Раздели на сайта
Избор на редактора:
- Шест примера за компетентен подход към склонението на числата
- Лицето на зимата Поетични цитати за деца
- Урок по руски език "мек знак след съскащи съществителни"
- Щедрото дърво (притча) Как да измислим щастлив край на приказката Щедрото дърво
- План на урока за света около нас на тема „Кога ще дойде лятото?
- Източна Азия: страни, население, език, религия, история Като противник на псевдонаучните теории за разделянето на човешките раси на по-нисши и по-висши, той доказа истината
- Класификация на категориите годност за военна служба
- Малоклузия и армията Малоклузията не се приема в армията
- Защо сънувате мъртва майка жива: тълкувания на книги за сънища
- Под какви зодиакални знаци са родените през април?
реклама
Решаване на дробни целочислени уравнения. Дробни рационални уравнения. Алгоритъм за решение |
В тази статия ще ви покажа алгоритми за решаване на седем вида рационални уравнения, което може да бъде намалено до квадратно чрез промяна на променливи. В повечето случаи трансформациите, които водят до замяна, са много нетривиални и е доста трудно да се досетите за тях сами. За всеки тип уравнение ще обясня как да направя промяна на променлива в него и след това ще покажа подробно решение в съответния видео урок. Имате възможност да продължите да решавате уравненията сами, а след това да проверите решението си с видео урока. Така че нека започнем. 1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40 Обърнете внимание, че от лявата страна на уравнението има произведение от четири скоби, а от дясната страна има число. 1. Нека групираме скобите по две, така че сумата на свободните членове да е еднаква. 2. Умножете ги. 3. Нека въведем промяна на променлива. В нашето уравнение ще групираме първата скоба с третата, а втората с четвъртата, тъй като (-1)+(-4)=(-7)+2: В този момент замяната на променлива става очевидна: Получаваме уравнението отговор:
2 . Уравнение от този тип е подобно на предишното с една разлика: от дясната страна на уравнението е произведението на числото и . И се решава по съвсем различен начин: 1. Групираме скобите по две, така че произведението на свободните членове да е същото. 2. Умножете всяка двойка скоби. 3. Изваждаме x от всеки фактор. 4. Разделете двете страни на уравнението на . 5. Въвеждаме промяна на променлива. В това уравнение групираме първата скоба с четвъртата, а втората с третата, тъй като: Обърнете внимание, че във всяка скоба коефициентът при и свободният член са еднакви. Нека извадим фактор от всяка скоба: Тъй като x=0 не е корен на оригиналното уравнение, ние разделяме двете страни на уравнението на . Получаваме:
Получаваме уравнението: отговор:
3 . Обърнете внимание, че знаменателите на двете дроби са квадратни тричлени, за които водещият коефициент и свободният член са еднакви. Нека извадим x от скобата, както в уравнението от втория тип. Получаваме: Разделете числителя и знаменателя на всяка дроб на x: Сега можем да въведем заместване на променлива: Получаваме уравнение за променливата t:
4 . Забележете, че коефициентите на уравнението са симетрични по отношение на централното. Това уравнение се нарича връщаем . За да го разрешите, 1. Разделете двете страни на уравнението на (Можем да направим това, тъй като x=0 не е корен на уравнението.) Получаваме: 2. Нека групираме термините по следния начин: 3. Във всяка група нека извадим общия множител извън скобите: 4. Нека представим замяната: 5. Изразете чрез t израза: Оттук Получаваме уравнението за t: отговор:
5. Хомогенни уравнения. Уравнения с хомогенна структура могат да се срещнат при решаване на експоненциални, логаритмични и тригонометрични уравнения, така че трябва да можете да ги разпознавате. Хомогенните уравнения имат следната структура: В това равенство A, B и C са числа, а квадратът и кръгът означават еднакви изрази. Тоест, от лявата страна на хомогенно уравнение има сбор от мономи с еднаква степен (в в този случайстепента на мономите е 2) и няма свободен член. Да решиш хомогенно уравнение, разделете двете страни на внимание! Когато разделяте дясната и лявата страна на уравнение на израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корени. Следователно е необходимо да проверим дали корените на израза, на който разделяме двете страни на уравнението, са корените на първоначалното уравнение. Да тръгнем по първия път. Получаваме уравнението: Сега въвеждаме заместване на променливи: Нека опростим израза и ще получим bi квадратно уравнениеспрямо t: отговор:или
7 . Това уравнение има следната структура: За да го решите, трябва да изберете пълен квадрат от лявата страна на уравнението. За да изберете цял квадрат, трябва да добавите или извадите два пъти продукта. Тогава получаваме квадрата на сбора или разликата. Това е от решаващо значение за успешното заместване на променливи. Нека започнем, като намерим удвоения продукт. Това ще бъде ключът към замяната на променливата. В нашето уравнение два пъти произведението е равно на Сега нека да разберем какво е по-удобно за нас - квадрат на сумата или разликата. Нека първо разгледаме сумата от изрази: Страхотно! Този израз е точно равен на удвоения продукт. След това, за да получите квадрата на сумата в скоби, трябва да добавите и извадите двойното произведение: Просто казано, това са уравнения, в които има поне една променлива в знаменателя. Например: \(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\) Пример недробни рационални уравнения: \(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\) Как се решават дробни рационални уравнения?Основното нещо, което трябва да запомните за дробните рационални уравнения е, че трябва да пишете в тях. И след като намерите корените, не забравяйте да ги проверите за допустимост. В противен случай могат да се появят външни корени и цялото решение ще се счита за неправилно. Алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение: Запишете и "решете" ODZ. Умножете всеки член в уравнението по общ знаменатели намалете получените фракции. Знаменателите ще изчезнат. Напишете уравнението, без да отваряте скобите. Решете полученото уравнение. Проверете намерените корени с ODZ. Запишете в отговора си корените, които са издържали теста в стъпка 7. Не запаметявайте алгоритъма, 3-5 решени уравнения и той ще се запомни сам. Пример . Решете дробно рационално уравнение \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\) Решение: отговор: \(3\). Пример . Намерете корените на дробното рационално уравнение \(=0\) Решение:
отговор: \(\frac(1)(2)\). Цели на урока: Образователни:
Развитие:
Образование:
Тип урок: урок - обяснение на нов материал. Напредък на урока 1. Организационен момент. Здравейте момчета! На дъската има написани уравнения, разгледайте ги внимателно. Можете ли да решите всички тези уравнения? Кои не са и защо? Уравнения, в които лявата и дясната страна са дробни рационални изрази, се наричат дробни рационални уравнения. Какво мислите, че ще учим в клас днес? Формулирайте темата на урока. И така, отваряме тетрадките си и записваме темата на урока „Решаване на дробни рационални уравнения“. 2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа. И сега ще повторим основния теоретичен материал, който ще ни е необходим за изучаване на нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси:
3. Обяснение на нов материал. Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската. отговор: 10. Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като използвате основното свойство на пропорцията? (№ 5). (x-2)(x-4) = (x+2)(x+3) x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6 x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8 Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската. отговор: 1,5. Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като умножите двете страни на уравнението по знаменателя? (№ 6). x 2 -7x+12 = 0 D=1›0, x 1 =3, x 2 =4. отговор: 3;4. Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.
Обяснете защо това се случи? Защо в единия случай има три корена, а в другия два? Кои числа са корените на това дробно рационално уравнение? Досега учениците не са се сблъсквали с концепцията за външен корен; наистина им е много трудно да разберат защо това се е случило. Ако никой в класа не може да даде ясно обяснение на тази ситуация, тогава учителят задава насочващи въпроси.
При тестване някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Те заключават, че числата 0 и 5 не са корените на това уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който ни позволява да елиминираме тази грешка? Да, този метод се основава на условието дробта да е равна на нула. x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2. Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен. Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0. отговор: -2. Нека се опитаме да формулираме алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения по този начин. Децата сами формулират алгоритъма. Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:
Дискусия: как да се формализира решението, ако се използва основното свойство на пропорцията и умножението на двете страни на уравнението с общ знаменател. (Добавете към решението: изключете от неговите корени онези, които правят общия знаменател изчезващ). 4. Първоначално разбиране на нов материал. Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, Ю.Н. Макаричев, 2007: No 600(b,c,i); № 601(a,e,g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската. б) 2 – чужд корен. Отговор: 3. в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5. а) Отговор: -12,5. ж) Отговор: 1;1,5. 5. Поставяне на домашна работа.
6. Изпълнение на контролна задача по изучаваната тема. Работата се извършва върху листове хартия. Примерна задача: А) Кои от уравненията са дробно рационални? Б) Дробта е равна на нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________. В) Числото -3 корен ли е на уравнение номер 6? Г) Решете уравнение №7. Критерии за оценка на заданието:
7. Рефлексия. На листовете за самостоятелна работа поставете:
8. Обобщаване на урока. И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме как да решаваме тези уравнения по различни начини, провериха знанията си с помощта на тренинг самостоятелна работа. Резултатите от самостоятелната си работа ще научите в следващия урок, а у дома ще имате възможност да затвърдите знанията си. Кой метод за решаване на дробни рационални уравнения според вас е по-лесен, по-достъпен и по-рационален? Независимо от метода за решаване на дробни рационални уравнения, какво трябва да запомните? Каква е „хитростта“ на дробните рационални уравнения? Благодаря на всички, урокът приключи.
„Решаване на дробни рационални уравнения“ Цели на урока: Образователни:
Развитие:
Образование:
Тип урок: урок - обяснение на нов материал. Напредък на урока 1. Организационен момент. Здравейте момчета! На дъската има написани уравнения, разгледайте ги внимателно. Можете ли да решите всички тези уравнения? Кои не са и защо? Уравнения, в които лявата и дясната страна са дробни рационални изрази, се наричат дробни рационални уравнения. Какво мислите, че ще учим в клас днес? Формулирайте темата на урока. И така, отваряме тетрадките си и записваме темата на урока „Решаване на дробни рационални уравнения“. 2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа. И сега ще повторим основния теоретичен материал, който ще ни е необходим за изучаване на нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси: 1. Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.) 2. Как се казва уравнение №1? ( Линеен.) Метод за решаване на линейни уравнения. ( Преместете всичко с неизвестното в лявата страна на уравнението, всички числа вдясно. Дайте подобни условия. Намерете неизвестен фактор). 3. Как се казва уравнение №3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Изолиране на пълен квадрат с помощта на формули, използващи теоремата на Виета и нейните следствия.) 4. Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.) 5. Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.) 6. Кога една дроб е нула? ( Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула..) 3. Обяснение на нов материал. Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската. отговор: 10. Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като използвате основното свойство на пропорцията? (№ 5). (x-2)(x-4) = (x+2)(x+3) x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6 x2-6x-x2-5x = 6-8 Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската. отговор: 1,5. Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като умножите двете страни на уравнението по знаменателя? (№ 6). D=1›0, x1=3, x2=4. отговор: 3;4. Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.
Обяснете защо това се случи? Защо в единия случай има три корена, а в другия два? Кои числа са корените на това дробно рационално уравнение? Досега учениците не са се сблъсквали с концепцията за външен корен; наистина им е много трудно да разберат защо това се е случило. Ако никой в класа не може да даде ясно обяснение на тази ситуация, тогава учителят задава насочващи въпроси.
При тестване някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Те заключават, че числата 0 и 5 не са корените на това уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който ни позволява да елиминираме тази грешка? Да, този метод се основава на условието дробта да е равна на нула. x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2. Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен. Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0. отговор: -2. Нека се опитаме да формулираме алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения по този начин. Децата сами формулират алгоритъма. Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения: 1. Преместете всичко отляво. 2. Приведете дробите към общ знаменател. 3. Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула. 4. Решете уравнението. 5. Проверете неравенството, за да изключите външните корени. 6. Запишете отговора. Дискусия: как да се формализира решението, ако се използва основното свойство на пропорцията и умножението на двете страни на уравнението с общ знаменател. (Добавете към решението: изключете от неговите корени онези, които правят общия знаменател изчезващ). 4. Първоначално разбиране на нов материал. Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, 2007: No 000 (б, в, и); № 000(a, d, g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската. б) 2 – чужд корен. Отговор: 3. в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5. а) Отговор: -12,5. ж) Отговор: 1;1,5. 5. Поставяне на домашна работа. 2. Научете алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения. 3. Решете в тетрадки No 000 (а, г, д); № 000(g, h). 4. Опитайте се да решите номер 000(a) (по избор). 6. Изпълнение на контролна задача по изучаваната тема. Работата се извършва върху листове хартия. Примерна задача: А) Кои от уравненията са дробно рационални? Б) Дробта е равна на нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________. В) Числото -3 корен ли е на уравнение номер 6? Г) Решете уравнение №7. Критерии за оценка на заданието:
7. Рефлексия. На листовете за самостоятелна работа поставете:
8. Обобщаване на урока. И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме се да решаваме тези уравнения по различни начини и проверихме знанията си с помощта на самостоятелна учебна работа. Резултатите от самостоятелната си работа ще научите в следващия урок, а у дома ще имате възможност да затвърдите знанията си. Кой метод за решаване на дробни рационални уравнения според вас е по-лесен, по-достъпен и по-рационален? Независимо от метода за решаване на дробни рационални уравнения, какво трябва да запомните? Каква е „хитростта“ на дробните рационални уравнения? Благодаря на всички, урокът приключи. Т. Косякова, Решаване на квадратни и дробни рационални уравнения, съдържащи параметриУрок 4Тема на урока: Цел на урока:развиват способността за решаване на дробни рационални уравнения, съдържащи параметри. Тип урок:въвеждане на нов материал. 1. (Устно) Решете уравненията: Пример 1. Решете уравнението Решение. Да намерим невалидни стойности а: отговор. Ако Ако а = – 19 , тогава няма корени. Пример 2. Решете уравнението Решение. Нека намерим невалидни стойности на параметрите а :
отговор. Ако а = 5 а № 5 , Това x=10– а . Пример 3. При какви стойности на параметрите b уравнение има:
Решение. 1) Намерете невалидни стойности на параметри b : x = b, b 2 (b 2
– 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4
– 2b 3 = 0,
2) Решете уравнението x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:
а) Изключване на невалидни стойности на параметри b , намираме, че уравнението има два корена, ако b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 . б) 4b 2 = 0, b = 0, но това е невалидна стойност на параметъра b ; Ако b 2 –1=0 , т.е. b=1 или Отговор: а) ако b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , след това два корена; б) ако b=1 или b=–1 , тогава единственият корен. Самостоятелна работаВариант 1 Решете уравненията: Вариант 2 Решете уравненията: Отговори Б-1. а) Ако а=3 , тогава няма корени; Ако б) ако ако а № 2 , значи няма корени. Б-2.Ако а=2
, тогава няма корени; Ако а=0
, тогава няма корени; Ако Задаване на домашна работа. Решете уравненията: Отговори: а) Ако а № –2 , Това x= а ; Ако а=–2 , тогава няма решения; б) ако а № –2 , Това х=2; Ако а=–2 , тогава няма решения; в) ако а=–2 , Това х– всяко число освен 3 ; Ако а № –2 , Това х=2; г) ако а=–8 , тогава няма корени; Ако а=2 , тогава няма корени; Ако Урок 5Тема на урока:"Решаване на дробни рационални уравнения, съдържащи параметри." Цели на урока:
Тип урок:систематизиране и обобщение. Проверка на домашните. Пример 1. Решете уравнението а) спрямо x; б) спрямо y. Решение. а) Намерете невалидни стойности г: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y, y=0– невалидна стойност на параметъра г. Ако г№ 0 , Това x=y–2; Ако y=0, тогава уравнението става безсмислено. b) Намерете невалидни стойности на параметри х: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– невалидна стойност на параметъра х; y(2+x–y)=0, y=0или y=2+x; y=0не отговаря на условието y(y–x)№ 0 . Отговор: а) ако y=0, тогава уравнението става безсмислено; Ако г№ 0 , Това x=y–2; б) ако х=0 х№ 0 , Това y=2+x . Пример 2. За какви цели числа на параметъра a са корените на уравнението принадлежат на интервала
Ако а № 0 или а № – 1 , Това отговор: 5 . Пример 3. Намерете относително хцели числа решения на уравнението отговор. Ако y=0, тогава уравнението няма смисъл; Ако y=–1, Това х– всяко цяло число освен нула; Ако y№ 0, y№ – 1, тогава няма решения. Пример 4.Решете уравнението с параметри а И b . Ако а№ –б , Това отговор. Ако а= 0 или b= 0 , тогава уравнението става безсмислено; Ако а№ 0, б№ 0, a=–b , Това х– всяко число освен нула; Ако а№ 0, б№ 0,а№ –б, това x=–a, x=–b . Пример 5. Докажете, че за всяка стойност на параметъра n, различна от нула, уравнението има единичен корен, равен на – n . Решение. т.е. x=–n, което трябваше да се докаже. Задаване на домашна работа. 1. Намерете целочислени решения на уравнението 2. При какви стойности на параметрите cуравнение има: 3. Намерете всички корени на уравнението Ако аЗА Н . 4. Решете уравнението 3xy – 5x + 5y = 7:а) относително г; б) относително х . 1. Уравнението е изпълнено от всяко цяло число, равни стойности на x и y, различни от нула. ТестВариант 1 1. Определете вида на уравнението 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 когато: а) c=–3; б) c=2; V) c=4 . 2. Решете уравненията: а) x 2 –bx=0 ;б) cx 2 –6x+1=0; V) 3. Решете уравнението 3x–xy–2y=1:
nx 2 – 26x + n = 0,знаейки, че параметърът n приема само цели числа. 5. За какви стойности на b прави уравнението има:
Вариант 2 1. Определете вида на уравнението 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0когато: а) c=–4 ;б) c=7; V) c=1 . 2. Решете уравненията: а) y 2 +cy=0;б) ny 2 –8y+2=0 ; V) 3. Решете уравнението 6x–xy+2y=5:
4. Намерете целите корени на уравнението nx 2 –22x+2n=0,знаейки, че параметърът n приема само цели числа. 5. За какви стойности на параметъра a прави уравнението има:
Отговори Б-1. 1. а) Линейно уравнение; Допълнителни задачиРешете уравненията: Литература
|
Прочетете: |
---|
Популярни:
Афоризми и цитати за самоубийство |
Нов
- Лицето на зимата Поетични цитати за деца
- Урок по руски език "мек знак след съскащи съществителни"
- Щедрото дърво (притча) Как да измислим щастлив край на приказката Щедрото дърво
- План на урока за света около нас на тема „Кога ще дойде лятото?
- Източна Азия: страни, население, език, религия, история Като противник на псевдонаучните теории за разделянето на човешките раси на по-нисши и по-висши, той доказа истината
- Класификация на категориите годност за военна служба
- Малоклузия и армията Малоклузията не се приема в армията
- Защо сънувате мъртва майка жива: тълкувания на книги за сънища
- Под какви зодиакални знаци са родените през април?
- Защо мечтаете за буря на морските вълни?