Преминавайки към изучаването на следващото действие с десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно десетично умножение... Нека първо да обсъдим основни принципи умножение на десетични дроби. След това ще преминем към умножаване на десетична дроб с десетична дроб, ще покажем как се извършва умножението на десетични дроби по колона, разгледаме решенията на примери. След това ще анализираме умножението на десетичните дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. В заключение нека поговорим за умножаване на десетичните дроби по дроби и смесени числа.

Нека веднага кажем, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение на рационални числа и умножение на реални числа.

Навигация по страници.

Общи принципи на умножаване на десетичните дроби

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при извършване на умножение с десетични дроби.

Тъй като крайните десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на запис на обикновени дроби, умножението на такива десетични дроби е по същество умножение на обикновени дроби. С други думи, умножение на крайни десетични дроби, умножение на крайни и периодични десетични дроби, и умножение на периодични десетични дроби се свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетичните дроби в обикновени.

Нека разгледаме примери за използване на звучащия принцип на умножаване на десетични дроби.

Пример.

Извършете десетично умножение 1,5 и 0,75.

Решение.

Заменете десетичните дроби, които трябва да се умножават, със съответните общи дроби. Тъй като 1,5 \u003d 15/10 и 0,75 \u003d 75/100, тогава. Можете да намалите фракцията, след това да изберете цялата част от неправилната фракция и по-удобно получената обща фракция 1 125/1000 пишете като десетична дроб 1.125.

Отговор:

1,5 0,75 \u003d 1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайни десетични дроби в колона, ще говорим за този метод за умножаване на десетични дроби в.

Нека разгледаме пример за умножаване на периодични десетични дроби.

Пример.

Изчислете произведението на периодичните десетични дроби 0, (3) и 2, (36).

Решение.

Нека преведем периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:

Отговор:

0, (3) 2, (36) \u003d 0, (78).

Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични дроби, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числа) и след това умножете крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Пример.

Извършете десетичното умножение 5.382 ... и 0.2.

Решение.

Първо, закръглете безкрайна непериодична десетична дроб, закръгляването може да се направи до стотни, имаме 5.382 ... ≈5.38. Няма нужда да закръгляте крайния десетичен знак от 0,2 до стотни. По този начин, 5,382 ... · 0,2≈5,38 · 0,2. Остава да се изчисли произведението на крайните десетични дроби: 5,38 · 0,2 \u003d 538/100 · 2/10 \u003d 1,076 / 1000 \u003d 1,076.

Отговор:

5,382 ... · 0,2≈1,076.

Десетично умножение на колона

Умножението на крайни десетични дроби може да се извърши колонно, подобно на колонно умножение на естествени числа.

Нека формулираме правило за десетично умножение на колона... За да умножите десетични дроби с колона, трябва:

• пренебрегвайки запетаите, извършете умножение по всички правила за умножение с колона от естествени числа;
• в полученото число отделете толкова цифри отдясно с десетична запетая, колкото десетични знаци има и в двата фактора заедно и ако в продукта няма достатъчно цифри, тогава вляво трябва да добавите точната сума нули.

Нека разгледаме примери за умножаване на десетични дроби с колона.

Пример.

Умножете десетичните дроби 63,37 и 0,12.

Решение.

Нека извършим умножение на десетични дроби по колона. Първо умножаваме числата, игнорирайки запетаите:

Остава да поставите запетая в получения продукт. Тя трябва да отдели 4 цифри отдясно, тъй като факторите се събират до четири знака след десетичната запетая (две в дроб 3.37 и две в дроб 0,12). Има достатъчно числа, така че няма нужда да добавяте нули вляво. Нека завършим записа:

В резултат имаме 3,37 0,12 \u003d 7,6044.

Отговор:

3,37 * 0,12 \u003d 7,6044.

Пример.

Изчислете произведението на десетичните дроби 3.2601 и 0.0254.

Решение.

След като извършихме умножение с колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:

Сега в продукта трябва да разделите 8-те цифри вдясно със запетая, тъй като общият брой на десетичните знаци на умножените дроби е осем. Но в продукта има само 7 цифри, следователно трябва да присвоите толкова много нули вляво, за да можете да отделите 8 цифри със запетая. В нашия случай трябва да присвоите две нули:

Това завършва умножението на десетични дроби по колона.

Отговор:

3,2601 0,0254 \u003d 0,08280654.

Десетично умножение с 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножавате десетичните дроби по 0,1, 0,01 и т.н. Поради това е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетична дроб по тези числа, което следва от принципите за умножаване на десетичните дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на дадената десетична дроб по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н. дава дроб, която се получава от оригинала, ако при въвеждането й запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и така нататък цифри, докато ако няма достатъчно цифри за носене на запетая, тогава имате нужда за да добавите необходимия брой нули вляво.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите запетаята наляво по 1 цифра във фракцията 54,34 и ще получите дроб 5,434, т.е. 54,34 · 0,1 \u003d 5,434. Нека дадем още един пример. Умножете десетичната 9,3 по 0,0001. За да направим това, трябва да преместим запетая 4 цифри наляво в десетичната дроб 9.3, за да бъде умножена, но фракцията 9.3 не съдържа толкова много цифри. Следователно трябва да присвоим толкова много нули във фракцията 9.3 вляво, за да можем лесно да извършим прехвърлянето на запетая с 4 цифри, имаме 9,3 · 0,0001 \u003d 0,00093.

Обърнете внимание, че гласовото правило за умножаване на десетична дроб с 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0, (18) · 0,01 \u003d 0,00 (18) или 93,938 ... · 0,1 \u003d 9,3938….

Десетично умножение с естествено число

В основата си десетично умножение по естествени числа не се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен.

Най-удобно е крайната десетична дроб да се умножи по естествено число в колона, докато трябва да се придържате към правилата за умножение с колона от десетични дроби, обсъдени в един от предишните параграфи.

Пример.

Изчислете произведението 15 · 2.27.

Решение.

Нека умножим естествено число по десетична дроб в колона:

Отговор:

15 2,27 \u003d 34,05.

Когато умножавате периодична десетична дроб с естествено число, заменете периодичната дроб с обикновена дроб.

Пример.

Умножете десетичната 0, (42) по естественото число 22.

Решение.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението :. Този резултат в десетична форма е 9, (3).

Отговор:

0, (42) 22 \u003d 9, (3).

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб по естествено число, първо трябва да закръглите.

Пример.

Извършете умножение 4 · 2.145….

Решение.

След като закръглихме първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни, стигаме до умножението на естествено число и краен десетичен дроб. Имаме 4 · 2.145 ... ≈4 · 2.15 \u003d 8.60.

Отговор:

4 · 2,145 ... ≈ 8,60.

Десетично умножение по 10, 100, ...

Доста често трябва да умножавате десетичните дроби по 10, 100, ... Затова е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Ще озвучим правилото за умножаване на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н. Когато умножавате десетична дроб с 10, 100, ... в нейната нотация, трябва да преместите запетаята надясно съответно с 1, 2, 3, ... числа и да изхвърлите допълнителните нули вляво; ако в записа на умножената фракция няма достатъчно цифри за носене на запетая, трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Пример.

Умножете десетичната 0,0783 по 100.

Решение.

Преместете фракцията 0,0783 с две цифри надясно в записа и получаваме 007,83. Пускайки две нули отляво, получаваме десетичната дроб 7.38. По този начин 0,0783 100 \u003d 7,83.

Отговор:

0,0783 100 \u003d 7,83.

Пример.

Умножете десетичната 0,02 по 10 000.

Решение.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим запетая с 4 цифри надясно. Очевидно фракцията 0,02 няма достатъчно цифри, за да прехвърли запетая на 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да можем да прехвърлим запетая. В нашия пример е достатъчно да добавим три нули, имаме 0,02000. След преместване на запетая получаваме записа 00200.0. Изхвърляйки нулите вляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

В тази статия ще разгледаме такова действие като умножаване на десетични дроби. Нека започнем с формулирането на общи принципи, след това ще покажем как да умножаваме една десетична дроб по друга и да разгледаме метода на умножаване на колони. Всички дефиниции ще бъдат илюстрирани с примери. След това ще анализираме как правилно да умножаваме десетичните дроби по обикновени, както и по смесени и естествени числа (включително 100, 10 и т.н.)

В рамките на този материал ще засегнем само правилата за умножаване на положителни фракции. Случаите с отрицателни са разгледани отделно в статии за умножаването на рационални и реални числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нека формулираме общите принципи, които трябва да се спазват при решаване на задачи за умножението на десетични дроби.

Нека запомним за начало, че десетичните дроби не са нищо повече от специална форма на писане на обикновени дроби, следователно процесът на тяхното умножение може да бъде сведен до същия за обикновените дроби. Това правило работи както за крайни, така и за безкрайни дроби: след превръщането им в обикновени е лесно да се извърши умножение с тях според правилата, които вече сме изучавали.

Нека да видим как се решават такива задачи.

Пример 1

Изчислете произведението на 1, 5 и 0,75.

Решение: първо, нека заменим десетичните дроби с обикновени. Знаем, че 0,75 е 75/100 и 1,5 е 15 10. Можем да отменим фракцията и да изберем цялата част. Ще запишем получения резултат 125 1000 като 1, 125.

Отговор: 1 , 125 .

Можем да използваме метода за броене на колони, както правим за естествените числа.

Пример 2

Умножете едната периодична дроб 0, (3) с другата 2, (36).

Като начало нека да доведем оригиналните дроби до обикновените. Ще получим:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Следователно 0, (3) 2, (36) \u003d 1 3 26 11 \u003d 26 33.

Получената обикновена дроб може да бъде намалена до десетична форма чрез разделяне на числителя на знаменателя в колона:

Отговор: 0, (3) 2, (36) \u003d 0, (78).

Ако имаме безкрайни непериодични дроби в постановката на проблема, тогава трябва да ги закръглим предварително (вижте статията за закръгляване на числата, ако сте забравили как да направите това). След това можете да извършите действието за умножение с вече закръглени десетични дроби. Нека дадем пример.

Пример 3

Изчислете произведението на 5, 382 ... и 0, 2.

Решение

В нашия проблем има безкрайна част, която първо трябва да бъде закръглена до най-близката стотна. Оказва се, че 5, 382 ... ≈ 5, 38. Вторият фактор няма смисъл да се закръгля до стотни. Сега можете да изчислите желания продукт и да запишете отговора: 5, 38 · 0, 2 \u003d 538 100 · 2 10 \u003d 1 076 1000 \u003d 1, 076.

Отговор: 5, 382 ... · 0, 2 ≈ 1, 076.

Методът за броене на колони може да се използва не само за естествени числа. Ако имаме десетични знаци, можем да ги умножим по абсолютно същия начин. Нека изведем правилото:

Определение 1

Умножението на десетични дроби с колона се извършва в 2 стъпки:

1. Извършваме умножение по колона, като не обръщаме внимание на запетаите.

2. Поставяме десетична точка в крайното число, разделяйки го толкова цифри от дясната страна, тъй като и двата фактора съдържат десетични знаци заедно. Ако в резултат няма достатъчно числа за това, добавете нули вляво.

Нека разгледаме примери за такива изчисления на практика.

Пример 4

Умножете десетични числа 63, 37 и 0, 12 в колона.

Решение

Първата стъпка е да се направи умножението на числата, като се игнорират десетичните точки.

Сега трябва да поставим запетая на правилното място. Той ще отдели четирите цифри от дясната страна, тъй като сумата от десетичните знаци и в двата фактора е 4. Не е нужно да добавяте нули, защото достатъчно признаци:

Отговор: 3,37 0,12 \u003d 7,5044.

Пример 5

Изчислете колко 3.2601 се умножава по 0.0254.

Решение

Ние броим, без да зачитаме запетаи. Получаваме следното число:

Ще поставим запетая, разделяща 8 цифри от дясната страна, защото оригиналните дроби заедно имат 8 знака след десетичната запетая. Но нашият резултат има само седем цифри и не можем да направим без допълнителни нули:

Отговор: 3.601 0 .0254 \u003d 0. 08280654.

Как да умножим десетичен знак по 0,001, 0,01, 01 и т.н.

Десетичните знаци често се умножават по такива числа, така че е важно да можете да го направите бързо и точно. Нека запишем специално правило, което ще използваме при това умножение:

Определение 2

Ако умножим десетичната дроб по 0, 1, 0, 01 и т.н., ще получим число, подобно на оригиналната дроб, със запетая, изместена наляво с необходимия брой цифри. Ако няма достатъчно номера за прехвърляне, трябва да добавите нули вляво.

Така че, за да умножите 45, 34 по 0, 1, трябва да преместите запетаята в оригиналната десетична дроб с една цифра. В крайна сметка получаваме 4,534.

Пример 6

Умножете 9,4 по 0,0001.

Решение

Ще трябва да преместим запетая с четири десетични знака според броя на нулите във втория фактор, но числата в първия няма да са достатъчни за това. Присвояваме нужните нули и получаваме, че 9,4 · 0, 0001 \u003d 0, 00094.

Отговор: 0 , 00094 .

За безкрайни десетични дроби използваме същото правило. Така например, 0, (18) · 0, 01 \u003d 0, 00 (18) или 94, 938 ... · 0, 1 \u003d 9, 4938…. и т.н.

Процесът на такова умножение не се различава от действието на умножаване на две десетични дроби. Удобно е да се използва методът за умножение на колони, ако в инструкцията за задача има крайна десетична дроб. В този случай е необходимо да се вземат предвид всички онези правила, за които говорихме в предишния параграф.

Пример 7

Изчислете колко е 15 2, 27.

Решение

Умножете оригиналните числа с колона и отделете двата знака след десетичната запетая.

Отговор: 15 2, 27 \u003d 34, 05.

Ако изпълняваме умножението на периодична десетична дроб с естествено число, първо трябва да сменим десетичната дроб на обикновена.

Пример 8

Изчислете произведението на 0, (42) и 22.

Нека доведем периодичната дроб до обикновената форма.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 \u003d 14 33 22 \u003d 14 22 3 \u003d 28 3 \u003d 9 1 3

Крайният резултат може да бъде записан като периодична десетична дроб като 9, (3).

Отговор: 0, (42) 22 \u003d 9, (3).

Безкрайните дроби трябва да бъдат закръглени преди изчислението.

Пример 9

Изчислете колко ще бъде 4 · 2, 145 ....

Решение

Нека закръглим първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни. След това стигаме до умножението на естествено число и краен десетичен дроб:

4 · 2, 145 ... ≈ 4 · 2, 15 \u003d 8, 60.

Отговор: 4 · 2, 145 ... ≈ 8, 60.

Как да умножим десетичната запетая по 1000, 100, 10 и т.н.

Умножение на десетична дроб с 10, 100 и т.н. често се среща при проблеми, така че ще анализираме този случай отделно. Основното правило за умножение е:

Определение 3

За да умножите десетична дроб по 1000, 100, 10 и т.н., трябва да преместите запетаята му с 3, 2, 1 цифри в зависимост от множителя и да изхвърлите допълнителните нули вляво. Ако няма достатъчно цифри за носене на запетая, добавете толкова нули вдясно, колкото ни е необходимо.

Нека да покажем с пример как се прави това.

Пример 10

Умножете 100 и 0,0783.

Решение

За да направите това, трябва да преместим десетичната точка с 2 цифри в дясната страна. В крайна сметка получаваме 007, 83 Нулите вляво могат да бъдат изхвърлени и резултатът е записан като 7, 38.

Отговор: 0,0783 100 \u003d 7,83.

Пример 11

Умножете 0,02 по 10 хиляди.

Решение: ще преместим запетая с четири цифри надясно. В оригиналната десетична дроб нямаме достатъчно цифри за това, затова трябва да добавим нули. В този случай са достатъчни три 0. В резултат на това се оказа 0, 02000, премести запетая и получи 00200, 0. Пренебрегвайки нулите вляво, можем да запишем отговора като 200.

Отговор: 0,02 10 000 \u003d 200.

Правилото, което дадохме, ще работи по същия начин в случай на безкрайни десетични дроби, но тук трябва да бъдете много внимателни относно периода на крайния дроб, тъй като е лесно да се допусне грешка в него.

Пример 12

Изчислете произведението от 5, 32 (672) по 1000.

Решение: на първо място, ще запишем периодичната дроб като 5, 32672672672 ..., така че вероятността за грешка ще бъде по-малка. След това можем да прехвърлим запетая към необходимия брой знаци (три). В резултат получаваме 5326, 726726 ... Поставете периода в скоби и запишете отговора като 5 326, (726).

Отговор: 5, 32 (672) 1000 \u003d 5 326, (726).

Ако в условията на задачата има безкрайни непериодични дроби, които трябва да се умножат по десет, сто, хиляда и т.н., не забравяйте да ги закръглите, преди да се умножат.

За да извършите този тип умножение, трябва да представите десетичната дроб под формата на обикновена дроб и след това да продължите според вече познатите правила.

Пример 13

Умножете 0,4 по 3 5 6

Решение

Първо, нека преобразуваме десетичния знак в обща дроб. Имаме: 0, 4 \u003d 4 10 \u003d 2 5.

Получихме отговор със смесен номер. Можете да го запишете като периодична дроб 1, 5 (3).

Отговор: 1 , 5 (3) .

Ако в изчислението участва безкрайна непериодична дроб, трябва да я закръглите до определена цифра и едва след това да умножите.

Пример 14

Изчислете произведението 3, 5678. ... ... · 2 3

Решение

Можем да представим втория фактор като 2 3 \u003d 0, 6666…. След това нека закръглим и двата фактора до хилядното място. След това ще трябва да изчислим произведението на две последни десетични дроби 3, 568 и 0, 667. Нека преброим в колона и получим отговора:

Крайният резултат трябва да бъде закръглен до хилядни, тъй като до тази цифра закръглихме първоначалните числа. Получаваме, че 2.379856 ≈ 2.380.

Отговор: 3, 5678. ... ... 2 3 ≈ 2, 380

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Десетичната дроб се използва, когато трябва да извършите действия с нецели числа. Това може да изглежда ирационално. Но този вид числа значително улеснява математическите операции, които трябва да се извършват с тях. Това разбиране идва с времето, когато тяхното писане става познато и четенето не е трудно и правилата на десетичните дроби са усвоени. Нещо повече, всички действия се повтарят вече познати, които се овладяват с естествени числа. Просто трябва да запомните някои функции.

Десетична дефиниция

Десетичната дроб е специално представяне на нецело число с знаменател, което се дели на 10, а отговорът се получава като един и евентуално нули. С други думи, ако знаменателят е 10, 100, 1000 и така нататък, тогава е по-удобно да пренапишете числото с помощта на запетая. Тогава цялата част ще бъде разположена преди нея, а след това и дробната част. Освен това записът на втората половина на числото ще зависи от знаменателя. Броят на цифрите, които са в дробната част, трябва да бъде равен на мястото на знаменателя.

Горното може да се илюстрира с тези цифри:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причини, поради които трябва да използвате десетични дроби

Математиците се нуждаеха от десетични знаци по няколко причини:

Опростяване на записа. Такава дроб се намира по протежение на една линия, без тире между знаменателя и числителя, докато яснотата не страда.

Простота в сравнение. Достатъчно е просто да се съпоставят числата, които се намират в едни и същи позиции, докато при обикновените дроби би било необходимо да ги доведем до общ знаменател.

Опростяване на изчисленията.

Калкулаторите не са предназначени за въвеждане на обикновени дроби, те използват десетична нотация за всички операции.

Как да чета правилно тези числа?

Отговорът е прост: точно като обикновено смесено число със знаменател, кратно на 10. Единственото изключение са дроби без целочислена стойност, тогава при четене трябва да произнесете „нула цели числа“.

Например 45/1000 трябва да се произнася като четиридесет и пет хилядни, в същото време 0.045 би звучало така нулева точка четиридесет и пет хилядни.

Смесен номер с цяла част равна на 7 и фракцията 17/100, която ще бъде записана като 7.17, и в двата случая ще се чете като седем точка седемнадесет стотни.

Ролята на цифрите при писане на дроби

За да маркирате правилно ранга, математикът изисква. Десетичните дроби и тяхното значение могат да се променят значително, ако напишете числото на грешното място. Това обаче беше вярно и преди.

За да прочетете цифрите на целочислената част на десетична дроб, трябва просто да използвате правилата, известни за естествените числа. А от дясната страна те са огледални и се четат по различен начин. Ако цялата част звучеше „десетки“, то след запетаята ще бъде „десети“.

Това може да се види ясно в тази таблица.

Какъв е правилният начин за записване на смесено число като десетична дроб?

Ако знаменателят съдържа число, равно на 10 или 100, и други, тогава въпросът за това как да преобразуваме фракцията в десетична не е труден. За това е достатъчно да се пренапишат всички съставни части по различен начин. Следните точки ще помогнат за това:

напишете числителя на фракцията малко настрана, в този момент десетичната точка се намира вдясно, след последната цифра;

преместете запетая наляво, най-важното тук е да преброите правилно числата - трябва да го преместите с толкова позиции, колкото са нулите в знаменателя;

ако няма достатъчно от тях, тогава нулите трябва да се появят на празни позиции;

нулите, които бяха в края на числителя, вече не са необходими и могат да бъдат зачеркнати;

пред запетаята задайте цяла част, ако я нямаше, тогава тук също ще има нула.

Внимание. Не можете да зачеркнете нули, които са заобиколени от други числа.

Можете да прочетете за това как да бъдете в ситуация, когато знаменателят съдържа не само единици и нули, как да конвертирате една дроб в десетична, можете да прочетете по-долу. то важна информацияс които определено трябва да се запознаете.

Как да преобразуваме дроб в десетичен, ако знаменателят е произволно число?

Тук са възможни две опции:

Когато знаменателят може да бъде представен като число, което е десет на всяка степен.

Ако такава операция не може да се направи.

Как мога да проверя това? Трябва да разделим знаменателя. Ако в продукта има само 2 и 5, тогава всичко е наред и фракцията лесно се преобразува в последния десетичен знак. В противен случай, ако се появят 3, 7 и други прости числа, резултатът ще бъде безкраен. Такава десетична дроб за по-лесна употреба в математически операции обичайно е да се закръгляват. Това ще бъде обсъдено малко по-долу.

Изучаване как се получават такива десетични дроби, степен 5. Примерите тук ще бъдат много полезни.

Нека знаменателите съдържат числата: 40, 24 и 75. Разлагане на основни фактори за тях ще бъде така:

• 40 \u003d 2 2 2 5;
• 24 \u003d 2 2 2 3;
• 75 \u003d 5 5 3.

В тези примери само първата фракция може да бъде финализирана.

Алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в краен десетичен знак

Проверете основната факторизация на знаменателя и се уверете, че се състои от 2 и 5.

Добавете към тези числа колкото 2 и 5, за да станат равни. Те ще дадат стойността на допълнителния множител.

Умножете знаменателя и числителя по това число. Резултатът ще бъде обикновена дроб, под линията, която има 10 до известна степен.

Ако при проблем тези действия се извършват със смесено число, то първо трябва да бъде представено като неправилна дроб. И едва след това продължете според описания сценарий.

Закръглено десетично представяне на дроб

Този начин за преобразуване на дроб в десетична ще изглежда на някой още по-лесен. Защото няма много действие. Просто трябва да разделите стойността на числителя на знаменателя.

Всяко число с десетична част вдясно от десетичната запетая може да получи безкраен брой нули. Това свойство трябва да се използва.

Първо запишете цялата част, последвана от запетая. Ако дробът е правилен, тогава напишете нула.

Тогава се предполага да се извърши разделяне на числителя на знаменателя. За да имат еднакъв брой цифри. Тоест, задайте необходимия брой нули вдясно от числителя.

Извършвайте дълго разделяне, докато въведете необходимия брой цифри. Например, ако трябва да закръглите до стотни, тогава отговорът трябва да съдържа 3. Като цяло трябва да има още една цифра, отколкото трябва да получите накрая.

Запишете междинния отговор след запетая и закръглете според правилата. Ако последната цифра е от 0 до 4, тогава просто трябва да я изхвърлите. И когато е 5-9, тогава този пред него трябва да се увеличи с един, като се изпусне последният.

Обратно от десетичната към дробната

В математиката има проблеми, когато е по-удобно да се представят десетични дроби под формата на обикновени дроби, в които има числител със знаменател. Можете да си въздъхнете с облекчение: тази операция винаги е възможна.

За тази процедура трябва да направите следното:

запишете цялата част, ако тя е равна на нула, тогава не е нужно да пишете нищо;

начертайте дробна линия;

запишете числата от дясната страна над него, ако нулите са на първо място, тогава те трябва да бъдат зачеркнати;

под реда напишете единица с толкова нули, колкото е броят на цифрите след десетичната запетая в началната дроб.

Това е всичко, което трябва да направите, за да преобразувате десетична за дроб.

Какво можете да правите с десетични дроби?

В математиката това ще бъдат определени действия с десетични дроби, които преди са били изпълнявани за други числа.

Те са:

сравнение;

събиране и изваждане;

умножение и деление.

Първото действие, сравнението, е подобно на това, което е направено за естествени числа. За да определите кое е по-голямо, трябва да сравните цифрите на целочислената част. Ако се окажат равни, отидете на дробни и ги сравнете по същия начин. Числото, където е намерена най-голямата цифра в най-значимата цифра, ще бъде отговорът.

Добавяне и изваждане на десетични дроби

Това е може би най-много прости действия... Тъй като те се изпълняват според правилата за естествените числа.



Така че, за да се извърши добавянето на десетични дроби, те трябва да бъдат написани един под друг, поставяйки запетаите в колона. С тази нотация цели части се появяват вляво от запетаите, а частични части вдясно. И сега трябва да добавяте числата малко по малко, както се прави с естествени числа, като пускате запетая надолу. Трябва да започнете събирането с най-малката цифра от дробната част на числото. Ако в дясната половина няма достатъчно цифри, тогава се добавят нули.

Същото се отнася и за изваждането. И тук има правило, което описва възможността за заемане на такъв от най-значимия бит. Ако след намалената дроб има по-малко цифри след десетичната запетая, отколкото в извадената дроб, тогава в нея просто се присвояват нули.

Ситуацията е малко по-сложна със задачи, при които трябва да извършите умножение и деление на десетични дроби.

Как да умножим десетичното в различни примери?

Правилото, по което десетичните дроби се умножават по естествено число, е следното:

записвайте ги в колона, без да обръщате внимание на запетая;

умножете, сякаш са естествени;

отделете толкова цифри със запетая, колкото са били в дробната част на оригиналния номер.

Специален случай е пример, в който естествено число е равно на 10 на всяка степен. След това, за да получите отговор, просто трябва да преместите запетая надясно с толкова позиции, колкото са нулите в друг фактор. С други думи, когато се умножава по 10, запетаята се измества с една цифра, със 100 - вече ще има две и т.н. Ако в дробната част няма достатъчно цифри, тогава трябва да напишете нули в празни позиции.

Правилото, което се използва, когато задачата трябва да умножи десетичните дроби с друго същото число:

записвайте ги един под друг, игнорирайки запетаите;

умножават, сякаш са естествени;

отделете толкова цифри със запетая, колкото е имало във дробните части на двете оригинални фракции заедно.

Примерите са подчертани като специален случай, в който един от факторите е 0,1 или 0,01 и т.н. В тях трябва да преместите запетаята наляво по броя на цифрите в представените множители. Тоест, ако се умножи по 0,1, тогава запетаята се измества с една позиция.

Как да разделя десетичен знак при различни задачи?

Делението на десетичните дроби на естествено число се извършва съгласно следното правило:

запишете ги за дълго разделяне, сякаш са естествени;

разделя се според обичайното правило, докато цялата част завърши;

поставете запетая в отговор;

продължете да разделяте дробния компонент, докато остатъкът е нула;

ако е необходимо, можете да зададете необходимия брой нули.

Ако целочислената част е равна на нула, тогава тя също няма да бъде в отговора.

Отделно има разделяне на числа, равни на десет, сто и т.н. При такива проблеми трябва да преместите запетаята наляво по броя на нулите в делителя. Случва се да няма достатъчно цифри в цялата част, вместо това се използват нули. Може да забележите, че тази операция е подобна на умножаването по 0,1 и подобни числа.

За да извършите десетично деление, трябва да използвате това правило:

превърнете делителя в естествено число и за това преместете запетаята в него надясно до края;

преместване на запетая и в делимо със същия брой цифри;

продължете според предишния сценарий.

Деление на 0,1 е подчертано; 0,01 и други подобни числа. В тези примери запетая се измества надясно с броя на десетичните цифри. Ако те са приключили, тогава трябва да присвоите липсващия брой нули. Трябва да се отбележи, че това действие повтаря деление на 10 и подобни числа.



Заключение: всичко е свързано с практиката

Нищо в ученето не идва лесно или без усилия. Отнема време и практика, за да усвоите надеждно новия материал. Математиката не прави изключение.

За да може темата за десетичните дроби да не създава трудности, трябва да решите колкото се може повече примери с тях. В крайна сметка имаше време, когато добавянето на естествени числа беше объркващо. И сега всичко е наред.

Ето защо, за да перифразирам една добре позната фраза: решете, решете и решете отново. Тогава задачи с такива числа ще се изпълняват лесно и естествено, като друг пъзел.

Между другото, пъзелите в началото са трудни за решаване, а след това трябва да направите обичайните движения. Същото е и в математическите примери: след като няколко пъти извървите една и съща пътека, тогава вече няма да мислите къде да се обърнете.

За да разберем как да умножаваме десетичните дроби, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за десетично умножение

1) Умножаваме, без да обръщаме внимание на запетая.

2) В резултат на това отделяме толкова цифри след запетаята, колкото са след запетаите и в двата фактора заедно.

Примери.

Намерете произведението на десетичните дроби:

За да умножим десетични дроби, умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест, ние не умножаваме 6.8 и 3.4, а 68 и 34. В резултат на това отделяме толкова цифри след запетая, колкото са след запетаите и в двата множителя заедно. Първият множител след десетичната запетая има една цифра, вторият - също една. И така, отделяме две цифри след десетичната запетая.Така че получихме окончателния отговор: 6.8 ∙ 3.4 \u003d 23.12.

Умножаваме десетичните знаци, без да вземаме предвид запетая. Това е, всъщност вместо да умножим 36,85 по 1,14, умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега, в този резултат, трябва да отделим толкова цифри със запетая, колкото са и в двата фактора заедно. Първото число след десетичната запетая има две цифри, второто - една. Като цяло разделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа след запетаята има нула, ние не я записваме в отговор: 36,85 ∙ 1,4 \u003d 51,59.

За да умножим тези десетични дроби, умножаваме числата, игнорирайки запетаите. Тоест умножаваме естествените числа 2315 и 7. Получаваме 16205. В това число трябва да отделите четири цифри след десетичната запетая - толкова, колкото има и в двата фактора заедно (по две във всяка). Крайният отговор: 23,15 ∙ 0,07 \u003d 1,6205.

Умножаването на десетична дроб с естествено число се извършва по същия начин. Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаята, тоест умножаваме 75 по 16. В резултат след запетая трябва да има толкова цифри, колкото са и в двата фактора заедно - един. По този начин 75 ∙ 1,6 \u003d 120,0 \u003d 120.

Започваме да умножаваме десетичните дроби, като умножаваме естествени числа, тъй като не обръщаме внимание на запетаите. След това отделяме след десетичната запетая толкова много цифри, колкото са и в двата фактора заедно. Първото число има два десетични знака, второто има две. Като резултат, след десетичната запетая трябва да има четири цифри: 4.72 ∙ 5.04 \u003d 23.7888.

В средния и гимназиалния курс учениците изучаваха темата „Дроби“. Тази концепция обаче е много по-широка от дадената в учебния процес. Днес концепцията за фракция се среща доста често и не всеки може да извършва изчисления на какъвто и да е израз, например умножение на фракции.

Какво е фракция?

Исторически се случи така, че дробни числа се появиха поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент, обема на правоъгълен правоъгълник.

Първоначално студентите се запознават с концепцията за споделяне. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всяка ще получи една осма от динята. Тази част от осемте се нарича дроб.

Дроб, равен на ½ от всяка стойност, се нарича половина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записите от формата 5/8, 4/5, 2/4 се наричат \u200b\u200bобикновени дроби. Общата дроб се разделя на числител и знаменател. Между тях има дробна линия или дробна линия. Наклонена черта може да бъде нарисувана като хоризонтална или наклонена линия. В този случай той означава знак за разделяне.

Знаменателят представлява на колко равни дяла е стойността, обектът е разделен; а числителят е колко равни дялове са взети. Числителят се изписва над дробната линия, а знаменателят под него.

Най-удобно е да се показват обикновени дроби на координатен лъч. Ако единичен сегмент е разделен на 4 равни части, посочете всяка част латинска букватогава резултатът е отлична визуална помощ. И така, точка А показва дроб, равен на 1/4 от целия сегмент на единица, а точка Б маркира 2/8 от този сегмент.

Разновидности на фракциите

Дроби могат да бъдат обикновени, десетични и смесени числа. В допълнение, фракциите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени фракции.

Под обикновена дроб се разбира число с числител по-малко от знаменателя... Съответно, неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият вид обикновено се записва като смесено число. Такъв израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. 1 - цяла част, ½ - дробна. Ако обаче трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножение на фракции, тяхното намаляване или преобразуване), смесеното число се преобразува в неправилна дроб.

Правилният дробен израз винаги е по-малък от един, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.

Що се отнася до това, този израз означава запис, в който е представено произволно число, чийто знаменател на частичен израз може да бъде изразен чрез един с няколко нули. Ако частта е вярна, тогава цялата част в десетичната нотация ще бъде нула.

За да напишете десетична дроб, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите от дробната част със запетая и след това да запишете дробния израз. Трябва да се помни, че след запетаята числителят трябва да съдържа същия брой цифрови знаци, колкото в знаменателя има нули.

Пример... Представете фракцията 7 21/1000 в десетична нотация.

Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно

Неправилно е да се записва грешната дроб в отговора на проблема, така че трябва да се преобразува в смесено число:

• раздели числителя на съществуващия знаменател;
• в конкретен пример непълен коефициент - цял;
• а остатъкът е числителят на дробната част, а знаменателят остава непроменен.

Пример... Преобразуване на неправилна дроб в смесено число: 47/5.

Решение... 47: 5. Непълният коефициент е равен на 9, остатъкът \u003d 2. Следователно, 47/5 \u003d 9 2/5.

Понякога искате да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:

• целочислената част се умножава по знаменателя на дробния израз;
• полученият продукт се добавя към числителя;
• резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.

Пример... Посочете смесено число като неправилна дроб: 9 8/10.

Решение... 9 x 10 + 8 \u003d 90 + 8 \u003d 98 - числител.

Отговор: 98 / 10.

Умножение на обикновени дроби

Различни алгебрични операции могат да се извършват върху обикновени дроби. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя с знаменателя. Освен това умножението на фракциите с различни знаменатели не се различава от продукта дробни числа със същите знаменатели.

Случва се, че след намиране на резултата, трябва да отмените фракцията. Наложително е максимално да се опрости полученият израз. Разбира се, не може да се каже, че неправилната дроб в отговора е грешка, но също така е трудно да се нарече верен отговор.

Пример... Намерете произведението на две обикновени фракции: ½ и 20/18.

Както можете да видите от примера, след намирането на работата получихме съкратена дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай се делят на 4, а отговорът е 5/9.

Десетично умножение

Продуктът на десетичните фракции е доста различен от продукта на обикновените по своя принцип. И така, умножението на фракциите е както следва:

• две десетични дроби трябва да бъдат написани една под друга, така че най-дясните цифри да са една под друга;
• трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени;
• пребройте броя на цифрите след запетая във всяко от числата;
• в резултата, получен след умножението, трябва да преброите толкова цифрови знака отдясно, колкото се съдържа в сумата и в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите знак за разделяне;
• ако в продукта има по-малко числа, тогава трябва да напишете толкова много нули пред тях, за да покриете тази сума, да поставите запетая и да присвоите цялата част равна на нула.

Пример... Изчислете произведението на две десетични дроби: 2.25 и 3.6.

Решение.

Умножение на смесени фракции

За да се изчисли произведението на две смесени фракции, трябва да използвате правилото за умножаване на дроби:

• преобразувайте смесени числа в неподходящи дроби;
• намерете произведението на числителите;
• намерете произведението на знаменателите;
• запишете резултата;
• опростете израза, доколкото е възможно.

Пример... Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.

Умножаване на число по дроб (дроб по число)

В допълнение към намирането на произведението на две фракции, смесени числа, има задачи, при които трябва да се умножи по дроб.

И така, за да намерите произведението на десетична дроб и естествено число, трябва:

• напишете числото под фракцията, така че най-десните цифри да са една над друга;
• намери работа въпреки запетая;
• в получения резултат отделете цялата част от дробната част със запетая, броейки отдясно броя на цифрите, който е след десетичната запетая във фракцията.

За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът е отменяема част, тя трябва да бъде преобразувана.

Пример... Изчислете произведението на 5/8 и 12.

Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Отговор: 7 1 / 2.

Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се съкрати получения резултат и да се преобразува неправилният дробен израз в смесено число.

Също така умножението на фракциите се отнася и за намиране на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите целочислената част на смесения коефициент по число, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателя непроменен. Ако е необходимо, трябва да опростите резултата, доколкото е възможно.

Пример... Намерете продукта 9 5/6 и 9.

Решение... 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.

Отговор: 88 1 / 2.

Умножение по коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Следното правило следва от предишния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото са нулите в множителя след една.

Пример 1... Намерете произведението от 0,065 и 1000.

Решение... 0,065 х 1000 \u003d 0065 \u003d 65.

Отговор: 65.

Пример 2... Намерете продукта 3.9 и 1000.

Решение... 3,9 х 1000 \u003d 3 900 х 1000 \u003d 3900.

Отговор: 3900.

Ако трябва да умножите естествено число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята вляво в получения продукт с толкова цифри, колкото са нулите до една. Ако е необходимо, преди естественото число се записват достатъчно нули.

Пример 1... Намерете произведението на 56 и 0,01.

Решение... 56 х 0,01 \u003d 0056 \u003d 0,56.

Отговор: 0,56.

Пример 2... Намерете произведението на 4 и 0,001.

Решение... 4 х 0,001 \u003d 0004 \u003d 0,004.

Отговор: 0,004.

Така че намирането на произведението на различни фракции не би трябвало да създава трудности, освен може би изчисляването на резултата; в този случай просто не можете без калкулатор.