Раздели на сайта

Избор на редакторите:

В тази статия ще ви покажа алгоритми за решаване на седем вида рационални уравнения, което може да бъде намалено до квадратично чрез промяна на променливи. В повечето случаи трансформациите, които водят до замяна, са много нетривиални и е доста трудно да се досетите за тях сами.

За всеки тип уравнение ще обясня как да направя промяна на променлива в него и след това ще покажа подробно решение в съответния видео урок.

Имате възможност да продължите да решавате уравненията сами, а след това да проверите решението си с видео урока.

И така, да започваме.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Обърнете внимание, че от лявата страна на уравнението има произведение от четири скоби, а от дясната страна има число.

1. Нека групираме скобите по две, така че сумата на свободните членове да е еднаква.

2. Умножете ги.

3. Нека въведем промяна на променлива.

В нашето уравнение ще групираме първата скоба с третата, а втората с четвъртата, тъй като (-1)+(-4)=(-7)+2:

В този момент замяната на променлива става очевидна:

Получаваме уравнението

Отговор:

2 .

Уравнение от този тип е подобно на предишното с една разлика: от дясната страна на уравнението е произведението на числото и . И се решава по съвсем различен начин:

1. Групираме скобите по две, така че произведението на свободните членове да е същото.

2. Умножете всяка двойка скоби.

3. Изваждаме x от всеки фактор.

4. Разделете двете страни на уравнението на .

5. Въвеждаме промяна на променлива.

В това уравнение групираме първата скоба с четвъртата, а втората с третата, тъй като:

Имайте предвид, че във всяка скоба коефициентът и свободният член са еднакви. Нека вземем фактор от всяка скоба:

Тъй като x=0 не е корен на оригиналното уравнение, разделяме двете страни на уравнението на . Получаваме:

Получаваме уравнението:

Отговор:

3 .

Обърнете внимание, че знаменателите на двете дроби са квадратни тричлени, за които водещият коефициент и свободният член са еднакви. Нека извадим x от скобата, както в уравнението от втория тип. Получаваме:

Разделете числителя и знаменателя на всяка дроб на x:

Сега можем да въведем заместване на променлива:

Получаваме уравнение за променливата t:

4 .

Забележете, че коефициентите на уравнението са симетрични по отношение на централното. Това уравнение се нарича връщаем .

За да го разрешите,

1. Разделете двете страни на уравнението на (Можем да направим това, тъй като x=0 не е корен на уравнението.) Получаваме:

2. Нека групираме термините по следния начин:

3. Във всяка група нека извадим общия множител извън скобите:

4. Нека представим замяната:

5. Изразете чрез t израза:

Оттук

Получаваме уравнението за t:

Отговор:

5. Хомогенни уравнения.

Уравнения с хомогенна структура могат да се срещнат при решаване на експоненциални, логаритмични и тригонометрични уравнения, така че трябва да можете да ги разпознавате.

Хомогенните уравнения имат следната структура:

В това равенство A, B и C са числа, а квадратът и кръгът означават еднакви изрази. Тоест, от лявата страна на хомогенно уравнение има сбор от мономи с еднаква степен (в в такъв случайстепента на мономите е 2) и няма свободен член.

Разрешавам хомогенно уравнение, разделете двете страни на

внимание! Когато разделяте дясната и лявата страна на уравнение на израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корени. Следователно е необходимо да проверим дали корените на израза, на който разделяме двете страни на уравнението, са корените на първоначалното уравнение.

Да тръгнем по първия път. Получаваме уравнението:

Сега въвеждаме заместване на променливи:

Нека опростим израза и ще получим bi квадратно уравнениеспрямо t:

Отговор:или

7 .

Това уравнение има следната структура:

За да го решите, трябва да изберете пълен квадрат от лявата страна на уравнението.

За да изберете цял квадрат, трябва да добавите или извадите два пъти продукта. Тогава получаваме квадрата на сбора или разликата. Това е от решаващо значение за успешното заместване на променливи.

Нека започнем, като намерим удвоения продукт. Това ще бъде ключът към замяната на променливата. В нашето уравнение два пъти произведението е равно на

Сега нека да разберем какво е по-удобно за нас - квадрат на сумата или разликата. Нека първо разгледаме сумата от изрази:

Страхотен! Този израз е точно равен на удвоения продукт. След това, за да получите квадрата на сумата в скоби, трябва да добавите и извадите двойното произведение:

Просто казано, това са уравнения, в които има поне една променлива в знаменателя.

Например:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Пример Недробни рационални уравнения:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Как се решават дробни рационални уравнения?

Основното нещо, което трябва да запомните за дробните рационални уравнения е, че трябва да пишете в тях. И след като намерите корените, не забравяйте да ги проверите за допустимост. В противен случай могат да се появят външни корени и цялото решение ще се счита за неправилно.

Алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение:

Запишете и "решете" ODZ.

Умножете всеки член в уравнението по общ знаменатели намалете получените фракции. Знаменателите ще изчезнат.

Напишете уравнението, без да отваряте скобите.

Решете полученото уравнение.

Проверете намерените корени с ODZ.

Запишете в отговора си корените, които са преминали теста в стъпка 7.

Не запаметявайте алгоритъма, 3-5 решени уравнения и той ще се запомни сам.

Пример . Решете дробно рационално уравнение \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Решение:

Отговор: \(3\).

Пример . Намерете корените на дробното рационално уравнение \(=0\)

Решение:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Записваме и „решаваме” ОДЗ. Разгъваме \(x^2+7x+10\) в съгласно формулата: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). За щастие вече намерихме \(x_1\) и \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Очевидно общият знаменател на дробите е \((x+2)(x+5)\). Умножаваме цялото уравнение по него.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Намаляване на дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Отваряне на скобите
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Ние представяме подобни условия
\(2x^2+9x-5=0\)		Намиране на корените на уравнението
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Един от корените не отговаря на ODZ, така че в отговора пишем само втория корен.

Отговор: \(\frac(1)(2)\).

Цели на урока:

Образователни:

формиране на понятието дробни рационални уравнения;
разглеждат различни начини за решаване на дробни рационални уравнения;
разгледайте алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включително условието, че дробта е равна на нула;
преподават решаване на дробни рационални уравнения с помощта на алгоритъм;
проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тест.

Развитие:

развитие на способността за правилно опериране с придобитите знания и логично мислене;
развитие на интелектуални умения и мисловни операции - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
развитие на инициативност, способност за вземане на решения и не спиране дотук;
развитие на критичното мислене;
развитие на изследователски умения.

Образование:

насърчаване на познавателния интерес към предмета;
насърчаване на независимостта при вземане на решения образователни задачи;
възпитаване на воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

По време на часовете

1. Организационен момент.

Здравейте момчета! На дъската има написани уравнения, разгледайте ги внимателно. Можете ли да решите всички тези уравнения? Кои не са и защо?

Уравнения, в които лявата и дясната страна са дробни рационални изрази, се наричат дробни рационални уравнения. Какво мислите, че ще учим в клас днес? Формулирайте темата на урока. И така, отворете тетрадките си и запишете темата на урока „Решаване на дробни рационални уравнения“.

2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа.

И сега ще повторим основния теоретичен материал, който ще ни е необходим за изучаване на нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси:

Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)
Какво е името на уравнение номер 1? ( Линеен.) Решение линейни уравнения. (Прехвърлете всичко с неизвестното на лява странауравнения, всички числа са отдясно. Дайте подобни условия. Намерете неизвестен фактор).
Какво е името на уравнение номер 3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Изолиране на пълен квадрат с помощта на формули, използващи теоремата на Vieta и нейните следствия.)
Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.)
Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.)
Кога една дроб е равна на нула? ( Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула..)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 10.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като използвате основното свойство на пропорцията? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 1,5.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като умножите двете страни на уравнението по знаменателя? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Отговор: 0;5;-2.			Отговор: 5;-2.

Обяснете защо това се случи? Защо в единия случай има три корена, а в другия два? Кои числа са корените на това дробно рационално уравнение?

Досега учениците не са се сблъсквали с концепцията за външен корен; наистина им е много трудно да разберат защо това се е случило. Ако никой в класа не може да даде ясно обяснение на тази ситуация, тогава учителят задава насочващи въпроси.

По какво уравнения № 2 и 4 се различават от уравнения № 5,6,7? ( В уравнения № 2 и 4 има числа в знаменателя, № 5-7 са изрази с променлива.)
Какъв е коренът на едно уравнение? ( Стойността на променливата, при която уравнението става вярно.)
Как да разберете дали дадено число е корен на уравнение? ( Направете проверка.)

При тестване някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Те заключават, че числата 0 и 5 не са корените на това уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който ни позволява да елиминираме тази грешка? Да, този метод се основава на условието дробта да е равна на нула.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

Отговор: -2.

Нека се опитаме да формулираме алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения по този начин. Децата сами формулират алгоритъма.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

Преместете всичко от лявата страна.
Намалете дробите до общ знаменател.
Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула.
Решете уравнението.
Проверете неравенството, за да изключите външни корени.
Запишете отговора.

Дискусия: как да формализираме решението, ако използваме основното свойство на пропорцията и умножаваме двете страни на уравнението по общ знаменател. (Добавете към решението: изключете от неговите корени онези, които правят общия знаменател изчезнал).

4. Първоначално разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, Ю.Н. Макаричев, 2007: No 600(b,c,i); № 601(a,e,g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската.

б) 2 – чужд корен. Отговор: 3.

в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12,5.

ж) Отговор: 1;1,5.

5. Поставяне на домашна работа.

Прочетете параграф 25 от учебника, анализирайте примери 1-3.
Научете алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения.
Решете в тетрадки No 600 (а, г, д); No. 601(g,h).
Опитайте се да решите № 696(a) (по избор).

6. Изпълнение на контролна задача по изучаваната тема.

Работата се извършва върху листове хартия.

Примерна задача:

А) Кои от уравненията са дробно рационални?

Б) Дробта е равна на нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________.

В) Числото -3 корен ли е на уравнение номер 6?

Г) Решете уравнение №7.

Критерии за оценка на заданието:

„5“ се дава, ако ученикът е изпълнил повече от 90% от задачата правилно.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
„2“ се дава на ученик, който е изпълнил по-малко от 50% от задачата.
Оценка 2 не се дава в дневника, 3 не е задължителна.

7. Рефлексия.

На листовете за самостоятелна работа поставете:

1 – ако урокът ви е бил интересен и разбираем;
2 – интересно, но неясно;
3 – неинтересно, но разбираемо;
4 – неинтересно, неясно.

8. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме как да решаваме тези уравнения различни начини, провериха знанията си с помощта на тренинг самостоятелна работа. Резултатите от самостоятелната си работа ще научите в следващия урок, а у дома ще имате възможност да затвърдите знанията си.

Кой метод за решаване на дробни рационални уравнения според вас е по-лесен, по-достъпен и по-рационален? Независимо от метода за решаване на дробни рационални уравнения, какво трябва да запомните? Каква е „хитростта“ на дробните рационални уравнения?

Благодаря на всички, урокът приключи.

„Решаване на дробни рационални уравнения“

Цели на урока:

Образователни:

формиране на понятието дробни рационални уравнения; разглеждат различни начини за решаване на дробни рационални уравнения; разгледайте алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включително условието, че дробта е равна на нула; преподават решаване на дробни рационални уравнения с помощта на алгоритъм; проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тест.

Развитие:

развитие на способността за правилно опериране с придобитите знания и логично мислене; развитие на интелектуални умения и мисловни операции - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие на инициативност, способност за вземане на решения и не спиране дотук; развитие на критичното мислене; развитие на изследователски умения.

Образование:

насърчаване на познавателния интерес към предмета; възпитаване на самостоятелност при решаване на образователни проблеми; възпитаване на воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

По време на часовете

1. Организационен момент.

2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа.

1. Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)

2. Как се казва уравнение №1? ( Линеен.) Метод за решаване на линейни уравнения. ( Преместете всичко с неизвестното в лявата страна на уравнението, всички числа вдясно. Дайте подобни условия. Намерете неизвестен фактор).

3. Как се казва уравнение №3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Изолиране на пълен квадрат с помощта на формули, използващи теоремата на Vieta и нейните следствия.)

4. Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.)

5. Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.)

6. Кога една дроб е нула? ( Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула..)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 10.

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 1,5.

D=1›0, x1=3, x2=4.

Отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Отговор: 0;5;-2.			Отговор: 5;-2.

В уравнения № 2 и 4 има числа в знаменателя, № 5-7 са изрази с променлива

Стойността на променливата, при която уравнението става вярно

Направете проверка

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

Отговор: -2.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

1. Преместете всичко отляво.

2. Приведете дробите към общ знаменател.

3. Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула.

4. Решете уравнението.

5. Проверете неравенството, за да изключите външните корени.

6. Запишете отговора.

4. Първоначално разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, 2007: No 000 (б, в, и); № 000(a, d, g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с ниска ефективност. Самопроверка: отговорите се записват на дъската.

б) 2 – чужд корен. Отговор: 3.

в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12,5.

ж) Отговор: 1;1,5.

5. Поставяне на домашна работа.

2. Научете алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения.

3. Решете в тетрадки No 000 (а, г, д); № 000(g, h).

4. Опитайте се да решите номер 000(a) (по избор).

6. Изпълнение на контролна задача по изучаваната тема.

Работата се извършва върху листове хартия.

Примерна задача:

А) Кои от уравненията са дробно рационални?

Б) Дробта е равна на нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________.

В) Числото -3 корен ли е на уравнение номер 6?

Г) Решете уравнение №7.

Критерии за оценка на заданието:

„5“ се дава, ако ученикът е изпълнил повече от 90% от задачата правилно. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” се дава на ученик, който е изпълнил по-малко от 50% от задачата. Оценка 2 не се дава в дневника, 3 не е задължителна.

7. Рефлексия.

На листовете за самостоятелна работа поставете:

1 – ако урокът ви е бил интересен и разбираем; 2 – интересно, но неясно; 3 – неинтересно, но разбираемо; 4 – неинтересно, неясно.

8. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме се да решаваме тези уравнения по различни начини и проверихме знанията си с помощта на самостоятелна учебна работа. Резултатите от самостоятелната си работа ще научите в следващия урок, а у дома ще имате възможност да затвърдите знанията си.

Благодаря на всички, урокът приключи.

Т. Косякова,
Училище № 80, Краснодар

Решаване на квадратни и дробни рационални уравнения, съдържащи параметри

Урок 4

Тема на урока:

Целта на урока:развиват способността за решаване на дробни рационални уравнения, съдържащи параметри.

Тип урок:въвеждане на нов материал.

1. (Устно.) Решете уравненията:

Пример 1. Решете уравнението

Решение.

Да намерим невалидни стойности а:

Отговор. Ако Ако а = – 19 , значи няма корени.

Пример 2. Решете уравнението

Решение.

Нека намерим невалидни стойности на параметрите а :

10 – а = 5, а = 5;

10 – а = а, а = 5.

Отговор. Ако а = 5 а № 5 , Че x=10– а .

Пример 3. При какви стойности на параметрите b уравнението То има:

а) два корена; б) единственият корен?

Решение.

1) Намерете невалидни стойности на параметри b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 или b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 или b = – 2.

2) Решете уравнението x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

а)

Изключване на невалидни стойности на параметри b , намираме, че уравнението има два корена, ако b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

б) 4b 2 = 0, b = 0, но това е невалидна стойност на параметъра b ; Ако b 2 –1=0 , т.е. b=1 или.

Отговор: а) ако b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , след това два корена; б) ако b=1 или b=–1 , тогава единственият корен.

Самостоятелна работа

Опция 1

Решете уравненията:

Вариант 2

Решете уравненията:

Отговори

В 1. и ако а=3 , тогава няма корени; Ако б) ако ако а № 2 , значи няма корени.

НА 2.Ако а=2 , тогава няма корени; Ако а=0 , тогава няма корени; Ако
б) ако а=– 1 , тогава уравнението става безсмислено; ако няма корени;
Ако

Домашна работа.

Решете уравненията:

Отговори: а) Ако а № –2 , Че x= а ; Ако а=–2 , тогава няма решения; б) ако а № –2 , Че х=2; Ако а=–2 , тогава няма решения; в) ако а=–2 , Че х– всяко число освен 3 ; Ако а № –2 , Че х=2; г) ако а=–8 , тогава няма корени; Ако а=2 , тогава няма корени; Ако

Урок 5

Тема на урока:"Решаване на дробни рационални уравнения, съдържащи параметри."

Цели на урока:

обучение за решаване на уравнения с нестандартни условия;
съзнателно усвояване от учениците на алгебрични понятия и връзки между тях.

Тип урок:систематизиране и обобщение.

Проверка на домашните.

Пример 1. Решете уравнението

а) спрямо x; б) спрямо y.

Решение.

а) Намерете невалидни стойности г: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– невалидна стойност на параметъра г.

Ако г№ 0 , Че x=y–2; Ако y=0, тогава уравнението става безсмислено.

b) Намерете невалидни стойности на параметри х: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– невалидна стойност на параметъра х; y(2+x–y)=0, y=0или y=2+x;

y=0не отговаря на условието y(y–x)№ 0 .

Отговор: а) ако y=0, тогава уравнението става безсмислено; Ако г№ 0 , Че x=y–2; б) ако х=0 х№ 0 , Че y=2+x .

Пример 2. За какви цели стойности на параметъра a са корените на уравнението принадлежат на интервала

D = (3 а + 2) 2 – 4а(а+ 1) 2 = 9 а 2 + 12а + 4 – 8а 2 – 8а,

D = ( а + 2) 2 .

Ако а № 0 или а № – 1 , Че

Отговор: 5 .

Пример 3. Намерете относително хцели числа решения на уравнението

Отговор. Ако y=0, тогава уравнението няма смисъл; Ако y=–1, Че х– всяко цяло число освен нула; Ако y№ 0, y№ – 1, тогава няма решения.

Пример 4.Решете уравнението с параметри а И b .

Ако а№ – б , Че

Отговор. Ако а= 0 или b= 0 , тогава уравнението става безсмислено; Ако а№ 0, б№ 0, a=–b , Че х– всяко число освен нула; Ако а№ 0, б№ 0, а№ –б, Че x=–a, x=–b .

Пример 5. Докажете, че за всяка стойност на параметъра n, различна от нула, уравнението има единичен корен, равен на -н .

Решение.

т.е. x=–n, което трябваше да се докаже.

Домашна работа.

1. Намерете целочислени решения на уравнението

2. При какви стойности на параметрите ° Суравнението То има:
а) два корена; б) единственият корен?

3. Намерете всички корени на уравнението Ако аОТНОСНО н .

4. Решете уравнението 3xy – 5x + 5y = 7:а) относително г; б) относително х .

1. Уравнението е изпълнено от всяко цяло число, равни стойности на x и y, различни от нула.
2. а) Кога
б) при или
3. – 12; – 9; 0 .
4. а) Ако тогава няма корени; Ако
б) ако тогава няма корени; Ако

Тест

Опция 1

1. Определете вида на уравнението 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 когато) c=–3; б) c=2; V) c=4 .

2. Решете уравненията: а) x 2 –bx=0 ;б) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Решете уравнението 3x–xy–2y=1:

а) относително х ;
б) относително г .

nx 2 – 26x + n = 0,знаейки, че параметърът n приема само цели числа.

5. За какви стойности на b прави уравнението То има:

а) два корена;
б) единственият корен?

Вариант 2

1. Определете вида на уравнението 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0когато) c=–4 ;б) c=7; V) c=1 .

2. Решете уравненията: а) y 2 +cy=0;б) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Решете уравнението 6x–xy+2y=5:

а) относително х ;
б) относително г .

4. Намерете целите корени на уравнението nx 2 –22x+2n=0,знаейки, че параметърът n приема само цели числа.

5. За какви стойности на параметъра a прави уравнението То има:

а) два корена;
б) единственият корен?

Отговори

В 1. 1. а) Линейно уравнение;
б) непълно квадратно уравнение; в) квадратно уравнение.
2. а) Ако b=0, Че х=0; Ако б№ 0, Че x=0, x=b;
б) Ако cО (9;+Ґ ), тогава няма корени;
в) ако а=–4 , тогава уравнението става безсмислено; Ако а№ –4 , Че x=– а .
3. а) Ако y=3, тогава няма корени; Ако);
б) а=–3, а=1.

Допълнителни задачи

Решете уравненията:

Литература

1. Голубев В.И., Голдман А.М., Дорофеев Г.В. За параметрите от самото начало. – Учител, бр.2/1991, с. 3–13.
2. Гронштейн П.И., Полонски В.Б., Якир М.С. Необходимите условияпри проблеми с параметри. – Квант, бр.11/1991, с. 44–49.
3. Дорофеев G.V., Zatakavay V.V. Разрешаване на проблемсъдържащи параметри. Част 2. – М., Перспектива, 1990, с. 2–38.
4. Тинякин С.А. Петстотин и четиринадесет задачи с параметри. – Волгоград, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Проблеми с параметрите. – М., Образование, 1986.

Прочети:

Отчитане на разчети с бюджета Чийзкейкове от извара на тиган - класически рецепти за пухкави чийзкейкове Чийзкейкове от 500 г извара Салата Черна перла със сини сливи Салата Черна перла със сини сливи Рецепти за лечо с доматено пюре Афоризми и цитати за самоубийство

Прочети: