), като броят на продадените акции по процент на продажба е разпределен, както следва:

1 - 800 ac. - 1010 рубли.

2 - 650 ac. - 990 рубли.

3 - 700 ac. - 1015 рубли.

4 - 550 ac. - 900 рубли.

5 - 850 ac. - 1150 рубли.

Първоначалното съотношение за определяне на средната цена на акциите е съотношението на общата сума на сделките (OSS) към броя на продадените акции (KPA).

Средните стойности са широко разпространени в статистиката. Средните стойности характеризират качествените показатели на търговската дейност: разходи за разпространение, печалба, рентабилност и др.

Средно аритметично е едно от често срещаните обобщения. Правилното разбиране на същността на средното определя особеното му значение в условията на пазарна икономика, когато средното, чрез единични и случайни, позволява да се идентифицира общото и необходимото, да се разкрие тенденцията на законите на икономиката. развитие.

средна стойност са обобщени показатели, в които се изразяват действията Общи условия, закономерности на изследваното явление.

Статистическите средни стойности се изчисляват на базата на масови данни от правилно статистически организирано масово наблюдение (непрекъснато и селективно). Средната статистическа стойност обаче ще бъде обективна и типична, ако е изчислена от масови данни за качествено хомогенна популация (масови явления). Например, ако изчислите средните заплати в кооперациите и държавните предприятия и разширите резултата до цялото население, тогава средната стойност е фиктивна, тъй като се изчислява за разнородно население и такава средна стойност губи всякакъв смисъл.

С помощта на средната стойност има така да се каже изглаждане на разликите в стойността на атрибута, които възникват по една или друга причина в отделните единици на наблюдение.

Например, средната продукция на продавача зависи от много причини: квалификация, стаж, възраст, форма на обслужване, здраве и т.н.

Средната продукция отразява общото свойство на цялото население.

Средната стойност е отражение на стойностите на изследваната черта, следователно тя се измерва в същото измерение като тази черта.

Всяка средна стойност характеризира изследваната съвкупност за всеки един критерий. За да получите пълна и изчерпателна представа за изследваната популация за редица съществени характеристики, като цяло е необходимо да имате система от средни стойности, която може да опише явлението от различни ъгли.

Има различни средни стойности:

средноаритметично;

средно геометрична;

среден хармоник;

корен квадратен;

средно хронологично.

Нека разгледаме някои видове средни стойности, които най-често се използват в статистиката.

Средноаритметично

Простата средна аритметична (непретеглена) е равна на сумата от отделните стойности на атрибута, разделена на броя на тези стойности.

Отделните стойности на атрибута се наричат ​​варианти и се означават с x (); броят на единиците в съвкупността се обозначава с n, средната стойност на признака се обозначава с ... Следователно простата средна аритметична е:

Според данните от дискретния ред на разпределение може да се види, че едни и същи стойности на атрибута (вариантите) се повтарят няколко пъти. И така, опция x се среща в съвкупност 2 пъти, а опция x - 16 пъти и т.н.

Броят на еднакви стойности на характеристика в разпределителната серия се нарича честота или тегло и се обозначава със символа n.

Нека изчислим средната заплата на един работник в рубли:

Сметката за заплати за всяка група работници е равна на произведението на опциите по честотата, а сборът от тези продукти дава общата сметка за заплати на всички работници.

В съответствие с това изчисленията могат да бъдат представени в общи линии:

Получената формула се нарича претеглена средна аритметична стойност.

Статистическият материал в резултат на обработката може да бъде представен не само под формата на дискретни серии на разпределение, но и под формата на интервални вариационни серии със затворени или отворени интервали.

Изчисляването на средната стойност за групираните данни се извършва по формулата на средноаритметичната претеглена стойност:

В практиката на икономическата статистика понякога е необходимо да се изчисли средната стойност чрез групови средства или чрез отделни части от населението (частни средства). В такива случаи като опции (x) се приемат групови или частични средни стойности, на базата на които общата средна стойност се изчислява като обичайно претеглена средна аритметична стойност.

Основни свойства на средната аритметика .

Средноаритметичната стойност има редица свойства:

1. От намаляване или увеличаване на честотите на всяка стойност на атрибута x в n пъти, стойността на средноаритметичната стойност няма да се промени.

Ако всички честоти се разделят или умножат по произволно число, тогава стойността на средната стойност няма да се промени.

2. Общият фактор на отделните стойности на атрибута може да се извади от средния знак:

3. Средната стойност на сбора (разликата) на две или повече стойности е равна на сбора (разликата) от тяхната средна стойност:

4. Ако x = c, където c е константа, тогава
.

5. Сумата от отклоненията на стойностите на атрибута X от средната аритметична x е равна на нула:

Среден хармоник.

Заедно със средноаритметичната статистика, статистиката използва средната хармонична стойност, реципрочната стойност на средната аритметична стойност на реципрочните стойности на атрибута. Подобно на средноаритметичната, тя може да бъде проста и претеглена.

Характеристиките на вариационния ред, заедно със средната стойност, са модата и медианата.

мода - Това е стойността на признак (опция), която най-често се повтаря в изследваната популация. За дискретни разпределителни серии режимът ще бъде стойността на варианта с най-висока честота.

За интервални серии на разпределение с равни интервали режимът се определя по формулата:

където
- началната стойност на интервала, съдържащ режима;

- стойността на модалния интервал;

- честотата на модалния интервал;

- честотата на интервала, предхождащ модалния;

е честотата на интервала след модалния.

Медиана - това е вариант, разположен в средата на вариационната серия. Ако поредицата за разпределение е дискретна и има нечетен брой членове, тогава медианата ще бъде опцията, разположена в средата на подредения ред (подреденият ред е подреждането на единиците от съвкупността във възходящ или низходящ ред).

При изчисляването на средната стойност се губи.

Средното смисълнабор от числа е равен на сумата от числата S, разделена на броя на тези числа. Тоест, оказва се, че средното смисълравно на: 19/4 = 4,75.

Забележка

Ако трябва да намерите средната геометрична стойност само за две числа, тогава нямате нужда от инженерен калкулатор: извлечете корена от втора степен ( Корен квадратен) от произволно число с помощта на най-често срещания калкулатор.

Полезен съвет

За разлика от средноаритметичната, средната геометрична не се влияе толкова силно от големи отклонения и флуктуации между отделните стойности в изследвания набор от показатели.

Източници:

• Онлайн калкулатор на средната геометрична стойност
• средното геометрична формула

Среднотостойността е една от характеристиките на набор от числа. Представлява число, което не може да бъде извън диапазона, дефиниран от най-големите и най-малките стойности в този набор от числа. Среднотоаритметиката е най-често използваният тип средни стойности.

Инструкции

Съберете всички числа в набора и разделете на броя на термините, за да получите средноаритметичната стойност. В зависимост от конкретните условия на изчислението, понякога е по-лесно да разделите всяко от числата на броя на стойностите в набора и да сумирате резултата.

Използвайте например този, който е включен в Windows, ако не е възможно да изчислите средноаритметичната стойност в главата си. Можете да го отворите с помощта на диалоговия прозорец за стартиране на програмата. За да направите това, натиснете "горещите клавиши" WIN + R или щракнете върху бутона "Старт" и изберете командата "Изпълни" в главното меню. След това въведете calc в полето за въвеждане и натиснете Enter или щракнете върху бутона OK. Същото може да се направи и през главното меню - отворете го, отидете в секцията "Всички програми" и в секцията "Стандарт" и изберете реда "Калкулатор".

Въведете последователно всички числа в набора, като натиснете клавиша плюс след всяко от тях (с изключение на последното) или като щракнете върху съответния бутон в интерфейса на калкулатора. Можете също така да въвеждате числа както от клавиатурата, така и като щракнете върху съответните бутони в интерфейса.

Натиснете клавиша с наклонена черта или щракнете върху това в интерфейса на калкулатора, след като въведете последната стойност на набора и въведете броя на числата в последователността. След това натиснете знака за равенство и калкулаторът ще изчисли и покаже средноаритметичната стойност.

Можете да използвате редактора на електронни таблици на Microsoft Excel за същата цел. В този случай стартирайте редактора и въведете всички стойности на последователността от числа в съседните клетки. Ако след въвеждане на всяко число натиснете Enter или клавиша със стрелка надолу или надясно, самият редактор ще премести фокуса за въвеждане в съседната клетка.

Щракнете върху клетката до последното въведено число, ако не сте доволни само да видите средноаритметичната стойност. Разширете падащото меню с гръцката сигма (Σ) команда „Редактиране“ в раздела „Начало“. Изберете реда " Средното„И редакторът ще вмъкне необходимата формула за изчисляване на средната стойност аритметична стойноств маркираната клетка. Натиснете клавиша Enter и стойността ще бъде изчислена.

Средноаритметичната е една от мерките на централната тенденция, която се използва широко в математиката и статистическите изчисления. Много е лесно да се намери средноаритметичната стойност за няколко стойности, но всяка задача има свои собствени нюанси, които просто е необходимо да се знаят, за да се извършват правилни изчисления.

Какво е средната аритметика

Как да намерите средната аритметика

Характеристики на работа с отрицателни числа

1. Намиране на общата средна аритметична стойност по стандартния метод;
2. Намиране на средната аритметична стойност на отрицателните числа.
3. Изчисляване на средноаритметичната стойност на положителните числа.

Отговорите на всяко от действията се записват, разделени със запетаи.

Естествени и десетични дроби

При работа с естествени фракциите трябва да се сведат до общ знаменател, който се умножава по броя на числата в масива. Числителят на отговора ще бъде сборът от дадените числители на оригиналните дробни елементи.

• Инженерен калкулатор.

Инструкции

Имайте предвид, че в общ случайсредното геометрични числасе намира чрез умножаване на тези числа и извличане на корена на степента от тях, който съответства на броя на числата. Например, ако трябва да намерите средната геометрична стойност на пет числа, тогава ще трябва да извлечете корена на степента от продукта.

Използвайте основното правило, за да намерите средната геометрична стойност на две числа. Намерете техния продукт и след това извлечете квадратния корен от него, тъй като числата са две, което съответства на степента на корена. Например, за да намерите средната геометрична стойност на 16 и 4, намерете техния продукт 16 4 = 64. От полученото число извадете квадратния корен от √64 = 8. Това ще бъде необходимата стойност... Обърнете внимание, че средното аритметично на тези две числа е по-голямо и равно на 10. Ако коренът не е напълно извлечен, закръглете резултата до желания ред.

За да намерите средната геометрична стойност на повече от две числа, използвайте и основното правило. За да направите това, намерете произведението на всички числа, за които трябва да намерите средната геометрична стойност. От получения продукт извлечете корена на степента, равен на броя на числата. Например, за да намерите средната геометрична стойност на числата 2, 4 и 64, намерете тяхното произведение. 2 4 64 = 512. Тъй като трябва да намерите резултата от средното геометрично на три числа, извлечете корена от трета степен от продукта. Трудно е да направите това устно, така че използвайте инженерен калкулатор. За да направите това, той има бутон "x ^ y". Наберете числото 512, натиснете бутона "x ^ y", след това наберете числото 3 и натиснете бутона "1 / x", за да намерите стойността 1/3, натиснете бутона "=". Получаваме резултата от повишаване на 512 на степен 1/3, което съответства на корена на трета степен. Вземете 512 ^ 1/3 = 8. Това е средната геометрична стойност на 2,4 и 64.

С помощта на инженерен калкулатор можете да намерите средната геометрична стойност по различен начин. Намерете бутона за регистрация на клавиатурата си. След това вземете логаритъма за всяко от числата, намерете тяхната сума и я разделете на броя на числата. Вземете антилогаритъма от полученото число. Това ще бъде средната геометрична стойност на числата. Например, за да намерите средната геометрична стойност на същите числа 2, 4 и 64, извършете набор от операции на калкулатора. Наберете числото 2, след това натиснете бутона за дневник, натиснете бутона "+", наберете числото 4 и отново натиснете log и "+", наберете 64, натиснете log и "=". Резултатът ще бъде число, равно на сбора от десетичните логаритми на числата 2, 4 и 64. Разделете полученото число на 3, тъй като това е броят на числата, с които се търси средната геометрична стойност. От резултата вземете антилогаритъма, като превключите бутона за случаите и използвайте същия регистрационен ключ. Резултатът ще бъде числото 8, това е желаната средна геометрична стойност.