Първо ниво

Геометрична прогресия. Изчерпателно ръководствос примери (2019)

Числова последователност

И така, нека седнем и започнем да записваме някои числа. Например:

Можете да пишете произволни числа и може да са колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое от тях е първото, кое второто и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е едно и също.

Числото с числото се нарича -тият член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например,), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Най-често срещаните видове прогресия са аритметична и геометрична. В тази тема ще говорим за втория вид - геометрична прогресия.

Защо се нуждаем от геометрична прогресия и нейната история.

Още в древността италианският математик, монахът Леонардо от Пиза (по-известен като Фибоначи), се е занимавал с практическите нужди на търговията. Монахът беше изправен пред задачата да определи какъв е най-малкият брой тежести, които могат да се използват за претегляне на стоките? В своите писания Фибоначи доказва, че такава система от тегла е оптимална: Това е една от първите ситуации, в които хората трябваше да се справят с геометрична прогресия, за която вероятно сте чували и имате поне обща концепция. След като разберете напълно темата, помислете защо такава система е оптимална?

В момента на практика, геометрична прогресиясе проявява при инвестиране на средства в банка, когато се начислява лихвата върху сумата, натрупана по сметката за предходен период. С други думи, ако вложите пари на срочен депозит в спестовна банка, след една година депозитът ще се увеличи с от първоначалната сума, т.е. новата сума ще бъде равна на вноската, умножена по. След друга година тази сума ще се увеличи с, т.е. получената по това време сума отново се умножава по и т.н. Подобна ситуация е описана в проблемите на изчисляването на т.нар сложна лихва- процентът се взема всеки път от сумата, която е по сметката, като се вземе предвид предишната лихва. За тези задачи ще говорим малко по-късно.

Има много по-прости случаи, когато се прилага геометрична прогресия. Например, разпространението на грип: един човек зарази човек, те от своя страна заразиха друг човек и по този начин втората вълна на инфекция - човек, а те от своя страна заразиха друг ... и така нататък. .

Между другото, финансовата пирамида, същата МММ, е просто и сухо изчисление според свойствата на геометричната прогресия. Интересно? Нека да го разберем.

Геометрична прогресия.

Да кажем, че имаме числова последователност:

Веднага ще отговорите, че е лесно и името на такава последователност е аритметична прогресияс разликата на своите членове. Какво ще кажете за нещо подобно:

Ако извадите предишното число от следващото число, тогава ще видите, че всеки път получавате нова разлика (и т.н.), но последователността определено съществува и се забелязва лесно - всяко следващо число е в пъти по-голямо от предишното!

Този тип последователност се нарича геометрична прогресияи е маркиран.

Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Ограниченията, че първият член ( ) не е равен и не е случаен. Да кажем, че няма такива и първият член все още е равен, а q е, хм .. нека, тогава се оказва:

Съгласете се, че това не е прогресия.

Както разбирате, ще получим същите резултати, ако е число, различно от нула, но. В тези случаи просто няма да има прогресия, тъй като цялата редица от числа ще бъде или само нули, или едно число, а всички останали нули.

Сега нека поговорим по-подробно за знаменателя на геометрична прогресия, т.е.

Нека повторим: - това е число, колко пъти се променя всеки следващ членгеометрична прогресия.

Какво мислите, че може да бъде? Точно така, положително и отрицателно, но не нула (говорихме за това малко по-горе).

Да кажем, че имаме положително. Нека в нашия случай, a. Какъв е вторият член и? Можете лесно да отговорите на това:

Добре. Съответно, ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат същия знак - те положителен.

Ами ако е отрицателен? Например, a. Какъв е вторият член и?

Това е съвсем различна история

Опитайте се да преброите срока на тази прогресия. Колко получихте? Аз имам. Така ако, тогава знаците на членовете на геометричната прогресия се редуват. Тоест, ако видите прогресия с редуващи се знаци в нейните членове, тогава нейният знаменател е отрицателен. Това знание може да ви помогне да се тествате, когато решавате задачи по тази тема.

Сега нека се упражняваме малко: опитайте се да определите кои числови последователности са геометрична прогресия и кои са аритметична:

Схванах го? Сравнете нашите отговори:

• Геометрична прогресия - 3, 6.
• Аритметична прогресия - 2, 4.
• Не е нито аритметична, нито геометрична прогресия - 1, 5, 7.

Нека се върнем към последната ни прогресия и нека се опитаме да намерим нейния член по същия начин, както в аритметиката. Както може би се досещате, има два начина да го намерите.

Ние последователно умножаваме всеки член по.

И така, -тият член на описаната геометрична прогресия е равен на.

Както вече се досещате, сега вие сами ще изведете формула, която ще ви помогне да намерите всеки член на геометрична прогресия. Или вече сте го извадили за себе си, описвайки как да намерите ия член на етапи? Ако е така, тогава проверете правилността на вашите разсъждения.

Нека илюстрираме това с примера за намиране на -тия член на тази прогресия:

С други думи:

Намерете сами стойността на член от дадена геометрична прогресия.

Се случи? Сравнете нашите отговори:

Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно умножихме по всеки предишен член на геометричната прогресия.
Нека се опитаме да "деперсонализираме" тази формула - привеждаме я в общ вид и получаваме:

Изведената формула е вярна за всички стойности - както положителни, така и отрицателни. Проверете го сами, като изчислите членовете на геометрична прогресия със следните условия: , a.

броихте ли Нека сравним резултатите:

Съгласете се, че би било възможно да намерите член на прогресията по същия начин като член, но има възможност за грешно изчисляване. И ако вече сме намерили члена на геометрична прогресия, a, тогава какво по-лесно от използването на „скъсената“ част от формулата.

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Съвсем наскоро говорихме за това какво може да бъде едновременно повече и по-малко от нула, обаче, има специални стойности, за които се нарича геометричната прогресия безкрайно намаляваща.

Защо мислите, че има такова име?
Като начало нека напишем някаква геометрична прогресия, състояща се от членове.
Да кажем тогава:

Виждаме, че всеки следващ термин е по-малък от предишния в пъти, но ще има ли брой? Веднага отговаряте - "не". Затова безкрайно намаляващото – намалява, намалява, но никога не става нула.

За да разберем ясно как изглежда това визуално, нека се опитаме да начертаем графика на нашата прогресия. И така, за нашия случай формулата приема следната форма:

Следователно в класациите сме свикнали да изграждаме зависимост от:

Същността на израза не се е променила: в първия запис ние показахме зависимостта на стойността на член на геометрична прогресия от неговия пореден номер, а във втория запис просто взехме стойността на елемент на геометрична прогресия за и поредният номер беше обозначен не като, а като. Всичко, което остава да направите, е да начертаете графиката.
Да видим какво имаш. Ето графиката, която получих:

виждаш ли Функцията намалява, клони към нула, но никога не я пресича, така че е безкрайно намаляваща. Нека отбележим нашите точки на графиката и в същото време какво означава координатата и:

Опитайте се да изобразите схематично графика на геометрична прогресия, ако нейният първи член също е равен. Анализирайте каква е разликата с предишната ни диаграма?

успяхте ли Ето графиката, която получих:

Сега, след като сте разбрали напълно основите на темата за геометричната прогресия: знаете какво е това, знаете как да намерите нейния член и също така знаете какво е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, нека преминем към нейното основно свойство.

свойство на геометрична прогресия.

Спомняте ли си свойството на членовете на аритметична прогресия? Да, да, как да намерим стойността на определен брой от прогресия, когато има предишни и последващи стойности на членовете на тази прогресия. Спомняте ли си? Това:

Сега сме изправени пред абсолютно същия въпрос за членовете на геометричната прогресия. За да изведем такава формула, нека започнем да рисуваме и разсъждаваме. Ще видите, че е много лесно и ако забравите, можете да го извадите сами.

Нека вземем друга проста геометрична прогресия, в която знаем и. Как да намеря? С аритметична прогресия това е лесно и просто, но как е тук? Всъщност в геометрията също няма нищо сложно - просто трябва да рисувате всяка стойност, дадена ни според формулата.

Питате, а сега какво да правим с него? Да, много просто. Като начало, нека да изобразим тези формули на фигурата и да се опитаме да направим различни манипулации с тях, за да стигнем до стойност.

Абстрахираме се от числата, които ни се дават, ще се съсредоточим само върху тяхното изразяване чрез формула. Трябва да намерим маркираната стойност оранжево, знаейки прилежащите към него условия. Нека се опитаме да произвеждаме с тях различни дейности, в резултат на което можем да получим.

Допълнение.
Нека се опитаме да съберем два израза и ще получим:

От този израз, както виждате, няма да можем да изразим по никакъв начин, следователно ще опитаме друг вариант - изваждане.

Изваждане.

Както можете да видите, ние също не можем да изразим от това, следователно ще се опитаме да умножим тези изрази един по друг.

Умножение.

Сега погледнете внимателно какво имаме, умножавайки условията на дадена ни геометрична прогресия в сравнение с това, което трябва да се намери:

Познайте за какво говоря? Добре, за да намерим, трябва да вземем Корен квадратенот числата на геометричната прогресия, съседни на желаното число, умножени едно по друго:

Заповядай. Вие сами изведете свойството на геометричната прогресия. Опитайте се да напишете тази формула общ изглед. Се случи?

Забравено условие кога? Помислете защо е важно, например, опитайте се да го изчислите сами, при. Какво се случва в този случай? Точно така, пълни глупости, тъй като формулата изглежда така:

Съответно, не забравяйте това ограничение.

Сега нека изчислим какво е

Верен отговор - ! Ако не сте забравили втората възможна стойност при пресмятането, значи сте страхотен човек и можете веднага да преминете към обучение, а ако сте забравили, прочетете какво е анализирано по-долу и обърнете внимание защо и двата корена трябва да бъдат записани в отговора .

Нека начертаем и двете ни геометрични прогресии - едната със стойност, а другата със стойност и да проверим дали и двете имат право на съществуване:

За да се провери дали такава геометрична прогресия съществува или не, е необходимо да се види дали тя е еднаква между всичките й дадени членове? Изчислете q за първия и втория случай.

Вижте защо трябва да напишем два отговора? Защото знакът на търсения член зависи от това дали е положителен или отрицателен! И тъй като не знаем какво е, трябва да напишем и двата отговора с плюс и минус.

Сега, след като сте усвоили основните точки и сте извели формулата за свойството на геометричната прогресия, намерете, знаейки и

Сравнете вашите отговори с правилните:

Какво мислите, ако ни бяха дадени не стойностите на членовете на геометричната прогресия, съседни на желаното число, а равноотдалечени от него. Например, трябва да намерим и даден и. Можем ли да използваме формулата, която сме извели в този случай? Опитайте се да потвърдите или отхвърлите тази възможност по същия начин, като опишете от какво се състои всяка стойност, както направихте при първоначалното извеждане на формулата.
Какво получи?

Сега погледнете внимателно отново.
и съответно:

От това можем да заключим, че формулата работи не само със съседнитес желаните членове на геометрична прогресия, но и с равноотдалечениот това, което членовете търсят.

Така нашата оригинална формула става:

Тоест, ако в първия случай казахме това, сега казваме, че може да бъде равно на всяко естествено число, което е по-малко. Основното е да са еднакви и за двете дадени числа.

Практикувайте за конкретни примерипросто бъдете изключително внимателни!

1. , . Намирам.
2. , . Намирам.
3. , . Намирам.

Реших? Надявам се, че сте били изключително внимателни и сте забелязали малка уловка.

Сравняваме резултатите.

В първите два случая ние спокойно прилагаме горната формула и получаваме следните стойности:

В третия случай, при внимателно разглеждане на серийните номера на дадените ни числа, разбираме, че те не са на равно разстояние от номера, който търсим: това е предишният номер, но премахнат на позиция, така че не е възможно за прилагане на формулата.

Как да го решим? Всъщност не е толкова трудно, колкото изглежда! Нека да запишем с вас от какво се състои всяко дадено ни число и желаното число.

Така че имаме и. Да видим какво можем да направим с тях. Предлагам да се разделим. Получаваме:

Заменяме нашите данни във формулата:

Следващата стъпка, която можем да намерим - за това трябва да предприемем кубичен коренот полученото число.

Сега нека погледнем отново какво имаме. Имаме, но трябва да намерим, а то от своя страна е равно на:

Намерихме всички необходими данни за изчислението. Заместете във формулата:

Нашият отговор: .

Опитайте сами да разрешите друга същата задача:
Дадено: ,
Намирам:

Колко получихте? Аз имам - .

Както можете да видите, всъщност имате нужда запомни само една формула- . Всичко останало можете да изтеглите без никакви затруднения сами по всяко време. За да направите това, просто напишете най-простата геометрична прогресия на лист хартия и запишете на какво според горната формула е равно всяко от нейните числа.

Сумата от членовете на геометрична прогресия.

Сега разгледайте формулите, които ни позволяват бързо да изчислим сумата от членовете на геометрична прогресия в даден интервал:

За да изведем формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия, ние умножаваме всички части на горното уравнение по. Получаваме:

Погледнете внимателно: какво е общото между последните две формули? Точно така, обикновени членове, например и така нататък, с изключение на първия и последния член. Нека се опитаме да извадим първото уравнение от второто уравнение. Какво получи?

Сега изразете чрез формулата на член на геометрична прогресия и заменете получения израз в последната ни формула:

Групирайте израза. Трябва да получите:

Всичко, което остава да направите, е да изразите:

Съответно в този случай.

Какво ако? Коя формула работи тогава? Представете си геометрична прогресия при. Каква е тя? Правилно поредица от еднакви числа, съответно формулата ще изглежда така:

Както при аритметичната, така и при геометричната прогресия има много легенди. Една от тях е легендата за Сет, създателят на шаха.

Много хора знаят, че играта шах е измислена в Индия. Когато хиндуисткият крал я срещна, той беше възхитен от нейното остроумие и разнообразието от възможни позиции в нея. След като научил, че е изобретен от един от неговите поданици, кралят решил лично да го награди. Той извикал изобретателя при себе си и заповядал да поиска от него каквото поиска, като обещал да изпълни и най-изкусното желание.

Сета поискал време за размисъл и когато на следващия ден Сета се явил пред краля, той изненадал краля с несравнимата скромност на молбата си. Той поиска житно зърно за първото поле на шахматната дъска, жито за второто, за третото, за четвъртото и т.н.

Кралят беше ядосан и изгони Сет, като каза, че молбата на слугата е недостойна за кралската щедрост, но обеща, че слугата ще получи своите зърна за всички клетки на дъската.

И сега въпросът е: използвайки формулата за сбора на членовете на геометрична прогресия, изчислете колко зърна трябва да получи Сет?

Да започнем да обсъждаме. Тъй като според условието Сет е поискал житно зърно за първата клетка на шахматната дъска, за втората, за третата, за четвъртата и т.н., виждаме, че в задачата говорим сиотносно геометричната прогресия. Какво е равно в този случай?
Правилно.

Общо клетки на шахматната дъска. Съответно,. Имаме всички данни, остава само да заместим във формулата и да изчислим.

За да представим поне приблизително "скалите" на дадено число, трансформираме, използвайки свойствата на степента:

Разбира се, ако искате, можете да вземете калкулатор и да изчислите какъв вид число ще получите, а ако не, ще трябва да повярвате на думата ми: крайната стойност на израза ще бъде.
Това е:

квинтилион квадрилион трилион милиард милиона хиляди.

Fuh) Ако искате да си представите огромното количество на това число, тогава преценете какъв размер хамбар би бил необходим, за да побере цялото количество зърно.
При височина на хамбара от m и ширина от m дължината му трябва да се простира до km, т.е. два пъти по-далеч от Земята до Слънцето.

Ако царят беше силен в математиката, той можеше да предложи на учения сам да преброи зърната, защото за да преброи един милион зърна, щеше да му трябва поне един ден неуморно броене, а като се има предвид, че е необходимо да се преброят квинтилионите, зърната ще трябва да се броят цял ​​живот.

А сега ще решим проста задача за сумата от членовете на геометрична прогресия.
Вася, ученичка в 5 клас, се разболя от грип, но продължава да ходи на училище. Всеки ден Вася заразява двама души, които на свой ред заразяват още двама и т.н. Само един човек в класа. След колко дни целият клас ще се разболее от грип?

И така, първият член на геометричната прогресия е Вася, тоест човек. член на геометричната прогресия, това са двамата души, които той зарази в първия ден от пристигането си. обща сумачленовете на прогресията е равен на броя на учениците 5A. Съответно, говорим за прогресия, при която:

Нека заместим нашите данни във формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия:

Целият клас ще се разболее до дни. Не вярвате на формули и числа? Опитайте се сами да изобразите "заразата" на учениците. Се случи? Вижте как изглежда при мен:

Пресметнете сами за колко дни биха се разболели учениците от грип, ако всички заразят по един човек, а в класа има човек.

Каква стойност получихте? Оказа се, че всички започват да се разболяват след ден.

Както можете да видите, такава задача и рисунката за нея приличат на пирамида, в която всеки следващ „носи“ нови хора. Но рано или късно идва момент, когато последният не може да привлече никого. В нашия случай, ако си представим, че класът е изолиран, човекът от затваря веригата (). По този начин, ако човек е участвал във финансова пирамида, в която са дадени пари, ако доведете други двама участници, тогава лицето (или в общ случай) няма да доведат никого, съответно ще загубят всичко, което са инвестирали в тази финансова измама.

Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до намаляваща или нарастваща геометрична прогресия, но, както си спомняте, имаме специален вид - безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да изчислим сбора на членовете му? И защо този тип прогресия има определени характеристики? Нека да го разберем заедно.

И така, като за начало, нека да погледнем отново тази картина на безкрайно намаляваща геометрична прогресия от нашия пример:

А сега нека разгледаме формулата за сумата от геометрична прогресия, получена малко по-рано:
или

Към какво се стремим? Точно така, графиката показва, че клони към нула. Тоест, когато, ще бъде почти равно, съответно при изчисляване на израза ще получим почти. В тази връзка смятаме, че при изчисляване на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия тази скоба може да бъде пренебрегната, тъй като ще бъде равна.

- формулата е сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата безкраенброя на членовете.

Ако е посочено конкретно число n, тогава използваме формулата за сумата от n членове, дори ако или.

А сега нека се упражняваме.

1. Намерете сумата на първите членове на геометрична прогресия с и.
2. Намерете сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с и.

Надявам се, че сте били много внимателни. Сравнете нашите отговори:

Сега знаете всичко за геометричната прогресия и е време да преминете от теория към практика. Най-често срещаните експоненциални задачи, срещани на изпита, са задачи със сложна лихва. Именно за тях ще говорим.

Задачи за изчисляване на сложна лихва.

Сигурно сте чували за така наречената формула за сложна лихва. Разбирате ли какво има предвид тя? Ако не, нека да го разберем, защото след като осъзнаете самия процес, веднага ще разберете какво общо има геометричната прогресия с него.

Всички отиваме в банката и знаем, че има различни условияпо депозити: това е както срок, така и допълнителна поддръжка и процент с два различни начиниизчисляването му – просто и сложно.

ОТ проста лихвавсичко е повече или по-малко ясно: лихвата се начислява веднъж в края на срока на депозита. Тоест, ако говорим за поставяне на 100 рубли на година под, тогава те ще бъдат кредитирани само в края на годината. Съответно до края на депозита ще получим рубли.

Сложна лихвае вариант, при който капитализация на лихвата, т.е. добавянето им към сумата на депозита и последващото изчисляване на дохода не от първоначалната, а от натрупаната сума на депозита. Капитализацията не се извършва постоянно, а с известна периодичност. По правило тези периоди са равни и най-често банките използват месец, тримесечие или година.

Да кажем, че поставяме всички същите рубли годишно, но с месечна капитализация на депозита. какво получаваме

Разбираш ли всичко тук? Ако не, нека го направим стъпка по стъпка.

Донесохме рубли в банката. До края на месеца трябва да имаме сума в сметката си, състояща се от нашите рубли плюс лихвата върху тях, тоест:

Съгласен съм?

Можем да го извадим от скобата и тогава получаваме:

Съгласете се, тази формула вече е по-подобна на тази, която написахме в началото. Остава да се справим с процентите

В условието на задачата ни се казва за годишния. Както знаете, ние не умножаваме по - превръщаме процентите в десетични знаци, това е:

нали Сега питате, откъде идва числото? Много просто!
Повтарям: условието на проблема казва за ГОДИШЕНнатрупана лихва МЕСЕЧНО. Както знаете, съответно в година от месеци, банката ще ни начислява част от годишната лихва на месец:

Осъзнах? Сега се опитайте да напишете как би изглеждала тази част от формулата, ако кажа, че лихвата се изчислява ежедневно.
успяхте ли Нека сравним резултатите:

Много добре! Нека се върнем към нашата задача: напишете колко ще бъде кредитирана в нашата сметка за втория месец, като се има предвид, че се начислява лихва върху натрупаната сума на депозита.
Ето какво ми се случи:

Или с други думи:

Мисля, че вече сте забелязали закономерност и сте видели геометрична прогресия във всичко това. Напишете на какво ще се равнява неговият член или с други думи колко пари ще получим в края на месеца.
Направих? Проверка!

Както можете да видите, ако поставите пари в банка за една година при проста лихва, тогава ще получите рубли, а ако ги поставите при сложна лихва, ще получите рубли. Ползата е малка, но това се случва само през годината, но за по-дълъг период капитализацията е много по-печеливша:

Помислете за друг вид проблем със сложна лихва. След това, което разбрахте, ще ви е елементарно. Така че задачата е:

Звезда започва да инвестира в индустрията през 2000 г. с доларов капитал. Всяка година от 2001 г. насам то реализира печалба, равна на капитала от предходната година. Каква печалба ще получи фирма "Звезда" в края на 2003 г., ако печалбата не беше изтеглена от обращение?

Капиталът на фирма Звезда през 2000г.
- капиталът на фирма Звезда през 2001г.
- капиталът на фирма Звезда през 2002г.
- капиталът на фирма Звезда през 2003г.

Или можем да напишем накратко:

За нашия случай:

2000, 2001, 2002 и 2003 г.

Съответно:
рубли
Обърнете внимание, че в тази задача нямаме деление нито на, нито на, тъй като процентът е даден ГОДИШНО и се изчислява ГОДИШНО. Тоест, когато четете задачата за сложна лихва, обърнете внимание какъв процент е даден и в какъв период се начислява и едва след това преминете към изчисленията.
Сега знаете всичко за геометричната прогресия.

Тренировка.

1. Намерете член на геометрична прогресия, ако е известно, че и
2. Намерете сумата от първите членове на геометрична прогресия, ако е известно, че и
3. MDM Capital започна да инвестира в индустрията през 2003 г. с доларов капитал. Всяка година от 2004 г. насам тя реализира печалба, равна на капитала от предходната година. Компанията "MSK Cash Flows" започна да инвестира в индустрията през 2005 г. в размер на $10 000, като започна да реализира печалба през 2006 г. в размер на. С колко долара капиталът на едно дружество надвишава този на друго в края на 2007 г., ако печалбите не са изтеглени от обръщение?

Отговори:

1. Тъй като в условието на задачата не се казва, че прогресията е безкрайна и се изисква да се намери сумата от определен брой нейни членове, изчислението се извършва по формулата:
2. 
   Компания "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - се увеличава със 100%, тоест 2 пъти.
   Съответно:
   рубли
   Парични потоци на MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - се увеличава с, тоест пъти.
   Съответно:
   рубли
   рубли

Нека да обобщим.

1) Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.

2) Уравнението на членовете на геометрична прогресия -.

3) може да приема всяка стойност, с изключение на и.

• ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат същия знак - те положителен;
• ако, тогава всички следващи членове на прогресията алтернативни знаци;
• когато - прогресията се нарича безкрайно намаляваща.

4) , at - свойство на геометрична прогресия (съседни членове)

или
, при (равноотдалечени термини)

Когато го намерите, не забравяйте това трябва да има два отговора..

Например,

5) Сумата от членовете на геометрична прогресия се изчислява по формулата:
или

Ако прогресията е безкрайно намаляваща, тогава:
или

ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата от безкраен брой членове.

6) Задачите за сложна лихва също се изчисляват по формулата на члена на геометричната прогресия, при условие че средствата не са изтеглени от обращение:

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Геометрична прогресия( ) е числова редица, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Този номер се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Знаменател на геометрична прогресияможе да приема всякаква стойност с изключение на и.

• Ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същи знак - те са положителни;
• ако, тогава всички следващи членове на прогресията редуват знаци;
• когато - прогресията се нарича безкрайно намаляваща.

Уравнение на членовете на геометрична прогресия - .

Сумата от членовете на геометрична прогресияизчислено по формулата:
или

Формулата за n-тия член на геометрична прогресия е много проста. И като смисъл, и като цяло. Но за формулата на n-ия член има всякакви проблеми - от много примитивни до доста сериозни. И в процеса на нашето запознанство определено ще разгледаме и двете. Е, да се срещнем?)

И така, всъщност като за начало формулан

Ето я:

b n = b 1 · q n -1

Формула като формула, нищо свръхестествено. Изглежда още по-проста и по-компактна от подобната формула за . Значението на формулата също е просто, като филцов ботуш.

Тази формула ви позволява да намерите ВСЕКИ член на геометрична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР " н".

Както можете да видите, смисълът е пълна аналогия с аритметична прогресия. Знаем числото n - можем да изчислим и члена под това число. Какво искаме. Не се умножава последователно по "q" много, много пъти. Това е целият смисъл.)

Разбирам, че на това ниво на работа с прогресии всички количества, включени във формулата, вече трябва да са ви ясни, но считам за свой дълг да дешифрирам всяка една. За всеки случай.

Така че да тръгваме:

b 1 – първиятчлен на геометрична прогресия;

р – ;

н– членски номер;

b n – n-ти (нта)член на геометрична прогресия.

Тази формула свързва четирите основни параметъра на всяка геометрична прогресия - bн, b 1 , ри н. И около тези четири ключови фигури се въртят всички задачи в прогресия.

"И как се показва?"- Чувам любопитен въпрос ... Елементарно! Виж!

Какво е равно на второчлен на прогресията? Няма проблем! Пишем директно:

b 2 = b 1 q

А третият член? Също така не е проблем! Умножаваме втория член отново нар.

Като този:

B 3 \u003d b 2 q

Припомнете си сега, че вторият член от своя страна е равен на b 1 q и заместете този израз в нашето равенство:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Получаваме:

б 3 = b 1 q 2

Сега нека прочетем нашия запис на руски: третичлен е равен на първия член, умножен по q in второстепен. Схващаш ли? Все още не? Добре, още една стъпка.

Какъв е четвъртият член? Все същото! Умножете предишен(т.е. трети член) на q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Обща сума:

б 4 = b 1 q 3

И отново превеждаме на руски: четвърточлен е равен на първия член, умножен по q in третистепен.

И така нататък. Е, как е? Хванахте ли модела? да За всеки член с произволно число, броят на равните множители q (т.е. степента на знаменателя) винаги ще бъде с един по-малко от броя на желания членн.

Следователно нашата формула ще бъде без опции:

b n =b 1 · q n -1

Това е всичко.)

Е, нека решаваме проблемите, нали?)

Решаване на задачи по формуланчлен на геометрична прогресия.

Нека започнем, както обикновено, с директно приложение на формулата. Ето един типичен проблем:

Експоненциално е известно, че b 1 = 512 и р = -1/2. Намерете десетия член на прогресията.

Разбира се, този проблем може да бъде решен без никакви формули. Точно като геометрична прогресия. Но трябва да загреем с формулата на n-тия член, нали? Тук се разделяме.

Нашите данни за прилагане на формулата са както следва.

Първият термин е известен. Това е 512.

b 1 = 512.

Известен е и знаменателят на прогресията: р = -1/2.

Остава само да разберем на какво е равно числото на термина n. Няма проблем! Интересуваме ли се от десетия мандат? Така че заместваме десет вместо n в общата формула.

И внимателно изчислете аритметиката:

Отговор: -1

Както можете да видите, десетият член на прогресията се оказа с минус. Нищо чудно: знаменателят на прогресията е -1/2, т.е. отрицателенномер. И това ни казва, че признаците на нашата прогресия се редуват, да.)

Тук всичко е просто. И тук има подобен проблем, но малко по-сложен от гледна точка на изчисления.

В геометричната прогресия знаем, че:

b 1 = 3

Намерете тринадесетия член на прогресията.

Всичко е същото, само че този път знаменателят на прогресията - ирационален. Корен от две. Е, нищо страшно. Формулата е нещо универсално, справя се с всякакви числа.

Ние работим директно по формулата:

Формулата, разбира се, работи както трябва, но ... това е мястото, където някои ще висят. Какво да правя след това с рута? Как да повдигнем корен на дванадесета степен?

Как-как ... Трябва да разберете, че всяка формула, разбира се, е нещо добро, но знанието на цялата предишна математика не се отменя! Как да повишим? Да, запомнете свойствата на градусите! Нека променим корена на дробна степени - по формулата за повдигане на степен на степен.

Като този:

Отговор: 192

И всички неща.)

Каква е основната трудност при директното прилагане на формулата за n-тия член? да Основната трудност е работа с дипломи!А именно, степенуване отрицателни числа, дроби, корени и подобни структури. Така че тези, които имат проблеми с това, спешна молба за повторение на степените и техните свойства! В противен случай ще се забавите в тази тема, да ...)

Сега нека разрешим типични проблеми с търсенето един от елементите на формулатаако са дадени всички останали. За успешното решаване на подобни проблеми рецептата е една и проста до ужас - напишете формулатанти член като цяло!Точно в тетрадката до условието. И тогава от условието разбираме какво ни е дадено и какво не ни достига. И ние изразяваме от формулата желаната стойност. Всичко!

Например такъв безвреден проблем.

Петият член на геометрична прогресия със знаменател 3 е 567. Намерете първия член на тази прогресия.

Нищо сложно. Работим директно според заклинанието.

Записваме формулата на n-тия член!

b n = b 1 · q n -1

Какво ни е дадено? Първо се дава знаменателят на прогресията: р = 3.

Освен това ни се дава пети мандат: b 5 = 567 .

всичко? Не! Дадено ни е и числото n! Това е петица: n = 5.

Надявам се, че вече разбирате какво има в записа b 5 = 567 два параметъра са скрити наведнъж - това е самият пети член (567) и неговият номер (5). В подобен урок вече говорих за това, но мисля, че не е излишно да напомня тук.)

Сега заместваме нашите данни във формулата:

567 = b 1 3 5-1

Разглеждаме аритметика, опростяваме и получаваме просто линейно уравнение:

81 b 1 = 567

Решаваме и получаваме:

b 1 = 7

Както можете да видите, няма проблеми с намирането на първия член. Но когато се търси знаменателят ри числа нможе да има изненади. И вие също трябва да сте подготвени за тях (изненади), да.)

Например такъв проблем:

Петият член на геометрична прогресия с положителен знаменател е 162, а първият член на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.

Този път ни се дават първият и петият член и се иска да намерим знаменателя на прогресията. Тук започваме.

Пишем формулатанти член!

b n = b 1 · q n -1

Първоначалните ни данни ще бъдат както следва:

b 5 = 162

b 1 = 2

н = 5

Няма достатъчно стойност р. Няма проблем! Нека го намерим сега.) Заместваме всичко, което знаем във формулата.

Получаваме:

162 = 2р 5-1

2 р 4 = 162

р 4 = 81

Просто уравнение от четвърта степен. Но сега - внимателно!На този етап от решението много ученици веднага с радост извличат корена (от четвърта степен) и получават отговора р=3 .

Като този:

q4 = 81

р = 3

Но като цяло това е недовършен отговор. Или по-скоро непълна. Защо? Въпросът е, че отговорът р = -3 също пасва: (-3) 4 също би било 81!

Това е така, защото уравнението на мощността x n = авинаги има два противоположни коренапри дорин . Плюс и минус:

И двете стават.

Например, решаване (т.е. второградуса)

х2 = 9

По някаква причина не сте изненадани от външния вид двекорени x=±3? Тук е същото. И с всяка друга дористепен (четвърта, шеста, десета и т.н.) ще бъде същата. Подробности - в темата за

Ето защо правилното решениеще бъде така:

р 4 = 81

р= ±3

Добре, разбрахме знаците. Кое е правилното - плюс или минус? Е, четем отново условието на проблема в търсене на Допълнителна информация. Тя, разбира се, може да не съществува, но в този проблем такава информация на разположение.В нашето условие директно е посочено, че се дава прогресия с положителен знаменател.

Така че отговорът е очевиден:

р = 3

Тук всичко е просто. Какво мислите, че би се случило, ако формулировката на проблема беше следната:

Петият член на геометрична прогресия е 162, а първият член на тази прогресия е 2. Намерете знаменателя на прогресията.

Каква е разликата? да В състояние Нищоне се споменава знаменателят. Нито пряко, нито косвено. И тук вече ще има проблем две решения!

р = 3 и р = -3

Да да! И с плюс и минус.) Математически този факт би означавал, че има две прогресиикоито отговарят на задачата. И за всеки - свой знаменател. За забавление тренирайте и запишете първите пет термина от всеки.)

Сега нека се упражним да намираме номера на члена. Това е най-трудното, да. Но и по-креативни.

Като се има предвид геометрична прогресия:

3; 6; 12; 24; …

Кое число е 768 в тази прогресия?

Първата стъпка е същата: напишете формулатанти член!

b n = b 1 · q n -1

И сега, както обикновено, заместваме в него известните ни данни. Хм... не става! Къде е първият член, къде е знаменателят, къде е всичко останало?!

Къде, къде ... Защо имаме нужда от очи? Пляскащи мигли? Този път прогресията ни се дава директно във формата последователности.Можем ли да видим първия член? Виждаме! Това е тройка (b 1 = 3). Какво ще кажете за знаменателя? Все още не го виждаме, но е много лесно да го преброим. Ако, разбира се, разбирате.

Тук считаме. Директно според значението на геометрична прогресия: вземаме всеки от нейните членове (с изключение на първия) и разделяме на предишния.

Поне така:

р = 24/12 = 2

Какво друго знаем? Ние също знаем някой член на тази прогресия, равен на 768. Под някакво число n:

b n = 768

Ние не знаем номера му, но нашата задача е точно да го намерим.) Така че ние търсим. Вече сме изтеглили всички необходими данни за заместване във формулата. Неусетно.)

Тук заместваме:

768 = 3 2н -1

Правим елементарни - разделяме двете части на три и пренаписваме уравнението в обичайния вид: неизвестното отляво, известното отдясно.

Получаваме:

2 н -1 = 256

Ето едно интересно уравнение. Трябва да намерим "n". Кое е необичайното? Да, не споря. Всъщност това е най-простото. Нарича се така, защото неизвестното (в този случайтози номер н) влиза индикаторстепен.

На етапа на запознаване с геометрична прогресия (това е девети клас) експоненциалните уравнения не се учат да решават, да ... Това е тема за гимназията. Но няма нищо страшно. Дори и да не знаете как се решават такива уравнения, нека се опитаме да намерим нашето нръководени от проста логика и здрав разум.

Започваме да обсъждаме. Отляво имаме двойка до някъде. Все още не знаем каква точно е тази степен, но това не е страшно. Но от друга страна, ние твърдо знаем, че тази степен е равна на 256! Така че помним до каква степен двойката ни дава 256. Помните ли? да AT осмостепени!

256 = 2 8

Ако не сте запомнили или с разпознаването на степените на проблема, тогава също е добре: просто последователно повдигаме двете на квадрат, на куб, на четвърта степен, на пета и т.н. Селекцията, всъщност, но на това ниво, е доста езда.

По един или друг начин ще получим:

2 н -1 = 2 8

н-1 = 8

н = 9

Така че 768 е деветичлен на нашата прогресия. Това е всичко, проблемът е решен.)

Отговор: 9

Какво? Скучно е? Уморен от елементарното? Съгласен съм. И аз също. Да преминем към следващото ниво.)

По-сложни задачи.

А сега решаваме пъзелите по-рязко. Не точно супер готино, но върху което трябва да поработите малко, за да стигнете до отговора.

Например така.

Намерете втория член на геометрична прогресия, ако четвъртият член е -24, а седмият член е 192.

Това е класика в жанра. Известни са два различни члена на прогресията, но трябва да се намери още един член. Освен това всички членове НЕ са съседи. Какво обърква в началото, да ...

Както в , разглеждаме два метода за решаване на такива проблеми. Първият начин е универсален. Алгебрични. Работи безупречно с всякакви изходни данни. Така че оттам ще започнем.)

Рисуваме всеки член според формулата нти член!

Всичко е точно както при аритметична прогресия. Само този път работим с другобща формула. Това е всичко.) Но същността е същата: ние вземаме и на свой редние заместваме нашите първоначални данни във формулата на n-тия член. За всеки член - собствен.

За четвъртия член пишем:

b 4 = b 1 · р 3

-24 = b 1 · р 3

Има. Едно уравнение е завършено.

За седмия член пишем:

b 7 = b 1 · р 6

192 = b 1 · р 6

Общо бяха получени две уравнения за същата прогресия .

Ние сглобяваме система от тях:

Въпреки страхотния си външен вид, системата е доста проста. Най-очевидният начин за решаване е обичайното заместване. Ние изразяваме b 1 от горното уравнение и заместете в долното:

Малко игра с долното уравнение (намаляване на експонентите и деление на -24) дава:

р 3 = -8

Между другото, до същото уравнение може да се стигне и по по-прост начин! Какво? Сега ще ви покажа още една тайна, но много красива, мощна и полезен начинрешения за такива системи. Такива системи, в уравненията на които седят само работи.Поне в едно. Наречен метод на разделяне на терминаедно уравнение към друго.

Така че имаме система:

И в двете уравнения вляво - работа, а отдясно е само число. Това е много добър знак.) Да вземем и ... разделим, да речем, долното уравнение на горното! Какво означава, разделя едно уравнение на друго?Много просто. Ние взимаме лява страна едно уравнение (долно) и разделяменея на лява странадруго уравнение (горно). Дясната страна е подобна: правилната странаедно уравнение разделямена правилната странадруг.

Целият процес на разделяне изглежда така:

Сега, намалявайки всичко, което е намалено, получаваме:

р 3 = -8

Какво е добро за този метод? Да, защото в процеса на такова разделение всичко лошо и неудобно може безопасно да се намали и да остане едно напълно безобидно уравнение! Ето защо е толкова важно да има само умноженияв поне едно от уравненията на системата. Няма умножение - няма какво да се намалява, да ...

Като цяло този метод (както много други нетривиални начини за решаване на системи) дори заслужава отделен урок. Със сигурност ще го разгледам по-отблизо. някой ден...

Въпреки това, без значение как решавате системата, във всеки случай сега трябва да решим полученото уравнение:

р 3 = -8

Няма проблем: извличаме корена (кубичен) и - готово!

Моля, обърнете внимание, че не е необходимо да поставяте плюс / минус тук при извличане. Имаме корен от нечетна (трета) степен. И отговорът е същият, да.

И така, знаменателят на прогресията е намерен. Минус две. Отлично! Процесът е в ход.)

За първия член (да речем от горното уравнение) получаваме:

Отлично! Знаем първия член, знаем знаменателя. И сега имаме възможност да намерим всеки член на прогресията. Включително второто.)

За втория член всичко е съвсем просто:

b 2 = b 1 · р= 3 (-2) = -6

Отговор: -6

И така, ние подредихме алгебричния начин за решаване на проблема. Труден? Не много, съгласен съм. Дълго и скучно? Да, определено. Но понякога можете значително да намалите количеството работа. За това има графичен начин.Добър стар и познат ни от .)

Да нарисуваме проблема!

да Точно. Отново изобразяваме нашата прогресия върху числовата ос. Не непременно чрез линийка, не е необходимо да се поддържат равни интервали между членовете (които, между другото, няма да са еднакви, защото прогресията е геометрична!), а просто схематичноначертайте нашата последователност.

Получих го така:

Сега погледнете снимката и помислете. Колко равни делителя делят "q". четвъртои седмочленове? Точно така, три!

Затова имаме пълното право да напишем:

-24р 3 = 192

От тук вече е лесно да намерите q:

р 3 = -8

р = -2

Това е страхотно, знаменателят вече е в джоба ни. И сега отново гледаме картината: колко такива знаменатели се намират между тях второи четвърточленове? две! Следователно, за да запишем връзката между тези членове, ще повдигнем знаменателя на квадрат.

Тук пишем:

b 2 · р 2 = -24 , където b 2 = -24/ р 2

Заместваме намерения знаменател в израза за b 2 , броим и получаваме:

Отговор: -6

Както можете да видите, всичко е много по-просто и по-бързо, отколкото чрез системата. Нещо повече, тук изобщо не трябваше да броим първия термин! Изобщо.)

Ето такъв прост и визуален начин-светлина. Но има и сериозен недостатък. Досетих се? да Добър е само за много кратки части от прогресията. Тези, при които разстоянията между членовете, които ни интересуват, не са много големи. Но във всички останали случаи вече е трудно да се направи картина, да ... Тогава решаваме проблема аналитично, чрез система.) А системите са универсално нещо. Справете се с произволен номер.

Друг епичен:

Вторият член на геометричната прогресия е с 10 повече от първия, а третият е с 30 повече от втория. Намерете знаменателя на прогресията.

Какво е готино? Въобще не! Все същото. Отново превеждаме условието на проблема в чиста алгебра.

1) Рисуваме всеки термин според формулата нти член!

Втори член: b 2 = b 1 q

Трети член: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Записваме връзката между членовете от условието на задачата.

Четене на условието: "Вторият член на геометрична прогресия е с 10 повече от първия."Спрете, това е ценно!

Така че ние пишем:

b 2 = b 1 +10

И ние превеждаме тази фраза в чиста математика:

b 3 = b 2 +30

Имаме две уравнения. Ние ги комбинираме в система:

Системата изглежда проста. Но има много различни индекси за букви. Нека заместим втория и третия член на израза им чрез първия член и знаменателя! Напразно, какво ли, боядисахме ги?

Получаваме:

Но такава система вече не е подарък, да ... Как да се реши това? За съжаление, универсалното тайно заклинание за решаване е сложно нелинейниВ математиката няма и не може да има системи. Фантастично е! Но първото нещо, което трябва да ви хрумне, когато се опитвате да счупите такъв твърд орех, е да разберете и не се свежда нито едно от уравненията на системата до красива гледка, което позволява, например, лесно да се изрази една от променливите по отношение на другата?

Нека познаем. Първото уравнение на системата е очевидно по-просто от второто. Ще го измъчваме.) Защо не опитате от първото уравнение нещоекспрес чрез нещо?Тъй като искаме да намерим знаменателя р, тогава за нас би било най-изгодно да изразим b 1 през р.

Така че нека се опитаме да направим тази процедура с първото уравнение, като използваме добрите стари:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Всичко! Тук изразихме ненужниизползваме променливата (b 1) през необходимо(q). Да, не е най-простият израз. Някаква дроб ... Но нашата система е на прилично ниво, да.)

Типично. Какво да правим - знаем.

Пишем ОДЗ (задължително!) :

q ≠ 1

Умножаваме всичко по знаменателя (q-1) и намаляваме всички дроби:

10 р 2 = 10 р + 30(р-1)

Разделяме всичко на десет, отваряме скобите, събираме всичко отляво:

р 2 – 4 р + 3 = 0

Решаваме полученото и получаваме два корена:

р 1 = 1

р 2 = 3

Има само един окончателен отговор: р = 3 .

Отговор: 3

Както можете да видите, начинът за решаване на повечето задачи за формулата на n-тия член на геометрична прогресия винаги е един и същ: четем внимателноусловие на проблема и използвайки формулата на n-тия член превеждаме целия полезна информацияв чиста алгебра.

а именно:

1) Записваме отделно всеки член, даден в задачата, по формулатанти член.

2) От условието на задачата превеждаме връзката между членовете в математическа форма. Съставяме уравнение или система от уравнения.

3) Решаваме полученото уравнение или система от уравнения, намираме неизвестните параметри на прогресията.

4) В случай на двусмислен отговор, внимателно прочитаме условието на проблема в търсене на допълнителна информация (ако има такава). Сверяваме получения отговор и с условията на ОДЗ (ако има такива).

И сега ние изброяваме основните проблеми, които най-често водят до грешки в процеса на решаване на задачи с геометрична прогресия.

1. Елементарна аритметика. Действия с дроби и отрицателни числа.

2. Ако поне една от тези три точки е проблем, тогава неизбежно ще сгрешите в тази тема. За съжаление... Така че не бъдете мързеливи и повторете казаното по-горе. И следвайте връзките - отидете. Понякога помага.)

Модифицирани и повтарящи се формули.

А сега нека да разгледаме няколко типични изпитни задачи с по-малко познато представяне на условието. Да, да, познахте! то модифицирани рецидивиращформули на n-тия член. Вече сме срещали такива формули и сме работили в аритметична прогресия. Тук всичко е подобно. Същността е същата.

Например такъв проблем от OGE:

Геометричната прогресия се дава по формулата b n = 3 2 н . Намерете сбора на първия и четвъртия член.

Този път прогресията ни се дава не съвсем както обикновено. Някаква формула. Какво от това? Тази формула е също формуланти член!Всички знаем, че формулата на n-тия член може да бъде написана както в обща форма, чрез букви, така и за специфична прогресия. ОТ специфиченпърви член и знаменател.

В нашия случай всъщност ни е дадена обща терминна формула за геометрична прогресия със следните параметри:

b 1 = 6

р = 2

Да проверим?) Нека да напишем формулата на n-тия член в общ вид и да я заместим b 1 и р. Получаваме:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2н -1

Ние опростяваме, като използваме факторизиране и мощностни свойства, и получаваме:

b n= 6 2н -1 = 3 2 2н -1 = 3 2н -1+1 = 3 2н

Както виждате, всичко е честно. Но нашата цел с вас не е да демонстрираме извеждането на конкретна формула. Това е така, едно лирично отклонение. Чисто за разбиране.) Целта ни е да решим задачата по формулата, която ни е дадена в условието. Хващате ли го?) Така че ние работим директно с модифицираната формула.

Отчитаме първия срок. Заместител н=1 в общата формула:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Като този. Между другото, не ме мързи и още веднъж ще ви обърна внимание на един типичен гаф с изчисляването на първия член. НЕ гледайте формулата b n= 3 2н, веднага се втурват да пишат, че първия член е тройка! Това е голяма грешка, да...)

Продължаваме. Заместител н=4 и разгледайте четвъртия член:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

И накрая, изчисляваме необходимата сума:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Отговор: 54

Друг проблем.

Геометричната прогресия се определя от условията:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Намерете четвъртия член на прогресията.

Тук прогресията се дава от рекурентната формула. Ми добре.) Как се работи с тази формула - ние също знаем.

Тук действаме. Стъпка по стъпка.

1) като броим две последователничлен на прогресията.

Първият срок вече ни е даден. Минус седем. Но следващият, втори член, може лесно да се изчисли с помощта на рекурсивната формула. Ако разбирате как работи, разбира се.)

Тук разглеждаме втория член според известния първи:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Разглеждаме знаменателя на прогресията

Също така няма проблем. Направо, сподели второпишка на първият.

Получаваме:

р = -21/(-7) = 3

3) Напишете формулатанth член в обичайната форма и разгледайте желания член.

И така, знаем първия член, знаменателя също. Тук пишем:

b n= -7 3н -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Отговор: -189

Както можете да видите, работата с такива формули за геометрична прогресия по същество не се различава от тази за аритметична прогресия. Важно е само да се разбере общата същност и значение на тези формули. Е, значението на геометричната прогресия също трябва да се разбере, да.) И тогава няма да има глупави грешки.

Е, нека решим сами?)

Съвсем елементарни задачи, за загрявка:

1. Дадена е геометрична прогресия, в която b 1 = 243 и р = -2/3. Намерете шестия член на прогресията.

2. Общият член на геометрична прогресия се дава с формулата b n = 5∙2 н +1 . Намерете номера на последния трицифрен член на тази прогресия.

3. Геометричната прогресия се задава от условията:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Намерете петия член на прогресията.

Малко по-сложно:

4. Като се има предвид геометрична прогресия:

b 1 =2048; р =-0,5

Какъв е шестият отрицателен член от него?

Какво изглежда супер трудно? Въобще не. Логиката и разбирането на значението на геометричната прогресия ще спасят. Е, формулата на n-тия член, разбира се.

5. Третият член на геометричната прогресия е -14, а осмият член е 112. Намерете знаменателя на прогресията.

6. Сборът на първия и втория член на геометрична прогресия е 75, а сборът на втория и третия член е 150. Намерете шестия член на прогресията.

Отговори (в безпорядък): 6; -3888; -един; 800; -32; 448.

Това е почти всичко. Остава само да се научите как да броите сумата от първите n членове на геометрична прогресияда открий безкрайно намаляваща геометрична прогресияи неговата сума. Много интересно и необичайно нещо, между другото! Повече за това в следващите уроци.)

Ако всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава те казват, че дадено числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествен аргумент.

Номер а 1 Наречен първия член на редицата , номер а 2 — вторият член на редицата , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти членпоследователности , и естественото число н — номера му .

От два съседни члена a n и a n +1 членни последователности a n +1 Наречен последващи (към a n ), а a n — предишен (към a n +1 ).

За да посочите последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователност с произволен номер.

Често последователността се дава с n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например,

последователността от положителни нечетни числа може да бъде дадена с формулата

a n= 2н- 1,

и последователността на редуване 1 и -1 - формула

bн = (-1)н +1 . ◄

Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.

Например,

ако а 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност са зададени както следва:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последователностите могат да бъдат финал и безкраен .

Последователността се нарича крайна ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен ако има безкрайно много членове.

Например,

поредица от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

финал.

Поредица от прости числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.

Последователността се нарича намаляващ , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . е възходяща последователност;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . е низходяща последователност. ◄

Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия извиква се редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако има такава естествено число н условието е изпълнено:

a n +1 = a n + д,

където д - някакво число.

По този начин разликата между следващите и предходните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.

Номер д Наречен разликата на аритметична прогресия.

За да зададете аритметична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и разлика.

Например,

ако а 1 = 3, д = 4 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разлика д нея н

a n = а 1 + (н- 1)д.

Например,

намерете тридесетия член на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, д = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = а 1 + (н- 2)д,

a n= а 1 + (н- 1)д,

a n +1 = а 1 + nd,

тогава очевидно

всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.

Например,

a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.

Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.

Следователно,

◄

Забележи, че н -тият член на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k

a n = a k + (н- к)д.

Например,

за а 5 може да се напише

а 5 = а 1 + 4д,

а 5 = а 2 + 3д,

а 5 = а 3 + 2д,

а 5 = а 4 + д. ◄

a n = един н-к + kd,

a n = a n+k - kd,

тогава очевидно

всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на членовете на тази аритметична прогресия, разположени на еднакво разстояние от нея.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия е вярно равенството:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Например,

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, защото

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове по броя на членовете:

От това по-специално следва, че ако е необходимо да се сумират условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например,

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, ниС н свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:

• ако д > 0 , след това се увеличава;
• ако д < 0 , тогава намалява;
• ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

геометрична прогресия се нарича редица, всеки член от която, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

където р ≠ 0 - някакво число.

По този начин съотношението на следващия член на тази геометрична прогресия към предишния е постоянно число:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

Номер р Наречен знаменател на геометрична прогресия.

За да зададете геометрична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и знаменател.

Например,

ако b 1 = 1, р = -3 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:

b 1 = 1,

б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменател р нея н -ти член може да се намери по формулата:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

намерете седмия член на геометрична прогресия 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, р = 2,

b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, важи следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.

Например,

нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

Следователно,

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) (-3 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва търсеното твърдение. ◄

Забележи, че н членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен мандат b k , за което е достатъчно да се използва формулата

b n = b k · q n - к.

Например,

за b 5 може да се напише

б 5 = b 1 · р 4 ,

б 5 = б 2 · р 3,

б 5 = б 3 · q2,

б 5 = b 4 · р. ◄

b n = b k · q n - к,

b n = b n - к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.

В допълнение, за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:

b m· b n= b k· b l,

м+ н= к+ л.

Например,

експоненциално

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , защото

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:

И когато р = 1 - по формулата

S n= n.b. 1

Имайте предвид, че ако трябва да сумираме членовете

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

Например,

експоненциално 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, ни S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 и р> 1;

b 1 < 0 и 0 < р< 1;

• Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:

b 1 > 0 и 0 < р< 1;

b 1 < 0 и р> 1.

Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия е знакоредуваща: нейните нечетни членове имат същия знак като първия член, а четните имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.

Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия се нарича безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък от 1 , това е

|р| < 1 .

Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Това отговаря на случая

1 < р< 0 .

С такъв знаменател последователността е знакоредуваща се. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, на което е сумата от първото н условия на прогресията с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзка между аритметична и геометрична прогресии

Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , тогава

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . — аритметична прогресия с разлика 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . е геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . е геометрична прогресия със знаменател р , тогава

дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . — аритметична прогресия с разлика дневник ар .

Например,

2, 12, 72, . . . е геометрична прогресия със знаменател 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄

Нека разгледаме серия.

7 28 112 448 1792...

Абсолютно ясно е, че стойността на всеки от неговите елементи е точно четири пъти по-голяма от предишната. означава, тази серияе прогресия.

Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа основна характеристикакоето е, че следващото число се получава от предишното чрез умножаване по някакво конкретно число. Това се изразява със следната формула.

a z +1 =a z q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно z ∈ N.

Периодът, в който се изучава геометрична прогресия в училище, е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:

0.25 0.125 0.0625...

Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:

Нито q, нито b z могат да бъдат нула. Освен това всеки от елементите на прогресията не трябва да е равен на нула.

Съответно, за да разберете следващото число в серията, трябва да умножите последното по q.

За да посочите тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери всеки от следващите членове и тяхната сума.

Разновидности

В зависимост от q и a 1 тази прогресия се разделя на няколко вида:

• Ако и a 1, и q са по-големи от едно, тогава такава последователност се увеличава с всяко едно следващ елементгеометрична прогресия. Пример за такъв е представен по-долу.

Пример: a 1 =3, q=2 - и двата параметъра са по-големи от единица.

Тогава числовата последователност може да бъде записана така:

3 6 12 24 48 ...

• Ако |q| по-малко от едно, тоест умножението по него е еквивалентно на деление, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за такъв е представен по-долу.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е по-голямо от едно, q е по-малко.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

6 2 2/3 ... - всеки елемент е 3 пъти по-голям от елемента след него.

• Знак-променлива. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3 , q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

Тогава последователността може да се напише така:

3, 6, -12, 24,...

Формули

За удобно използване на геометричните прогресии има много формули:

• Формула на z-тия член. Позволява ви да изчислите елемента под определено число, без да изчислявате предишните числа.

Пример:р = 3, а 1 = 4. Необходимо е да се изчисли четвъртият елемент от прогресията.

Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумата от първите елементи, чийто номер е z. Позволява ви да изчислите сумата от всички елементи на последователност доa zвключително.

Тъй като (1-р) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.

Забележка: ако q=1, тогава прогресията ще бъде поредица от безкрайно повтарящи се числа.

Сумата от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, р= -2. Изчислете S 5 .

Решение:С 5 = 22 - изчисление по формула.

• Сума, ако |р| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример:а 1 = 2 , р= 0,5. Намерете сумата.

Решение:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои свойства:

• характерно свойство. Ако е налице следното условие извършвани за всякаквиz, тогава дадената редица от числа е геометрична прогресия:

a z 2 = a z -1 · аz+1

• Също така, квадратът на което и да е число от геометрична прогресия се намира чрез добавяне на квадратите на други две числа в дадена серия, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.

a z 2 = a z - T 2 + a z + T 2 , къдетоTе разстоянието между тези числа.

• Елементиразличават се по qведнъж.
• Логаритмите на елементите на прогресията също образуват прогресия, но вече аритметична, т.е. всеки от тях е по-голям от предишния с определено число.

Примери за някои класически задачи

За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, примерите с решение за 9 клас могат да помогнат.

• Условия:а 1 = 3, а 3 = 48. Намеретер.

Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния вр веднъж.Необходимо е да изразите някои елементи чрез други, като използвате знаменател.

Следователно,а 3 = р 2 · а 1

При заместванер= 4

• Условия:а 2 = 6, а 3 = 12. Изчислете S 6 .

Решение:За да направите това, достатъчно е да намерите q, първия елемент и да го замените във формулата.

а 3 = р· а 2 , следователно,р= 2

a 2 = q а 1,Ето защо a 1 = 3

S 6 = 189

• · а 1 = 10, р= -2. Намерете четвъртия елемент от прогресията.

Решение: за да направите това, достатъчно е да изразите четвъртия елемент през първия и през знаменателя.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Пример за приложение:

• Клиентът на банката направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът добавя 6% от него към главницата. Колко пари ще има в сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Така една година след инвестицията в сметката ще има сума равна на 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Съответно сумата в сметката след още една година ще бъде изразена, както следва:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери сумата на средствата по сметката след 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент от прогресията, който се дава от първия елемент, равен на 10 хиляди, и знаменателя, равен на 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Примерни задачи за пресмятане на сбора:

В различни задачи се използва геометрична прогресия. Пример за намиране на сумата може да бъде даден по следния начин:

а 1 = 4, р= 2, изчислиS5.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 = 18. Изчислете сбора на първите шест елемента.

Решение:

Geom. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предходния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателр.

а 2 · р = а 3

р = 3

По същия начин трябва да намерима 1 , знаейкиа 2 ир.

а 1 · р = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.

Геометрична прогресияне по-малко важно в математиката, отколкото в аритметиката. Геометрична прогресия е такава последователност от числа b1, b2,..., b[n], всеки следващ член на която се получава чрез умножаване на предходния по постоянно число. Това число, което също характеризира скоростта на нарастване или намаляване на прогресията, се нарича знаменател на геометрична прогресияи обозначават

За пълно присвояване на геометрична прогресия, освен знаменателя, е необходимо да се знае или определи нейният първи член. За положителна стойност на знаменателя, прогресията е монотонна последователност и ако тази последователност от числа е монотонно намаляваща и монотонно нарастваща, когато. Случаят, когато знаменателят е равен на единица, не се разглежда на практика, тъй като имаме поредица от еднакви числа и тяхното сумиране не представлява практически интерес

Общ термин на геометрична прогресияизчислено по формулата

Сумата от първите n члена на геометрична прогресияопределена по формулата

Нека разгледаме решенията на класически задачи с геометрична прогресия. Нека започнем с най-простото за разбиране.

Пример 1. Първият член на геометрична прогресия е 27, а знаменателят му е 1/3. Намерете първите шест члена на геометрична прогресия.

Решение: Записваме условието на задачата във формата

За изчисления използваме формулата за n-тия член на геометрична прогресия

Въз основа на него намираме неизвестни членове на прогресията

Както можете да видите, изчисляването на членовете на геометричната прогресия не е трудно. Самата прогресия ще изглежда така

Пример 2. Дадени са първите три членове на геометрична прогресия: 6; -12; 24. Намерете знаменателя и седмия член.

Решение: Изчисляваме знаменателя на геометричната прогресия въз основа на нейната дефиниция

Имаме променлива геометрична прогресия, чийто знаменател е -2. Седмият член се изчислява по формулата

На тази задача е решена.

Пример 3. Геометрична прогресия е дадена от два нейни члена . Намерете десетия член на прогресията.

Решение:

Нека запишем дадените стойности чрез формулите

Според правилата би било необходимо да се намери знаменателят и след това да се търси желаната стойност, но за десетия член имаме

Същата формула може да се получи на базата на прости манипулации с входните данни. Разделяме шестия член на поредицата с друг, като резултат получаваме

Ако получената стойност се умножи по шестия член, получаваме десетия

По този начин за такива проблеми, с помощта на прости трансформации по бърз начин, можете да намерите правилното решение.

Пример 4. Геометричната прогресия е дадена с рекурентни формули

Намерете знаменателя на геометричната прогресия и сумата от първите шест члена.

Решение:

Записваме дадените данни под формата на система от уравнения

Изразете знаменателя, като разделите второто уравнение на първото

Намерете първия член на прогресията от първото уравнение

Изчислете следните пет члена, за да намерите сбора на геометричната прогресия