В статията ще покажем как се решават дробис прости ясни примери. Нека да разберем какво е дроб и да разгледаме решаване на дроби!

концепция фракциисе въвежда в курса по математика от 6 клас на средното училище.

Дробите изглеждат така: ±X / Y, където Y е знаменателят, той казва на колко части е разделено цялото, а X е числителят, казва колко такива части са взети. За по-голяма яснота, нека вземем пример с торта:

В първия случай тортата се разрязва поравно и се взема едната половина, т.е. 1/2. Във втория случай тортата се разрязва на 7 части, от които се вземат 4 части, т.е. 4/7.

Ако частта от деленето на едно число на друго не е цяло число, то се записва като дроб.

Например, изразът 4:2 \u003d 2 дава цяло число, но 4:7 не се дели напълно, така че този израз се записва като дроб 4/7.

С други думи фракцияе израз, който обозначава разделянето на две числа или изрази и който се записва с наклонена черта.

Ако числителят е по-малък от знаменателя, дробът е правилен, ако обратното е неправилен. Фракция може да съдържа цяло число.

Например 5 цели 3/4.

Това вписване означава, че за да получите целите 6, една част от четири не е достатъчна.

Ако искате да си спомните как се решават дроби за 6 кластрябва да разбереш това решаване на дробиосновно се свежда до разбирането на няколко прости неща.

• Дроба е по същество израз за дроб. т.е числов изразколко част от дадена стойност е от едно цяло. Например, дробът 3/5 изразява, че ако разделим нещо цяло на 5 части и броят на частите или частите от това цяло е три.
• Една фракция може да бъде по-малка от 1, например 1/2 (или по същество половината), тогава е правилно. Ако фракцията е по-голяма от 1, например 3/2 (три половини или една и половина), тогава е неправилно и за опростяване на решението е по-добре да изберем цялата част 3/2= 1 цяло 1 /2.
• Дробите са същите числа като 1, 3, 10 и дори 100, само че числата не са цели, а дробни. С тях можете да извършвате всички същите операции като с числа. Преброяването на дроби не е по-трудно и по-нататък конкретни примерище го покажем.

Как се решават дроби. Примери.

За дроби са приложими различни аритметични операции.

Привеждане на дроб до общ знаменател

Например, трябва да сравните дробите 3/4 и 4/5.

За да решим проблема, първо намираме най-малкия общ знаменател, т.е. най-малкото число, което се дели без остатък на всеки от знаменателите на дробите

Най-малък общ знаменател(4.5) = 20

Тогава знаменателят на двете дроби се намалява до най-малкия общ знаменател

Отговор: 15/20

Събиране и изваждане на дроби

Ако е необходимо да се изчисли сумата от две дроби, те първо се привеждат до общ знаменател, след това се добавят числителите, докато знаменателят остава непроменен. Разликата на дробите се разглежда по подобен начин, единствената разлика е, че числителите се изваждат.

Например, трябва да намерите сумата от дроби 1/2 и 1/3

Сега намерете разликата между дробите 1/2 и 1/4

Умножение и деление на дроби

Тук решението на дробите е просто, тук всичко е съвсем просто:

• Умножение - числителите и знаменателите на дроби се умножават помежду си;
• Деление – първо получаваме дроб, обратна на втората дроб, т.е. разменяме числителя и знаменателя му, след което умножаваме получените дроби.

Например:

По този повод как се решават дроби, всичко. Ако имате въпроси относно решаване на дроби, нещо не е ясно, тогава пишете в коментарите и ние ще ви отговорим.

Ако сте учител, можете да изтеглите презентацията за основно училище(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) ще ви бъде от полза.

Фракция- форма на представяне на число в математиката. Наклонената черта показва операцията на разделяне. числителдроби се нарича дивидент и знаменател- разделител. Например в дроб числителят е 5, а знаменателят е 7.

правилноДроба се нарича, ако модулът на числителя е по-голям от модула на знаменателя. Ако дробът е правилен, тогава модулът на неговата стойност винаги е по-малък от 1. Всички останали дроби са погрешно.

Дроба се нарича смесени, ако е записано като цяло число и дроб. Това е същото като сбора от това число и дроб:

Основно свойство на дроб

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по едно и също число, тогава стойността на дроба няма да се промени, т.е.

Привеждане на дроби до общ знаменател

За да доведете две дроби до общ знаменател, трябва:

1. Умножете числителя на първата дроб по знаменателя на втората
2. Умножете числителя на втората дроб по знаменателя на първата
3. Заменете знаменателите на двете дроби с тяхното произведение

Действия с дроби

Добавяне.За да добавите две дроби, трябва

1. Добавете новите числители на двете дроби, като оставите знаменателя непроменен.

пример:

Изваждане.За да извадите една дроб от друга,

1. Доведете дробите до общ знаменател
2. Извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя непроменен

пример:

Умножение.За да умножите една дроб по друга, умножете техните числители и знаменатели:

дивизия.За да разделите една дроб на друга, умножете числителя на първата дроб по знаменателя на втората и умножете знаменателя на първата дроб по числителя на втората:

Дробите са обикновени и десетични. Когато ученикът научи за съществуването на последното, той започва при всяка възможност да превежда всичко възможно в десетична форма, дори ако това не се изисква.

Колкото и да е странно, предпочитанията на гимназистите и студентите се променят, защото е по-лесно да се извършват много аритметични операции с обикновени дроби. А стойностите, с които се справят завършилите, понякога е просто невъзможно да се преобразуват в десетична форма без загуба. В резултат и двата вида фракции по един или друг начин са адаптирани към случая и имат своите предимства и недостатъци. Нека видим как да работим с тях.

Определение

Дробите са едни и същи дялове. Ако в един портокал има десет резена и ви е дадена една, значи имате 1/10 от плода в ръката си. С такава нотация, както в предишното изречение, дробът ще се нарича обикновена дроб. Ако пишете същото като 0,1 - десетичен знак. И двата варианта са равни, но имат своите предимства. Първият вариант е по-удобен за умножение и деление, вторият - за събиране, изваждане и в редица други случаи.

Как да преобразуваме дроб в друга форма

Да предположим, че имате обикновена дроб и искате да я преобразувате в десетична. Какво трябва да направя?

Между другото, трябва предварително да решите, че не всяко число може да бъде записано в десетична форма без проблеми. Понякога трябва да закръглите резултата, губейки определен брой десетични знака, а в много области - например в точните науки - това е напълно недостъпен лукс. В същото време действията с десетични и обикновени дроби в 5-ти клас позволяват да се извърши такова прехвърляне от един тип в друг без намеса, поне като обучение.

Ако от знаменателя, чрез умножение или разделяне на цяло число, можете да получите стойност, кратна на 10, прехвърлянето ще премине без никакви затруднения: ¾ се превръща в 0,75, 13/20 - в 0,65.

Обратната процедура е още по-лесна, тъй като винаги можете да получите обикновена дроб от десетична дроб без загуба на точност. Например 0,2 става 1/5, а 0,08 става 4/25.

Вътрешни преобразувания

Преди да извършите съвместни действия с обикновени дроби, трябва да подготвите числата за възможни математически операции.

На първо място, трябва да доведете всички дроби в примера до една общ изглед. Те трябва да са обикновени или десетични. Веднага направете резервация, че умножението и деленето са по-удобни за извършване с първото.

При подготовката на числата за по-нататъшни действия ще ви помогне едно правило, известно като и използвано както в първите години на изучаване на предмета, така и във висшата математика, която се изучава в университетите.

Свойства на фракцията

Да предположим, че имате някаква стойност. Да кажем 2/3. Какво се случва, ако умножите числителя и знаменателя по 3? Вземете 6/9. Ами ако е милион? 2000000/3000000. Но изчакайте, защото числото изобщо не се променя качествено - 2/3 остават равни на 2000000/3000000. Променя се само формата, а не съдържанието. Същото се случва, когато и двете части са разделени на една и съща стойност. Това е основното свойство на дроба, което многократно ще ви помогне да извършвате действия с десетични и обикновени дроби на тестове и изпити.

Умножаването на числителя и знаменателя по едно и също число се нарича разширяване на дроб, а деленето се нарича намаляване. Трябва да кажа, че зачеркването на едни и същи числа отгоре и отдолу при умножение и деление на дроби е изненадващо приятна процедура (като част от урок по математика, разбира се). Изглежда, че отговорът вече е близо и примерът е практически решен.

Неправилни дроби

Неправилна дроб е тази, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя. С други думи, ако от него може да се различи цяла част, тя попада в това определение.

Ако такова число (по-голямо или равно на едно) се представи като обикновена дроб, то ще се нарече неправилна дроб. И ако числителят е по-малък от знаменателя - правилно. И двата вида са еднакво удобни при изпълнението на възможни действия с обикновени дроби. Те могат свободно да се умножават и разделят, събират и изваждат.

Ако в същото време е избран цяла части в същото време има остатък под формата на дроб, полученото число ще се нарече смесено. В бъдеще ще се сблъскате различни начиникомбинации от такива структури с променливи, както и решаване на уравнения, където това знание е необходимо.

Аритметични операции

Ако всичко е ясно с основното свойство на дроб, тогава как да се държим при умножаване на дроби? Действията с обикновени дроби в клас 5 включват всички видове аритметични операции, които се извършват по два различни начина.

Умножението и деленето са много лесни. В първия случай числителите и знаменателите на две дроби просто се умножават. Във втория - същото, само напречно. Така числителят на първата дроб се умножава по знаменателя на втората и обратно.

За да извършите събиране и изваждане, трябва да извършите допълнително действие - да приведете всички компоненти на израза към общ знаменател. Това означава, че долните части на дробите трябва да бъдат променени на една и съща стойност - кратна на двата налични знаменателя. Например за 2 и 5 ще бъде 10. За 3 и 6 - 6. Но тогава какво да правя с Горна част? Не можем да го оставим както беше, ако сменихме долния. Според основното свойство на дроб, умножаваме числителя по същото число като знаменателя. Тази операция трябва да се извърши върху всяко от числата, които ще събираме или изваждаме. Въпреки това, такива действия с обикновени дроби в 6-ти клас вече се извършват „на машината“ и трудности възникват само на начална фазаизучаване на темата.

Сравнение

Ако две дроби същият знаменател, тогава по-големият ще бъде този, чийто числител е по-голям. Ако горните части са еднакви, тогава тази с по-малко знаменател. Трябва да се има предвид, че подобни успешни ситуации за сравнение се случват рядко. Най-вероятно и горната, и долната част на изразите няма да съвпадат. След това трябва да запомните възможните действия с обикновени дроби и да използвате техниката, използвана при събиране и изваждане. Също така не забравяйте, че ако говорим за отрицателни числа, тогава по-голямата част ще бъде по-малка.

Предимства на обикновените дроби

Случва се учителите да казват на децата една фраза, чието съдържание може да се изрази по следния начин: колкото повече информация се дава при формулирането на задачата, толкова по-лесно ще бъде решението. Звучи ли странно? Но наистина: с голям брой известни стойности можете да използвате почти всяка формула, но ако са предоставени само няколко числа, може да са необходими допълнителни разсъждения, ще трябва да запомните и докажете теореми, да дадете аргументи в полза на вашата правота ...

Защо правим това? Освен това, обикновените дроби, въпреки цялата им тромавост, могат значително да опрости живота на ученика, което ви позволява да намалите цели редове от стойности при умножение и деление и при изчисляване на сумата и разликата, да извадите общи аргументи и , отново, намалете ги.

Когато се изисква извършване на съвместни действия с обикновени и десетични знаци, трансформациите се извършват в полза на първото: как се превежда 3/17 в десетична форма? Само със загуба на информация, не иначе. Но 0,1 може да бъде представено като 1/10, а след това като 17/170. И тогава двете получени числа могат да се добавят или изваждат: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Защо десетичните знаци са полезни?

Ако действията с обикновени дроби са по-удобни за извършване, тогава записването на всичко с тяхна помощ е изключително неудобно, десетичните дроби имат значително предимство тук. Сравнете: 1748/10000 и 0,1748. Това е една и съща стойност, представена в две различни опции. Разбира се, вторият начин е по-лесен!

Освен това десетичните знаци са по-лесни за представяне, тъй като всички данни имат обща база, която се различава само с порядък. Да кажем, че лесно можем да разпознаем 30% отстъпка и дори да я оценим като значителна. Веднага ли ще разберете кое е повече - 30% или 137/379? По този начин десетичните дроби осигуряват стандартизиране на изчисленията.

В гимназията учениците решават квадратни уравнения. Тук вече е изключително проблематично да се извършват операции с обикновени дроби, тъй като формулата за изчисляване на стойностите на променлива съдържа Корен квадратенот сумата. При наличието на дроб, която не може да бъде намалена до десетична, решението става толкова сложно, че става почти невъзможно да се изчисли точният отговор без калкулатор.

Така че всеки начин за представяне на дроби има своите предимства в подходящия контекст.

Форми за влизане

Има два начина за записване на действия с обикновени дроби: през хоризонтална линия, на две "нива" и чрез наклонена черта (известна още като "наклонена черта") - на линия. Когато ученик пише в тетрадка, първият вариант обикновено е по-удобен и следователно по-често срещан. Разпределението на редица числа в клетки допринася за развитието на внимание при изчисления и трансформации. Когато пишете в низ, можете неволно да объркате реда на действията, да загубите всякакви данни - тоест да направите грешка.

Доста често в наше време има нужда от отпечатване на числа на компютър. Можете да разделяте дроби с традиционна хоризонтална лента, като използвате функция в Microsoft Word 2010 и по-нови версии. Факт е, че в тези версии на софтуера има опция, наречена "формула". Той показва правоъгълно трансформируемо поле, в което можете да комбинирате всякакви математически символи, да съставите както дву-, така и „четириетажни“ дроби. В знаменателя и числителя можете да използвате скоби, знаци за операция. В резултат на това ще можете да записвате всякакви съвместни действия с обикновени и десетични дроби в традиционната форма, тоест по начина, по който ви учат да го правите в училище.

Ако използвате стандартния текстов редактор на Notepad, тогава всички дробни изрази ще трябва да бъдат записани чрез наклонена черта. За съжаление тук няма друг начин.

Заключение

Така че разгледахме всички основни действия с обикновени дроби, които, както се оказва, не са толкова много.

Ако в началото може да изглежда, че това е сложен раздел от математиката, тогава това е само временно впечатление - не забравяйте, че веднъж сте мислили така за таблицата за умножение, а дори и по-рано - за обичайните тетрадки и броенето от едно до десет.

Важно е да се разбере, че дробите се използват в Ежедневиетонавсякъде. Ще се занимавате с пари и инженерни изчисления, информационни технологиии музикална грамотност, и навсякъде - навсякъде! - дробни числаще се появи. Затова не бъдете мързеливи и проучете тази тема задълбочено - особено след като не е толкова трудно.