Определение.Най-великият естествено число, на което числата a и b се делят без остатък, се нарича най-голям общ делител (НОД)тези числа.

Нека намерим най-големия общ делителномера 24 и 35.
Делителите на 24 са числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 са числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно прости.

Определение.Естествените числа се наричат взаимно прости, ако техният най-голям общ делител (НОД) е 1.

Най-голям общ делител (НОД)може да се намери, без да се изписват всички делители на дадените числа.

Нека разложим числата 48 и 36 и получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, задраскваме тези, които не са включени в разширяването на второто число (т.е. две двойки).
Останалите множители са 2 * 2 * 3. Тяхното произведение е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Намерен е и най-големият общ делител на три или повече числа.

За да намерите най-голям общ делител

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите фактори.

Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например най-големият общ делител на числата 15, 45, 75 и 180 е числото 15, тъй като на него се делят всички останали числа: 45, 75 и 180.

Най-малко общо кратно (LCM)

Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно на a и b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват кратните на тези числа подред. За да направите това, нека разложим 75 и 60 на прости множители: 75 = 3 * 5 * 5 и 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Нека запишем факторите, включени в разгръщането на първото от тези числа, и добавим към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширяването на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Те също така намират най-малкото общо кратно на три или повече числа.

до намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) разложете ги на прости множители;
2) запишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички други числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например най-малкото общо кратно на числата 12, 15, 20 и 60 е 60, защото се дели на всички тези числа.

Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Те наричат ​​число, равно на сбора от всичките си делители (без самото число), перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. п. д. Петият - 33 550 336 - е открит през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 съвършени числа. Но учените все още не знаят дали има нечетни съвършени числа или има най-голямо съвършено число.
Интересът на древните математици към простите числа произтича от факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като произведение прости числа, т.е. простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части на редицата са повече, в други - по-малко. Но колкото по-нататък се движим по редицата от числа, толкова по-рядко срещани са простите числа. Възниква въпросът: има ли последно (най-голямо) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр. н. е.) в книгата си „Елементи“, която е основният учебник по математика в продължение на две хиляди години, доказва, че има безкрайно много прости числа, т.е. зад всяко просто число има още по-голямо просто число. номер.
За да намери прости числа, друг гръцки математик от същото време, Ератостен, излезе с този метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това задраска едно, което не е нито просто, нито съставно число, след това задраска през едно всички числа, идващи след 2 (числа, кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и т.н.). Първото останало число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа, идващи след 3 (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.), бяха зачеркнати. накрая само простите числа останаха незачертани.

Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често използван в Темата се изучава в гимназията и не е особено трудна за разбиране на материала, запознат със степените и таблицата за умножение, няма да има затруднения при идентифицирането на необходимите числа и откриването на резултат.

Определение

Общо кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа едновременно, без отклонения.

NOC е приетото обозначение кратко име, събрани от първите букви.

Начини за получаване на номер

Методът за умножение на числа не винаги е подходящ за намиране на LCM; той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Обичайно е да се разделя на фактори; колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.

Пример #1

Като най-прост пример, училищата обикновено използват прости, едно- или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, намерете най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има число 21, просто няма по-малко число.

Пример №2

Вторият вариант на задачата е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LOC е задължително. За решаване на проблема се предполагат следните действия:

Разлагане на първо и второ число на прости множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Първият етап е завършен.

Вторият етап включва работа с вече получени данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор най-големият брой срещания се взема от оригиналните числа. НОК е общ брой, следователно факторите от числата трябва да се повтарят в него, всеки един, дори тези, които присъстват в един екземпляр. И двете начални числа съдържат числата 2, 3 и 5, като 7 присъства само в един случай.

За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от степените, представени в уравнението. Остава само да умножите и да получите отговора, ако е попълнен правилно, задачата се побира в две стъпки без обяснение:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Това е целият проблем, ако се опитате да изчислите необходимото число чрез умножение, тогава отговорът определено няма да е правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.

преглед:

6300 / 300 = 21 - правилно;

6300 / 1260 = 5 - правилно.

Правилността на получения резултат се определя чрез проверка - разделяне на ННК на двете оригинални числа; ако и в двата случая числото е цяло, то отговорът е верен.

Какво означава NOC в математиката?

Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата цел на това число е да намали дробите до общ знаменател. Какво обикновено се изучава в 5-6 клас гимназия. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия присъстват в проблема. Такъв израз може да намери кратни не само на две числа, но и на много повече повече- три, пет и така нататък. Колкото повече числа, толкова повече действия в задачата, но сложността не се увеличава.

Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите техния общ LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва разлагането на множители в детайли, без редукция.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички множители, в случая са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.

Внимание: всички фактори трябва да бъдат доведени до точката на пълно опростяване, ако е възможно, разложени до едноцифрено ниво.

преглед:

1) 3000 / 250 = 12 - правилно;

2) 3000 / 600 = 5 - вярно;

3) 3000 / 1500 = 2 - правилно.

Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.

Друг начин

В математиката много неща са свързани, много неща могат да бъдат решени по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следният метод може да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението се посочва в пресичащите се клетки на колоната. Можете да покажете таблица с помощта на линия, да вземете число и да запишете резултатите от умножаването на това число с цели числа, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа преминават през същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.

Имайки предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, свързващ всички числа:

1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.

2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.

3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.

Прави впечатление, че всички числа са доста различни, единственото често срещано число сред тях е 210, така че това ще бъде НОК. Сред процесите, включени в това изчисление, има и най-голям общ делител, който се изчислява съгласно подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но доста значителна, LCM включва изчисляване на число, което е разделено на всички зададени начални стойности, а GCD включва изчисляване най-висока стойностна които са разделени оригиналните числа.

Второ число: b=

Разделител за хилядниБез разделител за интервал „´

Резултат:

Най-голям общ делител gcd( а,b)=6

Най-малко общо кратно на LCM( а,b)=468

Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител(GCD) от тези числа. Означава се с gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Най-малко общо кратноНОК на две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. Означава се LCM(a,b) или lcm(a,b).

Целите числа a и b се наричат взаимно прости, ако нямат общи делители, различни от +1 и −1.

Най-голям общ делител

Нека са дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Изисква се да се намери общият делител на тези числа, т.е. намери такова число λ , който дели числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.

1) В тази статия думата номер ще се разбира като цяло число.

Нека а 1 ≥ а 2 и нека

Къде м 1 , а 3 са някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от делението а 1 на а 2 трябва да е по-малко а 2).

Да приемем, че λ разделя а 1 и а 2 тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Твърдение 2 от статията „Делимост на числата. Тест за делимост”). От това следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е общият делител а 2 и а 3. Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3 тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също се дели на λ . Следователно общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2. защото а 3 <а 2 ≤а 1, тогава можем да кажем, че решението на задачата за намиране на общия делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-простата задача за намиране на общия делител на числата а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠0, тогава можем да разделим а 2 на а 3. Тогава

,

Къде м 1 и а 4 са някои цели числа, ( а 4 остатък от делението а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 съвпада с общи делители на числа а 2 и а 3, а също и с общи делители а 1 и а 2. защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... са числа, които непрекъснато намаляват и тъй като между тях има краен брой цели числа а 2 и 0, след това на някаква стъпка п, остатък от делението а n на а n+1 ще бъде равно на нула ( а n+2 =0).

.

Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числа а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1. Обратното също е вярно, общи делители на числа а n и а n+1 също са делители на числа а n−1 и а n, ...., а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но общият делител на числата а n и а n+1 е число а n+1, защото а n и а n+1 се делят на а n+1 (запомнете това а n+2 =0). Следователно а n+1 също е делител на числа а 1 и а 2 .

Имайте предвид, че броят а n+1 е най-големият делител на числа а n и а n+1 , тъй като най-големият делител а n+1 е себе си а n+1. Ако а n+1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа са също общи делители на числа а 1 и а 2. Номер а n+1 се извиква най-голям общ делителчисла а 1 и а 2 .

Числа а 1 и а 2 може да бъде положително или отрицателно число. Ако едно от числата е равно на нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нула числа е недефиниран.

Горният алгоритъм се извиква Евклидов алгоритъмда се намери най-големият общ делител на две цели числа.

Пример за намиране на най-голям общ делител на две числа

Намерете най-големия общ делител на две числа 630 и 434.

• Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
• Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
• Стъпка 3. Разделете числото 196 на 42. Остатъкът е 28.
• Стъпка 4. Разделете числото 42 на 28. Остатъкът е 14.
• Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.

В стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на числата 630 и 434 е 14. Обърнете внимание, че числата 2 и 7 са делители и на числата 630 и 434.

Взаимопрости числа

Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези номера взаимно прости числа, без общ делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 взаимно прости числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числа λa 1 и а 2 също е общ делител на числа λ И а 2 .

Доказателство. Разгледайте алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числата а 1 и а 2 (виж по-горе).

.

От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n+1 е 1. Т.е а n+1 =1.

Нека умножим всички тези равенства по λ , Тогава

.

Нека общият делител а 1 λ И а 2 да δ . Тогава δ се включва като множител в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (вижте "Делимост на числата", твърдение 2). Следваща δ се включва като множител в а 2 λ И м 2 а 3 λ , и следователно е фактор в а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Разсъждавайки така, ние сме убедени, че δ се включва като множител в а n−1 λ И м n−1 ап λ , и следователно в а n−1 λ −м n−1 ап λ =а n+1 λ . защото а n+1 =1, тогава δ се включва като множител в λ . Следователно броят δ е общият делител на числата λ И а 2 .

Нека разгледаме специални случаи на теорема 1.

Последица 1. Нека аИ cПростите числа са относителни b. След това техният продукт аке просто число по отношение на b.

Наистина. От теорема 1 акИ bимат същите общи делители като cИ b. Но числата cИ bотносително проста, т.е. имат един общ делител 1. Тогава акИ bсъщо имат един общ делител 1. Следователно акИ bвзаимно прости.

Последица 2. Нека аИ bвзаимно прости числа и нека bразделя ак. Тогава bразделя и к.

Наистина. От условието за одобрение акИ bимат общ делител b. По силата на теорема 1, bтрябва да е общ делител bИ к. Следователно bразделя к.

Следствие 1 може да се обобщи.

Последица 3. 1. Нека числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m са прости спрямо числото b. Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, произведението на тези числа е просто спрямо числото b.

2. Нека имаме два реда числа

така че всяко число от първата серия е просто в отношението на всяко число от втората серия. След това продуктът

Трябва да намерите числа, които се делят на всяко от тези числа.

Ако едно число се дели на а 1, то има формата са 1 където sнякакво число. Ако ре най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава

Къде s 1 е някакво цяло число. Тогава

е най-малко общи кратни на числа а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 са относително прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 и а 2:

Трябва да намерим най-малкото общо кратно на тези числа.

От горното следва, че всяко кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числа ε И а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε И а 3 да ε 1. След това кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числа ε 1 и а 4. Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 да ε 2. Така открихме, че всички кратни на числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на определено число ε n, което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.

В специалния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m са относително прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Следваща, тъй като а 3 прости по отношение на числата а 1 , а 2 тогава а 3 просто число а 1 · а 2 (следствие 1). Означава най-малкото общо кратно на числа а 1 ,а 2 ,а 3 е число а 1 · а 2 · а 3. Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.

Изявление 1. Най-малко общо кратно на взаимно прости числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко едно от взаимно простите числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Как да намерите LCM (най-малко общо кратно)

Най-малкото общо кратно на две цели числа е най-малкото от всички цели числа, което се дели на двете дадени числа, без да оставя остатък.

Метод 1. Можете да намерите LCM на свой ред за всяко от дадените числа, като изпишете във възходящ ред всички числа, които се получават чрез умножаването им по 1, 2, 3, 4 и т.н.

Примерза числата 6 и 9.
Умножаваме числото 6 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаваме числото 9 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 9, 18 , 27, 36, 45
Както можете да видите, LCM за числата 6 и 9 ще бъде равно на 18.

Този метод е удобен, когато и двете числа са малки и е лесно да се умножат по поредица от цели числа. Има обаче случаи, когато трябва да намерите LCM за двуцифрени или трицифрени числа, а също и когато има три или дори повече начални числа.

Метод 2. Можете да намерите LCM, като разложите оригиналните числа на прости множители.
След разлагането е необходимо да се зачеркнат еднакви числа от получената серия от прости множители. Останалите числа от първото число ще бъдат множител за второто, а останалите числа от второто ще бъдат множител за първото.

Примерза номера 75 и 60.
Най-малкото общо кратно на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват подред кратните на тези числа. За да направите това, нека разделим 75 и 60 на прости множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Както можете да видите, фактори 3 и 5 се появяват и в двата реда. Мислено ги „зачеркваме“.
Нека запишем останалите фактори, включени в разширяването на всяко от тези числа. При разлагането на числото 75 ни остава числото 5, а при разлагането на числото 60 ни остава 2 * 2
Това означава, че за да определим LCM за числата 75 и 60, трябва да умножим останалите числа от разширението на 75 (това е 5) по 60 и да умножим числата, останали от разширението на 60 (това е 2 * 2 ) на 75. Тоест за по-лесно разбиране казваме, че умножаваме "на кръст".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ето как намерихме LCM за числата 60 и 75. Това е числото 300.

Пример. Определете LCM за числата 12, 16, 24
В този случай нашите действия ще бъдат малко по-сложни. Но първо, както винаги, нека разложим на множители всички числа
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
За да определим правилно LCM, избираме най-малкото от всички числа (това е числото 12) и последователно преминаваме през неговите множители, като ги зачертаваме, ако в поне един от другите редове с числа срещнем същия множител, който все още не е е зачеркнат.

Стъпка 1. Виждаме, че 2 * 2 се среща във всички серии от числа. Нека ги зачеркнем.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Стъпка 2. В простите множители на числото 12 остава само числото 3, но то присъства в простите множители на числото 24. Задраскваме числото 3 от двата реда, докато за числото 16 не се очакват действия. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Както можете да видите, при разлагането на числото 12 ние „задраскахме“ всички числа. Това означава, че констатацията на LOC е завършена. Остава само да се изчисли стойността му.
За числото 12 вземете останалите множители на числото 16 (следващото във възходящ ред)
12 * 2 * 2 = 48
Това е НОК

Както можете да видите, в този случай намирането на LCM беше малко по-трудно, но когато трябва да го намерите за три или повече числа, този метод ви позволява да го направите по-бързо. Въпреки това и двата метода за намиране на LCM са правилни.

Но много естествени числа се делят и на други естествени числа.

например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които числото се дели на цяло (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числата. Делител на естествено число а- е естествено число, което дели дадено число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два делителя композитен .

Моля, обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи множители. Тези числа са: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аИ b- това е числото, на което се делят без остатък и двете дадени числа аИ b.

Общи кратниняколко числа е число, което се дели на всяко от тези числа. например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички общи кратни винаги има най-малкото, в този случай това е 90. Това число се нарича най-малкатаобщо кратно (CMM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е дефинирано.

Най-малко общо кратно (LCM). Свойства.

Комутативност:

Асоциативност:

По-специално, ако и са взаимно прости числа, тогава:

Най-малкото общо кратно на две цели числа мИ пе делител на всички други общи кратни мИ п. Освен това, набор от общи кратни м, нсъвпада с множеството кратни на LCM( м, н).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции.

така че Функция на Чебишев. И също така:

Това следва от определението и свойствата на функцията на Ландау g(n).

Какво следва от закона за разпределение на простите числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

НОК( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:

Къде p 1 ,...,p k- различни прости числа и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нули, ако съответното просто число не е в разширението).

След това NOC ( а,b) се изчислява по формулата:

С други думи, разлагането на LCM съдържа всички прости множители, включени в поне едно от разлаганията на числа а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този множител.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

правило.За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:

- разлагат числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разлагане (произведението на факторите на най-големия брой от дадените) към факторите на желания продукт и след това добавете фактори от разлагането на други числа, които не се появяват в първото число или се появяват в него по-малко пъти;

— полученото произведение на прости множители ще бъде LCM на дадените числа.

Всеки две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат еднакви множители в разширението, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.

Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) се допълват с множител 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.

Простите множители на най-голямото число 30 се допълват с множителя 5 на числото 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това е възможно най-малкото произведение (150, 250, 300...), което е кратно на всички дадени числа.

Числата 2,3,11,37 са прости числа, така че техният LCM е равен на произведението на дадените числа.

правило. За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:

1) представя всяко число като произведение на неговите прости множители, например:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) запишете степените на всички прости множители:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разширения на тези числа;

5) умножете тези правомощия.

Пример. Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Записваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.