Продължавайки темата „Решаване на уравнения“, материалът в тази статия ще ви запознае с квадратни уравнения.

Нека разгледаме всичко подробно: същността и обозначенията на квадратното уравнение, ще зададем свързани термини, ще анализираме схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, ще се запознаем с коренната формула и дискриминанта, ще установим връзки между корените и коефициентите и, разбира се, ще дадем илюстративно решение на практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратно уравнение, неговите видове

Квадратно уравнение Е уравнение, написано като a x 2 + b x + c \u003d 0където х - променлива, a, b и ° С - някои числа, докато ане е нула.

Често квадратни уравнения се наричат \u200b\u200bоще уравнения от втора степен, тъй като всъщност квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен.

Нека дадем пример за илюстрация дадено определение: 9 x 2 + 16 x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 и т.н. Има квадратни уравнения.

Определение 2

Числата a, b и ° С Дали са коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, докато коефициентът а се нарича първият, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициентът при х, и ° С наречен безплатен член.

Например в квадратно уравнение 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 старши коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 , а свободният срок е − 11 ... Нека обърнем внимание на факта, че когато коефициентите би / или c са отрицателни, след това кратка форма на нотация като 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, но не 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите а и / или б са равни 1 или − 1 , тогава те не могат да участват изрично в записа на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записване на посочените числови коефициенти. Например в квадратно уравнение y 2 - y + 7 \u003d 0 най-високият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Намалени и нередуцирани квадратни уравнения

Според стойността на първия коефициент квадратните уравнения се разделят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Намалено квадратно уравнение Е квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение не се намалява.

Ето примери: квадратните уравнения x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 са намалени, във всяко от които водещият коефициент е 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да се трансформира в намалено уравнение чрез разделяне на двете части на първия коефициент (еквивалентно преобразуване). Трансформираното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение, или също няма да има корени изобщо.

Разглеждането на конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме изпълнението на прехода от нередуцираното квадратно уравнение към редуцираното.

Пример 1

Уравнението е 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Необходимо е първоначалното уравнение да се преобразува в намалена форма.

Решение

Според горната схема разделяме двете страни на първоначалното уравнение на водещия коефициент 6. Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3и това е същото като: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 и по-нататък: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Следователно: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. По този начин се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото.

Отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него уточнихме това a ≠ 0... Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c \u003d 0 беше точно квадратна, тъй като за a \u003d 0 той по същество се преобразува в линейно уравнение b x + c \u003d 0.

В случая, когато коефициентите б и ° Сравен на нула (което е възможно както поотделно, така и съвместно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнение Е такова квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0,където поне един от коефициентите би ° С(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнение - квадратно уравнение, при което всички числови коефициенти не са равни на нула.

Нека обсъдим защо типовете квадратни уравнения са дадени точно с такива имена.

При b \u003d 0 квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c \u003d 0което е същото като a x 2 + c \u003d 0... Кога c \u003d 0 квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 \u003d 0което е еквивалентно на a x 2 + b x \u003d 0... Кога b \u003d 0 и c \u003d 0 уравнението става a x 2 \u003d 0... Получените от нас уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че лявите им страни не съдържат нито член с променлива x, нито свободен член, нито и двете. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения - непълни.

Например x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 и - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Горната дефиниция дава възможност да се разграничат следните типове непълни квадратни уравнения:

• a x 2 \u003d 0, такова уравнение съответства на коефициентите b \u003d 0 и с \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 за b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 при c \u003d 0.

Нека разгледаме последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 \u003d 0

Както бе споменато по-горе, това уравнение съответства на коефициентите б и ° Сравен на нула. Уравнението a x 2 \u003d 0 възможно е да се трансформира в еквивалентно уравнение x 2 \u003d 0, което получаваме чрез разделяне на двете страни на първоначалното уравнение на числото ане е равно на нула. Очевиден факт е, че коренът на уравнението x 2 \u003d 0 е нула, защото 0 2 = 0 ... Това уравнение няма други корени, което може да се обясни със свойствата на степента: за произволно число p,не е равно на нула, неравенството е вярно p 2\u003e 0, от което следва, че за p ≠ 0 равенство р 2 \u003d 0никога няма да бъде постигнато.

Определение 5

По този начин, за непълно квадратно уравнение a x 2 \u003d 0, има уникален корен x \u003d 0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение - 3 x 2 \u003d 0... То е еквивалентно на уравнението x 2 \u003d 0, единственият му корен е x \u003d 0, тогава първоначалното уравнение също има един корен - нула.

Накратко, решението се взема, както следва:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Решение на уравнението a x 2 + c \u003d 0

Следващата стъпка е решението на непълни квадратни уравнения, където b \u003d 0, c ≠ 0, т.е. уравнения на вида a x 2 + c \u003d 0... Ние преобразуваме това уравнение, като прехвърляме члена от едната страна на уравнението в друга, променяме знака в противоположната и разделяме двете страни на уравнението с число, което не е равно на нула:

• пренасям ° С вдясно, което дава уравнението a x 2 \u003d - c;
• разделяме двете страни на уравнението на а, получаваме в резултат x \u003d - c a.

Нашите трансформации са еквивалентни, съответно полученото уравнение също е еквивалентно на първоначалното и този факт дава възможност да се направи заключение относно корените на уравнението. От какви са стойностите а и ° Сстойността на израза - c a зависи: той може да има знак минус (например, ако a \u003d 1 и c \u003d 2, тогава - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) или знак плюс (например, ако a \u003d - 2 и c \u003d 6, тогава - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); не е равно на нула, защото c ≠ 0... Нека се спрем по-подробно на ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случая, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стр равенството p 2 \u003d - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a\u003e 0: запомнете квадратния корен и ще стане очевидно, че коренът на уравнението x 2 \u003d - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 \u003d - c a. Лесно е да се разбере, че числото - - c a е и коренът на уравнението x 2 \u003d - c a: наистина, - - c a 2 \u003d - c a.

Уравнението няма да има други корени. Можем да докажем това, използвайки противоречив метод. Като начало определяме обозначението за корените, намерени по-горе, като x 1 и - x 1... Нека направим предположението, че уравнението x 2 \u003d - c a също има корен x 2което е различно от корените x 1 и - x 1... Знаем, че като заместваме в уравнението вместо х неговите корени, преобразувайте уравнението в справедливо числово равенство.

За x 1 и - x 1 пишем: x 1 2 \u003d - c a, и за x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Въз основа на свойствата на числовите равенства, изваждаме едно истинско равенство от другия член по член, което ще ни даде: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Използваме свойствата на действията върху числата, за да пренапишем последното равенство като (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От казаното следва, че x 1 - x 2 \u003d 0 и / или x 1 + x 2 \u003d 0което е същото x 2 \u003d x 1 и / или x 2 \u003d - x 1... Възникна очевидно противоречие, тъй като първоначално беше договорено, че коренът на уравнението x 2 се различава от x 1 и - x 1... И така, доказахме, че уравнението няма други корени освен x \u003d - c a и x \u003d - - c a.

Нека обобщим всички разсъждения по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c \u003d 0 е еквивалентно на уравнението x 2 \u003d - c a, което:

• няма да има корени за - c a< 0 ;
• ще има два корена x \u003d - c a и x \u003d - - c a за - c a\u003e 0.

Нека дадем примери за решаване на уравненията a x 2 + c \u003d 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 x 2 + 7 \u003d 0.Необходимо е да се намери неговото решение.

Решение

Прехвърляме свободния член в дясната страна на уравнението, след което уравнението приема формата 9 х 2 \u003d - 7.
Разделяме двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 \u003d - 7 9. От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: даденото уравнение няма корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 x 2 + 7 \u003d 0 няма да има корени.

Отговор: уравнението 9 x 2 + 7 \u003d 0няма корени.

Пример 4

Необходимо е да се реши уравнението - x 2 + 36 \u003d 0.

Решение

Преместете 36 вдясно: - x 2 \u003d - 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме x 2 \u003d 36... От дясната страна - положително число, от тук можем да заключим, че x \u003d 36 или x \u003d - 36.
Извлечете корена и запишете крайния резултат: непълно квадратно уравнение - x 2 + 36 \u003d 0 има два корена x \u003d 6 или x \u003d - 6.

Отговор: x \u003d 6 или x \u003d - 6.

Решение на уравнението a x 2 + b x \u003d 0

Нека разгледаме третия вид непълни квадратни уравнения, когато c \u003d 0... За да се намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x \u003d 0, ние използваме метода на факторизация. Факторираме полинома от лявата страна на уравнението, като изваждаме общия коефициент извън скобите х... Тази стъпка ще направи възможно преобразуването на първоначалното непълно квадратно уравнение в неговия еквивалент x (a x + b) \u003d 0... И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набор от уравнения x \u003d 0 и a x + b \u003d 0... Уравнението a x + b \u003d 0 линеен и неговият корен е: x \u003d - b a.

Определение 7

По този начин, непълното квадратно уравнение a x 2 + b x \u003d 0 ще има два корена x \u003d 0 и x \u003d - b a.

Нека поправим материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решение на уравнението 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0.

Решение

Вадя х скоби и вземете уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Това уравнение е еквивалентно на уравненията x \u003d 0 и 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Накратко пишем решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 или 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 или x \u003d 3 3 7

Отговор: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Дискриминант, формулата за корените на квадратно уравнение

За да се намери решение на квадратни уравнения, има коренна формула:

Определение 8

x \u003d - b ± D 2 a, където D \u003d b 2 - 4 a c - т. нар. дискриминант на квадратното уравнение.

Обозначението x \u003d - b ± D 2 · a по същество означава, че x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Ще бъде полезно да разберете как е получена посочената формула и как да я приложите.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека се изправим пред задачата за решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0... Нека извършим редица еквивалентни трансформации:

• разделете двете страни на уравнението на числото а, ненулево, получаваме приведеното квадратно уравнение: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• изберете пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  След това уравнението ще приеме формата: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• сега е възможно да прехвърлим последните два члена в дясната страна, като сменим знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• накрая преобразуваме израза, написан от дясната страна на последното равенство:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Така стигнахме до уравнението x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, което е еквивалентно на първоначалното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0.

Ние анализирахме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решение на непълни квадратни уравнения). Вече натрупаният опит дава възможност да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

• при b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• за b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 уравнението има формата x + b 2 a 2 \u003d 0, тогава x + b 2 a \u003d 0.

Следователно, единственият корен x \u003d - b 2 · a;

• за b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 ще бъде вярно: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 или x \u003d b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, което е същото като x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 ac 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корени от уравнението x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (а оттам и първоначалното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 a c 4 · 2, написано от дясната страна. И знакът на този израз се задава от знака на числителя, (знаменател 4 а 2 винаги ще бъде положително), тоест знакът на израза b 2 - 4 a c... Този израз b 2 - 4 a c е дадено името - дискриминантът на квадратното уравнение и буквата D се определя като неговото обозначение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по неговата стойност и знак се прави изводът дали квадратното уравнение ще има реални корени и, ако е така, какъв е броят на корените - един или два.

Да се \u200b\u200bвърнем към уравнението x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. Пренаписваме го, като използваме обозначението за дискриминанта: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Нека отново формулираме заключенията:

Определение 9

• в д< 0 уравнението няма реални корени;
• в D \u003d 0 уравнението има един корен x \u003d - b 2 · a;
• в D\u003e 0 уравнението има два корена: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Въз основа на свойствата на радикалите, тези корени могат да бъдат записани като: x \u003d - b 2 a + D 2 a или - b 2 a - D 2 a. И когато отворим модулите и намалим дроби до общ знаменател, получаваме: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратното уравнение:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, дискриминант д изчислено по формулата D \u003d b 2 - 4 a c.

Тези формули правят възможно с дискриминант, по-голям от нула, да се определят и двата реални корена. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единствено решение квадратно уравнение. В случая, когато дискриминантът е отрицателен, опитвайки се да използваме формулата за корена на квадратно уравнение, ще бъдем изправени пред необходимостта да извлечем корен квадратен на отрицателно число, което ще ни отведе извън реалните числа. При отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка сложни конюгирани корени, определени от същите формули на корените, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратното уравнение, като се използва веднага формулата на корена, но основно това се прави, когато е необходимо да се намерят сложни корени.

В по-голямата част от случаите обикновено се търси не сложни, а истински корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използваме формулите за корените на квадратното уравнение, първо да определим дискриминанта и да се уверим, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени), а след това да продължим да изчисляваме стойностите на корените.

Горните разсъждения позволяват да се формулира алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, необходимо е:

• според формулата D \u003d b 2 - 4 a c намери стойността на дискриминанта;
• в D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• за D \u003d 0, намерете единствения корен на уравнението по формулата x \u003d - b 2 · a;
• за D\u003e 0, определете два реални корена на квадратното уравнение по формулата x \u003d - b ± D 2 · a.

Имайте предвид, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x \u003d - b ± D 2 · a, тя ще даде същия резултат като формулата x \u003d - b 2 · a.

Нека разгледаме някои примери.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека дадем решение на примери за различни значения дискриминанта.

Пример 6

Необходимо е да се намерят корените на уравнението x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Решение

Нека запишем числените коефициенти на квадратното уравнение: a \u003d 1, b \u003d 2 и c \u003d - 6... След това действаме според алгоритъма, т.е. нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който заместваме коефициентите a, b и ° С в дискриминантната формула: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

И така, получихме D\u003e 0, което означава, че първоначалното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x \u003d - b ± D 2 · a и, замествайки съответните стойности, получаваме: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Нека опростим получения израз, като вземем фактора извън кореновия знак и след това намалим фракцията:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 или x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 или x \u003d - 1 - 7

Отговор: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Пример 7

Необходимо е да се реши квадратното уравнение - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... При тази стойност на дискриминанта първоначалното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Отговор: x \u003d 3, 5.

Пример 8

Необходимо е да се реши уравнението 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Решение

Числовите коефициенти на това уравнение ще бъдат: a \u003d 5, b \u003d 6 и c \u003d 2. Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че първоначалното квадратно уравнение няма реални корени.

В случая, когато задачата е да се посочат сложни корени, ние прилагаме формулата за корените, изпълнявайки действия със сложни числа:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 или x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i или x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Отговор: няма валидни корени; сложните корени са както следва: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN училищна програма Като стандарт няма изискване за търсене на сложни корени, следователно, ако по време на решението дискриминантът се определи като отрицателен, веднага се записва отговорът, че няма истински корени.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Коренната формула x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 ac) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, позволяваща да се намерят решения на квадратни уравнения с четен коефициент при x (или с коефициент от формата 2 n, например 2 · 3 или 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Да предположим, че сме изправени пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Действаме според алгоритъма: определяме дискриминанта D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c) и след това използваме коренната формула:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a ca.

Нека изразът n 2 - a · c бъде означен като D 1 (понякога се обозначава с D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще приеме формата:

x \u003d - n ± D 1 a, където D 1 \u003d n 2 - a · c.

Лесно е да се види, че D \u003d 4 · D 1, или D 1 \u003d D 4. С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знакът на D, което означава, че знакът на D 1 може да служи и като индикатор за наличие или отсъствие на корени на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратното уравнение с втория коефициент 2 n, е необходимо:

• намерете D 1 \u003d n 2 - a · c;
• при D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• когато D 1 \u003d 0, определете единствения корен от уравнението по формулата x \u003d - n a;
• за D 1\u003e 0 дефинирайте два реални корена по формулата x \u003d - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Решение

Вторият коефициент на даденото уравнение може да бъде представен като 2 · (- 3). След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, където a \u003d 5, n \u003d - 3 и c \u003d - 32.

Нека изчислим четвъртата част на дискриминанта: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Нека ги дефинираме според съответната коренна формула:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 или x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2

Би било възможно да се извършат изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2.

Опростяване на изгледа на квадратните уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на първоначалното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например квадратното уравнение 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 е очевидно по-удобно за решаване от 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножаване или разделяне на двете му части с определен брой. Например, по-горе показахме опростена нотация на уравнението 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, получено чрез разделяне на двете му части на 100.

Такова преобразуване е възможно, когато коефициентите на квадратното уравнение не са взаимно прости числа... Тогава обикновено и двете страни на уравнението се разделят на най-голямата общ делител абсолютни стойности неговите коефициенти.

Като пример използваме квадратното уравнение 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Определяме GCD на абсолютните стойности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Нека разделим двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6 и ще получим еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0.

Умножавайки двете страни на квадратното уравнение, обикновено се отървавате от дробни коефициенти. В този случай умножете по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) \u003d 6, тогава тя ще бъде записана в повече проста форма x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

И накрая, отбелязваме, че те почти винаги се отърват от минуса при първия коефициент на квадратното уравнение, променяйки знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или разделяне) на двете части по - 1. Например, от квадратното уравнение - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, можете да преминете към опростена версия на него 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Връзката между корените и коефициентите

Вече познатата формула за корените на квадратните уравнения x \u003d - b ± D 2 · a изразява корените на уравнението по отношение на неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула можем да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.

По-специално, за намаленото квадратно уравнение, сумата от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например под формата на квадратното уравнение 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0 е възможно веднага да се определи, че сумата от неговите корени е 7 3, а произведението на корените е 22 3.

Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например сумата от квадратите на корените на квадратното уравнение може да бъде изразена чрез коефициентите:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Непълното квадратно уравнение се различава от класическите (пълни) уравнения по това, че неговите фактори или отсечка са равни на нула. Графиката на такива функции са параболи. В зависимост от общия им вид те се разделят на 3 групи. Принципите за решаване на всички видове уравнения са еднакви.

Няма нищо трудно при определянето на типа на непълен полином. Най-добре е да разгледате основните разлики с илюстративни примери:

1. Ако b \u003d 0, тогава уравнението е ax 2 + c \u003d 0.
2. Ако c \u003d 0, тогава изразът ax 2 + bx \u003d 0 трябва да бъде решен.
3. Ако b \u003d 0 и c \u003d 0, тогава полиномът се превръща в равенство от типа ax 2 \u003d 0.

Последният случай е по-скоро теоретична възможност и никога не се среща при задачи за проверка на знания, тъй като единствената валидна стойност на променливата x в израза е нула. В бъдеще ще бъдат разгледани методи и примери за решаване на непълни квадратни уравнения 1) и 2).

Общ алгоритъм за намиране на променливи и примери с решение

Независимо от вида на уравнението, алгоритъмът на решението се свежда до следните стъпки:

1. Намалете израза до форма, удобна за намиране на корени.
2. Извършете изчисления.
3. Запишете отговора си.

Най-лесният начин за решаване на непълни уравнения е чрез факториране лява страна и оставяйки нула вдясно. По този начин формулата за непълно квадратно уравнение за намиране на корените се свежда до изчисляване на стойността на x за всеки от факторите.

Можете да научите как да го решавате само на практика, така че помислете конкретен пример намиране на корените на непълно уравнение:

Както можете да видите, в този случай b \u003d 0. Нека разделим лявата страна и получим израза:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Очевидно продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. Стойностите на променливата x1 \u003d 0,5 и (или) x2 \u003d -0,5 отговарят на тези изисквания.

За да се справим лесно и бързо със задачата за разлагане квадратен трином по фактори трябва да запомните следната формула:

Ако в израза няма свободен термин, задачата е значително опростена. Достатъчно е само да намерите и извадите от скобите общ знаменател... За по-голяма яснота разгледайте пример за това как да решите непълни квадратни уравнения от формата ax2 + bx \u003d 0.

Да извадим променливата x от скобите и да получим следния израз:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Водени от логиката, стигаме до извода, че x1 \u003d 0 и x2 \u003d -3.

Традиционно решение и непълни квадратни уравнения

Какво ще се случи, ако приложите дискриминантната формула и се опитате да намерите корените на полинома, с коефициенти, равни на нула? Да вземем пример от колекция от типични задачи за изпита по математика през 2017 г., да го решим с помощта на стандартни формули и метод на факторизация.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Нека изчислим стойността на дискриминанта: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Оказва се, че полиномът има два корена:

Сега, нека решим уравнението чрез факториране и сравним резултатите.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Както можете да видите, и двата метода дават един и същ резултат, но решаването на уравнението по втория метод се оказа много по-лесно и бързо.

Теорема на Виета

И какво да правим с любимата теорема на Виета? Може ли този метод да се използва с непълен трином? Нека се опитаме да разберем аспектите на намаляването на непълните уравнения до класически вид ax2 + bx + c \u003d 0.

Всъщност в този случай е възможно да се приложи теоремата на Виета. Необходимо е само изразът да бъде приведен в обща форма, замествайки липсващите членове с нула.

Например с b \u003d 0 и a \u003d 1, за да се елиминира вероятността от объркване, задачата трябва да бъде написана във формата: ax2 + 0 + c \u003d 0. Тогава съотношението на сумата и произведението на корените и фактори на полинома могат да бъдат изразени, както следва:

Теоретичните изчисления помагат да се запознаете със същността на въпроса и винаги изискват упражняване на умение при решаване конкретни задачи... Нека отново се обърнем към справочника с типични задачи за изпита и да намерим подходящ пример:

Нека напишем израза във форма, удобна за прилагане на теоремата на Виета:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Следващата стъпка е да се създаде система от условия:

Очевидно корените на квадратния полином ще бъдат x 1 \u003d 4 и x 2 \u003d -4.

Сега, нека практикуваме привеждането на уравнението в обща форма. Вземете следния пример: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

За да приложите теоремата на Vieta към израз, е необходимо да се отървете от фракцията. Умножете лявата и дясната страна по 4 и погледнете резултата: x2– 4 \u003d 0. Полученото равенство е готово да бъде решено чрез теоремата на Виета, но е много по-лесно и по-бързо да получите отговора, просто като прехвърлите c \u003d 4 от дясната страна на уравнението: x2 \u003d 4.

Обобщавайки, трябва да се каже, че по най-добрия начин решаването на непълни уравнения е факторизация, е най-простото и бърз метод... Ако имате някакви затруднения в процеса на намиране на корени, можете да се свържете традиционен метод намиране на корените чрез дискриминанта.

Да работим с квадратни уравнения... Това са много популярни уравнения! В самото общ изглед квадратното уравнение изглежда така:

Например:

Тук и =1; б = 3; ° С = -4

Тук и =2; б = -0,5; ° С = 2,2

Тук и =-3; б = 6; ° С = -18

Е, разбирате идеята ...

Как да решим квадратни уравнения? Ако имате квадратно уравнение в тази форма, тогава всичко вече е просто. Помня вълшебна дума дискриминанта ... Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „вземане на решение чрез дискриминанта“ вдъхва увереност и успокоение. Защото няма нужда да чакате мръсни трикове от дискриминанта! Той е лесен и безпроблемен за използване. И така, формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под коренния знак е същият дискриминанта... Както можете да видите, за да намерим x, използваме само a, b и c... Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и c в тази формула и пребройте. Заместител с вашите знаци! Например за първото уравнение и =1; б = 3; ° С \u003d -4. Затова записваме:

Примерът е почти решен:

Това е всичко.

Какви случаи са възможни при използване на тази формула? Има само три случая.

1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Добър корен се извлича, или лош - друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви... Но това играе роля при неравенствата, там ще проучим въпроса по-подробно.

3. Дискриминантът е отрицателен. От отрицателно число не се взема квадратен корен. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Всичко е много просто. И какво мислите, че не можете да сгрешите? Е, да, как ...
Най-често срещаните грешки са объркване със смислови знаци. a, b и c... По-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателните стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук подробен запис на формулата с конкретни числа запазва. Ако има изчислителни проблеми, направи го!

Да предположим, че трябва да решите този пример:

Тук a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

Да предположим, че знаете, че рядко получавате отговори за първи път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките рязко ще намалее... Затова пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но изглежда само. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или нали? Освен това ще те зарадвам. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Ще се получи от само себе си. Особено ако използвате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси може да бъде решен лесно и без грешки!

Така, как да се решават квадратни уравнения чрез дискриминанта си спомнихме. Или научен, което също не е лошо. Знаете как правилно да се идентифицирате a, b и c... Ти знаеш как внимателно заместете ги в коренната формула и внимателно прочетете резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?

Квадратните уравнения обаче често изглеждат малко по-различно. Например по този начин:

то непълни квадратни уравнения ... Те могат да бъдат решени и чрез дискриминанта. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук a, b и c.

Разбрахте ли? В първия пример a \u003d 1; b \u003d -4; и ° С? Той изобщо не е там! Е, да, точно така. В математиката това означава, че c \u003d 0 ! Това е всичко. Заместваме нула във формулата вместо ° С, и ще успеем. Същото е и с втория пример. Тук нямаме само нула от, и б !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакъв дискриминант. Помислете за първото непълно уравнение... Какво можете да правите там от лявата страна? Можете да извадите х от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула, ако и само ако някой от факторите е равен на нула! Не ми вярвате? Е, тогава помислете за две ненулеви числа, които, умножени, ще дадат нула!
Не работи? Това е ...
Затова можем уверено да напишем: x \u003d 0, или x \u003d 4

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете се вписват. Когато заместваме някой от тях в първоначалното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 \u003d 0. Както можете да видите, решението е много по-просто, отколкото чрез дискриминанта.

Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 вдясно. Получаваме:

Остава да се извлече коренът от 9 и това е всичко. Оказва се:

Също така два корена ... x \u003d +3 и x \u003d -3.

Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез поставяне на скобата на x, или просто прехвърляне числа вдясно, последвано от извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от х, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скобите ...

Засега вземете под внимание най-добрите практики, които драстично ще намалят грешките. Самите, които се дължат на невнимание ... За които тогава боли и обижда ...

Първи прием... Не бъдете мързеливи да го приведете в стандартната форма, преди да решите квадратното уравнение. Какво означава това?
Да кажем, че след всякакви трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете. a, b и c. Изградете правилно примера. Първо, X е на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. Като този:

Отново не бързайте! Минусът пред х на квадрата може наистина да ви натъжи. Лесно е да го забравите ... Отървете се от минуса. Как Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножите цялото уравнение по -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да попълните примера. Направи го сам. Трябва да имате корени 2 и -1.

Прием втори. Проверете корените! По теорема на Виета. Не се тревожете, ще обясня всичко! Проверка последно нещо уравнението. Тези. тази, с която записахме формулата за корените. Ако (както в този пример) коефициентът a \u003d 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножим. Трябва да получите безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с моя знак ... Ако не е работило, значи вече е прецакано някъде. Потърсете грешка. Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да получите коефициент б от противоположно познати. В нашия случай -1 + 2 \u003d +1. И коефициентът бкоето е преди x е -1. Така че всичко е правилно!
Жалко, че това е толкова просто само за примери, когато x на квадрат е чист, с коефициент a \u003d 1. Но поне проверете такива уравнения! всичко по-малко грешки ще бъде.

Прием трети... Ако вашето уравнение съдържа дробни коефициенти, отървете се от дроби! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в предишния раздел. При работа с фракции по някаква причина се появяват грешки ...

Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Вие сте добре дошъл! Ето го.

За да не се объркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Удоволствие е да решите!

И така, за да обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, ние привеждаме квадратното уравнение в стандартната форма, изграждаме го правилно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред х на квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, ние елиминираме фракциите, като умножим цялото уравнение по подходящия коефициент.

4. Ако x на квадрат е чист, коефициентът при него е равен на единица, решението може лесно да бъде проверено чрез теоремата на Vieta. Направи го!

Дробни уравнения. ODZ.

Продължаваме да усвояваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Остава последният поглед - дробни уравнения... Или те също се наричат \u200b\u200bмного по-солидно - дробна рационални уравнения ... Това е същото.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, фракциите винаги присъстват в тези уравнения. Но не само фракции, а фракции, които имат неизвестен в знаменател... Поне един. Например:

Позволете ми да ви напомня, че ако знаменателите съдържат само числа, това са линейни уравнения.

Как да се реши дробни уравнения? На първо място, отървете се от фракциите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим ... В някои случаи това може да се превърне в идентичност, като 5 \u003d 5 или неправилен израз, като 7 \u003d 2. Но това се случва рядко. Ще спомена това по-долу.

Но как да се отървем от фракциите!? Много просто. Прилагане на едни и същи идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по един и същ израз. За да бъдат намалени всички знаменатели! Всичко ще стане по-лесно наведнъж. Нека да обясня с пример. Да предположим, че трябва да решим уравнението:

Както се преподава в по-ниски оценки? Прехвърляме всичко в една посока, довеждаме до общ знаменател и т.н. Забравете го като лош сън! Това трябва да се направи, когато добавяте или изваждате дробни изрази. Или работа с неравенства. И в уравненията веднага умножаваме двете страни по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

От лявата страна, умножавайки по x + 2 ... А вдясно човек се нуждае от умножение по 2. Следователно уравнението трябва да се умножи по 2 (x + 2)... Умножаваме:

Това е обичайното умножение на дроби, но ще го напиша подробно:

Моля, обърнете внимание, че все още не разширявам скобите (x + 2)! И така, изцяло го пиша:

Отляво тя е намалена изцяло (x + 2), а в дясно 2. Което се изисква! След намаление получаваме линейна уравнението:

И всеки ще реши това уравнение! x \u003d 2.

Нека решим още един пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 \u003d 3/1, и 2x \u003d 2x /1, можете да напишете:

И отново се освобождаваме от това, което всъщност не ни харесва - фракциите.

Виждаме, че за да отмените знаменателя с х, трябва да умножите фракцията по (х - 2)... Няколко не са пречка за нас. Е, умножаваме се. Цялото лявата страна и цялото правилната страна:

Отново скоби (х - 2) Не разкривам. Работя със скобата като цяло, сякаш е едно число! Това винаги трябва да се прави, в противен случай нищо няма да бъде намалено.

С чувство на дълбоко удовлетворение режем (х - 2) и получаваме уравнението без никакви дроби, в линийка!

И сега отваряме скобите:

Даваме подобни, прехвърляме всичко в лявата страна и получаваме:

Класическото квадратно уравнение. Но минусът напред не е добър. Винаги можете да се отървете от него, като умножите или разделите по -1. Но ако разгледате по-отблизо примера, ще забележите, че е най-добре това уравнение да се раздели на -2! С един замах минусът ще изчезне и шансовете ще станат по-хубави! Разделете на -2. Отляво - член по член, а отдясно - просто разделете нулата на -2, нула и вземете:

Решаваме чрез дискриминанта и проверяваме по теоремата на Виета. Получаваме x \u003d 1 и x \u003d 3... Два корена.

Както можете да видите, в първия случай уравнението след трансформацията стана линейно, но тук то е квадратно. Случва се така, че след като се отървете от фракциите, всички ксета се намаляват. Остава нещо като 5 \u003d 5. Означава, че x може да бъде всеки... Каквото и да е, пак ще се свие. И вие получавате честната истина, 5 \u003d 5. Но след като се отървете от фракциите, може да се окаже напълно невярно, като 2 \u003d 7. Това означава, че няма решения! С всяко х се оказва лъжа.

Реализира основното решение дробни уравнения ? Това е просто и логично. Променяме оригиналния израз, така че каквото не ни харесва, изчезва. Или пречи. В случая това са фракции. Ще направим същото с всякакви сложни примери с логаритми, синуси и други ужаси. ние е винаги ще се отървем от всичко това.

Трябва обаче да променим оригиналния израз в посоката, в която се нуждаем според правилата, да ... Овладяване, което е подготовка за изпита по математика. Така че ние го овладяваме.

Сега ще се научим как да заобиколим един от основни засади на изпита! Но първо, да видим дали ще влезете в него или не?

Нека разгледаме един прост пример:

Въпросът вече е познат, умножаваме двете части по (х - 2), получаваме:

Напомням ви, със скоби (х - 2) ние работим като с един цял израз!

Тук вече не съм написал 1 в знаменателите, той е недостоен ... И не нарисувах скоби в знаменателите, с изключение на х - 2 няма нищо, не е нужно да рисувате. Намаляване:

Отваряме скобите, преместваме всичко наляво, даваме подобни:

Решаваме, проверяваме, получаваме два корена. x \u003d 2 и x \u003d 3... Глоба.

Да предположим, че задачата казва да се запише коренът или тяхната сума, ако има повече от един корен. Какво ще пишем?

Ако решите, че отговорът е 5, вие са попаднали в засада... И задачата няма да бъде броена за вас. Работил напразно ... Точен отговор 3.

Какъв е проблема?! И се опитвате да направите проверка. Заместете стойностите на неизвестното в оригинален пример. И ако в x \u003d 3 всичко ще расте заедно чудесно с нас, получаваме 9 \u003d 9, след това с x \u003d 2 деление на нула! Какво не може да се направи категорично. Означава x \u003d 2 не е решение и не е взето предвид в отговора. Това е така нареченият чужд или допълнителен корен. Просто го изпускаме. Крайният корен е един. x \u003d 3.

Как така ?! - Чувам възмутени възклицания. Бяхме научени, че уравнение може да се умножи по израз! Това е идентична трансформация!

Да, идентични. С малко условие - изразът, по който умножаваме (делим) - ненулеви... И х - 2 в x \u003d 2 е равно на нула! Така че всичко е честно.

И сега какво мога да направя ?! Да не се умножава по израз? Трябва ли да проверявате всеки път? Отново не е ясно!

Успокой се! Не изпадайте в паника!

В тази трудна ситуация три магически букви ще ни спасят. Знам какво мислите. Правилно! то ODZ ... Обхват на разрешените стойности.

Надявам се, изучавайки тази статия, ще научите как да намерите корените на едно пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения, използват се други методи за решаване на непълни квадратни уравнения, които ще намерите в статията „Решаване на непълни квадратни уравнения“.

Какви квадратни уравнения се наричат \u200b\u200bпълни? то уравнения на формата ax 2 + b x + c \u003d 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. Така че, за да решите пълното квадратно уравнение, трябва да изчислите дискриминанта D.

D \u003d b 2 - 4ac.

В зависимост от това каква стойност има дискриминантът, ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателен (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е равен на нула, тогава x \u003d (-b) / 2a. Когато дискриминантът е положителен (D\u003e 0),

тогава x 1 \u003d (-b - √D) / 2a и x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Например. Решете уравнението x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Отговор: - 3,5; един.

И така, нека представим решението на пълни квадратни уравнения по схемата на Фигура 1.

Всяко пълно квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на тези формули. Просто трябва да внимавате, за да се уверите, че това уравнението беше написано като стандартен полином

и x 2 + bx + c, в противен случай можете да сгрешите. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 \u003d 0, можете погрешно да решите това

a \u003d 1, b \u003d 3 и c \u003d 2. Тогава

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решението на пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е написано като полином на стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде написано като полином на стандартната форма (на първо място трябва да бъде мономът с най-големия показател, т.е. и x 2 , след това с по-малко – bxи след това безплатен член от.

Когато решавате намалено квадратно уравнение и квадратно уравнение с четен коефициент при втория член, можете да използвате други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълното квадратно уравнение с втория член коефициентът е четен (b \u003d 2k), то уравнението може да бъде решено с помощта на формулите, показани на диаграмата на фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при x 2 е равно на единица и уравнението приема формата x 2 + px + q \u003d 0... Такова уравнение може да се даде за решението или се получава чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента истои на x 2 .

Фигура 3 показва схема за решаване на намаления квадрат
уравнения. Нека разгледаме пример за приложението на формулите, обсъдени в тази статия.

Пример. Решете уравнението

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Нека решим това уравнение, като приложим формулите, показани на диаграмата на фигура 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3

Можете да забележите, че коефициентът при x в това уравнение е четно число, т.е. D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3... Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и извършваме деление, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Решаваме това уравнение, използвайки формулите за намаленото квадратично
уравнение фигура 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3.

Както можете да видите, когато решаваме това уравнение с помощта на различни формули, получихме един и същ отговор. Следователно, след като сте усвоили добре формулите, показани на диаграмата на фигура 1, винаги можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

блог. сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.

Квадратното уравнение е лесно за решаване! * По-нататък в текста "KU".Приятели, изглежда, какво може да бъде по-лесно в математиката от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че мнозина имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии на месец Yandex. Ето какво се случи, погледнете:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души на месец търсят тази информация, какво означава това лято и какво ще бъде сред тях учебна година - ще има два пъти повече заявки. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за Единния държавен изпит, търсят тази информация, а учениците също се стремят да я освежат в паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които ви казват как да решите това уравнение, реших също да направя своето и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на моя сайт за тази заявка; второ, в други статии, когато дойде речта "KU", ще дам линк към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва на други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратното уравнение е уравнение от вида:

където коефициентите a,б и със произволни числа, с ≠ 0.

В училищния курс материалът се дава в следната форма - уравненията са условно разделени на три класа:

1. Имат два корена.

2. * Имат само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва да се отбележи, че те нямат валидни корени.

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази "ужасна" дума се крие съвсем проста формула:

Основните формули са както следва:

* Тези формули трябва да се знаят наизуст.

Можете веднага да запишете и да решите:

Пример:

1. Ако D\u003e 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D \u003d 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека разгледаме уравнението:

В тази връзка, когато дискриминантът е нула, училищният курс казва, че се получава един корен, тук той е равен на девет. Всичко е правилно, така е, но ...

Това представяне е донякъде неправилно. Всъщност има два корена. Да, да, не се изненадвайте, оказва се два равни корена и за да бъде математически точен, тогава отговорът трябва да бъде написан два корена:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да запишете и да кажете, че има един корен.

Сега следващият пример:

Както знаем, коренът на отрицателно число не се извлича, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на решение.

Квадратична функция.

Това показва как решението изглежда геометрично. Това е изключително важно за разбиране (в бъдеще в една от статиите ще анализираме подробно решението на квадратното неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c - дадени числа, с a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест се оказва, че чрез решаване на квадратното уравнение с "y", равно на нула, намираме пресечните точки на параболата с оста на вол. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), един (дискриминантът е нула) и нито един (дискриминантът е отрицателен). Подробности за квадратична функция можете да видите статия от Инна Фелдман.

Нека разгледаме няколко примера:

Пример 1: Решаване 2x 2 +8 х–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

D \u003d b 2 –4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Отговор: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* Беше възможно веднага да се разделят лявата и дясната страна на уравнението на 2, т.е. да се опрости. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Решете x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

Получихме, че x 1 \u003d 11 и x 2 \u003d 11

В отговора е допустимо да се напише x \u003d 11.

Отговор: x \u003d 11

Пример 3: Решете x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаване на уравнението в случая, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексни числа? Тук няма да навлизам в подробности защо и откъде са дошли и каква е тяхната специфична роля и нужда в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Понятието за комплексно число.

Малко теория.

Комплексното число z е число на формата

z \u003d a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената въображаема единица.

a + bi Е ЕДИНЕН БРОЙ, а не добавяне.

Въображаемата единица е равна на корена от минус едно:

Сега помислете за уравнението:

Имаме два конюгирани корена.

Непълно квадратно уравнение.

Помислете за специални случаи, това е, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двете са равни на нула). Те се решават лесно, без никакви дискриминанти.

Случай 1. Коефициент b \u003d 0.

Уравнението има формата:

Нека трансформираме:

Пример:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

Случай 2. Коефициент с \u003d 0.

Уравнението има формата:

Ние трансформираме, разлагаме на фактори:

* Продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Пример:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 или x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Случай 3. Коефициенти b \u003d 0 и c \u003d 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x \u003d 0.

Полезни свойства и модели на коефициенти.

Има свойства, които ви позволяват да решавате уравнения с големи коефициенти.

их 2 + bx+ ° С=0 важи равенството

а + б + c \u003d 0,тогава

- ако за коефициентите на уравнението их 2 + bx+ ° С=0 важи равенството

а + c \u003dб, тогава

Тези свойства помагат за решаването определен вид уравнения.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сумата на коефициентите е 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, следователно

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенството е изпълнено а + c \u003dб, означава

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава корените му са

брадва 2 + (a 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d –а х 2 \u003d –1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 - bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава корените му са

брадва 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 15x 2 –226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Ако в уравнениетоос 2 + bx - c \u003d 0 коефициент "b" е равно на (a 2 - 1), а коефициентът "c" числено равен на коефициента "а", тогава корените му са равни

ос 2 + (а 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - а х 2 \u003d 1 / a.

Пример. Да разгледаме уравнението 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 - bx - c \u003d 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 - 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента "a", тогава корените му са

ос 2 - (а 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 10x 2 - 99x –10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Теорема на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Vieta, можем да изразим сумата и произведението на корените на произволна KE чрез нейните коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Като цяло числото 14 дава само 5 и 9. Това са корените. С определено умение, използвайки представената теорема, можете да решите много квадратни уравнения устно.

Освен това теорема на Виета. удобен с това, че след решаване на квадратното уравнение по обичайния начин (чрез дискриминанта), получените корени могат да бъдат проверени. Препоръчвам да правите това винаги.

МЕТОД ЗА ТРАНСФЕР

При този метод коефициентът "а" се умножава по свободния член, сякаш е "хвърлен" към него, поради което се нарича чрез "трансфер".Този метод се използва, когато можете лесно да намерите корените на уравнението, използвайки теоремата на Vieta и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако и± b + c≠ 0, тогава се използва техниката на прехвърляне, например:

2х 2 – 11x +5 = 0 (1) => х 2 – 11x +10 = 0 (2)

По теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Получените корени на уравнението трябва да бъдат разделени на 2 (тъй като два са "хвърлени" от x 2), получаваме

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са равни:

Ако погледнете корените на уравненията, тогава се получават само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента при x 2:

Вторите (модифицирани) корени са 2 пъти по-големи.

Следователно разделяме резултата на 2.

* Ако преобърнем тройка, тогава разделяме резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Кв. ур-йе и изпит.

Ще кажа накратко за неговото значение - ТРЯБВА ДА БЪДЕТЕ РЕШЕНИ бързо и без колебание, формулите на корените и дискриминанта трябва да се знаят наизуст. Много от задачите, съставляващи USE задачите, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Какво си струва да се отбележи!

1. Формата на писане на уравнението може да бъде „имплицитна“. Възможен е например следният запис:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 или 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 или 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Трябва да го приведете в стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Не забравяйте, че x е неизвестна величина и тя може да бъде обозначена с всяка друга буква - t, q, p, h и други.