N -ият корен на числото x е неотрицателно число z, което при повишаване на n -та степен се превръща в x. Определението на корена е включено в списъка на основните аритметични операции, с които се запознаваме в детството.

Математическа нотация

"Корен" идва от латинската дума radix и днес думата "радикал" се използва като синоним на този математически термин. От 13 век математиците обозначават операцията по извличане на корен с буквата r с хоризонтална лента над радикалния израз. През 16 век е въведено обозначението V, което постепенно замества знака r, но хоризонталната линия остава. Лесно е да въведете типография или ръкописно, но електронни изданияи програмирането се разпространи буквено обозначениекорен - sqrt. Ето как ще обозначим квадратните корени в тази статия.

Корен квадратен

Квадратният радикал на число х е число z, което, умножено по себе си, става x. Например, ако умножим 2 на 2, получаваме 4. Две в този случай е квадратният корен от четири. Умножете 5 по 5, получаваме 25 и сега вече знаем стойността на израза sqrt (25). Можем да умножим и - 12 по -12 и да получим 144, а радикалът 144 е и 12, и -12. Очевидно квадратните корени могат да бъдат както положителни, така и отрицателни числа.

Един вид дуализъм на такива корени е важен за решаването му квадратни уравнения, следователно, когато търсите отговори в такива проблеми, трябва да посочите и двата корена. При вземане на решение алгебрични изразисе използват аритметични квадратни корени, тоест само техните положителни стойности.

Числа, чиито квадратни корени са цели, се наричат ​​перфектни квадрати. Има цяла поредица от такива числа, чието начало изглежда така:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Квадратните корени на други числа са ирационални числа. Например sqrt (3) = 1.73205080757 ... и така нататък. Това число е безкрайно и не е периодично, което причинява известни трудности при изчисляването на такива радикали.

Математиката в гимназията гласи, че не можете да извлечете квадратни корени от отрицателни числа. Както научаваме в университетския курс по матанализа, това може и трябва да се направи - за това са необходими комплексни числа. Нашата програма обаче е предназначена да извлече реалните стойности на корените, така че не изчислява дори радикали от отрицателни числа.

Кубичен корен

Кубичният радикал на число х е число z, което, умножено по себе си три пъти, дава числото х. Например, ако умножим 2 × 2 × 2, получаваме 8. Следователно две е кубният корен от осем. Умножавайки четирите сами по себе си три пъти, получаваме 4 × 4 × 4 = 64. Очевидно четирите са кубният корен от 64. Има безкрайна последователност от числа, чиито кубични радикали са цели числа. Началото му изглежда така:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

За останалите числа корените на куба са ирационални числа. За разлика от квадратните радикали, кубичните корени, както всички нечетни корени, могат да бъдат извлечени от отрицателни числа. Всичко е за продукта на числата по -малко от нула... Минусът за минус дава плюс - правило, познато от училище. И минус за плюс - дава минус. Ако умножим отрицателните числа на нечетен брой пъти, резултатът също ще бъде отрицателен, следователно извлечете нечетния радикал от отрицателно числонищо не ни притеснява.

Програмата за калкулатор обаче работи по различен начин. По същество извличането на корен е обърната експоненция. Квадратният корен се счита за степенуване на 1/2, а кубичният корен за 1/3. Формулата за експоненциране на 1/3 може да бъде променена и изразена като 2/6. Резултатът е същият, но не можете да извлечете такъв корен от отрицателно число. По този начин нашият калкулатор изчислява само аритметични корени от положителни числа.

N -ти корен

Такъв богато украсен начин за изчисляване на радикали ви позволява да определите корени от всякаква степен от всеки израз. Можете да извлечете 5 -ти корен от куба на число или 19 -ти радикал от 12 -та степен. Всичко това е елегантно изпълнено под формата на повишаване съответно на 3/5 или 12/19.

Нека разгледаме един пример

Диагонал на квадрат

Ирационалността на диагонала на квадрат е била известна на древните гърци. Те се сблъскаха с проблема за изчисляване на диагонала на плосък квадрат, тъй като дължината му винаги е пропорционална на корена на две. Формулата за определяне на дължината на диагонала се извлича от и в крайна сметка приема формата:

d = a × sqrt (2).

Нека намерим квадратния радикал от две с нашия калкулатор. Нека въведем в клетката "Number (x)" стойността 2, а в "Power (n)" също 2. В резултат на това получаваме израза sqrt (2) = 1.4142. По този начин, за груба оценка на диагонала на квадрат, е достатъчно да се умножи неговата страна с 1.4142.

Заключение

Търсенето на радикал е стандартна аритметична операция, без която научните или проектните изчисления са незаменими. Разбира се, не е нужно да определяме корените за решаване на ежедневните проблеми, но нашият онлайн калкулатор определено ще бъде полезен за ученици или студенти, за да проверят домашните по алгебра или математически анализ.

Време е да се разглобява методи за извличане на корени... Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е валидно за всяко неотрицателно число b.

По -долу ще разгледаме на свой ред основните методи за извличане на корени.

Нека започнем с най -простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица с квадрати, таблица с кубчета и т.н.

Ако таблици с квадрати, кубчета и т.н. не е под ръка, тогава е логично да се използва методът за извличане на корена, който предполага разлагане на радикалното число на основни фактори.

Отделно си струва да се спрем на това, което е възможно за корените със странни показатели.

И накрая, нека разгледаме начин за последователно намиране на цифрите на основната стойност.

Да започваме.

Използване на таблица с квадрати, таблица с куб и т.н.

В най -простите случаи можете да използвате таблици с квадрати, кубчета и т.н., за да извлечете корени. Какви са тези таблици?

Таблицата с квадрати от цели числа от 0 до 99 включително (показана по -долу) се състои от две зони. Първата зона на таблицата е разположена на сив фон, позволява ви да създадете число от 0 до 99, като изберете конкретен ред и конкретна колона. Например, нека изберем ред 8 десетки и колона 3 единици, с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от масата. Всяка от нейните клетки се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрата на съответното число от 0 до 99. В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетки и колона 3 единици има клетка с числото 6 889, което е квадратът с числото 83.

Таблици с кубчета, таблици с четвърти степени от числа от 0 до 99 и т.н. са подобни на таблицата с квадрати, само че съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. във втората зона. съответните числа.

Таблици с квадрати, кубчета, четвърти степени и т.н. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубчета, четвърти корени и т.н. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното приложение при извличане на корени.

Да речем, че трябва да извлечем n-ти корен от числото a, докато числото a се съдържа в n-тата таблица на степента. От тази таблица намираме число b такова, че a = b n. Тогава , следователно, числото b ще е необходимия n -ти корен.

Като пример показваме как кубният корен от 19 683 се извлича с помощта на куб таблица. Намираме числото 19 683 в таблицата с кубчета, от него откриваме, че това число е кубът на числото 27, следователно, .

Ясно е, че n-тата таблица на мощността е много удобна за извличане на корени. Често обаче те не са под ръка и съставянето им изисква определено време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи трябва да прибягвате до други методи за извличане на корени.

Проста факторизация на радикално число

Доста удобен начин за извличане на корена от естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разширяването на радикалното число в основни фактори. Неговата същността е следната: след като е достатъчно лесно да се представи под формата на степен с желаната степен, която ви позволява да получите стойността на корена. Нека изясним тази точка.

Нека n -ти корен да бъде извлечен от естествено число a, а стойността му е равна на b. В този случай равенството a = b n е вярно. Числото b, както всяко естествено число, може да бъде представено като произведение на всички негови прости множители p 1, p 2, ..., pm под формата p 1 p 2 ... pm, и радикалното число a в това случай е представен като (p 1 p 2 ·… · pm) n. Тъй като разлагането на число на прости множители е уникално, разлагането на радикалното число а на прости множители ще има формата (p 1 · p 2 ·… · pm) n, което дава възможност да се изчисли стойността на корена като.

Забележете, че ако разлагането на прости фактори на радикално число a не може да бъде представено под формата (p 1 · p 2 · ... · p m) n, тогава n-тият корен на такова число a не е извлечен напълно.

Нека го разберем, когато решаваме примери.

Пример.

Вземете квадратния корен от 144.

Решение.

Ако се обърнем към таблицата с квадрати, дадена в предишния параграф, ясно се вижда, че 144 = 12 2, откъдето е ясно, че квадратният корен от 144 е 12.

Но в светлината на тази точка, ние се интересуваме от това как коренът се извлича чрез разлагане на радикалното число 144 на основни фактори. Нека анализираме това решение.

Нека разширим 144 по основни фактори:

Тоест 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Следователно, .

Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да се формулира по малко по -различен начин:.

Отговор:

За да консолидирате материала, помислете за решенията на още два примера.

Пример.

Изчислете основната стойност.

Решение.

Основното факторизиране на радикалното число 243 е 243 = 3 5. Поради това, .

Отговор:

Пример.

Основната стойност цяло число ли е?

Решение.

За да отговорим на този въпрос, нека разложим радикалното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.

Имаме 285 768 = 2 3 3 6 7 2. Полученото разлагане не се представя като куб от цяло число, тъй като степента основен фактор 7 не е кратно на три. Следователно, кубният корен от числото 285 768 не е извлечен напълно.

Отговор:

Не.

Извличане на корени от дробни числа

Време е да разберем как се извлича коренът дробно число... Нека дробното радикално число бъде записано като p / q. Според свойството на корена на частното е вярно следното равенство. Това равенство предполага корен от дроби: коренът от дроб е равен на частното от делението на корена на числителя на корена на знаменателя.

Нека разгледаме пример за извличане на корен от дроб.

Пример.

От какво е квадратният корен обикновена дроб 25/169 .

Решение.

От таблицата с квадрати откриваме, че квадратният корен на числителя на оригиналната дроб е 5, а квадратният корен на знаменателя е 13. Тогава ... Това завършва извличането на корена от обикновената фракция 25/169.

Отговор:

Коренът от десетично или смесено число се извлича след замяна на радикалните числа с обикновени дроби.

Пример.

Извлечете кубичния корен от десетична 474.552.

Решение.

Представете си оригинала десетиченкато обикновена дроб: 474.552 = 474552/1000. Тогава ... Остава да извлечем кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената дроб. Защото 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 и 1000 = 10 3, тогава и ... Остава само да завършим изчисленията .

Отговор:

.

Извличане на корена на отрицателно число

Отделно си струва да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. При изучаване на корените казахме, че когато показателят на корена е нечетно число, тогава отрицателното число може да бъде под коренния знак. Ние сме придали на тези записи следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корена 2n - 1 имаме ... Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да извлечете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.

Нека разгледаме решението на един пример.

Пример.

Намерете основната стойност.

Решение.

Преобразуваме оригиналния израз, така че под коренния знак да се появи положително число: ... Сега смесено числозамени с обикновена дроб: ... Прилагаме правилото за извличане на корен от обикновена дроб: ... Остава да се изчислят корените в числителя и знаменателя на получената дроб: .

Ето кратък запис на решението: .

Отговор:

.

Постепенно намиране на основната стойност

V общ случайпод корена е число, което не може да бъде представено като n -та степен на произволно число, използвайки техниките, обсъдени по -горе. Но в този случай е необходимо да се знае стойността на даден корен, поне с точност до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява последователно получаване достатъчностойностите на цифрите на необходимото число.

На първата стъпка от този алгоритъм трябва да разберете кой е най -значимият бит от основната стойност. За да направите това, числата 0, 10, 100, ... се повдигат последователно до степен n до момента, в който се получи число, превишаващо радикалното число. Тогава числото, което повишихме до степен n в предишната стъпка, ще покаже съответния най -значим бит.

Например, помислете за тази стъпка от алгоритъма, когато извличате корен квадратенот пет. Взимаме числата 0, 10, 100, ... и ги квадратираме, докато получим число, по -голямо от 5. Имаме 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, което означава, че най -значимият бит ще бъде мястото. Стойността на този бит, както и на по -ниските, ще бъде намерена в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.

Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно усъвършенстване на кореновата стойност поради факта, че се намират стойностите на следващите цифри на желаната коренова стойност, започвайки от най -значимите и преминавайки към най -малко значимите. Например, коренната стойност на първата стъпка е 2, на втората - 2.2, на третата - 2.23 и така нататък 2.236067977…. Нека опишем как се случва намирането на стойностите на цифрите.

Намирането на цифрите се извършва чрез изброяване на възможните им стойности 0, 1, 2,…, 9. В този случай n-тата степен на съответните числа се изчислява паралелно и се сравнява с радикалното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се прави преход към следващата стъпка от алгоритъма за извличане на корена. се случи, тогава стойността на тази цифра е 9.

Нека обясним тези точки със същия пример за извличане на квадратния корен от пет.

Първо, намираме стойността на цифрата единица. Ще повторим стойностите 0, 1, 2,…, 9, изчислявайки съответно 0 2, 1 2,…, 9 2, докато получим стойност, по -голяма от коренното число 5. Всички тези изчисления са удобно представени под формата на таблица:

Значението на цифрата на единиците е 2 (тъй като 2 2<5 , а 2 3 >5). Обръщаме се към намиране на стойността на десетата цифра. В този случай ще поставим на квадрат числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с радикалното число 5:

От 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, тогава десетичната запетая е 2. Можете да преминете към намиране на стойността на стотната цифра:

Така намерено следваща стойносткорен от пет, той е равен на 2,23. И така можете да продължите да търсите стойности допълнително: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност на стотни, като използваме разглеждания алгоритъм.

Първо, ние определяме най -значимия бит. За да направим това, ние поставяме в куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато не получим число, по -голямо от 2,151,186. Имаме 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, като по този начин най -значимата цифра е цифрата на десетките.

Нека да определим значението му.

От 103 г.<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, тогава стойността на десетичната цифра е 1. Нека преминем към единици.

По този начин стойността на единичното място е 2. Преминаваме към десетите.

Тъй като дори 12,9 3 е по -малко от радикалното число 2 151,186, стойността на десетото място е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, той ще ни даде стойността на корена с необходимата точност.

На този етап стойността на корена се намира с точност до стотни: .

В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които изучихме по -горе, са достатъчни.

Библиография.

• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клас образователни институции.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ю.П. и др. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на учебните заведения.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (ръководство за кандидати в техникуми).

Инженерен калкулатор онлайн

Бързаме да представим безплатен инженерен калкулатор на всички. С негова помощ всеки ученик може бързо и най -важното лесно да извършва различни видове математически изчисления онлайн.

Един прост и лесен за използване инженерен калкулатор с ненатрапчив и разбираем интерфейс наистина ще бъде полезен за най-широкия кръг потребители на интернет. Сега, когато имате нужда от калкулатор, посетете нашия уебсайт и използвайте безплатен инженерен калкулатор.

Инженерният калкулатор е способен да извършва както прости аритметични операции, така и доста сложни математически изчисления.

Web20calc е инженерен калкулатор, който има огромен брой функции, например как да се изчислят всички елементарни функции. Калкулаторът също така поддържа тригонометрични функции, матрици, логаритми и дори графики.

Несъмнено Web20calc ще представлява интерес за тази група хора, които в търсене на прости решения въвеждат заявка в търсачките: онлайн математически калкулатор. Безплатно уеб приложение ще ви помогне незабавно да изчислите резултата от някакъв математически израз, например да извадите, добавите, разделите, извлечете корен, повишите до степен и т.н.

В израза можете да използвате операциите на степенуване, събиране, изваждане, умножение, деление, процент, постоянен PI. За сложни изчисления използвайте скоби.

Характеристики на инженерния калкулатор:

1. основни аритметични операции;
2. работа с числа в стандартен формуляр;
3. изчисляване на тригонометрични корени, функции, логаритми, степенуване;
4. статистически изчисления: добавяне, средна аритметична стойност или стандартно отклонение;
5. прилагане на клетка памет и дефинирани от потребителя функции на 2 променливи;
6. работа с ъгли в радиани и градусови мерки.

Инженерният калкулатор ви позволява да използвате различни математически функции:

Извличане на корени (квадратен корен, кубичен и n-ти корен);
ex (e към степен x), степен;
тригонометрични функции: синус - грех, косинус - cos, допирателна - тен;
обратни тригонометрични функции: арксинус - sin -1, аркосинус - cos -1, арктангенс - tan -1;
хиперболични функции: синус - синх, косинус - кош, тангенс - тан;
логаритми: двоичен логаритъм основа два - log2x, десетичен логаритъм основа десет - лог, естествен логаритъм - ln.

Този инженерен калкулатор включва и количествен калкулатор с възможност за преобразуване на физически величини за различни измервателни системи - компютърни единици, разстояние, тегло, време и т.н. С тази функция можете незабавно да конвертирате мили в километри, паунди в килограми, секунди в часове и т.н.

За да направите математически изчисления, първо въведете поредица от математически изрази в съответното поле, след това щракнете върху знака за равенство и вижте резултата. Можете да въвеждате стойности директно от клавиатурата (за това областта на калкулатора трябва да е активна, следователно няма да е излишно да поставите курсора в полето за въвеждане). Освен всичко друго, данните могат да бъдат въведени с помощта на бутоните на самия калкулатор.

За да изградите графики в полето за въвеждане, напишете функцията, както е посочено в полето с примери, или използвайте специално проектираната лента с инструменти (за да отидете до нея, щракнете върху бутона с иконата под формата на графика). За да конвертирате стойности натиснете Unit, за да работите с матрици - Matrix.

Преди появата на калкулаторите учениците и учителите изчисляваха квадратни корени на ръка. Има няколко начина за ръчно изчисляване на квадратния корен от число. Някои от тях предлагат само приблизително решение, други дават точен отговор.

Стъпки

Основно факторизиране

Факторизирайте радикалното число, което е квадратно.В зависимост от коренния номер ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да се извлече цял квадратен корен. Факторите са числа, които при умножение дават първоначалното число. Например факторите 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратните фактори са фактори, които са квадратни числа. Първо, опитайте се да поставите квадратния номер на корена.

• Например, изчислете квадратния корен от 400 (на ръка). Първо се опитайте да квадрат 400. 400 е кратно на 100, тоест делимо на 25 - това е квадратно число. Ако разделите 400 на 25, получавате 16. 16 също е квадратно число. По този начин 400 може да се раздели на квадратни множители 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.
• Може да се запише по следния начин: √400 = √ (25 x 16).

1. Квадратният корен на произведението на някои членове е равен на произведението на квадратните корени на всеки член, тоест √ (a x b) = √a x √b. Използвайте това правило и вземете квадратния корен на всеки квадратен фактор и умножете резултатите, за да намерите отговора си.

   • В нашия пример извлечете корена на 25 и на 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ако радикалното число не се разложи на два квадратни фактора (и това се случва в повечето случаи), няма да можете да намерите точния отговор под формата на цяло число. Но можете да опростите проблема, като разпределите корена на числото в квадратен фактор и обикновен множител (число, от което целият квадратен корен не може да бъде извлечен). След това ще вземете квадратния корен от квадратния фактор и ще вземете корена от обикновения фактор.

   • Например, изчислете квадратния корен от числото 147. Числото 147 не може да бъде разделено на два квадратни множителя, но може да бъде разделено на следните фактори: 49 и 3. Решете проблема, както следва:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ако е необходимо, оценете стойността на корена.Сега можете да оцените стойността на корена (да намерите приблизителна стойност), като го сравните със стойностите на корените на квадратните числа, които са най -близо (от двете страни на числовата линия) до номера на корена. Ще получите основната стойност като десетична дроб, която трябва да се умножи по числото зад коренния знак.

   • Нека се върнем към нашия пример. Радикалното число 3. Най -близките квадратни числа към него ще бъдат числата 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Така че √3 е между 1 и 2. Тъй като √3 вероятно е по -близо до 2, отколкото до 1, нашата оценка е √3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в коренния знак: 7 x 1,7 = 11,9. Ако правите изчисленията на калкулатор, получавате 12.13, което е доста близо до нашия отговор.
     • Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за √35. Коренният номер е 35. Най -близките квадратни числа до него ще бъдат числата 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Така че √35 е между 5 и 6. Тъй като √35 е много по -близо до 6, отколкото до 5 (тъй като 35 е само 1 по -малко от 36), можем да кажем, че √35 е малко по -малко от 6. Проверяването на калкулатор ни дава отговор от 5,92 - бяхме прави.

4. Друг начин е да се факторира радикалното число в основните фактори.Простите фактори са числа, които се делят само на 1 и самите те. Запишете основните фактори подред и намерете двойки същите фактори. Такива фактори могат да бъдат взети извън коренния знак.

   • Например, изчислете квадратния корен от 45. Разлагаме радикалното число на прости множители: 45 = 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 може да бъде взето извън коренния знак: √45 = 3√5. Сега можете да оцените √5.
   • Помислете за друг пример: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Имате три множители по 2; вземете няколко от тях и ги поставете извън коренния знак.
     • = 2√ (2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можете да оцените √2 и √11 и да намерите груб отговор.

   Изчисляване на квадратния корен ръчно

   Дълго деление

   1. Този метод включва процес, подобен на дългото разделяне и дава точен отговор.Първо нарисувайте вертикална линия, разделяща листа на две половини, а след това отдясно и малко под горния ръб на листа, нарисувайте хоризонтална линия към вертикалната линия. Сега разделете радикализираното число на двойки числа, като започнете с дробната част след десетичната запетая. Така че числото 79520789182.47897 е записано като "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Например, нека изчислим квадратния корен от 780.14. Начертайте две линии (както е показано на снимката) и в горния ляв ъгъл напишете даденото число като "7 80, 14". Нормално е първата цифра отляво да е неспарена цифра. Отговорът (коренът на даденото число) ще бъде написан в горния десен ъгъл.

   2. За първата двойка числа (или едно число) вляво намерете най -голямото цяло число n, чийто квадрат е по -малък или равен на въпросната двойка числа (или едно число). С други думи, намерете квадратното число, което е най -близко до, но по -малко от първата двойка числа (или едно число) вляво, и извлечете квадратния корен от това квадратно число; получавате числото n. Напишете намереното n горе вдясно и квадрат n в долния десен ъгъл.

      • В нашия случай първото число вляво ще бъде числото 7. Следващо, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Извадете квадрата на числото, което току -що открихте, от първата двойка числа вляво (или едно число).Напишете резултата от изчислението под изваденото (квадратът на числото n).

      • В нашия пример извадете 4 от 7, за да получите 3.

   4. Издърпайте втората двойка числа и я запишете близо до стойността, получена в предишната стъпка.След това удвоете номера от горния десен ъгъл и запишете резултата от долния десен ъгъл с добавката "_ × _ =".

      • В нашия пример втората двойка числа е "80". Напишете "80" след 3. След това удвоете числото горе вдясно дава 4. Напишете "4_ × _ =" долу вдясно.

   5. Попълнете тиретата вдясно.

      • В нашия случай, ако вместо тирета поставим числото 8, тогава 48 x 8 = 384, което е повече от 380. Следователно 8 е твърде голямо число, но 7 ще стане. Напишете 7 вместо тирета и получете: 47 x 7 = 329. Напишете 7 от горния десен ъгъл - това е втората цифра в необходимия квадратен корен от 780.14.

   6. Извадете полученото число от текущото число вляво.Запишете резултата от предишната стъпка под текущия номер вляво, намерете разликата и я запишете под извадената.

      • В нашия пример извадете 329 от 380, което е 51.

   7. Повторете стъпка 4.Ако съборената двойка числа е дробната част от първоначалното число, поставете разделителя (запетая) на целочислените и дробните части в желания квадратен корен от горния десен ъгъл. Вляво плъзнете надолу следващата двойка числа. Удвоете числото горе вдясно и запишете резултата си долу вдясно с добавено „_ × _ =“.

      • В нашия пример следващата двойка числа, която ще бъде разрушена, ще бъде дробната част от числото 780.14, така че поставете разделителя на целочислените и дробните части в желания квадратен корен горе вдясно. Свалете 14 и запишете долу вляво. Удвоеното число горе вдясно (27) е 54, затова напишете „54_ × _ =“ долу вдясно.

   8. Повторете стъпки 5 и 6.Намерете такова най -голямо число на мястото на тиретата вдясно (вместо тирета, трябва да замените същото число), така че резултатът от умножението да е по -малък или равен на текущото число вляво.

      • В нашия пример 549 x 9 = 4941, което е по -малко от текущото число вляво (5114). Напишете 9 горе вдясно и извадете умножението от текущото число вляво: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако трябва да намерите повече десетични знаци за квадратния корен, напишете няколко нули при текущото число вляво и повторете стъпки 4, 5 и 6. Повторете стъпките, докато получите желаната точност (броят на десетичните знаци ).

   Разбиране на процеса

   За да овладеете този метод, представете си числото, чийто квадратен корен искате да намерите като площ на квадрат S. В този случай ще търсите дължината на страната L на такъв квадрат. Изчисляваме стойността на L, за която L² = S.

   Дайте буква за всяка цифра в отговора.Нека обозначим с A първата цифра в стойността на L (необходимия квадратен корен). B ще бъде втората цифра, C ще бъде третата и т.н.

   Посочете буква за всяка двойка първи цифри.Нека обозначим с S a първата двойка цифри в стойността на S, със S b - втората двойка цифри и т.н.

   Разберете връзката между този метод и дългото разделение.Както при операцията на разделяне, където всеки път се интересуваме само от една следваща цифра от числото, което трябва да бъде разделено, при изчисляване на квадратния корен, ние работим последователно с чифт цифри (за да получим една следваща цифра в стойността на корен квадратен).

   1. Помислете за първата двойка цифри Sa на числото S (Sa = 7 в нашия пример) и намерете квадратния му корен.В този случай първата цифра A от желаната стойност на квадратен корен ще бъде такава цифра, чийто квадрат е по -малък или равен на S a (тоест търсим A A, така че неравенството A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Да речем, че искате да разделите 88962 на 7; тук първата стъпка ще бъде подобна: разглеждаме първата цифра на дивидентното число 88962 (8) и избираме най -голямото число, което, умножено по 7, дава стойност по -малка или равна на 8. Тоест ние търсим число d, за което неравенството е вярно: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Представете си квадрат, чиято площ трябва да изчислите.Търсите L, тоест дължината на страната на квадрат, чиято площ е S. A, B, C са цифри в числото L. Можете да го напишете по различен начин: 10A + B = L (за две цифрено число) или 100A + 10B + C = L (за трицифрено число) и т.н.

      • Нека бъде (10A + B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²... Не забравяйте, че 10A + B е число, където B означава единици, а A означава десетки. Например, ако A = 1 и B = 2, тогава 10A + B е равно на 12. (10A + B) ²е площта на целия квадрат, 100А²- площта на големия вътрешен квадрат, B²- площта на малкия вътрешен квадрат, 10A × Bе площта на всеки от двата правоъгълника. Като добавите областите на описаните форми, ще намерите площта на оригиналния квадрат.

Инструкции

За да повишите число до степен 1/3, въведете това число, след това щракнете върху бутона за степенуване и въведете приблизителната стойност на числото 1/3 - 0,333. Тази точност е достатъчна за повечето изчисления. Точността на изчисленията обаче е много лесна за подобряване - просто добавете толкова тройки, колкото може да се побере на индикатора на калкулатора (например 0,33333333333333333). След това натиснете бутона "=".

За да изчислите корена на третата степен чрез вашия компютър, стартирайте програмата за калкулатор на Windows. Процедурата за изчисляване на корена на третата степен е напълно подобна на описаната по -горе. Единствената разлика е в дизайна на бутона за степенуване. Той е означен като „x ^ y“ на виртуалната клавиатура на калкулатора.

Коренът на третата степен може да се изчисли и в MS Excel. За да направите това, въведете "=" във всяка клетка и изберете иконата "вмъкване" (fx). Изберете функцията „DEGREE“ в прозореца, който се показва и натиснете бутона „OK“. В прозореца, който се показва, въведете стойността на номера, за който искате да изчислите корена на третата степен. В "Степен" въведете числото "1/3". Наберете номера 1/3 в тази форма - както обикновено. След това щракнете върху бутона „OK“. Коренът на куба от дадения номер ще се появи в клетката на таблицата, където е създаден.

Ако коренът на третата степен трябва да се изчислява постоянно, след това леко подобрете описания по -горе метод. Като номер, от който искате да извлечете корена, посочете не самия номер, а клетката на таблицата. След това всеки път въвеждайте първоначалния номер в тази клетка - нейният куб корен ще се появи в клетката с формулата.

Подобни видеа

Забележка

Заключение. В тази статия бяха разгледани различни методи за изчисляване на стойностите на кубния корен. Оказа се, че стойностите на кубния корен могат да бъдат намерени с помощта на метода на итерацията, можете също да приближите кубичния корен, да повишите число до степен 1/3, да потърсите стойностите на корена на трета мощност, използваща Microsoft Office Ecxel, определяща формули в клетки.

Полезен съвет

Корените от втора и трета степен се използват особено често и затова имат специални имена. Квадратен корен: В този случай степента обикновено се пропуска, а терминът „корен“, без да се посочва степента, най -често предполага квадратния корен. Практическо изчисляване на корените Алгоритъм за намиране на корена на n -та степен. Квадратните и кубичните корени обикновено се срещат във всички калкулатори.

Източници:

• трети корен
• Как да извлечете квадратен корен към N мощност в Excel

Операцията за намиране на корена трето степенобикновено се нарича извличане на корена "куб", но той се състои в намирането на такова реално число, чийто куб ще даде стойност, равна на номера на корена. Операцията за извличане на аритметичния корен на всеки степен n е еквивалентно на степенуване 1 / n. Има няколко начина за изчисляване на куб корен на практика.